EM aula10

Elementos de Matemática

DMat - UFPE - 2018.1

Objetivos

1 Apresentar o Princípio da Boa Ordem (PBO) 2 Estabelecer a equivalência PBO ⇐⇒ PMI

O Princípio da Boa Ordem (PBO)

Consiseraremos aqui que N representa o conjunto dos números inteiros positivos. Todo subconjunto não vazio de N possui um menor elemento.

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo

I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição!

PBO ⇒ PIM

Vamos provar essa implicação por redução ao absurdo:

Suponha que o Princípio da Indução Matemática é falso, ou seja

I existe uma armação P (n) sobre inteiros positivos que é falsa para alguns inteiros positivos

mas

I P (1)é verdadeira e

I P (n − 1) ⇒ P (n) ∀n > 1

Dena F = {m ∈ N : P (m) é falsa}. Por hipótese F 6= ∅.

Pelo Princípio da Boa Ordem, F tem um menor elemento, digamos m0. Então

I P (m0)é falsa e

I P (k)é verdadeira para todo k < m0. Logo I P (m0− 1) é verdadeira. Mas

I P (m0− 1) ⇒ P (m0), ou seja P (m0)é verdadeira

Temos uma contradição! PBO ⇒ PIM

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I _{n + 1 ∈ B} e M_{n+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B} I P (n + 1)é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento.

Seja B = N \ A, o complemento de A em N Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I _{n + 1 ∈ B} e M_{n+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B} I P (n + 1)é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I _{n + 1 ∈ B} e M_{n+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B} I P (n + 1)é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I _{n + 1 ∈ B} e M_{n+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B} I P (n + 1)é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B.

I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo, I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B

I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B

I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1

N ⊂ B ⊂ N N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição! PIM ⇒ PBO

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Temos uma contradição!

PIM ⇒ PBO

Vamos provar essa implicação também por redução ao absurdo: Suponha que o Princípio da Boa Ordem é falso, ou seja

I existe um subconjunto A ⊂ N, não vazio, que não possui um menor elemento. Seja B = N \ A, o complemento de A em N

Dena Mn= {m ∈ N : m ≤ n}

Considere a armação: P (n) : Mn⊂ B

I P (1)é verdade.

I Assuma que P (n) é verdade para algum n ≥ 1, ou seja, para esse n, M_n⊂ B. I Se n + 1 ∈ A então n + 1 é o menor elemento de A. Logo,

I n + 1 ∈ B e Mn+1= Mn∪ {n + 1} ⊂ B I _{P (n + 1)}é verdade.

Pelo PIM P (n) é verdade para todo n ≥ 1 N ⊂ B ⊂ N

N = B ⇒ A = ∅

Aplicações do PBO

O PBO é logicamente equivalente ao PIM.

Algumas propriedades de números inteiros derivam mais facilmente de um que do outro Já vimos algumas aplicações do PIM

Aplicações do PBO

O PBO é logicamente equivalente ao PIM.

Algumas propriedades de números inteiros derivam mais facilmente de um que do outro

Já vimos algumas aplicações do PIM Vamos ver algumas aplicações do PBO

Aplicações do PBO

O PBO é logicamente equivalente ao PIM.

Algumas propriedades de números inteiros derivam mais facilmente de um que do outro Já vimos algumas aplicações do PIM

Aplicações do PBO

O PBO é logicamente equivalente ao PIM.

Algumas propriedades de números inteiros derivam mais facilmente de um que do outro Já vimos algumas aplicações do PIM

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n}

I A 6= ∅pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

F b + x = a − bm ⇒ x = a − b(m + 1) ⇒ x ∈ A ⇒ x ≥ t = b + x ⇒ b ≤ 0. Absurdo!

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n}

I _{A 6= ∅}pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

F b + x = a − bm ⇒ x = a − b(m + 1) ⇒ x ∈ A ⇒ x ≥ t = b + x ⇒ b ≤ 0. Absurdo!

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n} I A 6= ∅pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

F b + x = a − bm ⇒ x = a − b(m + 1) ⇒ x ∈ A ⇒ x ≥ t = b + x ⇒ b ≤ 0. Absurdo!

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n} I A 6= ∅pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t

I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

F b + x = a − bm ⇒ x = a − b(m + 1) ⇒ x ∈ A ⇒ x ≥ t = b + x ⇒ b ≤ 0. Absurdo!

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n} I A 6= ∅pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

F b + x = a − bm ⇒ x = a − b(m + 1) ⇒ x ∈ A ⇒ x ≥ t = b + x ⇒ b ≤ 0. Absurdo! I Então temos q = m e r = t < b

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n} I A 6= ∅pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

F b + x = a − bm ⇒ x = a − b(m + 1) ⇒ x ∈ A ⇒ x ≥ t = b + x ⇒ b ≤ 0. Absurdo! I Então temos q = m e r = t < b

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n} I A 6= ∅pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

F b + x = a − bm ⇒ x = a − b(m + 1) ⇒ x ∈ A ⇒ x ≥ t = b + x ⇒ b ≤ 0. Absurdo!

Divisão Euclidiana

Se a e b são inteiros positivos então existem inteiros q e r tais que a = bq + r e 0 ≤ r < b Há duas situações a considerar

b | a("b divide a"ou "b é um divisor de a"ou "a é um múltiplo de b"). Nesse caso a = bm, q = me r = 0.

b 6 | a. Dena A = {k ∈ N : k = a − bn para algum inteiro n} I A 6= ∅pois a ∈ A

I Pelo PBO, A tem um menor elemento, digamos t I t = a − bm ⇒ a = bm + t. Resta mostrar que t < b

F Por redução ao absurdo, se t ≥ b então t = b + x com x ≥ 0

Exercícios

1 Ache q e r do Teorema de Euclides para

a) a = 27e b = 5 b) a = 38e b = 7

2 Prove o Teorema de Euclides sem a restrição a > 0 3 Ache q e r do Teorema de Euclides para

a) a = −27e b = 5 b) a = −38e b = 7

4 Sejam a e b inteiros positivos com a ≤ b. Mostre que existe n ∈ N tal que