Investigando a conversão da escrita natural para registros em escrita algébrica em problemas envolvendo equações de primeiro grau

Texto

(1)Centro de Educação Campus Universitário Cidade Universitária Recife-PE/BR CEP: 50.670-901 Fone/Fax: (81) 2126-8952 E. Mail: edumatec@ufpe.br www.ufpe.br/ppgedumatec. Wagner Rodrigues Costa. INVESTIGANDO A CONVERSÃO DA ESCRITA NATURAL PARA REGISTROS EM ESCRITA ALGÉBRICA EM PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU. Recife 2010.

(2) WAGNER RODRIGUES COSTA. INVESTIGANDO A CONVERSÃO DA ESCRITA NATURAL PARA REGISTROS EM ESCRITA ALGÉBRICA EM PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU. Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Educação Matemática e Tecnológica, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática e Tecnológica. Orientador: Prof. Dr. Marcelo Câmara dos Santos. RECIFE 2010.

(3) Costa, Wagner Rodrigues Investigando a conversão da escrita natural para registros em escrita algébrica em problemas envolvendo equações de primeiro grau/ Wagner Rodrigues Costa. – Recife : O Autor, 2010. 106 f. : il. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CE. Educação, 2010. Inclui anexos 1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Matemática Álgebra. 3. Equações. I. Título. 37 372.7. CDU (2.ed.) CDD (22.ed.). UFPE CE2010-29.

(4) Recife, 25 de Março de 2010.

(5) Pela compreensão e motivação dedico este trabalho a minha família, em especial, a minha esposa Danniela e ao meu filho Dário..

(6) AGRADECIMENTOS. Redigir essa parte do trabalho é, sem dúvida, a mais emocionante. Ela é capaz de nos fazer lembrar quantas vezes fomos ajudados e consolados nesses dois anos de dedicação. Aproveito esse momento para citar o nome daqueles que, de alguma maneira, me apoiaram. Meus primeiros e sinceros agradecimentos vão a uma pessoa que nunca me desamparou e sempre esteve comigo me dando forças para continuar. Essa pessoa chama-se Jesus Cristo. Sem ele eu não teria chegado até aqui. A Ele toda honra e toda glória. Agradeço também a minha esposa Danniela e ao meu querido filho Dário. Eles souberam me compreender nos momentos em que eu precisava aprofundar a pesquisa. Acredito que foi muito difícil para todos nós lhe dar com essa situação, aparentemente nova. Mas passou e a conclusão nos dá outro ânimo. Aos meus pais, Luiz e Dileuza, que sempre confiaram em mim e nunca disseram que eu não seria capaz. Foram e são pessoas muito importantes na minha vida. São os meus mestres por excelência. Me ajudaram muito e me orientaram nessa caminhada. Ao meu irmão Wendell, pelos bons diálogos e pela mão amiga durante esse processo. Com certeza o apoio moral fui muito importante nos momentos de dificuldades. Ao meu orientador, Marcelo Câmara dos Santos, pelas suas sugestões muito pertinentes e pelas grandes contribuições. Com um modo que lhe é peculiar, mostrou o caminho da pesquisa e me ensinou como atingir o meu objetivo. Das muitas vezes que estivemos discutindo a pesquisa nunca deixou de dizer palavras que me levassem à frente. Meus sinceros agradecimentos. Aos colegas do grupo de pesquisa, Fenômenos Didáticos na Classe de Matemática, pelas grandes contribuições em todo percurso da pesquisa. Souberam me mostrar o valor de um trabalho coletivo na construção do conhecimento. A primeira turma do mestrado do EDUMATEC pelo incentivo e companheirismo. Em especial, aos meus parceiros de jornada, Diógenes, Kátia e Viviane. Muitas foram as oportunidades de estudo e aprendizagem. Aprendi muito.

(7) com eles. Lembro das muitas discussões internas e bem vindas quando estávamos definindo nossos trabalhos. Tempos bons. Agradeço muito a eles. Aos. professores. do. EDUMATEC,. pelas. sugestões. e. observações. pertinentes e pelas cobranças. Leitura de textos, apresentação de trabalhos, pesquisas e muito debate. Ganhei muito com isso. A UFPE, por me oportunizar um momento de crescimento profissional. Aos meus colegas do Colégio Visão, muito compreensivos e motivadores em todo processo. A direção, coordenação pedagógica e a todos os professores, em especial os de matemática. Meus sinceros agradecimentos. E a todos que me ajudaram e me motivaram para ir até o fim..

(8) RESUMO. O presente trabalho se propõe a investigar em que medida os fatores de não congruência influenciam na conversão da escrita natural para a escrita algébrica nos problemas envolvendo equações do primeiro grau. No intuito de alcançar esse objetivo, adotamos como pressuposto teórico a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval. Segundo essa teoria, a Matemática se caracteriza pela diversidade de representações para um mesmo objeto. Um objeto pode ser representado na escrita algébrica, na forma gráfica, numérica, entre outras, de modo que a mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação é uma condição essencial para a aprendizagem em Matemática. De acordo com essa teoria, o que pode dificultar o reconhecimento de um objeto em diversas. representações. são. os fatores. de. não. congruência.. São. eles:. correspondência semântica das unidades de significado, univocidade semântica terminal e conservação da ordem das unidades de significado. Nossa metodologia consistiu na elaboração e aplicação de oito problemas numa turma de oitavo ano (7ª série). Cada um dos problemas possuía variações diferentes nos fatores de não congruência de modo que fosse possível investigar a influência desses fatores na conversão. Um dos resultados encontrados nas análises se deu na dificuldade de os sujeitos converterem as equações da escrita natural para a algébrica quando os três fatores estão presentes na questão. Além disso, obtivemos como dado da pesquisa qual foi a influência mais comum que cada fator causou nos problemas. Concluímos, ressaltando que as influências dos fatores de não congruência nos problemas de equação do primeiro grau interferem na taxa de sucesso da conversão.. Palavras-chave:. Fatores. de. não. congruência.. Correspondência. semântica.. Univocidade semântica. Conservação da ordem das unidades de significado. Registro de representação. Escrita natural e escrita algébrica..

(9) ABSTRACT. This dissertation purposes to investigate in what degree the non congruent factors act on the conversion of natural writing to the algebra writing on the problems involving first degree equations. Intending to achieve this aim, it was adopted as presuppose theory, the theory of records and semiotic representation of Raymond Duval. According to this theory, mathematics is described by the diversity of representations of the same object. An object can be represented in the algebra writing, in the graphic form, numerical form, among others, in a way that the simultaneous mobilization of at least two representation registers is an essential condition to learn mathematics. According to this theory, what can complicate the recognition of one object in many representations are the non congruent factors . They are: semantics correspondence of the meaning units, terminal semantic univocity and conservation of meaning units order. Our methodology was the elaboration and apply of eight problems in a seventh grade group. Each problem had a different variation in the factors of non congruent factors in a way that it would be possible to investigate the influence of these factors on the conversion. One of the results found in the analysis was the difficulty the students had to convert the equations from the natural writing to the algebra writing when the three factors are in the question. Besides that, it was obtained as research data what was the most common influence that each factor caused on the problems. In conclusion, standing out that the influences of the non congruent factors on the problems of first degree equations interfere on the conversion table of success.. Key words: Non congruent factors. Semantic Correspondence. Semantic Univocity. Conservation of the meaning units order. Representation registers. Natural writing and algebra writing..

