UMA PROPOSTA DE UTILIZAÇÃO DA ACÚSTICA MUSICAL NO
ENSINO DE FÍSICA
A PROPOSAL OF UTILIZATION OF THE MUSICAL ACOUSTICS IN
THE PHYSICS THEACHER
Monique Osório Talarico da Conceição1, Maria Lúcia Netto Grillo2, Luiz Roberto Perez Lisbôa Baptista3, Vanessa Rodrigues da Conceição4, Júlia de
Figueiredo Gschwend5
1Universidade do Estado do Rio de Janeiro/Departamento de Eletrônica Quântica/[email protected]
2Universidade do Estado do Rio de Janeiro/Departamento de Eletrônica Quântica/[email protected] 3Universidade do Estado do Rio de Janeiro/Departamento de Eletrônica
Quântica/afisicanamusica.googlepages.com/home
4Universidade do Estado do Rio de Janeiro/Departamento de Eletrônica Quântica/[email protected]
5Universidade do Estado do Rio de Janeiro/Departamento de Eletrônica Quântica/[email protected]
Resumo
Usando a interdisciplinaridade Física-Música, abordamos conceitos relacionados à Física Ondulatória, como a reflexão, a interferência e outros que poderiam ser associados à geração e propagação do som por instrumentos musicais. Além disto, exploramos conceitos de teoria musical que podem ser explicados a partir da Física e da Matemática, como altura, intensidade, timbre e duração, que são relacionados, respectivamente, à freqüência, amplitude, superposição de ondas (diferentes componentes de Fourier) e tempo. Utilizamos alguns instrumentos de música para obter espectros que relacionam as freqüências de ressonância com a intensidade das ondas sonoras emitidas por eles. A partir desta abordagem, visamos atender tanto a alunos de graduação quanto a professores de Ensino Médio de Física, que podem utilizar este trabalho para adquirir novos conhecimentos ou aprofundá-los. Quanto aos professores, a intenção é que eles possam transpor para os seus alunos essa abordagem interdisciplinar, no intuito de motivar, um pouco mais o interesse dos alunos pelo estudo da Física.
Palavras-chave: Física, Acústica Musical, Ensino Médio, Experimentos.
Abstract
Using the interdisciplinarity Physics-Music, we approach concepts related to the Wave Physics, as the reflection, refraction, the interference and others that could be associated to the generation and propagation of the sound for musical instruments. Moreover, we explore concepts of musical theory that can be explained from the Physics and from the Mathematics, as height, intensity, quality and duration, who are related, respectively, to the frequency, amplitude, overlapping of waves (different components of Fourier) and time. We have used some instruments of
music to get specters that relate the frequencies of resonance with the intensity of the sonorous waves emitted by them. Ours main target are the professors of Average Education of Physics and their students, who can use this experiments to acquire new knowledge or to deepen them. From the point of view of the professors, the intention is that they can transpose for its pupils this boarding to interdisciplinary, in intention to motivate, a little more the interest of the pupils for the study of the Physics.
Keywords: Physics, Musical Acoustics, High School, experiments. Introdução
Na busca de ter mais alunos interessados em estudar Física, pois a realidade mostra que a Física é apontada pelos alunos como uma das disciplinas mais desinteressantes, projetos interdisciplinares são utilizados na tentativa de estudar a Física “escondida” por trás de assuntos que são de interesse dos alunos ou que fazem parte do cotidiano deles.
A relação Física-Música é bastante rica no sentido de poder explorar vários conceitos importantes da Física através do estudo da música. Perguntas como: “o que diferencia cada nota musical?” podem ser facilmente respondidas depois de um estudo sobre ondas e acústica. Essas e outras perguntas muitas vezes fazem parte do interesse dos alunos. E é na busca por esse interesse que utilizamos nesse trabalho a música como o agente motivador no ensino da Física.
O estudo das ondas é de extrema importância para a Física, pois abrange diversas áreas. Mesmo possuindo complexidades em alguns princípios físicos do movimento ondulatório, esses fenômenos por serem tão presentes no cotidiano de qualquer pessoa podem ser compreendidos, ainda que somente os seus conceitos, (sem a parte matemática) pela comunidade em geral. Ondas aquáticas, ondas sonoras, ondas luminosas são alguns dos exemplos de ondas que, freqüentemente, estão ao nosso redor.
