Lauda projetada no quadro durante as aulas 2° série

Este é minha lauda que projeto no quadro durante as aulas. Está sendo disponibilizada para que possa ajudar de alguma forma aos alunos das segunda séries em 2016. Vale lembrar que não é a aula completa, pois, as aulas envolvem explanação de cada assunto e uso de outros recursos como exemplo o GeoGebra e escrita no quadro. Por ser rascunho pode conter alguns pequenos equívocos que na verdade foram consertados ou comentei durante as aulas em sala. Enfim este arquivo é apenas para quem perdeu algum tópico da matéria em sala e não tem no caderno se orientar. Veja as listas de atividades no site: https://goo.gl/qhhkFv

O assunto oficial está no livro didático adotado em 2019 pelo IFES/Alegre.

Gelson Iezzi [et al]. Matemática: Ciências e Aplicações. 7º edição - São Paulo, Editora saraiva, Volume 1, 2013.

Aprender matemática é obter independência e autonomia para futuras questões

matemáticas

➔ Logaritmo ➔ Função modular ➔ Função composta ➔ Função inversa ➔ Sequências ➔ Progressão aritmética ➔ Progressão Geométrica

➔ Matrizes (Lei de formação, identidade, operações) ➔ Determinantes (Chió, Cramer)

➔ Matriz inversa ➔ Equações lineares

➔ Sistemas de equações linear

➔ Método de resolução de sistema linear (Cramer, matricial) ➔ Estatística

➔ Probabilidade básica ➔ Geometria espacial

Logaritmos

A que número devemos elevar o 3 para para obter 81?

Notação exponencial 3x=81 3x=34 x= 4 Notação logarítmica log₃81=4 • 81 é logaritmando • 3 é a base do logaritmo • 4 logaritmo

Experimente calcular log2(−8); log14 e log−18

Condições de existência de logaritmo - CE (Restrições)

logab=x a > 0, b > 0 e a≠1. Importante! CE

Leitura:

log₃81=4 : Logaritmo de 84 na base 3 é igual a 4.

Calcule:

a) log₃9 b) log1 3

Observação:

É muito comum o logaritmo de base 10 no ensino médio. E o logaritmo de base e no ensino superior. • log 20, implica em logaritmo de base 10.

• log_e20, implica em base e (e = 2,718...) que se escreve apenas ln 20

Exercícios:

1) Calcule os logaritmos. a) log₁ 2 8 b) log₄1 c) log 1000 d) log3 √93 2) Determine os valores de x para as condições de existência sejam satisfeitas:

a) logx(2− x) b) log7(3 x – 5) c) log(x – 1 )(4 – x2) d) log(– x2+2 x +3)

Dada definição de logaritmo e estabelecidas as condições de existência de logaritmo tem consequências imediatas:

C1 log_aa=1 C2 log_a1=0 C5 log_ab . log_ba=1

C3 logab n

⇔ n . log_ab C4 blogba = a C6 log

b n k

a ⇔ k

n.logba

1) Aplicando as definições as propriedades anteriores calcule.

a) log₅125 b) log 1000 c)

log

_0,25

_√

8

d) log 0,0001 e)

2

log225

f)

4

3+log42 2) Calcule 9log35

Usando técnicas apropriadas Neper construiu uma tabela de logaritmos decimais. (Que também podem ser obtidas nas calculadoras científicas nos dias de hoje)

Tabela de logaritmo

…...………...Continua

Como usar a tabela? Exemplo 1

log1020=x ; → 10x=20 ; logo deduz que o intervalo real para x é , 1 < x < 2, 1,????? = 1 + 0,301030 ≈ 1,301030 - Valor aproximado Característica Mantissa Exemplo 2 log 210=x ;10x=210 → 2 < x < 3 2,????? = 2 + 0, 322219 ≈ 2,322210 (Valor aproximado)

1) Com auxilio da tabela calcule.

1) log 150 b) log 345

2) Estabeleça a intervalo para a solução da equação 10x

+4=22

3) Usando a tabela de logaritmo calcule o valor aproximado da solução da equação 10x

+4=22

Propriedades operatórias dos logaritmos

P1 loga(b . c)⇔ logab+logac : - Logaritmo de um produto.

P2 loga

(

b

c

)

⇔logab – logac : - Logaritmo de um quociente.

Atividades complementares

1) Com o auxilio da tabela de logaritmos calcule os logaritmos.

a) log 6 b) log 150 c) log 75

2) Sabe - se que log 2 = 0,3 e que log 3 = 0,5 e que log 5 = 0,7 calcule.

a) log 120 b) log 1500 c) log

(

150 20

)

3) Sabendo que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5, calcular log 6 e log 1,5.

4) Sabendo que log 2 = 0,3, calcule log

√

340 5) Calcule o valor aproximado de 3

√

9 com auxilio de logaritmos. Dado que: log 3 = 0,4771 6)

7) A intensidade/magnitude de um terremoto é determinada por I=2 3. log

(

E

E_o

)

onde E é a energia

liberada e E0 = 7 . 10-3 kw/h e I varia no intervalo [0; 9]. Um terremoto teve energia liberada de 7.10⁶ kw/h. Calcule a intensidade do mesmo.

8) Resolva a equação . Use a aproximação log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5 e log 5 = 0,7

9) Calcule log 5, dado que log 2 = 0,3.

10) Dado que log₅7=a ; calcule log₄₉25 11) Dados que logyx=2 calcule:

a) logxy b) logx3y

3 _{c) log}

y2x 12) Dado que log125=a ; calcule log125144 em função de a.

Exercícios complementares sobre logaritmos

1) Se então calcule o valor de 2) Resolva as equações logarítmicas. a)

b)

c)

3) Sendo x e y números reais tais que e . Calcule o valor de

Equações logarítmicas

Toda equação onde envolva log é denominada equação logarítmica.

Exemplos.

O princípio básico para resolver uma equação logarítmica é que os dois membros tenham logaritmo com mesma base que a, x e y satisfaçam as CE.

log

_a

x = log

_a

y ⇒ x= y

Exemplo:

Resolva a equação , logo:

Exemplo de fixação: Resolva as equações.

1) log₂x=4 2) log_(x−2)4=1

2) Resolva as equações.

a) log3(x +1)=4 b) log x – log(x−1)=2 c) logx3=−2 d) 2. log x =log(2 x−3)+log(x +2)

Gráficos da função logarítmica:

Dada a função logarítmica f (x)=log2x ; para x > 0, Construir o gráfico de f(x). Comparar com o gráfico de f (x)=2x_.

Mudança de base:

Material complementar: Página 160 até 187 livro de matemática IFES/Alegre

Função inversa.

Dada a função bijetora f(x) definida A B a função inversa denotada por é a função B A tal que, f(a) = b e , onde a A e b B.

