Alocação de banda em sistemas de controle via rede pela barganha de Nash

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FELIPE PEREZ DE OLIVEIRA DIAS

ALOCAC¸ ˜AO DE BANDA EM SISTEMAS DE CONTROLE VIA REDE PELA BARGANHA DE NASH

CAMPINAS 2015

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FELIPE PEREZ DE OLIVEIRA DIAS

ALOCAC¸ ˜AO DE BANDA EM SISTEMAS DE CONTROLE VIA REDE PELA BARGANHA DE NASH

Disserta¸cão apresentada à Faculdade de En-genharia Elétrica e Computa¸cão da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica, na

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Area de Automa¸c˜ao.

Orientador: PAULO AUGUSTO VALENTE FERREIRA

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERS ÃO FINAL DA DISSERTAÇ ÃO DEFENDIDA PELO ALUNO FELIPE PEREZ DE OLIVEIRA DIAS, E ORIENTADA PELO PROF. DR. PAULO AUGUSTO VALENTE FERREIRA.

CAMPINAS 2015

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Dias, Felipe Perez de Oliveira,

D543a DiaAlocação de banda em sistemas de controle via rede pela barganha de Nash / Felipe Perez de Oliveira Dias. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

DiaOrientador: Paulo Augusto Valente Ferreira.

DiaDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

Dia1. Teoria dos jogos. 2. Sistemas de controle. 3. Redes. 4. Alocação de recursos. 5. Otimização. I. Ferreira, Paulo Augusto Valente,1958-. II.

Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Bandwidth allocation in networked control systems via Nash bargaining Palavras-chave em inglês: Game Theory Control systems Networks Resource allocation Optimization

Área de concentração: Automação Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica Banca examinadora:

Paulo Augusto Valente Ferreira [Orientador] Juan Francisco Camino dos Santos

Ricardo Coração de Leão Fontoura de Oliveira Data de defesa: 27-11-2015

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

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COMISS ÃO JULGADORA - DISSERTAÇ ÃO DE MESTRADO

Candidato: Felipe Perez de Oliveira Dias RA: 043423 Data da Defesa: 27 de novembro de 2015

T´ıtulo da Dissertação: ”Aloca¸cão de banda em sistemas de controle via rede pela barganha de Nash”.

Prof. Dr. Paulo Augusto Valente Ferreira (Presidente, FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. Juan Francisco Camino dos Santos (FEM/UNICAMP)

Prof. Dr. Ricardo Cora¸c˜ao de Le˜ao Fontoura de Oliveira (FEEC/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comiss˜ao Julgadora, encontra-se no processo de vida acadˆemica do aluno.

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Resumo

Nesta disserta¸cão é proposto um método de aloca¸cão de banda para um Sistema de Con-trole via Rede (Networked Control System, em Inglês) sem fio com base na solu¸cão clássica da Barganha de Nash. NCSs com arquiteturas em malha aberta e fechada são implemen-tadas para fins de simula¸cão. Caracter´ısticas como atraso, perda de pacotes e dinâmica de transmissão são incorporadas ao modelo do canal de transmissão da rede. Um procedi-mento de projeto de controladores compat´ıvel com as especifica¸cões da NSC implementada também é formulado. Resultados da simula¸cão envolvendo o método proposto e métodos alternativos para aloca¸cão de banda em NCSs são apresentados. Análises comparativas demonstram a viabilidade e eficiência do método proposto.

Abstract

In this thesis we propose a wireless networked control system (NCS) bandwidth allocation method based on the classical Nash Bargaining Solution. NCSs with open-loop and closed-loop network architectures are described for simulation purposes. Characteristics as time delay, packet loss and transmission dynamics are incorporated to the network channel model. A controller design procedure compatible with the NCS setup implemented is also formulated. Simulation results involving the proposed method and alternative methods for bandwidth allocation in NSCs are presented. Comparative analyses demonstrate the viability and efficiency of the proposed method.

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1 Introduc¸˜ao 9

1.1 Problema Abordado e Metodologia . . . 9

1.2 Revis˜ao da Literatura . . . 11

1.3 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao . . . 13

2 Sistemas de Controle via Rede de Comunicac¸˜ao 14 2.1 Arquiteturas . . . 16

2.2 Linhas de Transmiss˜ao: Modelagem . . . 17

2.3 Atraso . . . 19

2.4 Perda de Pacotes . . . 19

2.5 Modelo Te´orico e Ambiente de Simula¸c˜ao de NCSs . . . 20

2.5.1 Planta e Estrutura de Controle . . . 22

2.5.2 Redes: Modelo e Dinˆamica de Transmiss˜ao . . . 25

2.5.3 Agendamento para Aloca¸c˜ao de Banda em NCSs . . . 28

2.5.4 Aferi¸c˜ao de Desempenho . . . 29

2.5.5 Ambiente de Simula¸c˜ao . . . 30

3 Elementos da Teoria dos Jogos e Barganha de Nash 39 3.1 Preferˆencias e Utilidades . . . 39

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3.1.1 Utilidades . . . 40

3.2 Formula¸c˜ao do Jogo . . . 41

3.3 Jogos n˜ao Cooperativos . . . 42

3.3.1 Equil´ıbrio de Nash . . . 42

3.3.2 Pareto-otimalidade . . . 43

3.4 Jogos Cooperativos . . . 43

3.4.1 Barganha de Nash . . . 43

4 Alocação de Banda em NCSs via Teoria dos Jogos 46 4.1 Análise de Sistemas de Controle via Rede . . . 46

4.1.1 Projeto de Controladores . . . 47

4.2 O Problema de Aloca¸c˜ao de Banda em NCSs . . . 50

4.3 Aloca¸cão de Banda Utilizando Divisão Igualitária . . . 51

4.4 Aloca¸cão de Banda Utilizando Método proposto em Tipsuwan et al. (2009) 63 4.5 Aloca¸cão de Banda Utilizando Método proposto em Yan et al. (2013) . . . 79

4.6 Aloca¸c˜ao de Banda Utilizando M´etodo Proposto . . . 96

4.7 Discuss˜ao de Resultados . . . 112

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

Sistemas de controle vêm se tornando cada vez mais comuns devido ao rápido avan¸co da eletrônica e à larga disponibilidade de equipamentos com poder de processamento elevado. Carros, aviões, processos industriais e, até mesmo, o mercado financeiro e sistemas biológicos são controlados por sistemas de controle cada vez mais complexos.

Um dos arcabou¸cos utilizados para introduzir complexidade aos sistemas e permitir a inte-gra¸cão de diversos subsistemas é a utiliza¸cão de redes. Utilizando redes é poss´ıvel partilhar informa¸cões, conectar dispositivos e integrar sistemas controlados de formas independen-tes, a fim de promover um controle geral coordenado do que pode ser uma grande planta ou processo.

O objetivo deste trabalho é investigar, em espec´ıfico, a área de sistemas de controle via redes. A pesquisa é focada em verificar quais os métodos existentes na literatura cient´ıfica e qual o desempenho de cada um deles no que diz respeito a divisão de recursos de rede durante o per´ıodo de controle. O recurso de rede estudado é a aloca¸cão de banda destinada a cada um dos subsistemas conectados em rede.

A apresenta¸cão de uma nova metodologia para aloca¸cão de banda também faz parte do escopo deste trabalho.

1.1 Problema Abordado e Metodologia

Sistemas de controle via redes podem trazer vários desafios, sendo estes associados tanto ao conjunto controlador, atuador, sensor e planta, quanto a limita¸cões de recursos dispon´ıveis na rede. Ao utilizar uma rede para tráfego das informa¸cões, é inevitável que a estrutura

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da rede seja compartilhada entre diversos dispositivos, que, de uma certa forma competem entre si por recursos e disponibilidade da rede.

As respostas transitória e de regime permanente de um sistema dinâmico são diretamente afetadas por atrasos e perdas de informa¸cões, além de limita¸cões apresentadas pelo uso de redes. Projetos de controladores a serem utilizados em redes devem considerar que a troca de informa¸cão entre os dispositivos do sistema não é imediata como previsto na teoria clássica de controle.

Considere, por exemplo, o projeto de um controlador para o qual se estabelece que o tempo de resposta seja o menor poss´ıvel, com o transitório mais amortecido poss´ıvel. Eventualmente, quando este sistema for implementado em rede, atrasos podem passar a ocorrer e, o sistema que apresentava comportamento teórico dentro do especificado pode se tornar instável em rede.

Os sistemas de controle via rede, também chamados NCS (Networked Control Systems), são estruturas que utilizam uma ou mais redes compartilhadas para a troca de informa¸cões. No presente trabalho, as principais caracter´ısticas de redes estudadas são o atraso e a perda de informa¸cões durante a transmissão. O atraso é a resultante da somatória de diversos fatores, tais como mecanismos de agendamento, tecnologia de hardware e meio f´ısico de transmissão, e principalmente, a aloca¸cão da banda dispon´ıvel.