(10) LISTA DE QUADROS QUADRO1 – Álgebra no Ensino Fundamental................................................. 16. QUADRO 2 – Concepções da álgebra e uso das variáveis......................... 17. QUADRO 3 – Representação discursiva e não discursiva.......................... 23. QUADRO 4 – Característica dos problemas................................................ 34. QUADRO 5 – Lista de problemas................................................................ 38. QUADRO 6 – Valor fixo da variável............................................................. 40. QUADRO 7 – Critérios de não congruência e valor da variável................... 41. QUADRO 8 – Símbolo das categorias......................................................... 51. QUADRO 9 – Síntese dos registros............................................................. 57. QUADRO 10 – Registros algébricos............................................................ 58. QUADRO 11 – Síntese dos problemas 03, 04 e 06..................................... 84. QUADRO 12 – Síntese dos problemas 05, 07 e 08..................................... 85. QUADRO 13 – Comparação entre os problemas 02 e 03........................... 87. QUADRO 14 – Influência dos fatores........................................................... 88.

(11) LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 – Reta decrescente..................................................................... 26. FIGURA 2 – Reta crescente......................................................................... 27. FIGURA 3 – Gráfico cartesiano da função quadrática................................. 28.

(12) SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO.......................................................................................... 12. 2. JUSTIFICATIVA........................................................................................ 15. 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................ 20. 3.1 O DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA E SUA RELAÇÃO COM AS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS............................................ 21. 3.2 REPRESENTAÇÕES MENTAL E SEMIÓTICA................................. 23. 3.3 TRATAMENTOS E CONVERSÕES.................................................. 25. 3.4 ASSOCIAÇÃO DA TEORIA COM A QUESTÃO DE PESQUISA...... 31. 4. METODOLOGIA....................................................................................... 32. 4.1 PÚBLICO ALVO E CONDIÇÕES DA APLICAÇÃO........................... 32. 4.2 CARACTERÍSTICAS DO TESTE...................................................... 33. 4.3 ANÁLISE GERAL DAS QUESTÕES DO TESTE.............................. 39. 4.4 ANÁLISE ESPECÍFICA DAS QUESTÕES DO TESTE..................... 40. 4.5 ANÁLISE PRELIMINAR DAS QUESTÕES DO TESTE..................... 41. 5. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS....................................... 51. 5.1 AS CATEGORIAS DA PESQUISA.................................................... 51. 5.2 ANÁLISE INICIAL DOS RESULTADOS............................................ 56. 5.3 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 01.................................. 59. 5.4 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 02.................................. 59. 5.5 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 03.................................. 64. 5.6 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 04.................................. 69. 5.7 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 05.................................. 74. 5.8 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 06.................................. 78. 5.9 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 07.................................. 81. 5.10 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO PROBLEMA 08.............................. 82. 5.11 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS PROBLEMAS 03, 04 E 06........... 84. 5.12 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS PROBLEMAS 05, 07 E 08........... 85. 5.13 ANÁLISE E DISCUSSÃO GERAL DOS PROBLEMAS................. 86. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................... 89. REFERÊNCIAS ............................................................................................ 95. ANEXO 1 – CATEGORIAS DA PESQUISA.................................................. 100.

(13) 12. 1 INTRODUÇÃO. O ensino de Álgebra assume um espaço bastante significativo na grade curricular das escolas brasileiras, uma vez que seu estudo está ligado ao desenvolvimento do raciocínio e à sua utilização como ferramenta para resolver problemas. Acerca dos resultados das avaliações em nível nacional sabe-se que nos itens referentes à Álgebra, o índice de acerto fica em torno de 40% em muitas regiões do país (BRASIL, 1998). Isso faz com que, ao seu ensino, seja dedicado um tempo maior de aulas quando comparada a outras áreas da Matemática, como Geometria, por exemplo, (ARAÚJO, 2001). A excessiva manipulação algébrica, a repetição mecânica dos procedimentos são um dos focos do ensino da Álgebra. Nessa perspectiva, há um estudo das expressões algébricas, do cálculo algébrico antecipados para o aprendizado das equações. Pensa-se que quanto mais o sujeito conhecer os procedimentos algébricos melhor compreenderá como se resolve equações. O que não é verdade, como garantem os resultados de pesquisa em larga escala. Ainda sobre esta sequência no ensino das equações, Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) mostram a existência de três principais concepções no ensino da Álgebra. Eles ressaltam que durante o século XIX e meados do XX, tanto no Brasil como em outros países a concepção de ensino da Álgebra que prevalecia era a lingüístico-pragmática. Esta concepção se fundamentava no ensino de técnicas e no emprego de regras algébricas como condição inicial para a resolução de problemas. Com o Movimento da Matemática Moderna, o ensino de Álgebra passou a ser tido como ferramenta de justificativa para procedimentos. Segundo essa concepção, caso o sujeito fosse capaz de realizar estas justificativas ele teria a condição de aplicar essas estruturas em diversos contextos. A esta concepção os autores denominaram de fundamentalista-estrutural. E a terceira concepção, chamada por eles de fundamentalista-analógica, procura sintetizar as concepções anteriores, de modo a valorizar a instrumentalidade da Álgebra e o caráter de justificativa, na maioria das vezes, com recursos analógico geométricos..

(14) 13. Apesar dessas concepções estarem situadas em momentos históricos diferentes, podemos dizer que atualmente o ensino de Álgebra coexiste com várias concepções, de modo que esta diversidade não tem eliminado dificuldades para o seu aprendizado. Diversas pesquisas (USISKIN, 1995; KIERAN, 1995; LOCKHEAD E MESTRE, 1997; ANDRÉ, 2007) confirmam a existência de dificuldades por parte dos alunos em aprender Álgebra. Usiskin (1995) apontou problemas na compreensão da noção de variável decorrentes da mudança de concepção dessa idéia ao longo do tempo. Kieran (1995) observou dificuldades existentes, por parte dos alunos do high school, quando propôs a aplicação de problemas de equação em duas abordagens, aritmética e algébrica. E Lockhead e Mestre (1997), apontaram a existência de dificuldades na tradução da linguagem escrita corrente para a linguagem matemática. Ainda sobre pesquisas que apontam dificuldades dos alunos em Álgebra, está o trabalho de André (2007). Esta autora, valendo-se da Teoria dos Registros de Representação Semiótica mostrou que os alunos possuem sérias dificuldades em fazer a conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica em problemas com equações do primeiro grau. Com um público de alunos do oitavo ano (antiga sétima série) esta autora confirmou que a maioria dos sujeitos fazia a conversão dos problemas em escrita natural para a algébrica de modo mecânico e sem compreensão dos procedimentos utilizados. Faziam uma tradução para o algébrico no mesmo sentido que liam o problema. Diante da existência dessa problemática e das dificuldades apresentadas pelos alunos em aprender Álgebra, temos, como problema de pesquisa, investigar em que medida acontece a conversão da escrita natural para a escrita algébrica nos problemas envolvendo equações do primeiro grau. Essa investigação se limita a mostrar como a taxa de sucesso na conversão varia em função da presença de alguns fatores. Desejamos, com isso, aprofundar algumas questões que foram apontadas anteriormente, em particular, pelo trabalho de André (2007) e contribuir para o entendimento de como se faz a conversão de equações em linguagem corrente para a algébrica..

