Grupos de extensões para certas categorias de representações graduadas de uma álgebra de Lie graduada

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

GILMAR DE SOUSA FERREIRA

Grupos de extensões para certas categorias de

representações graduadas de uma álgebra de

Lie graduada

Campinas

2019

Grupos de extensões para certas categorias de

representações graduadas de uma álgebra de Lie

graduada

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Matemática.

Orientador: Adriano Adrega de Moura

Este exemplar corresponde à versão

final da Tese defendida pelo aluno

Gil-mar de Sousa Ferreira e orientada pelo

Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura.

Campinas

2019

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Ferreira, Gilmar de Sousa,

F413g FerGrupos de extensões para certas categorias de representações graduadas de uma álgebra de Lie graduada / Gilmar de Sousa Ferreira. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

FerOrientador: Adriano Adrega de Moura.

FerTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Fer1. Lie, Álgebra de. 2. Cohomologia (Matemática). 3. Extensões de grupos (Matemática). 4. Sequências espectrais (Matemática). I. Moura, Adriano Adrega de, 1975-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Extension groups for certain categories of graded representations for a graded Lie algebra

Palavras-chave em inglês: Lie algebras

Cohomology

Group extensions (Mathematics) Spectral sequences (Mathematics) Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:

Adriano Adrega de Moura [Orientador] Marcos Benevenuto Jardim

Kostiantyn Iusenko Vyacheslav Futorny Lucio Centrone

Data de defesa: 06-11-2019

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-1497-2164 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/3262981472033415

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). ADRIANO ADREGA DE MOURA

Prof(a). Dr(a). MARCOS BENEVENUTO JARDIM

Prof(a). Dr(a). KOSTIANTYN IUSENKO

Prof(a). Dr(a). VYACHESLAV FUTORNY

Prof(a). Dr(a). LUCIO CENTRONE

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Agradeço aos familiares e amigos que estiveram presentes nesse período, em particular a minha esposa Aline, meus filhos Gabriel e Analu, e ao meu orientador Adriano.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 e também com apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - Código de Financiamento 140676/2014-7.

Dada uma álgebra de Lie graduada pelos inteiros não negativos com partes graduadas de dimensões finitas, estudamos aspectos cohomológicos da subcategoria plena de suas representações graduadas, com partes graduadas de dimensões finitas. Em particular, obtemos uma versão da Sequência Espectral de Lyndon-Hochschild-Serre nesta categoria e alguns resultados parciais sobre o cálculo dos grupos de extensões entre os objetos simples da mesma. No caso de uma álgebra de correntes truncada sobre sl2, com grau máximo

menor ou igual a 3, descrevemos completamente todos os grupos de extensões entre tais objetos.

Given a graded Lie algebra over the nonnegative integers with finite-dimensional graded pieces, we study cohomological aspects of the full subcategory of its graded representations with finite-dimensional graded pieces. In particular, we obtain a version of the Lyndon-Hochschild-Serre Spectral Sequence in this category as well as partial results concerning the computation of the extension groups between its simple objects. In the case of a truncated current algebra over sl2, with maximal degree at most 3, we completely describe

F Corpo algebricamente fechado de característica 0

A subcategoria abeliana da categoria dos espaços vetoriais

F funtor aditivo

Hl

“ pHnqnPZ objeto graduado de A

GradpAq categoria dos objetos graduados e morfismos de grau 0

CocomppAq categoria dos cocomplexos em A

Hn _{n-ésimo funtor de cohomologia}

Rn_{F n-ésimo funtor derivado à direita de F}

Ml,l

“ pMp,qqpp,qqPZˆZ objeto bi-graduado

pErl,l, d

l,l

r qrě1 sequência espectral

κ˚ _{funtor pull-back por κ}

Pκ funtor adjunto à esquerda do funtor pull-back por κ

l álgebra de Lie

Modl categoria dos l-módulos

F plq categoria dos l-módulos de dimensão finita

U plq álgebra envelopante de l

Zn

l funtor dos n-invariantes em Modl

Gn

l funtor dos n-invariantes em Modl{n

Gpaq subcategoria plena dos a-módulos Z-graduados com partes graduadas de dimensão finita

Dκ funtor adjunto à direita do funtor pull-back por κ

Da _{funtor dual graduado}

Introdução . . . 10

1 COHOMOLOGIA, SEQUÊNCIAS ESPECTRAIS E FUNTORES AD-JUNTOS . . . 13

1.1 Cohomologia . . . 13

1.2 Sequências Espectrais . . . 18

1.3 Sequência Espectral de Grothendieck . . . 30

1.4 Funtores Adjuntos . . . 35

2 ÁLGEBRAS DE LIE E ÁLGEBRAS DE LIE GRADUADAS . . . 39

2.1 Álgebras de Lie . . . 39

2.2 Álgebras Envelopantes . . . 42

2.3 Álgebras Graduadas . . . 45

2.3.1 Restrição de Objetos Projetivos . . . 46

2.3.2 Pull-back, Dualidade e Translação de Grau . . . 50

2.3.3 Módulos Truncados . . . 52

2.3.4 Invariantes e Dualidade para Produtos Tensoriais . . . 53

3 RESOLUÇÕES PROJETIVAS E INJETIVAS . . . 54

3.1 Objetos simples . . . 54

3.2 Adjunções e equivalências . . . 54

3.3 Apresentações Projetivas e Injetivas . . . 57

3.4 Resolução de Chevalley-Eilenberg . . . 59

4 GRUPOS DE EXTENSÕES . . . 63

4.1 Redução ao Caso de Extensões da Representação Trivial. . . 63

4.2 Uma Sequência de Lyndon–Hochschild–Serre . . . 68

4.3 Aplicações a Álgebras Truncadas . . . 73

Introdução

O interesse pelo estudo de representações graduadas de álgebras de Lie tem crescido bastante nos últimos anos. Uma das motivações para tal interesse é o relaciona-mento de tais categorias com aquela das representações de dimensão finita das álgebras de Kac-Moody afim quantizadas. Embora nossa motivação para estudarmos tais categorias nessa tese seja exatamente este relacionamento, em particular na direção de se entender a estrutura das chamadas afinizações minimias de grupos quânticos, é importante mencionar que o estudo das mesmas tem ido muito além das motivações originais, tendo se tornado uma área de pesquisa interessante por si só.

Sejam g uma álgebra de Lie simples de dimensão finita sobre um corpo al-gebricamente fechado de característica zero F, ˜g “ g b Frt, t´1

s sua álgebra de laços e grts “ g b Frts sua álgebra de correntes. Após os artigos [Cha01,CM06,CM07], ficou claro que boa parte do estudo da estrutura dos módulos de Kirillov-Reshetikhin (as afinizações minimais correspondentes às representações com peso máximo múltiplo de um peso funda-mental) podia ser feita trabalhando-se com certas representações graduadas para grts. Isso motivou o artigo [CG07] onde foi mostrado que a categoria dos módulos graduados para grts com partes graduadas de dimensão finita tem várias propriedades interessantes. Em particular, ela é uma categoria de peso máximo no sentido de Cline-Parshall-Scott.

Mais adiante foi explorado o fato que os limites clássicos de boa parte dos módulos de Kirillov-Reshetikhin (todos se g é de tipo clássico) fatoram a módulos para a álgebra quociente de grts pelo ideal g b t2_{Frts. É fácil ver que essa álgebra é isomorfa} ao produto semidireto g ˙ g_ad sendo g_ad a representação adjunta de g vista como álgebra de Lie com a estrutura trivial. Isso motivou o estudo mais sistemático de representações graduadas para esta álgebra [CG09]. Em particular, foi mostrado que certas subcategorias são equivalentes a categorias de módulos para certas álgebras de Koszul. Os limites clássicos dos módulos de Kirillov-Reshetikhin que fatoram a representações de g ˙ gad, pertencem a

tais subcategorias. De fato, várias afinizações minimias mais gerais que módulos de Kirillov-Reshetikhin também têm limites clássicos em tais subcategorias [CG11,Mou10,MP11] e são objetos projetivos nelas. Embora não trataremos deste assunto aqui, deixando para explorar este aspecto num futuro próximo, é interessante observar que as mesmas propriedades homológicas dessas subcategorias que garantem sua Koszulidade foram usadas em [CG11] para obter uma fórmula para os caráteres graduados das coberturas projetivas de seus objetos simples e, em particular, para tais afinizações minimais. Estas fórmulas são de fato recursivas, expressando o caráter graduado de um certo objeto projetivo coma soma alternada dos caráteres de outros objetos projetivos cujos pesos máximos são menores. Para um dado objeto projetivo P com quociente simples V , o coeficiente multiplicando a

parcela desta soma referente ao projetivo P1 _é

p´1qrdim ExtnpV, V1q

sendo V1 _{o quociente simples de P}1_{, r o grau no qual V}1 _{está concentrado e n “ r ´ s,}

sendo s o grau no qual V está concentrado. Desta forma, o cálculo dos grupos de extensões entre objetos graduados simples para g ˙ g_ad desempenha papel crucial nesta fórmula.