A aloca¸cão de banda da rede é o principal tema desta estudo da pesquisa, uma vez que a perda de informa¸cões é assumida como um fenômeno completamente aleatório. Para a determina¸cão de estruturas e mecanismos da distribui¸cão da banda são utilizados conceitos da Teoria dos Jogos.

A estrutura dinˆamica dos diversos componentes da rede ´e modelada como um jogo

coope-rativo, mais especificamente uma barganha. Os jogadores disputam parcelas da largura de

banda, sofrendo menos com as deficiências da rede quando recebem parcelas maiores. O tema alvo da pesquisa é Aloca¸cão de banda em NCS usando barganha de Nash.

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O encadeamento das disciplinas te´oricas abordadas neste trabalho pode ser visualizada na Figura 1.1.

Figura 1.1: Mapa de conceitos de teorias abordadas no trabalho.

Em estudos sobre Teoria dos Jogos, t´opicos comumente encontrados s˜ao, por exemplo,

Preferências e Utilidades, Resultados de Jogos e implica¸cões de utiliza¸cão de Desenho de Mecanismos (Mechanism Design). Já no campo de pesquisa de NCSs, Algoritmos de Agendamento e Aloca¸cão de Banda, Atraso, Perda de Pacotes, Desempenho, Parâmetros de Controle e Arquitetura de Sistema são temas recorrentes.

1.2 Revis˜ao da Literatura

Aloca¸cão de recursos em redes é um tema frequente em várias áreas da Engenharia. Se-gundo Hespanha et al. (2007), qualquer comunica¸cão via rede pode carregar uma quan-tidade finita de informa¸cão por unidade de tempo, ou seja, em muitas aplica¸cões esta limita¸cão pode ser uma importante restri¸cão na opera¸cão de um sistema. Largura de banda e a sua aloca¸cão são exemplos de fatores que limitam o desempenho de sistemas em redes.

Visando estratégias e métodos eficientes para aloca¸cão de banda em redes, a utiliza¸cão de mecanismos de Teoria dos Jogos, Leilões e Precifica¸cão é um artif´ıcio recorrente na literatura e esta revisão da literatura aborda, em espec´ıfico, a aloca¸cão de banda em redes via Teoria dos Jogos. No estudo de Ya¨ıche et al. (2000), conceitos de Teoria dos Jogos, especificamente Barganha de Nash, são utilizados para cria¸cão de métodos e estruturas de aloca¸cão de banda de maneira dinâmica, a fim de maximizar a utiliza¸cão dos recursos da rede. Os autores apresentam o conceito de controle de taxa (rate control), que se refere à modula¸cão de largura de banda no tempo, tornando a atribui¸cão de banda para cada nó de uma rede uma variável de controle. Para isso, os autores utilizaram métodos de precifica¸cão de banda e mecanismos de leilão aplicados a arquiteturas centralizadas e descentralizadas

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de controle.

A utiliza¸cão de leilões em redes para divisão de recursos é abordada por Jia and Caines (2009). Utilizando técnicas de leilões de segundo pre¸co denominados PSP (progressive

se-cond price), também desenhadas sob uma estrutura de jogos, os autores propõem métodos

numéricos para a implementa¸cão eficiente de aloca¸cão de recursos em bases de tempo fixas ou variáveis.

Aloca¸c˜ao de banda ´e relevante em estruturas de controle denominadas NCS (Networked

Control Systems). Estas estruturas s˜ao sistemas distribu´ıdos nos quais a comunica¸c˜ao entre

sensores, atuadores e controladores ocorre por meio de uma rede compartilhada de comu-nica¸cão (Hespanha et al., 2007). NCSs são utilizados em aplica¸cões como robótica, sistemas embarcados, eletrônica veicular e sistemas de potência onde controladores e plantas não estão diretamente interconectados.

Diferentes arquiteturas podem ser aplicadas a NCSs, mas as mais recorrentes são as cha-madas de malha aberta e de malha fechada. No caso de arquiteturas de malha aberta, como no trabalho de Tipsuwan et al. (2009), o conjunto controlador atuador-planta está diretamente conectado e o sinal de referência é enviado via rede. Em arquiteturas de malha fechada, como em Senol et al. (2011) e Jungers et al. (2013), o controlador está conectado ao atuador por meio da rede. Em ambos os casos, os atrasos de transmissão da rede podem levar à instabilidade do sistema de controle.

Segundo análise apresentada por Tipsuwan et al. (2009), atrasos em comunica¸cão depen-dem de fatores como protocolos de agendamento e condi¸cões de tráfego. A influência de atrasos em NCSs é estudada por Wang and Wang (2013), com foco em métodos numéricos para a manuten¸cão da estabilidade do sistema e distribui¸cão ótima dos controladores. Outra caracter´ıstica presente em NCSs é a perda de pacotes, que pode ser causada por colisão de pacotes, alto tráfego e até mesmo deficiência e limita¸cão de hardware. Esta situa¸cão é modelada por Hespanha et al. (2007), considerando a disponibilidade do canal de transmissão como uma variável aleatória. A maneira de modelar a transmissão dos dados na rede considerando a amostragem dos sinais e tempo de transmissão também é importante. Tal modelagem é proposta por Bars et al. (2006) considerando redes digitais e intervalos amostrais fixos com retentores de ordem zero. Sob esta ótica, Hespanha et al. (2007) propõem que dados mais antigos sejam descartados, uma vez que não são relevantes para o estado atual do sistema controlado.

Aloca¸cão de banda aplicada a NCSs é o foco do estudo de Tipsuwan et al. (2009). Os autores sugerem um método baseado em leilão e precifica¸cão para determina¸cão dinâmica da propor¸cão de banda para cada agente da rede, e o compara com métodos clássicos que

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utilizam estruturas de Teoria dos Jogos. Os autores concluemx que o método sugerido é viável e eficiente em NCSs.

Contudo, ainda não são muitos os estudos que utilizam abordagens clássicas de Teoria dos Jogos a problemas de aloca¸cão de banda em NCSs. Uma solu¸cão pela Barganha de Nash, abordada em detalhes em Osborne and Rubinstein (1994), poderia ser a essência de um algoritmo de aloca¸cão de banda em NCSs, como é feito no estudo de Dias and Ferreira (2015). Solu¸cões alternativas da Barganha de Nash, tema do trabalho de Kalai and Smorodinsky (1975), também poderiam ser usadas com o mesmo propósito.

Um ponto que pode ser explorado é a constru¸cão de uma solu¸cão utilizando Barganha de Nash na forma axiomática, e a modelagem de preferências e fun¸cões utilidades usando parâmetros como QoS (quality of service) e QoC (quality of control).

O propósito desta pesquisa experimental é verificar como mecanismos baseados em Teoria dos Jogos podem ser usados na aloca¸cão de banda de sistemas de controle via rede (NCSs). O recurso aloca¸cão de banda será tratado como o objeto de um jogo de barganha, em que cada um dos agentes (controlador-planta) disputará tempo de transmissão na rede. O desempenho do sistema será comparado com outras metodologias propostas na literatura.

1.3 Organização da Dissertação

No capitulo 2 desta disserta¸cão é apresentada a estrutura de NCS utilizada bem como o problema de aloca¸cão de banda naqueles sistemas. É descrito também neste cap´ıtulo o ambiente de simula¸cão utilizado para os experimentos realizados.

No capitulo 3, é elaborada uma revisão dos tópicos de Teoria dos Jogos mais relevantes para este trabalho. O cap´ıtulo 4 é destinado a descrever condi¸cões de controle em NCSs e os métodos de aloca¸cão de banda abordados neste estudo. Os resultados espec´ıficos e gerais também são apresentados e discutidos neste cap´ıtulo.

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Cap´ıtulo 2

Sistemas de Controle via Rede de

Comunicac¸˜ao

Sistemas de controle via redes vêm se tornando mais complexos, assim como a necessidade de integra¸cão e compartilhamento de recursos. De acordo com Senol et al. (2011), esta integra¸cão é suportada pela estrutura computacional, de comunica¸cão e controle entre diferentes n´ıveis de máquinas/opera¸cões e informa¸cões dos processos.

Sob a ótica proposta por Senol et al. (2011), os sistemas de controle se tornam mais distribu´ıdos, com sensores, atuadores, plantas e controladores não necessariamente conec-tados fisicamente. Hespanha et al. (2007) definem NCSs como sistemas distribu´ıdos em que a comunica¸cão de sensores, atuadores e controladores ocorre por meio de uma rede compartilhada, como mostrado na figura abaixo:

Rede

Planta1 PlantaN

Controlador1 ControladorN

Atuator Sensor Atuator Sensor

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Para melhor referˆencia dos elementos da rede, Zhang et al. (2013) definem como n´os de

rede dispositivos como sensores, atuadores e controladores.

