05 integrais linha

(1)

Integrais de linha

Prof. Dr. Gustavo A. Lanfranchi

(2)

2

Integrais de linha (curvilínea).

Integral de um vetor sobre uma curva.

Integral de linha por partes.

Campos conservativos.

(3)

Integrais de linha

Uma quantidade importante em física é o trabalho realizado por uma força em um caminho.

Para se determinar o trabalho de um força, porém, é necessário resolver a integral da força F em um caminho r.

Tanto a força F quanto o caminho r são vetores. Como se resolvem integrais de campos vetoriais?

Para isso deve-se utilizar o conceito de campos vetoriais.

Velocidade do ar em São Francisco.

(4)

Integrais de linha

Se for considerada a força gravitacional em uma dada região, há ali um campo vetorial dessa força. Para cada ponto naquela região, há um valor de força gravitacional.

De maneira geral, um campo vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de pontos em R² ou R³ e a imagem é um conjunto de vetores em V2 (ou V3).

No exemplo do campo vetorial da força F, para cada ponto (x,y) há uma força F(x,y). Lembrando que F(x,y) pode ser escrito em função de suas componentes:

⃗

(5)

Integrais de linha

A integral de linha é similar à integral em uma dimensão, porém é calculada em uma curva C e não em um intervalo [a,b].

Elas podem ser utilizadas em problemas de escoamento de fluídos, de força, de eletricidade, de magnetismo, etc..

Suponha uma curva C dada por:

Que pode ser escrita vetorialmente:

⃗r (x, y)=x (t )^i +y (t )^j

x=x (t ) y= y (t ) a≤t≤b

Dessa maneira, os ponto P_i dividem a curva C em vários pequenos arcos de comprimentos DS_i.

(6)

Integrais de linha

Supondo que f seja uma função de duas variáveis (x,y) com domínio em C, multiplicando o valor de f em um ponto (x_i*, y_i*) pelo comprimento do arco Ds_i e somando todos os valores, tem-se:

Que é similar à soma de Riemann para integrais em uma variável.

∑

i=1 n

f (x_i*, y_i*) D S_i

Fazendo o limite dessa soma pode-se definir:

∫

C f (x, y)ds=lim n→∞

∑

_i=1 n f (x_i*, y_i*)DS_i

O comprimento da curva C é dado por: L=

_∫

a b

√

(

dxdt

)

2 +

(

dy dt

)

2 dt →

∫

C f (x, y)ds=

∫

a b f (x (t ), y (t))

√

(

dx dt

)

2 +

(

dy dt

)

2 dt

(7)

Integrais de linha

Exercício 1: calcule o valor da integral de f(x,y) = 2 + x²y em C, curva definida pela metade da circunferência x² + y² = 1.

x=cos(t) y=sen(t) 0≤t≤π

∫

C (2+x2 y)ds=

∫

0 π (2+cos2t sen t)

√

(

dx dt

)

2 +

(

dy dt

)

2 dt =

∫

0 π

(2+cos2t sen t)

√

(

sen2t+cos2t

)

dt =

∫

0 π (2+cos2t sen t)dt =[2t ]₀π−

∫

1 −1 u2du

(

−sen t dt=ducos t=u

)

→

=2π−

[

u 3 3

]

₁ −1 du =2π+2 3

(8)

Integrais de linha

Exercício 2: calcule o valor da integral de f = 2x em C, curva formada pelo arco da parábola y = x² entre (0,0) e (1,1) seguido pelo segmento de reta vertical de (1,1) a (1,2). C₁: x=x y=x2 0≤x≤1

∫

C1 2 xds=

_∫

0 1 2 x

√

(

dx dx

)

2 +

(

dy dx

)

2 dx =

∫

0 1 2 x

_√

12+(2 x)2dx=

∫

0 1 2 x

_√

1+4 x2dx

(

1+ 4 x_{8 x dx=du}2=u

)

→ =1 4

∫

₁ 5 u1 /2du =1 4 . 2 3

[

u 3 /2

_]

1 5 =1 6 (5

√

5−1) C₂: x=1 y= y 1≤ y≤2

_∫

C2 2 xds=

_∫

1 2 2.1

√

(

dx dy

)

2 +

(

dy dy

)

2 dt =

_∫

1 2 2.1

_√

02+12dy =

∫

1 2 2dy =2(2−1) =2

∫

C 2 x ds=

_∫

C₁ 2 x ds+

∫

C₂ 2 x ds =1 6 (5

√

5−1)+2

(9)