Porém, nem toda afinização minimal tem limite clássico que se fatora a um módulo para grts{g b t2Frts se g for de tipo excepcional ou Dn. Por exemplo, se g é de

tipo G2, precisamos considerar grts “ g b t3Frts. Nestes casos, provavelmente não temos

Koszulidade, mas talvez tenhamos propriedades “próximas” de Koszulidade de modo que consigamos estudar os caráteres dos limites clássicos de afinizações minimais de maneira semelhante. Este trabalho é dedicado a dar um primeiro passo nessa direção, aprofundando o estudo dos aspectos cohomológicos de tais categorias, em especial relacionado ao cálculo dos grupos de extensões entre objetos simples. É interessante ressaltar que

Ext1pV, V1q

para quaisquer dois módulos simples de dimensão finita (não necessariamente graduados) para álgebras do tipo g b A, sendo A uma F-álgebra associativa com unidade, foi descrito em completa generalidade em [K10]. Tal resultado foi estendido para álgebra de funções equivariantes em [NS15]. Porém, pouca informação existe para os grupos de extensões de ordem superior [BDMN15,FM94].

Uma das principais técnicas para este tipo de estudo é a utilização das sequên-cias espectrais. Sequênsequên-cias espectrais, em particular a Sequência Espectral de Lyndon– Hochschild–Serre, aparecem no estudo de álgebras de Lie desde meados do século 20, como pode ser visto em [HS53]. Esta foi a técnica utilizada em [BDMN15,NS15] acima mencionados. A mesma técnica também foi usada em [BDMN15] para provar outros resul-tados, em particular, uma conjectura antiga de Feigin sobre a finitude da dimensão dos grupos de cohomologia Hnpgrts, Fq. Trocando-se grts por grts{g b trFrts, tal finitude segue de uma das chamadas conjecturas fortes de Macdonald, demonstrada em [FGT08]. Parte substancial do presente trabalho é dedicada a obter uma versão da Sequência Espectral de Lyndon–Hochschild–Serre adaptada à categoria de representações que é o foco de nossos estudos.

Passamos à descrição da organização do trabalho e seus principais resultados. Os dois primeiros capítulos contém os pré-requisitos para o trabalho. No primeiro capítulo fazemos uma recordação sobre cohomologia, sequências espectrais e funtores adjuntos. Sequências espectrais são apresentadas a partir de um par exato, mas essa não é a única forma de definição que pode ser feita, de fato, uma abordagem alternativa pode ser vista mais explicitamente em [CE56]. No segundo capítulo introduzimos a terminologia básica

sobre álgebras de Lie graduadas e suas representações e revisamos alguns resultados que nos serão relevantes.

No terceiro capítulo introduzimos a categoria de interesse do nosso estudo, a categoria plena das representações graduadas onde cada parte graduada possui dimensão finita. A denotamos por G . Os objetos simples de G são todos concentrados em algum grau. Passamos então ao estudo de vários funtores nesta categoria e à descrição de apresentações projetivas e injetivas. O principal resultado do capítulo nos mostra que, sob certas condições, a Resolução de Chevally-Eilenberg é ainda uma resolução projetiva da representação trivial em G .

Os resultados principais do trabalho se encontram no quarto capítulo. As primeiras duas seções são dedicadas a obter uma variação da Sequência Espectral de Lyndon–Hochschild–Serre que faça sentido emG , culminando no Teorema4.2.6. Na última seção, aplicamos este teorema, assim como alguns resultados da Seção 4.1, ao caso de álgebras de Lie graduadas truncadas, isto é, com um número finito de partes gradudas não nulas. O objetivo é descrever os grupos de extensões entre os objetos simples de G ou, mais geralmente, Extn_{pF, M q sendo F a representação trivial e M um módulo concentrado} em algum grau. Em particular, o Teorema 4.3.1 é uma versão mais precisa do Teorema

4.2.6 neste contexto e, a princípio, fornece um procedimento recursivo para calcular grupos de extensões para álgebras truncadas em grau k ` 1 a partir do conhecimento dos mesmos para álgebras truncadas em grau k. Infelizmente, a teoria desenvolvida ainda não é suficientemente forte para nos permitir fazer o cálculo de extensões de maneira geral. Todavia, no caso especial da álgebra de Lie ser da forma

sl2b Frts{tkFrts,

conseguimos usar nossos resultados para calcular todos os grupos de extensões entre objetos simples para os casos k ď 4: Teoremas 4.3.8e 4.3.10. Alguns resultados parciais para álgebras mais gerais também foram obtidos nesta direção.

1 Cohomologia, Sequências Espectrais e

Fun-tores Adjuntos

Este capítulo tem como objetivo principal relembrar e fixar notação sobre cohomologia e sequências espectrais, em particular a de Grothendieck, que serão usadas no Capítulo 4 da tese. Como se trata de um material bem conhecido, omitiremos as demonstrações, que podem ser encontradas por exemplo em [HS70,Rot08].

Ao longo do capítulo, A, B e C denotarão subcategorias abelianas da categoria dos espaços vetoriais sobre um corpo F, isto é, cada objeto será um espaço vetorial e cada morfismo será uma transformação linear. Também, todo funtor F : A Ñ B será aditivo e, para cada morfimo A Ñ B em A, imagem deste morfismo por F será denotado por F pA Ñ Bq ou F pAq Ñ F pBq (F pBq Ñ F pAq, no caso em que F seja contravariante). Lembramos que um subobjeto de A P A é um objeto B P A tal que existe um monomorfismo B Ñ A em A. Uma sequência

¨ ¨ ¨ Ñ An´1 ϕn´1

ÝÑ An ϕn

ÝÑ An`1 Ñ ¨ ¨ ¨

em A é dita uma sequência exata em Anse a imagem de ϕn´1é o núcleo de ϕn. A sequência

acima é dita uma sequência exata se é exata em cada An para n P Z. Uma sequência exata

0 Ñ A Ñ B Ñ C Ñ 0

em A é dita uma sequência exata curta. Uma análise de um morfismo ϕ : A Ñ B em A é uma fatoração

ϕ : AÑ Cε Ñ Bµ

em A onde ε é um epimorfismo e µ é um monomorfismo. Necessariamente, as sequências 0 Ñ kerpϕq Ñ AÑ C Ñ 0ε e 0 Ñ C Ñ B Ñ B{ Impϕq Ñ 0µ

em A são exatas curtas e C – Impϕq.

1.1

Cohomologia

Um objeto graduado de A, ou simplesmente um objeto graduado, quando não há perigo de confusão, é uma família pHnqnPZ1, indexada em Z, de objetos de A. É frequente

denotar um objeto graduado de A por Hl_{. Diz-se que um objeto graduado H}l_{de A é não} 1 _{O índice pode ser subscrito ao invés de sobrescrito. No texto, utilizaremos o índice sobrescrito para}

negativo se Hn “ 0 para todo n ă 0. Dados Hl e Jl

dois objetos graduados de A e a P Z,

um morfismo graduado de grau a é uma família pϕn : Hn Ñ Jn`aq em A. É frequente

denotar um morfismo graduado por ϕl_{. A categoria cujo objetos são os objetos graduados}

de A e os morfismos são os morfismos graduados de grau 0, denotada por GradpAq é uma categoria abeliana.

Um cocomplexo em A, ou simplesmente um cocomplexo, quando não há perigo de confusão, é um par ordenado pCl_{, B}l

q, onde Cl é um objeto graduado de A e Bl _:

Cl

Ñ Cl é um morfismo graduado de grau 1 satisfazendo BnBn´1 “ 0 para todo n P Z. Dado um cocomplexo pCl_{, B}l

q sobre A, o morfismo Bl é chamado de diferencial e Bn é chamada de n-ésima diferencial para todo n P Z. Dados dois cocomplexos pCl

, Blq e pDl, δlq sobre A, um morfismo de cocomplexos ϕl: pCl, Blq Ñ pDl, δlq é um morfismo graduado ϕl _{: C}l

Ñ Dl de grau 0 satisfazendo δnϕn “ ϕn`1Bn para todo n P Z. A categoria onde os objetos são os cocomplexos em A e os morfismos são os morfismos de cocomplexos, denotado por CocomppAq, é uma categoria abeliana. Um cocomplexo pode ser “visualizado” através de uma sequência

pCl, Bl q : ¨ ¨ ¨ Ñ Cn´1 B n´1 Ñ Cn B n Ñ Cn`1 Ñ ¨ ¨ ¨ , (1.1)

chamada de cadeia cocomplexa em A. Dados uma cadeia cocomplexa pCl_{, B}l

q em A e um funtorF : A Ñ B, defini-se a um funtor CocomppAq Ñ CocomppBq, também denotado por F , que transforma a cadeia cocomplexa (1.1) na cadeia cocomplexa