Exemplos de utiliza¸cão de NCSs na literatura são vários. A considera¸cão de diversos agen-tes em rede oferece vantagens potenciais em desempenho, robustez, e versatilidade para atividades orientadas a sensoriamento, como busca, inspe¸cão, explora¸cão e mapeamento (Ogren et al., 2004). Ainda segundo este último trabalho, uma rede cooperativa de ve´ıculos, sendo cada um deles equipado com um único sensor, tem o potencial de desempenhar estas atividades mais eficientemente, como o fazem, por inspira¸cão, grupos de animais.

A abordagem de NCSs para controle de ve´ıculos também é citada por Seiler and Sengupta (2001), ao fazerem men¸cão a sistemas denominados como Automated Highway Systems

(AHSs) e controle coordenado de ve´ıculos a´ereos n˜ao tripulados (UAVs). Para sistemas

como os AHSs, o objetivo é evitar colisão entre os ve´ıculos. Já na utiliza¸cão de UAVs, cada ve´ıculo deve trabalhar em conjunto em prol de um interesse coletivo.

Ainda utilizando ve´ıculos como motiva¸cão para aplica¸cões envolvendo NCSs, Zhang et al. (2013) discutem um interessante exemplo de integra¸cão de componentes veiculares em rede. Neste caso, a comunica¸cão por rede contribui para a elimina¸cão do problema de ca-beamento excessivo em espa¸co limitado no ve´ıculo. Componentes como ABS (anti-locked

breaking system), controle dos airbags, travas autom´aticas das portas, entre outros,

com-partilham a mesma rede, tornando o ve´ıculo totalmente integrado.

Outra aplica¸cão interessante discutida em Zhang et al. (2013) é a engenharia de controle de processos por rede, ilustrada na Figura 2.2. Para esta aplica¸cão, redes como Fieldbus,

Industrial Ethernet e outras s˜ao utilizadas para conectar dispositivos controladores (PLCs)

a informa¸cões de campo, como n´ıvel da água, pH, temperatura, etc. Estas redes também conectam os controladores a plantas, como motores, resistências elétricas, válvulas e outros equipamentos.

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16 switch switch switch switch PLC PLC PLC PLC PLC HMI SCADA SCADA Anel Gigabit Industrial Ethernet Fieldbus

Figura 2.2: NCS para aplica¸c˜ao em redes industriais.

2.1 Arquiteturas

Sistemas controlados via rede (NCSs) podem assumir, basicamente, dois tipos de arqui-teturas. S˜ao elas: controle com realimenta¸c˜ao por rede ou em malha fechada (closed-loop

feedback) e controle sem realimenta¸c˜ao por rede ou em malha aberta (open-loop feedback).

A diferen¸ca entre as duas arquiteturas é muito simples: na primeira delas o controlador está conectado ao conjunto atuador-planta via rede; na segunda o controlador está conec-tado diretamente ao conjunto atuador-planta, e apenas o sinal de referência é enviado via rede.

Estudos utilizando arquiteturas sem realimenta¸cão via rede são mais comuns na litera-tura (Hespanha et al., 2007). Contudo, mesmo sendo mais simples do que arquitelitera-turas com realimenta¸cão via rede, arquiteturas sem realimenta¸cão via rede também capturam

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importantes caracter´ısticas de NCSs, como limita¸c˜ao de banda, atrasos e perda de pacotes. Uma abordagem de NCSs com arquitetura em malha aberta pode ser encontrada no estudo de Tipsuwan et al. (2009). No trabalho de Senol et al. (2011) ´e utilizada uma arquitetura do tipo malha fechada.

Um exemplo de arquitetura em malha fechada encontra-se ilustrada na Figura 2.1. J´a um exemplo de arquitetura do tipo malha aberta pode ser vista na Figura 2.3.

Rede

Planta1 PlantaN

Referˆencia1 ReferˆenciaN

Controlador1 ControladorN

Atuator Sensor Atuator Sensor

Figura 2.3: Arquitetura de NCS em malha aberta.

2.2 Linhas de Transmiss˜ao: Modelagem

O estudo de sistemas de controle vi rede envolve, essencialmente, duas bases teóricas. A primeira é a teoria de controle, que reúne modelos e ferramentas para constru¸cão de controladores, modelamento de plantas, especifica¸cão de sensores e atuadores. A segunda é a teoria de comunica¸cões que permite modelar os canais de transmissão de informa¸cão, estudar efeitos de perda de informa¸cão e a dinâmica durante a transmissão.

Para o presente estudo é muito importante estabelecer premissas sobre os canais de co-munica¸cão, assim como, problemas e restri¸cões associados à transmissão. Estas premissas são importantes para uma análise da aplicabilidade dos resultados a serem apresentados a sistemas de comunica¸cão reais.

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em algumas hipóteses. A primeira delas é que, por se tratar de um sistema de controle, informa¸cões antigas e desatualizadas não são relevantes e não são transmitidas pela rede, condi¸cão que foi abordada por Hespanha et al. (2007). No estudo de Zhang et al. (2013), os autores relatam que a maneira mais objetiva de evitar problemas como atrasos e perdas de pacotes é descartar informa¸cões antigas quando informa¸cões atualizadas já estiverem dispon´ıveis.

Por conta disto, a primeira considera¸cão sobre o modelo de linha de transmissão é que qual-quer sinal transmitido pela rede só é atualizado quando uma nova informa¸cão é enviada. Caso não haja envio de informa¸cões atualizadas, o sinal transmitido não sofrerá varia¸cão, permanecendo o último valor transmitido. Essa métrica de modelagem permite que atrasos por buffers na transmissão sejam ignorados e que o NCS se aproxime ao máximo de um sistema tempo real, uma vez que não é necessário sincronismo entre envio e recebimento de informa¸cões. A Figura 2.4 esquematiza como a informa¸cão mais recente é retida até que uma nova informa¸cão esteja dispon´ıvel.

Rede Planta

Retentor Amostragem

Controlador

Figura 2.4: NCSs com retentor de informa¸c˜ao acionado por transi¸c˜ao, segundo Hespanha et al. (2007).

Outra hipótese muito relevante para o modelamento da rede de transmissão é o conceito de amostragem. O tempo considerado como de amostragem é o per´ıodo necessário para que os sensores possam transformar um est´ımulo em um sinal. No presente trabalho, os tempos de amostragem são desconsiderados, uma vez que as tecnologias dispon´ıveis fornecem per´ıodos de amostragem muito pequenos se comparados com a dinâmica do canal de comunica¸cão. Por fim, a última hipótese considerada para o modelamento do canal de transmissão é o formato como a informa¸cão é transmitida. No contexto de redes é comum a utiliza¸cão de unidades de informa¸cão chamadas de pacotes. Estes pacotes são a unidade m´ınima fechada de informa¸cão que trafega na rede, e o seu formato e tamanho dizem quanta informa¸cão

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sobre sinais de controle est˜ao sendo entregues.

Para este trabalho, considera-se que um pacote consegue transmitir o valor de um dado sinal em um dado per´ıodo de amostragem e o instante de tempo de amostra (timestamp). Nas se¸cões seguintes serão apresentadas as estruturas de pacote e a forma como a in-forma¸cão é quantizada.

2.3 Atraso

Em sistemas de comunica¸cão o atraso é um fator muito importante. No contexto de siste-mas de controle via rede, o atraso torna-se uma questão central (Jungers et al., 2013). Em Tipsuwan et al. (2009), Senol et al. (2011) e Yan et al. (2013), o atraso de transmissão é o resultado de vários processos que ocorrem na rede, como aloca¸cão de banda, processo de agendamento, e atraso de transmissão e processamento de dados. Sob esta ótica, Zhang et al. (2013) define atraso em NCSs como a composi¸cão de tempos de processamento, disponibilidade de acesso, tempo de espera em fila na rede e tempo de transmissão do meio f´ısico.

Para o desenvolvimento do presente trabalho, o atraso captura apenas os tempos de trans-missão de informa¸cão, uma vez que pacotes desatualizados não são enviados. Considera-se que os tempos de processamento e transmissão no meio f´ısico são desprez´ıveis se compara-dos ao tempo de amostragem, e o atraso na linha de transmissão pela rede depende apenas da velocidade de transmissão da rede para envio de um pacote. Desta forma, a constante de atraso τ é o tempo despendido para enviar um pacote de um nó para outro na rede.