Partindo das características do som percebidas ao ouvir uma música, pretendemos mostrar que podemos ensinar o movimento ondulatório, e assim atingir grande parte da Física. Isso é possível porque o som é uma onda e os movimentos ondulatórios perpassam diferentes áreas. Mesmo sendo tão diferentes todos os tipos de ondas são expressos pelo mesmo modelo matemático. As características dos sons musicais podem ser analisadas qualitativamente, de acordo com a percepção como: altura, intensidade, timbre e duração e quantitativamente, de acordo com as características físicas: freqüência, amplitude, superposição de ondas (diferentes componentes de Fourier) e tempo. É possível analisar cada um desses temas a partir de instrumentos musicais, tendo, assim, uma abordagem mais prática.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN’s, são os norteadores oficiais de projetos voltados para o Ensino Médio, e os PCN+’s são orientações educacionais complementares e relatam ser uma das competências da disciplina Física (MEC, 2002):
compreender a Física como parte integrante da cultura contemporânea, identificando sua presença em diferentes âmbitos e setores, como por exemplo, nas manifestações artísticas ou literárias, em peças de teatro,
letras de música, etc., estando atento à contribuição da ciência para a cultura humana
Os PCN+’s propõem ainda a divisão da Física em seis temas estruturadores, que visam organizar o ensino da disciplina. Destacamos o Tema 3 – Som, imagem e informação, que possui uma unidade temática coerente com o nosso trabalho. Ela sugere que as fontes sonoras sejam abordadas a fim de:
- identificar objetos, sistemas e fenômenos que produzem sons para reconhecer as características que os diferenciam;
- associar diferentes características de sons a grandezas físicas (como freqüência, intensidade, etc.) para explicar, reproduzir, avaliar ou controlar a emissão de sons por instrumentos musicais ou outros semelhantes
Vamos explorar a nossa proposta de ensino de Física em conjunto com a Música, a partir de um resumo da análise, que é feita normalmente na graduação de Física, dos fenômenos ondulatórios. Porém, pretendemos abordar este conteúdo através de uma linguagem que seja útil aos professores que levarão a proposta para as escolas, mas também para alunos que estão no início da graduação e que tenham interesse em aprofundar o que aprenderam sobre o tema no Ensino Médio.
Ondas
A onda é uma perturbação qualquer sobre uma condição de equilíbrio, que se propaga de uma região do espaço para outra, no decorrer do tempo. Uma das principais características das ondas é que elas podem transportar energia e quantidade de movimento de um local para outro sem que haja o transporte de partículas materiais, ou seja, a onda não faz o transporte de matéria (TREFIL, 2006). As ondas podem ser classificas em eletromagnéticas ou mecânicas. Ondas luminosas e de rádio são exemplos de ondas eletromagnéticas, e ondas sonoras e aquáticas são exemplos de ondas mecânicas.
O nosso estudo foi baseado nas ondas mecânicas, de onde fazem parte as ondas sonoras e, para simplificar, o estudo foi concentrado nas ondas harmônicas (como na figura 1) que são representadas por funções mais simples como seno e cosseno, mas os princípios desenvolvidos também são válidos para as ondas com formas mais complexas.
Figura 1: Gráfico de uma onda senóide.
Ondas mecânicas
As ondas mecânicas se propagam através de um meio elástico. Elas podem ser originadas por uma perturbação inicial, em algum ponto deste meio. Devido às
propriedades elásticas do meio, a perturbação se propaga através dele. Elas podem ser classificadas de acordo com algumas de suas características, como a direção de movimento de suas partículas (como transversais e longitudinais), número de dimensões (como unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais) e periodicidade (neste caso a onda será periódica ou simplesmente um pulso).
Ao tocar um violão, a onda que se propaga pela corda é um exemplo de onda transversal. Mas as ondas sonoras são exemplos de ondas longitudinais. Abaixo, na figura 2, podemos ver um tipo de onda longitudinal, que representa o movimento de um conjunto de esferas, ao se aplicar uma força em uma das esferas. Com isso cria-se um deslocamento na direção da força aplicada que se propaga por todas as esferas:
Figura 2: Propagação longitudinal de um movimento gerado por uma força.
Propriedades das Ondas
Qualquer tipo de onda pode ser descrito através de cinco parâmetros, sendo eles: comprimento de onda, freqüência, período, velocidade e amplitude.