Integrais de linha

Exercício 3: Um arame com o formato de um semicírculo x² + y² = 1, y ≥ 0 é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta y = 1. x=cos(t) y=sen(t) 0≤t≤π ρ=k (1− y ) m=

_∫

C k (1−y)ds=

∫

0 π

k (1−sent)

√

cos2t+sen2t dt =

∫

0 π k (1−sent)dt =k (π+

[

cos t

]

₀π) =k (π−2) ¯ym= 1 m

∫

_C yρ(x, y)ds= 1 k (π−2)

∫

_C yk (1−y)ds = 1 (π−2)

∫

_o π (sent−sen2t)dt = 1 (π−2) {[−cost ]0 π −

∫

o π 1/2(1−cos 2t )dt } = 1 (π−2) {2−

[

1 2 t− 1 4 sen2 t

]

₀ π } = 1 (π−2)(2− π 2 ) = 4−π 2(π−2) ¯xm=0

(10)

Integrais de linha

Uma dificuldade ao calcular a integral de linha é escolher a representação paramétrica da curva. Frequentemente tem-se um segmento de reta; nesse caso, se ele inicia em r₀ e vai até r₁:

r (t )=(1−t) r₀+t r₁, 0≤t≤1

Exercício 4: calcule a integral a seguir, onde C₁ é o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2) e C₂ é o arco x = 4 – y² de (-5,-3) a (0,2). x (t)=(1−t )(−5)+t .0→x (t)=5t−5 0≤t≤1 y (t)=(1−t )(−3)+t .2→ y (t )=5 t−3 0≤t≤1

∫

C y2dx+xdy dx=5 dt dy=5 dt

∫

C1 y2dx+xdy=

∫

0 1 (5t−3)25 dt+(5t−5)5 dt =5

_∫

0 1 (25 t2−30 t +9)+(5t−5)dt =5

∫

0 1 (25 t2−25 t +4) dt =5

[

₂₅ t 3 3 −25 t2 2 +4 t

]

₀ 1 =−5 6

(11)

Integrais de linha

Exercício 4: calcule a integral a seguir, onde C₁ é o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2) e C₂ é o arco x = 4 – y² de (-5,-3) a (0,2). x=4− y2 y= y −3≤ y≤2

∫

C y2dx+xdy dx=−2 ydy

∫

C2 y2dx+xdy=

∫

−3 2 y2(−2 ydy)+(4− y2)dy =

∫

−3 2 −2 y3−y2+4 dy =

[

−y 4 2 − y3 3 +4 y

]

₋₃ 2 =245 6

∫

C y2dx+ x dy=−5 6+ 245 6 =40

(12)

Integrais de linha

Supondo agora que f seja uma função de três variáveis (x,y,z) e C seja uma curva espacial dada por:

Então a integral de linha será:

∫

C f (x, y ,z)ds=

∫

a b f (x (t ), y (t ),z (t ))

√

(

dx dt

)

2 +

(

dy dt

)

2 +

(

dz dt

)

2 dt x=x (t ) y= y (t ) z=z(t) a≤t≤b

∫

C f (x, y , z)ds=

∫

a b f (r (t ))

|

dr (t) dt

|

dt

Exercício 5: calcule a integral de y.senz, onde C é dada por x = cost, y = sent

e z = t, t: [0,2π].

∫

C y senzds=

_∫

0 2π sen t sen t

√

(

dx dt

)

2 +

(

dy dt

)

2 +

(

dz dt

)

2 dt =

_∫

0 2π

sen2t

_√

sen2t+cos2t+1dt =

_√

2

∫

0 2π 1/2(1−cos 2t) dt =

√

2 2

[

t −1/2 sen 2t

]

o 2π =

_√

2π

(13)

Integrais de linha

Exercício 6: calcule a integral a seguir, onde C é o segmento de reta C₁ que une (2,0,0) a (3,4,5), seguido pelo segmento de reta vertical C₂ de (3,4,5) a (3,4,0).