2.4 Perda de Pacotes

Qualquer canal de transmissão, simples ou elaborado, está sujeito a falhas de transmissão de informa¸cão. Em sistemas de transmissão digital a taxa de falha de bits é conhecida como BER (bit error ratio). A falha no envio de informa¸cões em redes pode se dar por colisão de sinais, falta de sincronismo entre emissor e receptor, entre outros fenômenos. Trabalhos como Zhang et al. (2013) e Hespanha et al. (2007) defendem que a perda de pacotes em uma NCS pode ser modelada como um processo aleatório (Papoulis and Pillai, 2002) de Bernoulli θ(i) ∈ {1,0}, ∀i ∈ N, onde θ(i) = 1 significa que o sinal yi enviado no instante i atingiu o seu destino com sucesso; θ(i) = 0, caso contrário. O processo aleatório

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20

de perda de pacotes utilizando BER ´e definido por

p = BER := P [θ_(i)= 0] ∈ [0,1), ∀i ∈ N,

sendo p a probabilidade de falha no envio de um dado bit.

2.5 Modelo Teórico e Ambiente de Simulação de NCSs

No presente estudo foi necessário estabelecer um modelo teórico de NCSs que capturasse todas as nuances abordadas nas se¸cões anteriores, permitindo assim a realiza¸cão de expe-rimentos para teste das hipóteses que serão apresentados oportunamente.

Primeiramente, seguindo a metodologia de desenho de experimento proposta em Creswell (2013), foram definidas as vari´aveis principais do estudo, resumidas no quadro a seguir.

Tabela 2.1: Vari´aveis estudadas.

Vari´avel Tipo da Vari´avel

Taxa de Amostragem/

Velocidade de Transmiss˜ao Controle Arquitetura do Sistema Controle Parˆametros de Controladores

e Plantas Controle

Aloca¸c˜ao de Banda Independente

Desempenho Dependente

Como trata-se de um experimento que procura estabelecer uma rela¸cão de causa e efeito, é importante definir quais são as variáveis independentes (aquelas que geram as causas) e as variáveis dependentes (aquelas que os efeitos podem ser observados). É importante também observar quais são as variáveis de controle, ou seja, parâmetros que devem ser controlados durante o experimento para que interfiram o m´ınimo na rela¸cão de causa e efeito das variáveis independentes e dependentes.

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Referência1 Referência2 Referência3 Controlador1 Controlador2 Controlador3 Rx T x Wireless Router Planta1 Planta2 Planta3

Figura 2.5: Modelo de NCS com arquitetura tipo malha aberta.

Referência1 Referência2 Referência3 Controlador1 Controlador2 Controlador3 Rx Rx T x T x Wireless Router Planta1 Planta2 Planta3

Figura 2.6: Modelo de NCS com arquitetura tipo malha fechada.

Nos modelos propostos, a rede modelada é do tipo sem fio. Em redes sem fio, a banda de transmissão é um recurso muito mais escasso do que em redes com fio. O wireless router, elemento responsável pela roteiriza¸cão de pacotes e aloca¸cão de banda, é o elo de liga¸cão entre os nós da rede.

A modelagem com arquitetura tipo malha aberta é inspirada na sugerida no estudo de Tipsuwan et al. (2009); a modelagem com arquitetura tipo malha fechada é uma extensão proposta pelo autor do presente estudo.

Nota-se que no modelo utilizando arquitetura malha aberta, o tr´afego de pacotes na rede segue um fluxo unidirecional (sempre da referˆencia para o conjunto controlador-planta).

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22

Em contra-partida, no modelo utilizando arquitetura malha fechada, o tr´afego de pacotes na rede ´e bidirecional.

No caso de tráfego bidirecional, o fato do meio f´ısico de transmissão ser compartilhado deve ser levando em conta. Não pode haver transmissão simultânea de pacotes na rede em dire¸cões opostas, mesmo que se considere para fins de modelagem que existem dois canais de transmissão, um para cada sentido de fluxo.

´

E importante frisar que essas hipóteses de estudo não devem ser generalizadas para quais-quer tecnologias de rede sem fio. É sabido que em diversas tecnologias sem fio, é poss´ıvel trabalhar com vários canais de transmissão, não sendo necessário o compartilhamento de meio f´ısico. Contudo, como o foco da presente pesquisa é a verifica¸cão do impacto de aloca¸cão de banda em sistemas com redes compartilhadas, hipóteses são feitas para evidenciar ao máximo limita¸cões quando é necessário o compartilhamento de recursos.

2.5.1 Planta e Estrutura de Controle

Como qualquer estrutura de controle, NCSs s˜ao compostas de sinais de referˆencia,

contro-ladores, atuadores e plantas. As entidades do problema de controle escolhidas no presente

estudo s˜ao inspiradas nas apresentadas por Tipsuwan et al. (2009) e Yan et al. (2013). Trata-se de um sistema de controle em que as plantas s˜ao motores DC (Maxon A-max

226802 ), que podem perfeitamente representar aplica¸cões práticas na ind´ustria, como po-sicionamento de eixos e velocidade de esteiras. A variável a ser controlada é a velocidade angular no eixo dos motores, medida em rad/s.

Os atuadores considerados são dispositivos que fazem a interface entre o controlador e a planta. Para o modelamento das plantas (motores DC), é utilizado o diagrama eletro-mecânico ilustrado na Figura 2.7.

+ − v R i L + − e _J T b ˙θ θ

J Momento de In´ercia do Eixo

b Atrito Viscoso

T Torque do Motor

θ Posi¸c˜ao Angular do Eixo do Motor

e For¸ca Contra-Eletromotriz

R Resistˆencia da Armadura

L Indutˆancia da Armadura Figura 2.7: Modelo do motor DC.

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Considerando kt a constante de torque do motor e ke a constante de for¸ca contra-eletromotriz, as equa¸cões dinâmicas do sistema são descritas a partir das rela¸cões básicas

T = kti, e = ki˙θ.

(2.1)

Combinando as expressões (2.1) com as equa¸cões elétricas e mecânicas do sistema, obtemos

J ¨θ + b ˙θ = kti, Ldi

dt + Ri = V − ke˙θ.

(2.2)

Tomando a transformada de Laplace de (2.2) e condi¸c˜oes iniciais nulas, tem-se que

s(Js + b)Θ(s) = ktI(s), (Ls + R)I(s) = V (s) − kesΘ(s), implicando que isΘ(s) = ktI(s) Js + b, V (s) = (Ls + R)I(s) + kesΘ(s). (2.3)

De posse da representa¸c˜ao dinˆamica do sistema, chega-se ao diagrama de blocos ilustrado na Figura 2.8, que relaciona velocidade angular referencial

ref

Ω_{(s) na entrada do atuador} com a sa´ıda da planta Ω(s), obtida como a derivada da posi¸c˜ao angular θ presente no modelo f´ısico abordado na Figura 2.7.

A(s) P (s)

ref

Ω_(s)

V (s) Ω_(s)

(24)

24

Na Figura 2.8, C(s) é o controlador do sistema, A(s) é o atuador e P (s) é a planta, no caso o motor DC, que recebe uma entrada em tensão (V ). O atuador tem o papel de elevar a potência do sinal de sa´ıda do Controlador (implementado digitalmente, por exemplo), podendo estar integrado ao hardware do motor ou não, e possui uma dinâmica que será usada mais adiante no projeto dos controladores. A fun¸cão de transferência da planta é

P (s) = Ω(s)

V (s) =

kt

(Js + b)(Ls + R) + kekt

. (2.4)

A fun¸cão de transferência do atuador é

A(s) = P (0) −1 cs + d = bR + kekt kt(cs + d) . (2.5)

Os parˆametros do motor DC considerado est˜ao indicados na Tabela 2.2, e foram extra´ıdos de Maxon Motor (2013).

Tabela 2.2: Parˆametros motor DC.

J 1,29 x10−6 _kg.m2 b 304,12 x10−6 _N.m.s/rad ke 12,20 x10−3 V.s/rad kt 12,20 x10−3 N.m/A R 490 mΩ L 44 µH

Para o controle da planta é utilizado um controlador proporcional-integral-derivativo, com filtro derivativo. O controlador tem sua fun¸cão de transferência dada por

C(s) = KP +KI

s +

KDp

1 +p_/_s, (2.6)

(25)

Neste estudo, o controlador é conectado à planta e sempre é utilizado um sinal de reali-menta¸cão. O sinal de realimenta¸cão pode vir diretamente do sensor da planta (arquitetura malha aberta) ou via rede (arquitetura malha fechada).

O diagrama esquemático do sistema controlador-atuador-planta com sinal de reali-menta¸cão é apresentado na Figura 2.9.

C(s) A(s)P (s)

ref

Ω_(s)

ǫ Ω(s)

+₋

Figura 2.9: Diagrama de blocos: Controlador-Atuador-Planta com realimenta¸c˜ao.

2.5.2 Redes: Modelo e Dinˆamica de Transmiss˜ao

No desenvolvimento desta pesquisa, a rede considerada é sem fio e centralizada. Isto sig-nifica que tanto a aloca¸cão de banda quanto o direcionamento de pacotes são feitos pelo

wireless router, e que todos os n´os da rede se conectam ao wireless router para ter acesso

aos demais n´os.