A expressão mais comum da velocidade de fase v é a relacionada ao comprimento de onda e freqüência. O comprimento de onda é igual a λ e o intervalo de tempo, que corresponde a cada passagem de um λ em qualquer ponto, é igual a τ. Sabendo o quanto essa onda se deslocou e o intervalo de tempo em que ocorreu esse movimento, podemos substituir na definição de velocidade e obter uma expressão para a velocidade de propagação de uma onda em termos de λ e τ:
gasto tempo percorrida distância v . (eq. 01)
A equação 01 diz que a onda terá se movido um λ durante o tempo que o ponto inicial (ou qualquer outro) precisa levar para uma oscilação completa, isto é, um período τ (TREFIL, 2006).
Sabendo que 1
f , podemos substituir esta expressão na equação 01. Assim, obtemos:
f
v . (eq 02)
A equação 02 é a velocidade de fase de uma onda em propagação, seja ela transversal ou longitudinal. Porém a velocidade de fase não depende efetivamente das propriedades da onda e sim das propriedades do meio.
Superposição de Ondas
Um interessante comportamento que se observa no campo da física ondulatória é o principio da superposição de ondas, que diz que duas ou mais ondas lineares podem se combinar em um determinado ponto e o deslocamento de cada partícula neste ponto é o resultado da soma dos deslocamentos de cada onda separadamente. As ondas não perdem as suas características após essas combinações, isto explica como podemos distinguir os sons característicos de certos instrumentos musicais durante um concerto musical, onde vários instrumentos diferentes são tocados ao mesmo tempo.
Figura 3: Dois pulsos viajam em sentidos opostos ao longo de uma corda tensa. O princípio da superposição se aplica à medida que os pulsos se movem um através do outro (RESNICK, 2003)
Esse princípio é fisicamente possível se as duas funções de ondas que se somam forem lineares (y1(x,t) e y2(x,t)). Assim, a função resultante da soma delas é,
também, uma função de onda linear que é fisicamente possível.
O princípio da superposição surge como um aliado no estudo do movimento de ondas complexas, pois ele permite que esta análise seja feita através de uma combinação de ondas simples, o que facilita bastante esse estudo. Realmente, foi isso que o matemático francês J.Fourier (1768-1830) demonstrou, que cada movimento periódico de uma partícula poderia ser representado como uma combinação de movimentos harmônicos simples, ou seja, de que precisava apenas de ondas harmônicas simples para formar a maioria das formas de onda. Por exemplo, vamos descrever uma forma de onda, em um dado instante de tempo, de uma fonte de ondas que tem comprimento λ, da seguinte forma (RESNICK, 2003):
..., sen3 sen2 cos ... sen3 sen2 sen ) (x A0 A1 kxA2 kxA3 kx B1 kxB2 kxB3 kx y (eq. 04)
onde k=2π/λ. Essa expressão é conhecida como série de Fourier. Para cada movimento periódico diferente os coeficientes An e Bn têm seus próprios valores. Por
exemplo, uma onda do tipo dente-de-serra pode ser representada por . sen3 3 1 sen2 2 1 sen 1 ) (x kx kx kx y (eq. 05)
Se o movimento não for periódico, como o caso de um pulso, a série é substituída por uma integral – a integral de Fourier. Com isso, qualquer movimento
de uma fonte de ondas pode ser facilmente analisado por uma combinação de ondas harmônicas simples.
Fig. 4 – Análise de Fourier de uma curva composta (a) em duas componentes senoidais. Em (b) aparece o som harmônico fundamental e em (c) o 2o harmônico (MENEZES, 2003).
O timbre é uma característica do som, que está diretamente ligada ao corpo sonoro que o produz. Cada corpo sonoro tem peculiaridades que o distingue dos outros. O timbre se relaciona diretamente com a composição harmônica da onda sonora, e nos permite identificar a procedência do som. O timbre é a personalidade do som: a flauta, uma buzina, um violino e um tímpano soam bem diferentes, mesmo que emitam a mesma nota. O timbre nos permite distinguir sons com mesma altura e intensidade, mas com diferentes componentes de Fourier, isto é, superposição de ondas com freqüências múltiplas da fundamental, distribuídas com diferentes amplitudes.
Quando a onda viaja por um meio não-dispersivo a forma da onda não se altera, porém quando o meio é dispersivo as formas de onda dos componentes de onda senoidais, se mantém, porém cada onda poderá se propagar com velocidades diferentes. A forma da onda também pode ser modificada se houver perda de energia mecânica para o ambiente, seja por resistência do ar, viscosidade ou atrito interno. Nestes casos, os componentes da série de Fourier mais afetados são aqueles com velocidades de partículas mais elevadas, ou seja, aqueles com altas freqüências, porque geralmente essas forças dissipativas dependem da velocidade.
