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Equação de Burgers estocástica

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Academic year: 2021

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(1)

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

ALVARO ENRIQUE MACHADO HERNANDEZ

EQUAÇÃO DE BURGERS ESTOCÁSTICA

Campinas

2019

(2)

EQUAÇÃO DE BURGERS ESTOCÁSTICA

Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

Orientador: Pedro Jose Catuogno

Este exemplar corresponde à versão final

da Dissertação defendida pelo aluno

Alvaro Enrique Machado Hernandez e

orientada pelo Prof. Dr. Pedro Jose

Catuogno.

Campinas

2019

(3)

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Machado Hernandez, Alvaro Enrique,

M18e MacEquação de Burgers estocástica / Alvaro Enrique Machado Hernandez. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

MacOrientador: Pedro Jose Catuogno.

MacDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Mac1. Burgers, Equação de. 2. Processo estocástico. 3. Itô, Cálculo de. I. Catuogno, Pedro Jose, 1959-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Stochastic Burgers' equation Palavras-chave em inglês:

Burgers equation Stochastic processes Itô calculus

Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:

Pedro Jose Catuogno [Orientador] David Alexander Chipana Mollinedo Christian Horacio Olivera

Data de defesa: 08-08-2019

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-3335-6754 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/9288088919090205

(4)

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). PEDRO JOSE CATUOGNO

Prof(a). Dr(a). DAVID ALEXANDER CHIPANA MOLLINEDO

Prof(a). Dr(a). CHRISTIAN HORACIO OLIVERA

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

(5)
(6)

Agradeço primeiramente à Deus porque merece toda a honra, toda a glória e o poder; além disso, me sinto grato com Ele porque tem me permitido estar aqui no Brasil para obter minha formação como mestre em Matemática.

Agradeço a minha família por todo apoio, os seus ânimos e as suas orações, em especial aos meus pais Álvaro e Bertha, aos meus irmãos David e Felipe e as minhas tias Margoth e Gladis.

Agradeço aos meus irmãos em cristo pelas suas orações, em especial à irmã María Noriega Genes.

Agradeço ao Professor Dr. Pedro José Catuogno pela orientação neste trabalho, pelo conhecimento compartilhado, sua paciência e sua compreensão.

Agradeço a todos os professores que tive na vida, em especial à Professora Cristina Correa Murillo em Carepa-Antioquia (Colômbia), que fez crescer minha paixão pela Matemática e me inspirou como professor.

Agradeço a todos os meus colegas e a minha namorada por viverem nos bons e maus momentos ao meu lado.

Agradeço aos professores membros da Banca Examinadora por terem aceitado o convite para avaliar este trabalho.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

(7)

A ele seja a glória para sempre! Amém. ( Romanos 11:36)

(8)

Neste trabalho introduzimos alguns conceitos e ferramentas básicas do cálculo estocástico como são os martingales, o movimento Browniano, fórmulas de Itô, a integral de Itô, processos de Itô e estendemos esses conceitos a processos de Wiener cilíndricos; logo, estudamos a solução da equação de Burgers determinística e algumas das suas propriedades quando a viscosidade é positiva e quando a viscosidade é nula. No caso de viscosidade positiva, encontramos uma solução em forma de onda viajante por integração e no caso de viscosidade nula achamos a solução pelo método das curvas características e analisamos o problema de Riemann e as soluções fracas. Depois, como uma aplicação do cálculo estocástico, achamos uma representação probabilística para a solução de um caso particular da equação de Burgers determinística, e finalmente, usamos o cálculo estocástico para estudar a solução e estabilidade da solução da equação de Burgers estocástica com ruido branco aditivo.

Palavras-chave: Fórmula de Itô, integral de Itô, processo de Wiener cilíndrico, Solução de

(9)

In this work we introduce some basic concepts and tools of stochastic calculus such as martingales, Brownian motion, Itô’s formulas, Itô’s integral, Itô’s processes and extend these concepts to a cylindrical Wiener processes; after, we study the solution of the deterministic Burgers equation and some of their properties when the viscosity is positive and when the viscosity is zero, in the case of positive viscosity; we find a solution in traveling wave form by integration and in the case of inviscid we find the solution by the characteristic curves method after that we analyze the Riemann problem and the weak solutions. Next, as an application of the stochastic calculus, we find a probabilistic representation for the solution of a particular case of the deterministic Burgers equation, and finally, we use the stochastic calculation to study the solution and solution stability of the stochastic Burgers equation with additive white noise.

Keywords: Itô’s formula, Itô’s integral, cylindrical Wiener process, Cole-Hopf solution,

(10)

Rd Espaço euclidiano real d-dimensional , R “ R1.

s ^ t Mínimo entre s e t.

} ¨ }X Norma do espaço vetorial X. supp φ Suporte da função φ.

CpX, Y q Funções contínuas em X a valores em Y .

CkpΛq Funções definidas sobre Λ com derivadas contínuas de ordem k ě 0 em Λ.

C8

pΛq Funções definidas sobre Λ com derivadas contínuas de ordem k, com k “ 1, 2, . . ..

C8

c pΛq Funções de classe C8 com suporte compacto contido em Λ.

DpΛq Espaço das funções de classe C8 com suporte compacto contido em Λ.

LppΩq Funções f : Ω Ñ R mensuráveis tais que ż Ω |f |pdP ă 8. q.c. Quase certamente. E p X q Esperança Matemática de X. X P Ft X é Ft-mensurável.

EpX|Gq Esperança condicional de X dada a σ-álgebra G.

xXy Variação quadrática de X.

(11)

Introdução . . . 12

1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO ESTOCÁSTICO . . . 16

1.1 Martingales . . . 16

1.2 Fórmula de Itô 1-Dimensional . . . 18

1.3 Fórmula de Itô Multidimensional . . . 24

1.4 Integral de Itô . . . 26

1.5 Movimento Browniano. . . 34

1.6 Processos de Wiener Cilíndricos . . . 38

1.6.1 Processo de Wiener Regularizado. . . 44

2 EQUAÇÃO DE BURGERS DETERMINÍSTICA. . . 48

2.1 Solução da Equação de Burgers Viscosa . . . 48

2.2 Velocidade de Choque . . . 51

2.3 Características da Equação de Burgers . . . 52

2.4 Solução Fraca . . . 54

2.5 Problema de Riemann . . . 55

2.6 Derivação da solução de Cole-Hopf da Equação de Burgers por Integração Estocástica . . . 62

3 EQUAÇÃO DE BURGERS ESTOCÁSTICA . . . 64

3.1 Resolvendo a Equação de Burgers Estocástica . . . 65

3.2 Estabilidade da Solução de Cole-Hopf . . . 72

REFERÊNCIAS . . . 75

APÊNDICES . . . 77

APÊNDICE A – ESPERANÇA CONDICIONAL . . . 77

APÊNDICE B – DESIGUALDADE DE DOOB PARA MARTINGALES . 80 APÊNDICE C – INTEGRAL DE STRATONOVICH . . . 83

(12)

Introdução

Em 1915 Harry Bateman (1882-1946), matemático inglês, introduziu uma equação diferencial parcial em um artigo com valor inicial e condição de fronteira dado por

$ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ % Btu ` u Bxu “ ν Bx2u, 0 ă x ă L, 0 ă t ă π up0, xqψpxq, 0 ă x ă L upt, 0qζ1ptq, 0 ă t ă π upt, Lqζ2ptq, 0 ă t ă π , (1)

em que u, x, t, e v são a velocidade, a coordenada espacial, o tempo e a viscosidade cinemática respectivamente e ψ, ζ1 e ζ2 são funções prescritas de variáveis as quais dependem das condições

especificas do problema a ser resolvido. Anos mais tarde, em 1948, Johannes Martinus Burgers (1895-1981), físico holandês, explicou o modelo para turbulências com ajuda da equação (1),

depois disso, Burgers tornou-se em uma das principais figuras no campo da mecânica de fluidos, e para fazer honra às contribuições dele, a equação (1) foi batizada equação de Burgers. Outras personagens que fizeram grandes a dita equação foram Eberhard Hopf (1902-1983) e Julian David Cole (1925-1999), eles introduziram uma transformação que torna a equação de Burgers na equação linear do calor

Btθ “ ´2ν B2xθ, (2)

e a resolveram exatamente para uma condição inicial arbitrária; dita transformação é conhecida como transformação de Cole-Hopf e é dada por

upt, xq “ ´2νB θ ,

onde θ satisfaz a equação do calor (2).