_∫

C ydx+zdy+xdz x (t)=(1−t )(2)+t .3→ x (t )=2+t 0≤t≤1 y (t)=(1−t )(0)+t .4 → y (t )=4 t 0≤t≤1 z (t )=(1−t)(0)+t .5→ y (t )=5 t 0≤t≤1

∫

C1 ydx+zdy+xdz=

∫

0 1 [4 t]dt+[5 t 4]dt+[(2+t )5]dt =

∫

0 1 [29 t +10]dt =

[

29 t 2 2 +10t

]

₀ 1 =49 2 dx=dt dy=4 dt dz=5 dt

(14)

Integrais de linha

_∫

C y dx+ z dy + x dz x (t)=(1−t )(3)+t .3 → x (t)=3 0≤t≤1 y (t)=(1−t )(4)+t .4 → y (t )=4 0≤t≤1 z (t )=(1−t)(5)+t .0 → y (t)=5−5t 0≤t≤1

∫

C1 ydx+zdy+xdz=

∫

0 1 (4)0. dt+(5−5 t)0. dt+(3)(−5). dt =

∫

0 1 −15.dt =[−15.t ]1₀=−15

∫

C y dx+ z dy+ x dz=49 2 −15=9,5 dx=0 dy=0 dz=−5 dt

(15)

Integrais de linha

Conforme falado anteriormente, para se determinar o trabalho de um força em um caminho r : [a,b] é necessário resolver a integral da força F no caminho r.

Tanto a força F quanto o caminho r são vetores. Como são resolvidas integrais de campos vetoriais?

τ=

∫

a b

f ( x) dx

O caminho (curva C) é dividido em partes infinitesimais de tamanho Ds_i, de maneira que T_i seja perpendicular à curva em P_i.

Se Ds_i for pequeno o suficiente, o deslocamento da partícula será na direção e sentido T_i e o trabalho será:

∑

i=1 n [ ⃗F( x_i*, y_i*, z_i*). ⃗T ( x_i*, y_i*, z_i*)] Ds_i τ=

∫

C ⃗ F( x_i*, y_i*, z_i*). ⃗T ( x_i*, y_i*, z_i*)ds→ τ=

∫

C ⃗ F . ⃗T ds

(16)

Integrais de linha

Se a curva C for escrita como r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k [a,b] então T (t) = r’ (t) / |r’ (t) | e ds = |r’ (t) | dt. Assim: τ=

∫

a b

[

_{F (⃗r (t )).}⃗ ⃗r ' (t) |⃗r'(t)|

]

|⃗r '(t )|dt → τ=

∫

a b ⃗ F(⃗r(t)).⃗r'(t) dt

Generalizando, para qualquer campo vetorial:

∫

C ⃗ F . d ⃗r=

_∫

a b ⃗ F(⃗r (t )).⃗r'(t)dt=

∫

C ⃗ F . ⃗T ds

Exercício 7: calcule o trabalho feito porF (x,y) = x² i – xy j ao se mover uma partícula ao longo de um quarto da circunferência r (t) = cos t i + sen t j.

x=cos t e y=sent→

τ=

∫

0 π/2

(cos2t ⃗i−cost sen t ⃗j).(−sen t ⃗i+cos t ⃗j)dt =

∫

0 π/2

(−cos2t sent−cos2t sen t)dt

=2

_∫

0 π/2

−cos2t sent dt ⃗

₍

cos t=u −sent dt=du

)

=2

_∫

1 0 u2_{du =2}

[

u3 3

]

₁ 0 =−2 3 dx dt =−sent e dy dt =cost→

(17)

Integrais de linha

Exercício 8: calcule o trabalho feito por F (x,y,z) = xy i + yz j + zx k na curva C dada por x = t, y = t² , z =t³ e 0 ≤ t ≤ 1. ⃗r (t )=t ⃗i+t2⃗j+t3⃗k_{→ ⃗}_r'₍_{t )=}_{1 ⃗i}₊_{2t ⃗j}₊_3t2⃗_k ⃗ F (r(t))=t .t2⃗_i ₊_t2._t3⃗_j₊_t_{. t}3⃗_k _→

∫

a b ⃗ F(⃗r (t )). ⃗r'(t )dt=

∫

0 1 (t3⃗i +t5⃗j+t4⃗k).(⃗i +2t ⃗j+3t2⃗k)dt =

∫

0 1 (t3+2 t6+3 t6)dt =

[

t 4 4 +5 t7 7

]

₀ 1 =1 4+ 5 7= 27 28

O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser escrito:

_∫

a b

F'(x)dx=F(b)−F (a)

Considerando ᐁf o gradiente de uma função de 2 ou mais variáveis como uma espécie de derivada de f, pode-se escrever uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

∫

C

∇ f . d ⃗r=f (⃗r (b))−f (⃗r(a)) ⃗

(18)

Integrais de linha

Exercício 9: determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando uma partícula de massa m é movida do ponto (3,4,12) até o ponto (2,2,0) ao longo de uma curva lisa C.