Exemplo

1) Dada a função definida de definida de R em R, determine a função 2) Dada a função definida de definida de R em R, determine a função

Exercícios

1) Determine a função inversa de f (x)=2 x +3 2) Determine a função inversa de g(x )=log₁

4

x

3) Construir o gráfico da função f (x)=log10x e g(x)=log1 3

x ; onde x > 0

4) Construir a gráfico de f (x)=log3x ; onde x > 0 5) Determine a função inversa de f (x)=2 x−3

x−1

Material complementar: Página 192 até 196 livro de matemática IFES/Alegre

Função composta

Dada uma função f(x) tal que A B e uma função g(x) tal que B C a função composta g(f(x)) e a função que define A C. Notação alternativa: g o f = g(f(x))

Fazer diagrama de e de : Feito em sala

Exemplo:

1) A função f(x) = 2x+ 4 e g(x) = 3x - 4 determine a função composta g(f(x)).

2) Sejam as funções f(x) = 2x -3 e g(x) = x² + x definidas: A B e B C determine: a) f(g(x))

b) g(f(x)) c) f(g(2)) d) f(f(x))

Material complementar: Página 197 até 199 livro de matemática IFES/Alegre

Função modular

A função modular associa a cada x real ao seu valor absoluto. Notação: .

Exemplo:

1) Para a função . Calcular: a) f(2)

b) f(-2) c) f(-4) d) f(-5)

2) Para a função . Calcular: a) g(2)

b) g(-2) c) g(-4) d) g(-5)

A definição formal de função modular é dado por Que é uma função

definida por duas sentenças.

Obs:. Com esta definição tem que e não igual a x como muitos acreditam.

Aplicação:

1) Usando a definição formal de função modular calcule:

a) | 2 | b) | 4 | c) | -5 | d) | -3 |

e) f) g) h)

Equações modulares:

Toda equação que envolva modulo é denominada de equação modular.

| x | = 3 | x -2 | =3 | x² – 2x - 5 | = 3

Em resumo geral tem - se:

1) Resolver a equação

2) Resolva a equação | 2x – 12| = x + 2

3) Resolva a equação | 2 x -6| = 0

Inequações modulares.

Inequações sãos sentenças matemáticas que evolva pelo menos uma variável e uma desigualdade.

a) b)

Em resumo geral tem – se: Representar em reta real

1) Resolva:

a) b)

Gráficos de funções modulares

1) Dada Construir o gráfico de f(x). 2) Dada . Construir o gráfico de g(x).

Material complementar: 121 a 133 livro de matemática IFES/Alegre

Sequencias

Uma sequência é uma lista ordenada de objetos, números ou eventos. Frequentemente nos deparamos com situações em que enumeramos elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação:

Exemplos:

• Meses do ano; ( Janeiro, Fevereiro....dezembro)

• Números da lista de chamada; ( 1, 2, 3, ...30)

1. Sequencias Numéricas especiais e infinitas

- Sequencias de números naturais;

• (0; 1; 2; 3; 4; 5; …) Símbolo • (1; 2; 3; 4; 5; …) Símbolo

- Sequencias de números pares; • (0; 2; 4; 6; ….)

Lei geral , onde

(Lê: O sexto elemento da sequência é 6) Diagrama e lei de formação! Professor!

- Sequencias de números ímpares;

• (1; 3; 5; …..)

Lei geral , onde

Diagrama e lei de formação! Professor!

- Sequencias de números primos. (Em estudo não chegaram a um ponto final sobre o padrão desta sequência)

• (2; 3; 5; 7; 11; 13; 19; 17, 23; ….) , Não descobriram a lei geral ainda

Há uma lei que não foi provada como correta.

800 kg A 400 kg C 900 kg A 450 kg B 250 kg A 1000 kg B 400 kg A 800 kg E 600 kg A 200 kg A 760 kg B 500 kg C 400 kg C

Mapeamento genético sequências de zeros e uns

---Animal G1 G2 G3 G4 G5 G6 Ração Peso (kg)

1 1 0 1 1 0 1 A 450

2 0 1 1 1 0 1 B 600

3 0 0 0 0 0 1 B 200

4 0 0 0 0 0 1 A 200

---Sequência de precipitação Ver planilha chuvas

Cachoeiro - 117.7; 86.0; 94.2; 99.3; 61.2; 25.1; 43.9; 38.7; 57.1; 120.4; 171.3; 171.5 Vitória - 119.4; 78.9; 108.2; 97.6; 85.7; 62.3; 85.2; 40.3; 89.8; 144.4; 164.7; 175.8 Viçosa - 180.8, 142.2, 102.3, 47.4, 29.3, 17.1, 26.3, 17.4, 54.3, 128.7, 208.6, 211

Tem um padrão ao longo do ano estas três sequências? Discussão com alunos!

• (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,...)

O escocês Robet Simson demostrou-se que

Sierpinski

Exercícios:

1) Qual número que ocupa a 40ª posição na sequência de números pares? 2) Qual número que ocupa a 51ª posição na sequência de números ímpares? 3) Qual é a posição que o 164 ocupa na sequências de números pares? 4) Qual é a posição que o 477 ocupa na sequências de números ímpares?

5) Escreve os 5 primeiros termos da sequência definida pela lei geral onde

6) Escreva a sequência definida por ,

a) Escreva a sequência até o ; b) Calcular o valor de

7) Uma sequência é formada por 50 figuras conforme o padrão que exibe as 4 primeiras figuras. Cada figura da sequência é formada por quadradinhos claros e escuros.

a) Escreva a sequência de quadrados brancos;

b) Escreva a sequência de quadrados pintados de cinza;

c) Descreva o padrão que você observa na sequência de desenhos com relação ao formato de cada desenho;

d) Descreva o padrão que você observa na sequência de desenhos com relação aos lados de cada quadrado;

d) Quantos quadradinhos estão de cinza tem na figura que ocupa na posição . e) Quantos quadradinhos estão de cinza tem na

figura que ocupa na posição .

8)

8) Os números são chamados de números triangulares ( 1; 3; 6; 10; 15; 21; …). Qual é são os próximos 3 números triangulares.

….

Estudo das sequências numéricas especiais

Basicamente no ensino médio estuda-se apenas duas sequências especiais. A progressão aritmética PA e a progressão geométrica PG.

Observe a sequencia de bolinhas na formação de cada T.

a) Qual é esta sequência?

Uma sequencia numérica onde cada termo é sempre o anterior somada a um valor fixo (r) é denominada progressão aritmética (PA). E este valor r é denominada razão da PA.

IMPORTANTE! Para toda PA é válido que:

Propriedade de uma PA

Para toda PA tem que para quaisquer três termos

Em geral a representação dos termos de uma PA pode ser representado por:

Exemplo:

Supõe apenas para ilustração que a cada ano os valores de exportações de soja pelo Brasil aumente um milho e meio de toneladas e começando com 4 milhões.

(4; 5,5; 7; 8,5; …) PA de razão

Daqui 20 anos qual será a exportação?

• (2; 7; 12; 17; ….) PA de razão r = 5, crescente.

• (9; 9; 9; 9; …..) PA de r = 0; constante

Escreva qual sequencia abaixo é uma PA? Em caso positivo qual é a razão desta PA? a) ( 4; 8; 12; 15; 20; ..)

b) (20; 16; 12; 8; 4; 0; -4; -6; -12; …)

c)

d) ( -12; -8; -4; 0; 4; 6; …)

Exemplo:

1) Em uma PA tem que (-12; -10; -8; -6; -4; -2; 0; 2; …..). Determine: a) b)

2) Em uma P.A, o elemento e . Qual é o ?

4) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?