A equação de Burgers tem diversas aplicações, por exemplo, ela pode ser usada na teoria de fluxo de tráfego, na qual podemos considerar a corrente de tráfego na via expressa como o número de carros que passam por um ponto de referência por unidade de tempo. Se a concentração de veículos está linearmente relacionada à velocidade do vento, no caso 1-dimensional, então a concentração de veículos na estrada pode ser expressada pela equação de Burgers, e quando o problema é visto a partir de uma longa distancia, ele pode ser tratado como um problema de fluido compressível 1-dimensional. Outras áreas nas quais a equação de Burgers tem aplicabilidade são aerodinâmica, dinâmica de gases ou líquidos, cosmologia, etc.

A equação de Burgers

(13)

quando ν ą 0 é conhecida como equação de Burgers viscosa; quando ν “ 0, a equação (3) transforma-se em

Btu ` u Bxu “ 0 (4)

e é conhecida como equação de Burgers sem viscosidade. A equação de Burgers viscosa está intimamente relacionada com outras equações diferenciais parciais, um exemplo clássico é a sua relação com a equação de Navier-Stokes:

#

Btupt, xq ` upt, xq Bxupt, xq “ ´Bx2ppt, xq ` ν ∆ upt, xq ` F pt, xq

Bxupt, xq0,

a qual descreve o movimento de fluidos viscosos. A equação de Burgers é obtida como uma simplificação da equação de Navier-Stokes ao considerar o fluido incompressível e ao descartar os termos de pressão ´Bx2ppt, xq e de força corporal F pt, xq. Além disso, a equação de Burgers não viscosa também pode ser obtida simplificando mais um poco a equação de Navier-Stokes considerando adicionalmente que não há viscosidade, isto é, ν “ 0.

A equação de Burgers tem uma versão estocástica dada por #

BtU pt, xq “ B2xU pt, xq ` BxU pt, xq2` BxW pt, xq,

U p0, xq “ Bxf pxq,

(5)

a qual é obtida ao acrescentar um ruido aditivo W pt, xq na equação de Burgers, embora nesta equação estocástica, U não é considerada como uma função determinística. A razão pela qual o ruido branco aditivo é introduzido na equação de Burgers, é porque assim pode-se modelar de forma mais real os fenômenos físicos que a equação representa, pois a equação de Burgers determinística como tal, somente modela os fenômenos sob condições ideais na que não existem pertubações que possam alterar os resultados experimentais, além disso, cada vez que é agido um experimento em relação a um mesmo fenômeno, as perturbações que aparecem nesses experimentos não são as mesmas, isso deve-se a que essas perturbações são totalmente aleatórias e são independentes dos experimentos, o que explica porque o ruido branco é um termo aleatório e porque as equações estocásticas são estudadas desde um ponto de vista probabilístico.

Notemos que na equação (5) o dado inicial é a derivada de uma função, portanto, se f e g são duas funções tais que Bxf pxq “ Bxgpxq, então a solução da Equação de Burgers será a mesma, em outras palavras, estamos identificando as condições iniciais que têm a mesma derivada.

Bertini e Cancrini em [1] propõe que a função

(14)

é a solução correta da equação de Burgers estocástica, em que Zpt, xq denota a solução da equação do calor estocástica com ruido multiplicativo:

#

dZ “ Bx2Z dt ` Z dW

Zp0, xq “ ef pxq. (7)

A função U pt, xq “ Bx log Zpt, xq é chamada de solução de Cole-Hopf para a equação de Burgers estocástica [1].

P. Catuogno e C. Olivera estudaram em [3] o problema de existência e estabilidade da solução da equação (5) e acharam a solução usando aproximações da equação do calor e a solução de Cole-Hopf através de processos de Wiener regularizados, onde o limite da aproximação existe, não obstante, não demonstraram a unicidade da solução. Na verdade, a unicidade da solução de (5) não é um problema fácil de resolver, e tal vez até seja impossível demonstrar a unicidade sob as condições em que eles trabalharam o problema, pois aproximaram a solução da equação do calor estocástica usando um caso particular de ruido regularizado; é possível que ao usar uma outra aproximação da solução da equação do calor obtenha-se uma solução diferente (Ver Seção 2.4 de [8]).

Uma outra equação que vale a pena mencionar é a bem conhecida equação KPZ Bthpt, xq “ ν 2B 2 xhpt, xq ` 1 2 ` Bxhpt, xq2 ˘ ` ν Wtpxq, (8)

a qual tem certa relação com a equação de Burgers estocástica.

A equação KPZ é uma equação estocástica parcial não linear e foi proposta por M. Kardar, G. Parisi e Y. Zhang em 1986 [10] para descrever a evolução da interfase em modelos de crescimento e é um paradigma para uma amplo espectro de fenômenos fora do equilíbrio. Fisicamente, hpx, t) representa a altura da superfície na posição x P R no tempo t ě 0, e ν, representa a média das velocidades do crescimento; a KPZ é em geral usada como um modelo para uma superfície sólida crescendo por deposição de vapor, ou, no caso oposto, erosão de um material em uma superfície sólida

Observemos que se h satisfaz a equação (8), então ao diferenciar em (8) e definir

upt, xq “ ´Bxhpt, xq, conseguimos comprovar que u satisfaz a equação de Burgers com ruido conservativo Btupt, xq “ ν 2B 2 xupt, xq ´ Bx „ 1 2upt, xq 2 ` ν Wtpxq.

Não obstante, h pode ser obtida pela transformação de Cole-Hopf hpt, xq :“ ν log Zpt, xq, em que Z é a solução da equação do calor com ruido multiplicativo:

BtZpt, xq “

ν

2B

2

(15)

Do ponto de vista matemático as equações de Burgers e KPZ não estão bem postas, pois suas soluções deveriam ser uma curva no espaço de distribuições e neste caso o termo não linear não faz sentido.

O conteúdo deste trabalho está dividido em três capítulos. No primeiro capítulo faremos uma introdução ao cálculo estocástico em que desenvolveremos algumas noções básicas de martingales, movimento Browniano, formula de Itô, a integral de Itô, processos de Itô, processos de Wiener cilíndricos e a integral de Itô baseada em um processo de Wiener cilíndrico, os quais serão de vital importância para o desenvolvimento dos próximos capítulos. No segundo capítulo estudaremos a equação de Burgers determinística nas suas duas versões: A equação de Burgers viscosa e a equação de Burgers sem viscosidade. No caso viscoso acharemos a solução em forma de onda viajante através de integração e no caso não viscoso usaremos o método das curvas características, encontraremos a velocidade de choque e agiremos um analise sobre os possíveis dados iniciais para o problema de Cauchy; depois estudaremos o problema de Riemann e as soluções fracas, e finalizaremos o capitulo achando uma representação em termos probabilísticos para a solução de um caso particular da equação de Burgers valendo-nos das ferramentas do cálculo estocástico. No capitulo três estudaremos a existência da solução generalizada da equação de Burgers estocástica sobre o espaço das funções aleatórias generalizadas e a estabilidade da solução de Cole-Hopf; inicialmente plantearemos a equação de Burgers estocástica com ruido branco aditivo e faremos uma aproximação da equação do calor estocástica com ruido multiplicativo aproximando o processo de Wiener cilíndrico através de processos de Wiener regularizados e acharemos as soluções dessas aproximações, depois demonstraremos que as soluções de Cole-Hopf de essas aproximações convergem à solução da equação de Burgers estocásticas em certo sentido, para isso, nos valeremos de algumas propriedades que têm as soluções das aproximações achadas, como são a convergência uniforme sobre conjuntos compactos e a positividade q.c.; para o estudo da estabilidade da solução de Cole-Hopf usaremos a equivalência entre a equação de Itô e a equação de Stratonovich.

(16)

1 Introdução Ao Cálculo Estocástico

Neste capítulo nos focaremos em desenvolver os tópicos necessários para que o leitor possa compreender com maior facilidade o conteúdo deste trabalho, não obstante, assumiremos que o leitor está familiarizado com os conceitos básicos de Teoria da Medida e Teoria de Probabilidade. Os tópicos que discutiremos neste capítulo serão noções básicas de funções de variação limitada, variação quadrática, covariação, movimento Browniano, martingales, processos de Wiener cilíndricos e um pouco de Cálculo Estocástico. Se o leitor deseja ler mais um pouco desses temas pode consultar [6,7, 12, 16,17, 13, 19].

1.1

Martingales

Definição 1.1.1. Seja pΩ, F , P q um espaço de probabilidade. Chamaremos de filtração a uma

família pFtqtě0 de sub-σ-álgebras de F crescentes ( i.e. FtĂ FsĂ F para todo 0 ď t ď s ă 8) e à quadrupla pΩ, F , pFtqtě0, P q a chamaremos de espaço de probabilidade filtrado. Dizemos que a filtração é contínua à direita se Ft

Ş

tFs: s ą tu para todo t ě 0 e que satisfaz as condições

usuais, se o espaço de probabilidade pΩ, F , P q é completo, a filtração é contínua à direita e F0

contém todos os conjuntos P -nulos.

Observação 1.1.2. Na definição anterior podemos intercambiar o conjuntos de índices r0, 8q

por algum subconjunto I de Rd, mas neste trabalho I será usualmente um intervalo fechado ra, bs ou o intervalo r0, 8q. Por outra parte, daqui para frente, a não ser que especifiquemos o contrario, trabalharemos com espaços de probabilidades completos e filtrações que satisfazem as condições usuais.

Definição 1.1.3. Chamaremos de processo estocástico a valores em Rd com conjunto de parâmetros (ou conjunto de índices) I, a uma família pXtqtPI de variáveis aleatórias sobre um mesmo espaço de probabilidade pΩ, F , P q a valores em Rd.

Notemos que quando I é um intervalo, para cada ω P Ω fixo podemos definir uma função

X¨pωq : I ÝÑ Rd

t ÞÑ Xtpωq que chamaremos de caminho ω do processo.

(17)

Definição 1.1.4. Sejam pΩ, F , pFtqtě0, P q um espaço de probabilidade filtrado e pXtqtě0 um processo estocástico sobre pΩ, F , P q. Dizemos que o processo pXtqtě0 é pFtq-adaptado (ou simplesmente adaptado) se para cada t ě 0, Xt P Ft (i.e. Xt é Ft-mensurável).

Exemplo 1.1.5. Seja pXtqtěo um processo estocástico sobre pΩ, F , P q. Então a família pFtqtě0, em que Ft :“ σpXs : 0 ď s ď tq “ σ ˜ ď 0ďsďt σpXsq ¸ ,

é uma filtração e é chamada de filtração natural do processo pXtqtěo, e com essa filtração pXtqtě0 é adaptado. À σ-álgebra Ft a chamaremos de historia do processo até (e incluindo) o tempo

t ě 0, e denotaremos por F8 à σ-álgebra σ

tě0Ft˘.

Definição 1.1.6. Seja pXtqtě0um processo estocástico sobre pΩ, F , P q a valores em Rd. Dizemos que o processo estocástico pXtqtě0 é contínuo se os caminhos ω são contínuos q.c. Dizemos que o processo é integrável se para cada t ě 0 Xt é uma variável aleatória integrável. Por outra parte, considerando o processo estocástico como uma função de duas variáveis pt, ωq de I ˆ Ω a Rd, dizemos que o processo é mensurável se é B b F -mensurável, em que B é a σ-álgebra de Borel sobre r0, 8q.

Definição 1.1.7. Sejam pΩ, F , pFtqtě0, P q um espaço de probabilidade filtrado e pMtqtě0 um processo estocástico tal que Mt P L1pΩ, Ft, P q para todo t ě 0. Dizemos que pMtqtě0 é um

martingale com respeito à filtração pFtqtě0 (ou simplesmente um martingale) se Er Mt|Fss “ Ms q.c. para todo 0 ď s ă t ă 8.

Observação 1.1.8. A definição de martingales que apresentamos é a versão contínua de

martingales, porém, existe uma versão discreta da definição e consiste em trocar o conjunto de índices por N.

Da definição de martingale e as propriedades da esperança condicional podem-se deduzir imediatamente fatos simples como que a soma de martingales e produto de martingales por escalares é martingale, ou que o limite (se existir) de martingales é também martingale.

Exemplo 1.1.9. Um movimento Browniano (1-dimensional) é um processo estocástico pBtqtě0 sobre um espaço de probabilidade pΩ, F , P q a valores em R que satisfaz:

(1) B0 “ 0.

(2) Os caminhos ω são contínuos q.c.

(3) Para toda sequência finita 0 “ t0 ă t1 ă ¨ ¨ ¨ ă tk, os incrementos Bti`1 ´ Bti são

(18)

Os movimentos brownianos são martingales com respeito à filtração natural, pois para cada

t ě 0, BtP σpBtq Ă Ft“ σpBs: 0 ď s ď tq e além disso, Er Bt2s “ t, portanto

BtP L2pΩ, Ft, P q Ă L1pΩ, Ft, P q.

Por outra parte, para 0 ď s ă t ă 8, da independência de σpBt´ Bsq e Fs, Er Bt|Fss “ Er Bt´ Bs|Fss ` Er Bs|Fss “ Er Bt´ Bss ` Bs “ Bs.

Observação 1.1.10. No exemplo anterior não demonstramos a existência do movimento

Browniano, no entanto, na seção 1.5 daremos um exemplo de construção de um movimento Browniano.

A seguir, daremos um exemplo de como obter um outro movimento Browniano a partir de dois movimentos Brownianos independentes.

Exemplo 1.1.11. Se pBt1qtě0 e pB2tqtě0 são movimentos Brownianos independentes, então o processo Bt “ pBt1` Bt2q{

?

2 também é um movimento Browniano, pois B0 “ 0, Btpωq tem trajetórias contínuas q.c. e além disso, para toda sequência finita 0 “ t0 ă t1 ă ¨ ¨ ¨ ă tk, os incrementos Bti ´ Bti´1 são independentes e têm distribuição N p0, ti´ ti´1q.

1.2

Fórmula de Itô 1-Dimensional

No que segue do texto, pτkqkPN será uma sequência de partições finitas do intervalo de tempo r0, 8q, em que:

τk “ t0 “ t0 ă t1 ă ¨ ¨ ¨ ă tik ă 8u. (1.1)

Denotaremos por |τk| “ maxtt1 ´ t0, t2 ´ t1, . . . , tik ´ tik´1u e vamos supor que a sequência

fixada pτkqkPN satisfaz:

lim

kÑ8tik “ 8 e kÑ8lim |τk| “ 0. (1.2)

Além disso, denotaremos por Πt ao conjunto de todas as partições

π “ t0 “ t0 ă t1 ă ¨ ¨ ¨ ă tk “ tu do intervalo r0, ts.

Definição 1.2.1. Seja A : r0, 8q Ñ R uma função contínua à direita. Dizemos que a função A

é de variação limitada se para cada t sup πPΠt #k´1 ÿ i“0 |Ati`1 ´ Ati| + ă 8.

Denotaremos por F V ao conjunto de todas as funções A : r0, 8q Ñ R contínuas à direita e de variação limitada.

(19)

Exemplo 1.2.2. As funções diferenciáveis com derivada limitada são de variação limitada; em

particular, se f : r0, 8q Ñ R é uma função contínua e limitada, então

F ptq “

ż t

0

f psq ds

é de variação limitada.

Definição 1.2.3. Seja X : r0, 8q Ñ R uma função contínua. Dizemos que X tem variação quadrática finita se para cada t P r0, 8q o limite

xXyt “ lim kÑ8 ÿ tiPτk tiďt pXti`1´ Xtiq 2 (1.3)

existe e nesse caso chamaremos à função t ÞÑ xXyt de variação quadrática de X.

Exemplo 1.2.4. Se X é de variação limitada, então xXyt “ 0, pois para todo t ě 0, ÿ tiPτk tiďt pXti`1 ´ Xtiq 2 ď supt|Xti`1´ Xti| : ti P τk, ti ď tu ¨ ÿ tiPτk tiďt pXti`1´ Xtiq.

Como X é de varação limitada o segundo termo da direita é uniformemente limitado para todo

k P N, e pela continuidade de X o primeiro termo da direita converge a zero quando k Ñ 8,

logo, pelo Teorema do Confronto, a variação quadrática de X existe e é nula para todo t ě 0. Do exemplo anterior deduzimos que as funções que têm variação quadrática positiva não podem ser funções de variação limitada, portanto se X tem variação quadrática finita, a integralş fpXtq dXtnão pode ser definida como uma integral de Lebesgue-Stieltjes clássica, pois a definição de integral de Lebesgue-Stieltjes exige que a função X seja crescente e limitada, o que implica que X deve ser de variação limitada, além disso, t ÞÑ xXyt é uma função positiva e crescente (o que implica que é de variação limitada), portanto, ela induz uma medida µ sobre pr0, 8q, Bq que satisfaz: µpr0, tsq :“ xXyt, e a integral ż f psq dµpsq “ ż f psq dxXys

com respeito a varição quadrática xXy está bem definida como uma integral de Lebesgue-Stieltjes.

Observação 1.2.5. A convergência em (1.3) a podemos interpretar como a convergência fraca das medidas µk definidas por:

µk “ ÿ tiPτk pXti`1´ Xtiq 2δ ti,

(20)

na qual δti denota a medida de Dirac com masa total em t “ ti. Portanto, a sequência pµkqkPN

converge fracamente à medida µ com dµ “ dxXy. Logo, se f : r0, ts Ñ R é contínua, então ż t 0 f psq dxXys “ lim kÑ8 ÿ tiPτk tiďt f ptiqpXti`1 ´ Xtiq 2.

Existem vários critérios para deduzir se uma função é de variação limitada ou não, e esses critérios nos fornecem muitos exemplos de funções de variação limitada (ver [7] p. 100), ainda assim, não é tão fácil exibir um exemplo de uma função de variação quadrática positiva finita, porém, existe um exemplo clássico de um processo estocástico com essa propriedade.

Exemplo 1.2.6. Se pBtqtě0 é um movimento Browniano, então tem variação quadrática finita q.c. e xByt “ t para todo t ě 0 q.c. De fato, seja t ě 0 e denotemos ∆ti “ ti`1 ´ ti e ∆Bti “ Bti`1 ´ Bti. Mostraremos que

lim kÑ8 ÿ tiPτk tiďt p∆Btiq 2 “ t q.c.

Para isso, é suficiente mostrar que:

lim kÑ8E » — — – ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ÿ tiPτk tiďt rp∆Btiq 2 ´ ∆tis ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2fi ffi ffi fl “ 0.

Omitiremos os índices dos somatórios para ter mais simplicidade na notação, mas entende-se que os somatórios são efetuadas sobre os ti P τk tais que ti ď t. Usando a fórmula

˜ ÿ i ai ¸2 “ÿ i a2i ` 2ÿ i‰j aiaj, temos que: ˇ ˇ ˇ ÿ rp∆Btiq 2 ´ ∆tis ˇ ˇ ˇ 2 “ÿrp∆Btiq 2 ´ ∆tis2` 2 ÿ ti‰tj rp∆Btiq 2 ´ ∆tis rp∆Btjq 2 ´ ∆tjs. Agora, aplicamos esperança na igualdade acima, tendo em conta que os incrementos ∆Bti têm

distribuição normal N p0, ∆tiq e são independentes para i ‰ j, assim: E „ˇ ˇ ˇ ÿ rp∆Btiq 2 ´ ∆tis ˇ ˇ ˇ 2 “ÿ E rp∆Btiq 2 ´ ∆tis2.

Logo, usamos produtos notáveis e o fato de que se X „ N p0, σ2q, então ErX4s “ 3pσ2q2 E „ˇ ˇ ˇ ÿ rp∆Btiq 2 ´ ∆tis ˇ ˇ ˇ 2 “ ÿ E rp∆Btiq 4 ´ 2∆Bti ¨ ∆ti ` p∆tiq 2 s “ÿr3p∆tiq2´ 2∆ti¨ ∆ti` p∆tiq2s ď 2|τk| ÿ ∆ti.

(21)

Finalmente, por (1.2) e o Teorema do Confronto lim kÑ8E » — — – ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ÿ tiPτk tiďt rp∆Btiq 2 ´ ∆tis ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2fi ffi ffi fl “ 0.

Assim concluímos que xByt“ t para todo t ě 0 q.c.

Na sequência apresentaremos uma ferramenta muito usada no Cálculo Estocástico que é muito similar à Fórmula de Taylor, por enquanto mostraremos uma versão 1-dimensional e depois a estenderemos ao caso d-dimensional.

Teorema 1.2.7 (Fórmula de Itô 1-dimensional). Sejam f P C2pRq e X : r0, 8q Ñ R uma função contínua com variação quadrática xXyt. Então, para cada t ě 0

F pXtq “ F pX0q ` ż t 0 F1 pXsq dXs` 1 2 ż t 0 F2 pXsq dxXys, (1.4) em que ż t 0 F1 pXsq dXs “ lim kÑ8 ÿ tiPτk tiďt F1 pXtqpXti`1´ Xtiq.

Demonstração. Sejam t ě 0, ti P τk, e ti ď t e denotemos ∆Xti “ Xti`1´ Xti. Pelo Teorema

de Taylor, existe ˜ti P pti, ti`1q tal que

F pXti`1q ´ F pXtiq “ F 1 pXtiq∆Xti` 1 2F 2 pX˜tiqp∆Xtiq 2 q “ F1pXtiq∆Xti` 1 2F 2 pXtiqp∆Xtiq 2 `1 2“F 2 pXt˜iq ´ F 2 pXtiq ‰ p∆Xtiq 2. (1.5) Façamos δk“ maxt|∆Xti| : ti P τk e ti ď tu e Rkptiq “ 1 2pF 2 pXt˜iq´F2pXtiqq. Como lim kÑ8|τk| “ 0 e X é uniformemente contínua em r0, t ` s, com  ą 0, temos que lim

kÑ8δk “ 0, e em consequência, dado que F2 é uniformemente contínua sobre o conjunto compacto Xpr0, t ` sq, temos que a

sequência εk“ maxt|F2pxq ´ F2pyq|{2 : |x ´ y| ď δk e x, y P r0, t ` su converge a zero, e além disso, |Rkptiq| ď εkp∆Xtiq

2. Notemos que ao efetuar somatórios em (1.5) sobre os t

i P τk tais que ti ď t e depois fazer k tender ao infinito, obtemos que

paq lim kÑ8 ˇ ˇ ˇ ÿ Rkptiqp∆Xtiq 2ˇˇ ˇ ďkÑ8lim εk ÿ p∆Xtiq 2 “ 0 ¨ xXyt“ 0. pbq lim kÑ8 ÿ pF pXti`1q ´ F pXtiqq “ lim kÑ8pF pXtlk`1q ´ F pXt0qq “ F pXtq ´ F pX0q. pcq lim kÑ8 1 2 ÿ F2 pXtiq∆pXtiq 2 “ 1 2 ż t 0 F2 pXsq dxXys.

(22)

Portanto, de (1.5), paq, pbq e pcq, ÿF1 pXtiq∆Xti também converge e lim kÑ8 ÿ F1 pXtq∆Xti “ ż t 0 F1 pXsq dXs, e assim obtemos a fórmula (1.4).

Observação 1.2.8. Fórmula de Itô (1.4) é frequentemente escrita em notação curta como

dF pXq “ F1

pXq dX ` 1 2F

2

pXqdxXy,

chamada de diferencial estocástica de F , e ela não é nada mais que uma notação equivalente com a fórmula de Itô e só toma sentido quando as duas integrais em (1.4) estão bem definidas; no caso da segunda integral, ela está bem definida como integral de Lebesgue-Stieltjes quando a variação quadrática de X é uma função de variação limitada.

Corolario 1.2.9. Se X é de variação limitada ou xXy ” 0, a fórmula de Itô (1.4) se reduz a:

F pXtq “ F pX0q `

ż t

0

F1

pXsq dXs ou em notação curta, para X continuamente diferenciável

dF pXq “ F1

pXq dX “ F1pXq 9X dt.

Exemplo 1.2.10. Seja X uma função contínua com variação quadrática xXy. Se F pxq “ ex, então dpeXq “ eXdX `1 2e XdxXy, ou equivalentemente, eXt “ eX0 ` ż t 0 eXsdX s` 1 2 ż t 0 eXsdxXy s. Se Gpxq “ log x, então dplog Xq “ 1 X dX ´ 1 2X2 dxXy, ou equivalentemente log Xt“ log X0` ż t 0 1 Xs dXs´ 1 2 ż t 0 1 X2 s dxXys.

Teorema 1.2.11. Seja X “ M ` A, com X, M P Cpr0, 8q, Rq e A P F V . Então a variação

quadrática xXy existe se e somente se xM y existe, e nesse caso xXy “ xM y.

Demonstração. Seja t ě 0. Denotemos ∆Xti “ Xti`1´ Xti, ∆Mti “ Mti`1 ´ Mti e ∆Ati

Ati`1´ Ati. Então somando sobre os ti P τk tais que ti ď t temos que

ÿ p∆Xtiq 2 “ÿp∆Mtiq 2 `ÿp∆Atiq 2 ` 2ÿ ∆Mti¨ ∆Ati (1.6) ďÿp∆Mtiq 2 `ÿp∆Atiq 2 ` 2pmaxt|∆Mti| : ti P τk e ti ď tuq ÿ |∆Ati|. (1.7)

(23)

Em virtude de que M é contínua e A P F V , temos que εk “ maxt|∆Mti| : ti P τk e ti ď tu é

uma sequência que converge a zero, os somatórios ř|∆Ati| são uniformemente limitados para

todo k P N e a variação quadrática de A é nula. Logo, fazendo k tender ao infinito em (1.6) e (1.7), deduzimos que xXyt existe se e somente se xM yt existe, e nesse caso xXyt“ xM yt.

Teorema 1.2.12. Sejam F P C1pRq e X : r0, 8q Ñ R contínua e de variação quadrática finita. Então a variação quadrática de F pXtq está dada por

xF pXqyt“ ż t 0 pF1pXsqq2dxXys. (1.8) Em particular Bż ¨ 0 F pXsq dXs F t “ ż t 0 F2pXsq dxXys. (1.9)

Demonstração. Sejam t ą 0, e ti P τk tal que ti ď t e denotemos ∆Xti “ Xti`1´ Xti. Pelo

Teorema de Taylor, existe ˜ti P pti, ti`1q tal que |F pXti`1q ´ F pXtiq| 2 “ rpF1pX˜tiq ´ F1pXtiqq ` F 1 pXtiqs 2 p∆Xtiq 2 “ F1pXtiq 2 p∆Xtiq 2 ` pF1pX˜tiq ´ F 1 pXtiqq 2 p∆Xtiq 2 ` 2F1pXtiqpF 1 pX˜tiq ´ F 1 pXtiqqp∆Xtiq 2. (1.10) Façamos δk“ maxt|∆Xti| : ti P τk e ti ď tu e Rkptiq “ pF 1 pX˜tiq ´ F 1 pXtiqq. Como lim kÑ8|τk| “ 0 e X é uniformemente contínua em r0, t ` s, com  ą 0, temos que lim

kÑ8δk “ 0, e em consequência, dado que F1 é uniformemente contínua sobre o conjunto compacto Xpr0, t ` sq, a sequência

εk “ maxt|F1pxq ´ F1pyq| : |x ´ y| ď δk e x, y P r0, t ` su converge a zero, e além disso, |Rkptiq| ď εk. Notemos que ao efetuar somatórios em (1.10) sobre os ti P τk tais que ti ď t e depois fazer k tender ao infinito obtemos que

paq lim kÑ8 ÿ |Rkptiq∆Xti| 2 ď lim kÑ8ε 2 k ÿ p∆Xtiq 2 “ 0 ¨ xXyt“ 0. pbq lim kÑ8 ÿ |F1pXtiqpF 1 pXti`1q ´ F 1 pXtiqq| p∆Xtiq 2 ď lim kÑ8εk ÿ |F1pXtiq| p∆Xtiq 2 “ 0. Logo xF pXqyt“ lim kÑ8 ÿ |F pXti`1q ´ F pXtiq| 2 “ lim kÑ8F 1 pXtiq 2 p∆Xtiq 2 “ ż t 0 F1 pXsq2dxXys. Em particular, se G é tal que G1

“ F , então pela fórmula de Itô:

GpXtq “ GpX0q ` ż t 0 F pXq dXs` 1 2 ż t 0 F1 pXsq dxXys. (1.11)

Logo, aplicando variação quadrática em (1.11) e usando (1.8) e o fato que o primeiro e o último termo da direita em (1.11) têm variação limitada obtemos (1.9).

(24)

1.3

Fórmula de Itô Multidimensional

Definição 1.3.1. Sejam X, Y P Cpr0, 8q, Rq. Se para todo t ě 0 o limite

xX, Y yt:“ lim kÑ8

ÿ

tiPτk

tiďt

pXti`1 ´ XtiqpYti`1 ´ Ytiq

existe, então chamaremos à função t ÞÑ xX, Y yt de covariação de X e Y .

Da definição deduzimos imediatamente que a covariação comporta-se de forma similar a um operador bilinear simétrico, isto é, xX, Y y “ xY, Xy e xX, aY ` bZy “ a xX, Y y ` b xX, Zy, sempre que cada uma dessas expressões tenham sentido. Além disso, quando X e Y têm variação quadrática finita, xXy “ xX, Xy e a covariação de X e Y existe, pois |xX, Y y|2 ď xXy ¨ xY y e em consequência, a variação quadrática de X ` Y existe e satisfaz a fórmula de polarização

xX ` Y y “ xXy ` 2xX, Y y ` xY y,

da qual obtemos uma outra fórmula alterna para calcular a covariação de X e Y : xX, Y y “ 1

4pxX ` Y yq ´ xX ´ Y yq.

Exemplo 1.3.2. Sejam f, g P C1pRq e X uma função de variação quadrática finita. Além disso, consideremos Yt “ ż t 0 f pXsq dXs e Zt“ ż t 0 gpXsq dXs. Então pelo Teorema (1.2.12)

xY ` Zyt“ Bż ¨ 0 pf ` gqpXsq dXs F t “ ż t 0 pf ` gq2pXsq dxXys “ xY yt` xZyt` 2 ż t 0 pf ¨ gqpXsq dxXys. Logo, pela identidade de polarização

xY, Zyt “ ż t

0

pf ¨ gqpXsq dxXys.

Exemplo 1.3.3. Se pBt1qtě0 e pBt2qtě0 são movimentos Brownianos independentes, então sua covariação é identicamente nula. De fato, como pBt1qtě0 e pBt2qtě0 são movimentos Brownianos independentes, o processo Bt“ pBt1` B

2

tq{ ?

2 também é um movimento Browniano, e portanto xB1` B2yt“ x

?

2Byt “ 2xByt“ 2t. Logo, pela identidade de polarização xB1, B2yt “ 1 2 ` xB1` B2yt´ xB1yt´ xB2yty ˘ “ 0.

(25)

Teorema 1.3.4 (Fórmula de Itô multidimensional). Sejam X “ pX1, . . . , Xdq contínua sobre r0, 8q e F P C2pRd, Rq. Então F pXtq “ F pX0q ` ż t 0 ∇F pXsq dXs` 1 2 d ÿ k, l“1 ż t 0 pBxk, xlF qpXsq dxX k , Xlys, (1.12) no qual ż t 0 ∇F pXsq dXs :“ lim kÑ8 ÿ tiPτk tiďt pp∇F qpXtiqq ¨ pXti`1´ Xtiq existe.

Demonstração. A demonstração é análoga à demonstração do Teorema1.2.7, pois é só aplicar a Fórmula de Taylor d-dimensional aos incrementos discretos de F .

Observação 1.3.5. No teorema anterior, embora F pXtq possa ser expressado na forma (1.12), não podemos garantir a existência de cada uma das integrais que aparecem em essa expressão, não obstante, a soma de todas as integrais existe.

Observação 1.3.6. A fórmula de Itô multidimensional também admite uma forma curta e

pode ser escrita na forma diferencial como:

dF pXtq “ p∇F pXtqq ¨ dXt` 1 2 d ÿ k, l“1 B2F BxkBxl pXtq dxXk, Xly.

Exemplo 1.3.7 (Regra do produto para cálculo de Itô). Quando aplicamos a fórmula de Itô

para d “ 2 a F px, yq “ xy e duas funções contínuas X e Y tais que xXy, xY y e xX, Y y existem, obtemos a bem conhecida regra do produto para Cálculo de Itô

XtYt“ X0Y0` ż t 0 XsdYs` ż t 0 YsdXs` xX, Y ys, ou equivalentemente dpX ¨ Y q “ X dY ` Y dX ` dxX, Y y.

Exemplo 1.3.8 (Fórmula de Itô para uma função dependente do tempo). Quando aplicamos a

fórmula de Itô com d “ 2 a F pY, Xq com Yt“ t, obtemos a fórmula de Itô para uma função que

depende do tempo F pt, Xq “ F p0, X0q ` ż t 0 Fxps, Xsq dXs` ż t 0 Ftps, Xsq ds ` 1 2 ż t 0 Fx xps, Xsq dxXys.

Seja pXtqtě0 é um processo estocástico contínuo com valores a Rd sobre o espaço de probabilidade pΩ, F , P q. Desejamos aplicar a teoria desenvolvida até o momento aos caminhos

(26)

X¨pωq, por exemplo, para cada t ě 0, xXpωqyt define uma variável aleatória (se existir q.c). Nessa ordem de ideias, queremos estender a fórmula de Itô 1-dimensional e multidimensional a um processo pXtqtě0. Assim, para F P C2pRd, Rq, as fórmulas de Itô ficariam

F pXtq “ F pX0q ` żt 0 F1 pXsq dXs` 1 2 żt 0 F2 pXsq dxXys ppara d “ 1q, (1.13) F pXtq “ F pX0q ` ż t 0 ∇F pXsq dXs` 1 2 d ÿ k, l“1 ż t 0 pBxk, xlF qpXsq dxX k, Xl ys. (1.14) As expressões em (1.13) e (1.14) dependem de ω P Ω e estamos assumindo que para quase todo ω P Ω xXyt e xXk, Xlyt existem para todo t ě 0, Notemos que nos Exemplos 1.2.6 e1.3.3 tínhamos aplicado a definição de variação quadrática e covariação a processos estocásticos.

1.4

Integral de Itô

Nesta seção pBtqtě0 denotará um movimento Browniano 1-dimensional fixo sobre o espaço de probabilidade pΩ, F , P q e pFtqtě0 a filtração natural. Nesta seção nos basearemos de [16].

Definição 1.4.1. Denotaremos por V “ VpS, T q o conjunto das funções f : r0, 8q ˆ Ω Ñ R tais

que

(1) f é B b Ω-mensurável, em que B denota a σ-álgebra de Borel sobre r0, 8q. (2) f pt, ¨q é Ft-mensurável para todo t ě 0.

(3) E „ żT S f pt, ωq2dt  ă 8

Nosso objetivo nesta seção é definir a integral de Itô żT

S

f pt, ωq dBtpωq.

A ideia natural é primeiro definir a integral acima para funções elementares φ e logo mostrar que cada f P V pode ser aproximada (em um sentido apropriado) por tais φ’s e usar esse fato para definir ş f dB como o limite de ş φ dB quando φ Ñ f.

Definição 1.4.2. Uma função φ P VpS, T q é chamada de elementar se ela tem a forma φpt, ωq “ ÿ

k

ekpωq ¨ 1r tk,tk`1qptq,

em que cada ek deve ser Ftk-mensurável. Definimos a integral de Itô de φ por

żT S φpt, ωq dBtpωq :“ ÿ kě0 ekpωqr Btk`1´ Btkspωq.

(27)

Lema 1.4.3 (Isometria de Itô). Se φ P V é elementar e limitada, então E « ˆżT S φpt, ¨q dBt ˙2ff “ E „żT S φpt, ¨q2dt

Demonstração. Denotemos por ∆Bj “ Btj`1 ´ Btj. Então usando que eiej∆Bi e ∆Bj são

independentes quando i ă j, temos

E r eiej∆Bi∆Bjs “ # 0, se i ‰ j E “ e2jptj`1´ tjq, se i “ j. Logo E « ˆżT S φ dB ˙2ff “ ÿ i, j E r eiej∆Bi∆Bjs “ ÿ j E“ e2jptj`1´ tjq “ E „żT S φ2dt.

Observação 1.4.4. Da demonstração anterior deduzimos que se φ, ψ P VpS, T q são elementares

com respeito a os movimentos Brownianos independentes pBt1qtě0 e pBt2qtě0 respectivamente, então E „żT S φpt, ¨q dBt1¨ żT S ψpt, ¨q dBt2  “ 0

Teorema 1.4.5. Sejam f, g P Vp0, T q funções elementares, 0 ď S ă U ď T e c P R. Então:

(1) żT S f dBt “ żU S f dBt` żT U f dBt. (2) żT S pcf ` gq dBt “ c żT S f dBt` żT S g dBt (3) E „żT S f dBt  “ 0. (4) żT S f dBt é FT -mensurável.

Demonstração. Para a propriedade p1q é só expressar f como a soma de uma função de

VpS, U q e de outra função de VpU, T q. As propriedade p2q e p4q são imediatas da definição. Para a propriedade p3q, suponhamos que

f pt, ωq “ÿ

k

(28)

em que cada ek é Ftk-mensurável. Notemos que Ftk é independente de F

`

tk :“ σpBtk`1´ Btkq,

por outra parte, Btk`1 ´ Btk é F

`

tk-mensurável, portanto ek e Btk`1 ´ Btk são independentes.

Logo E „żT S f dBt  “ ÿ k E r ekpBtk`1 ´ Btkq s “ ÿ k E r eks Er Btk`1´ Btks “ 0

Teorema 1.4.6. Suponhamos que para todo T , f P Vp0, T q é uma função elementar. Então Mtpωq “

ż t

0

f ps, ωq dBs é um martingale respeito à filtração pFtqtě0.

Demonstração. Suponhamos que

f pt, ωq “ÿ

k

ekpωq ¨ 1r tk,tk`1qptq

em que cada ek é Ftk-mensurável. Seja

Mtpωq “ ż t

0

f ps, ωq dBspωq.

Pela Isometria de Itô, Mt é quadrado integrável, e portanto também é integrável. Por outra parte, para t ă s, E r Ms|Fts “ E r Mt|Fts ` E „żs t φkdB |Ft“ Mt` ÿ k: t ď tkď tk`1ď s E r ek∆Bk|Fts “ Mt` ÿ k: t ď tkď tk`1ď s E r Er ek∆Bk|Ftks |Fts “ Mt` ÿ k: t ď tkď tk`1ď s E r ekEr ∆Bk|Ftks |Fts “ Mt` ÿ k: t ď tkď tk`1ď s E r ekEr ∆Bks |Fts “ Mt.

Agora estendermos a definição da integral de Itô a todas as funções de VpS, T q, com essa finalidade, mostraremos três teoremas que nos dão as bases para estender a definição usando a densidade das funções elementares em VpS, T q.

(29)

Teorema 1.4.7. Seja g P VpS, T q limitada tal que gp¨, ωq é contínua para cada ω P Ω. Então

existe uma sequência de funções elementares pφkqkPN Ă V tal que lim kÑ8E „żT S pg ´ φkq2dt“ 0.

Demonstração. Para cada k P N consideraremos a partição tk0, . . . , t

k k( na qual tkj “ S ` jpT ´ Sq k para j “ 0, . . . , k, e façamos φkpt, ωq “ ÿ l gptkl, ωq ¨ 1r tkl,tk l`1qptq.

Como g P V, então cada φk é elementar, além disso, dado que g é limitada e para cada ω P Ω

gp¨, ωq é contínua lim kÑ8 żT S pg ´ φkq2dt “ 0 q.c.. Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue

lim kÑ8E „żT S pg ´ φkq2dt“ 0.

Para o seguinte teorema recomendamos ao leitor revisar o capitulo VIII de [7] o Teorema de Urysohn e as propriedades da convolução de funções.

Teorema 1.4.8. Seja h P V limitada. Então existe uma sequência de funções limitadas

pgkqkPN Ă V pS, T q tal que gkp¨, ωq é contínua para cada ω P Ω e cada k P N, e além disso

lim kÑ8E „żT S ph ´ gkq2dt“ 0.

Demonstração. Suponhamos que |hpt, ωq| ď M para todo pt, ωq. Consideremos uma função ψ P CcpRq não negativa com suporte contido em r´1, 0s tal que ş ψ dx “ 1. Para cada k P N definamos a função ψkpxq “ kψpkxq e notemos que (ver [7]):

(1) ψkpxq “ 0 para x ď ´1{k e para x ě 0. (2)

ż 8 ´8

(30)

Façamos para cada k P N

gkpt, ωq “ żT

S

ψkps ´ tqhps, ωq ds.

Então para cada ω gkp¨, ωq é contínua e |gkpt, ωq| ď M . Dado que h P V pS, T q, gkpt, ¨q é Ft-mensurável para todo t (para mais detalhes desta afirmação ver [9] p. 133 ). Além disso, para cada ω P Ω (ver [7])

lim kÑ8

żT

S

phps, ωq ´ gkps, ωqq2ds “ 0. Logo, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue

lim kÑ8E „żT S phpt, ¨q ´ gkpt, ¨qq2dt“ 0.

Teorema 1.4.9. Seja f P VpS, T q. Então existe uma sequência phkqkPN Ă V tal que para cada

k P N, hk é limitada e além disso lim kÑ8E „żT S pf ´ hkq2dt“ 0. Demonstração. Façamos hkpt, ωq “ $ ’ & ’ % ´k, se f pt, ωq ă ´k f pt, ωq, se ´k ď f pt, ωq ď k k, se f pt, ωq ą k.

Entãopelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue lim kÑ8E „żT S pf pt, ¨q ´ hkpt, ¨qq2dt“ 0.

Agora estamos preparados para estender a definição de integral de Itô żT

S

f pt, ωq dBtpωq, para f P V.

Se f P V, em virtude dos três teoremas anteriores, podemos considerar uma sequência de funções elementares pφkqkPN Ă V tal que

lim kÑ8E „żT S |f ´ φk|2dt“ 0. Logo, podemos definir

Ir f spωq :“ żT S f pt, ωq dBtpωq :“ lim kÑ8 żT S φkpt, ωq dBtpωq;

(31)

em que Ir f s existe como elemento de L2pΩq, pois as integrais żT

S

φkpt, ¨q dBt

formam uma sequência de Cauchy em L2pΩq (pelo Lema 1.4.3).

Definição 1.4.10 (Integral de Itô). Seja f P VpS, T q. Então definimos a integral de Itô de f

(desde S até T ) por żT S f pt, ωq dBtpωq “ lim kÑ8 żT S φkpt, ωq dBtpωq plimite em L2pΩqq. (1.15) na qual pφkqkPN Ă V é uma sequência de funções elementares tal que

lim kÑ8E „żT S pf pt, ¨q ´ φkpt, ¨qq2dt“ 0. (1.16)

Observação 1.4.11. Notemos que a sequência satisfazendo (1.16) existe pelos três teoremas anteriores, alias, pelo Lema1.4.3o limite em (1.15) existe e não depende da escolha da sequência pφkqkPN enquanto (1.16) seja satisfeito. Além disso, do Lema 1.4.3e (1.15) temos as seguintes propriedades importantes.

Corolario 1.4.12 (Isometria de Itô).

E « ˆżT S f pt, ¨q dBt ˙2ff “ E „żT S f pt, ¨q2dtpara toda f P V.

Corolario 1.4.13. Se f P VpS, T q e pfkqkPN Ă V pS, T q é uma sequência tal que lim kÑ8E „żT S pfkpt, ¨q ´ f pt, ¨qq2dt“ 0, então lim kÑ8 żT S fkpt, ¨q dBt “ żT S f pt, ¨q dBt pem L2pΩqq.

Na sequência apresentaremos algumas propriedades da integral de Itô.

Teorema 1.4.14. Sejam f, g P Vp0, T q, 0 ď S ă U ď T e c P R. Então:

(1) żT S f dBt “ żU S f dBt` żT U f dBt. (2) żT S pcf ` gq dBt “ c żT S f dBt` żT S g dBt. (3) E „żT S f dBt  “ 0.

(32)

(4) żT

S

f dBt é FT-mensurável.

Demonstração. As quatro propriedades são validas para funções elementares, logo, aplicando

a definição (ou seja, passo ao limite), concluímos que essas propriedades são validas para toda

f, g P Vp0, T q.

Observação 1.4.15. Sejam φ, ψ P VpS, T q e pBt1qtě0 e pBt2qtě0 movimentos Brownianos in-dependentes. Pela Observação 1.4.4, ao aplicar a definição por limite nas integrais de Itô na expressão E „żT S φpt, ¨q dBt1¨ żT S ψpt, ¨q dBt2 

deduzimos que a esperança é igual a zero.

Teorema 1.4.16. Seja f P Vp0, T q. Então existe uma versão contínua do processo estocástico

żT

S

f ps, ωq dBspwq, 0 ď t ď T, i.e. existe um processo estocástico Jt contínuo sobre pΩ, F , Ωq tal que

PJt“ ż t 0 f dB  “ 1 para todo t P r0, T s. Demonstração. Ver [16] p. 32.

Teorema 1.4.17. Seja f pt, ωq P Vp0, T q para todo T . Então Mtpωq “

ż t

0

f ps, ωq dBs é um martingale com respeito à filtração pFtqtě0.

Demonstração. Seja pφkqkPN uma sequência funções elementares que satisfaz (1.16). Das propriedades da esperança condicional e o Teorema 1.4.6 segue que para s ă t

Er Mt|Fss “ lim kÑ8Er M k t|Fss “ lim kÑ8M k s “ Ms p limite em L2pΩqq, no qual Mtk “ ż t 0 φkps, ωq dBs.

Definição 1.4.18. Seja H “ pHtqtě0 uma filtração tal que o movimento Browniano pBtqtě0 é um Ht-martingale. Definimos o conjunto WHpS, T q como a coleção de todas as funções

(33)

(1) f é B b F -mensurável. (2) f pt, ¨q é Ht-mensurável. (3) P „ żT S f ps, ωq2ds ă 8  “ 1.

Definimos também o conjunto WH :“ŞtWHp0, T q : T ą 0u. Quando H é a filtração natural de

pBtqtě0, denotaremos os conjuntos anteriores por WpS, T q e W respectivamente.

Apresentamos a definição anterior com a intenção de estender a integral de Itô a um conjunto de funções mais extenso. Notemos que o fato de que pBtqtě0 é uma Ht-martingale implica que Ft Ă Ht para todo t. A essência da extensão é que podemos permitir que f dependa em algo mais que Ft a medida que Bt segue sendo um martingale com respeito à “historia” de

f ps, ¨q, s ď t. Além disso, para todo s ą t, Er Bs´ Bt|Hts “ Er Bs|Hts ´ Er Bt|Hts “ 0. Quando revisamos as demonstrações anteriores referentes à integral de Itô, podemos ver que tudo isto é suficiente para levar a cabo a construção da integral de Itô sobre os novos conjuntos definidos como fizemos antes. Se f P WH, podemos demonstrar que existe uma sequência pfkqkPN Ă WH de funções elementares tal que

şt

0|fk´ f |

2ds Ñ 0 em probabilidade,

i.e. em medida com respeito a P . Para essa mesma sequência temos que şt0fkps, ωq dBs converge em probabilidade a alguma variável aleatória e o limite só depende de f e não da escolha da sequência pfkqkPN. Em virtude de todo o anterior, podemos definir para f P WH

ż t 0 f ps, ωq dBspωq “ lim kÑ8 ż t 0 fkps, ωq dBspωq (limite em probabilidade)

As propriedades da integral de Itô em V continuam sendo validas em WHe podem demonstrar-se

usando o mesmo raciocínio de quando estendemos a definição de integral de Itô de funções elementares a todo V.

A integral de Itô nos permite definir um tipo de processo estocástico muito importante chamado de processo de Itô, o qual está intimamente relacionado com as equações diferenciais estocásticas.

Definição 1.4.19 (Processo de Itô 1-dimensional). Um processo de Itô 1-dimensional é um

processo pXtqtě0 da forma Xt“ X0` ż t 0 ups, ωq ds ` ż t 0 vps, ωq dBs (1.17)

em que v P WH e é tal que

P „ ż t 0 vps, ωq2ds ă 8 para todo t ě 0  “ 1

(34)

e upt, ¨q P Ht para todo t e é tal que

P

„ ż t

0

|ups, ωq| ds ă 8 para todo t ě 0

“ 1.

Observação 1.4.20. Se pXtqtě0 é um processo de Itô da forma (1.17), a equação (1.17) é algumas vezes escrita na forma diferencial curta dXt“ u dt ` v dBt.

A definição de processo de Itô ganha muito sentido quando usamos o Teorema de Descomposição de Doob-Meyer (ver [17] p. 111, ) e o Teorema de Representação de Martingale (ver [16] p. 49), o primeiro sob certas condições nos permite escrever um processo estocástico como a soma de um martingale e um processo previsível (i.e. mensurável com respeito a σ-álgebra gerada por todos os processos adaptados e contínuos à esquerda) e o segundo nos permite expressar um martingale pMtqtě0 como a soma de uma integral de Itô e E r M0s. Em outras

palavras, sob certas condições um processo estocástico é um processo de Itô.

Exemplo 1.4.21. Sejam pXtqtě0um processo de Itô dado por dXt“ u dt`v dBte consideremos

g P C2pr0, 8q ˆ Rq. Então pela fórmula de Itô temos que

Yt“ gpt, Ytq “ Bg Btpt, Xtq dt ` Bg Bxpt, Xtq dXt` 1 2 B2g Bx2pt, Xtq dxXytBg Btpt, Xtq dt ` Bg Bxpt, Xtqpu dt ` v dBtq ` 1 2 B2g Bx2pt, Xtq d ´ şt 0v 2dxBy s ¯ “ Bg Btpt, Xtq dt ` Bg Bxpt, Xtqu dt ` Bg Bxpt, Xtqv dBt` 1 2 B2g Bx2pt, Xtq v 2dt “ ˆ Bg Btpt, Xtq ` Bg Bxpt, Xtqu ` 1 2 B2g Bx2pt, Xtq v 2 ˙ dt ` Bg Bxpt, Xtqv dBt. Do que concluímos que pYtqtě0 também é um processo de Itô.

1.5

Movimento Browniano

No Exemplo 1.1.9 definimos o movimento Browniano mas não demonstramos sua existência. Nesta seção desenvolveremos um exemplo de construção de um movimento Browniano com conjunto de parâmetros r0, 1s (ver [4] e [14]) com a intenção de corroborar para o leitor a sua existência. Nossa finalidade de definir esse tipo de processo é porque a integral de Itô e o processo de Wiener cilíndrico têm sua base nele, além disso nas equações diferenciais estocásticas aparece um termo chamado de ruido branco que consiste na derivada generalizada deste. Na sequência demonstraremos alguns lemas que usaremos na construção de nosso exemplo.

Lema 1.5.1. Se X „ N p0, 1q e C ą 0, então

P r X ą C s ă 2e

´12C2

(35)

Demonstração. como x{C ą 1 para x ą C, então P r X ą C s “ ?1 ż 8 c e´x2{2dx ă ?1 ż 8 c x ce ´x2{2dx “ e ´12C2 C?2π.

Da simetria da função de densidade da distribuição N p0, 1q, P r |X| ą C s “ 2P r X ą C s. Assim

P r X ą C s ă 2e

´12C2

C?2π.

Definição 1.5.2. As funções de Haar tf0, fj,n : j “ 1, . . . , 2n´1, n “ 1, . . .u são definidas por:

f0ptq “ 1 para 0 ď t ď 1, e para k “ 2j ´ 1 fj, n “ $ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ % 2pn´1q{2 k ´ 1 2n ď t ď k 2n ´2pn´1q{2 k 2n ă t ď k ` 1 2n 0 caso contrario.

Lema 1.5.3. As funções de Haar formam um sistema ortonormal completo de L2pr0, 1sq.

Demonstração. Não é difícil provar que as funções de Haar são ortogonais e têm norma 1,

portanto nos focaremos em demonstrar que elas são um conjunto total, e para isso provaremos que o complementar ortogonal delas é t0u. De fato, denotemos por M o conjunto que contém as funções de Haaar e suponhamos que f K M . Fixemos n P N e definamos

Jk

żpk`1q{2n

k{2n

f ptq dt, para k “ 0, 1, . . . , 2n´1.

Notemos que f K f0, n implica que J0 “ J1, de f K f1, n obtemos que J2 “ J3, e de f K f2, n

deduzimos que J4 “ J5, e assim sucessivamente. Agora passemos de n a n ´ 1. f K f0, n´1 é

equivalente a que pJ0` J1q ´ pJ2 ` J3q “ 0, implicando que J0 “ J1 “ J2 “ J3, similarmente

f K f1, n´1 é equivalente a pJ4` J5q ´ pJ6` J7q “ 0, implicando que J4 “ J5 “ J6 “ J7, ao passar

a n ´ 2 obtemos que Ji “ J0 para 1 ď i ď 7 e que que Ji “ J8 para 9 ď i ď 15, e continuamos

sucessivamente com esse algoritmo até chegar a que Ji “ J0 para i “ 0, 1, . . . , 2n´ 1. Porém

0 “ xf, f0y “ 2n´1

ÿ

i“0

Ji “ 2nJ0,

do que deduzimos que J0 “ 0. Como n foi tomado arbitrariamente, então

żpk`1q{2n

k{2n

(36)

e pela densidade dos números diádicos em r0, 1s, temos também que ż b

a

f ptq dt “ 0 para todo 0 ď a ă b ď 1, o que implica que

ż

A

f “ 0 para todo mensurável A P Br0,1s,

do que concluímos finalmente que f “ 0. Assim MK

“ t0u, ou seja, M é um conjunto total.

Teorema 1.5.4. Movimento Browniano existe.

Demonstração. A ideia é usar um sistema ortogonal completo de L2pr0, 1sq e uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição N p0, 1q para construir uma sequencia de variáveis aleatórias as quais convergem a um movimento Browniano.

Sejam pφkqkPN um sistema ortonormal completo de L2pr0, 1sq e pXkqkPN uma sequên-cia de variáveis aleatórias independentes com distribuição N p0, 1q sobre o mesmo espaço de probabilidade pΩ, F , P q. Para cada k P N e t P r0, 1s definamos

Wtk:“ k ÿ i“1 Xi ż t 0 φipsq ds. Notemos que E r Wtks “ k ÿ i“1 E r Xis ż t 0 φipsq ds “ 0, e portanto, da independência das variáveis Xi

V ar r Wtks “ E r pWtkq 2 s “ k ÿ i“1 E r Xi2s |xφi, Ity|2 “ k ÿ i |xφi, Ity|2.

Além disso, pWtkqkPN é uma sequência de Cauchy em L2pΩq, e para provar isso, consideremos, para cada t P r0, 1s, a função It “ 1r0,tq P L2pr0, 1sq, então para n ą m

E rpWtn´ W m t q 2 s “ E » – ˜ n ÿ k“m`1 Xk ż t 0 φkpsq ds ¸2fi fl “ n ÿ k“m`1 E“ Xk2 ‰ |xφk, Ity|2 “ n ÿ k“m`1 |xφk, Ity|2.

Como pφkqkPN é um sistema ortonormal completo de L2pr0, 1sq, a serie ř8

k“1|xφk, Ity|

2 é

conver-gente e portanto as suas somas parciais formam uma sequência de Cauchy, o que implica que

Wtn é uma sequência de Cauchy, e pela completude do espaço L2pΩq existe Wt P L2pΩq tal que lim

kÑ8W

k

(37)

Observemos que

E r Wts “ lim kÑ8E r W

k

t s “ limkÑ80 “ 0. Dai temos que

V ar r Wts “ E r pWtq2s “ lim kÑ8E r pW k tq 2 s “ lim kÑ8 k ÿ i“1 |xφi, Ity|2 “ }It}2 “ t.

Por outra parte, cada Wtké uma combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes, e dai que Wtk „ N p0, σ2k, tq em que σk, t2 “řki“1|xφi, Ity|2, e portanto sua função característica é

χtkpuq “ E r exp pi u Wtkq s “ expp´σ2k, tu2{2q

a qual converge a expp´}It}2u2{2q “ expp´t u2{2q quando k tende ao infinito (característica de uma distribuição normal N p0, tq). Pelo Teorema de Continuidade de Lévy, a sequência pWtkqkPN converge em distribuição a uma normal N p0, tq, e como a mesma sequência converge em L2pΩq, então ela também converge a Wt em distribuição (a convergência em LppΩq implica a convergência em distribuição). Assim Wt „ N p0, tq.

Agora mostraremos que Wtn Ñ Wt uniformemente q.c. quando tomamos particular-mente como nosso sistema ortonormal completo as funções de Haar. Assim, em vez das funções şt

0φipsq ds, teremos as funções de Schauder tF0, Fj, n : j “ 1, . . . , 2

n ´ 1, n “ 1, 2, . . .u, na qual F0ptq “ t para 0 ď t ď 1 e para k “ 2j ´ 1 Fj, nptq “ $ ’ & ’ % 2pn´1q{2 pt ´ pk ´ 1q{2nq, t P rpk ´ 1q{2n, k{2nq 2pn´1q{2 ppk ` 1q{2n´ tq, t P rk{2n, pk ` 1q{2nq 0, caso contrario. ,

Seja tX0, Xj, n : j “ 1, . . . , 2n´ 1, n “ 1, 2, . . .u um conjunto de variáveis aleatórias independen-tes sobre o mesmo espaço de probabilidade pΩ, F , P q e com distribuição N p0, 1q. Para t P r0, 1s e N P N definamos x WtN “ X0F0` N ÿ n“1 Ynpt, ωq, em que Ynpt, ωq “ 2n´1 ÿ j“1 Xj, npωq Fj, nptq.

Notemos que para cada N P N e ω P Ω o caminho t ÞÑ xWtN é contínuo. Mostraremos que xWtN

converge uniformemente em t q.c. Definamos para cada n P N a variável aleatória

Hnpωq “ max

tPr0,1s|Ynpt, ωq|.

Dado que para cada n P N fixo as funções de Schauder F1, n, F2, n, . . . , F2n´1, n são não nulas

sobre intervalos disjuntos, temos que

Hn “ 2´pn`1q{2 max

(38)

Logo, para qualquer constante Cn ą 0 P “ Hn ą 2´pn`1q{2Cn“ P „ max 1ďjď2n´1|Xj, n| ą Cn“ P « 2n´1 ď j“1 r Xj, n ą Cns ff ď 2n´1 ÿ j“1 P r Xj, n ą Cns ď 2n´1¨ 2 Cn ? ¨ 2 ´12C2 n. Em particular, se Cn “ θ a

2n log 2 para algum θ ą 1, então

P r Hną bns ă 2p1´θ2qnC ? n “: dn, em que bn“ 2´pn`1q{2¨ θ a 2n log 2 “ θan2´nlog 2 ,

e C é alguma constante positiva. Logo, como as seriesř8

n“1bn e ř8

n“1dn são convergentes, pelo Teorema de Borel-Cantelli, para quase todo ω P Ω exite N pωq P N tal que

Hnpωq ď bn para todo n ě N pωq.

Assim, concluímos que Hn está dominada por uma serie convergente e por conseguinte xWtN converge uniformemente q.c.

1.6

Processos de Wiener Cilíndricos

Processo de Wiener cilíndrico aparece em uma enorme variedade de modelos em espaços de dimensão infinita como uma fonte de ruído aleatório ou perturbação aleatória. Nesta seção definiremos esse tipo de processo e mostraremos algumas de suas propriedades básicas, além disso definiremos a integral de Itô com respeito a um processo de Wiener cilíndrico. Se o leitos deseja saber mais um poco dessa classe de processos, pode consultar [13].

Definição 1.6.1. Dizemos que uma família de variáveis aleatórias

tWtpϕq : t P r0, T s, ϕ P L2pRqu

sobre um mesmo espaço de probabilidade pΩ, F , P q é um processo de Wiener cilíndrico sobre

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