(15) 14. Desse modo, no segundo capítulo procuramos justificar, de modo mais detalhado, a existência dessa problemática e a relação com nossa questão de pesquisa. Além disso, justificamos o porquê da continuidade do trabalho de André (2007). No terceiro capítulo, justificamos a escolha da Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1995) levando em consideração a diversidade de registros semióticos como fator essencial para a compreensão em Matemática. Neste capítulo, discorremos sobre o desenvolvimento da Álgebra e sua relação com a teoria, sobre tratamentos e conversões e, por fim, fazemos a associação da teoria com nossa questão de pesquisa. No quarto capítulo, explicamos a metodologia utilizada, público alvo e condições da aplicação do teste. Também detalhamos as características do teste, de modo geral e específico, bem como fazemos uma análise a priori apontando algumas das estratégias realizadas pelos sujeitos da pesquisa. No quinto capítulo, fazemos a análise e discussão detalhada dos resultados do teste. Concluímos, no sexto capítulo, com as considerações finais, apontando possíveis caminhos para o surgimento e/ou aprofundamento de novas questões..

(16) 15. 2 JUSTIFICATIVA. Enquanto ramo da Matemática, a Álgebra ocupa um espaço privilegiado no currículo, de modo que sua aprendizagem, ao invés de ser considerada de fácil construção, vem originando barreiras que têm dificultado a possibilidade de uma compreensão mais geral dos objetos matemáticos (BRASIL, 1998). Isso vem sendo demonstrado tanto pelas pesquisas em Educação Matemática, como pelas avaliações em escala nacional como, por exemplo, a Prova Brasil. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) enfatizam a necessidade de compreensão dos objetivos de ensinar Álgebra e de como se constroem os conceitos algébricos, ao invés de enfatizar as manipulações algébricas.. Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à variedade de representações. Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as manipulações com expressões e equações de uma forma meramente mecânica. (BRASIL, 1998, p. 116). A excessiva manipulação algébrica, por meio do cálculo algébrico e das equações, é um dos focos do ensino da Álgebra escolar. Um ensino centralizado nessa proposta deixa de contemplar outras dimensões das letras que são imprescindíveis para o desenvolvimento do pensamento algébrico. O quadro seguinte mostra alguns dos aspectos da Álgebra que devem ser levados em consideração no Ensino Fundamental, segundo os PCN..

(17) 16. QUADRO 1 – Álgebra no Ensino Fundamental. Fonte: Brasil,1998, p.116. Nesse quadro temos as diversas dimensões da Álgebra que devem ser aprofundadas ao longo dos anos escolares, bem como os diferentes usos das letras, associados a seus respectivos conteúdos. Estas dimensões não são adquiridas de modo instantâneo, ou exclusivo em um determinado ano, mas são desenvolvidas à medida que o aluno se depara com problemas que exijam a articulação dos diversos usos das letras e dos diversos conceitos e procedimentos dos conteúdos. Em nosso trabalho estaremos adotando a letra como incógnita. Os PCN não foram os primeiros a sinalizar esse fato. Usiskin (1995), num artigo intitulado “Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações de variáveis” já mostrou que o ensino da álgebra estava muito ligado ao manejo de técnicas manipulatórias e à dificuldade de saber em qual momento introduzir as funções. Uma de suas finalidades, nesse artigo, foi mostrar a relação existente entre os objetivos do ensino de Álgebra, as concepções dessa matéria e o uso de variáveis. Este autor resume, como vemos no quadro abaixo, a relação existente entre as concepções da Álgebra e os diferentes usos das variáveis..

(18) 17. QUADRO 2 – Concepções da álgebra e uso das variáveis. Fonte: Usiskin, 1995, p.20. Uma das concepções presentes no ensino de Álgebra apontada pelo autor é a de que todas as variáveis são letras que representam números, e nem sempre isto é verdade. Esta concepção pode ocasionar o surgimento de dificuldades no campo algébrico impedindo o aluno de compreender, por exemplo, que “se AB = BC, então ΔABC é isósceles” (USISKIN, 1995). Nesse caso, as variáveis A, B e C representam pontos e não números. Em determinados momentos, as letras poderão significar matrizes e vetores, entre outros elementos, e tentar enclausurar a idéia de variável numa única concepção pode levar o aluno a não compreensão dos objetos da Álgebra. Em nosso trabalho estaremos adotando a concepção da Álgebra como meio para resolver problemas. Kieran (1995) ressalta, num trabalho realizado com alunos da sétima série, os diferentes significados das letras nas equações e nas expressões algébricas por meio de duas propostas diferentes. Aos alunos que viam as letras como números nas equações sem fazer menção de operações inversas, a autora os classificou como pertencendo ao grupo da aritmética. Aos alunos que lançavam mão das operações inversas para dizer o que x representava em equações como 5 + x = 12, fizeram parte do grupo da Álgebra. Os alunos desta pesquisa não só possuíam métodos particulares de resolução, como o da tentativa e erro e equivalência, mas também viam nas letras significados diferentes..

(19) 18. A conclusão da autora demonstrou que o grupo da Álgebra supergeneralizou o procedimento de transposição do segundo para o primeiro membro sem qualquer reflexão e significado do sinal de igual e dos princípios de equivalência. Mesmo depois de dez sessões de ensino/aprendizagem com o objetivo de discutir a resolução das equações baseado nas mesmas operações em ambos os membros da equação, o que se verificou é que apenas o grupo da aritmética utilizava regularmente o procedimento de equivalência. As pesquisas realizadas por Lockhead e Mestre (1997) evidenciaram que os alunos possuem sérias dificuldades no que eles chamam de tradução da linguagem escrita para a linguagem matemática. Por meio de problemas envolvendo duas variáveis, os alunos escreviam o contrário da equação. No problema dos “alunos e professores” representavam “há seis vezes mais alunos do que professores” por 6A = P confundindo os rótulos A e P com as variáveis “número de alunos” e “número de professores”. Segundo os autores, os erros referentes à escrita do problema para equação não aconteciam por dificuldades de manipulações algébricas e nem de um problema de leitura, por que 95% dos alunos da amostra resolviam equações, mas por possuírem outros problemas como são apontados em abaixo.. Nenhum dos alunos entrevistados disse que havia mais professores que alunos. A fonte dos erros está em concepções erradas concernentes à estrutura e à interpretação de afirmações algébricas e nos processos pelos quais se faz a tradução da linguagem escrita para a linguagem algébrica (LOCKHEAD E MESTRE,1997, p.. 145). Como bem apontaram esses autores, uma das fontes de dificuldade dos alunos pesquisados encontrava-se na passagem da escrita natural para a algébrica. E sobre este ponto, André (2007) também mostrou a existência de dificuldades presentes na conversão da linguagem natural para a algébrica com alunos de sétima série de uma escola pública do Recife. Esta autora separou os problemas aplicados em seis contextos bastante presentes nos livros didáticos. Foram eles: idade, partilha, relação entre grandezas, sucessão de números, escolar e duas grandezas. As sete estruturas algébricas que.