τ =

∫

C ⃗ F . d ⃗r=

_∫

C ∇ f . d ⃗r=f (⃗r (b))−f (⃗r (a)) → ⃗ F (⃗r)=∇ f → ∇ f (r)=mMG r2 → f (x, y, z)= mMG

√

x2+ y2+z2 τ =f (2,2,0)−f (3,4 ,12) = mMG

√

22+22+02− mMG

√

32+42+122 =mMG

(

1 2

_√

2− 1 13

)

Uma consequência desse teorema é que:

∫

C₁

∇ f . d ⃗r=

∫

C₂

∇ f . d ⃗r

se C₁ e C₂ forem caminhos que iniciam em a e terminam em b e ᐁf for contínua.

Ou seja, a integral de linha de um campo vetorial conservativo independe do caminho, depende somente das extremidades da curva.

f (r)=mMG

r →

⃗

F (⃗r)=mMG r2 →

(19)

Integrais de linha

Se o caminho C for uma curva fechada (r(a) = r(b)) então a integral de linha nesse caminho será nula.

∫

C

⃗

F . d ⃗r=0

Assim pode-se escrever que a integral de linha em C de F.dr é independente do caminho se ela for nula para todo caminho C fechado.

Se a integral de linha em C de F.dr for independente do caminho, então F é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função f tal que:

∇ f =⃗F

Portanto se F for escrito como F(x,y) = P(x,y)i + Q(x.y)j e ele for conservativo, então: P= ∂f ∂x e Q= ∂f ∂ y → ∂P ∂ y = ∂2f ∂ y ∂ x= ∂2f ∂x∂ y= ∂Q ∂ x

(20)

Integrais de linha

Exercício 10: determine se o campo vetorial F (x,y) = (x - y) i + (x - 2) j é conservativo ou não.

Exercício 11: determine se o campo vetorial F (x,y) = (3 + 2xy) i – (x² - 3y²) j é conservativo ou não. P=x− y → ∂P ∂ y =−1 Q=x−2 → ∂Q ∂ x =1 ∂ P ∂ y ≠ ∂Q ∂x → Não é conservativo. P=3+2 xy → ∂P ∂ y =2 x Q=x 2_{−3 y}2_→ ∂Q ∂ x =2 x ∂P ∂ y = ∂Q ∂ x → É conservativo.

(21)

Lista de exercícios

Exercício 1: calcule o valor da integral de f(x,y) = 4 + xy em C, curva definida pela metade da circunferência x² + y² = 1.

Exercício 2: calcule o valor da integral de f = 4x em C, curva formada pelo arco da parábola y = 2x² entre (0,0) e (2,2) seguido pelo segmento de reta vertical de (2,2) a (2,3).

Exercício 3: Um arame com o formato de um semicírculo x² + y² = 1, x ≥ 0 é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta x = 1.

Exercício 4: calcule a integral a seguir, onde C₁ é o segmento de reta de (5,2) a (0,3) e C₂ é o arco x = 9 – y² de (5,2) a (0,3).

_∫

C

y2dx+ x dy

Exercício 5: calcule a integral de x.senz, onde C é dada por x = cost, y = sent e z = t, t: [0,π].

(22)

Lista de exercícios

_∫

C

y dx+ z dy+ x dz

Exercício 7: calcule o trabalho feito pelo campo de força F (x,y) = xy i – x² j ao se mover uma partícula ao longo de um quarto da circunferência r (t) = cos t i + sen t j.

Exercício 8: calcule o trabalho feito por F (x,y,z) = xy i + yz j + zx k na curva C dada por x = 1, y = 2t , z =t³ e 0 ≤ t ≤ 2.

Exercício 9: determine o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando uma partícula de massa m é movida do ponto (1,2,6) até o ponto (3,6,0) ao longo de uma curva lisa C.

Exercício 10: determine se o campo vetorial F (x,y) = (3 + 2x²y) i + (2x +3y²) j é conservativo ou não.