5) Ache o 10o termo da P. A. (a + b; 3a - 2b; …)

6) Calcule a quantidade de números, entre 100 e 500, que são divisíveis por 8.

7) Três números estão em P.A. A soma destes números é 15 e o produto 105. a) Quais são estes números?

b) Qual a diferença entre o maior e o menor?

8) Os gastos de Paulo, para cada dia do mês, seguem a sequência abaixo: (2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; …; )

9) Um triângulo retângulo tem perímetro 60 m, e seus lados formam uma PA. Calcule estes três números. Determine:

a) Determine a razão desta PA. R:. 5 b) Determine os lados do triangulo. R:. (15; 20; 25) 10) Um corredor treinará para uma maratona onde a mesma tem um percurso igual a 21000 m. No primeiro dia de treino, ele corre 1000 m, no segundo mais 1400 m, no terceiro 1800 m, e assim por adiante, até que no último dia de treino ele percorre 21000 km.

a) Em quantos dias de treinamento ele alcançou o percurso de 21000 km? R:. 51 dias

b) Neste dias de treinos até atingir os 21000 no último dia. Quantos km ele percorreu no total? R:.

561000 km

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante (q), chamada de razão da progressão geométrica.

Estagio 1 Estagio 2 Estagio 3 Estagio 4 Estagio5 1. Qual a sequência de pelo número de triângulos escuro?

IMPORTANTE! Para toda PG é válido que:

Propriedade de uma PG

Para toda PG tem que para quaisquer três termos

Em geral a representação dos termos de uma PG pode ser representado por:

Exemplo1:

Sabendo que uma PG tem a₁ = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.

Exemplo2:

Em uma PG e 4. Calcule

1) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:

a) Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.

b) Determine a quantidade de tábuas empilhadas até a 12ª pilha.

3) Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem.

4) Determine o segundo termo de uma P. G. crescente tal que e .

5) Três números estão em PG crescente. A soma deles é 14 e a o produto entre eles 64. Calcule os três números.

6) Determine a lei geral para as sequências. a) (3; 7; 11; 15; 19; …)

b) ( 5; 15; 45; …)

Soma dos infinitos termos de uma PG

Partindo que uma caixa para armazenas água está completamente cheia com 1000 litros de água e que vamos esvaziar da seguinte forma: 500 na primeira hora, 250 na segunda hora. Esta caixa será esvaziada totalmente?

A soma dos infinitos termos de uma P.G com -1 < q < 1, que equivale | q | < 1; é dada por

1) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m sobre uma superfície plana, observa-se que, devido a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera apenas 3/8 da altura anterior. Admitindo-se que o deslocamento da bola ocorra somente na direção vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola pulando para cima e para baixo? R:. 11 m

2) A figura ao lado foi decomposta em retângulo e quadrados onde a área de cada um esta indicada internamente. Calcule a área desta figura.

3) As dizimas periódicas pode ser tratadas como soma de PG infinita. 0,333333….= 3/10+3/100+3/1000…. = 1/3

Links para estudos PA e PG

https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica

http://prevestibularonline.blogspot.com.br/2012/07/progressoes-aritmeticas.html

https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_geom%C3%A9trica

http://matematicojorge.no.comunidades.net/exercicios-resolvidos-e-propostos-de-pa-e-pg

Matrizes

Uma matriz é uma tabela com n (linhas) e m (coluna), ou seja, uma disposição de números em forma de tabelas.

Exemplo de uma matriz

Em uma pesquisa para cada animal foi anotada 6 genótipos e o pesa e a ração com que foram a alimentados como na tabela abaixo.

Animal G1 G2 G3 G4 G5 G6 Ração Peso (kg) 1 1 0 1 1 0 1 A 450 2 0 1 1 1 0 0 B 600 3 0 0 0 0 0 1 B 210 4 0 0 0 0 0 1 A 220

No entanto uma matriz pode ser escrita com outra notação como abaixo.

A ordem da matriz A é 4 x 6 e a ordem da matriz C é 4 x 1

Uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas é dita matriz quadrada.

Cada elemento de uma matriz tem o seu endereço. Por exemplo a matriz A tem:

Qual é o elemento da matriz A? Formação de matrizes

Uma matriz pode ser formada pela coleta de informações ou pode ser formada por uma lei geral em função do endereço de cada componente.

Um agricultor anota o que arrecada com vendas de carne, café e doce por semana conforme a tabela baixo.

Semana I Carne café doce 1 200 350 40 2 205 460 45 3 130 500 60 4 230 230 70 5 270 600 30 6 500 450 35 7 300 500 10

Semana II Carne café doce 1 100 300 45 2 250 400 30 3 120 400 70 4 180 236 30 5 240 500 10 6 410 400 40 7 400 300 20

Lei geral de formação de uma matriz: É uma função que define os elementos da matriz em função da

linha e da coluna que cada elemento ocupa. Sempre chamaremos i (linha) e j (coluna).

Determinar a matriz C3x2, onde cada elemento

Matriz transposta

Seja uma matriz Anxm a transposta da matriz A é obtida trocando-se as linhas com as colunas de forma que os elemento aij da matriz A correspondem aos elementos da matriz Bmxn onde cada bji = aij.

Notação matriz transposta da matriz é denotada por

Exemplo:

Importante (Ver gif)

Adição e subtração de matrizes

Para adicionar ou subtrair duas matriz basta fazer a operação correspondente com os elementos correspondentes. Neste contexto só existe adição e subtração de matrizes de mesma ordem, ou seja, sendo A e B duas matrizes

Sendo as matrizes de anotações do agricultor nas duas semanas responde.

Qual a matriz que representa o total que ele arrecadou nestas duas semanas?

Definição de soma e diferença de matrizes.

Sendo A e B duas matrizes de mesma ordem define-se que:

A + B = C, onde A - B = D, onde

Exemplo:

a) A + B b) A – B c) B – A

Exercícios

1) Determina as matrizes definidas por:

a) tal que: b) tal que:

2) Dadas as matrizes e . Determine:

a) A + B b) B – A

Outras operações com matrizes:

Dadas uma matriz A m×n e um número k podemos definir o produto da matriz A por k que é a matriz k.A obtida de A multiplicando todas as entradas de A por k. Podemos escrever: se , então

Dada a matriz: . Calcular a matriz:

a) 3.A b) c) -1.A

Propriedades básicas

Sejam A, B, C matrizes m × n e k, números. A adição de matrizes e o produto por um escalar satisfazem as seguintes propriedades:

1. A + B = B + A 2. A + 0 = A 3. A + (−A) = 0

4. (A + B) + C = A + (B + C)

5. k(A + B) = kA + kB, onde k é um número real 6. 1 · A = A

7. 0 · A = 0

Obs: Zero neste contexto significa a matriz nula Exercícios

1) Considere a matriz ; e Calcule.

a) b) c)

2) Dados as matrizes e . Determine a matriz X tal que

3) Considera as matrizes . Calcule.

4) Determine a matriz transposta de . O que você observou?

Outras propriedades

• •

• onde k é um número real

• Se , então, dizemos que A é matriz simétrica. Matriz simétrica é aquela matriz que

a

ij

=

a

ji

MATRIZES ESPECIAIS

Existem matrizes que, por apresentar características especiais e grande utilidade por estas características, recebem nomes especiais. São elas:

• Matriz linha; • Matriz coluna; • Matriz nula; • Matriz quadrada; • Matriz identidade; In • Matriz diagonal.