(20) 19. estão presentes em seu trabalho tiveram o papel de organizar e categorizar as questões para posterior análise. O que André (2007) mostrou no final de seu trabalho foi que os alunos possuíam grandes dificuldades em passar da linguagem natural para a algébrica. O maior número percentual em relação aos acertos foi de 12% e em relação ao erro, 80%. Uma das conclusões da autora foi mostrar que muitas destas mudanças de linguagem estão associadas a procedimentos mecânicos. Uma das conclusões seria:. O presente estudo nos levou também a confirmar que muitas vezes os alunos enxergam a linguagem da álgebra como sendo um procedimento pelo qual se traduzem mecanicamente as palavras de um enunciado concernente a uma situação ou problema em símbolos algébricos correspondentes. No entanto, sabemos que a passagem de uma linguagem para outra requer uma série de condições de natureza não só cognitiva, mas também didática (ANDRÉ, 2007, p. 208).. Dessa forma, estudos relacionados às dificuldades em Álgebra, concepções sobre o uso de letras, conversões de linguagem natural para a algébrica, têm sido apontados por diversos autores. E pelo fato dessas questões não estarem fechadas, nosso trabalho se justifica pela continuidade e aprofundamento para novas questões. Por isso, investigar a conversão da escrita natural para a escrita algébrica nas equações de primeiro grau torna-se o nosso principal objetivo de pesquisa. Enquanto André (2007) salientou a existência desse problema, nossa pesquisa nasce do desejo de investigar em que medida fatores de não congruência influenciam nessa conversão..

(21) 20. 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA. Como fundamentação para nos auxiliar no estudo das mudanças de registros da linguagem natural para a algébrica nas equações do primeiro grau, utilizamos a teoria de Raymond Duval sobre Registros de Representação Semiótica. Segundo esta teoria, faz-se necessário fazer uma distinção entre o objeto matemático e suas respectivas representações, para que não se confunda o objeto com sua representação. Esta teoria tem seu valor do ponto de vista cognitivo, pois possibilita ao sujeito compreender que um objeto tem várias formas, bem como permite controlar a escolha de uma representação mais econômica na resolução de problemas. Equação não é apenas ax + b = c ou o dobro de um número é seis, bem como outras formas de representar uma equação, mas é um objeto intocável, que só pode ser percebido mediante sua representação. A necessidade de uma diversidade de representações semióticas para um mesmo objeto reside no fato de não tentar confundir o objeto matemático com sua representação. Esta diferenciação necessária entre objeto e sua representação exige duas atividades cognitivas. Uma intimamente relacionada à representação do objeto matemático e outra, ao próprio objeto. É a semióse e a noésis. A primeira diz respeito à apreensão ou à produção de uma representação semiótica e a segunda, aos atos cognitivos ligados à apreensão conceitual de um objeto. Para Duval não existe a possibilidade de existir um sem o outro. A noésis, enquanto construção mental, não é independente das representações semióticas. Para Duval (2004), não existe noésis sem semióse. Para que o indivíduo represente um determinado objeto matemático faz-se necessário primeiro compreender a natureza deste objeto, suas propriedades, relações com outros objetos. A funcionalidade cognitiva dessa abordagem encontra-se no fato de possibilitar ao aluno, não somente ver seus erros, mas compreender e controlar os processos matemáticos que estão presentes nos problemas. Dessa forma, a teoria ganha sentido uma vez que se propõe a dar um tratamento aos objetos matemáticos do ponto de vista de sua formação e conceitualização. Duval (2004) argumenta ainda que as representações semióticas são produções externas que estão ligadas diretamente a um sistema semiótico. Essas.

(22) 21. produções são acessíveis apenas aos sujeitos que têm o conhecimento do sistema semiótico utilizado. Para Duval (2003), a compreensão em Matemática implica na existência de duas características peculiares. A primeira é na existência de um sistema semiótico, e a outra característica é na diversidade de sistemas semióticos presentes na Matemática. Um sistema semiótico é um conjunto de signos que possui uma finalidade de se comunicar e dar significado. Os sistemas semióticos utilizados podem ser a escrita algébrica, o sistema de numeração, a representação gráfica, a figural, entre outros.. 3.1 O desenvolvimento da álgebra e sua relação com as representações semióticas. Ao longo da história, esta diversidade nos registros de representação foi essencial para a construção do conhecimento matemático, em especial, ao algébrico. Ao voltarmos o olhar para a Antiguidade, iremos perceber que a forma de comunicação e de expressão de ideias se deram por meio de uma linguagem retórica. Esta linguagem se caracterizava pelo uso de descrições por extenso na linguagem comum. Os problemas matemáticos dessa época eram resolvidos utilizando-se palavras do cotidiano. Esta fase ficou conhecida por Álgebra retórica e durou até o século III d.C.. Diofanto foi um dos seus principais representantes (PESQUITA, 2007). A segunda fase, conhecida por Álgebra sincopada, caracterizava-se por um uso particular de letras para representar quantidades desconhecidas desprovido de universalidade. Os algebristas, sentindo a necessidade de simplificar cálculos, lançavam mão de abreviações de palavras e, às vezes, de um simbolismo conhecido apenas pelo matemático que o utilizava. Esta fase durou até o século XVII. Até então, não existia nenhum sistema de representação geral capaz de tornar comum a linguagem utilizada. No entanto, a necessidade de universalização no campo da ciência possibilitou o estabelecimento de uma ordem capaz de organizar uma linguagem em.

(23) 22. termos de signos. O signo, enquanto representante de um objeto, assume um papel diferente daquele que ele possuía em épocas anteriores ao século XVII. Na terceira fase da Álgebra, que iniciou por volta do século XVII, com o matemático François Viète, houve o desenvolvimento de uma linguagem algébrica capaz de unificar a Matemática em torno de uma sistematização comum. Esta fase é conhecida por uma Álgebra simbólica. Viète introduz letras para representar variáveis e quantidades desconhecidas de modo mais criterioso. Segundo Serfati (1997), em Viète já se via um primeiro sistema de signos que traz consigo uma reorganização em torno de uma convenção universal de interpretação. Flores (2006), aponta que se Viète possibilitou esta mudança do modo antigo de pensar a Matemática, foi em Descartes que esta modificação tornou-se mais solidificada. É nele que haverá a separação entre o registro simbólico utilizado e o significado do objeto. Para Descartes é essencial a distinção entre significante e significado. Se antes o objeto se confundia com sua representação, agora, é necessário, para a compreensão de conceitos matemáticos, dissociá-los. A partir de então, a lógica seguida pela construção do conhecimento matemático foi necessitando da criação ou aperfeiçoamento de um sistema de representação. O que até a Idade Média se via quase que uma imbricação entre o objeto e sua representação, por volta da Idade Moderna os matemáticos passam a estabelecer uma separação entre estes elementos. Como bem assegura Flores (2006):. Enfim, um novo regime de saber se configura; um regime que é dado na ordem da representação. Foi isto que assegurou a fundação de um tipo de representação, de uma ciência algébrica, autônoma, moderna. A nova forma de conhecer, ou seja, a forma baseada na dissociação do signo e da semelhança, tornou, então, possível essas individualidades de pensamento como os de Viète, Descartes, Leibniz. (p.10). A partir de então, a compreensão de um objeto matemático passa, necessariamente, pelo conhecimento de suas representações. E como se vê, o desenvolvimento da Álgebra esteve muito ligado a noção de representações semióticas..

(24) 23. 3.2 Representações mental e semiótica. Duval (2004) diferencia dois tipos de representação. A representação mental e a representação semiótica. As representações mentais tratam de um conjunto de imagens e concepções que o sujeito tem acerca de um objeto ou sobre aquilo que está associado ao objeto. Referem-se às ideias, explicações do indivíduo sobre determinados fenômenos. Como exemplo, citamos as representações internas ou computacionais, que são execuções automáticas de uma tarefa (como os algoritmos). As representações semióticas se caracterizam pelas produções por meio da utilização de signos pertencentes a um sistema de representação. Por exemplo, adicionar 0,5 com 1,25 é realizar uma operação com dois números representados por um sistema semiótico (sistema numérico) de forma decimal. Sobre as representações semióticas de um objeto, pode-se dizer que um objeto é identificado mediante um signo, sua parte material.. O signo, segundo. Pierce (2000), é um substituto ou representante de um objeto. Este signo não representa o objeto em sua totalidade, mas cria a ideia de um equivalente, podendo até ser um mais desenvolvido. É esta noção de signo que adotaremos em nosso trabalho. Os sistemas de representação podem ser sintetizados no quadro abaixo. QUADRO 3 – Representação discursiva e não discursiva. Fonte: Duval, 2003, p. 14.

(25) 24. Como percebemos, há duas classificações para os tipos de representação, podendo ser discursiva ou não discursiva. Uma representação será discursiva quando não lançar mão de figuras, tabelas, gráficos, ou qualquer representação pictórica, ao contrário da representação discursiva, que se valerá da língua natural, por exemplo. Em relação aos tipos de registro, Duval os classifica como multifuncional e monofuncional. Os multifuncionais são os registros que não estão associados à utilização de algoritmos, e os monofuncionais utilizam os algoritmos, em sua maioria. Como exemplo de registro monofuncional, podemos citar a linguagem algébrica e o sistema de numeração decimal. Em razão da diversidade dos sistemas semióticos, as representações semióticas permitem ter uma variedade de representações para um mesmo objeto. Segundo Duval (2004) esta variedade é decisiva tanto do ponto de vista da função de tratamento como do ponto de vista da conceitualização. Do ponto de vista do tratamento é importante pelo fato de ser uma poderosa ferramenta de justificativa de procedimentos. Do ponto de vista da conceitualização, a variedade de representações para um mesmo objeto contribui para não se confundir objeto e representação. Uma das funções da representação semiótica é a da comunicação, em que se trata de exteriorizar as representações internalizadas (mentais) tornando-as acessíveis a outrem. À medida que se tem acesso às representações exteriorizadas se torna possível perceber como o sujeito está concebendo o objeto matemático e as intervenções didáticas passam a ter mais eficácia. Segundo Duval (2003), um registro de representação é considerado semiótico, quando se caracteriza por três atividades cognitivas: representação identificável, tratamento e conversão. Uma representação é identificável quando é possível reconhecer a qual objeto matemático se relaciona por meio de um sistema de signos. Por exemplo, utilizando a língua natural é possível elaborar problemas com diversos conceitos matemáticos, tais como área, equação, função, entre outros..

(26) 25. 3.3 Tratamentos e conversões. O tratamento e a conversão são tipos de transformações de representação semiótica que são imprescindíveis para a atividade matemática, do ponto de vista da aprendizagem. O tratamento é a transformação da representação inicial em outras equivalentes, sem mudar o tipo de registro (transformação interna). Podemos considerar como exemplo, a resolução de uma equação na linguagem algébrica 3x + 5(x – 6) = x + 2(x + 1) + 3 3x + 5x – 30 = x + 2x + 2 + 3 3x + 5x – x – 2x = 2 + 3 + 30 5x = 35 x=7. em que as cinco equações obtidas em cada etapa são equivalentes entre si, o registro algébrico é conservado, mas, no entanto, a representação inicial sofreu transformações até chegar em x = 7. Também podemos citar o caso das expressões numéricas em que. {3 + [5(4 + 2) – 6] + 7(1 – 3)} {3 + [20 + 10 – 6] + 7 – 21} {3 + 24 + 7 – 21} 13. cada uma dessas expressões são equivalentes entre si, sofrendo transformação apenas na representação mas conservando o registro, nesse caso, numérico. A conversão trata de uma transformação de uma dada representação em outra representação e em outro registro, mas conservando a referência ao mesmo objeto. Uma função afim do tipo y = - 3x + 4, representada na forma algébrica, pode ser representada num registro gráfico por.

(27) 26. FIGURA 1 – Reta decrescente. Podemos converter uma equação em linguagem natural como “O triplo de um número é 8” para a linguagem algébrica 3x = 8, escrever a representação algébrica de uma função a partir de seu gráfico, encontrar a área de uma região partindo de uma figura, etc. De acordo com Duval (2003), a operação de tratamento dá importância à forma, e por conta disso é a transformação mais utilizada pelos professores como mecanismo de justificativa. Pelo fato de ser procedimental, a sua excessiva valorização pode levar o aluno a associar o objeto a uma única representação e acabar por não dissociar objeto de representação. Mas é na operação de conversão que é permitido ao sujeito fazer a diferença entre a representação do objeto e o próprio objeto, pois ele irá se deparar com diferentes representações para um mesmo objeto. Logo, ela é uma das atividades cognitivas essenciais para a compreensão em matemática, do ponto de vista de Duval (2003). O fato de existir uma diversidade de registros de representação semiótica, dá à conversão a sua devida importância no processo de construção do conhecimento, pois ajudará o aprendiz a reconhecer a existência de várias representações para um mesmo objeto..

(28) 27. Alinhando-se à conversão está a mobilização entre os vários tipos de registros de representação. Segundo Duval (2003), “a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação, ou na possibilidade de trocar, a todo momento, de registro de representação”. O que Duval salienta é que não se pode garantir aprendizagem focando o ensino apenas nos tratamentos. Estes são muito úteis para justificar procedimentos, porém a atividade da conversão permite ao sujeito ampliar a dimensão conceitual. Podemos dar o exemplo de converter uma equação da língua materna para a linguagem algébrica. Segundo Duval (2003) a coordenação entre registros garante a conceitualização do objeto matemático, pois, a partir do momento que o aluno consegue relacionar estes registros é porque ele percebe elementos particulares de cada sistema semiótico. Tomando como referência a representação gráfica seguinte iremos identificar elementos que na representação algébrica equivalente não se vê.. FIGURA 2 – Reta crescente.

(29) 28. Nesta figura, o ponto vermelho indica o zero da função de y = 3x + 6, o que na representação algébrica não fica explícito. Sobre este aspecto Duval (1993) destaca que um registro complementa o outro. Nenhum registro por si só é completo no sentido de representar integralmente um objeto. Isto quer dizer que, ainda que um registro de representação transpareça um dado objeto, ele será parcial, pois os conteúdos em questão são diferentes. As representações cartesianas das funções (I) y + 4 = (x – 3)² e (II) y = (x – 5)(x – 1) trazem informações diferentes sobre o mesmo objeto. Enquanto que na primeira sobressai o vértice da parábola, na segunda forma enxergamos as raízes, como se vê no gráfico seguinte.. FIGURA 3 – Gráfico cartesiano da função quadrática. A atividade de conversão não é algo natural. Ela torna-se complexa, pois se depara com dois fenômenos. Um na heterogeneidade dos dois sentidos de.

(30) 29. conversão e o outro fenômeno nas variações de congruência ou de não-congruência entre as representações. O primeiro fenômeno característico da conversão é o sentido desta conversão. Converter um registro de A para B não demanda o mesmo custo cognitivo de converter de B para A. Podemos perceber no gráfico da figura 4. Para converter a função de sua representação gráfica para a algébrica é necessário levar em consideração conhecimentos matemáticos que obrigatoriamente não serão requeridos para a conversão da representação algébrica para a gráfica. Este fato muitas vezes não é levado em consideração, pois, no ensino, tendese a privilegiar um sentido da conversão, na idéia de que a volta seria automática. Sobre o segundo fenômeno, Duval (1995) declara que o sucesso ou insucesso dos alunos na resolução dos problemas de matemática está ligado aos fatores de congruência e ao sentido da conversão. Três, são as condições a serem satisfeitas para que duas representações sejam congruentes:. a) ordem das unidades; b) correspondência semântica entre as unidades de significado; c) univocidade semântica terminal.. A conservação da ordem das unidades de significado se caracteriza quando a conversão entre dois registros de representação se dá no mesmo sentido. No exemplo abaixo procuramos esclarecer melhor.. O dobro de um número mais sete é cinco.. Neste problema, lemos da esquerda para direita e representamos a equação na linguagem algébrica neste mesmo sentido por 2x + 7 = 5. Neste caso, há a conservação da ordem das unidades de significado. A correspondência semântica das unidades de significado diz respeito a uma combinação binária existente entre as representações. No registro de partida, representado em linguagem natural, uma determinada palavra precisa está associada a apenas um signo. Nesse problema, não se verifica esse fator, pois a palavra dobro está associada a dois signos, ao número 2 e ao sinal de multiplicação..

(31) 30. O terceiro fator de congruência se refere a uma informação semântica num registro de representação que é mantida ao se fazer a conversão. A cada unidade de significado da representação de partida, não existe mais que uma unidade de significado no registro de representação de chegada. Uma palavra num texto possui o mesmo significado em todo ele. No problema que diz “Ao ganhar R$ 5,00 de Pedro, Flávio ficou com R$ 15,00. Quanto Flávio possuía inicialmente?” Este problema não possui nenhuma informação semântica que justifique, na resolução, a operação de 15 menos 5 para encontrar a quantia de Flávio. A palavra ganhar está muito associada a adição, mas no entanto, o significado dela no problema é de subtração. Se o problema proposto fosse “Pedro tinha R$ 10,00 e depois ganhou R$ 5,00 de Flávio. Quanto Pedro possui agora?” teríamos uma outra operação. Para encontrar a quantia de Pedro bastava adicionar 10 com 5, o que indiretamente é reforçado pela presença da palavra ganhou, que indica adição. A conversão entre dois registros de representação semiótica terá sucesso ou não em função dos graus de congruência. Se atender aos três fatores de congruência o registro de saída transparecerá com o de chegada. Isso tornará as duas representações congruentes. Caso contrário, se a negativa de um desses fatores aparecer, a conversão será não congruente. No problema seguinte, em destaque, analisando sua estrutura, percebemos a existência da não congruência.. Numa empresa, há sete vezes mais empregados do que diretores.. O sentido que lemos o texto (esquerda para direita) não é o mesmo que utilizamos para representar este problema na linguagem algébrica. A representação correta é 7D = E, sendo D o número de diretores e E o número de empregados e não 7E = D. Pelo fato de não atender à conservação da ordem das unidades de significado, o problema se classifica como não congruente. O que percebemos é que cada sistema semiótico possui um conteúdo específico na representação dos objetos. Um registro em linguagem algébrica para representar equações irá exigir conhecimentos como expressões algébricas, operações básicas com sinais, o que não se verifica com um registro em linguagem natural..

(32) 31. Assim, as transformações de tratamento e conversão são duas operações cognitivas essenciais para a compreensão de objetos matemáticos e sua posterior conceitualização.. 3.4 Associação da teoria com a questão de pesquisa. Diante do exposto, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica nos fornece suporte para, de modo geral, investigar em que medida os fatores de não congruência influenciam na conversão da escrita natural para a escrita algébrica nos problemas envolvendo equações do primeiro grau. Como na atividade de conversão é natural a presença dos fatores de congruência, queremos, de modo mais específico, investigar como cada um dos três fatores influenciam na conversão da escrita natural para a algébrica. Queremos analisar, então, a influência da correspondência semântica das unidades de significado, a influência da univocidade semântica terminal e a conservação da ordem das unidades na conversão, todos em problemas de equação do primeiro grau. Dessa forma, nossa questão de pesquisa procura ser entendida à luz dessa teoria..

(33) 32. 4 METODOLOGIA. Visando investigar em que medida os critérios de não congruência influenciam na conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica nos problemas envolvendo equações do primeiro grau, detalhamos, a seguir, as escolhas para nosso procedimento.. 4.1 Público alvo e condições da aplicação. Escolhemos duas escolas privadas da cidade do Recife, haja vista o pesquisador ser de uma dessas instituições e a outra, pelo fato de ter um quantitativo de sujeitos muito próximos. Ao todo foram sete turmas totalizando 217 sujeitos. Como os problemas propostos eram de equações do primeiro grau, decidimos aplicá-los no oitavo ano em virtude de os sujeitos chegarem neste ano com o objeto em construção. Esta fase da escolaridade é o momento para aprofundar equações do primeiro grau. Na etapa seguinte da metodologia realizamos a aplicação do teste. Foi no mês de setembro e coincidiu com a época que os alunos estavam estudando o assunto. Explicamos ao professor o motivo do teste e a importância da imparcialidade na aplicação. Ele estaria presente mas não poderia interferir em nenhum momento. Após concordamos com as condições, uma terceira pessoa aplicou o teste. Os testes foram aplicados em sete encontros, cada um desses encontros com média de 100 minutos. Os alunos foram orientados a desenvolver as questões individualmente e sem nenhum material para consulta. Apenas lápis, caneta e borracha. A idade dos sujeitos variava entre os 12 e 13 anos..

(34) 33. 4.2 Características do teste. As questões do teste foram elaboradas procurando analisar a influência dos fatores de não congruência na conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica em problemas sobre as equações do primeiro grau. Segundo a Teoria de Raymond Duval, as três condições que tornam um problema congruente são a correspondência semântica das unidades de significado, a univocidade semântica terminal e a conservação da ordem das unidades de significado. Nosso teste, foi elaborado em função dessas condições. Os fatores de não congruência foram variados com o intuito de perceber quais deles podem exercer mais ou menos influência na conversão. Um dos problemas elaborados conserva a correspondência semântica das unidades de significado, não conserva a univocidade semântica terminal e nem a ordem das unidades de significado. Um outro problema foi elaborado não conservando a correspondência semântica das unidades de significado, conservando a univocidade semântica terminal e a ordem das unidades de significado, e assim sucessivamente. Ao todo temos oito ternas, e para cada terna elaboramos um problema. Como objetivávamos investigar em que medida os critérios de não congruência influenciam na conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica nos problemas envolvendo equações do primeiro grau, propositalmente, colocamos o primeiro problema totalmente congruente, com o intuito de confirmar pesquisas anteriores que dizem que os alunos possuem mais facilidade em resolver esse tipo de problema. O quadro seguinte nos mostra as características estruturais dos oito problemas:.

(35) 34. Número do problema. QUADRO 4 – Característica dos problemas Correspondência Univocidade semântica das semântica terminal unidades de significado. Ordem das unidades de significado. 01. conservar. conservar. conservar. 02. não conservar. não conservar. não conservar. 03. conservar. não conservar. conservar. 04. conservar. conservar. não conservar. 05. conservar. não conservar. não conservar. 06. não conservar. conservar. conservar. 07. não conservar. conservar. não conservar. 08. não conservar. não conservar. conservar. Na tentativa de se manter um padrão nas questões do teste, escolhemos um dos tipos de problemas classificados por Marchand e Bednarz (1999). Estas autoras classificam os problemas em três tipos. Problemas de transformação, problemas de taxa e problemas de partilha. Em nossa pesquisa consideraremos apenas os problemas de partilha. Os problemas de transformação são aqueles que se caracterizam por uma transformação realizada sobre um valor inicial que, por sua vez, não é dado explicitamente no problema. Ele é desconhecido. E essa transformação no valor de partida gera uma nova situação, também desconhecida, como no exemplo seguinte.. Perguntaram a idade de Roberto e ele respondeu da seguinte forma: o triplo da idade que eu tinha a cinco anos atrás é igual a minha idade atual mais 25 anos. Qual a idade de Roberto?. A idade de Roberto é o valor inicial e desconhecida. Sobre este valor foram realizadas três transformações. Duas aditivas, representadas por (cinco anos atrás) e (mais 25 anos) e uma multiplicativa, representada pela operação (triplo)..

(36) 35. Os problemas de taxa são aqueles que aparecem relações entre grandezas não homogêneas, como no seguinte exemplo.. Sejam duas cidades A e B. Um homem viaja de automóvel a 80 km/h. Ele volta pela mesma estrada a uma velocidade de 60 km/h. Se ele faz toda viagem entre A e B em 7 horas, qual a distância entre essas duas cidades?. Os problemas de partilha são aqueles em que é conhecida uma quantidade total e esta quantidade é repartida em outras partes, sendo estas desconhecidas. As partes se relacionam levando em consideração o “número” de relações, a “natureza” dessas relações e o “encadeamento” dessas relações. Esses três funcionam como variáveis do problema que influenciam na resolução, segundo estas autoras. No problema abaixo podemos analisar como as três variáveis aparecem na situação.. Três irmãos, Pedro, Toni e Carlos, possuem 17 selos. Pedro possui cinco selos a mais que Toni e Carlos, o triplo de Toni. Quantos selos possui cada um dos irmãos? “Pedro possui cinco selos a mais que Toni” é uma relação e, “Carlos, o triplo de Toni” outra relação. Duas relações ao todo. A natureza das relações entre os dados pode ser aditiva, quando se lança mão de somas, multiplicativa, quando de multiplicações, ou ainda a natureza dessas relações pode ser mista, quando é aditiva e multiplicativa. A primeira relação é aditiva (a mais) e a segunda, multiplicativa (triplo). Este é um problema com duas relações e de natureza mista. Além do número de relações e da natureza entre essas relações, temos a variável do problema encadeamento das relações. Marchand e Bednarz (1999) afirmam que esse encadeamento pode ser de três tipos distintos. O encadeamento pode ser classificado como “fonte”, “poço” e “composição”. No encadeamento tipo fonte, as grandezas do problema são originadas em função de uma única grandeza. O problema citado acima é um exemplo desse tipo de encadeamento. “Toni” é a fonte desse problema, pois para encontrar a.

(37) 36. quantidade de Pedro e de Carlos primeiro se deve descobrir quantos selos Toni possui.. +5. Toni. Pedro. Carlos. x3. 17 No encadeamento tipo poço, as relações centralizam, convergem para um dos termos do problema, como mostra o exemplo abaixo.. Tiago, José e Alfeu vão repartir 14 selos de modo que Tiago receba três selos a mais que José e cinco selos a menos que Alfeu. Quantos selos cada um vai receber?. José. -5. Alfeu. Tiago. +3 14 Neste caso as relações convergem para Tiago. No encadeamento tipo composição, as relações são estabelecidas seguindo uma sequência, como analisamos no exemplo abaixo.. Em uma empresa, 100 funcionários lêem um dos três jornais de maior circulação da cidade. O número de funcionários que lêem o jornal Caldas é o triplo do número de funcionários que lêem o jornal Delta, e o número de funcionários que lêem o jornal Brasil é 40 a mais do que os que lêem o jornal Caldas. Nessa empresa, qual o número de funcionários que lêem cada jornal?. Delta. x3. Caldas. 100. + 40. Brasil.

(38) 37. Em nossa pesquisa, fizemos algumas escolhas referentes às características do problema. Essas escolhas foram feitas de modo que as variáveis no problema se desse nos fatores de não congruência. Se não tivéssemos fixado o tipo de problema, neste caso, de partilha, poderia ser que a dificuldade do aluno estivesse em função do contexto e não dos fatores de não congruência. A seguir, temos os oito problemas do teste, contemplando as características estruturais do quadro 4..

(39) 38. Número do problema 01. 02. QUADRO 5 – Lista de problemas Problema Três amigos, Jorge, Paulo e Felipe, possuem, juntos, 140 bonecos. Jorge possui uma certa quantidade de bonecos. Duas vezes a quantidade de Jorge é a quantidade de Paulo. A quantidade de bonecos de Jorge, vezes quatro, é a quantidade de bonecos de Felipe. Quantos bonecos possui cada um? Geraldo, Marcos e Taís vão a um orfanato de crianças carentes entregar uma contribuição financeira, voluntária, equivalente a R$ 1 100,00. Geraldo contribuiu quatro vezes mais que Marcos e Taís com a metade do que contribuiu Marcos. Com quantos reais contribuiu cada um?. 03. José, Augusto e Fábio produziram, juntos, 1400 peças na fábrica em que trabalham. Augusto produziu uma certa quantidade. Duas vezes o número de peças produzidas por Augusto dá a quantidade de Fábio. A metade do número de peças produzidas por Augusto é a quantidade fabricada por José. Quantos produtos foram fabricados, individualmente, por estes três funcionários?. 04. A soma das idades de Júlio, Abreu e Bruno é de 90 anos. A idade de Abreu é três vezes a de Julio, e a idade de Bruno é cinco vezes a de Julio. Qual a idade de cada um deles?. 05. Tiago, Jô e Alfeu são colecionadores de selos. Eles vão repartir 84 selos de modo que Tiago possua três vezes a quantidade de selos de Jô, e Alfeu a quinta parte de selos de Jô. Quantos selos cada um vai receber?. 06. Os irmãos Juca, Rita e Márcia possuem juntos 120 brinquedos. Rita possui uma certa quantidade. O triplo da quantidade de brinquedos de Rita é igual a quantidade de brinquedos de Juca. O quádruplo do número de brinquedos de Rita é a de Márcia. Quantos brinquedos possui cada um?. 07. João, Ricardo e Mateus possuem juntos 126 bolas de gude. João tem o dobro de bolas de gude de Ricardo, e Mateus tem o quádruplo de bolas de gude de Ricardo. Quantas bolas de gude possui cada um? Os amigos Maria, Roger e Caio compraram chocolates numa quantidade total de 68 chocolates. Roger comprou uma certa quantidade. O triplo da quantidade de chocolates de Roger é igual a quantidade de chocolates de Maria. A quarta parte dos chocolates de Roger é igual a de Caio. Quantos chocolates comprou cada um?. 08.

(40) 39. 4.3 Análise geral das questões do teste. As questões do teste foram elaboradas tomando por base o contexto dos problemas de partilha. Seguindo os critérios desse contexto foi escolhida uma quantia total e as partes desconhecidas que são repartidas entre os personagens da questão. O número de relações, a natureza dessas relações e o tipo de encadeamento foram fixadas. Em cada problema o número de relações será dois, a natureza dessas relações, multiplicativa e quanto ao tipo de encadeamento, fonte. As escolhas para o número de relações e o tipo de encadeamento se deram de modo aleatório. Sendo dois o número de relações, teremos dois pares de personagens dos quais, um personagem é a fonte. Já a natureza das relações, multiplicativa, foi escolhida pelo fato de permitir uma maior variação nos fatores de não congruência. Entenda-se por multiplicativa o uso das operações de multiplicação e divisão. Além disso, em cada questão, os nomes dos personagens são diferentes entre si e diferente nas outras questões. A escolha diferente entre si é para evitar dúvida no momento da conversão das representações, caso o sujeito queira colocar como incógnita a letra inicial do nome do personagem. O que aconteceu com bastante freqüência. Também é diferente nos demais problemas para não induzir o sujeito a pensar que ao mesmo nome estaria associado o mesmo valor numérico. Dessa forma, são oito problemas, cada problema com três personagens. O quadro a seguir relaciona as variáveis fixas de cada problema e a sua respectiva característica..

(41) 40. QUADRO 6 – Valor fixo da variável VARIÁVEL FIXA. CARACTERÍSTICA DA VARIÁVEL. Tipo de problema. Problemas de partilha. Tipo de encadeamento das relações. Fonte. Número de relações. Duas. Natureza das relações. Multiplicativa. Na elaboração dos problemas do teste, escolhemos não direcionar o aluno ao tipo de solução desejada, neste caso algébrica. Tomamos essa decisão, com o intuito de possibilitar uma escolha conveniente de resposta por parte do sujeito de modo que a solução algébrica aparecesse naturalmente. Nesse sentido, apesar de desejarmos apenas a conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica, propusemos a resolução do problema e não apenas que o representasse algebricamente.. 4.4 Análise específica das questões do teste. Além das variáveis gerais de valor fixo, os problemas do teste possuem características específicas que visam atender o objetivo da pesquisa que é investigar em que medida critérios de não congruência influenciam na conversão da linguagem natural para a escrita algébrica. Os problemas foram elaborados seguindo uma combinação dos três critérios de congruência. A não conservação de um desses três critérios tornará o problema não congruente, e mediante a análise a posteriori dos problemas percebemos quais desses fatores exerceram mais ou menos influência no momento da conversão. Abaixo segue um quadro que relaciona a variável escolhida com o seu respectivo valor..

(42) 41. QUADRO 7 – Critérios de não congruência e valor da variável VARIÁVEL VALOR DA VARIÁVEL Correspondência semântica. Conserva ou não conserva. Ordem das unidades de significado. Conserva ou não conserva. Univocidade semântica terminal Correspondência semântica e ordem das unidades de significado Correspondência semântica e univocidade semântica terminal Ordem das unidades de significado e ordem das unidades de significado Correspondência semântica, ordem das unidades de significado e univocidade semântica terminal. Conserva ou não conserva Conserva ou não conserva Conserva ou não conserva Conserva ou não conserva Conserva ou não conserva. No quadro acima, temos sete variáveis para análise e cada uma com dois valores, conserva ou não conserva. Na primeira linha, temos que um problema conservará a correspondência semântica e os outros dois fatores sofrerão variação. Quando não se conservar a correspondência semântica os outros dois fatores não sofrerão variação. O mesmo acontece na informação da quarta linha. Quando a correspondência semântica e a conservação da ordem das unidades de significado forem conservadas, a terceira variável sofrerá variação. Em contrapartida, quando a correspondência semântica e a conservação da ordem das unidades de significado não forem conservadas, a terceira variável não sofrerá variação. Esta análise serve para todas as questões.. 4.5 Análise preliminar das questões do teste. A análise preliminar de cada questão buscou verificar a possibilidade de agrupamento entre as variáveis controladas (variável fixa) com as variáveis de não congruência que serão alteradas (conserva ou não conserva), bem como a explicitação de uma solução esperada. Entendemos por solução esperada a conversão correta para o registro algébrico..

(43) 42. Inicialmente, escolhemos duas categorias para a solução de cada problema. Esperávamos que os registros dos alunos se dessem de modo numérico ou algébrico. O que estamos chamando de registro numérico é aquele registro que lança mão apenas de números e das quatro operações básicas. O registro algébrico é aquele que o sujeito lança mão de letras para representar incógnitas, números e operações básicas. Mas, depois da análise a posteriori, tivemos a necessidade de eleger outros cinco tipos de categorias. Adiante, analisaremos os problemas levando em consideração a explicitação da fonte e das possíveis soluções esperadas e sua ligação com a teoria.. Número do problema. 01. Correspondência semântica das unidades de significado conservar. Univocidade semântica terminal. Ordem das unidades de significado. conservar. conservar. Três amigos, Jorge, Paulo e Felipe, possuem, juntos, 140 bonecos. Jorge possui uma certa quantidade de bonecos. Duas vezes a quantidade de Jorge é a quantidade de Paulo. A quantidade de bonecos de Jorge, vezes quatro, é a quantidade de bonecos de Felipe. Quantos bonecos possui cada um? A fonte do problema é Jorge, pois é este quem gera a quantidade de Paulo e Felipe. Sintetizamos este problema no esquema abaixo. Jorge. x2. Paulo. Felipe. x4. 140. Há neste problema uma congruência entre os registros de representação em linguagem natural e linguagem algébrica. As unidades de significado vezes dois (x 2) e vezes quatro (x 4) conservam a correspondência semântica, pois haverá dois signos na linguagem natural e dois na linguagem algébrica. Consideraremos como dois signos na linguagem algébrica mesmo que o sujeito omita o sinal de multiplicação. A univocidade semântica terminal também é conservada, pois, no texto, vezes dois significa multiplicar por dois. Como no mesmo sentido que lemos o problema o.