Um fato resultante desse fenômeno é que a característica de um som pode mudar com o tempo. Por exemplo, ao tocar uma tecla de um piano, é emitido um som característico do instrumento e que é composto por uma ampla faixa de freqüências. Porém a forma dessa onda vai mudar à medida que os componentes das freqüências mais altas percam amplitude mais rapidamente. O resultado é o decaimento deste som com o tempo, ou seja, os componentes de freqüências mais elevadas vão dissipar a sua energia mais rapidamente do que os componentes de freqüências menores. Assim, podemos deixar de distinguir um som característico de certo instrumento se o ambiente oferecer uma grande dissipação de energia.
Um tipo particular de superposição de ondas é a interferência. A forma da onda resultante da interferência vai depender de algumas das características das ondas ou dos pulsos, como a fase e a amplitude.
Matematicamente, podemos descrever a interferência construtiva e destrutiva da seguinte forma (HETCH, 1991):
) sen( ) , ( ) sen( ) , ( 2 2 1 1 t kx Y t x y t kx Y t x y (eq. 06) onde 1 e 2são as fases iniciais das respectivas ondas.
Agora, aplicamos o princípio da superposição nas ondas y1 e y2
)] ( ) ( [ ) , ( ) , ( ) , (x t y1 x t y2 x t Y sen kx t1 sen kx t2 y . (eq. 07)
Assim, obtemos a equação y(x,t) que representa o resultado da interferência das ondas y1(x,t) e y2(x,t).
Usando a relação trigonométrica
) ( 2 1 cos ) ( 2 1 2 sen sen sen , (eq. 08)
podemos reescrever a equação 07 como:
) ( ) 2 / cos( 2 ) , (x t Y sen kx t* y , (eq. 09) onde * (12)/2 e (21).
A quantidade 2Ycos(/2) representa a amplitude da combinação. Analisando este valor teremos uma interferência construtiva quando:
completa construt. Interf. 0 2Y Amplitude
E uma interferência destrutiva quando:
completa destrutiva cia Interferên zero Amplitude º 180 z Amplitude º 180 ero (a) (b) (c)
Figura 5: Ilustração de ondas se interferindo em fase (a), com uma diferença de fase de 180º (b) e com diferença de fase entre 0o e 180o (c) (TREFIL, 2006).
No caso do fenômeno da interferência ocorrer em ondas contínuas, pode acontecer que se as ondas chegarem num mesmo ponto e na mesma fase haverá
uma interferência construtiva e se ocorrer o contrário, ou seja, as ondas chegarem num mesmo ponto e com fases opostas, haverá uma interferência destrutiva.
A onda estacionária é a interferência de duas ondas que se propagam em sentidos opostos e com freqüência e amplitude iguais. Esta onda tem a sua formação caracterizada por nós e ventres (ou antinós). Os nós são os pontos onde o deslocamento é nulo em qualquer instante de tempo. Entre dois nós existem os ventres, onde as partículas oscilam com amplitude máxima.
Matematicamente, podemos representar uma onda estacionária da seguinte forma:y(x,t) y1(x,t)y2(x,t) , (eq. 10)
onde: y1(x,t) ymsen(kxt)ey2(x,t) ymsen(kxt) .
Usando a relação trigonométrica da equação 08, podemos reescrever a equação 10 como: cos ] sen 2 [ ) , (x t y kx t y m , (eq. 11)
onde a quantidade que está entre colchetes é a amplitude da onda estacionária. Analisando a equação 11, vemos que qualquer partícula, independente da sua posição no eixo x, é submetida ao movimento harmônico simples (MHS) e que todas as partículas vibram com a mesma freqüência angular ω. Diferentemente das ondas em propagação, a amplitude de vibração das partículas das ondas estacionárias não depende do instante de tempo em que ela está sendo analisada, e sim, varia de acordo com a localização x de cada partícula. Com isso a amplitude
] sen 2
[ ym kx terá valor máximo igual a 2ym e valor mínimo igual à zero.
As ondas estacionárias são de grande importância na produção de sons em instrumentos musicais acústicos. São geradas ondas estacionárias em cordas dos instrumentos como violão ou violino, em objetos bidimensionais ou tridimensionais, nos instrumentos de percussão, como pratos ou tarol, ou ainda em tubos ocos nos instrumentos de sopro, como a flauta e o órgão (TREFIL, 2006).