` F pCl q,F pBlq˘ : ¨ ¨ ¨ ÑF pCn´1qF pB n´1 q Ñ F pCnqF pB n q Ñ F pCn`1q Ñ ¨ ¨ ¨ sobre B. Dado um cocomplexo pCl_{, B}l

q em A, como BnBn´1“ 0, temos que ImpBn´1q Ď KerpBnq Ď Cn. Defini-se o n-ésimo grupo de cohomologia de Cl por

H n

pCl, Blq “ KerpBnq{ ImpBn´1q. Dados um outro cocomplexo pDl_{, δ}l

q sobre A e um morfismo de cocomplexos ϕl : pCl, Bl

q Ñ pDl, δl

q, pela propriedade do núcleo, o diagrama abaixo KerpBnq //  Cn ϕn  Bn _// Cn`1 ϕn`1  Kerpδn q //Dn δ n //_Dn`1

em A pode ser completado de tal forma que seja comutativo. Pela propriedade de conúcleo, existe um único morfismo

Hn

pϕlq :H npCl, Bl

q Ñ H npDl, δl

tal que o diagrama abaixo Cn´1 // ϕn´1  KerpBn q  //_H n pClq Hn_pϕl_q  //₀ Dn´1 //Kerpδnq //H npDlq //0 em A é comutativo. Esta definição dá origem a funtor aditivo

H n_{: CocomppAq Ñ A}

denominado n-ésimo funtor de cohomologia.

Proposição 1.1.1. Para cada sequência exata curta

0 Ñ pCl 1 , B1lq ϕl₁ Ñ pC2l, Bl2q ϕl₂ Ñ pC3l, B3lq Ñ 0,

em CocomppAq, existe uma sequência exata longa ¨ ¨ ¨ ÑHnpC1l, Bl1q Hn pϕl₁q ÝÑ HnpC2l, Bl2q Hn pϕl₂q ÝÑ H npC3l, Bl3q ÝÑH n`1 pC1l, B1lq Ñ ¨ ¨ ¨ . (1.2) em A natural no sentido que, se

0 //pC1l, B l 1q ϕl_{1 //} χl₁  pC2l, B l 2 q ϕl_{2 //} χl₂  pC3l, B l 3 q // χl₃  0 0 //pDl1, δ1lq ψl 1 // pDl2, δ2lq ψl 2 // pDl3, δl3q //0

é uma diagrama comutativo com linhas exatas em CocomppAq, o diagrama H n pC2l, B l 2 q Hn pϕl_2//q Hn pχl₂q  Hn pC3l, B l 3q // Hn pχl₃q  H n`1 pC1l, B l 1q Hn`1 pχl₁q  Hn`1 pϕl<sub>1//</sub> q H n`1 pC2l, B l 2q Hn`1 pχl<sub>2</sub>q  H n pDl2, δ2lq Hn pψl<sub>2//</sub>q H n pDl3, δl3q //Hn`1pDl1, δ1lq Hn`1 pψ<sub>1</sub>l<sub>//</sub> q H n`1 pD2l, δl2q

é comutativo com linhas exatas em A. Os morfismosH npC3l, B l 3q ÝÑH n`1 pC1l, B l

1q que aparecem em (1.2)

denominam-se morfismos de conexão.

Um objeto I P A é dito injetivo em A se, para cada monomorfismo µ : A Ñ B e para cada morfismo ϕ : A Ñ I, existe um morfismo ψ : B Ñ I tal que o diagrama abaixo

I A// _µ // ϕ OO B ψ __

é comutativo em A. Dado A P A, um cocomplexo pIl_{, B}l

q não negativo em A é dito uma

(i) H npIlq “ 0 para todo n ą 0, isto é, o cocomplexo é acíclico; (ii) KerpB0q – A.

Note que um cocomplexo pIl_{, B}l

q não negativo em A é uma corresolução de A em A se, e somente se, a sequência

0 Ñ A Ñ I0 BÑ I0 1 B

1

Ñ I2 Ñ ¨ ¨ ¨

é uma sequência exata em A. Uma corresolução pIl, Blq de A em A é dita uma corresolução

injetiva de A em A se In é um objeto injetivo em A para todo n ě 0.

Dados dois cocomplexos pCl_{, B}l

q e pDl, δl

q sobre A e um par de morfismos de cocomplexos

ϕl_{, ψ}l _{: pC}l_{, B}l

q Ñ pDl, δl

q, um morfismo graduado τl _{: C}l

Ñ Dl de grau ´1 é uma cohomotopia entre ϕl e ψl, denotado por τl_{: ϕ}l

– ψl, se

ϕn´ ψn “ δn´1τn` τn`1Bn para todo n P Z.

Os dois fatos essenciais sobre cohomotopias são dados pela proposição abaixo.

Proposição 1.1.2. Sejam pCl_{, B}l

q e pDl, δl

q dois cocomplexos sobre A,

ϕl_{, ψ}l_{: pC}l_{, B}l

q Ñ pDl, δl

q dois morfismos de cocomplexos e τl _{: ϕ}l

– ψl uma cohomotopia entre ϕl _{e ψ}l_{. Então}

Hn

pϕlq “H npψlq :H npCl, Bl

q ÑH npDl, δl

q. Além disso, para cada funtor aditivo F : A Ñ B, F pτl

q : F pClq Ñ F pDlq é uma cohomotopia entre F pϕl

q e F pψlq.

O próximo teorema, conhecido como Teorema da Comparação, tem papel fundamental no Capítulo 4.

Teorema 1.1.3. Sejam A, B P A, pCl_{, B}l

q uma corresolução de A em A e pIl, δlq uma corresolução injetiva de B em A. Então, para cada morfismo ϕ : A Ñ B, a menos de cohomotopia, existe um único morfismo de cocomplexos ψl_{: pC}l_{, B}l

q Ñ pIl, δl q tal que o diagrama 0 //A // ϕ  C0 ψ0  B0 // C1 ψ1  B1 // C2 ψ2  // 0 //B //I0 δ0 //I1 δ1 //I2 //

Um morfismo de cocomplexos ψl _{: pC}l_{, B}l

q Ñ pIl, δl

q que faz o diagrama acima ser comutativo é denominado uma extensão de ϕ : A Ñ B.

Um complexo em A, ou simplesmente um complexo, quando não há perigo de confusão, é um par ordenado pCl, Blq, onde Clé um objeto graduado de A e Bl : Cl Ñ Cl

é um morfismo graduado de grau ´1 satisfazendo BnBn`1 “ 0 para todo n P Z. Fazendo

Dn “ C´n e δn“ B´n para todo n P Z

tem-se que pDl_{, δ}l

q é um cocomplexo sobre A. Defini-se, dualmente, o conceito de morfismo

de complexos, o conceito de cadeia complexa, o conceito de n-ésimo grupo do homologia, o

conceito de n-ésimo funtor de homologia, o conceito de resolução projetiva e o conceito de

homotopia. Existem também duas proposições e um teorema análogos às duas proposições

e ao teorema acima.

Dize-se que uma categoria abeliana A possui suficientes injetivos se cada objeto possui uma corresolução injetiva em A. Suponha que A possua suficientes injetivos e, para cada objeto A P A, fixe uma corresolução injetiva pIl

A, B

l

Aq. Para cada funtor

aditivo F : A Ñ B e cada inteiro não negativo n, o n-ésimo funtor derivado à direita

de F calculado em A, denotado por RnF pAq, é o n-ésimo grupo de cohomologia de

` F pIl

Aq,F pB

l

Aq˘. Lembramos que a associação A Ñ R

n_{F pAq não depende da particular}

escolha da corresolução injetiva pIl

A, B

l

Aq. Se B P A é um outro objeto e ϕ : A Ñ B

é um morfismo, define-se RnF pϕq : RnF pAq Ñ RnF pBq como sendo Hnpψlq, onde

ψl _{: pI}l

A, BAlq Ñ pIBl, BlBq é uma extensão ϕ dada pelo Teorema da Comparação (Teorema

1.1.3).

Vamos enumerar algumas propriedades dos funtores derivados à direita: 1. Os funtores derivados à direitaRnF são aditivos para todo n ě 0 e RnF pAq “ 0

para todo n ă 0 e para cada objeto A P A;

2. Quando F é exato à esquerda, existe uma equivalência natural entre R0F e F ; 3. Para cada objeto injetivo I P A,

Rn_{F pIq “ 0, para todo n ą 0; (1.3)}

4. Para cada sequência exata curta

0 Ñ A Ñ B Ñ C Ñ 0 em A existe uma sequência exata longa

R0_{F pAq Ñ R}0_{F pBq Ñ R}0_{F pCq Ñ ¨ ¨ ¨}

em A, tal que R0F pAq Ñ R0F pBq é um monomorfismo quando F é exato à esquerda.