A diagonal principal e a diagonal secundária de uma matriz quadrada.

aij tal que i = j aij tal que i + j = 4

Multiplicação entre duas matrizes

O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de

Cada elemento c

ij

é obtido pela soma:

c

ij

= a

i1

.b

1j

+ a

i2

.b

2j

+ . . . + a

ip

.b

pj

Exemplo

Calcule os produtos A .B; B.A

Exemplo:

Dadas as matrizes e . Calcule:

a) A.B b) B.A c) d) A² e) A.B + I3 f) A. I3

Propriedades para multiplicação de matrizes

•

• Em geral , caso dizemos que A e B são matrizes comutáveis. •

• •

• , não implica necessariamente que A = 0 ou B = 0, como nos números reais. • , logo é o elemento neutro da multiplicação de matrizes

Exemplo

1) Sendo a matriz . Calcule o produto:

a) b)

Determinantes

O determinante de uma matriz quadrada é um número associado a uma matriz

quadrada de ordem n.

O conceito formal de determinante será omitido neste nível de ensino, pois,

envolve o conceito de permutação e que não foi discutido até o momento.

Indicaremos determinantes de uma matriz A por det A ou por |A|

Matriz A

Determinante de uma matriz A

Determinante de uma matriz A

Existem várias formas de calcular um determinantes:

•

Regra de Sarrus;

•

Regra de chió;

•

Laplace – Matriz de cofatores;

Dada uma matriz quadrada o determinante é dados por:

Todos estes métodos anteriores são usados no ensino médio nesta aula usaremos a método de Sarrus

Para matrizes quadradas maiores que 3x3 é necessário usar outros métodos para calculo do determinante.

Exemplo I

Dadas as matrizes , e

Calcule det (A ), det (B) e det (H )

Exemplo II

Dados os três vértices do triangulo ABC. A( -4; 2), B(4; 6) e C (-3; -4). Vamos localizar os pontos e determinar a área do mesmo pelo conceito de determinante.

Exercícios

1) Resolva a equação

2) Dada a matriz Calcule.

a) det (A) b) det (A²) c) det (A² + A)

4) Dada a matriz Resolva a equação:

5) Considere a matriz e definida por . Calcule

6) Calcule a área do triângulo ABC A(-2; -2), B(3; 3) e C( -4; 8)

Propriedades dos determinantes

P1 Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem iguais a zero, seu determinante será nulo;

P2 Se os elementos correspondentes de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada forem iguais, seu determinante será igual a zero;

P3 Se uma matriz quadrada possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo;

P4 Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k então seu determinante fica multiplicado por k;

P5 Se uma matriz quadrada de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por ;

P5 O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta

P6 Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz obtida é oposto ao determinante da matriz original;

P7 O determinante de uma ma triz triangular é obtido multiplicando se todos os termos da diagonal principal

P8 Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formando uma outra matriz B, então det (A .B) = det (A) . det (B)

P9 Uma linha sendo combinação entre outras linhas o determine é zero. P10 Toda propriedade para linha é válida para colunas.

REGRA DE CHIÓ

A regra (algorítimo) de Chió consiste em aplicar algumas operações de forma a reduzir “as dimensões” de uma matriz e, assim, facilitar o cálculo do determinante porém ela é muito prática se qualquer elemento for igual a 1. Se tal termo for diferente de 1, aplicamos uma ou mais propriedades (já vistas) afim de tornar a11 = 1. Sendo possível calcular o determinante de ordens 2x2; 3x3; 4x4 ou maiores.

Redução de um determinante de n para ordens menores.

Siga os passos da Regra de Chió para o caso onde a11 = 1. Neste caso de a11 = 1 a correção é

• Sendo a11 = 1, suprime-se a primeira linha e a primeira coluna.

• De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos dois termos suprimidos, na linha e coluna desse elemento restante.

• Com os resultados das subtrações, obtém-se uma matriz uma ordem menor que a anterior porém com mesmo determinante.

Não é necessariamente que a11 que deve ser 1, pode ser outros elementos da matriz, deste

que faça correção por , onde i e j é a linha e a colunas do elemento eliminado. Exemplo:

Calcular o determinante da matriz:

Sistemas de equações lineares

Equações lineares são equações da forma: onde cada é

um número real e o termo b é denominado termo independente de x.

Exemplo:

Obs.: (Não linear)

1) Pesquise 5 soluções da equação linear

2) Marque as soluções no plano cartesiano e descreva o que observou.

Augusto foi sacar R$ 90,00 reais no caixa eletrônico que só dispunha de cédulas de R$20,00 e de R$10,00. Como pode ser feito este saque?

Qual equação representa a condição de colocada no problema? Qual classificação desta equação?

Quantas formas ele pode fazer o saque?

Exercícios

1) Qual a solução da equação linear , quando x = 1?

2) Qual a solução da equação linear x – y + 3z = 10, quando y = 1 e z = -2?

Sistema de equações lineares

Problema motivacional para introdução ao estudo de sistemas de equações lineares.

Ana Beatriz ficou interessada em saber o preço unitário dos sanduíche e da água de coco. O objetivo nesta aula é desenvolver estratégias além da estratégia que vocês já estudaram.

Interpretação Geométrica (GeoGebra)

Regra de cramer

A regra de Cramer se aplica em sistemas lineares que tem uma única solução (SPD) e apenas neste caso a regra é conclusiva. Esta regra é apenas uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas

forem iguais.

Os valores das incógnitas de um sistema com três equações e três incógnitas são calculados da seguinte forma:

…..

Onde:

• D é o valor do determinante da matriz dos coeficientes (chamada de matriz incompleta);

3 águas de coco + 2 sanduíches R$14,00

2 águas de coco + 1 sanduíches R$8,00

• Dx é o valor do determinante da matriz incompleta com os termos independente em x; • Dy é o valor do determinante da matriz incompleta com os termos independente em y; • Dz é o valor do determinante da matriz incompleta com os termos independente em z;

Obs:. O método de Cramer é recomendado apenas quando . Caso contrário existem outros métodos mais indicados.

1) Resolver pelo método de Cramer o sistema R:. (1; 2;3)

2) Verifique se o par (3; -1) é solução do sistema de equações lineares

3) Se é solução da equação linear . Calcule o valor de k.

4) A equação linear tem uma solução a tripla ordenada (2; -3; 4). Calcule o valor de m.

5) Resolva o sistema linear

6) A expressão matricial de um sistema é = Determine a solução deste sistema.

8) Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos. O número de moedas de cada valor?

9) Resolução de sistemas em física

10) Aplicações em química

Inversa comum de uma matriz

Duas matrizes quadradas A e B são denominadas inversas se e semente se A . B = I ou B . A = I. Existem vários métodos para determinar uma matriz inversa. Neste nível de ensino somente determinaremos inversas de matrizes 2 x 2 ou 3 x 3. A definição acima pode-se observar que A e B comutam e denotaremos

• Nem toda matriz tem inversa comum;

• A condição para que uma matriz tenha inversa comum é ser quadrada e ter determinante diferente de zero;

• , ou seja,

A matriz tem inversa Mas como determinar a matriz inversa?