As ondas sonoras e os instrumentos musicais
As ondas sonoras no ar são ondas de pressão, pois, ao se propagarem, elas causam uma perturbação de compressão e descompressão das partículas, ocasionando uma diferença de pressão ao longo da propagação da onda. É importante lembrar que as partículas não se propagam, elas apenas oscilam em torno de suas posições de equilíbrio, apenas a perturbação é propagada.
A produção do som, pela voz ou por um instrumento musical, é realizada pela transmissão de uma onda, gerada por um sistema vibrante, através de um meio até o observador (ou ouvinte). A natureza dos sons vai depender das características do sistema vibrante.
Como foi dito anteriormente, uma onda pode ser representada pela soma de diversas ondas individuais, as quais chamamos de componentes de Fourier. A partir desta combinação são formadas as ondas sonoras, ou seja, os sons. Assim, um som, mesmo sendo de uma única nota musical, é o resultado da superposição de
diversas ondas sonoras. Isto ocorre porque qualquer objeto ou corpo sólido possui moléculas que têm uma certa vibração natural, isto é, uma freqüência característica. Deste modo, ao ser posto em vibração, é criada no corpo uma combinação das freqüências de todos os átomos, formando um padrão de vibração, também, chamado de timbre, que é intrínseco a este corpo. Com isso, a maioria dos instrumentos musicais tem um grande número de freqüências naturais de vibração, para que seja possível emitir diversas notas musicais.
Assim, representamos um som de forma bem simples, como: SOM = f1 + f2 + f3 + f4 + ..., (eq. 13)
onde cada fn representa uma freqüência posta em vibração. Se as freqüências forem
múltiplas da primeira freqüência, chamada de freqüência fundamental, dizemos que o som produzido é harmônico e as freqüências múltiplas são os harmônicos. O primeiro termo é chamado de harmônico de ordem 0 (zero) ou fundamental, o segundo, de harmônico de primeira ordem, e assim, sucessivamente. É esta a principal diferença entre um ruído e uma música, pois os ruídos, geralmente, não são sons harmônicos.
Partindo deste conceito, ao ser gerada uma perturbação num instrumento, as partículas deste meio vão vibrar de acordo com a freqüência da perturbação, produzindo um som formado de diversas ondas sonoras superpostas. Porém, dá-se o nome do som, isto é, da nota musical de acordo com a freqüência fundamental.
Para criar um som contínuo, como o que é produzido por um instrumento musical ou pela voz humana, é necessário que a onda sonora criada seja estacionária. Em diferentes instrumentos as ondas estacionárias são geradas de diversas formas.
Os instrumentos musicais tradicionais acústicos (não eletrônicos) podem ser divididos em três grupos. Esta classificação é feita de acordo com o tipo de meio utilizado para a propagação da onda, entretanto cada instrumento vai possuir seu próprio timbre. O primeiro grupo compreende os instrumentos de cordas vibrantes, onde as ondas estacionárias são geradas em cordas esticadas. São exemplos desse grupo o violão e o violoncelo. O segundo, abrange os instrumentos de percussão, onde as ondas são geradas por objetos bidimensionais como membranas (ex.: tarol e tímpano) ou tridimensionais como blocos de madeira (ex.: marimba e xilofone). E o terceiro é formado por instrumentos de sopro, nos quais as ondas são geradas por colunas de ar vibrante, como a flauta, o trompete e o trombone (TREFIL, 2006).
Vibrações Complexas e Seus Espectros
Anteriormente, consideramos que os sistemas de vibração poderiam vibrar em vários modos diferentes. E para cada caso é relacionado a uma freqüência diferente e, portanto, um modo de vibração pode ser excitado individualmente por algum tipo de perturbação relacionado a uma certa freqüência.
Entretanto, é mais comum quando um sistema de vibração entra em ressonância, que os vários modos sejam perturbados simultaneamente. A descrição deste movimento vibracional é bastante difícil, pois é necessário saber a amplitude
(ou intensidade) e a freqüência de cada modo de vibração perturbado. A obtenção deste resultado é feita através da análise do espectro da vibração (ROSSING, 1990).
O espectro de uma vibração indica quais freqüências entraram em ressonância e com que intensidade cada uma vibrou. Esta análise de espectros é também chamada de análise de Fourier, onde cada uma destas freqüências perturbadas pode ser representada como componentes de uma série de Fourier. É o espectro de um som que representa o timbre de cada instrumento musical. Quanto maior o número de freqüências em ressonância, mais rico é o som, porém se as freqüências não forem múltiplas da fundamental (primeiro pico de freqüência), o som não será harmônico, podendo ser considerado um ruído.