Se A é uma categoria com suficientes injetivos, dados dois objetos A, B P A, defini-se o n-ésimo grupo de extensões de A por B, denotado por Extn_ApA, Bq, como sendo Rn_Hom

ApA, ´qpBq. Mais precisamente, dada uma corresolução injetiva pIBl, B

l

Bq de B,

Extn_ApA, Bq é o n-ésimo grupo de cohomologia da cadeia cocomplexa 0 Ñ HomApA, I_B0q Ñ HomApA, I_B1q Ñ HomApA, I_B2q Ñ ¨ ¨ ¨ .

Diz-se que uma categoria abeliana A possui suficientes projetivos se cada objeto possui uma resolução projetiva. Dados dois objetos numa categoria A que possua suficientes injetivos e projetivos, para cada resolução projetiva pPl, Blq de A, o n-ésimo grupo de

cohomologia de

0 Ñ HomApP0, Bq Ñ HomApP1, Bq Ñ HomApP2, Bq Ñ ¨ ¨ ¨

coincide com Extn_ApA, Bq.

1.2

Sequências Espectrais

Um objeto bi-graduado de A, ou simplesmente um objeto bi-graduado, quando não há perigo de confusão, é uma família pMp,qqpp,qqPZˆZ, indexada em Z ˆ Z, de objetos

de A. É frequente denotar um objeto bi-graduado de A por Ml,l_{. Diz-se que um objeto}

bi-graduado Ml,l _{de A é do tipo primeiro quadrante quando M}p,q

“ 0 se p ă 0 ou

q ă 0. Dados Ml,l _{e N}l,l

dois objetos bi-graduados de A e pa, bq P Z ˆ Z, um morfismo

bi-graduado de bi-grau pa, bq é uma família pϕp,q : Mp,q Ñ Np`a,q`bq em A. É frequente

denotar um morfismo bi-graduado por ϕl,l_{. A categoria cujo objetos são os objetos}

bi-graduados de A e os morfismos são os morfismos bi-graduados de bi-grau p0, 0q é uma categoria abeliana.

Uma cofiltração de um objeto graduado Ml

P GradpAq é uma família pFplqpPZ,

indexada em Z, de objetos de A tal que

F_p`1n Ď FpnĎ M n

para todo pn, pq P Z ˆ Z. Uma cofiltração pFl

p qpPZ de Ml é dita uma cofiltração do tipo finito se, para cada n P Z,

existem ps, tq P Z ˆ Z, com s ď t, satisfazendo

Uma cofiltração de um cocomplexo pCl_{, B}l

q é uma família pF_pl, Bl

pqpPZ, indexada em Z,

de objetos de A tal que pFl

p qpPZ é uma cofiltração de Cl e o diagrama

//_Cn´1 Bn´1 //_Cn Bn _// Cn`1 // //<sub>F</sub>n´1 p Bn´1p <sub>//</sub> OO Fn p Bpn <sub>//</sub> OO Fn`1 p // OO //_Fn´1 p`1 Bn´1<sub>p`1</sub> // OO Fn p`1 Bn<sub>p`1</sub> // OO F<sub>p`1</sub>n`1 // OO

é comutativo, onde as setas verticais são as inclusões. Como BnpFpnq “ ImpBnpq para todo

pn, pq P Z ˆ Z, alternativamente, pode-se definir uma cofiltração de pCl, Bl

q como sendo uma cofiltração pFl p qpPZ de Cl tal que BnpFpnq Ď F n`1 p Ď C n`1 para todo pn, pq P Z ˆ Z. Uma cofiltração pFl

p , BlpqpPZ de um cocomplexo pCl, Blq em A induz uma cofiltração

pΦlpqpPZ do objeto graduado ` H n pCl, Blq˘<sub>nPZ</sub> em A definindo Φn<sub>p</sub> “ Im ´ H n` pFpl, Bplq Ñ pCl, Blq ˘¯ . (1.4)

A verificação que a definição acima é uma cofiltração vem da observação do diagrama comutativo abaixo H n pFp`1l , Bp`1l q // %% %% H n pFpl, Blpq // %% %% Hn pCl, Bl_q r Φ $$ $$ :: :: Φn_p 99 99 Φn p`1 99 99 em A, onde H n pFp`1l , Bp`1l q Ñ rΦ ÑH n pFpl, Blpq e H n pFpl, Blpq Ñ Φ n p ÑH n pCl, Bl q são análises de H npFp`1l , Bp`1l q ÑH n pFpl, Bplq e H n pFpl, Blpq Ñ H n pCl, Bl q respecti-vamente e r Φ Ñ Φn<sub>p`1</sub>Ñ Φnp

é uma análise de rΦ Ñ Φn_p. Caso F_tn “ 0 e Fsn “ C n

, para alguns n, s, t P Z, então H n pFtl, B l t q “ 0, F n s Ñ C n “ 1Cn e Φn_t “ Im`H npFtl, B l t q ÑH n pCl, Blq˘ “ 0 e Φn<sub>s</sub> “ Im ´ Hn` pFsn, B l sq Ñ pC n_{, B}l q˘ ¯ “H npClq.

Ou seja, caso a cofiltração pFl

p , B

l

pqpPZ seja do tipo finito, então a cofiltração pΦlpqpPZ é do

tipo finito.

Sejam pCl_{, B}l

q um cocomplexo em A e µl: pDl, δlq Ñ pCl, Blq um mono-morfismo. Para cada n P Z, tem-se um diagrama em A

0 //Dn µn // δn  Cn // Bn  Cn_{Dn // Ωn  0 0 //Dn`1 µn`1//_Cn`1 //<sub>C</sub>n`1_{Dn`1 //₀

que é comutativo no lado esquerdo e pode ser completado no lado direito, pela propriedade de conúcleo, de tal que maneira que seja comutativo. Defini-se assim um cocomplexo pCl{Dl, Ωl q que é o quociente de pCl, Bl q por pDl, δl q. Fixe um cocomplexo pCl_{, B}l q e uma cofiltração pF_pl, Bl pqpPZ de pCl, Blq em

A. Para cada p P Z, tem-se uma sequência exata curta 0 Ñ pFl p`1, B l p`1q il_{p`1</sub> Ñ pF<sub>p</sub>l, Bl pq πpl Ñ pF<sub>p</sub>l{F<sub>p`1}l , Ωl pq Ñ 0, (1.5)

em CocomppAq e, consequentemente, uma sequência exata longa (Proposição 1.1.1)

¨ ¨ ¨ Ñ HnpFp`1l , Blp`1q ÑH n pFpl, Bplq Ñ H n pFpl{Fp`1l , Ωlpq Ñ H n`1pF<sub>p`1</sub>l , Bl p`1q Ñ ¨ ¨ ¨ .

Para cada par de inteiros pp, qq P Z ˆ Z, introduzindo-se as notações

D₁p,q“H p`qpFpl, Bplq e E p,q

1 “H

p`q

pFpl{Fp`1l , Ωlpq (1.6)

para os pp ` qq-ésimos grupos de cohomologias de pFl

p , B l p q e pF l p {F l p`1, Ω l pq, αp,q<sub>1</sub> “H p`qpilpq : D p,q 1 Ñ D p´1,q`1 1 e β p,q 1 “H p`q pπpq : Dp,q1 Ñ E p,q 1

para os morfismos induzidos por il

p e π

l

p, e

γ₁p,q : E₁p,q Ñ Dp`1,q1

para o morfismo de conexão, a sequência exata longa acima pode ser re-escrita como ¨ ¨ ¨ Ñ Dp`1,q´11 α1 ÝÑ p´1,1q D<sub>1</sub>p,q <sub>ÝÑ</sub>β1 p0,0q E<sub>1</sub>p,q <sub>ÝÑ</sub>γ1 p1,0q D<sub>1</sub>p`1,q Ñ ¨ ¨ ¨ , (1.7)

onde os subíndices nas setas acima indicam o bi-grau do morfismo correspondente. Um par exato em A é uma quíntupla

pDl,l, El,l_{, α}l,l_{, β}l,l_{, γ}l,l

onde Dl,l _{e E}l,l_{, são objetos bi-graduados de A e α}l,l _{: D}l,l

Ñ Dl,l, βl,l _{: D}l,l

Ñ

El,l _{e γ}l,l _{: E}l,l

Ñ Dl,l são morfismos bi-graduados de bi-graus pa, bq, pc, dq e pe, f q, respectivamente, Dl,l αl,l //_Dl,l βl,l  El,l γl,l \\ (1.8)

tal que para cada pp, qq P Z ˆ Z, a sequência ¨ ¨ ¨ Ñ Dp´c´a,q´d´bÝÑα pa,bq Dp´c,q´d_ÝÑβ pc,dq Ep,q _ÝÑγ pe,f q Dp`e,q`f Ñ ¨ ¨ ¨ , é exata em A. O morfismo bi-graduado dl,l _{: E}l,l

Ñ El,l de grau pc ` e, d ` f q definido por

dp,q “ βp`c,q`dγp,q : Ep,q Ñ Ep`c`e,q`d`f

é denominado diferencial do par exato. Denote a imagem de dp,q por Bp`c`e,q`d`f e seu núcleo por Zp,q.