Exercícios

1) Calcule a matriz inversa das matrizes.

a) b) Propriedades 1. 2. 3. 4.

5. Se existe a inversa comum de uma matriz ela é única.

Obs: Se a inversa pode ser obtida pelo algorítimo somente para o caso 2 x 2

2) Qual deve ser a condição para na matriz H para que a mesma tenha inversa?

3) Qual deve ser a condição para na matriz P para que a mesma tenha inversa?

4) Determine a inversa da matriz R:.

5) Verifique se B e P são matrizes inversas e P =

Solução de um sistema linear via equação matricial usando matriz inversa dos

coeficientes

Um sistema de equações lineares que tem apenas uma solução pode ser resolvido pela equação matricial usando matriz inversa X= D ¹ .Y. Onde ⁻¹ .Y. Onde D é a matriz de coeficientes das incógnitas e Y é a matriz de

termos independente.

Resolver o sistema pelo método X= D ¹ .Y⁻¹ .Y. Onde

; e calculando tem

X= D ¹ .Y⁻¹ .Y. Onde

X =

Exemplo 1

Resolver o sistema de equações linear pelo método da equação matricial X=

D ¹ .Y. ⁻¹ .Y. Onde R:. (4; -1)

Informações complementares: Inversa da matriz dos coeficientes

Exemplo 2

Resolva o sistema linear pelo métodos da equação matricial

X= D ¹ .Y.⁻¹ .Y. Onde

Informações:

Resolver o sistema por dois métodos distintos. R:.

Informações complementares: Inversa da matriz dos coeficientes

Aplicação de sistema lineares

1) O diretor de uma empresa, o Sr. Antônio, convocou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do Sr. Antônio à sala de reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres também presentes na sala. Se o Sr. Antônio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens .Determinar a quantidade de pessoas presentes na sala aguardando o diretor. R:. H= 15 M=4

Total = 19

2) Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que tem Maria. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$6,00 a mais que Amélia. Quanto possuem Amélia, Lúcia e Maria? R:. Amélia: R$24,00; Lúcia: R$18,00; Maria: R$36,00

3) Uma lapiseira, três cadernos juntos, custam 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos juntos, custam 76 reais. Qual o custo de uma lapiseira e um caderno, juntos? R:. (10; 3). R$13,00

4) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de refrigerante era de:

Temas: Segundo trimestre 2019

➔ Método do escalonamento para resolver sistemas de equações lineares ➔ Métodos de contagem (Princípio multiplicativo, combinação e arranjos) ➔ Probabilidade básica

➔ Conceitos básicos de estatística

➔ Geometria espacial (Cones, cilindros, esferas, prismas, Blocos retangulares) ➔ Trigonometria no ciclo trigonométrico

Método do escalonamento para resolver sistemas de equações linear

O método do escalonamento é baseado em combinações lineares das equações do sistema linear de

forma conveniente a obter o novo sistema equivalente (com mesma solução)

Exemplos:

Sistema linear original Sistema linear escalonado e equivalente ao original

~

Obs.: Dois sistemas lineares são equivalentes quando tem a mesma solução. Indicado por (~)

Passos para obter um sistema escalonado (3 x 3)

1) A primeira equação sempre é fixa. 2) Operações entre L1 e L2.

3) Operações entre L1 e L3. 4) Operações entre L2 e L3.

Resolva o sistema linear pelo método do escalonamento

Monte e resolva o sistemas de equações linear pelo método do escalonamento.

Atividades

1) Monte um sistema de equações linear e calcule o valor que foi pedido. Resolva pelo método do escalonamento.

2) Uma fábrica tem que entregar em dezembro 86 veículos, entre bicicletas e triciclos. Ela vai produzir uma roda de reserva para cada bicicleta e duas rodas reserva para cada triciclo. Por isso vão ser produzidas 322 rodas. Quantas bicicletas serão entregues? Monte o sistema de equações lineares e resolva o mesmo por quaisquer um dos métodos discutidos em sala de aula.

3) Resolva o sistema pelo método do escalonamento

3 águas de coco + 2 sanduíches R$14,00

2 águas de coco + 1 sanduíches R$8,00

Métodos de contagem (Princípio multiplicativo, combinação e arranjos) Definição de fatorial

Dado n um número natural o fatorial de n é definido por:

Obs.: 0! =1 e 1! =1

Tabela: Cálculo de fatorais de 0 a 27

n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 3628800 11 39916800 12 479001600 13 6227020800 14 87178291200 15 1307674368000 16 20922789888000 17 355687428096000 18 6402373705728000 19 121645100408832000 20 2432902008176640000 21 51090942171709440000 22 1124000727777607680000 23 25852016738884976640000 24 620448401733239439360000 25 15511210043330985984000000 26 403291461126605635584000000 27 10888869450418352160768000000

Exemplo:

Calcule:

5! . 3! = 4! - 0! = = =

1. Princípio multiplicativo (PM) Problema motivador:

➔ Imagina que você tem três camisas distintas e duas calças distintas. Quantas festa você pode ir sem repetir o mesmo par de roupas?

➔ Acrescenta dois pares de sapatos ao problema anterior?

➔ Paulo, Ana e Júlia deseja saber de quantas forma podem sentar em um banco retângular de 3 lugares.

Generalização do princípio fundamental da contagem

Se etapas A₁, A₂, A₃, …, A_n puderem ocorrer de, respectivamente, a₁, a₂, a₃, …, a_n maneiras e se A₁,

A₂, A₃, …, A_n forem todos etapas independentes entre si, então a quantidade de maneiras distintas em que os n etapas ocorrem simultaneamente, isto é, ao mesmo tempo, é dada pelo produto.

Exercícios.

1) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha?

2) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas nesta ordem.

3) Determine o número de anagramas da palavra SAULO que começam por vogal?

4) De quantas formas quatro pirulitos podem ser distribuídos para três crianças?

5) Considere o cadeado da figura abaixo

a) Determinar o número máximo de “segredos” que podem ser obtidos?

b) Ana sabe que o último dígito é cinco. Determine o número máximo de “segredos” que podem obtidos?

c) Determinar o número máximo de “segredos” que podem ser obtidos sabendo que não há dígitos repetidos.

2. Combinações

Em um restaurante tem quatro tipos de frutas e o cliente só pode escolher três para seu café da manhã? Quantas são as possibilidades de escolhas?

3. Arranjos

Uma corrida tem 4 atletas e admitindo que somente os três primeiros vão ser premiados em 1º, 2º e 3º lugares. Quantas são as possibilidade de construção de Pódio?

Exemplos

Quantas comissões de três alunos podem ser formadas em um grupos de 12 alunos?

Quantas comissões de três alunos (presidente, secretário e tesoureiro) podem ser formadas em um grupos de 12 alunos?

Uma corrida onde há oito atletas e ao final vão ser premiadas apenas pessoas com (1º; 2º e 3º lugares). De quantas forma poderia ser formado este pódio?

Atividades:

1) Calcule o valor n na equação.

a) n! = 120 b) (n+2)! = 6.n! e) A n,3 = 16.C n,2

c) (n-5)! = 1 d) C n,2 =136 2) Quantos anagramas tem a palavra granizo?