Obtivemos alguns espectros de instrumentos clássicos (não eletrônicos) com a ajuda de um programa de computador chamado GRAM 10 (ou outro semelhante). Estas experiências podem ser facilmente realizadas nas escolas, bastando ter disponível um computador, com o programa apropriado, que pode ser obtido pela internet. Quanto aos instrumentos, os próprios alunos poderão levar para as experiências e mesmo realizá-las em casa.
Fig. 7 – Espectro do ré 3 no violino, com freqüência fundamental 293,6 Hz
Fig. 09 – Espectro do ré 3 na flauta transversa com freqüência fundamental 293,6 Hz
Resultados e Conclusões
Através desses espectros podemos visualizar as freqüências presentes, ao ser emitida uma determinada nota. A freqüência fundamental é a que dá o nome à nota. O timbre é determinado pelo conjunto de sobretons presentes, com diferentes intensidades. Por estes espectros podemos comparar os diferentes instrumentos. Alguns instrumentos de corda, como o violão e o violino (fig. 7), apresentam grande número de sobretons e comparando os dois vemos que o violino possui um som mais rico, com maior número de sobretons. O tarol (fig. 8) não possui uma freqüência fundamental e harmônicos superiores, como o violão e o violino, ao contrário aparecem muitas freqüências ao mesmo tempo, o que o caracteriza como instrumento não harmônico. A comparação entre a flauta doce e a flauta transversa (fig. 9) é semelhante a do violão e violino. A flauta doce possui menos harmônicos que a flauta transversa, mas a trompa possui mais harmônicos com intensidades relativas maiores, ou seja, seu som é muito mais rico.
Essas e outras observações podem ser deixadas como exercício. Sugerimos algumas considerações que fizemos com os alunos:
1) Medir as freqüências presentes no espectro (fundamental e sobretons). 2) Comparar as freqüências presentes e ver se são múltiplas da
fundamental. O que isso representa?
3) Verificar se o instrumento musical estava afinado (neste caso será necessário consultar uma tabela de freqüências, da escala temperada de preferência).
4) Tentar repetir a freqüência fundamental com a própria voz e verificar se é uma pessoa afinada.
5) Comparar diferentes instrumentos.
Outra observação que fizemos através desses espectros, que são uma “fotografia” do timbre, é que este pode variar em um mesmo instrumento, mas em diferentes faixas de freqüência. Vimos também que o timbre não depende apenas do material e formato do instrumento, mas também do músico que o toca, ou seja, depende da forma de ataque da nota, da forma com que o instrumento é executado. Entre os sons harmônicos, que são os picos mais intensos, observamos picos
menores que são devidos a ruídos que acompanham as notas, porém são bem menos intensos. Cada instrumento possui sua peculiaridade, como a flauta transversa que, devido ao tipo de sopro necessário para que uma nota seja emitida, sempre ouvimos a vibração do sopro (fig. 9).
Essas observações podem ser feitas através da percepção auditiva de pessoas treinadas e são provadas fisicamente através da análise de Fourier, isto é, da decomposição das freqüências presentes num único som. Interessante também é calcular, através dos espectros, quais as freqüências presentes em cada espectro e mostrar que os sobretons dos instrumentos harmônicos são múltiplos da freqüência fundamental, o que já era previsto pela equação 04, da série de Fourier.
Embora o ensino da Acústica esteja previsto nos PCN’s, não é um tema que receba muita atenção, tanto nas escolas quanto nas universidades. Temos observado e confirmado que a Acústica, especialmente a Acústica Musical, é realmente um instrumento capaz de motivar os alunos e permitir a abordagem de diferentes aspectos da Física.
Referências
HAZEN, R. M. Física Viva, v. 2, Rio de Janeiro: LTC, 2006.
HETCH, E. Óptica, Lisboa: Fundação Calouste Gulbekian, 1991TREFIL, J e
MEC (Ministério da Educação), Secretaria de Educação Média e Tecnológica (Semtec), PCN + Ensino médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, 2002.
MENEZES, F., A Acústica Musical em Palavras e Sons, São Paulo: Ateliê Editorial, 2003.
ROEDERER, J. G. Introdução à Física e Psicofísica da Música, São Paulo: Edusp, 2002.
ROSSING, T. D. The Science of Sound, EUA: Addison-Wesley, 1990.
RESNICK, R., HALLIDAY, D e KRANE, K. S. Física 2, Rio de Janeiro: LTC, 2003. .