Cada cofiltração pFl

p , BplqpPZ de um cocomplexo pCpl, Bplq sobre A dá origem,

por (1.7), a um par exato. Aplicando a Proposição 1.1.1 no diagrama comutativo 0 //pFp`1l , Bp`1l q // πl<sub>p`1</sub>  pFpl, Blpq //  pFpl{Fp`1l , Ωlpq //0 0 //pFp`1l {Fp`2l , Ωlp`1q //pFpl{F l p`2, Ωlq //pFpl{F l p`1, Ωlpq //0

em CocomppAq com linhas exatas, obtemos o diagrama comutativo

E₁p,q γ p,q 1 // D₁p`1,q β<sub>1</sub>p`1,q  E₁p,q //E₁p`1,q

em A, mostrando que o morfismo de conexão E₁p,qÑ E1p`1,q é a composta β

p`1,q

1 γ

p,q

1 , isto

é, a diferencial desse par exato é o morfismo de conexão da sequência exata curta de cocomplexos sobre A 0 Ñ pFl p`1{F l p`2, Ω l p`1q Ñ pF l p {F l p`2, Ω l q Ñ pFpl{F l p`1, Ω l pq Ñ 0. (1.9)

Descreveremos agora uma maneira de se obter um novo par exato em A

Dl,l₂ α l,l 2 // D₂l,l β₂l,l  E₂l,l γ₂l,l [[ ,

denominado de par exato derivado, a partir de (1.8). Seja

Dp,q εÝÑ Impαp,q p,qqµ

p`a,q`b

ÝÑ Dp`a,q`b (1.10)

uma análise de αp,q. Defina

E₂p,q “ Zp,q{Bp,q, D₂p,q“ Impαp´a,q´bq e

αp,q₂ “ εp,qµp,q.

Para definir γ₂p,q, lembrando que µp`e,q`e é o núcleo de βp`e,q`f, o lado esquerdo do diagrama abaixo Zp,q κp,q // r γp,q  Ep,q γp,q  Dp`e,q`f₂ µ p`e,q`f

//_Dp`e,q`f βp`e,q`f//_Dp`c`e,q`d`f

pode ser completado de maneira única de tal forma que ele se torna comutativo em A. Considerando agora uma análise

dp´c´e,q´d´f : Ep´c´e,q´d´f Ñ Bp,q Ñ Ep,q,

como dp,qdp´c´e,q´d´f “ 0, dp´c´e,q´d´f pode ser escrito como

Ep´c´e,q´d´f σÑ Bp,q p,q ι

p,q

Ñ Zp,q κ

p,q

Ñ Ep,q

e, utilizando o fato que γp,qdp´c´e,q´d´f “ pγp,qβp´c,q´dqγp´c´e,q´d´f “ 0, tem-se que

Ep´c´e,q´d´f σÑ Bp,q p,q ι p,q Ñ Zp,q rγ p,q ÝÑ D2p`e,q`f µp`e,q`f ÝÑ Dp`e,q`f

é o morfimo nulo. Como σp,q é um epimorfismo e µp`e,q`f é um monomorfismo, tem-se que

Bp,q ιÑ Zp,q p,q rγ

p,q

ÝÑ D2p`e,q`f

é o morfismo nulo. Pela propriedade do conúcleo, existe um único morfismo

γ₂p,q: E₂p,q Ñ D2p`e,q`f,

tal que o diagrama abaixo

Zp,q πp,q || r γp,q $$ E₂p,q γ₂p,q //_Dp`e,q`f 2

é comutativo em A, onde π₂p,q é o conúcleo de ιp,q. Para definir β₂p,q, aplicando o Lema da Serpente (Lema III 5.1 de [HS70]) nas linhas intermediárias do diagrama comutativo em A Zp´a´e,q´b´f rγ p´a´e,q´b´f // κp´a´e,q´b´f  Dp´a,q´b 2 αp´a,q´b₂ // µp´a,q´b  D₂p,q Ep´a´e,q´b´f γ p´a´e,q´b´f // ιp´a`c,q´b`d_σp´a`c,q´b`d  Dp´a,q´b εp´a,q´b // βp´a,q´b  D₂p,q 0  //₀ 0 //Zp´a`c,q´b`d κp´a`c,q´b`d // πp´a`c,q´b`d  Ep´a`c,q´b`d dp´a`c,q´b`d//  Ep´a`2c`e,q´b`2d`f Ep´a`c,q´b`d 2 //Impγ p´a`c,q´b`d q //Ep´a`2c`e,q´b`2d`f , (1.11) existe um morfismo β₂p,q: Dp,q₂ Ñ E2p´a`c,q´b`d,

tal que a sequência

Zp´a´e,q´b´f rγ ÝÑ D2p´a,q´b α2 ÝÑ D2p,q β2 ÝÑ E2p´a`c,q´b`dÝÑ Impγ p´a`c,q´b`d q (1.12)

é exata em A. Resta verificar apenas que a quíntupla acima é um par exato. Por (1.12), a sequência

Zp´a´e,q´b´f γr

ÝÑ Dp´a,q´b2

α2

ÝÑ Dp,q2

em A é exata. Como_rγp´a´e,q´b´f “ γ2p´a´e,q´b´fπp´a´e,q´b´f e πp´a´e,q´b´f é epimorfismo,

tem-se que a sequência

Ep´a´e,q´b´f γ2

ÝÑ D2p´a,q´b

α2

ÝÑ D2p,q

em A é exata. Por (1.11) e pelas definições de rγ

p´a`c,q´b`d e γ₂p´a`c,q´b`d, o diagrama Zp´a`c,q´b`d κ // π  r γ %% Ep´a`c,q´b`d γ xx  E₂p´a`c,q´b`d // γ2  Impγp´a`c,q´b`d q  Dp´a`c`e,q´b`d`f₂ µ //Dp´a`c`e,q´b`d`f

em A é comutativo. Por (1.12), a sequência

Dp,q₂ ÝÑ Eβ2 2p´a`c,q´b`d ÝÑ Impγ

p´a`c,q´b`d

q em A é exata. Como Impγp´a`c,q´b`d

q Ñ Dp´a`c`e,q´b`d`f é um monomorfismo, a sequência

Dp,q₂ β2

ÝÑ E2p´a`c,q´b`d ÝÑ Impγ

p´a`c,q´b`d

em A é exata em E₂p´a`c,q´b`d. Substituindo

E₂p´a`c,q´b`d ÝÑ Impγp´a`c,q´b`dq Ñ Dp´a`c`e,q´b`d`f

por

E₂p´a`c,q´b`d ÝÑ Dγ2 p´a`c`e,q´b`d`f2

µ

ÝÑ Dp´a`c`e,q´b`d`f

e pelo fato de µp´a`c`e,q´b`d`f se monomorfismo, tem-se que a sequência

D₂p,q β2

ÝÑ E2p´a`c,q´b`d

γ2

ÝÑ D2p´a`c`e,q´b`d`f

em A é exata. Logo, a sequência

Ep´a´e,q´b´f _ÝÑγ2 pe,f q D₂p´a,q´b_ÝÑα2 pa,bq D₂p,q _ÝÑβ2 pc´a,d´bq E₂p´a`c,q´b`d _ÝÑγ2 pe,f q D₂p´a`c`e,q´b`d`f (1.13) em A é exata, mostrando que a quíntupla definida acima é um par exato.

Para cada cofiltração pFl

p , B

l

pqpPZ de um cocomplexo pCpl, B

l

pq sobre A

defini-se por indução uma defini-sequência de pares exatos: (1.7) define o primeiro par exato e o pr ` 1q-ésimo par exato é o par exato derivado do r-ésimo par exato

Dl,l r αl,lr // Dl,l r βrl,l  El,l r γrl,l [[ . (1.14)

O r-ésimo par exato definido nessa sequência é denominado o r-ésimo par derivado de (1.7). O r-ésimo par derivado de (1.7) tem as seguintes propriedades:

1. A sequência longa E_rp´r`1,q`r´2 _ÝÑγr p1,0q D_rp´r`2,q`r´2 _ÝÑαr p´1,1q Dp´r`1,q`r´1_{r ÝÑ}βr pr´1,1´rq E_rp,q_ÝÑγr p1,0q D_rp`1,q (1.15) em A é exata; 2. Dp,q<sub>r</sub> “ Impα1p`1,q´1α p`2,q´2 1 ¨ ¨ ¨ α p`r´2,q´r`2 1 α p`r´1,q´r`1 1 q “ Im`Hp`qpil<sub>p`1</sub>il p`2¨ ¨ ¨ i l p`r´2i l p`r´1q ˘

para todo r ą 1, onde il

l é definida em (1.5); 3. O bi-grau da diferencial dl,l r é pr, 1 ´ rq; 4. E_rp,q “ Kerpdp,qr´1q{ Impd p´r`1,q`r´2 r´1 q para todos r ą 1 e pp, qq P Z ˆ Z.

Tem-se que (1.15) segue iterando (1.13). Daí 3 é consequência imediata desta. A afirmação 4 ocorre iterando a construção do par derivado e 2 vem da expansão diagrama

Dp`3,q´3 ε //D<sub>2</sub>p`2,q´2 µ // ε2 %% %% Dp`2,q´2 ε //D<sub>2</sub>p`1,q´1 µ // ε2 %% %% Dp`1,q´1 ε //Dp,q<sub>2</sub> µ //Dp,q D<sub>3</sub>p`1,q´1 ε3 && && 99 µ2 99 Dp,q₃ :: µ2 :: Dp,q₄ 88 µ3 88

até o necessário (para calcular D_rp,q a primeira linha deve começar em Dp`r´1,q´r`1 e terminar em Dp,q), onde εl,l _{e µ}l,l _{são definidos em (1.10) e D}p,q

r εr

Ñ Dp´1,q`1r`1 µr

Ñ Dp´1,q`1r

é uma análise de αp,q_r para r ą 1 (o diagrama acima mostra, por exemplo, que Dp`3,q´3 ε3ε2ε

ÝÑ

Dp,q₄ µµÝÑ D2µ3 p,q é uma análise de α3).

Uma sequência espectral em A é uma família de pares ordenados pEl,l

r , d

l,l

r qrě1,

indexada em nos inteiros positivos, onde El,l

r é um objeto bi-graduado e dl,lr : Erl,l Ñ

El,l

r é um morfismo bi-graduado de bi-grau pr, 1 ´ rq satisfazendo dp,qr dp´r,q`r´1r “ 0 e

E_rp,q “ Kerpdp,qr´1q{ Impd

p´r`1,q`r´2

r´1 q

para todos r ą 1 e pp, qq P Z ˆ Z. O objeto bi-graduado El,l

r é chamado de r-ésima página

da sequência espectral. A r-ésima página de uma sequência espectral pode ser “visualizada”

através de um diagrama: ¨ q ¨ ## ¨ ¨ $$ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ $$ ¨ $$ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ $$ ¨ ¨ $$ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ $$ ¨ ¨ ¨ ¨ $$ ¨ ¨ ¨ ¨ $$ ¨ ¨ ¨ ## ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ## ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ //p ¨ ¨ OO ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

Para cada cofiltração pFl

p , B

l

pqpPZde um cocomplexo pCpl, B

l

pq em A a sequência

dos r-ésimos pares derivados dão origem a uma sequência espectral em A, denominada de

Sejam pEl,l

r , d

l,l

r qrě1 uma sequência espectral em A e pp, qq P Z ˆ Z. Como

E₂p,q é um subquociente de E₁p,q, existem subobjetos Z₂p,q e B₂p,q de E₁p,q satisfazendo

B₂p,q Ď Z2p,q Ď E p,q 1 e E₂p,q – Z2p,q{B p,q 2 . Como E p,q 3 é um subquociente de E p,q

2 , pelo Teorema da Correspondência

(Teorema 2.14 de [Rot08]), existem subobjetos Z₃p,q e B₃p,q de E₁p,q satisfazendo

B₂p,q Ď B3p,qĎ Z p,q 3 Ď Z p,q 2 Ď E p,q 1 e E₃p,q – Z3p,q{B p,q

3 . Continuando o raciocínio, encontra-se uma sequência

B₂p,qĎ B3p,q Ď ¨ ¨ ¨ Ď Brp,q Ď Z p,q r Ď ¨ ¨ ¨ Ď Z p,q 3 Ď Z p,q 2 Ď E p,q 1

satisfazendo E_rp,q– Z_rp,q{B_rp,q para r ą 1. Defini-se

Z₈p,q “ č rą1 Z_rp,q, Bp,q₈ “ ď rą1 B_rp,q

e o termo limite da sequência espectral

E₈p,q “ Z8p,q{B

p,q

8 .

Uma sequência espectral pEl,l

r , dl,lr qrě1 converge a um objeto graduado Hl,

denotado por

E_rp,q ñ Hp`q,

se existe uma cofiltração de Hl _{do tipo finito pF}l

p qpPZ tal que, para cada pp, qq P Z ˆ Z,

vale E₈p,q – Fpp`q{F p`q p`1. Seja pFl p , B l

pqpPZ uma cofiltração do tipo finito de um cocomplexo pCl, Blq

sobre A e relembre a definição de pΦl

pqpPZ dada em (1.4). Fixado pp, qq P Z ˆ Z, a sequência

espectral derivada de (1.7), tem as seguintes propriedades para r suficientemente grande:

1. E₁p`r,q “ 0; 2. E<sub>1</sub>p´r,q “ 0; 3. E<sub>r</sub>p,q “ E8p,q; 4. Dp,q<sub>r</sub> “ 0; 5. Dp´r,q<sub>r</sub> “ Φp`q´rp´1 ; 6. A sequência 0 ÝÑ Φp`rp`1 αr ÝÑ Φp`rp βr ÝÑ Erp,q ÝÑ 0 é exata em A;

7. E_rp,q ñHp`qpCl, Bl

q.

Como a filtração é do tipo finito, existem ps0, t0q P Z ˆ Z tal que

F_tp`q`r₀ “ 0 e F_sp`q´r<sub>0</sub> “ Cp`q´r.

Caso p ` r ě t0, isto é, r suficientemente grande, tem-se que

F<sub>p`r</sub>p`q`r{Fp`r`1p`q`r “ 0{0 “ 0,

donde E₁p`r,q “H p`q`rpFp`rl {F

l

p`r`1, Ωp`rq “ 0. Isso verifica 1. Caso p ´ r ` 1 ď s0 tem-se

que

F_p´rp`q´r{Fp´r`1p`q´r “ Cp`q´r{Cp`q´r “ 0,

donde E₁p´r,q “ Hp`q´rpFp´rl {Fp´r`1l , Ωp´rq “ 0. Isso verifica 2. Para r suficientemente

grande, E_rp`r,q`1´r “ 0 e Erp´r,q`r´1 “ 0, já que são subquocientes de E

p`r,q`1´r

1 “ 0 e

E₁p´r,q`r´1 “ 0, respectivamente. Assim, dp´r,q`r´1r e d p,q

r são morfismos nulos, ou seja,

E_{r`1</sub>p,q – Erp,q e daí B<sub>r</sub>p,qĎ Br`1p,q Ď Z p,q r`1 Ď Z p,q r Ď E p,q 1 e Z<sub>r</sub>p,q{B<sub>r</sub>p,q – Zr`1p,q {B p,q r`1 – ´ Z<sub>r`1}p,q {B_rp,q ¯ { ´ B_{r`1</sub>p,q {B<sub>r</sub>p,q ¯ . Logo, B<sub>r`1}p,q {Brp,q “ 0, isto é, B p,q r`1 – B p,q r , e Z p,q r`1{B p,q r “ Z p,q r {B p,q r , isto é, Z p,q r`1 – Z p,q r .

Pela definição de termo limite, Z₈p,q– Zrp,q, B p,q

8 – B

p,q

r e 3 é verificado. Escolhendo r

sufici-entemente grande tal que F<sub>p`r´1</sub>p`q´1“ Fp`r´1p`q “ F p`q`1

p`r´1 “ 0, tem-se queH p`qpFp`r´1l q “ 0.

Como

D₂p,q “ Im`Hp`qpF<sub>p`r´1</sub>l q ÑH p`qpF_p`1l q˘,

4 segue. Escolhendo r suficientemente grande tal que F<sub>p´r`1</sub>p`q´r “ Cp`q´r, tem-se que

ip`q´r<sub>p´r`1</sub>ip`q´r<sub>p´r`2</sub>¨ ¨ ¨ ip`q´rp´2 i p`q´r p´1

é o morfismo F_p´1p`q´r Ñ Cp`q´r. Logo, 5 é verificado. A afirmação 6 é (1.15) para r suficientemente grande e 7 vem da definição de convergência de uma sequência espectral, considerando a cofiltração pΦl pqpPZ de ` Hn pCl, Bl q˘_nPZ.

Concentremos a atenção agora para uma sequência espectral pEl,l

r , d

l,l

r qrě1

em A tal que cada página é do tipo primeiro quadrante. Fixado pp, qq P Zě0ˆ Zě0, dado

r suficientemente grande para que p ´ r ă 0 e q ´ r ` 1 ă 0, tem-se que Ep´q,q`r´1“ 0 e

Ep`r,q´r`1 “ 0. Daí, Er`1p,q “ Erp,q. Logo,

E₈p,q – E_rp,q, para r suficientemente grande.

Suponha que a sequência espectral convirja para um objeto graduado Hl _{em A não}

negativo tal que a filtração do tipo finito pFl

p qpPZ satisfaça

A sequência espectral pEl,l

r , d

l,l

r qrě1 e o objeto graduado Hl tem as seguintes

proprieda-des:

1. H0 – E80,0;

2. A sequência

0 ÝÑ E₈1,0 ÝÑ H1 ÝÑ E₈0,1 ÝÑ 0 é exata em A;

3. E_r`10,n – Kerpd0,n_r q, para todos r ą 0 e n ě 0;

4. Para todos r ą n ` 1 ą 1, Er`10,n – Ern,0. Em particular, E

0,n 8 – E

n,0 r ;

5. E_r`10,n Ď Er0,n, para todos r ą 0 e n ě 0. Em particular, E

0,n 8 Ď E 0,n r ; 6. A sequência 0 ÝÑ Impdn´r,r´1r q ÝÑ Ern,0ÝÑ E n,0 r`1 ÝÑ 0

é exata em A para todos r ą 1 e n ě 0. Em particular, E<sub>r`1</sub>n,0 é o conúcleo de dn´r,r´1<sub>r</sub> ; 7. Para todos r ą n ě 1, Er`1n,0 – Ern,0. Em particular, E8n,0– E

n,0 r ;

8. Para todos n ě 0 e r ą 1 existe uma epimorfismo E_rn,0Ñ E₈n,0; 9. E₈n,0 Ď Hn para todo n ě 0; 10. A sequência 0 ÝÑ E21,0 ÝÑ H 1 ÝÑ E20,1 d2 ÝÑ E22,0 ÝÑ M 2 é exata em A. Como 0 “ F₁0 Ď F₀0 “ H0 e E₈0,0 – F00{F 0 1, 1 é imediato. Como 0 “ F₂1 Ď F11 Ď F 1 0 “ H 1_, E₈0,1 – F01{F 1 1 e E 1,0 8 – F 1 1{F 1 2, tem-se que E 0,1 8 – H 1

{E81,0. Daí segue 2. Como E

´r,n`r´1

“ 0,

E<sub>r`1</sub>0,n – Kerpd0,n<sub>r</sub> q{ Impd´r,n`r´1_r q – Kerpd0,n_r q{0 – Kerpd0,n_r q.

Daí segue 3. Como E_rr,n`1´r “ 0, 4 é consequência de 3. Como Kerpd0,nr q é um subobjeto

de E_r0,n, 5 segue de 3. Como En`r,1´r “ 0, E<sub>r`1</sub>n,0 – Kerpdn,0r q{ Impd n´r,r´1 r q – E n,0 { Impdn´r,r´1r q.

Daí resulta 6. Como En´r,r´1 “ 0, 7 é consequência de 6. A afirmação 8 é imediata de 6. Como

0 “ Fn`1n Ď Fnn Ď F0n“ Hn

e E₈n,0– Fnn{F n

n`1, 9 é imediato. Para 10, tem-se a sequência exata curta

0 ÝÑ Kerpd0,12 q ÝÑ E 0,1 2 d2 ÝÑ E22,0 ÝÑ E 2,0 2 { Impd 0,1 2 q ÝÑ 0

em A. Por 3, 4, 6 e 7, também temos a sequência exata 0 ÝÑ E₈0,1 ÝÑ E20,1

d2

ÝÑ E22,0 ÝÑ E82,0 ÝÑ 0.

Considerando a inclusão E₈2,0 Ñ H2 dada em 9 e a sequência exata 0 ÝÑ E81,0 ÝÑ H

1

ÝÑ E80,1

dada em 2, obtêm-se a sequência exata

0 ÝÑ E₈1,0 ÝÑ H1 ÝÑ Eϕ 20,1 d2 ÝÑ E22,0 ψ ÝÑ H2, onde ψ é a composição H1 ÝÑ E80,1 ÝÑ E 0,1 2 e ψ é a composição E 2,0 2 ÝÑ E 2,0 8 Ñ H 2_.

Segue agora de 7 que E₈1,0 – E21,0.

Considere uma sequência pEl,l

r , dl,lr qrě1 em A e um objeto graduado Hl em

A como no parágrafo anterior tal que a cofiltração pFl

p qpPZ que satisfaça (1.16). Como

pela definição de sequência espectral temos

E₈n,0– Fnn, E8n´1,1 – F

n

n´1{Fnn, ¨ ¨ ¨ , E80,n– H

n

{F₁n

se A é uma categoria semissimples temos que

Hn – E8n,0‘ E

n´1,1

8 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ E 0,n

8 . (1.17)

Considere um sequência espectral pEl,l

r , d

l,l

r qrPZ em A e um objeto graduado

Hl _{em A como no parágrafo anterior tal que a cofiltração pF}l

p qpPZ que satisfaça (1.16) e

suponha que exista uma reta R tal que

E₂p,q“ 0, para todo pp, qq R R.

Fixado n ě 0, vamos olhar para a reta S : p ` q “ n. Caso S e R não se intersectem no primeiro quadrante temos que E₈p,n´p “ 0, já que este é um subquociente de E2p,n´p “ 0, e

0 “ Fnn“ ¨ ¨ ¨ “ F n

0 “ H

n

.

Caso S e R se intersectem no primeiro quadrante e sejam concorrentes, seja pp0, n ´ p0q

tal intersecção p0 P t0, . . . , nu. Então

0 “ F₀n “ ¨ ¨ ¨ “ F_pn_0`1 Ď F_pn₀ “ ¨ ¨ ¨ “ F₀n “ Hn e Hn– Ep0,n´p0

Como o domínio de dp0´r0,pn´p0q`r0´1

r0 e o contradomínio de d

p0,n´p0

r0 estão sobre a reta

pr0´ 1qp ` r0q “ pr0´ 1qp0 ` r0pn ´ p0q, (1.18)

caso R seja diferente desta para qualquer r0 ě 1 tem-se que essas diferenciais são nulas e

Hn– Ep0,n´p0

8 – E

p0,n´p0

2 . (1.19)

Caso R tenha a forma (1.18) para algum valor de r0, tem-se que dpr0´r,pn´p0q`r´1 e d p0,n´p0

r

são nulas para r ‰ r0 e

Hn– Ep0,n´p0

8 – E

p0,n´p0

r0 .

A principal aplicação de sequências espectrais é o cálculo do cocomplexo total de um bicocomplexo, que será relembrado na próxima seção.

1.3

Sequência Espectral de Grothendieck

Um bi-cocomplexo em A é uma trinca ordenada pMl,l

, ∆l,l_h , ∆l,l_v q, onde Ml,l _{é um objeto bi-graduado de A, ∆}l,l h : M l,l Ñ Ml,l é um morfismo bi-graduado de grau p1, 0q e ∆l,l v : M l,l

Ñ Ml,l é um morfismo bi-graduado de grau p0, 1q satisfazendo ∆p`1,q<sub>h</sub> ∆p,q<sub>h</sub> “ 0, ∆p,q`1_v ∆_vp,q “ 0 e ∆p,q`1<sub>h</sub> ∆p,q<sub>v</sub> “ ∆p`1,qv ∆

p,q

h para todo pp, qq P Z ˆ Z.

Um bi-cocomplexo pode ser “visualizado” através de um diagrama:

¨ q ¨ ¨ ¨ ∆h //¨ ¨ ¨ ¨ ∆v OO ¨ ¨ _∆ h // ∆v OO ¨ ∆v OO ¨ ¨ ¨ ∆v OO ∆h //_{¨ ¨ ¨} ¨ ∆h //_¨ ∆h //_¨ ∆v OO ∆h //_¨ ∆v OO ∆h //_¨ ∆h //_¨ ¨ ¨ ¨ // ∆v OO ¨ ¨ p ¨ ¨ OO ¨ ∆v OO ¨ ¨ ¨ Dado um bi-cocomplexo pMl,l_{, ∆}l,l h , ∆ l,l

v q e p P Z, tem-se uma cadeia

co-complexa pMp,l, ∆p,l_v q : ¨ ¨ ¨ Ñ Mp,q´1 ∆ p,q´1 v Ñ Mp,q ∆ p,q v Ñ Mp,q`1 Ñ ¨ ¨ ¨ .

De uma maneira análoga, para cada q fixo, tem-se uma cadeia cocomplexa pMl,q, ∆l,q_h q : ¨ ¨ ¨ Ñ Mp´1,q ∆ p´1,q h Ñ Mp,q ∆ p,q h Ñ Mp`1,q Ñ ¨ ¨ ¨ .

Para cada n P Z, seja Cn“ à p`q“n Mp,q“à pPZ Mp,n´p,

e, para cada p P Z, seja

F_pn “à

iěp

Mi,n´i“ Mp,n´p‘ Mp`1,n´p´1‘ Mp`2,n´p´2‘ ¨ ¨ ¨ .

Fixado pp, qq P Z ˆ Z, sejam ιp,q : Mp,q Ñ Cp`q a inclusão com respeito a soma direta e Bp`q : Cp`q Ñ Cp`q`1

o único morfismo tal que

Bp`qιp,q “ ιp`1,q∆p,qh ` p´1q p

ιp,q`1∆p,q_v .

Segue que pFl

p qpPZ é uma cofiltração de pClq que satisfaz BnpFpnq Ď Fpn`1 para todo

pn, pq P Z ˆ Z, dando origem a um morfismo Bnp : F n p Ñ F n`1 p . O cocomplexo total de pMl,l, ∆l,l_h ,∆l,l v q em A é definido por pC l

, Blq. A primeira cofiltração do cocomplexo

total de pMl,l, ∆l,l_h , ∆l,l v q em A é definida por pF l p , B l pqpPZ. Fixado p P Z, como o diagrama 0 //Fn p`1 // B<sub>p`1</sub>n  Fn p // Bpn  Mp,n´p // p´1qp∆p,n´pv  0 0 //F<sub>p`1</sub>n`1 //Fn`1 p //Mp,n´p`1 //0

é comutativo para todo n P Z, tem-se que a primeira página da sequência espectral derivada de (1.7) com relação a primeira filtração do complexo total é

E₁p,q “H p`qpF<sub>p</sub>l{F<sub>p`1</sub>l , Ωpq “H qpMp,l, p´1qp∆p,lv q “H q

pMp,l, ∆p,l_v q. (1.20) A diferencial dp,q₁ : E₁p,q Ñ E1p`1,q, por (1.9), é o morfismo de conexão para a sequência

exata curta

0 Ñ`Mp`1,l´1, p´1qp`1,l´1∆p`1,l´1˘ Ñ `Mp`1,l´1‘ Mp,l, Ωl˘

Ñ `Mp,l, p´1qp∆p,l_v ˘ Ñ 0

em CocomppAq, com

Ωp`qpxp`1,q´1` xp,qq “ p´1qp`1∆p`1,q´1v pxp`1,q´1q ` ∆p,qh pxp,qq ` p´1qp∆p,qv pxp,qq

para todos xp`1,q´1 P Mp`1,q´1 e xp,q P Mp,q. Para determinar dp,q1 , basta analisar o

diagrama Mp`1,q´1<sub>‘ M</sub>p,q π // Ωp`q  Mp,q //₀ 0 //Mp`1,q µ //<sub>M</sub>p`1,q ‘ Mp,q`1

da seguinte forma: dado x P Mp,q tal que ∆p,q_v pxq “ 0, tem-se que $ & % πpxq “ x µ`∆p,q<sub>h</sub> pxq˘ “ Ωp`qpxq

donde dp,q₁ `x ` Imp∆p,q´1q˘ “ ∆p,q_h pxq ` Imp∆p`1,q´1_h q. Como ∆p,l_h : pMp,l, ∆p,l_v q Ñ pMp`1,l, ∆p`1,l_v q é um morfismo de cocomplexos, tem-se que

dp,q₁ “Hqp∆p,l_h q. Notando que pE1l,q, d

l,q

1 q é um cocomplexo em A para cada q P Z, pode-se escrever

E₂p,q“H ppE1l,q, d l,q 1 q “ H p` Hq pMl,l, ∆l,l_v q,H qp∆l,lh q ˘ (1.21) que é denominada de primeira cohomologia iterada do bi-cocomplexo pMl,l_{, ∆}l,l

h , ∆ l,l v q. O bi-cocomplexo transposto de pMl,l_{, ∆}l,l h , ∆l,lv q é definido por Np,q“ Mq,p, δp,q_h “ ∆q,pv e δ p,q v “ ∆ q,p h . O cocomplexo total de pNl,l_{, δ}l,l h , δ l,l

v q coincide com o cocomplexo total de

pMl,l, ∆l,l_h , ∆l,l

v q.

A primeira cofiltração de pNl,l_{, δ}l,l

h , δ

l,l

v q é denominada de segunda cofiltração do

com-plexo total do bi-cocomcom-plexo pMl,l_{, ∆}l,l

h , ∆

l,l

v q. A primeira página da sequência espectral

derivada de (1.7) com respeito a segunda cofiltração é

E₁p,q “H qpNp,l, δ_vp,lq “H qpMl,p, ∆l,p_h q. (1.22) A diferencial da primeira página é dada por

dp,q₁ “H qpδhp,lq “ H q

p∆l,pv q

e a segunda página é dada por

E₂p,q “HppE1l,q, d l,q 1 q “H p` H q pMl,l, ∆l,l_h q,Hqp∆l,l_v q˘, (1.23) que é denominada de segunda cohomologia iterada do bi-cocomplexo pMl,l_{, ∆}l,l

h , ∆l,lv q.

O teorema abaixo é denominado Teorema da Sequência Espectral de Grothen-dieck. Como consequência imediata dele, temos o Teorema da Sequência Espectral de Lyndon-Hochschild-Serre, tanto para teoria de grupos como para teoria de álgebras de Lie. Pela sua importância teórica, ao contrário do que vinha acontecendo, incluímos uma demonstração para este teorema (Teorema 10.47 de [Rot08]).

Teorema 1.3.1. Sejam G : A Ñ B e F : B Ñ C funtores aditivos. Suponha que F

seja exato à esquerda e que A e B possuam suficientes injetivos. Suponha ainda que Rq_{F `GpJq˘ “ 0 para todo q ą 0 e todo objeto J P A injetivo. Então, para cada A P A,}

existe uma sequência espectral E tal que

E_rp,q ñRp`qpF ˝ G qpAq, com E<sub>2</sub>p,q“RqF `RpG pAq˘.

Demonstração. Seja pIl_{, B}l

q uma coresolução injetiva de A. Para simplificar a notação, sejam

Hn“H npG pIlq,G pBlqq, Bn “ ImpG pIn´1 Ñ Inqq, Zn “ KerpG pInÑ In`1qq, Rn_{F “ F}n

e RnG “ Gn,

para todo n ě 0. Pela notação, Z0 “ H0 e pela definição de funtores derivados à direita,

Hn “GnpAq. Para cada p ě 0, temos as sequências exatas curtas

0 Ñ Bp`1Ñ Zp`1Ñ Hp`1Ñ 0 e 0 Ñ Zp ÑG pIpq Ñ Bp`1 Ñ 0. Fixado p ě 0, sejam pBp`1,l, δp`1,lq : 0ÝÑBp`1,0 δ p`1,0 ÝÑ Bp`1,1 δ p`1,1 ÝÑ Bp`1,2¨ ¨ ¨ (1.24) pHp,l, δp,lq : 0 ÝÑ Hp,0 δ p,0 ÝÑ Hp,1 δ p,1 ÝÑ Hp,2¨ ¨ ¨ (1.25)

coresoluções injetivas de Bp`1e Hp, respectivamente. Introduza a notação Z0,q “ H0,qpara todo q ě 0. Pelo Lema da Ferradura (Proposição 6.24 de [Rot08]), existem corresoluções injetivas pZp`1,l, φp`1,lq : 0 ÝÑ Zp`1,0 φ p`1,0 ÝÑ Zp`1,1 φ p`1,1 ÝÑ Zp`1,2¨ ¨ ¨ (1.26) pDp,l, φp,lq : 0 ÝÑ Dp,0 φ p,0 ÝÑ Dp,1 p,φ 1 ÝÑ Dp,2¨ ¨ ¨ (1.27)

de Zp`1 e G pIpq, respectivamente, tais que as sequências

0 Ñ Bp`1,q Ñ Zp`1,q Ñ Hp`1,q Ñ 0 e 0 Ñ Zp,qÑ Dp,q Ñ Bp`1,q Ñ 0, são ainda exatas curtas, para p, q ě 0. Defina Mp,q “F pDp,qq,

∆p,q_v “F pφp,qq e ∆p,q_h “F pDp,q Ñ Bp`1,q Ñ Zp`1,q Ñ Dp`1,qq (1.28) para todos p, q ě 0. Essa definição dá origem à um bicocomplexo M em A. Seja pCl_{, B}l

q o cocomplexo total de pMl,l_{, ∆}l,l

h , ∆

l,l

v q.

Calcularemos a segunda página da sequência espectral associada a primeira cofiltração do cocomplexo total de pMl,l_{, ∆}l,l

h , ∆

l,l

v q. Fixe p ě 0. Como pD p,l_{, φ}l