Aula 9

MAT016 - Estatística e Probabilidade

IFSudeste de Minas Gerais - Campus JF

Variável aleatória

Denição:

Uma variável aleatória é toda e qualquer variável cujos valores se distribuem segundo algum modelo de probabilidade, isto é, seus valores estão relacionados a um experimento aleatório. Uma variável aleatória é, portanto, uma função real denida em um espaço amostral:

Se E é um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a este experimento, uma função X que associe a cada elemento

s ∈ S um número real X (s), é denominada variável aleatória.

Exemplo:

Considere o lançamento de duas moedas e seja X o número de caras obtidas.

Denotado c = cara e k = coroa. Determine o espaço amostral deste experimento aleatório e a variável aleatória.

Observações:

i) Variável aleatória é uma função cujo domínio é S e

contradomínio R.

ii) O uso de variáveis aleatórias permite descrever os resultados

de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras, o que apresenta a vantagem de possibilitar melhor tratamento matemático.

iii) Nem toda função é uma variável aleatória.

As variáveis aleatórias são classicadas como discreta ou contínua.

Variável aleatória discreta

Denição:

Uma variável aleatória X é classicada como discreta (v.a.d.) se os valores x que X pode assumir formam um conjunto enumerável, nito ou innito. Em geral o valor x é obtido mediante alguma forma de contagem.

São exemplos de v.a.d.:

(i) o número de acidentes ocorridos em uma semana;

(ii) o número de peças defeituosas em uma amostra;

(iii) o número de vitórias obtidas por uma equipe em um

Denição:

Chama-se função de probabilidade (f.p.) da variável aletória discreta X , a função f (x) que fornece a probabilidade associada a cada valor x de X ,

f (x ) = P(X = x ) = P(x ).

Uma função de probabilidade deve satisfazer às seguintes condições:

i) f (x ) ≥0, para todo x

ii) X

x

Denição:

Distribuição de probabilidade: Os pares de valores (x, P(x)) formam a distribuição de probabilidade da v.a.d. X , que pode ser representada por meio de tabelas e grácos.

Exemplo 1:

Considere duas extrações, sem reposição, de uma urna contendo duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Denamos a v.a. X : número de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações. Obtenha a distribuição de probabilidade da v.a. X .

Exemplo 2:

Uma urna contém 4 bolas azuis e 6 brancas. Duas bolas são retiradas sucessivamente: (I) com reposição e (II) sem reposição. Determinar, em cada caso, a distribuição de probabilidade e a função de probabilidade da v.a.d. X que representa o número de bolas brancas retiradas.

Distribuição uniforme discreta

Denição:

A v.a. discreta X , assumindo os valores x1, · · · , xk tem distribuição

uniforme se, e somente se,

P(X = xi) = p(xi) = p = 1

Exemplo 1:

Seja E o lançamento de um dado não-viciado observando o número de pontos obtidos na face superior. Determine a distribuição de probabilidade da v.a. X = {Número de pontos obtidos}..

Exemplo 2:

Seja E o lançamento de um dado viciado observando o número de pontos obtidos na face superior. Sabendo que a probabilidade de cada face é proporcional ao número de pontos desta face, determine a distribuição de probabilidade.

Variável aleatória contínua

Denição:

Uma v.a. X é classicada como contínua (v.a.c.) se puder assumir todo e qualquer valor x em algum intervalo real. Portanto, uma v.a.c. está associada a um espaço amostral innito não enumerável.

Função Densidade de Probabilidade

Denição:

A função que denotaremos por f (x), denida para a < x < b, será chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.) se satiszer às seguintes condições:

i) f (x ) ≥0, para todo x ∈ [a, b];

ii) Z b

a

Observações:

(a) Para c < d, P(c < X < d) =

Z d

c

f (x )dx

(b) Para um valor xo de X , por exemplo, X = x0, temos que

P(X = x₀) =

Z x₀

x₀

f (x )dx =0; sendo assim, as probabilidades

abaixo s.ao todas iguais, se X for uma v.a.c.: P(c ≤ X ≤ d ) = P(c ≤ X < d ) = P(c < X ≤ d ) = P(c < X < d )

(c) A função densidade de probabilidade f (x), não representa

probabilidade. Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva da função entre os valores considerados.

(d) Se o conjunto de valores de X não estiver contido no intervalo

Variável Aleatória Contínua Uniformemente Distribuída

Denição:

A v.a. contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b], sendo a e b nitos, se a sua função densidade de probabilidade é dada por: f (x ) =    1 b − a, para a ≤ x ≤ b

Exemplo:

Mostre que f é uma f.d.p. e calcule P(0 ≤ X ≤ 1