3) Quantos anagramas tem a palavra granizo começam com vogal?

4) Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos distintos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em um destes pontos?

5) Observe os pontos desenho abaixo.

.G

.H .A

.B

Ligando dois deste pontos fica determinada uma reta. Quantas retas podem ser formadas com 4 pontos distintos?

6) Para ocupar o cargo de presidente, vice presidente e tesoureiro de um partido politico tem 10 pessoas. De quantas forma isto pode ser feito?

7) Uma sala de aula tem cinco professores história e três professores de inglês. a) De quantas formas podemos montar uma comissão com cinco professores?

b) De quantas formas podemos montar uma comissão com cinco professores (três de história e dois de inglês)?

c) De quantas formas podemos montar uma comissão com cinco professores com pelo menos um professor de inglês?

8) Um grupo de 8 rapazes decidiu acampar e levam duas barracas diferentes: uma com capacidade máxima de 3 pessoas e a outra de 5 pessoas. De quantos modos diferentes todas as pessoas do grupo podem ser alojadas ficando três em uma barraca e cinco em outra barraca?

9) Oito amigos foram para o acampamento no Pico da Bandeira com apenas duas barracas exatamente iguais e cada uma com capacidade de até 8 pessoas.

a) De quantas formas eles podem se dividir para fiquem cinco em uma barraca e três em outra barraca?

b) De quantas forma eles podem se dividir com pelo menos um em cada barraca?

10) De quantas formas 3 pessoas podem sentar ao redor de uma mesa circular? R:. 2

Função modular

A função modular associa a cada x real ao seu valor absoluto. Notação: .

Exemplo:

1) Para a função . Calcular: a) f(2)

b) f(-2) c) f(-4) d) f(-5)

2) Para a função . Calcular: a) g(2)

b) g(-2) c) g(-4) d) g(-5)

A definição formal de função modular é dado por Que é uma função

definida por duas sentenças.

Obs:. Com esta definição tem que e não igual a x como muitos acreditam. Aplicação:

1) Usando a definição formal de função modular calcule:

a) | 2 | b) | 4 | c) | -5 | d) | -3 |

Equações modular:

Toda equação que envolva modulo é denominada de equação modular.

| x | = 3 | x - 2 | =3 | x² – 2x - 5 | = 3

Em resumo geral tem - se:

1) Resolver a equação a) b) c) 2) Resolva a equação | 2x – 12 | = x + 2 3) Resolva a equação | 2 x -6 | = 0 Inequações modulares.

Inequações sãos sentenças matemáticas que evolva pelo menos uma variável e uma desigualdade.

a) b)

Em resumo geral tem – se: Representar em reta real

1) Resolva:

Exercícios

1) Dada Construir o gráfico de f(x). 2) Dada . Construir o gráfico de g(x). 3) Dada . Construir o gráfico de p(x).

Estatística Básica

É a ciência que trata dados para transformar em informações para que possam tomar decisões. Com o desenvolvimento computacional e do aumento da capacidade de armazenamento de dados, esta ciência esta cada vez mais importante no que tange a analisar dados e tomar decisões.

Estatística se divide em: Estatística descritivas e estatística inferencial

Tipos de variáveis

As variáveis qualitativa se dividem em nominal e ordinal e as variáveis quantitativas em discreta e contínuas.

Variáveis

Figura 1: Classificação de uma variável.

Classe social, com possíveis realizações, alta, média e baixa é um exemplo de variável qualitativa ordinal assim como a variável grau de escolaridade. É importante ressaltar que para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para resumir as informações e para a análise estatística da mesma ou seja conhecer a classificação da variável estudada é uma das premissas básicas para a escolha do melhor teste estatístico a ser utilizado na análise dos dados.

• Variável Qualitativa: Gráficos em barras ou colunas, gráficos de setor • Variável Quantitativa: Histogramas, polígonos de frequência.

Qualitativa Quantitativa Nominal Ordinal Contínua Discreta

Exercício: Classifique a seguintes variáveis

a) Número de páginas desta unidade; R: quantitativa discreta b) Peso dos funcionários do setor de marketing de uma

empresa; R: quantitativa contínua

c) Tamanho de empresas (pequena, média e grande); R: qualitativa ordinal d) Classe social; R: qualitativa ordinal

e) Cargo na empresa. R: qualitativa ordinal f) Cite algumas variáveis qualitativa.

Nominal: sexo (masculino, feminino), raça (branco, preto, outro);

Ordinal: classe social (alta, média, baixa), desempenho (ruim, regular, bom).

g) Cite algumas variáveis quantitativa

Discreto: “número de filhos”, “número de reprovações”;

Contínuo: “nota na prova”, “pontuação no vestibular”, “altura do entrevistado”.

h) Um pesquisador tem interesse avaliar se a utilização de determinados medicamentos podem afetar o nível de colesterol no sangue de ratos (cobaias experimentais). Cada animal foi tratado com três medicamentos (A, B e C), com suficiente tempo entre as aplicações para que o efeito residual de cada medicamento desaparecesse. Os medicamentos foram aplicados em 20 animais distintos. Qual é a variável resposta deste experimento? Classifique a variável resposta deste experimento. R:. Nível de

colesterol no sangue. Quantitativa contínua.

i) Um experimento foi conduzido para comparar o efeito de duas rações no ganho de pesos na engorda de suínos. Qual foi a variável resposta deste experimento? Classifique a variável resposta deste experimento. R:. Ganho de peso dos animais. Quantitativa contínua.

j) Um experimento foi conduzido para comparar diferentes tipos de escovas de dente na diminuição de placas bacterianas. Qual foi a variável resposta deste experimento? R:. Quantidade de placas.

Fazer o levantamento sobre número de irmãos da sala. Construir a tabela de

frequências absolutas e de frequências relativa. Escolha o melhor o gráfico

representar estes dados.

Estatística descritiva: Descrever informações por meios de gráficos e mediadas estatísticas (é a que

Estatística inferencial: Por meio de amostras infere sobre os parâmetros populacionais. (Abacaxi,

Arroz, exame de sangue, testes destrutivos etc). A inferência é baseada em probabilidades.

No ensino médio estuda-se apenas o tópico de estatística descritiva.

No ensino médio tem apenas um tópico de estatística descritiva.

Média aritmética simples

Tabela 1: Produção de leite por sete dias da vaquinha mimosa (litros)

Domingo 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado 12 L 21 L 12 L 22 L 14 L 15 L 16 L

Distribuição da produção

12 L 21 L 12 L 22 L 14 L 15 L 16 L

Distribuir uniformemente

16 L 16 L 16 L 16 L 16 L 16 L 16 L

Moda

Definida como sendo o valor mais frequente.

Mediana

É definida como sendo o valor central, quando ordenados (ROL)

Tabela de frequência absoluta

Querendo fazer uma organização financeira Paulo anotou seus gastos durante uma semana e fez a tabela abaixo

Tabela 2: Gastos de Paulo em (R$) na segunda semana de agosto 2016 no lanchonete COMA BEM. Domingo 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado

4 7 10 2 4 17 6

Frequências absolutas Frequências relativas (%)

Exemplos de aplicação:

1. Paulo observou o números de filhotes (suíno) por cria de cada matriz e fez a anotação.

12; 9; 7; 15; 22; 15; 10, 10; 11; 10; 7; 15; 22; 15; 11, 9

a) Estimativa da média? b) Estimativa da Moda? c) Estimativa da mediana?

d) Organize em tabela de frequência absoluta e) Organize em tabela de frequência relativa.