De forma geral, o wireless router determina a todo instante quais nós da rede se comuni-carão, e qual será o sentido desta comunica¸cão. Isto é chamado aloca¸cão de banda.

A rede de comunica¸cão é estruturada de forma que os nós se conectam em instantes nos quais existe aloca¸cão de banda para os mesmos. Quando isto ocorre, a informa¸cão transmitida passa por um canal modelado como uma linha de transmissão.

Supondo que exista aloca¸cão do canal de transmissão entre dois nós da rede, a informa¸cão que deixa o nó emissor chega ao nó receptor apenas após um certo tempo, se considerado o atraso de transmissão. Este atraso é dependente da velocidade de transmissão de dados da rede.

O atraso de transporte pode ser modelado pela seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia

(26)

26

onde τ é a contante de atraso em segundo, ou seja, o tempo transcorrido entre a informa¸cão deixar o nó emissor e chegar ao nó receptor.

Outra considera¸cão importante é que, devido às informa¸cões serem enviadas no formato de pacotes e de que informa¸cões desatualizadas não são transmitidas pela rede, a amostragem de informa¸cões no nó emissor acontece no mesmo per´ıodo determinado pelo atraso de transmissão. Esta dinâmica é abordada no estudo de Wang and Wang (2013).

Finalmente, o canal de comunica¸cão está sujeito a falhas de transmissão e a sua dispo-nibilidade pode ser modelada como uma variável aleatória Bernoulli. Esta variável tem probabilidade de falha igual a taxa de falha de transmissão (BER).

O modelo geral utilizado neste trabalho para o canal de comunica¸c˜ao da rede ´e mostrado no diagrama da Figura 2.10.

T x Rx

θ

ZOH e−τ s

Figura 2.10: Diagrama do canal de transmiss˜ao da rede.

Outro aspecto importante que deve ser considerado é a dinâmica do wireless router para as tarefas de aloca¸cão de banda e processamento de informa¸cões durante um per´ıodo, aqui denominado per´ıodo total de opera¸cão, TO.

Seguindo o modelo proposto por Tipsuwan et al. (2009), verifica-se a necessidade de comu-nica¸cão dos nós da rede com o wireless router para solicita¸cão de banda durante o per´ıodo total de opera¸cão. Esta tarefa acontece durante o per´ıodo de tomada de solicita¸cões, TP. Após o per´ıodo de tomada de solicita¸cões, o wireless router precisa de um tempo para processamento das solicita¸cões por meio do mecanismo de aloca¸cão de banda escolhido. Este per´ıodo é chamado per´ıodo de aloca¸cão, TA.

O restante do per´ıodo total de opera¸cão é usado para a comunica¸cão entre os nós da rede. Este per´ıodo é chamado per´ıodo de transmissão, TT. Neste trabalho, o per´ıodo de amostragem TS é o tempo considerado como janela m´ınima de aloca¸cão de banda utilizada no sistema.

(27)

Tempo[s]

TOi−1 TOi TOi+1

TP TA TT

Figura 2.11: Diagrama de tempo da NCS.

Valores t´ıpicos considerados para cada per´ıodo s˜ao indicados na Tabela 2.3.

Tabela 2.3: Per´ıodos de aloca¸c˜ao utilizados.

TO 0,500 s TP 0,030 s TA 0,005 s TT 0,465 s TS 0,005 s

Outros fatores importantes para a modelagem da dinâmica da rede são o formato dos pacotes e as taxas de transferência e falha de transmissão. A estrutura de pacote utilizada neste estudo é a mesma sugerida por Tipsuwan et al. (2009), com os 14 primeiros bytes usados como preâmbulo, seguido de 2 bytes indicando o in´ıcio do pacote, 2 bytes para o endere¸co e 4 bytes para os dados. O pacote é encerrado com 2 bytes CRC (Cyclic

Redundancy Check) para verifica¸c˜ao de erros. O tamanho total do pacote l ´e de 24 bytes,

como ilustra a Figura 2.12.

Preˆambulo In´ıcio Endere¸co Dados CRC

14 bytes 2 bytes 2 bytes 4 bytes 2 bytes

Figura 2.12: Formato do pacote de rede segundo Tipsuwan et al. (2009).

(28)

28

Tabela 2.4: Taxas utilizadas.

Taxa de Transferˆencia, γ 38.400 bits/s Taxa de Falha na Transmiss˜ao (BER) 10−5

Adotando a estrutura acima e sabendo que cada byte ´e composto de 8 bits, ´e poss´ıvel calcular a contante de atraso da rede τ como

τ = 8l

γ. (2.8)

2.5.3 Agendamento para Alocac¸˜ao de Banda em NCSs

Em NCSs o algoritmo de agendamento de transmissão de pacotes é tão importante quanto a quantidade de banda que se deve alocar a cada nó da rede. Como o foco do presente trabalho é verificar a eficiência de diferentes métodos na aloca¸cão de banda, o agendamento da banda alocada deve ser um parâmetro de controle do experimento.

A primeira premissa é a de que os pacotes podem ser agendados para transmissão apenas durante o tempo TT. Logo, durante o restante do per´ıodo TO não há agendamento. A fun¸cão agendamento de banda tem como argumento um vetor X, composto por compo-nentes xk, que representa a por¸cão de banda que será alocada para o conjunto controlador-planta k. A posi¸cão startP osition é o primeiro instante do tempo TT em que é poss´ıvel alocar banda para transmissão de pacotes; a posi¸cão endP osition é o ´ultimo instante. Os slots alocados para cada elemento k compõem o vetor Lk. O conjunto dos vetores Lk representa a aloca¸cão de banda agendada de tempo TT.

O algoritmo de agendamento utilizado neste estudo ´e uma varia¸c˜ao do algoritmo

(29)

Algoritmo 1 Agendamento de banda.

1: procedure BandwidthScheduling(X)

2: f irstP osition = startP osition

3: for each k in X do

4: #slots(k) = f loor((endP osition − startP osition − 1) ∗ x_k) 5: end for

6: for each k in X do

7: index = k Where x_k= max(X)

8: lastP osition = f irstP osition

9: while #slots(k) > 0 do

10: pointer = lastP osition

11: L_k← L_k+ {pointer} 12: #slots(k) ← #slots(k) − 1

13: lastP osition ← lastP osition +

P

kSize(#slots(k))−Size(#slots(k))

Size(#slots(k))

14: if lastP osition > endP osition then

15: lastP osition = f irstP osition

16: end if

17: end while 18: end for 19: end procedure

No caso de arquiteturas malha fechada aloca-se 1 slot adicional para cada conjunto controlador-planta referente ao sinal de realimenta¸c˜ao.

2.5.4 Aferic¸˜ao de Desempenho

A fixa¸cão de critérios de desempenho de NCSs é essencial para a avalia¸cão da eficiência dos métodos de aloca¸cão de banda estudados no presente trabalho.

O indicador básico de desempenho em sistemas de controle é o erro, expresso pela diferen¸ca entre o sinal de referência r(t) e sinal de sa´ıda da planta y(t), sendo

e(t) = r(t) − y(t). (2.9)

(30)

30

integra¸c˜ao T dada por

¯ V = T R 0|r(t) − y(t)| dt T . (2.10)

Outro parâmetro de erro importante é a integral do tempo multiplicada pelo valor do erro absoluto eIT AE, que é dado por

eIT AE= T

Z

0

t | e(t) | dt. (2.11)

Por fim, estabelece-se o parâmetro final de desempenho ¯Q, dado pela média da somatória

dos ¯Vks de todos os agentes do NCS durante todo o per´ıodo de simula¸c˜ao Ttotal, sendo

¯ Q = Ttotal R 0 P k ¯ Vk(t) ! dt Ttotal . (2.12)

Quanto maior ¯Q, pior o desempenho do sistema.

2.5.5 Ambiente de Simulac¸˜ao

Nesta pesquisa, a ferramenta escolhida para a simula¸cão é o software Matlab R2013a e sua extensão Simulink. Foram implementadas duas versões do ambiente de simula¸cão, cada uma delas referente a uma arquitetura de NCS (malha aberta e malha fechada). Todos os blocos foram desenvolvidos pelos autores, e os diagramas esquemáticos das implementa¸cões são mostrados nas Figuras 2.13 e 2.14.

São considerados para os experimentos realizados no presente trabalho sinais de referência senoidais rk descritos por 2 + sin(αkt/_T_S), com diferentes frequências αkt/_T_S, onde T_S é a

frequência de amostragem da NCS. Os valores de αk para cada subconjunto referência, controlador, atuador e planta k (k = 1,2,3) foram 0,1, 0,01 e 0,001. Cada experimento realizado consiste em arbitrar anteriormente um método de aloca¸cão de banda e executar a simula¸cão durante um tempo de 10 segundos.

