A Teoria das Affordances como ferramenta de análise para uma proposta
de ensino de vetores utilizando o software GeoGebra
1Marcelo Wachter Maroski2
Resumo: O presente artigo foi desenvolvido como trabalho de conclusão do curso de
Matemática – Licenciatura da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), com o objetivo de investigar como o docente, ainda que em processo de formação inicial, percebe as possibilidades oferecidas pelas ferramentas do software GeoGebra. Para a coleta dos dados empíricos, recorreu-se à colaboração de uma acadêmica do curso de Matemática – Licenciatura da UNIJUÍ, solicitando que ela representasse no GeoGebra algumas situações que consideravam o tratamento dado aos vetores pela Geometria Analítica. Para a análise dos dados coletados, utilizou-se, principalmente, a Teoria das Affordances, apresentada por Gibson (1986), procurando demonstrar que os seus elementos, associados aos conhecimentos profissionais do professor de Matemática, de acordo com as ideias de autores como Mishra e Koehler (2006), Olofson, Swallow e Neumann (2016) e Palis (2010), possuem grande relevância em uma proposta de ensino que considera a utilização de recursos tecnológicos digitais, permitindo, assim, que o docente utilize de forma adequada a tecnologia a sua disposição.
Palavras-chave: Matemática. TPACK. Ferramentas Digitais. Geometria Analítica.
Introdução
De pequenos computadores portáteis a grandes máquinas industriais; dos celulares mais comuns aos smartphones de última geração; da televisão que se tem em casa aos projetores utilizados em palestras: as tecnologias digitais estão presentes em uma grande quantidade de lugares e situações, influenciando diariamente a vida do ser humano.
Nos últimos anos, presenciou-se um avanço de proporções exponenciais no cenário do desenvolvimento tecnológico, resultando em uma mudança nos padrões de comportamento de praticamente todos os âmbitos da sociedade; dentre eles, a educação escolar.
De acordo com Matos (2013, f. 19):
As transformações ocorridas nos últimos anos com o uso das Tecnologias Digitais de Informação e de Comunicação (TDIC) tem acarretado o advento de novos modos de
1 Artigo produzido na disciplina Trabalho de Conclusão de Curso: Matemática, sob orientação da Prof.ª Me.
Emanueli Bandeira Avi.
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compreender, de estudar, de ensinar e de acompanhar pedagogicamente a construção dos conhecimentos.
Assim, pode-se afirmar que o avanço tecnológico das TDIC é um dos principais fatores que influencia e modifica os paradigmas atuais da educação; compreendendo aqui o vocábulo “paradigma” a partir das ideias de González (2005): um termo que está relacionado a um nível de consenso e aceitação de uma comunidade que considera a atualidade e a contemporaneidade de determinada abordagem metodológica.
Segundo Kenski (2003, p. 49), “Toda aprendizagem, em todos os tempos, é mediada pelas tecnologias disponíveis.”. Assim, compreende-se que a tecnologia é um dos principais elementos do paradigma educacional, pois os recursos tecnológicos de cada época são responsáveis pelas inovações nos métodos de ensinar e aprender.
Visto que à cada período histórico cabem recursos tecnológicos próprios, deve-se compreender o termo “tecnologia” com a amplitude proposta por Darós (2010): qualquer criação do homem que considera conhecimentos historicamente acumulados, contemplando desde o primeiro utensílio primitivo até os aparatos tecnológicos atuais. Assim sendo, no contexto da presente escrita, utilizar-se-á o termo TDIC, mencionado anteriormente, para particularizar recursos tecnológicos que são de interesse a esta pesquisa, como, por exemplo,
notebooks e softwares.
Em uma perspectiva construtivista, o aluno deve assumir a centralidade do processo de ensino e aprendizagem (MÜLLER, 2002). Portanto, é válido afirmar que as metodologias de ensino não se alteram somente pelo surgimento de novas tecnologias, mas, também, porque os avanços tecnológicos provocam transformações nos sujeitos que estão nas salas de aula.
Nesse sentido, é fundamental ter clareza de que os alunos que se encontram atualmente nas escolas são os chamados “nativos digitais”: as primeiras gerações que cresceram em meio às TDIC, que passam menos de cinco mil horas de suas vidas lendo e mais de dez mil horas jogando vídeo game e que, por consequência, pensam e processam informações de maneira essencialmente diferente das gerações anteriores. (PRENSKY, 2001).
Diante dessa realidade, cabe ao professor, com o perdão da redundância, compreender como os nativos digitais compreendem, permitindo que os alunos se identifiquem com o ensino da maneira que está sendo proposto. Sendo assim, saber utilizar adequadamente as tecnologias
3 digitais para fins educacionais é uma nova exigência que a sociedade atual faz ao professor. (KENSKI, 2003).
Desse modo, saberes específicos das disciplinas, conhecimentos pedagógicos e experiência em sala de aula já não são mais suficientes para ensinar: o professor precisa estar à frente de seu tempo e em contínuo processo de atualização, pois é necessário ter disponibilidade para conhecer, explorar e manejar os recursos educativos antes de adequá-los a novas estratégias metodológicas. (RICOY; COUTO, 2011).
Assim, para tratar da complexidade que as tecnologias digitais conferem aos saberes fundamentais do professor, é interessante utilizar um framework, ou seja, um conjunto de conceitos relacionados que explicam um determinado fenômeno. (CIBOTTO; OLIVEIRA, 2013). Nesse contexto, surge um dos principais elementos desta pesquisa: o TPACK, que é a sigla para technological pedagogical content knowledge, traduzido como “conhecimento tecnológico e pedagógico do conteúdo”.
A estrutura do framework TPACK considera as interações que o professor deve fazer entre os conhecimentos tecnológico, pedagógico e do conteúdo (OLOFSON, SWALLOW; NEUMANN, 2016): todos eles fundamentais para ensinar qualquer conhecimento matemático utilizando qualquer recurso tecnológico educacional. Aqui, optou-se pelo software GeoGebra para trabalhar com tópicos relacionados a vetores.
O GeoGebra foi desenvolvido pelo professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg, na Áustria, com a intenção de tornar mais dinâmico o ensino da Matemática. (FANTI, 2010).
As possibilidades de trabalho com o GeoGebra incluem representações geométricas em duas ou três dimensões, planilha de cálculos, estrutura de comandos e calculadora virtual, permitindo, assim, explorar praticamente todos os conteúdos matemáticos contemplados no Ensino Fundamental, Médio e Superior.
Entretanto, a principal característica do GeoGebra, desde a sua criação, segue sendo a representação do mesmo objeto matemático de forma algébrica e geométrica, simultaneamente, justificando-se, assim, o nome do software: “Geo”, referente à Geometria, e “Gebra”, referente à Álgebra.
Devido a essa característica do GeoGebra, optou-se por considerar nessa pesquisa o estudo de vetores no contexto da Geometria Analítica, pois, de acordo com as Orientações
4 Curriculares para o Ensino Médio (OCEM), é desejável que o professor de Matemática aborde o conceito de vetor e suas operações através da representação algébrica e, também, do significado geométrico. (BRASIL, 2006).
Todavia, não basta ter à mão um excelente software e conhecer profundamente o conteúdo matemático a ser ensinado: a proposta metodológica elaborada pelo professor é fundamental para desencadear, ou não, um processo de ensino e aprendizagem.
Nesse sentido, questiona-se: “Quais fatores permitem que o professor de Matemática amplie sua percepção do potencial oferecido pelas ferramentas do GeoGebra e aprimore a sua formação pedagógica diante de uma proposta diferenciada para o ensino de vetores?”.
Na tarefa de responder a essa pergunta, a teoria das affordances surge como ferramenta para analisar o comportamento do professor de Matemática diante dos recursos oferecidos pelo GeoGebra, nas perspectiva de identificar o que se faz necessário para desenvolver uma proposta de ensino que concorde com os paradigmas atuais da educação.
Procedimentos Metodológicos
A pesquisa aqui apresentada possui caráter qualitativo, ou seja, procura analisar os diversos e variados elementos do fenômeno humano e social estudado, com foco maior em compreender e interpretar seu conteúdo do que descrevê-lo e explicá-lo. (TOZONI-REIS, 2010).
Em um primeiro momento, realizou-se um levantamento bibliográfico em livros, trabalhos apresentados em eventos e artigos científicos que considerassem a utilização das TDIC na educação, a constituição do TPACK, a Teoria das Affordances e o ensino de vetores no contexto da Geometria Analítica. Em um segundo momento, procurou-se alternativas para obter o material empírico necessário ao desenvolvimento da pesquisa.
O procedimento de produção de dados considerou a utilização do GeoGebra, versão 6.0.390.0, para representar algumas situações hipotéticas envolvendo vetores que, possivelmente, fariam parte do trabalho de um professor de Matemática que ensina tal conteúdo.
5 Nessa etapa, uma acadêmica do curso de Matemática – Licenciatura da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) foi convidada a participar. As construções realizadas por ela no GeoGebra, numeradas de 1 a 4, são as seguintes:
1. representação geométrica da soma de dois vetores;
2. representação geométrica da diferença de dois vetores;
3. projeção ortogonal de um vetor;
4. significado geométrico do módulo do produto vetorial.
Para cada uma das situações acima foi elaborado um encaminhamento, na forma de itens numerados, com as ações que deveriam ser executadas no GeoGebra, destacando apenas o resultado que se desejava obter, sem especificar como fazer ou quais ferramentas utilizar.
A escolha por essa acadêmica deu-se por sua disponibilidade e pelo fato de ela já ter sido aprovada na disciplina Geometria Analítica e Vetores. Para verificar sua experiência com o GeoGebra, elaborou-se uma questão inicial na qual se solicitava que a acadêmica assinalasse a opção que melhor descrevia o seu nível de conhecimento do software.
Assim, tem-se condições de definir o sujeito dessa pesquisa: um professor de Matemática em processo de formação inicial que possui conhecimento sobre vetores no contexto da Geometria Analítica e, em breve, poderá estar ensinando tal conteúdo matemático por meio das ferramentas do GeoGebra.
Em relação ao material empírico produzido, ele constitui-se de registros escritos que descrevem o passo a passo executado pela acadêmica no GeoGebra; vídeos gerados pelo recurso de captura de tela do software aTube Catcher, registrando todas as ações do sujeito da pesquisa durante a coleta de dados e os arquivos do GeoGebra que contém o resultado final das construções.
Além disso, elaborou-se um diário de campo com relatos e observações do processo de produção dos dados, que ocorreu em três encontros, nos meses de setembro e outubro de 2018. Nesses momentos, permitiu-se que a acadêmica desenvolvesse as situações propostas sem que o pesquisador fizesse intervenções; estas, quando ocorreram, foram realizadas após a análise dos registros produzidos pela acadêmica no encontro anterior, com o intuito de obter maiores explicações sobre algum detalhe do raciocínio utilizado ou para solicitar que ela retomasse suas construções no GeoGebra a fim de corrigir algum equívoco.
6 Assim, foram geradas duas situações adicionais:
1.1. soma de vetores com coordenadas não-inteiras e demonstração da regra do paralelogramo;
3.1. explicação sobre equívoco na representação da projeção ortogonal de vetores.
Para a análise do material empírico, utilizou-se elementos da Teoria das Affordances, no sentido de identificar as possibilidades de ações oferecidas pelas ferramentas do software e compreender como o professor, mesmo em processo de formação inicial, as percebe e faz uso delas em um possível planejamento de aula.
Cabe destacar que a referida teoria, quando associada a elementos do TPACK, diz muito a respeito do conhecimento característico docente, direcionando, assim, o foco da análise para o trabalho do professor de Matemática, público alvo desta pesquisa.
Por fim, como forma de sistematizar os aspectos discutidos no decorrer do artigo, propõe-se um modelo cíclico de dependência entre os quatro conceitos compreendidos como fundamentais a esta pesquisa: TPACK, affordance, GeoGebra e vetor, procurando demonstrar como esses termos estão relacionados de uma maneira dinâmica e consistente.
1. A Teoria das Affordances e os conhecimentos profissionais do professor que ensina Matemática
O termo affordance é um neologismo da língua inglesa criado pelo psicologista James Gibson a partir do verbo afford, que significa “proporcionar”, e do adjetivo affordable, traduzido como “acessível”. (GIBSON, 1986).
A partir desse termo, Gibson desenvolveu a sua Teoria das Affordances, publicada em 1986 no livro The ecological approach to visual perception, cujo título pode ser traduzido livremente como “A abordagem ecológica da percepção visual”. Segundo o próprio Gibson (1986), o livro trata de como os seres vivos percebem o meio ambiente ao seu redor.
No oitavo capítulo da referida obra, Gibson (1986) apresenta o termo affordance, definindo-o, no contexto da Ecologia, como tudo aquilo que o meio ambiente fornece aos seres vivos, seja para o bem ou para o mal.
7 Em uma extensão ao conceito, as affordances são as possibilidades de ação perceptíveis visualmente em um objeto qualquer. (BROCH, 2010). Por exemplo, um objeto alongado de peso e tamanho moderados sugere que ele possa ser utilizado para golpear, como um martelo (GIBSON, 1986); pequenas pedras sugerem que elas possam ser arremessadas (HADJERROUIT, 2017); um indicador luminoso de cor azul em uma torneira sugere que a água está fria e um vermelho, que a água está quente. (CIBOTTO; OLIVEIRA, 2013).
Nessa perspectiva, é válido afirmar que a percepção dos seres humanos não separa características visuais de possibilidades de ação. Pelo contrário, ao mesmo tempo em que um sujeito percebe as qualidades de um objeto, automaticamente, ele acaba considerando possibilidades de uso para o mesmo.
Por sua vez, Gibson (1986) defende que, ao se olhar para um objeto, o que se percebe não são suas qualidades, mas, sim, suas affordances; utilizando como exemplo disso a primeira infância: período no qual as crianças procuram descobrir o que é possível fazer com determinado objeto antes mesmo de saber o seu nome ou como ele é constituído.
Logicamente, nem sempre uma criança conseguirá utilizar um objeto com o propósito para o qual ele foi desenvolvido, pois “[...] cada sujeito percebe affordances em graus diferenciados de intensidade.” (JANUARIO; LIMA; MANRIQUE, 2017, p. 423), sendo a idade mental um condicionante para isso.
Nesse sentido, é de fundamental importância a observação de Shin (2017, p. 1828, tradução nossa): “Affordances devem ser adequadamente percebidas pelo usuário para que se reconheça o potencial de ação.”. Portanto, a utilidade atribuída a um determinado objeto depende da percepção de suas affordances, seja qualitativa ou quantitativamente.
Desde o seu desenvolvimento, a Teoria das Affordances tem emprestado alguns elementos a outras áreas do conhecimento; de maneira especial, à educação e à tecnologia, indicando, assim, que affordances não são perceptíveis apenas em objetos físicos, mas também em ambientes virtuais.
De acordo com Hadjerrouit (2017), as affordances de ferramentas digitais, como é o caso de um software educacional, permitem que os sujeitos construam aprendizados nos níveis tecnológico, pedagógico e social. Nessas condições, percebe-se a relevância da Teoria das
Affordances para a qualificação do professor de Matemática, pois educar é uma tarefa social
8 Nesse contexto, perceber as affordances dos recursos didáticos que se pretende utilizar em aula torna-se uma habilidade fundamental ao professor, pois o nível em que essa percepção ocorre determina se oportunidades de ação para situações de aprendizagem serão criadas ou se a prática pedagógica ficará restringida. (JANUARIO; LIMA; MANRIQUE, 2017).
Desse modo, a percepção de affordances passa a ser compreendida como um dos conhecimentos necessários ao professor de Matemática e, portanto, parte integrante do TPACK.
Segundo Graziano et al (2017), o TPACK é constituído por três “domínios do conhecimento”: conhecimento do conteúdo (CK), conhecimento pedagógico (PK) e conhecimento tecnológico (TK). A sobreposição desses conhecimentos, como pode ser observado na Figura 1, gera quatro domínios adicionais: conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK), conhecimento tecnológico pedagógico (TPK), conhecimento tecnológico do conteúdo (TCK) e conhecimento tecnológico pedagógico do conteúdo (TPACK).
Figura 1 – Modelo TPACK
9 Em relação às affordances, é através do conhecimento tecnológico pedagógico (TPK) que elas passam a fazer sentido no trabalho do professor, visto que esse domínio do conhecimento contempla a percepção de possibilidades e restrições em um conjunto de ferramentas tecnológicas. (OLOFSON; SWALLOW, NEUMANN, 2016).
Assim, incluir a percepção de affordances aos elementos do TPACK, de acordo com a proposta de Olofson, Swallow e Neumann (2016), significa procurar compreender as alterações que ocorrem no processo de ensino e aprendizagem considerando a maneira como a tecnologia é utilizada pelo professor.
2. Ensinar sobre vetores com o GeoGebra: um olhar para a influência da percepção de
affordances e do conhecimento do conteúdo
Compreendido como um importante recurso didático para as aulas de Matemática, o GeoGebra permite que o professor utilize o potencial criativo do software para reinterpretar conceitos, reorganizar pensamentos e elaborar uma proposta de ensino que considere o viés tecnológico. (RICHIT, 2015). Desse modo, planejar uma aula a ser desenvolvida com o GeoGebra exige que o professor se insira em um processo de reflexão sobre as inúmeras possibilidades oferecidas.
Uma vez definido o conceito, ou um conjunto de conceitos, que se quer explorar por meio do GeoGebra, tal reflexão deve ocorrer no sentido de buscar a ferramenta mais adequada para realizar a construção pretendida. Assim, o professor, enquanto usuário do software, deve sempre se questionar: “O que eu quero que o GeoGebra me proporcione?”.
Através desse questionamento, o usuário está, na verdade, refletindo sobre como suas necessidades se colocam diante do potencial oferecido pelo software, na tentativa de encontrar a ferramenta mais adequada, ou seja, aquela que apresenta as affordances corretas para satisfazer aos objetivos da construção idealizada.
Entretanto, identificar necessidades só é possível mediante um bom domínio conceitual das relações matemáticas presentes na situação que se quer representar fazendo uso do GeoGebra. Assim, a partir da análise dos dados empíricos produzidos através das ações da acadêmica na condição de professora em processo de formação inicial, propõe-se demonstrar que a percepção das affordances em softwares educacionais como o GeoGebra está condicionada, essencialmente, a dois fatores: as necessidades do sujeito e o domínio conceitual.
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2.1. A percepção de affordances como uma questão de necessidade
De acordo com Norman (2013), Affordances não são propriedades: são relações. Perceber uma affordance significa estabelecer uma relação entre as qualidades de um determinado objeto e um conjunto de ações possíveis, sem a necessidade de rótulos, manuais ou instruções.
Desse modo, é possível afirmar que a percepção de affordances exige certa autonomia do usuário para estabelecer as relações corretas. Por isso, durante a produção dos dados empíricos, optou-se por apresentar à acadêmica informações sucintas, a fim de verificar sua autonomia diante de situações que não traziam maiores instruções para além do resultado a ser obtido no GeoGebra.
Ter uma atitude autônoma é uma exigência que surge a partir da ideia de invariabilidade, apresentada na obra de Gibson (1986, p. 138-139, tradução nossa): “O observador pode, ou não, perceber ou utilizar-se de uma affordance, de acordo com suas necessidades, mas a affordance, por ser invariável, está sempre lá para ser percebida.”.
Como exemplo disso, será analisada a situação 3 desenvolvida pela acadêmica, na qual, em um primeiro momento, solicitou-se a projeção de 𝑢⃗ sobre 𝑣 . De acordo com Lima (2001, p. 93): “Chama-se projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor não-nulo u ao vetor z, múltiplo de u, tal que v – z é ortogonal a u.”, assim como pode ser observado na Figura 2.
Figura 2 – Projeção ortogonal 𝑧 de 𝑣 sobre 𝑢⃗
11 Assim, a partir da definição apresentada, percebe-se que, por ser ortogonal, é impossível desassociar a ideia de projeção de vetores da existência de um ângulo reto. De fato, durante o desenvolvimento da situação 3, como mostrado na Figura 3, a acadêmica procurou representar uma reta perpendicular a 𝑣 para obter 𝑤⃗⃗ e se certificar de que o ângulo formado media 90º, indicando, assim, que a projeção ortogonal teria sido feita corretamente.
Entretanto, há um erro nessa construção atribuído ao uso inadequado de uma ferramenta do GeoGebra. Para marcar a interseção entre 𝑣 e a reta perpendicular, a acadêmica utilizou a ferramenta “Ponto”, gerando o ponto D. Porém, a utilização desse recurso não permite que se tenha precisão para determinar interseções, pois, na verdade, o ponto D acabou ficando localizado apenas sobre 𝑣 . Devido a isso, observa-se na Figura 3 que o ângulo obtido foi de, aproximadamente, 90,57º, quando deveria ser exatamente um ângulo reto.
Figura 3 – Representação da projeção de vetores pela acadêmica
Fonte: Dados produzidos na pesquisa, 2018.
No registro escrito produzido pela acadêmica, cujo fragmento é apresentado na Figura 4, destaca-se o trecho em que ela afirma: “[...] para ser projeção é necessário possuir um
ângulo reto.”. Isso dá indicativos de que a acadêmica apresenta domínio conceitual em relação
às condições necessárias para que se estabeleça uma projeção ortogonal de vetores, demonstrando que a correta percepção de affordances em softwares educacionais também está relacionada aos elementos que constituem o TPACK, como será discutido posteriormente.
12 Figura 4 – Registro da acadêmica sobre projeção de vetores
Fonte: Dados produzidos na pesquisa, 2018.
Entretanto, na frase seguinte, a acadêmica afirma: “Na representação tentei adicionar
o ângulo para ter melhor visibilidade, mas o 𝛼adquiriu um valor aproximado a 90°.”, deixando
claro que ela própria reconheceu a existência de um equívoco em sua construção, pois o ângulo obtido não era aquele que estava sendo esperado por ela.
Mesmo assim, a acadêmica preferiu seguir utilizando as ferramentas empregadas anteriormente, as quais ela já conhecia, em vez de procurar identificar outras que poderiam apresentar as affordances adequadas à representação proposta na situação 3.
Considerando essa postura da acadêmica, solicitou-se na situação 3.1, que ela fizesse uma breve exploração das ferramentas do GeoGebra, a fim de perceber as diversas possibilidades do software. Essa proposta também foi importante em função de um momento anterior à produção de dados no qual, quando apresentada a quatro alternativas de resposta, a acadêmica assinalou: “Conheço as ferramentas básicas do GeoGebra, mas ainda apresento
dificuldade para realizar determinadas construções.”.
Após a exploração das ferramentas do software, questionou-se à acadêmica se ela saberia explicar o porquê do ângulo em sua construção não medir 90° e qual ferramenta poderia ser utilizada para se obter o resultado correto.
Nesse momento, identifica-se uma mudança nas necessidades da acadêmica: inicialmente o seu objetivo era, apenas, representar a projeção de vetores; agora, ela precisaria
13 explicar o seu equívoco e obter, obrigatoriamente, um ângulo reto para que sua representação realmente correspondesse à projeção de 𝑢⃗ sobre 𝑣 .
Diante do questionamento apresentado, a acadêmica precisou refletir sobre a sua atual necessidade para buscar a ferramenta que apresentasse a affordance desejada. De acordo com o registro da acadêmica, que pode ser observado na Figura 5, através da proposta de exploração dos recursos do GeoGebra foi possível recordar a existência da ferramenta “Interseção de Dois Objetos”.
Figura 5 – Explicação da acadêmica sobre seu equívoco na situação 3
Fonte: Dados produzidos na pesquisa, 2018.
Além disso, por meio do registro da acadêmica, é possível afirmar que ela conseguiu explicar satisfatoriamente o seu equívoco na primeira tentativa de representar a projeção de 𝑢⃗ sobre 𝑣 , alegando ter utilizado a ferramenta “Ponto”, que não possui a mesma precisão para marcar interseções do que a ferramenta do GeoGebra desenvolvida exatamente para essa finalidade.
Visto que a acadêmica conseguiu perceber a affordance de uma ferramenta que em um primeiro momento não fora identificada, pode-se afirmar que as affordances de um objeto nunca se alteram, ao contrário das necessidades do sujeito, que estão em constante mudança. (GIBSON, 1986).
14 Assim, percebe-se que, quando uma determinada ferramenta é utilizada para suprir uma necessidade, o usuário passa a ter conhecimento de uma das affordances presentes nela. Porém, essa mesma ferramenta pode possuir outras que somente serão percebidas diante de uma necessidade completamente diferente.
Logo, uma percepção mais ampla das ferramentas que se tem à disposição, bem como da utilidade das mesmas, só é possível no momento em que se buscam alternativas para a execução de uma determinada tarefa. Em outras palavras, a percepção de affordances é, dentre outros fatores, uma questão de necessidade.
Outro exemplo disso pode ser observado nas situações 1 e 2, em que a acadêmica utilizou a ferramenta “Vetor” para representar o vetor solicitado, sem antes marcar os pontos dados como origem e extremidade.
A partir do registro de captura de tela feito durante a coleta de dados, pôde-se observar que a acadêmica clicava na origem do sistema cartesiano para marcar o ponto de origem do vetor, que nessa situação era (0,0), e procurava utilizar o desenho da malha quadriculada para marcar o ponto da extremidade. Com base na Figura 6, referente à situação 2, é possível ter uma boa percepção do passo a passo executado pela acadêmica, ficando clara a sua opção de utilizar diretamente a ferramenta “Vetor”, sem antes marcar os pontos A e B.
Figura 6 – Representação de um vetor pela acadêmica
Fonte: Dados produzidos na pesquisa, 2018.
Diante disso, propôs-se uma nova situação, numerada como 1.1, sobre soma de vetores, dessa vez com coordenadas não inteiras, para que a acadêmica pudesse perceber que a
15 alternativa utilizada por ela para obter as coordenadas corretas para a extremidade do vetor, apesar de produzir o resultado desejado, acabava burlando a própria lógica de funcionamento do GeoGebra.
Para obter o resultado solicitado na nova situação proposta, a acadêmica marcou a extremidade do vetor em um ponto cujas coordenadas, inteiras, eram aproximadas dos valores não inteiros dados. Em seguida, ela utilizou a Janela de Álgebra para alterar as coordenadas do ponto e obter o que estava sendo pedido.
Na situação em questão, a acadêmica deveria obter o vetor u =
(3,
37
)
. Como pode serobservado na Figura 7, ela optou por representar, primeiramente, o vetor u = (3,2) e, em seguida, utilizar a Janela de Álgebra para alterar a coordenada y.
Figura 7 – Representação da acadêmica para um vetor com coordenada não inteira
16 Diante desse comportamento da acadêmica, pode-se afirmar que ela não conseguiu perceber corretamente a affordance presente na ferramenta “Vetor” e nem compreender que a maneira realmente adequada de realizar a construção solicitada seria definir as coordenadas da origem e da extremidade do vetor através do comando para inserir pontos, utilizando o campo de Entrada do GeoGebra.
Nesse momento, torna-se interessante pensar em uma situação de aula que considere a utilização do GeoGebra para discutir conceitos relacionados a vetores. Como seria possível explicar aos alunos o motivo de, primeiramente, se obter um resultado aproximado que precisa ser manipulado para que resulte na representação pretendida? O mesmo vale para a situação sobre projeção de vetores: como explicar aos alunos que o ângulo obtido não mede 90° e, sim, um valor aproximado?
Sem dúvida, em se tratando de uma proposta de ensino que considera a utilização do GeoGebra como recurso didático, a ocorrência de tais equívocos cria um empecilho a sua aplicação a situações de docência, tornando-se interessante refletir sobre os motivos que levam os docentes a optar por não fazer uso do software.
Em pesquisa realizada com professores de Matemática de Portugal, Ricoy e Couto (2011) constataram que muitos docentes evitam utilizar TDIC em suas aulas por não se sentirem à vontade ao manejar recursos tecnológicos dos quais não se tem conhecimento suficiente, muitas vezes por falta de formação nessa área.
Tratando especificamente do GeoGebra, na condição de um software livre, pode-se dizer que os professores apresentam certa resistência em utilizá-lo por ele possuir uma lógica que se distancia muito dos modelos de softwares tradicionais, como um navegador de internet ou uma planilha de cálculo, por exemplo. (DARÓS, 2010).
Caberia, portanto, aos professores de Matemática se desafiarem a incluir gradativamente o GeoGebra em suas aulas, pois, segundo Darós (2010, f. 58), do ponto de vista pedagógico, os softwares livres necessitam de espaços que “[...] formam um ambiente para a execução de processos muito afins com a educação popular, desenhando um ambiente para a formação de um indivíduo livre para experimentar, sem ressentimento de errar, aprender e criar.”.
Como mencionado anteriormente, o GeoGebra oferece um conjunto de diversas ferramentas, porém, cabe ao professor desenvolver, desde o princípio, situações de
17 aprendizagem em que elas possam ser utilizadas; ou, então, pesquisar na internet propostas de aula desenvolvidas por outros usuários do software.
Assim, compreende-se que ter autonomia para perceber as affordances das ferramentas do GeoGebra não é suficiente para que se possa ensinar vetores por meio dele. Nesse ponto, entram em cena os conhecimentos profissionais do professor de Matemática, entendidos como os elementos que constituem o framework TPACK. A seguir, dar-se-á um enfoque especial ao conhecimento do conteúdo, procurando compreender sua relevância para fazer representações com o GeoGebra e perceber corretamente as affordances das ferramentas do software.
2.2. A importância do conhecimento do conteúdo
Segundo Mishra e Koehler (2006), o conhecimento do conteúdo (CK), um dos três domínios que constitui o TPACK, pode ser definido como o conhecimento dos conceitos que efetivamente serão aprendidos ou ensinados. Sua importância é imprescindível, visto que o professor têm obrigação profissional de conhecer aquilo que ensina, incluindo fatos centrais, conceitos e teorias de seu campo de atuação.
Quando associado à utilização de softwares educacionais como o GeoGebra, o CK gera o subdomínio do conhecimento abreviado por TCK (conhecimento tecnológico do conteúdo), que considera o emprego de tecnologias para acompanhar os desenvolvimentos recentes na área do conhecimento em questão. (YURDAKUL, 2018).
Visto que o desenvolvimento dos recursos tecnológicos pode oferecer novas e variadas formas de representação, cabe ao professor não apenas conhecer o conteúdo, mas, também, a maneira através da qual o conteúdo pode ser modificado pela aplicação da tecnologia. (MISHRA; KOEHLER, 2006). Desse modo, o TCK passa a ser um dos conhecimentos fundamentais para que o professor de Matemática utilize adequadamente o GeoGebra em suas aulas.
Como exemplo da relevância do conhecimento do conteúdo, serão utilizadas as situações 1 e 1.1, na qual a acadêmica mencionou por escrito que o resultado da operação 𝑢⃗ + 𝑣 poderia ser observado a partir da “regra do paralelogramo”.
De fato, de acordo com Lima (2001), se 𝑣 e 𝑤⃗⃗ são dois vetores quaisquer, uma maneira de definir geometricamente a operação de soma entre eles é representá-los como segmentos
18 orientados de mesma origem, por exemplo 𝑣 = 𝐴𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , e determinar o resultado da soma como o segmento que tem origem no ponto A e extremidade em um ponto D, ou seja, 𝑣 + 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; em que 𝐴𝐷 é a diagonal do paralelogramo que tem dois lados consecutivos iguais a 𝐴𝐴′ e 𝐴𝐶, como pode ser observado na Figura 8.
Figura 8 – Definição geométrica da soma de dois vetores
Fonte: Lima (2001, p. 87).
Considerando que a acadêmica citou a regra do paralelogramo em um primeiro momento, elaborou-se a situação 1.1, na qual solicitou-se que ela demonstrasse tal regra mencionada.
Analisando a construção realizada pela acadêmica (Figura 9), percebe-se que, a partir de 𝑢⃗ , 𝑣 e 𝑤⃗⃗ , sendo 𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ + 𝑣 , ela utilizou outros dois vetores, 𝑎 e 𝑏⃗ para construir um paralelogramo. Entretanto, esse procedimento não se constitui como uma forma de demonstração da regra por ela mencionada, pois a ação executada constituiu-se no simples fato de utilizar vetores para construir os dois lados que estavam faltando para “completar” um paralelogramo.
Para realizar a demonstração, seria conveniente recordar a possibilidade de se determinar geometricamente a soma de dois vetores, 𝑢⃗ e 𝑣 , com a origem do segundo coincidindo com a extremidade do primeiro. (BOULOS; CAMARGO, 2003). Desse modo, se 𝑢⃗ tem origem em A e extremidade em B e 𝑣 tem origem em B e extremidade em C, então, por
19 definição, 𝑢⃗ + 𝑣 terá origem em A e extremidade em C, formando, assim, um triângulo com os três vetores.
Figura 9 – Construção de um paralelogramo pela acadêmica
Fonte: Dados produzidos na pesquisa, 2018.
Na situação apresentada na Figura 9, a acadêmica possuía os vetores 𝑢⃗ e 𝑣 , com mesma origem, e o vetor 𝑤⃗⃗ resultante da soma entre eles, diferentemente da condição apresentada no parágrafo anterior.
Nesse caso, o procedimento a ser adotado considera transladar 𝑣 para que sua origem coincida com a extremidade de 𝑢⃗ . Para realizar essa ação no GeoGebra, pode-se utilizar a ferramenta “Translação por um Vetor” para transladar o ponto A, gerando o ponto D, que coincide com a extremidade de 𝑤⃗⃗ . Assim, torna-se possível representar o vetor 𝑎 , que possui origem em B, extremidade em D e mesmo módulo, direção e sentido de 𝑣 , como pode ser observado na Figura 10.
Esse procedimento difere-se daquele adotado pela acadêmica na Figura 9, visto que, pelo não uso da ferramenta “Translação por um Vetor”, não há como afirmar que o ponto D representado por ela corresponde, realmente, à extremidade de 𝑤⃗⃗ , visto que esse ponto foi marcado com a utilização do mouse, existindo, portanto, a possibilidade de suas coordenadas assumirem valores aproximados.
Na sequência, conforme a Figura 10, deve-se traçar 𝑏⃗ , que é o vetor 𝑢⃗ transladado, gerando, de fato, um paralelogramo. Desse modo, tem-se a seguinte situação: 𝑤⃗⃗ representa a soma de 𝑢⃗ e 𝑣 , mas, ao mesmo tempo, pela definição apresentada por Boulos e Camargo (2003), representa a soma de 𝑢⃗ e 𝑎 , por estar formando um triângulo com estes vetores. Ainda, pela
20 mesma definição, 𝑤⃗⃗ é o vetor resultante da soma de 𝑣 e 𝑏⃗ , demonstrando, assim, ser possível representar a soma de dois vetores através de um paralelogramo.
Figura 10 – Regra do paralelogramo no GeoGebra
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Visto que não foram identificados tais procedimentos na construção da Figura 9 nem nos registros escritos da acadêmica, não é possível afirmar se ela realmente possui domínio conceitual sobre as propriedades da representação geométrica da soma de vetores quando consideradas as ideias de segmento orientado e classe de equipolência.
De acordo com Lima (2001), para que dois segmentos orientados no mesmo plano sejam considerados equipolentes, eles devem ter o mesmo comprimento, ser paralelos ou colineares e ter o mesmo sentido. Isso implica em duas possibilidades para que dois segmentos orientados, AB e CD, sejam equipolentes: ou eles pertencem à mesma reta ou ABCD é um paralelogramo. (STEINBRUCH; WINTERLE, 2006).
Considerando um segmento orientado AB fixo, diz-se que todos os segmentos orientados que são equipolentes a AB determinam uma classe de equipolência. Assim, chega-se à definição formal de vetor: uma claschega-se de equipolência de chega-segmentos orientados. (BOULOS; CAMARGO, 2003). Essa definição implica que um mesmo vetor pode ser representado por
21 infinitos segmentos orientados, todos equipolentes entre si, chamados “representantes” do vetor. (STEINBRUCH; WINTERLE, 2006).
Assim, admitindo-se que as três características fundamentais de um vetor – módulo, direção e sentido – são preservadas para qualquer outro segmento orientado equipolente, compreende-se que a possibilidade de transladar os vetores na situação da Figura 10, a fim de demonstrar a regra do paralelogramo, é equivalente a determinar cada um dos vetores 𝑢⃗ e 𝑣 por um outro representante de suas classes de equipolência.
Diante disso, percebe-se que, de alguma forma, essas ideias relacionadas ao conceito vetor deveriam estar presentes nos registros da acadêmica para que se pudesse afirmar que ela realmente compreendeu a representação geométrica da soma de vetores; e não apenas construiu um paralelogramo com as ferramentas do GeoGebra.
Pensando na possibilidade de desenvolver a situação da Figura 9 em sala de aula, a ideia da representação geométrica da soma de vetores ficaria muito vaga para os alunos caso apenas se construísse o paralelogramo, sem discutir o significado dos procedimentos adotados na representação da Figura 10.
Em relação à situação sobre projeção de vetores (Figura 3), discutida anteriormente, pode-se dizer que o conhecimento do conteúdo desempenha o papel de evitar que uma representação equivocada seja apresentada aos alunos em uma aula de Matemática.
Certamente, a acadêmica possuía domínio conceitual em relação à projeção de vetores, pois identificou a necessidade de se utilizar uma reta perpendicular para se obter um ângulo reto. Porém, ela não conseguiu perceber a affordance correta para suprir essa necessidade, resultando em uma representação geométrica que contraria a própria definição da projeção de vetores.
Segundo Niess et al (2009), enquanto os professores aprendem a implementar um recurso tecnológico em particular ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática, eles passam por um processo que considera cinco estágios; são eles: conhecimento, persuasão, decisão, implementação e confirmação.
Por sua vez, Palis (2010) amplia a ideia de Niess et al (2009), explicitando o que ocorre em cada um desses estágios quando se analisa currículo, avaliação, ensino, aprendizagem e acesso. Aqui, é de interesse a análise que Palis (2010) faz em relação ao currículo, visto que se está discutindo sobre o conhecimento do conteúdo.
22 De acordo com Palis (2010, p. 442), no estágio de implementação o professor “busca ideias e estratégias para implementar tecnologia de forma que esta tenha um papel importante no desenvolvimento da matemática que os alunos estão aprendendo.”. Nesse estágio, portanto, é necessário que o professor perceba corretamente as affordances dos recursos tecnológicos para que ele possa pensar em situações de aprendizagem a partir de um conhecimento mais amplo das possibilidades oferecidas pela tecnologia em questão.
Todavia, cabe destacar que o professor somente passará a buscar ideias e estratégias uma vez que se debruçar sobre o conteúdo matemático a ser ensinado em um determinado momento. Isso relaciona-se com o estágio de decisão, no qual o professor reconhece alguns dos benefícios da utilização de TDIC em aulas de Matemática, selecionando tópicos do currículo que já devem fazer parte de seu conhecimento do conteúdo para, então, pensar em explorá-los por meio da tecnologia. (PALIS, 2010).
Nesse sentido, o conhecimento do conteúdo aparece como um fator preliminar, visto que a opção pela utilização de um recurso tecnológico e a consequente percepção das
affordances somente ocorrerão em um momento posterior, quando o professor já possuir
domínio conceitual em relação aos tópicos a serem abordados com os alunos.
Caso se retire o foco do processo de ensino e aprendizagem, a afirmação acima não necessariamente é verdadeira, pois quando não se pretende ensinar algo através de um software, é possível manipular as suas ferramentas e perceber suas affordances mesmo sem conhecer o conteúdo que pode ser ensinado por meio delas.
Esse fato relaciona-se com a ideia de que as affordances de um ambiente, seja físico ou virtual, são o que possibilitam ações por parte de quem as percebe. (SHIN, 2017). Nesse sentido, pode-se reconhecer as affordances de um objeto e executar ações com ele mesmo sem saber o seu nome ou para qual finalidade foi desenvolvido, embora exista a iminente possibilidade de se utilizar tal objeto de modo inadequado.
Da mesma forma, é possível realizar construções com as ferramentas do GeoGebra mesmo sem conhecer o conteúdo matemático que pode ser ensinado e aprendido através delas. Obviamente, isso implica em dificuldades para atribuir significados às representações desenvolvidas com o software.
Neste ponto, é válido afirmar que a não percepção das affordances das ferramentas do GeoGebra restringe a atuação pedagógica do professor de Matemática. Um exemplo disso é
23 observado na construção da Figura 3, que não poderia ser utilizada em sala de aula, pois seria impossível explicar corretamente sobre projeção de vetores a partir dela, devido a existência de um ângulo com medida diferente de 90º.
Assim, percebe-se que o conhecimento do conteúdo a ser ensinado é importante, dentre outros motivos, para permitir que se realizem construções geométricas adequadas e para auxiliar na identificação de equívocos em representações feitas com o GeoGebra, possibilitando que o próprio professor reconheça a utilização de uma ferramenta inadequada.
Além disso, quando se discute a elaboração de estratégias de ensino a partir de TDIC, evidencia-se a relevância do conhecimento tecnológico pedagógico (TPK), que, segundo PALIS (2010, p. 436) “[...] abrange as potencialidades e as limitações de uma tecnologia particular e como esta pode ser usada no ensino e na aprendizagem.”.
Conforme afirmam Olofson, Swallow e Neumann (2016), perceber affordances em ferramentas digitais é uma necessidade que está relacionada ao TPK, permitindo que o professor desenvolva estratégias de ensino e aprendizagem apropriadas a uma determinada situação. Ou seja, é através da percepção de affordances que o professor relaciona seu conhecimento pedagógico com as ferramentas de um software educacional como o GeoGebra; e, em complemento a isso, o conhecimento do conteúdo amplia as possibilidades de se ensinar Matemática por meio de TDIC e auxilia a evitar possíveis equívocos.
Considerações finais
Diante dos aspectos apresentados, destaca-se que a correta percepção de affordances e um conhecimento do conteúdo bem estruturado são fatores que permitem ao professor de Matemática explorar o potencial das ferramentas do GeoGebra, aprimorando, assim, sua formação pedagógica diante de uma proposta de ensino que considere a utilização de TDIC.
Em relação à análise dos dados empíricos, pode-se afirmar que a acadêmica demonstrou possuir domínio de alguns dos conceitos envolvidos nas construções realizadas. Todavia, ela não teve a autonomia necessária para perceber a existência de novas ferramentas que pudessem produzir o resultado que não estava sendo obtido com os recursos que ela já dominava.
24 Tal percepção seria importante para garantir que as ferramentas do GeoGebra fossem utilizadas de forma adequada, minimizando, assim, a presença de erros ou aproximações do resultado pretendido.
Nesse sentido, as affordances podem ser consideradas como um elemento indispensável para que o professor possa utilizar o GeoGebra da melhor maneira possível, na perspectiva de identificar as especificidades de cada uma de suas ferramentas.
Enquanto isso, o conhecimento do conteúdo desempenha o papel de permitir que o professor realize uma autoavaliação do seu trabalho com o software, evitando que representações equivocadas sejam apresentadas aos alunos. Todavia, os demais domínios e subdomínios do TPACK também possuem sua devida relevância nesse processo.
Sem a utilização do GeoGebra, ou de qualquer outro recurso tecnológico, tem-se apenas o conhecimento do conteúdo. Quando o professor se propõe a utilizar TDIC, passa-se a ter o conhecimento tecnológico do conteúdo (TCK). Ainda, a partir da percepção das
affordances do GeoGebra, o professor tem a possibilidade de ampliar a sua formação
pedagógica e, assim, agregar a esse contexto os elementos do TPK.
Nesse ponto, encontram-se relacionados os três domínios do TPACK: o pedagógico, o tecnológico e o do conteúdo, pois a percepção de affordances é fundamental para que seja possível utilizar um recurso tecnológico. Porém, isso só acontecerá diante da existência de uma necessidade que, no caso do professor, é ensinar um determinado conteúdo matemático, que, por sua vez, fará sentido para o aluno quando o professor colocar em prática o seu conhecimento pedagógico.
Assim, retomando os quatro termos fundamentais desta pesquisa: affordance, TPACK, GeoGebra e vetor, apresenta-se um esquema cíclico (Figura 11) com o objetivo de demonstrar a relação de dependência que pode ser estabelecida entre esses quatro conceitos.
Através desse movimento em círculo, propõe-se que o professor de Matemática, mesmo que em processo de formação, se desafie a pensar o ensino a partir de um software educacional como o GeoGebra. À medida em que diferentes conteúdos matemáticos forem explorados por meio da tecnologia, novas necessidades surgirão no trabalho do professor, permitindo que ele se coloque em um processo de perceber as diferentes affordances que podem levar a um conhecimento mais amplo das ferramentas do software.
25 Figura 11 – Esquema cíclico de relação entre os conceitos fundamentais da pesquisa
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Por fim, reitera-se a relevância da Teoria das Affordances no trabalho do professor de Matemática, para que este explore de maneira efetiva o potencial das ferramentas do GeoGebra, aprimorando, assim, a qualidade do processo de ensino e aprendizagem.
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