1. Construa a tabulação da idade de vocês.

a) Estime média; b) Estime a média;

c) Estime a moda d) Construa uma tabela de frequências absolutas

2. A tabela de idade dos funcionários de uma empresa estão agrupados na tabela a biaxo. Tabela 3: Idade todos os funcionários da empresa

TERRA VIVA (anos) em agosto 2016

Idade fi 18 8 20 4 22 12 40 6 45 2 50 8

a) Quantos pessoas trabalham nesta empresa?

c) Qual a média da idade destes funcionários?

d) Qual a moda da idade destes funcionários?

e) Qual a mediana da idade destes funcionários?

g) Represente esta tabela em um gráfico de barras vertical.

g) Represente esta tabela em um gráfico de setores.

h) Funcionários com idade de 50 anos representa quantas % do geral da empresa?

3.

R:. 40

4.

5. Os casos de febre amarela em Minas Gerais seguem aumentando. Na temporada

2017/2018, que começou em julho, foram confirmados 264 casos da doença. Destes, 96

pessoas morreram. A Secretaria de Estado de Saúde (SES) ainda investiga outros 589

notificações. Destes, 11 casos de pacientes que têm histórico de vacinação contra a

doença em que os exames deram positivos para a moléstia. “Esses pacientes permanecem

em investigação para levantamento de informações clínicas e epidemiológicas

fundamentais para conclusão dos casos”, disse a SES.

Fonte: Estado de Minas João Henrique do Vale. 27/02/2018

Dado que a pessoa contraiu febre amarela obtenha a estimativa da porcentagem de

mortos.

Medidas de variabilidade

Existem muitas medidas de variabilidade, mas as mais utilizadas são:

•

Variância;

•

Desvio padrão;

•

Coeficiente de variação;

•

Desvio absoluto médio.

Neste material será trabalhado apenas a variância o desvio padrão

S ²=

∑

Di

n−1

– Estimador da variância amostral

D

i

é o desvio de cada valor observado em relação a média

n é o número de observações da amostra

Veja o caso da amostra de leite da vaca mimosa para estimar a variância

Tabela 1: Produção de leite por sete dias da vaquinha mimosa (litros)

Domingo 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado 12 L 21 L 12 L 22 L 14 L 15 L 16 L

D

1

= 12 –16 = - 4

D

2

= 21– 16 = +5

D

3

=12 – 16 = -4

D

4

= 22 –16 = +6

D

5

=14 – 16 = -2

D

6

= 15 –16 = -1

D

7

= 16 – 16 = 0

Observação importante! Sempre

_∑

i=1 n

S ²=

∑

Di 2 n−1 =(−4) 2 +(+5)2+(−4)2+(+6)2+(−2)2+(−1)2+(0)2 7−1 =16 +25+16+36+4+1+07−1 =986 ≈16,3 L2 O desvio padrão por definição é igual a S=

√

S ² logo:

S=

_√

(16,3)≈4,04 L (Desvio padrão é dado na mesma unidade variável amostrada)

Outra medida de variabilidade é o coeficiente de variação é o coeficiente de variação dado pelo estimador.

CV =100 . S

X

Logo neste caso temos CV =100 .4,04

16 =25,5 (Adimensional)

Não trataremos das outras medidas de variabilidade neste nível de ensino.

Exercício:

Foi coletada aleatoriamente uma amostra de HDs de marca Sansumg e uma outra amostra da marca Sony de produtos que se equiparam quanto a capacidade de armazenamento e especificações técnicas. Foi medido o tempo de vida útil até que cada HD apresentasse algum problema.

Tabela 1: Vida útil de HDs (em anos) até que apresentasse algum defeito

Sony 12 10 8 5 5

Sansumg 10 9 10 5 6

a) Obtenha a estimativa de vida útil para as amostras de HDs; b) Obtenha o desvio padrão para as duas amostras de HDs;

c) Obtenha o coeficiente de variação para as duas amostras de HDs

Dados brutos

Cachoeiro - 117.7; 86.0; 94.2; 99.3; 61.2; 25.1; 43.9; 38.7; 57.1; 120.4; 171.3; 171.5

Vitória - 119.4; 78.9; 108.2; 97.6; 85.7; 62.3; 85.2; 40.3; 89.8; 144.4; 164.7; 175.8

Viçosa – 180.8; 142.2; 102.3; 47.4; 29.3; 17.1; 26.3; 17.4; 54.3; 128.7; 208.6; 211

Informação processada

Os frequentes casos de roubos e furtos dentro da Universidade Federal de

Pernambuco foram colocados em estatística. Os números fizeram parte do

Trabalho de Conclusão (TCC) de uma aluna da instituição, que traçou episódios

entre 2008 e 2015

Tabela 1: Distribuição da Quantidade de delitos ocorridos no período 2008/2015, no Campus da UFPE segundo o turno e quadrante de ocorrência Quadrante Turno Diurno Noturno Alfa 68 46 Beta 36 26 Gama 57 55 Delta 40 22

Sobre este dados da pesquisa da Drielle Alexsandra Carvalho responda:

a) Quantos roubos ocorreram neste período?

b) Quantos por cento dos roubos foram na quada Alfa?

c) Quantos por centro foram na quadra Beta e a noite?

d) Qual foi a estimativa da média de roubos no período noturno?

e) Qual foi a mediana de roubos no período diurno?

f) Do ponto de vista matemático você acha que ocorrem mais roubos a noite ou

durante o dia?

g) Do ponto de vista estatístico você acha que ocorrem mais roubos a noite ou

durante o dia?

Um produtor de café deseja saber qual tipo de esterco combinado com solo produz

mudas de café tamanho maiores em média. Para isto ele disponha de dois estercos

e três tipos de solo. Ele montou o experimento para avaliar todas as combinações

repetida quatro vezes e obteve a tabela com as anotações aos 120 dias com o

comprimento (cm) de cada muda.

Tabela 2: Experimento com mudas de café arábica (dois estercos e três solos) em 2016 – Fonte:

Elaborados pelos autores

Tipo de Solo

Tipo de Esterco

S1

S2

S3

E1

15

12

17

17

15

12

20

22

21

13

21

23

E2

12

17

19

16

15

18

22

20

20

10

14

25

Quantas combinações ele pode fazer com estas opções de esterco e solo?

Estime a média para os dois estercos independente do solo.

Estime a média para os três solos independente do esterco

Estime a média para cada combinação de tipos de solo e esterco.

Faca um gráfico de barras com todas as médias das combinações entre estercos e

solos

Qual combinação entre estercos e solos obteve uma “maior” média ?

Qual combinação entre estercos e solos obteve uma “menor” média?

Sabendo que o ideal são mudas maiores o que você indicaria para fazer mudas de

café arábica?

Por métodos estatísticos mais avançados verifica-se que não houve diferenças entre as combinações na produção de mudas!