(31)

(32)

32

(33)

Verifica-se que cada parte do sistema modelado utilizando os conceitos apresentados ante-riormente é representada por blocos. De maneira genérica, os sinais de referência gerados são enviados aos conjuntos controlador-planta utilizando a rede, neste caso representada pelo bloco Wireless Router.

O desempenho individual dos conjuntos controlador-planta é aferido, assim como o desem-penho geral. Os mesmos blocos de aferi¸cão de desemdesem-penho fornecem dados para o bloco de implementa¸cão do algoritmo de aloca¸cão de banda.

O Wireless Router captura o modelo utilizado para a rede e implementa a aloca¸cão de banda. O seu funcionamento consiste em estabelecer conexão entre as respectivas entradas e sa´ıdas através da rede durante o tempo de simula¸cão, respeitando a aloca¸cão de banda estabelecida. É ilustrado na Figura 2.15 o seu diagrama esquemático para a arquitetura malha aberta, e na Figura 2.16 o elemento Router, que roteiriza os pacotes na rede.

(34)

34

Figura 2.16: Router.

A implementa¸cão da linha de transmissão modelada na Se¸cão 2.5.2 é mostrada na Figura 2.17.

Figura 2.17: Implementa¸c˜ao da linha de transmiss˜ao.

Para a arquitetura malha fechada, utilizam-se os mesmos conceitos apresentados anteri-ormente. Porém, neste caso, existe troca de informa¸cões em ambos os sentidos. Detalhes são mostrados nos diagramas esquemáticos das Figuras 2.18 e 2.19.

(35)

Figura 2.18: Wireless Router (malha fechada).

(36)

36

Para a verifica¸cão e cálculo dos ´ındices de desempenho, foi criado o bloco da Figura 2.20, que é replicado para cada um dos agentes.

Figura 2.20: Verifica¸c˜ao de parˆametros de desempenho.

Para as simula¸cões da presente pesquisa, foi considerado que no primeiro per´ıodo total de opera¸cão TO não deve haver cálculo dos parâmetros ¯Vks e ¯Q. Esta defini¸cão foi tomada para evitar que os ´ındices de desempenho sejam sensivelmente afetados durante o per´ıodo transitório inicial da simula¸cão.

(37)

Por fim, o bloco responsável pela aloca¸cão da banda para cada um dos agentes é mostrada na Figura 2.21.

Figura 2.21: Bloco de aloca¸c˜ao de banda.

Para as simula¸cões da presente pesquisa, também foi considerado que no primeiro per´ıodo total de opera¸cão TOo método de aloca¸cão de banda utilizado deve ser a divisão igualitária de banda, a ser abordada na Se¸cão 4.3. Isto porque nos primeiros instantes não existem informa¸cões de realimenta¸cão satisfatórias que serão os subs´ıdios dos métodos de aloca¸cão de banda.

(38)

38 Iniciar simula¸cão i = 1 tempo ≤ i.TO i = +1 Método de Aloca¸cão de Banda Aloca¸cão de Banda Agendamento de Banda

Encerrar simula¸c˜ao Tempo encerrado?

n˜ao sim

sim

n˜ao

(39)

Cap´ıtulo 3

Elementos da Teoria dos Jogos e

Barganha de Nash

A Teoria dos Jogos (Osborne and Rubinstein, 1994) é um campo de estudo que aborda pro-blemas de tomada de decisão por múltiplos decisores. Cada tomador de decisão, também chamado de jogador ou agente, dispõe de um conjunto de a¸cões e a combina¸cão das a¸cões dos diferentes jogadores determina o resultado do jogo. Para cada um dos poss´ıveis resul-tados existe um retorno espec´ıfico para cada jogador.

Os jogadores têm interesses próprios e são considerados racionais, isto é, levam em consi-dera¸cão as condi¸cões do meio, as estratégias dos demais jogadores e as suas preferências para sua tomada de decisões

A Teoria dos Jogos ´e utilizada em uma ampla variedade de ´areas de conhecimento, como por exemplo em Economia, Pol´ıtica, Biologia, Sociologia e Engenharia.

3.1 Preferˆencias e Utilidades

Para detalhamento dos modelos propostos, o mecanismo de tomada de decisão de jogado-res racionais precisa ser explicitado. Cada jogador dispõe de estratégias para tomada de decisão, e estas estratégias são baseadas em suas preferências e expectativas.

Contudo, expressar todas estas informa¸cões em um modelo teórico é uma tarefa complexa. Por este motivo, é institu´ıdo um mecanismo que relaciona as a¸cões do jogador ao conjunto de suas preferências.

(40)

40

interferir na tomada de decisão do jogador. Preferência é expressa como uma rela¸cão binária entre poss´ıveis resultados do jogo. Não é importante saber o que levou um jogador a preferir um resultado a outro, e sim saber qual a¸cão será tomada com o intuito de se atingir um resultado de maior preferência.

O conceito básico de preferência pode ser interpretado como um operador comparativo entre duas alternativas, retornando qual é prefer´ıvel a outra. Dado um conjunto X de poss´ıveis resultados de um jogo e um jogador qualquer k, as preferências podem ser ex-pressas de duas formas distintas:

i Preferˆencia estrita: x1≻kx2; ii Preferˆencia fraca: x1k x2.

A diferen¸ca básica entre preferência estrita e fraca é que na preferência fraca pode haver indiferen¸ca entre as op¸cões. Na preferência estrita, não existe qualquer possibilidade de indiferen¸ca.

Duas hip´oteses sobre preferˆencias devem ser observadas:

i Sem Efeito de Ordem: A preferˆencia deve se manter independente da ordem em que as a¸c˜oes aparecem:

x1≻k x2 ≡ x2≺kx1.

ii Transitividade: A associa¸c˜ao de diferentes preferˆencias sempre deve ser consistente e verdadeira:

Se x1≻kx2 e x2≻kx3 ⇒ x1≻kx3.

3.1.1 Utilidades

Uma vez definido o conceito de preferência, é simples perceber que à medida que o número de jogadores cresce e os poss´ıveis resultados de suas a¸cões também, o conjunto de com-para¸cões uma-a-uma fica muito grande. Por este motivo, é conveniente definir uma Fun¸cão Utilidade, que explicita todas as preferências sobre os poss´ıveis resultados. Tal fun¸cão é definida por

(41)

Entende-se que a fun¸cão utilidade uk(x1) do jogador k para um dado resultado x1 é superior a uk(x2) para um resultado x2 quando existe preferência pelo resultado x1 ao x2, ou seja

x1 x2 ⇒ uk(x1) ≥ uk(x2).

Como utilidades são fun¸cões que projetam as preferências de cada jogador, estas fun¸cões têm comportamento ordinal e não são únicas.

Fun¸cões utilidade devem respeitar todas as hipóteses sobre preferências. No caso espec´ıfico de transitividade, o Teorema de Debreu estabelece que

x1 x2 e x2 x3,

⇒ uk(x1) ≥ uk(x2) ≥ uk(x3).

(3.1)

3.2 Formulac¸˜ao do Jogo

A formula¸cão matemática de um jogo parte de um conjunto de M jogadores, N = {1,2,...,M }, sendo k ∈ N um jogador genérico. O conjunto dos poss´ıveis resultados do jogo é representado pelo produto cartesiano X = M_k=1Xk, e o conjunto de a¸cões dos jogadores é representado produto cartesiano A =M_k=1Ak, onde Xk e Ak são os conjuntos de resultados e a¸cões do jogador k.

Os jogadores interagem para a obten¸c˜ao de um resultado contido em X, fazendo escolhas contidas em A. O jogo ´e definido formalmente como

g : A → X; uk : X → IR.

(3.2)

Existem basicamente duas abordagens para jogos: Jogos na forma normal e jogos na forma extensa. A abordagem normal de um jogo pressupõe que os jogadores definem suas escolhas e as apresentam simultaneamente, gerando um único resultado. Não existe altera¸cão da a¸cão de um jogador devido à a¸cão de algum outro jogador ou um fator dinâmico de ofertas e contra-ofertas.

(42)

42

A abordagem de jogos na forma extensa prevê uma intera¸cão dinâmica entre os jogadores. O jogo é desenrolado em rodadas, ao longo das quais os jogadores podem fazer escolhas. Neste cenário, as escolhas dos outros jogadores e o histórico do jogo são levados em conta.

3.3 Jogos n˜ao Cooperativos

Jogos também podem ser classificados de acordo com a sua natureza e, um dos tipos denomina-se Jogos não Cooperativos. Nestes jogos os jogadores fazem suas escolhas de forma individualizada, visando unicamente maximizar suas fun¸cões utilidades.

3.3.1 Equil´ıbrio de Nash

O Equil´ıbrio de Nash (Nash equilibrium, NE, em inglês) é um conceito muito importante em Teoria dos Jogos. Este tipo de equil´ıbrio pode proporcionar resultados inferiores a outros equil´ıbrios, mas é fundamental, pois leva em conta comportamentos auto-centrados nos jogadores.

No contexto de jogos não cooperativos, a existência de equil´ıbrios de Nash revela preciosas informa¸cões sobre o jogo.

Um conjunto de resultados x∗_{= (x}∗

1, x∗2, ..., x∗M) com x∗k ∈ Xk, ´e um NE do jogo se

uk(x∗1, x∗2, ..., xk−1∗ , x∗k, x∗k+1, ..., x∗M) ≥ uk(x∗1, x∗2, ..., xk−1∗ , xk, x∗k+1, ..., x∗M) ∀xk ∈ Xk, ∀k ∈ N.

(3.3)

De forma simplificada, o equil´ıbrio de Nash ´e tal que nenhum dos jogadores possui incentivo para se desviar unilateralmente do equil´ıbrio.

Um jogo qualquer em sua forma normal possui um NE se para todos k ∈ N , o conjunto de resultados Xk do jogador k for n˜ao-vazio, compacto, convexo e subconjunto do espa¸co Euclidiano, e a sua fun¸c˜ao utilidade uk for cont´ınua e quasi-concava em Xk (Wang et al., 2010).

(43)

3.3.2 Pareto-otimalidade

Uma vez definido o equil´ıbrio de Nash, é interessante verificar outras formas de equil´ıbrio existentes em Teoria dos Jogos. Mais do que isso, um questionamento importante a se fazer é se estes outros equil´ıbrios oferecem resultados superiores ou inferiores aos do NE. Em um equil´ıbrio Pareto- Ótimo (PO), nenhum jogador pode tomar um perfil estratégico diferente do equil´ıbrio para aumentar sua utilidade sem diminuir a utilidade de pelo menos um dos jogadores.

Seja U ⊆ IRN um conjunto. Então u ∈ U é Pareto- Ótimo Fraco se não existir u′_{∈ U para}

qual u′

k > uk para todo k ∈ N ; u ∈ U é Pareto- Ótimo se não existir u′ ∈ U para qual u′

k≥ uk para todo k ∈ N e u′k > uk para ao menos um k ∈ N (Wang et al., 2010).

Em geral, o equil´ıbrio PO é superior ao NE. Entretanto, em um ambiente não coopera-tivo, jogadores são frequentemente levados por estratégias auto-centradas e fazem escolhas visando aumentar apenas sua própria utilidade. Este tipo de comportamento, nessas si-tua¸cões, acaba convergindo o resultado do jogo para um equil´ıbrio inferior, como é o caso do NE.

3.4 Jogos Cooperativos

Ao contrário dos jogos não cooperativos, os Jogos Cooperativos são aqueles nos quais os jogadores formam coalizões visando atingir um resultado comum. Jogos cooperativos são mais frequentes quando existem agentes de sinaliza¸cão, mediadores ou partes externas para aux´ılio à tomada de decisões.

3.4.1 Barganha de Nash

Dentre os jogos cooperativos, existe uma classe denominada Jogos de Barganha. Neste tipo de jogo, os jogadores buscam uma solu¸c˜ao proveniente de um acordo, que deve ser tomado em consenso entre todos os jogadores, mesmo estes tendo interesses conflitantes.

Esta abordagem foi proposta em Nash (1950) para modelar problemas como, por exemplo, de negocia¸cão entre um único comprador e um único vendedor, de comércio entre duas na¸cões e de negocia¸cão entre empregador e sindicato. A estrutura proposta de jogo é muito similar à apresentada nas se¸cões anteriores e será a adotada neste trabalho.

(44)

44

Em Nash (1950), agrega-se ao conjunto de resultados X um ponto de discórdia D, que representa os resultados dos jogadores caso não seja atingido um consenso ao fim do jogo. Então, defini-se

d = (u1(D), u2(D), ..., uM(D)),

S = {(s1, s2, ...., sM) : s1= u1(x),s2= u2(x), ..., sM = uM(x)|x ∈ X}.

(3.4)

Logo, os resultados da Barganha de Nash podem ser representados como pares hS,di. Para estabelecer uma solu¸cão anal´ıtica para a Barganha, Nash (1950) propôs uma abor-dagem axiomática, isto é, baseada na defini¸cão de axiomas. Quando tais axiomas são cumpridos, a solu¸cão anal´ıtica do problema é garantida.

A abordagem parte de um modelamento do jogo na forma normal, ou seja, o jogo não é visto como um processo dinâmico, e independente da negocia¸cão que ocorra entre os jogadores, o resultado é pré-determinado, dadas as utilidades de cada um deles.

Nash (1950) prop˜oe quatro axiomas para estabelecer condi¸c˜oes de imparcialidade, ou

fair-ness, que s˜ao enumeradas a seguir.

I INV (Independência a Transformações Lineares): Dada uma transforma¸cão linear

φ : IRN → IRN, φ(s) = s′_{, com s}′

k = αksk+ βk, αk > 0, então φ(hS, di) = hφ(S), di; II SYM (Simetria): O problema da barganha é simétrico, ou seja, (s1,s2) ∈ S ⇔ (s2,s1) ∈

S, e se d1= d2, ent˜ao s∗1= s∗2;

III IIA (Alternativas Irrelevantes): Se existe uma solu¸c˜ao para a Barganha de Nash

s∗_{∈ S ⊂ T , ent˜ao hS, di = hT, di;}

IV PAR (Pareto-otimalidade): Este axioma garante que a solu¸cão da Barganha de Nash é Pareto- Ótima.

Respeitando todos os quatro axiomas, a solu¸cão da Barganha de Nash existe, é única e expressa por fN(S, d) = arg max M Y k=1 (sk− dk). (3.5)

(45)

A rela¸cão (3.5) é conhecida como Solu¸cão da Barganha de Nash, ou Nash Bargaining

Solution (NBS). Segundo a an´alise de Ya¨ıche et al. (2000), o Axioma I da solu¸c˜ao da

Barganha de Nash implica que ela é invariante a fatores de escala, ou seja, a solu¸cão da barganha não é alterada se houver transforma¸cões lineares nas fun¸cões utilidades do problema.

Ainda segundo Ya¨ıche et al. (2000), o Axioma III garante que a solu¸cão da barganha não é afetada pelo crescimento do conjunto de escolhas se a solu¸cão puder ser encontrada em um subconjunto mais restrito. Por fim, o Axioma II garante que a solu¸cão da barganha não depende de classifica¸cões, ou seja, jogadores com as mesmas preferências e utilidades obterão os mesmos resultados.

s1

s2

Q2

k=1sk

hS,di

Figura 3.1: NBS para um jogo de dois jogadores com dk = 0 para ambos segundo Nash (1950).

A interpreta¸cão gráfica para a NBS em um jogo de dois jogadores é ilustrada na Figura 3.1.

A NBS ´e bem definida, uma vez que QM

k=1(sk − dk) é estritamente quasi-côncava em {s ∈ S : sk > dk ∀k ∈ N }, em um conjunto S não-vazio, espa¸co compacto e convexo. Essas propriedades garantem que a solu¸cão do problema de maximiza¸cão existe e é única.

(46)

46

Cap´ıtulo 4

Alocac¸˜ao de Banda em NCSs via Teoria

dos Jogos

Neste cap´ıtulo diferentes metodologias de aloca¸c˜ao de banda em NCSs utilizando Teoria dos Jogos s˜ao apresentadas e os seus resultados comparados.

4.1 An´alise de Sistemas de Controle via Rede

Quando sistemas de controle são implementados utilizando redes, o per´ıodo de amostragem e comunica¸cão entre componentes torna-se uma questão muito importante. Segundo Gene F. Franklin and Workman (1998), a sele¸cão da melhor taxa (ou taxas) de amostragem para um sistema de controle digital é um compromisso. Em geral, à medida que a taxa cresce, o desempenho do sistema também é melhorado. Contudo, o custo de uma elevada taxa de comunica¸cão/amostragem é, no caso geral, grande.

Desta forma, é importante conhecer os limites m´ınimos para as taxas de transmissão e como estes irão interferir no desempenho geral do sistema. Ainda em Gene F. Franklin and Workman (1998), um importante conceito é estabelecido, no formato de um teorema de taxa m´ınima de amostragem. Este teorema estabelece que a taxa de amostragem de um sistema de controle, ωs, deve ser, no m´ınimo, duas vezes maior que a faixa de passagem do sistema em malha fechada, ωb:

ωs

(47)

´

E importante frisar que este teorema é válido para sistemas de controle em malha fechada, e ele estabelece um limite m´ınimo de opera¸cão. Atender a este requisito não garante bom desempenho de sistemas de controle, em geral.

A faixa de passagem de sistemas de controle em malha fechada ωbé a faixa de frequências em que as componentes dos sinais de referência são transmitidas, sem sofrer atenua¸cão significativa. Fora da faixa de passagem, essas componentes são atenuadas e não são re-produzidas.

Para considera¸cões de projetos de sistemas de controle, procura-se estabelecer uma taxa de amostragem que seja no m´ınimo cerca de vinte vezes a faixa de passagem do sistema. Esta precau¸cão ajuda a minimizar poss´ıveis efeitos indesejados do sistema de controle, e garantir que a resposta do sistema seja coerente, inclusive para sinais com componentes próximas ao limite da faixa de passagem do sistema, ou seja

ωs ωb

≥ 20. _(4.2)

Para este trabalho, o per´ıodo de transmissão TT, estabelecido na se¸cão 2.5.2, é o tempo dis-pon´ıvel para troca de informa¸cões entre a referência, o controlador e a planta. Este per´ıodo é de 465ms, com per´ıodos de amostragem TS de 5ms. A resultante é uma frequência de amostragem de 186Hz. Porém, essa é a frequência máxima, considerando a disponibilidade de 100% da banda dos canais de transmissão.

Caso apenas parte da banda total dispon´ıvel seja alocada, a frequência de amostragem diminui à mesma propor¸cão. Em outras palavras, se houver apenas metade da banda dispon´ıvel, os per´ıodos de amostragem serão intercalados produzindo um novo per´ıodo de amostragem de duas vezes o tamanho inicial.

4.1.1 Projeto de Controladores

Sabendo que existe um compromisso entre faixa de passagem ωb e frequência de amostra-gem ωs, é necessário projetar os controladores considerando esta restri¸cão. Para o presente trabalho foi utilizado como ferramenta de projeto o pacote Control Design do Matlab

Simulink.

As premissas levadas em conta para os projetos dos controladores foram estabelecer siste-mas de controle que ofere¸cam melhor tempo de resposta, com caracter´ısticas pr´oxisiste-mas ao

(48)

48

amortecimento cr´ıtico, mantendo a faixa de passagem de cada sistema inferior a 20% da banda total dispon´ıvel, ou seja, 37,2Hz.

Devido a caracter´ısticas únicas dos sistemas com arquiteturas em malha aberta e ma-lha fechada, foram realizados dois projetos de controladores distintos. Na Tabela 4.1 são detalhados os parâmetros para o sistema em arquitetura malha aberta.

Tabela 4.1: Parˆametros de controle para a arquitetura em malha aberta.

c 0,15 d 0,005 kP 11,9344242546087 kI 6,98986061147283 kD -0,0815867806841934 p 94,8169346818867

Na Figura 4.1, pode-se verificar o diagrama de Bode do sistema, com faixa de passagem de 16,0269Hz. Frequencia (Hz) 10−2 10−1 100 101 102 −270 −180 −90 0 Fase (deg) −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10

From: Reference 1 To: Atuator Plant

Modulo (dB)

(49)

Na Tabela 4.2 s˜ao detalhados os parˆametros para o sistema em arquitetura malha fechada.

Tabela 4.2: Parˆametros de controle para a arquitetura em malha fechada.

c 5,00 d 1,00 kP 164,261195587973 kI 44,2763862660548 kD -0,698624217804962 p 30,7692307692308

O diagrama de Bode para o sistema com arquitetura em malha fechada pode ser verificado na figura 4.2. A faixa de passagem deste sistema ´e de 6,0558Hz.

Frequencia (Hz) 10−2 10−1 100 101 102 −225 −180 −135 −90 −45 0 Fase (deg) −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10

From: Reference 1 To: Atuator Plant 4

Modulo (dB)

Figura 4.2: Diagrama de Bode para o sistema projetado na arquitetura em malha fechada.

Visando estabelecer parâmetros m´ınimos de aloca¸cão de banda que serão adotados nas próximas se¸cões deste trabalho, é definida uma quantidade de banda m´ınima alocada por jogador xmin

(50)

50

Para a arquitetura em malha aberta, basta garantir um per´ıodo de amostragem m´ınimo superior a duas vezes o valor da faixa de passagem, conforme estabelece (4.1).

Contudo, para a arquitetura em malha fechada é necessário considerar que o per´ıodo m´ınimo de amostragem deve abranger os dois sentidos de troca de informa¸cão pela rede, tanto para o sinal de referência quanto para a realimenta¸cão. Com o intuito de viabilizar pelo menos um ciclo completo de controle durante o per´ıodo de amostragem, como é feito na arquitetura em malha aberta, considera-se que o per´ıodo m´ınimo de amostragem na arquitetura em malha fechada deve contemplar dois envios de sinais de referência e dois envios de sinais de realimenta¸cão, intercalados.

Isto permite que a referência enviada pelo controlador seja executada pelo conjunto atuador-planta, que a realimenta¸cão do sinal de sa´ıda da planta seja enviada novamente ao controlador, que o erro entre referência e realimenta¸cão seja calculado, que um novo sinal de referência do controlador seja enviado e, por fim, que um sinal de realimenta¸cão da planta já corrigido retorne ao controlador.

Mais uma vez considerando (4.1), ´e necess´ario garantir um per´ıodo de amostragem oito vezes o valor da faixa de passagem do sistema para a arquitetura em malha fechada. Os valores de banda m´ınima xmin

k considerados para os sistemas de controle projetados neste trabalho em malha aberta e malha fechada s˜ao, respectivamente, 0,172366 e 0,260645.

4.2 O Problema de Alocac¸˜ao de Banda em NCSs

Para o melhor estudo e entendimento do problema de divisão de banda em NCSs, primeira-mente é necessário formulá-lo explicitaprimeira-mente. Cada subconjunto k composto por referência, controlador, atuador e planta é considerado um elemento, ou jogador. O conjunto de todos os subconjuntos ou jogadores da NCS é chamado de N .

Estes jogadores irão competir por uma quantidade finita de banda em cada per´ıodo total de opera¸cão TO, e ao fim do per´ıodo de aloca¸cão TA, será atribu´ıdo a cada um deles uma parcela da banda total. A parcela atribu´ıda a cada jogador k é xk∈ [0, 1], tal que

x = [x1, x2, ..., xk, ..., xM −1, xM], M X k=1 xk≤ 1 xk ≥ 0, k =1, 2, ..., M. (4.3)

(51)

O conjunto de todos os poss´ıveis resultados do jogo, ou distribui¸c˜oes de banda, ´e chamado de X.

Este jogo ´e repetido para todo per´ıodo total de opera¸c˜ao TO.

4.3 Alocação de Banda Utilizando Divisão Igualitária

O primeiro método de aloca¸cão de banda considerado no presente trabalho é o método de divisão Igualitária. Este método consiste em dividir a banda dispon´ıvel igualmente entre todos os jogadores, sendo

xk= 1

M k = 1, 2, ..., M. (4.4)

Este é um critério que utiliza uma abordagem estática para a divisão de banda entre os jogadores, desconsiderando caracter´ısticas dinâmicas do sistema, e por se tratar de um jogo com apenas 3 jogadores, o critério de banda m´ınima abordado anteriormente é satisfeito para ambas as arquiteturas (malha aberta e fechada).

Os resultados individuais de todos os métodos abordados no presente trabalho serão apre-sentados da mesma forma. Os resultados de cada experimento, sendo eles com um método e uma arquitetura espec´ıficos, trarão uma figura para cada jogador, onde poderá ser ob-servado o sinal de referência r(t) (linha sólida) e o sinal da planta y(t) (linha tracejada), o sinal do controlador c(t) (linha tracejada) e o erro e(t) (linha sólida), o ´ındice de desempe-nho ¯V e a parcela de banda. Quanto maior o ´ındice de desempenho ¯V , pior o desempenho

do sistema. Todos estes resultados são apresentados como curvas nas quais o eixo das abscissas é o tempo de simula¸cão e estes são sobrepostos de modo que todas as curvas possam ser comparadas.

Os resultados gerais da simula¸cão são apresentados em formato de tabela e em uma figura. Estes resultados trazem informa¸cão de todos os jogadores (jogador 1 em linha sólida, jogador 2 em linha tracejada e jogador 3 em linha pontilhada) e permite uma compara¸cão entre eles. Poderá ser observado os ´ındices de desempenho ¯V , a integral do erro absoluto

multiplicado pelo tempo eIT AE e o parˆametro final de desempenho ¯Q. Para todos estes indicadores, quanto maior s˜ao os valores observados, pior o desempenho do sistema.

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52

Os resultados experimentais utilizando o método de divisão igualitária para a arquitetura malha aberta são ilustrados nas Figuras 4.3, 4.4 e 4.5.

0 2 4 6 8 10 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 [r d/s ] r(t) y(t) 0 2 4 6 8 10 −5 0 5 10 15 20 [r d/s ] c(t) e(t) 0 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 V 0 2 4 6 8 10 Tempo [s] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Parcela de Banda Jogador 1

Figura 4.3: Resultados de simula¸cão para o jogador 1 utilizando divisão igualitária em arquitetura malha aberta.