Probabilidade básica

A teoria da probabilidade é um ramo da matemática relacionado com fenômenos aleatórios (casuais). Há um grande interesse em seu estudo devido ao grande número de aplicações bem sucedidas em muitas áreas, das ciências físicas, biológicas e sociais na engenharia e no mundo de negócios. Vamos considerar as seguintes questões: Como saber se um determinado produto está sendo produzido dentro dos padrões de qualidade? Como avaliar a capacidade de um determinado exame acertar o verdadeiro diagnóstico? Questões como estas envolvem algum tipo de variabilidade ou incerteza, e as decisões podem ser tomadas por meio da teoria de probabilidades que permite a quantificação da incerteza. Ao

estudarmos um fenômeno aleatório, temos diante de nós um experimento cujo resultado não pode ser previsto. Assim nasceu a teoria das probabilidades.

Fenômeno Aleatório: É um processo de coleta de dados em que os resultados possíveis são

conhecidos, mas não se sabe qual deles ocorrerá. Assim, um fenômeno aleatório pode ser a contagem de ausências de um funcionário em um determinado mês, o resultado do lançamento de uma moeda, verificar o resultado de um exame de sangue, entre outros.

Experimento determinísticos: Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são

sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos.

Experimento aleatório: São aqueles experimentos onde os resultados podem não ser os mesmos, ainda

que sejam repetidos sob condições essencialmente idênticas.

Abandonar um dado de uma altura 1,50 m e observar onde caiu? Abandonar um dado de uma altura 1,50 m e observar se caiu?

Se observar se ele cai ou não. Experimento determinísticos

Se observar qual face cai voltada para cima. Experimento determinísticos

Se observar onde ele caiu no chão. Experimento aleatório

Espaço Amostral: O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado

Evento: Qualquer subconjunto do espaço amostral Ω é chamado de evento. Exemplo 1

Suponha um experimento aleatório que foi conduzido com a finalidade de se conhecer a eficiência de uma terapia na cura de uma síndrome. Para tanto, dois pacientes foram tratados com a referida terapia. Vamos representar C e C, como curado e não curado, respectivamente. O espaço amostral nesse caso é dado por:

Ω ={CC, CC, C C , C C , C C}

Considere os seguintes eventos: A “obter apenas uma cura” e B “obter quatro curas”: Sendo assim, temos:

A={CC, C C , C C} e B=

∅

Exemplo 2

Paulo tem três pincéis no bolso, sendo dois azuis e um vermelho. Paulo Retira aleatoriamente um pincéis. Quais são os possíveis resultados para este experimento? (Espaço amostral)

Paulo tem três pincéis no bolso, sendo dois azuis e um vermelho. Paulo Retira aleatoriamente dois pincéis. Quais são os possíveis resultados para este experimento? (Espaço amostral)

Um aluno deseja marcar aleatoriamente uma questão que de V ou F com quatro alternativas. Quais são os possíveis resultados para este experimento?

No último caso qual é o resultado favorável ao estudante para que ele acerte a questão?

Existem algumas definição de probabilidade. Para este nível de ensino será dada a definição frequentista de probabilidade:

A probabilidade de um evento A ocorrer e dado por:

Exemplos para discussão em sala

Num bolso há cinco pincéis dois vermelhos dois azuis e um preto. Retira um pincel aleatoriamente. a) Qual a probabilidade dele ser azul?

b) Qual a probabilidade dele ser preto?

Num bolso há cinco pincéis dois vermelhos dois azuis e um preto. Retira dois pinceis aleatoriamente. a) Qual a probabilidade dos dois serem azuis?

b) Qual a probabilidade dos dois serem vermelhos? c) Qual a probabilidade de serem de cores diferentes?

Numa questão onde será inserido V ou F tem quatro perguntas. Assinalando aleatoriamente, qual a probabilidade de acertar todas as questões?

Vamos considerar, como exemplo, o experimento aleatório de jogar dois dados e observar as faces de cima.

a) O espaço amostral para este experimento? Este espaço amostral tem quantos elementos?

n(Ω) = 36; número de elementos do espaço amostral ) = 36; número de elementos do espaço amostral

c) Ao lançar dois dados qual a probabilidade de sair as duas faces com números primos?

c) Seja X variável aleatória a soma dos valores das faces. Escreva os pontos correspondentes aos eventos:

ii) H = {CC, A soma é igual a dois} ii) F= {CC, A soma ser igual a sete}

Calcule P(H) e P(F)

Tabela de

distribuição de probabilidade de X

Qual a probabilidade de lançar dois dados e sair soma 8?

Qual a probabilidade de lançar dois dados e sair soma menos que 7?

Qual a probabilidade de lançar dois dados e sair faces iguais?

Ocorrência simultâneas de eventos independentes

Definição:

Sejam dois eventos independente A e B.

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Exemplo para discussão em sala

Foi observado que metrologistas estimaram as probabilidades de ocorrência dos eventos A e B

• A= {CC, Chover hoje é 75%}; • B={CC, Chover amanhã 80%}

a) Observado hoje e amanhã escreva todos os possíveis resultados que podem ser observados;

b) Qual probabilidade chover os dias?

d) Qual a probabilidade de chover hoje e amanhã não chover?

e) Qual a probabilidade de não chover hoje e amanhã chover?

Para um dado medicamento para humanos sabe se que a probabilidade de cura de certa doença é 75%. Uma amostra de três pessoas com esta doença foi seleciona e tratadas de forma independente durante 100 dias e ao final foi observado se a pessoa foi curada.

a) Qual é o evento de interesse neste experimento?

b) Escreva todos os resultados possíveis resultados para esta experiência.

c) Qual a probabilidade de todos os pacientes serem curados?

d) Qual a probabilidade de exatamente dois pacientes serem curados?

e) Qual a probabilidade de curar pelo menos dois pacientes?

Atividades complementares

1. Após fazer o sorteio de um dado e antes de anunciar ao colegar o resultado ao colegas Gustavo disse que era número maior que quatro. Qual a probabilidade de ser o número seis?

2. Sabendo que a probabilidade de um cavalo adquirir tétano no decorrer de cada mês é igual a 30%. Qual probabilidade de um animal sadio venha a contrair a doença somente no 3° mês?

3. Uma prova de múltipla escolha é composta por 12 questões, com 5 alternativas e somente uma correta. Qual a probabilidade de se acertar, aleatoriamente, exatamente duas das respostas?

4. Um padeiro tem quatro tipos de recheio (carne desfiada, presunto, mussarela e catupiry) para fabricar um pão de queijo. Cada pão terá exatamente dois recheios.

a) Quantos tipos de pães podem ser fabricados?

b) Quantos tipos de pães podem ser fabricados com carne desfiada com mussarela?

c) Após serem fabricados a quantidade de pães com todas as combinações de recheios possíveis e colocados na bancada de vendas esta quantidade, um cliente escolhe aleatoriedade um pão. Qual a probabilidade de ser um pão com recheio de carne desfiada com mussarela?

probabilidade de sortear duas bolas e sair:

a) Duas brancas?

b) Duas Pretas?

c) Uma de cada cor?

6) Considere a ilustração abaixo. Calcule a probabilidade de sortear duas bolas e sair: