Problemas de equações elípticas do tipo côncavo-convexo

(1)

Universidade de Lisboa Faculdade de Ciˆencias Departamento de Matem´atica

Problemas de equa¸

c˜

oes el´ıpticas do tipo

cˆ

oncavo-convexo

Gon¸

calo Santos Montalv˜

ao Carvalho

Disserta¸c˜ao

Mestrado em Matem´atica

(2)

(3)

Universidade de Lisboa Faculdade de Ciˆencias Departamento de Matem´atica

Problemas de equa¸

c˜

oes el´ıpticas do tipo

cˆ

oncavo-convexo

Gon¸

calo Santos Montalv˜

ao Carvalho

Disserta¸c˜ao

Mestrado em Matem´atica

Orientadora: Professora Ana Rute do Nascimento Mendes Domingos

(4)

(5)

Resumo

Nesta disserta¸cão é estudada a existência e não existência de solu¸cões para uma classe de problemas do tipo côncavo-convexo, como por exemplo o problema que se segue

 



−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ.

onde Ω ⊂ RN é limitado, com fronteira Γ regular, N ≥ 3, λ > 0 e 0 < q < 1 < p < 2∗− 1. Os resultados são provados por dois métodos diferentes. O primeiro usando sub e sobre solu¸cões e métodos variacionais, seguindo os artigos de de Figueiredo, Gossez e Ubilla [15] e [16]. O segundo usando a variedade de Nehari e as fibering maps, seguindo o artigo de Brown e Wu [11].

Palavras-chave: equa¸c˜oes el´ıpticas; sub e sobresolu¸c˜oes; Teorema da passagem da montanha; expoente cr´ıtico de Sobolev; variedade de Nehari; fibering map.

(6)

(7)

Abstract

In this thesis we study the existence and nonexistence of solutions for a family of problems like

 



−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ.

where Ω ⊂ RN _{is bounded domain with smooth boundary Γ, N ≥ 3, λ > 0 and}

0 < q < 1 < p < 2∗− 1. The results are proved by two different methods. The first one using upper and lower solutions and variational methods, following the articles of de Figueiredo, Gossez and Ubillla [15] and [16]. The second one using the Nehari manifold and the fibering maps, following the article of Brown and Wu [11].

Keywords: semilinear elliptic problem; upper and lower solutions; mountain pass Theorem; Sobolev critical exponent; Nehari manifold; fibering map.

(8)

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Agradecimentos

Chegou agora ao fim a minha etapa académica, na qual passei grande parte do tempo na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. É com grande alegria que me despe¸co dos bons tempos que aqui passei, dos colegas que conheci e dos professores que tive. Ficam as matérias estudadas e algumas já esquecidas, os almo¸cos e jantares na ’Velha’, o gabinete de mestrados e a grandiosa passagem por Milão e pela Università di Milano-Bicocca. Em especial queria agradecer à Professora Ana Rute Domingos, que me orientou nestes dois últimos anos, sempre com bom humor e exigência método de estudo.

`

(10)

(11)

Conte´

udo

Nota¸c˜ao 13

Introdu¸c˜ao 15

1 Existência de duas solu¸cões positivas - método I 19

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 19

1.2 Crescimento sobrelinear arbitr´ario . . . 20

1.3 Crescimento sobrelinear subcr´ıtico . . . 30

1.4 Crescimento sobrelinear cr´ıtico . . . 43

2 Existência de duas solu¸cões positivas - método II 59 2.1 Introdu¸cão . . . 59

2.2 Fibering Maps . . . 60

2.3 Existˆencia de Solu¸c˜oes Positivas . . . 68

A Apˆendice 71 A.1 Pontos cr´ıticos . . . 71

A.2 Subsolu¸c˜oes e sobresolu¸c˜oes . . . 72

A.3 Princ´ıpio M´aximo . . . 74

A.4 Problema de valores pr´oprios . . . 75

A.5 Espa¸cos Sobolev em RN . . . 76

A.6 Resultados de Regularidade . . . 77

A.7 Bootstrap . . . 79

A.8 Outros resultados . . . 80

(12)

(13)

Nota¸

c˜

ao

1. Ω ⊂ RN: aberto de RN. 2. Γ = ∂Ω: fronteira de Ω. 3. uxi: derivada de u em ordem a xi. 4. ∇u = (ux1, · · · , uxN): gradiente de u. 5. ∆u =PN i=1uxixi: Laplaciano de u. 6. kukp= Z Ω

|u|p dx1/p: norma do espa¸co Lp_{(Ω) para p ∈ [1, ∞).}

7. kuk∞: norma do espa¸co L∞(Ω).

8. kuk = Z

Ω

|∇u|2 _dx1/2_{: norma do espa¸}_{co H}1 0(Ω).

9. (·, ·): produto interno associaddo `a norma k · k. 10. |Ω|: medida de Lebesgue de Ω.

11. p0: conjugado de H¨older de p, i.e., 1_p +_p10 = 1.

12. 2∗ = _{N −2}2N : expoente cr´ıtico de Sobolev. 13. u+ = max{0, u}: parte positiva de u. 14. u− = min{0, u}: parte negativa de u. 15. C ∈ R: constante arbitr´aria.

16. R > 0: raio duma bola arbitr´aria.

17. λ1(Ω): primeiro valor pr´oprio de −∆ em Ω.

18. ϕ1: primeira fun¸c˜ao pr´opria positiva de −∆ em Ω.

19. ν: normal unit´aria exterior a Ω. 20. ∂u_∂ν = uν: derivada direcional.

(14)

(15)

Introdu¸

c˜

ao

No ano letivo 2013-2014 tive o meu primeiro contacto com as equa¸cões diferenciais não lineares, no trabalho que desenvolvi para a disciplina Seminário, que culminou com o estudo do artigo [11] de Kenneth J. Brown e Tsung-Fang Wu, onde é provado a existência de, pelo menos, duas solu¸cões positivas para o problema

 



−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u ≥ 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ.

onde Ω ⊂ RN é limitado, com fronteira Γ regular, 0 < q < 1 0 e a, b : Ω → R são fun¸cões de classe C∞, que assumem valores positivos em subdom´ınios de Ω de medida positiva, mas com a possibilidade mudarem de sinal no resto de Ω. Neste artigo os autores usam a denominada Variedade de Nehari (introduzida por Z. Nehari em [19] (1960) e [20] (1961)) e as denominadas Fibering Maps (introduzidas por P. Drabek e S. I. Pohozaev em [12] (1997)).

Este problema faz parte de uma classe de problemas denominados por problemas côncavo-convexos, cujo trabalho pioneiro se deve a A. Ambrosetti, H. Brezis e G. Cerami no artigo [2], onde a parte não linear da equa¸cão exibe a soma de duas potências, uma com expoente maior que um e outra com expoente menor que um, conferindo à equa¸cão propriedades distintas dos problemas cuja equa¸cão só envolve um dos tipos das potências. Em [10], H. Brezis e L. Oswald provam que −∆u = λuq em Ω, u = 0 sobre Γ, com 0 < q < 1, admite uma única solu¸cão positiva, por técnicas de minimiza¸cão. Em 1973, no artigo [4] de A. Ambrosetti e P. Rabinowitz, são desenvolvidos métodos variacionais (Teorema da Passagem da Montanha), com os quais é poss´ıvel provar a existência de uma solu¸cão positiva para o problema −∆u = λu + up em Ω, com p ∈ (1, 2∗− 1) e com condi¸cões de Dirichlet sobre a fronteira. Resultados de existência quando p = 2∗ − 1 foram obtidos em 1983, por H. Brezis e L. Nirenberg em [8]. Tenhamos em aten¸cão que neste caso a respetiva inje¸cão de Sobolev H₀1(Ω) ⊂ L2∗(Ω) não é compacta, o que se traz dificuldades acrescidas, nomeadamente na obten¸cão de condi¸cões de compacidade (cf. Lema 1.4.12 - condi¸cão de Palais-Smale).

Em 1994, em [2], A. Ambrozetti, H. Brezis e G. Cerami, consideram o problema    −∆u = λuq_{+ u}p _{em Ω,} u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ.

(16)

donde provam a existência de uma constante Λ positiva tal que para cada λ < Λ, o problema com 0 < q < 1 < p, tem, pelo menos, uma solu¸cão positiva, via sub e sobresolu¸cões; e caso λ > Λ provam que o problema não tem solu¸cões positivas. Provam ainda a existência de uma segunda solu¸cão, pelo Teorema da Passagem da Montanha, quando p ≤ 2∗− 1.

Posteriormente, em 2003, D. de Figueiredo, J.-P. Gossez e P. Ubilla obtˆem os resul-tados de [2], em [15], para o caso subcr´ıtico (p < 2∗− 1), considerando problemas mais gerais, tais como

 



−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω

u = 0 sobre Γ.

onde Ω ⊂ RN é limitado, com fronteira Γ regular, 0 < q < 1 0 e as fun¸cões a ∈ Lα(Ω) e b ∈ Lβ(Ω), com α > (_q+12∗ )0 e β > (_p+12∗ )0 (conjugados de Hölder), assumem valores positivos em subdom´ınios de Ω de medida positiva, mas com a possibilidade mudarem de sinal no resto de Ω; e caso q = 0, a(x) ≥ 0, p.q.t. x ∈ Ω.

Três anos depois, em [16], os mesmo autores, obtêm resultados também para o caso cr´ıtico (p = 2∗−1), com mais restri¸cões nos sinais das fun¸cões peso. A classe de problemas estudada também inclui o problema

   −∆u = λc(x)(u + 1)p _{em Ω,} u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ,

com p > 1 e a fun¸c˜ao c ∈ L∞(Ω), c(x) ≥ 0 em Ω, introduzido por Br´ezis e Nirenberg em [8], com c ≡ 1 em Ω.

Nesta disserta¸c˜ao apresentamos as duas abordagens referidas: a de Brown e Wu [11], e a de Figueiredo, Gossez e Ubilla [15] e [16].

No cap´ıtulo 1, ´e abordado detalhadamente o artigo [16] com o problema    −∆u = fλ(x, u) em Ω, u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ,

onde fλ : Ω × R+→ R é uma fun¸cão de Carathéodory e é apresentado a a sua aplica¸cão

aos problemas atrás referidos. Na seçcão 1.2 é provada a existência de uma solu¸cão po-sitiva pelo Método de sub e sobresolu¸cões fracas e ainda um resultado de não existência. Na seçcão 1.3 é utilizado o Teorema da Passagem da Montanha para provar a existência de uma segunda solu¸cão positiva, quando o problema tem crescimento subcr´ıtico, i.e.,

|fλ(x, s)| ≤ d1+ d2|s|σ−1,

quando σ < 2∗− 1 e d₁, d2 > 0, para todo s > 0, p.q.t. x ∈ Ω. Na seçcão 1.4, é estendido

(17)

No Cap´ıtulo 2 é estudado o artigo [11]. Na seçcão 2.2 é abordado a rela¸cão entre a Variedade de Nehari e as Fibering Maps e é realizado o estudo anal´ıtico das Fibering Maps. Por último, são apresentados os resultados de existência na seçcão 2.3.

No Apêndice A são apresentados algumas defini¸cões e resultados utilizados ao longo da disserta¸cão, tais como, o Teorema da passagem da montanha, o Princ´ıpio máximo, as inje¸cões de Sobolev, entre outras.

(18)

(19)

Cap´ıtulo 1

Existˆ

encia de duas solu¸

c˜

oes

positivas - m´

etodo I

1.1 Introdu¸

c˜

ao

Consideremos o problema    −∆u = fλ(x, u) em Ω, u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ, (1.1)λ

onde Ω é um subdom´ınio limitado de RN com fronteira Γ regular, N ≥ 3, λ > 0 e fλ : Ω × R+ → R é uma fun¸cão de Carathéodory. A classe de problemas que vamos

considerar inclui problemas do tipo cˆoncavo-convexo, i.e., problemas do tipo 





−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ.

(1.2)

onde 0 < q < 1 < p, λ > 0 e as fun¸cões a(x), b(x) ∈ C1(Ω). Como poderemos obser-var nas proposi¸cões seguintes, a existência de solu¸cões positivas do problema (1.2) está relacionada com o sinal das fun¸cões a e b.

Proposi¸cão 1.1.1. Consideremos a, b ∈ C1(Ω) e λ > 0. Se a(x), b(x) ≤ 0, então o problema (1.2) não tem solu¸cão.

Demonstra¸cão. Suponhamos que u é solu¸cão positiva do problema (1.2), então multipli-cando a equa¸cão por u e integrando em Ω, obtemos

0 ≤ Z Ω |∇u|2_{dx =} Z Ω λa(x)uq+1+ b(x)up+1dx ≤ 0, logo u ≡ 0.

(20)

No artigo de Brézis e Oswald [10], é provada a existência e a unicidade de solu¸cão para problemas tais que a fun¸cão s 7→ f (x, s)/s é decrescente em [0, ∞) (ver Teorema A.14).

Proposi¸cão 1.1.2. Consideremos a, b ∈ C1(Ω) e λ > 0. Se a(x) ≥ 0 e b(x) ≤ 0, então o problema (1.2) admite uma única solu¸cão.

Demonstra¸cão. Como a(x) ≥ 0 e b(x) ≤ 0 e 0 < q < 1 < p, então a fun¸cão s 7→λa(x)s

q_{+ b(x)s}p

s ´e decrescente em R+. Al´em disso,

λa(x)sq+ b(x)sp ≤ λkak∞sq,

para todo s > 0. Como q < 1, existe uma constante C > 0 tal que para todo s > 0 e p.q.t. x ∈ Ω, λa(x)sq+ b(x)sp ≤ C(s + 1). Temos ainda,

lim s→0 λa(x)sq_{+ b(x)s}p s = ∞ e s→∞lim λa(x)sq_{+ b(x)s}p s = −∞. Logo, pelo Teorema A.14, o problema (1.2) admite uma ´unica solu¸c˜ao.

Como iremos ver à frente (ver Corolários 1.3.17 e 1.4.10), se a fun¸cão a(x) ≥ 0, em Ω e a fun¸cão b é positiva num conjunto de medida positiva, mas com possibilidade de mudar de sinal, então para λ > 0 suficientemente pequeno o problema (1.2) tem, pelo menos, duas solu¸cões se 1 0 suficientemente pequeno (ver Corolário 1.2.6).

Vamos ainda considerar os problemas como o que se segue:    −∆u = λc(x)(u + 1)p _{em Ω,} u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ, (1.3)

com p > 1 e a fun¸c˜ao c ∈ L∞(Ω), c(x) ≥ 0 em Ω. Este problema foi introduzido por Br´ezis e Nirenberg em [8], com c ≡ 1 em Ω.

As seçcões seguintes são baseadas nos artigos [15] e [16].

1.2 Crescimento sobrelinear arbitr´

ario

Primeira solu¸c˜ao positiva

Nesta seçcão iremos provar, a existência de, pelo menos, uma solu¸cão para o problema (1.1)λ para λ > 0 suficientemente pequeno, pelo Método de sub e sobresolu¸cões fracas

(cf. Teorema 1.1). O método consiste em encontrar u, u ∈ H₀1(Ω), respetivamente, subsolu¸cão e sobresolu¸cão fracas do problema (1.1)λ tais que u ≤ u. Desta forma existe

(21)

uma solu¸c˜ao fraca u ∈ H₀1(Ω) do problema (1.1)λ tal que u ≤ u ≤ u (cf. Teorema

A.3). Iremos ainda provar um resultado de não existência de solu¸cão positiva para λ suficientemente grande (cf. Teorema 1.2).

Sabemos que, u ∈ H₀1(Ω) é solu¸cão fraca do problema (1.1)λ se, e só se, é um ponto

cr´ıtico do funcional associado Jλ : H01(Ω) → R, definido por,

Jλ(u) := 1 2kuk 2₋ Z Ω Fλ(x, u) dx, onde Fλ ´e a primitiva de fλ Fλ(x, s) := Z s 0 fλ(x, t) dt.

Assim, u é solu¸cão fraca do problema (1.1)λ se, e só se, para todo ϕ ∈ H01(Ω)

J_λ0(u)ϕ := Z Ω ∇u · ∇ϕ dx − Z Ω fλ(x, u)ϕ dx = 0.

Seja fλ: Ω × R+→ R e consideremos as seguintes hip´oteses.

(M ) Se λ < λ, ent˜ao

fλ(x, s) ≤ fλ(x, s),

para todo s ≥ 0, p.q.t. x ∈ Ω.

(H0) Para cada λ, s0 > 0, existe uma constante B > 0 tal que

fλ(x, s) ≥ −Bs,

para todo s ∈ [0, s0] e p.q.t. x ∈ Ω.

(H1) Para cada λ, s0 > 0, existe uma constante A > 0 tal que

|f_λ(x, s)| ≤ A, para todo s ∈ [0, s0] e p.q.t. x ∈ Ω.

(H2) Existem λ0> 0 e uma fun¸c˜ao n˜ao decrescente h : R+→ R com

inf{h(s)/s : s > 0} < 1/kξk∞,

tais que

fλ0(x, s) ≤ h(s),

para todo s ≥ 0 e p.q.t. x ∈ Ω, onde ξ ´e a solu¸c˜ao do problema

−∆ξ = 1 em Ω, ξ = 0 sobre Γ.

(22)

(H3) Para cada λ > 0, existem um subdom´ınio Ω1⊂ Ω n˜ao vazio e regular, θ1> λ1(Ω1)

e s1 > 0 tais que

fλ(x, s) ≥ θ1s,

para todo s ∈ [0, s1] e p.q.t. x ∈ Ω1, onde λ1(Ω1) ´e o primeiro valor pr´oprio de −∆

em H₀1(Ω1).

Observa¸cão 1.2.1. A monotonia das fun¸cões fλ em rela¸cão ao parâmetro λ (hipótese

(M )) garante a existˆencia de uma solu¸c˜ao do problema (1.1)λ, para todo λ

suficien-temente pequeno. Caso a hipótese não seja assumida ainda é poss´ıvel encontrar uma solu¸cão para o problema (1.1)λ0 com λ0 dado pela hipótese (H2).

Observa¸c˜ao 1.2.2. A hip´otese (H0) implica que fλ(x, 0) ≥ 0. Pelo prolongamento de

fλ(x, s) a s < 0, pondo fλ(x, s) = fλ(x, 0), p.q.t. x ∈ Ω, temos fλ(x, s) ≥ 0 para todo

s ≤ 0, p.q.t. x ∈ Ω. Desta forma, consideremos sempre este prolongamento de fλ a

Ω × R.

Lema 1.2.3. Se u é uma solu¸cão clássica não trivial do problema

−∆u = f_λ(x, u) em Ω,

u = 0 sobre Γ. (1.4)

e a hipótese (H0) é satisfeita, então u é solu¸cão do problema (1.1)λ.

Demonstra¸c˜ao. Multiplicando a equa¸c˜ao do problema (1.4) por −u−e integrando em Ω, temos 0 ≤ Z Ω |∇u−|2 dx = Z Ω −∆u(−u−) dx = Z Ω fλ(x, u)(−u−) dx = − Z Ω fλ(x, −u−)u−dx = − Z Ω fλ(x, 0)u−dx ≤ 0

logo, u−≡ 0. Pela hip´otese (H0), existe uma constante B > 0 tal que

−∆u = fλ(x, u) ≥ −Bu,

p.q.t. x ∈ Ω. Logo, pelo Princ´ıpio M´aximo Forte A.6, u > 0 em Ω.

Observa¸cão 1.2.4. As hipóteses (H2) e (H3) garantem, respetivamente, a existência de

uma sobresolu¸cão e de uma subsolu¸cão do problema (1.1)λ. Juntamente com a hipótese

(H1), satisfazem as condi¸cões do Teorema A.3 (ver a Seçcão A.2).

Observa¸cão 1.2.5. A hipótese (H3) é uma condi¸cão de sublinearidade ’local’ na origem

da fun¸c˜ao fλ. Caso se verifique seguinte condi¸c˜ao

lim

s→0+

f (x, s)

s = +∞, uniformemente para x ∈ Ω1, então a hipótese (H3) também é satisfeita.

(23)

Teorema 1.1. Se as hipóteses (M ), (H0), (H1), (H2) e (H3), são satisfeitas, então

existe uma constante Λ ∈ (0, ∞] tal que para todo λ ∈ (0, Λ) o problema (1.1)λ tem, pelo

menos, uma solu¸c˜ao, w, com Jλ(w) < 0.

Demonstra¸cão do Teorema 1.1. 1) Vamos provar a existência de uma solu¸cão fraca para o problema (1.1)λ0, onde λ0 é dado pela hipótese (H2), pelo método de sub e

sobre-solu¸c˜oes fracas.

Sobresolu¸cão. Sejam λ0> 0 e a fun¸cão h dados pela hipótese (H2) e ξ ∈ H2(Ω) ∩

L∞(Ω) ´e a solu¸c˜ao do problema

−∆ξ = 1 em Ω, ξ = 0 sobre Γ. Pela hip´otese (H2) temos fλ0(x, s) ≤ h(s) para todo s ≥ 0 e

inf{h(s)/s : s > 0} < 1/kξk∞,

donde existe um M > 0 tal que

h(M kξk∞)/(M kξk∞) ≤ 1/kξk∞,

ou seja

h(M kξk∞) ≤ M.

Como a fun¸cao h ´e n˜ao decrescente temos

h(M kξk∞) ≥ h(M ξ),

logo, pela hip´otese (H2)

−∆(M ξ) = M ≥ h(M ξ) ≥ fλ0(x, M ξ).

Portanto, M ξ ´e sobresolu¸c˜ao do problema (1.1)λ0.

Subsolu¸cão. Seja ϕ1a fun¸cão própria de −∆ em H01(Ω1), associada ao valor próprio

λ1(Ω1), onde Ω1 ´e dado em (H3). Sabemos que ϕ1 ∈ H2(Ω1) ∩ L∞(Ω1). Denotemos,

ainda por ϕ1 o prolongamento de ϕ1 por 0 a Ω\Ω1. Seja ϕε = εϕ1 para ε > 0. Para

todo v ∈ C₀∞(Ω), v ≥ 0, temos − Z Ω ∆ϕεv dx = Z Ω ∇ϕ_ε· ∇v dx = Z Ω1 ∇ϕ_ε· ∇v dx 1₌ Z ∂Ω1 ∂ϕε ∂ν v dx − Z Ω1 ∆(ϕε)v dx = Z ∂Ω1 ∂ϕε ∂ν v dx + λ1(Ω1) Z Ω1 ϕεv dx ≤ λ1(Ω1) Z Ω1 ϕεv dx,

(24)

porque ∂ϕε

∂ν ≤ 0 e v ≥ 0. Pela hip´otese (H3) temos, para todo ε ≤ s1/kϕ1k,

λ1(Ω1) Z Ω1 ϕεv dx ≤ Z Ω1 fλ0(x, ϕε)v dx ≤ Z Ω fλ0(x, ϕε)v dx,

observemos que ϕε ≡ 0 em Ω\Ω1. Portanto, para ε ≤ s1/kϕ1k∞,

− Z Ω ∆ϕεv dx ≤ Z Ω fλ0(x, ϕε)v dx.

donde conclu´ımos que ϕε´e subsolu¸c˜ao fraca do problema (1.1)λ0.

Se tomarmos ε > 0 suficientemente pequeno, tal que ϕε≤ M ξ em Ω, pelo Teorema

A.3, garantimos a existˆencia de uma solu¸c˜ao fraca w para o problema (1.1)λ0 tal que (cf.

demonstra¸c˜ao do Teorema A.3)

Jλ0(w) = min{Jλ0(u) : ϕε≤ u ≤ M ξ, u ∈ H

1 0(Ω)}.

2) Consideremos

Λ := sup{λ > 0 : (1.1)λ tem uma solu¸c˜ao}.

Seja λ < Λ tal que o problema (1.1)_λ tem uma solu¸cão u. Queremos ver que para cada λ < λ o problema (1.1)λ tem uma solu¸cão w tal que Jλ(w) < 0. Pela hipótese (M ),

f_λ(x, u) ≥ fλ(x, u) donde

−∆u ≥ fλ(x, u),

logo u ´e uma sobresolu¸c˜ao do problema (1.1)λ. Pelo argumento acima existe ε > 0

suficientemente pequeno tal que ϕε ´e subsolu¸c˜ao fraca do problema (1.1)λ e ϕε < u.

Novamente pelo Teorema A.3, existe uma solu¸c˜ao fraca, w, do problema (1.1)λ tal que

Jλ(w) = min{Jλ(u) : ϕε≤ u ≤ u, u ∈ H01(Ω)}. (1.5)

Para concluirmos a demonstra¸c˜ao basta provar que Jλ(w) < 0. Seja ε tal que

ε ≤ s1/kϕ1k, pela hip´otese (H3) temos

J (ϕε) = 1 2kϕεk 2₋ Z Ω Fλ(x, ϕε) dx ≤ 1 2kϕεk 2₋ θ1 2 Z Ω ϕ2_ε dx 2 _{= (λ} 1− θ) ε2 2 Z Ω1 ϕ2₁ dx < 0.

donde conclu´ımos que Jλ(w) < 0.

2_{Observemos que kϕ} 1k2= λ1(Ω1) R Ω1ϕ 2 1dx

(25)

Corol´ario 1.2.6. Consideremos o problema (1.2) 





−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ,

com 0 ≤ q < 1 < p e as fun¸c˜oes a, b ∈ L∞(Ω). Suponhamos: (i) a(x) ≥ 0, p.q.t. x ∈ Ω,

(ii) existem uma bola B1⊂ Ω e ε1 > 0 tais que a(x) ≥ ε1 p.q.t. x ∈ B1.

Ent˜ao existe uma constante Λ ∈ (0, ∞] tal que para todo λ ∈ (0, Λ) o problema (1.2) tem, pelo menos, uma solu¸c˜ao w tal que Jλ(w) < 0.

Demonstra¸cão. De forma a aplicar o Teorema 1.1 é suficiente verificar as hipóteses (M ), (H0), (H1), (H2), (H3). Consideremos s0 > 0, então pela hipótese (i), temos:

• se λ < λ, ent˜ao λa(x)sq+ b(x)sp< λa(x)sq+ b(x)sp, para todo s ≥ 0, p.q.t. x ∈ Ω; • λa(x)

s1−q + b(x)s

p−1_{≥ −kbk}

∞sp−1₀ , para s ∈ [0, s0], p.q.t. x ∈ Ω;

• λa(x)sq+ b(x)sp≤ λkak∞s0q+ kbk∞sp0, para s ∈ [0, s0], p.q.t. x ∈ Ω;

o que implica as hipóteses (M ), (H0), (H1). A hipótese (H2) é verificada considerando

a fun¸c˜ao h(s) = λkak∞sq+ kbk∞sp, para todo λ suficientemente pequeno (ver o lema

seguinte). Pela hip´otese (ii), temos3 lim s→0+ λa(x) s1−q + b(x)s p−1_{≥ lim} s→0+ λ ε1 s1−q + b(x)s p−1_{= ∞,}

p.q.t. x ∈ B1, o que garante a hip´otese (H3).

Lema 1.2.7. Considerando h(s) = λkak∞sq+ kbk∞sp, ent˜ao para λ suficientemente

pequeno inf{h(s)/s : s > 0} < 1/kξk∞.

Demonstra¸c˜ao. Vamos ver que existe uma constante M > 0 tal que para λ suficiente-mente pequeno, 1/kξk∞>

h(M kξk∞)

M kξk∞

, i.e.,

M > h(M kξk∞) = λkak∞(M kξk∞)q+ kbk∞(M kξk∞)p.

Consideremos A = kak∞, B = kbk∞, C = kξk∞ e a fun¸c˜ao

h(s) = s − B(sC)p.

Temos h0(s) = 1 − pBC(sC)p−1, donde observamos que h atinge um m´aximo positivo em M := 1 C(BpC)1/(p−1). O resultado segue se λ < h(M ) A(M C)q = M − B(M C)p A(M C)q . 3_{Ver Observa¸}_c˜_{ao 1.2.5.}

(26)

Observa¸c˜ao 1.2.8. Observemos que Λ, dado pelo Teorema 1.1, pode ser igual a ∞. Por exemplo, se para cada λ > 0 existir uma constante Mλ > 0 tal que fλ(x, Mλ) < 0,

p.q.t. x ∈ Ω, então a constante Mλ é uma sobresolu¸cão do problema (1.1)λ. Tomando

ε > 0 suficientemente pequeno a fun¸cão ϕεé uma subsolu¸cão do problema (1.1)λ tal que

ϕε ≤ Mλ em Ω.

Além disso, pela defini¸cão de Λ, caso Λ 6= ∞ e λ > Λ, o problema (1.1)λ não tem

solu¸c˜ao.

Exemplo 1.2.9. Se considerarmos o problema (1.2), com b ≡ −1, ent˜ao para cada λ > 0 existe uma constante Mλ> (λkak∞)1/(p−q) tal que

fλ(x, Mλ) = λa(x)M_λq− M_λp < 0, p.q.t. x ∈ Ω,

logo −∆Mλ = 0 > fλ(x, Mλ), p.q.t. x ∈ Ω. Portanto o problema (1.2) tem uma solu¸c˜ao

para cada λ > 0.

Observa¸c˜ao 1.2.10. Relativamente ao problema (1.2), pelo Lema 1.2.7 temos que inf{h(s)/s : s > 0} < 1/kξk∞, para todo λ suficientemente pequeno, o que satisfaz

a hip´otese (H2) para todo o λ suficientemente pequeno. Desta forma, conseguimos

pro-var a existência de uma solu¸cão u ≥6≡ 0, para todo o λ suficientemente pequeno, sem pedir que a(x) ≥ 0 em todo Ω, ou seja, a fun¸cão a pode assumir valores negativos.

No artigo [15] é provado um resultado um pouco mais geral que o Corolário 1.2.6, onde é considerado o seguinte problema

   −∆u = f (x, u) em Ω, u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ. (1.6)

onde a fun¸c˜ao f satisfaz as seguintes hip´oteses: (H0) f (x, 0) ≥ 0, p.q.t. x ∈ Ω.

(H1) Existem 0 ≤ q < 1 < p e a, b ∈ L∞(Ω) tais que f (x, s) ≤ a(x)sq+ b(x)sp, para todo s ≥ 0, p.q.t. x ∈ Ω.

(H2) Existem um subdom´ınio Ω1 ⊂ Ω n˜ao vazio e regular, θ1 > λ1(Ω1) e s1 > 0 tais

que

f (x, s) ≥ θ1s

para todo s1 ∈ [0, s1], p.q.t. x ∈ Ω1, onde λ1(Ω1) ´e o primeiro valor pr´oprio de

−∆ em H1 0(Ω1).

(27)

Proposi¸cão 1.2.12. Se o problema (1.6) satisfaz as hipóteses (H0), (H1) e (H2), então existe uma constante δ = δ(p, q, Ω, b) > 0 tal que, se kak∞ ≤ δ, o problema (1.6) tem,

pelo menos, uma solu¸c˜ao w, tal que J (w) < 0, onde J ´e o funcional associado.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão segue o mesmo método utilizado na primeira parte do Teorema 1.1, onde a contante δ pode ser encontrada pelo Lema 1.2.7

Consideremos o seguinte resultado de não existência de solu¸cão, relativo ao problema (1.1)λ.

Teorema 1.2. Se as hipóteses (M ), (H0), (H1), (H2) e (H3) são satisfeitas e, além

disso existem

• uma fun¸c˜ao k tal que lim

λ→∞k(λ) = ∞,

• um subdom´ınio ˜Ω não vazio e regular de Ω e uma fun¸cão ˜m ∈ L∞( ˜Ω) não nula, com ˜m ≥ 0 em ˜Ω,

tais que

fλ(x, s) ≥ k(λ) ˜m(x)s, (1.7)

para todo λ > 0, s ≥ 0 e p.q.t. x ∈ ˜Ω. Então Λ < ∞, i.e., para λ suficientemente grande o problema (1.1)λ não tem solu¸cão.

Demonstra¸c˜ao. Seja λ > 0 tal que o problema (1.1)λ tem uma solu¸c˜ao. Vamos provar

que

k(λ) ≤ λ1( ˜m, ˜Ω),

onde λ1( ˜m, ˜Ω) é o primeiro valor próprio de −∆ em H01( ˜Ω), com peso ˜m. Seja ϕ1a fun¸cão

pr´opria positiva associada a λ1( ˜m, ˜Ω) prolongada por 0 a Ω\ ˜Ω. Seja u uma solu¸c˜ao do

problema (1.1)λ, ent˜ao u > 0 em ˜Ω. Assim, temos

Z Ω ∇u · ∇ϕ₁dx = − Z Ω ∆u ϕ1 dx = Z ˜ Ω fλ(x, u)ϕ1 dx e por (1.7) vem Z ˜ Ω fλ(x, u)ϕ1 dx ≥ k(λ) Z ˜ Ω ˜ m(x)uϕ1 dx.

Analisemos dois casos. 1o caso: ˜Ω 6= Ω. Como ϕ ∈ C1( ˜Ω ∪ ∂ ˜Ω) ∩ H2( ˜Ω), e ∂ϕ_∂ν ≤ 0 sobre ∂ ˜Ω, pelo Lema A.8.1,

Z ˜ Ω ∇u · ∇ϕ₁ dx = Z ∂ ˜Ω u∂ϕ1 ∂ν dx − Z ˜ Ω u∆ϕ1 dx ≤ λ₁( ˜m, ˜Ω) Z ˜ Ω ˜ m(x)uϕ1 dx.

(28)

Portanto, k(λ) Z ˜ Ω ˜ m(x)uϕ1dx ≤ Z ˜ Ω ∇u · ∇ϕ1dx ≤ λ1( ˜m, ˜Ω) Z ˜ Ω ˜ m(x)uϕ1 dx.

Como ˜m(x)uϕ1> 0, vem

k(λ) ≤ λ1( ˜m, ˜Ω).

2o caso: ˜Ω = Ω. Neste caso temos k(λ) Z ˜ Ω ˜ m(x)uϕ1 dx ≤ Z ˜ Ω fλ(x, u)ϕ1 dx = − Z ˜ Ω ∆uϕ1 dx = − Z ˜ Ω u∆ϕ1 dx = λ1( ˜m, ˜Ω) Z ˜ Ω ˜ m(x)uϕ1 dx, ou seja k(λ) ≤ λ1( ˜m, ˜Ω), porque ˜m(x)uϕ1> 0.

Por hip´otese k(λ) → ∞, quando λ → ∞, ent˜ao existe λ suficientemente grande tal que

k(λ) > λ1( ˜m, ˜Ω),

pelo que o problema respetivo (1.1)λ n˜ao tem solu¸c˜ao.





−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ,

com 0 ≤ q < 1 < p e as fun¸cões a, b ∈ L∞(Ω). Em adi¸cão às hipóteses (i) e (ii) do Corolário 1.2.6 suponhamos ainda que

(iii) existe uma bola B0 tal que b(x) ≥ 0, p.q.t. x ∈ B0 e a(x)b(x) 6≡ 0 para todo x ∈ B0.

Ent˜ao Λ < ∞.

Para a demonstra¸c˜ao do resultado anterior vamos ainda precisar do lema que se segue.

Lema 1.2.14. Sejam A, B ≥ 0 e 0 ≤ q < 1 < p. Ent˜ao existe uma constante C = C(p, q) > 0 tal que

Asq+ Bsp ≥ CAp−1p−q_B 1−q p−q_s

(29)

Demonstra¸cão. Sejam Q = p−1_p−q, P = 1−q_p−q, α = qQ, β = pP > 0. Assim, α + β = qp − 1 p − q+ p 1 − q p − q = qp − q + p − pq p − q = 1. Então pela desigualdade de Young (Proposi¸cão A.8.2) temos

AQBPs = AQsαBPsβ ≤ QAsα/Q+ P Bsβ/P. Temos,

• Q + P = p−1_p−q+ 1−q_p−q = 1 (hip´otese da desigualdade de Young); • q = α/Q, p = β/P =⇒ α = qQ = qp−1_p−q, β = pP = p1−q_p−q;

Portanto, AQ_BP_{s ≤ QAs}q _{+ P Bs}p _{≤ max{P, Q}(As}q _{+ Bs}p_{), e definindo C}−1 ₌

max{P, Q}, obtemos o resultado.

Demonstra¸cão do Corolário 1.2.13. Considerando o subdom´ınio ˜Ω = B0 e a fun¸cão

˜

m(x) = a(x)p−1p−q_b(x) 1−q

p−q_{, ent˜}_{ao, pelo Lema 1.2.14, existe uma constante C = C(p, q) > 0}

tal que λa(x)sq+ b(x)sp≥ C λa(x)p−1_p−q b(x) 1−q p−q_{s = Cλ} p−1 p−q_m(x)s,_˜

para todo λ > 0, s ≥ 0 e p.q.t. x ∈ B2. Assim tomando k(λ) = Cλ

p−1

p−q _{o resultado segue}

pelo Teorema 1.2.

Corol´ario 1.2.15. Consideremos o problema (1.3)    −∆u = λc(x)(u + 1)p _{em Ω,} u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ,

com p > 1 e a fun¸c˜ao c ∈ L∞(Ω), c(x) ≥ 0 em Ω e c(x) ≥ ε0 > 0 numa bola B0 ⊂ Ω.

Então existe uma constante Λ ∈ (0, ∞) tal que para todo λ ∈ (0, Λ) o problema (1.3) tem, pelo menos, uma solu¸cão w tal que Jλ(w) < 0. Caso λ > Λ o problema (1.3) não

tem solu¸c˜ao.

Demonstra¸cão. De forma a aplicar o Teorema 1.1 é suficiente verificar as hipóteses (M ), (H0), (H1), (H2), (H3). Consideremos s0 > 0, então

• se λ < λ, ent˜ao λc(x)(s + 1)p≤ λc(x)(s + 1)p, para todo s ≥ 0, p.q.t. x ∈ Ω; • λc(x)(s + 1)p ≥ 0 ≥ −Bs, para s ∈ [0, s0], p.q.t. x ∈ Ω;

(30)

logo as hipóteses (M ), (H0), (H1) são satisfeitas. Consideremos a fun¸cão

h(s) = λkck∞(s + 1)p,

da mesma forma que o Lema 1.2.7, a fun¸c˜ao h = s − λkck∞(skξk∞+ 1)p atinge um

m´aximo positivo, se 1 λpkck∞kξk∞ 1 p−1 − 1 > 0 ou seja, se λ < 1 pkck∞kξk∞

, a hipótese (H2) é satisfeita. Pela Observa¸cão 1.2.5, a

hip´otese (H3) ´e verificada na bola B0

lim s→0+λ c(x)(s + 1)p s ≥ lims→0+λ ε0(s + 1)p s = ∞,

p.q.t. x ∈ B0. Por fim, obviamente as hip´oteses do Teorema 1.2 s˜ao verificadas, porque

λc(x)(s + 1)p ≥ λc(x)s, logo, Λ < ∞.

1.3 Crescimento sobrelinear subcr´ıtico

Segunda solu¸c˜ao positiva

Nesta seçcão iremos provar resultados de existência de solu¸cão positiva para o problema (1.1)λ    −∆u = f_λ(x, u) em Ω, u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ,

quando a fun¸c˜ao fλ tem um crescimento sobrelinear subcr´ıtico i.e., existem constantes

d1, d2 > 0 e σ ∈ [1, 2∗), tais que

|fλ(x, s)| ≤ d1+ d2|s|σ−1,

onde 2∗ = _{N −2}2N é o expoente cr´ıtico de Sobolev, com N ≥ 3. No Teorema 1.3, será provado a existência de, pelo menos, uma solu¸cão positiva, quando λ = Λ. Pelo Teorema da Passagem da Montanha (ver Seçcão A.1) iremos provar a existência de uma segunda solu¸cão positiva para o problema (1.1)λ, para todo λ ∈ (0, Λ) (cf. Teorema 1.4).

Consideremos as seguintes hip´oteses.

(H4) Para cada λ > 0, existem d1, d2 > 0 e σ ∈ [1, 2∗) tais que

|f_λ(x, s)| ≤ d1+ d2|s|σ−1,

(31)

(H5) Para cada λ > 0, existem d, s0 ≥ 0, θ > 2 e ρ ∈ [1, 2) tais que

θFλ(x, s) ≤ sfλ(x, s) + dsρ

para todo s ∈ [s0, ∞) e p.q.t. x ∈ Ω.

Observa¸cão 1.3.1. A hipótese (H4) é uma condi¸cão de crescimento sobre fλ, garante

que o funcional Jλ está bem definido e, além disso, também garante que uma solu¸cão

fraca u ∈ H₀1(Ω) do problema (1.1)λ pertence ao espa¸co W2,r(Ω) para todo r ∈ [1, ∞) e

consequentemente u ∈ C1(Ω) (ver Bootstrap, na sec¸c˜ao A.7).

Observa¸cão 1.3.2. A hipótese (H5) é motivada pela condi¸cão de superquadracidade de

Ambrosetti-Rabinowitz [4]. Juntamente com a hip´otese (H4), garantem a condi¸c˜ao de

Palais-Smale, (ver Sec¸c˜ao A.1).

Teorema 1.3. Para al´em das hip´oteses (M ), (H0), (H1), (H2) e (H3) suponhamos que,

para um intervalo [t0, t1] ⊂ (0, Λ) as hip´oteses (H4) e (H5) s˜ao satisfeitas uniformemente

para cada λ ∈ [t1, t2] e para σ ∈ [1, 2∗]. Ent˜ao o problema (1.1)Λ tem, pelo menos, uma

solu¸c˜ao, w, com JΛ(w) ≤ 0.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos uma sucess˜ao crescente {λj} tal que λj → Λ e seja wj

uma solu¸c˜ao do problema (1.1)λj com Jj(wj) < 0

4 _{(cf. Teorema 1.1). Ent˜}_ao 1 2kwjk 2 _< Z Ω Fj(x, wj) dx.

Sejam d, s0 ≥ 0, θ > 2, ρ ∈ [1, 2) dados pela hip´otese (H5). Vamos ver que a sucess˜ao

{wj} ´e limitada em H01(Ω). Pela hip´otese (H5)

θ Z Ω Fj(x, wj) dx ≤ Z {wj≥s0} wjfj(x, wj) + dwρ_j dx + Z {wj<s0} Fj(x, wj) dx

para cada λj. Al´em disso,

Z Ω wjfj(x, wj) dx = kwjk2 e Z Ω dwρ_j dx = dkwjkρρ, logo θ 2 − 1 kw_jk2< dkwjkρρ+ C1≤ Ckwjkρ+ C1,

para C, C1 ∈ R. Como (θ₂ − 1) > 0 e ρ < 2 conclu´ımos que a sucess˜ao ´e limitada. Por

bootstrap5 temos wj → w em H01(Ω) ∩ C(Ω). Portanto, w ´e solu¸c˜ao do problema

   −∆u = f_Λ(x, u) em Ω, u ≥ 0 em Ω, u = 0 sobre Γ. 4

De modo a simplificar a nota¸c˜ao escrevemos Jλj = Jj, Fλj = Fje fλj = fj

5_{A hip´}_{otese (H}

(32)

e JΛ(w) ≤ 0. Suponhamos, com vista um absurdo, que w ≡ 0. Consideremos s1 > 0 e

Ω1 dados pela hip´otese (H3) referente a λ1, o primeiro elemento da sucess˜ao {λj}. Seja

λ1(Ω1) o valor próprio de −∆ em H01(Ω1) associado à primeira fun¸cão própria positiva

ϕ1, prolongada por 0 a Ω\Ω1. Pela hip´otese (M ), temos, para todo j > 1,

Z Ω ∇w_j· ∇ϕ₁ dx = − Z Ω1 ∆(wj)ϕ1 dx = Z Ω1 fj(x, wj)ϕ1dx ≥ Z Ω1 f1(x, wj)ϕ1dx,

donde para j suficientemente grande tal que 0 ≤ wj(x) ≤ s1, o que ´e poss´ıvel porque

wj → 0 uniformemente em Ω, Z Ω1 f1(x, wj)ϕ1 dx ≥ θ1 Z Ω1 wjϕ1dx.

Por outro lado, pelo Lema A.8.1 Z Ω1 ∇wj· ∇ϕ1 dx = Z ∂Ω1 wj ∂ϕ1 ∂ν dx − Z Ω1 wj∆ϕ1 dx ≤ λ1(Ω1) Z Ω1 wjϕ1 dx. Portanto λ1(Ω1) Z Ω1 wjϕ1 dx ≥ θ1 Z Ω1 wjϕ1 dx

o que ´e absurdo porque θ1> λ1(Ω1) e wjϕ1 > 0 em Ω1.





−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ,

com 0 ≤ q < 1 < p e as fun¸cões a, b ∈ L∞(Ω). Em adi¸cão as hipóteses (i), (ii) e (iii) do Corolário 1.2.13 suponhamos que p ≤ 2∗− 1. Então para λ = Λ o problema (1.2) tem, pelo menos, uma solu¸cão w, com JΛ(w) ≤ 0.

Demonstra¸cão. Consideremos o intervalo [t0, t1] ⊂ (0, Λ), então a hipótese (H5) é

satis-feita tomando θ = p + 1, ρ = q + 1, d = t1(_q+1θ − 1)kak∞. A verifica¸c˜ao da hip´otese (H4)

´e trivial, onde pelo Teorema 1.3 obtemos o resultado. Corol´ario 1.3.4. Consideremos o problema (1.3)

   −∆u = λc(x)(u + 1)p _{em Ω,} u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ,

com 1 0 numa bola B0 ⊂ Ω. Se

p ≤ 2∗− 1, ent˜ao para λ = Λ o problema (1.3) tem, pelo menos, uma solu¸c˜ao w, com JΛ(w) ≤ 0.

(33)

Demonstra¸c˜ao. Observemos que se θ ∈ (2, p + 1), ent˜ao θFλ(x, s) − sfλ(x, s) ≤ θ p + 1λc(x)(s + 1) p+1_{− λc(x)(s + 1)}p_{(s + 1 − 1)} = λc(x)(s + 1)p θ p + 1 − 1 (s + 1) + 1 ≤ 0

para s suficientemente grande, desta forma, a hip´otese (H5) ´e verificada tomando d = 0.

A verifica¸cão da hipótese (H4) é trivial, logo, pelo Teorema 1.3, obtemos o resultado.

Consideremos as seguintes hip´oteses: (M )0 Dados λ, λ > 0 tais que λ < λ,

fλ(x, u) ≤6≡ fλ0(x, u).

(H0)0 Para cada λ > 0 e para cada s0 > 0 existe B ≥ 0 tal que a fun¸c˜ao

s 7→ fλ(x, s) + Bs

´

e n˜ao decrescente para s ∈ [0, s0] e p.q.t. x ∈ Ω. Al´em disso, fλ(x, 0) ≥ 0,

p.q.t. x ∈ Ω.

(H6) Para cada λ > 0, existem um subdom´ınio Ω2 ⊂ Ω n˜ao vazio e regular e θ2, s2 > 0

tais que

Fλ(x, s) ≥ θ2s2,

para todo s ∈ [s2, ∞) e p.q.t. x ∈ Ω2.

Observa¸cão 1.3.5. As hipóteses (M )0 e (H0)0 são hipóteses mais fortes que as hipóteses

(M ) e (H0), respetivamente.

Lema 1.3.6. Seja Ω2 um subdom´ınio de Ω. Se fλ satisfaz a seguinte a condi¸c˜ao de

sobrelinearidade ’local’ no infinito em Ω2,

lim

s→∞

f (x, s)

s = +∞, uniformemente para x ∈ Ω2, então a hipótese (H6) é satisfeita.

Demonstra¸c˜ao. Temos

lim s→∞ Fλ(x, s) s2 = lim_s→∞ fλ(x, s) 2s = ∞,

(34)

Teorema 1.4. Consideremos a constante Λ dada pelo Teorema 1.1. Suponhamos que as hipóteses (M )0, (H0)0, (H1),· · · , (H6) são satisfeitas. Se λ < Λ, então o problema

(1.1)λ tem, pelo menos, duas solu¸c˜oes, w e v, tais que w < v em Ω, ∂w/∂ν > ∂v/∂ν

sobre Γ e Jλ(w) < 0.

Fixemos λ ∈ (0, Λ) e denotemos por w0 a solu¸c˜ao positiva do problema (1.1)λ dada

pelo Teorema 1.1. Vamos procurar uma segunda solu¸cão para o mesmo problema da forma v = w0+ u com u > 0, i.e., queremos então encontrar uma solu¸cão do problema

   −∆u = gλ(x, u) em Ω, u 6≡ 0 em Ω, u = 0 sobre Γ. (1.8) onde gλ(x, s) = fλ(x, w0+ s+) − fλ(x, w0).

Lema 1.3.7. Seja u solu¸cão do problema (1.8), então v = w0+ u é solu¸cão do problema

inicial (1.1)λ.

Demonstra¸c˜ao. Multiplicando gλ(x, u) por −u− e integrando em Ω obtemos

Z Ω gλ(x, u)(−u−) dx = Z Ω fλ(x, w0+ u+) − fλ(x, w0) (−u−) dx = 0, donde, pelo problema (1.8),

0 ≤ ku−k2 ₌

Z

Ω

gλ(x, u)(−u−) dx = 0,

logo u ≥ 0. Além disso, pelo Princ´ıpio Máximo forte, u > 0 em Ω e ∂v/∂ν < 0 sobre Γ. Consequentemente, v = w0+ u é solu¸cão do problema (1.1)λ.

Com o objetivo de encontrarmos uma solu¸c˜ao do problema (1.8) consideremos o funcional associado J_λ(u) = 1 2kuk 2₋Z Ω Gλ(x, u) dx, onde Gλ(x, s) := Z s 0 gλ(x, t) dt.

Vamos ver que as hip´oteses do Teorema da Passagem da Montanha s˜ao satisfeitas para o funcional Jλ. Essencialmente, queremos ver que:

• J_λ satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale,

• existe R > 0 tal que para todo kuk < R, J_λ(0) < Jλ(u),

• existe uma fun¸c˜ao u1∈ H01(Ω) com ku1k > R tal que

(35)

O lema seguinte será utilizado ao longo da seçcão. Lema 1.3.8. Seja u ∈ H₀1(Ω), então

J_λ(u) = 1 2ku

−_k2_{+ J}

λ(w0+ u+) − Jλ(w0).

Demonstra¸c˜ao. Temos Gλ(x, s) = Z s 0 gλ(x, t) dt = Z s+ 0 fλ(x, w0+ t+) − fλ(x, w0) dt = Z w0+s+ w0 fλ(x, t) dt − fλ(x, w0)s+ = Fλ(x, w0+ s+) − Fλ(x, w0) − fλ(x, w0)s+, ent˜ao Jλ(u) = 1 2 ku+k2+ ku−k2− Z Ω Fλ(x, w0+ u+) − Fλ(x, w0) − fλ(x, w0)u+dx.

Por outro lado, como w0 ´e solu¸c˜ao do problema (1.1)λ temos

Jλ(w0+ u+) = 1 2 kw₀k2_{+ ku}+_k2₋ Z Ω Fλ(x, w0+ u+) − ∇w0· ∇u+dx = 1 2 kw₀k2_{+ ku}+_k2₋ Z Ω Fλ(x, w0+ u+) − fλ(x, w0)u+dx. Portanto J_λ(u) − Jλ(w0+ u+) = 1 2 ku−k2− kw₀k2+ Z Ω Fλ(x, w0) dx = 1 2ku −_k2_{− J} λ(w0), ou seja J_λ(u) = 1 2ku −_k2_{+ J} λ(w0+ u+) − Jλ(w0).

Proposi¸cão 1.3.9. Se as hipóteses (H0), (H4) e (H5) são satisfeitas, então o funcional

Jλ satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale no n´ıvel c em H01(Ω), para todo o c ∈ R.6

Demonstra¸c˜ao. Consideremos c ∈ R e as constantes d, s0 > 0, θ > 2 e ρ ∈ [1, 2) dadas

pela hip´otese (H5). Consideremos a sucess˜ao {un} ⊂ H01(Ω) tal que

Jλ(un) → c, Jλ0(un) → 0.

(36)

Ent˜ao existe uma constante C ∈ R tal que Jλ(un) = 1 2kunk 2₋ Z Ω Fλ(x, un) dx ≤ C e J_λ0(un)un= kunk2− Z Ω fλ(x, un)undx ≤ εnkunk,

com εn→ 0. Ent˜ao,

θJλ(un) − Jλ0(un)un= θ 2 − 1 kunk2− Z Ω θFλ(x, un) − fλ(x, un)undx ≤ θC + εnkunk.

Queremos ver que a sucess˜ao {un} ´e limitada em H01(Ω). Observemos que se s < 0,

ent˜ao

θFλ(x, s) − fλ(x, s)s = −θ

Z 0

s

fλ(x, 0) dt − fλ(x, 0)s = (θ − 1)fλ(x, 0)s ≤ 0.

Ent˜ao, pela hip´otese (H5) temos

θ 2 − 1 ku_nk2 ≤ θC + ε_nku_nk + d Z Ω (u+_n)ρdx ≤ θC + ε_nku_nk + dku_nkρ_ρ ≤ θC + εnkunk + dSkunkρ,

onde S ´e uma constante, da inje¸c˜ao cont´ınua H₀1(Ω) ⊂ Lρ(Ω). Assim, 0 ≤ θC + εnkunk + dSkunkρ−

θ 2 − 1

kunk2.

Como, por hip´otese, ρ < 2 e θ

2 − 1 > 0 conclu´ımos que a sucessão {un} é limitada em H₀1(Ω). Então existe uma subsucessão, ainda denotada por {un}, tal que

un* u, em H01(Ω),

un→ u, em Lr(Ω), ∀ r ∈ [1, 2∗),

un→ u, p.q.t. x ∈ Ω.

Queremos ver que a subsucess˜ao converge fortemente em H₀1(Ω). Como J_λ0(un) → 0,

ent˜ao J0(un)un= kunk2− Z Ω fλ(x, un)undx → 0 (1.9) e J_λ0(un)u = Z Ω ∇un· ∇u dx − Z Ω fλ(x, un)u dx → 0. (1.10)

(37)

Consideremos as constantes d1, d2 > 0 e σ ∈ [1, 2∗), dadas pela hip´otese (H4) e o

conjugado de H¨older de σ, σ0. Ent˜ao

kf_λ(x, un)kσ 0 σ0 ≤ Z Ω (d1+ d2|un|σ−1)σ 0 dx 7 _{≤ 2}σ0₋₁Z Ω dσ₁0 + dσ₂0|u_n|σ dx < C.

Al´em disso, pela desigualdade de H¨older, temos |

Z

Ω

fλ(x, un)un− fλ(x, un)u dx| ≤ kfλ(x, un)kσ0ku_n− uk_σ → 0, (1.11)

porque kun−ukσ → 0 e kfλ(x, un)kσ0 < C. Por fim, subtraindo (1.9) por (1.10) e usando

(1.11) em conclu´ımos que

lim kunk2 = lim

Z

Ω

∇un· ∇u dx = kuk2.

Assim, lim kun− uk2 = lim ku_nk2_{− 2} Z Ω

∇u_n· ∇u dx + kuk2

= kuk2− 2kuk2_{+ kuk}2

= 0, i.e., un→ u em H01(Ω).

Corol´ario 1.3.10. Se o funcional Jλ satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale no n´ıvel

c + Jλ(w0) em H01(Ω), ent˜ao o funcional Jλ satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale no

n´ıvel c em H1 0(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Seja c ∈ R. Consideremos a sucess˜ao {un} ⊂ H01(Ω) tal que

J_λ(un) → c e Jλ0(un) → 0.

Multiplicando gλ(x, un) por −u−n e integrando em Ω temos

Z Ω gλ(x, un)(−u−n) dx = Z Ω fλ(x, w0+ u+n) − fλ(x, w0) (−u−_n) dx = 0, para todo n ∈ N, donde

J_λ0(un)(−u−n) = ku − nk2− Z Ω gλ(x, un)(−u−n) dx = ku − nk2.

(38)

Ent˜ao por hip´otese conclu´ımos que lim ku−_nk = 0 e lim Z Ω ∇u−_n · ∇ϕ dx = 0, para todo ϕ ∈ H₀1(Ω).

Consideremos a sucess˜ao {w0+ u+n} ⊂ H01(Ω). De forma a aplicarmos a Proposi¸c˜ao

1.3.9 vamos ver que

Jλ(w0+ un) → c + Jλ(w0) e Jλ0(w0+ un) → 0.

Para todo ϕ ∈ H₀1(Ω), temos J_λ0(un)ϕ = Z Ω ∇(u+_n − u−_n) · ∇ϕ dx − Z Ω fλ(x, w0+ u+n) − fλ(x, w0) ϕ dx = Z Ω ∇(w₀+ u+_n − u−_n) · ∇ϕ dx − Z Ω fλ(x, w0+ u+n)ϕ dx = J_λ0(w0+ u+n)ϕ − Z Ω ∇u−_n · ∇ϕ dx logo, lim Jλ0(un)ϕ = lim Jλ0(w0+ u+n)ϕ = 0,

para todo ϕ ∈ H₀1(Ω). Pelo Lema 1.3.8, temos para todo n ∈ N J_λ(un) = 1 2ku − nk2+ Jλ(w0+ u+n) − Jλ(w0). donde lim Jλ(w0+ u+n) = lim Jλ(un) + Jλ(w0) = c + Jλ(w0).

Assim, como pela Proposi¸c˜ao 1.3.9, o funcional Jλ satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale

no n´ıvel c + Jλ(w0), a sucess˜ao {w0+ u+n} tem uma subsucess˜ao convergente em H01(Ω),

donde conclu´ımos que o funcional Jλ satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale no n´ıvel c.

Proposi¸cão 1.3.11. Suponhamos que as hipóteses (M ), (H0)0, (H1),· · · , (H4) são

sa-tisfeitas para σ ∈ [1, 2∗]. Então a solu¸cão w0 é um minimizante local para o funcional

Jλ em H01(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Consideremos, novamente, a subsolu¸c˜ao ϕε = εϕ1 do problema (1.1)λ

tal que ϕε ≤ w0, onde ϕ1 é a primeira fun¸cão própria positiva de −∆ em H01(Ω1),

prolongada por 0 a Ω\Ω1. Pela hip´otese (H0)0, existe uma constante B ≥ 0 tal que

−∆(w₀− ϕ_ε) ≥ fλ(x, w0) − fλ(x, ϕε) ≥ −B(w0− ϕε).

Obviamente w06≡ ϕε em Ω1. Portanto, pelo Princ´ıpio M´aximo Forte 8

w0 > ϕε, em Ω1 e

∂w0

∂ν < ∂ϕε

∂ν , sobre ∂Ω1. (1.12)

(39)

Como ϕε≡ 0 em Ω\Ω1 ent˜ao as desigualdades s˜ao satisfeitas em Ω.

Sejam λ ∈ (λ, Λ) e u a respetiva solu¸cão do problema (1.1)_λ. Como λ < λ, obser-vemos que u é sobresolu¸cão do problema (1.1)λ e além disso, w0 6≡ u, caso contrário,

f_λ(x, u) ≡ fλ(x, u). Novamente pela hip´otese (H0)0, existe uma constante B ≥ 0,

possi-velmente diferente, tal que

−∆(u − w₀) ≥ fλ(x, u) − fλ(x, w0) ≥ −B(u − w0).

Portanto, pelo Princ´ıpio M´aximo Forte u > w0, em Ω e ∂u ∂ν < ∂w0 ∂ν , sobre Γ. (1.13) Por (1.12) e (1.13) temos ϕε< w0 < u, em Ω e ∂ϕε ∂ν > ∂w0 ∂ν > ∂u ∂ν, sobre Γ.

Desta forma {u ∈ H₀1(Ω) : ϕε ≤ w0 ≤ u} cont´em uma vizinha¸ca C01(Ω) de w0. Na

demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1 em (1.5) vimos que

Jλ(w0) = min{Jλ(u) : ϕε≤ u ≤ u, u ∈ H01(Ω)},

donde conclu´ımos que w0 ´e um minimizante local de Jλ em C01(Ω).

Pelo Teorema A.10, w0´e um minimizante local do funcional Jλem H01(Ω), a hip´otese

(H4) para σ ∈ [1, 2∗] ´e usada neste teorema.

Corolário 1.3.12. Se as hipóteses da proposi¸cão anterior são satisfeitas, então 0 é um minimizante local para o funcional Jλ em H01(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 1.3.8 temos Jλ(u) =

1 2ku

−_k2_{+ J}

λ(w0+ u+) − Jλ(w0).

Como w0 ´e um minimizante local de Jλ em H01(Ω), existe uma constante R > 0 tal que

para todo kuk ≤ R,

Jλ(w0+ u+) ≥ Jλ(w0), donde Jλ(u) ≥ 1 2ku −_k2_{≥ J} λ(0) = 0

i.e., 0 ´e um minimizante local de Jλ em H01(Ω).

Observa¸cão 1.3.13. Se numa vizinhan¸ca de 0 não existe um ponto cr´ıtico, v ∈ H₀1(Ω) tal que Jλ(v) = 0, então o Teorema A.15 garante a existência de uma constante R > 0

tal que

Jλ(0) < inf{Jλ(u) : u ∈ H01(Ω), kuk = R}.

Observemos que caso exista um ponto cr´ıtico, v ∈ H₀1(Ω) tal que Jλ(v) = 0, ent˜ao a

(40)

Lema 1.3.14. Suponhamos que as hipóteses (H5) e (H6) são satisfeitas, então existem

s0₃ > 0, C > 0 tais que

Fλ(x, s) ≥ Csθ

para todo s ≥ s0₃, p.q.t. x ∈ Ω2 (θ > 2 dado pela hip´otese (H5)).

Demonstra¸c˜ao. Sejam θ2, s2 > 0 e Ω2 dados pela hip´otese (H6) e d, s0 ≥ 0, θ > 2 e

ρ ∈ [1, 2) dados pela hip´otese (H5). Seja s03 ≥ max{s0, s2} + 1. Ent˜ao,

Fλ(x, s) ≥ θ2s03 2

> 0, (1.14)

para s ≥ s0₃ e p.q.t. x ∈ Ω2. Dividindo a desigualdade de (H5), i.e.,

θFλ(x, s) ≤ sfλ(x, s) + dsρ,

por sFλ(x, s)(6= 0), integrando de s03 a s e seguidamente tomando a exponencial temos,

θ Z s s0₃ 1/t dt ≤ Z s s0₃ fλ(x, t) Fλ(x, t) dt + d Z s s0₃ tρ−1 Fλ(x, t) dt ⇐⇒ exp θ logs s0₃ ≤ exp logFλ(x, s) Fλ(x, s03) exp d Z s s0₃ tρ−1 Fλ(x, t) dt ⇐⇒ F_λ(x, s0₃)s s0₃ θ exp " − d Z s s0 3 tρ−1 Fλ(x, t) dt # ≤ F_λ(x, s).

Pela hip´otese (H6) e por (1.14) temos,

• F_λ(x, s0₃) ≥ θ2s03 2 > 0, p.q.t. x ∈ Ω2, • 0 ≤ Z s s0₃ tρ−1 Fλ(x, t) dt ≤ Z s s0₃ tρ−1 θ2t2 dt = 1 θ2 Z s s0₃ 1 t3−ρ dt < C, C ∈ R, donde, 0 < exp h − d Z s s0₃ tρ−1 Fλ(x, t) dt i ≤ 1. Portanto, existe uma constante C ∈ R tal que

Fλ(x, s) ≥ Csθ,

para todo s ≥ s0₃ e p.q.t. x ∈ Ω2.

Corolário 1.3.15. Suponhamos que as hipóteses (H5) e (H6) são satisfeitas, então

existem s3 > 0, C > 0 tais que

Gλ(x, s) ≥ Csθ

(41)

Demonstra¸c˜ao. Pela hip´otese (H1) existe A > 0 tal que

|fλ(x, s)| ≤ A

para todo s ∈0, max{w0(x) : x ∈ Ω2} e p.q.t. x ∈ Ω2. Logo, existe A0 > 0 tal que

Fλ(x, w0) =

Z w0

0

fλ(x, t) dt ≤ A max{w0(x) : x ∈ Ω2} ≤ A0

para p.q.t. x ∈ Ω2. Pelo Lema 1.3.14, para todo s ≥ s03 e p.q.t. x ∈ Ω2

Gλ(x, s) = Fλ(x, w0+ s) − Fλ(x, w0) − fλ(x, w0)s

≥ C(w₀+ s)θ− A0− As ≥ Csθ− A0− As.

Portanto existem s3, C > 0 tais que para todo s ≥ s3 e p.q.t. x ∈ Ω2

Gλ(x, s) ≥ Csθ,

com θ > 2.

Proposi¸cão 1.3.16. Suponhamos que as hipóteses (H5) e (H6) são satisfeitas, então

existe uma fun¸c˜ao u1∈ H01(Ω) tal que

lim

t→∞Jλ(tu1) = −∞.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos θ2 > 0 e Ω2 dados pela hip´otese (H6). Seja u1 ∈ C∞(Ω)

com suporte contido em Ω2, u1 ≥ 0 e u1 6≡ 0. Pelo Corol´ario 1.3.15 existe uma constante

C > 0 tal que Gλ(x, s) ≥ Csθ para todo s ≥ s3 e p.q.t. x ∈ Ω2.

Seja t0 tal que para todo t ≥ t0 a medida de {x ∈ Ω2 : tu1(x) ≥ s3} seja positiva.

Ent˜ao, para todo t ≥ t0

J_λ(tu1) = t2 2ku1k 2₋ Z Ω2 Gλ(x, tu1) dx = t 2 2ku1k 2₋ Z {tu1<s3} Gλ(x, tu1) dx − Z {tu1>s3} Gλ(x, tu1) dx ≤ t 2 2ku1k 2_{− C}0_{− C}Z {tu1>s3} (tu1)θ dx ≤ t 2 2ku1k 2_{− C}0_{− C}00_tθ_,

com C0∈ R e C00_{> 0. Como θ > 2, ent˜}_{ao J}

(42)

Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.4. Pelo Corol´ario 1.3.10 vimos que o funcional Jλ satisfaz

a condi¸c˜ao de Palais-Smale no n´ıvel c em H₀1(Ω), para todo c ∈ R. Pela Observa¸c˜ao 1.3.13 existe R > 0 tal que

J_λ(0) < inf{Jλ(u) : u ∈ H01(Ω), kuk = R}.

Pela Proposi¸c˜ao 1.3.16 existe uma fun¸c˜ao u1∈ H01(Ω) com ku1k > R tal que

J_λ(u1) < Jλ(0) = 0.

Portanto podemos aplicar o Teorema da Passagem da Montanha, donde conclu´ımos que o funcional Jλ tem um ponto cr´ıtico u > 0. Pelo Lema 1.3.7 conclu´ımos que v = w0+ u

´e uma segunda solu¸c˜ao do problema (1.1)λ.





−∆u = λa(x)uq_{+ b(x)u}p _{em Ω,}

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre Γ,

com 0 ≤ q < 1 < p e as fun¸cões a, b ∈ L∞(Ω). Em adi¸cão as hipóteses (i) e (ii) do Corolário 1.2.6 suponhamos que p < 2∗− 1 e

(iv) existem uma bola B2 ⊂ Ω e ε2> 0 tais que b(x) ≥ ε1 p.q.t. x ∈ B2.

Ent˜ao, para λ ∈ (0, Λ), o problema (1.2) tem, pelo menos, duas solu¸c˜oes positivas, w e v, tais que w < v em Ω, ∂w/∂ν > ∂v/∂ν sobre Γ e Jλ(w) < 0.

Corol´ario 1.3.18. Consideremos o problema (1.3)    −∆u = λc(x)(u + 1)p _{em Ω,} u > 0 em Ω, u = 0 sobre Γ,

com 1 0 numa bola B0 ⊂ Ω.

Se p < 2∗− 1, ent˜ao, para λ ∈ (0, Λ), o problema (1.3) tem, pelo menos, duas solu¸c˜oes positivas, w e v, tais que w < v em Ω, ∂w/∂ν > ∂v/∂ν sobre Γ e Jλ(w) < 0.

Demonstra¸c˜ao dos Corol´arios 1.3.17 e 1.3.18. Para os respetivos problemas temos lim s→∞ λa(x) s1−q + b(x)s p−q_{= ∞,} _{se x ∈ B} 2, e lim s→∞ λc(x)(s + 1)p s = ∞, se x ∈ B0,

logo a hipótese (H6) é verificada pelo Lema 1.3.6. A verifica¸cão das hipóteses (M )0 e

(43)

1.4 Crescimento sobrelinear cr´ıtico

Segunda solu¸c˜ao positiva

Vimos na seçcão anterior que o problema (1.1)λ tem, pelo menos, duas solu¸cões

posi-tivas quando a fun¸c˜ao fλ tem um crescimento subcr´ıtico. A impossibilidade de usar

a demonstra¸c˜ao do Teorema 1.4 para provar o resultado quando a fun¸c˜ao fλ tem um

crescimento sobrelinear cr´ıtico, vem do facto da inje¸cão de Sobolev H₀1(Ω) ⊂ L2∗(Ω) não ser compacta, donde a prova da condi¸cão de Palais-Smale não é válida. Nesta seçcão olhamos para o problema (1.1)λ quando a fun¸cão fλ pode ser escrita como

fλ(x, s) := aλ(x, s) + b(x)s2

∗₋₁

onde para cada λ > 0,

• a fun¸cão aλ(x, s) é não decrescente com respeito a s, p.q.t. x ∈ Ω,

• a fun¸cão b(x) ∈ L∞(Ω) e é não nula. Consideremos ainda a seguinte hipótese

(H2∗) Existem x₁ ∈ Ω, uma bola B₁⊂ Ω tal que x₁ ∈ B₁ e constantes M e γ com

• γ > 3/5, para N = 3, • γ ≥ 2∗, para N = 4, • γ > 2∗_{, para N ≥ 5,} tais que 0 ≤ kbk∞− b(x) ≤ M |x − x1|γ, p.q.t. x ∈ B1.

Observa¸c˜ao 1.4.1. A hip´otese (H2∗) implica que, b(x) ≈ kbk_∞, numa vizinha¸ca de x₁,

e caso a desigualdade seja verificada em x1, ent˜ao b(x1) = kbk∞.

Teorema 1.5. Consideremos Λ dado pelo Teorema 1.1. Suponhamos que as hipóteses (M )0, (H0)0, (H1), (H2), (H3) são satisfeitas. Suponhamos ainda que a fun¸cão aλ

sa-tisfaz a hipótese (H4) com σ ∈ [1, 2) e a fun¸cão b satisfaz a hipótese (H2∗). Então, se

λ ∈ (0, Λ) o problema (1.1)λ tem, pelo menos, duas solu¸c˜oes positivas, w e v, tais que

w < v em Ω, ∂w/∂ν > ∂v/∂ν sobre Γ e Jλ(w) < 0.

Fixemos λ ∈ (0, Λ) e consideremos w0 a solu¸c˜ao positiva do problema (1.1)λ dada

pelo Teorema 1.1. Vimos na seçcão anterior que w0 é um minimizante local do funcional

Jλ em H01(Ω) (cf. Proposi¸c˜ao 1.3.11). Vamos procurar uma segunda solu¸c˜ao da forma

v = w0+ u com u > 0, i.e., queremos encontrar uma solu¸c˜ao do problema

   −∆u = gλ(x, u) em Ω, u 6≡ 0 em Ω, u = 0 sobre Γ. (1.15)

(44)

onde

gλ(x, s) = fλ(x, w0+ s+) − fλ(x, s)

= aλ(x, w0+ s+) − aλ(x, w0) + b(x)(w0+ s+)2

∗₋₁

− w2₀∗−1.

Sabemos, pelo Lema 1.3.7, que uma solu¸c˜ao do problema (1.15) satisfaz os requisitos do Teorema 1.5. Desta forma, queremos encontrar um ponto cr´ıtico n˜ao nulo do funcional

Jλ(u) = 1 2kuk 2₋ Z Ω Gλ(x, u) dx, em H₀1(Ω), onde Gλ ´e a primitiva de gλ: Gλ(x, s) = Aλ(x, w0+ s+) − Aλ(x, w0) − aλ(x, w0)s+ +b(x) h(w₀+ s+)2 ∗ − w2∗ 0 2∗ − w 2∗−1 0 s+ i , e Aλ(x, s) = Z s 0 aλ(x, t) dt.

A demonstra¸cão do Teorema (1.5) será feita por redu¸cão ao absurdo, supondo que zero é o único ponto cr´ıtico do funcional Jλ. Com o objetivo de aplicar o Teorema da

Passagem da Montanha iremos ver que o funcional Jλsatisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale

no n´ıvel c com c < c∗:= S N/2 0 N kbk(N −2)/2∞ ,

onde S0 ´e a melhor constante de Sobolev para a inje¸c˜ao H01(Ω) ⊂ L2

∗

(Ω), i.e., S0:= inf{kuk2 : u ∈ H01(Ω), kuk2∗ = 1}.

Por último provamos a existência de uma de fun¸cão u1∈ H01(Ω) tal que

lim

t→∞Jλ(tu1) = −∞

e definindo

H = {ϕ ∈ C([0, 1], H₀1(Ω)) : ϕ(0) = 0, ϕ(1) = u1},

vamos ver que

inf

ϕ∈Ht∈[0,1]max

J_λ(ϕ(t)) < c∗.

Lema 1.4.2. Suponhamos que a fun¸c˜ao aλ satisfaz a hip´otese (H4) para σ ∈ [1, 2)

Suponhamos que 0 ´e o ´unico ponto cr´ıtico do funcional Jλ. Seja

c < c∗ = S

N/2 0

N kbk(N −2)/2∞

,

(45)

Demonstra¸c˜ao. Consideremos a sucess˜ao {un} ⊂ H01(Ω) tal que

J_λ(un) → c e Jλ0(un) → 0.

Ent˜ao, existe uma constante D > c tal que para n suficientemente grande J_λ(un) = 1 2kunk 2₋ Z Ω Gλ(x, un) dx ≤ D, (1.16) e J_λ0(un)ϕ = Z Ω ∇un· ∇ϕ dx − Z Ω gλ(x, un)ϕ dx ≤ εnkϕk, (1.17) para todo ϕ ∈ H1 0(Ω) e εn→ 0.

Com objetivo de provar que a sucess˜ao {un} ´e limitada em H01(Ω), analisemos a

diferen¸ca entre Jλ(un) e

1 2∗Jλ

0

(un)(w0 + un). Observemos, pela defini¸c˜ao de gλ e Gλ,

que tomando apenas a parte negativa de unos integrais

Z {un<0} Gλ(x, un) dx e Z {un<0} gλ(x, un)(w0+ un) dx

s˜ao nulos. Observemos ainda, que os termos de expoente cr´ıtico da diferen¸ca entre Jλ(un) e 1 2∗Jλ 0 (un)(w0+ un) s˜ao cortados b(x) (w0+ u + n)2 ∗ − w2∗ 0 2∗ − w 2∗−1 0 u + n − (w0+ u+n)2 ∗ − w₀2∗−1(w0+ u+n) 2∗ =b(x) − w2₀∗−1u+_n +w 2∗−1 0 u+n 2∗ = −N + 2 2N b(x)w 2∗−1 0 u+n.

Portanto, a diferen¸ca entre Jλ(un) e

1 2∗Jλ 0 (un)(w0+ un) ´e igual a 1 Nkunk 2₋ Z Ω Aλ(x, w0+ u+n) − Aλ(x, w0) − aλ(x, w0)u+n dx + 1 2∗ Z Ω aλ(x, w0+ u+n) − aλ(x, w0) (w0+ u+n) dx +N + 2 2N Z Ω b(x)w2₀∗−1u+_n dx.

Consideremos as constantes d1, d2 > 0 e σ ∈ [1, 2) dadas pela hip´otese (H4) sobre a

fun¸cão aλ. Como aλ é uma fun¸cão não decrescente com respeito a s, p.q.t. x ∈ Ω, temos

(46)

Por outro lado, pela hip´otese (H4), temos −a_λ(x, w0)u+n ≤ (d1+ d2w0σ−1)u+n ≤ Cu+n, C > 0 e Aλ(x, w0+ u+n) − Aλ(x, w0) ≤ Z w0+u+n w0 d1+ d2|t|σ−1 dt = d1u+n + d2 σ h (w0+ u+n)σ− (w0)σ i ≤ d1u+n + d2 σ(w0+ u + n)σ. Al´em disso, −N + 2 2N Z Ω b(x)w₀2∗−1u+_n dx ≤ N + 2 2N kbk∞ Z Ω w2₀∗−1u+_n dx ≤ C Z Ω u+_n dx, para C > 0. Logo, pelas desigualdades (1.16) e (1.17) temos

1 Nkunk 2 _≤ Z Ω Cu+_n +d2 σ(w0+ u + n)σ dx + D + εn 2∗kw0+ unk ≤ Cku_nk₁+d2 σ kw0+ unk σ σ+ D + εn 2∗kw0+ unk ≤ CSkunk + d2 σ S 0_ku nkσ+ D + εn 2∗kw0+ unk,

onde S e S0são constantes de Sobolev das inje¸cões cont´ınuas H₀1(Ω) ⊂ L1(Ω) e H₀1(Ω) ⊂ Lσ(Ω), respetivamente. Donde conclu´ımos que a sucessão {un} é limitada em H01(Ω).

Ent˜ao, existe uma subsucess˜ao, ainda denotada por {un}, tal que

un* u∗, em H01(Ω), un* u∗, em L2 ∗ (Ω), un→ u∗, em Lr(Ω), ∀ r ∈ [1, 2∗), un→ u∗, p.q.t. x ∈ Ω.

Por (1.17), conclu´ımos que u∗ é solu¸cão fraca do problema (1.15), i.e, u∗ é um ponto cr´ıtico do funcional Jλ, donde por hipótese u∗ = 0. Portanto, lim kunkrr = 0, para todo

r ∈ [1, 2∗), logo limhJλ(un) − 1 2∗Jλ 0_(u n)(w0+ un) i = lim 1 Nkunk 2_, ent˜ao, lim kunk2= cN. (1.18)

Se c = 0, ent˜ao un → 0 em H01(Ω). Suponhamos que c 6= 0. Como w0+ un→ w0,

p.q.t. x ∈ Ω e kw0+ unk2∗₋₁ < C, pelo Lema de Br´ezis-Lieb A.8.5, temos

lim kw0+ u+n − w0k2 ∗₋₁ 2∗₋₁ = lim kw₀+ u+_nk2 ∗₋₁ 2∗₋₁− kw₀k2 ∗₋₁ 2∗₋₁,

(47)

logo lim Z Ω b(x)h(w0+ u+n)2 ∗₋₁ − w2₀∗−1iundx = lim Z Ω b(x)(u+_n)2∗ dx, donde lim kunk2 = lim Z Ω gλ(x, un)undx = lim Z Ω b(x)u+_n2 ∗ dx (1.19) Pela desigualdade de Sobolev, kunk2∗≤ S−1/2

0 kunk, temos ku_nk2 ≥ S₀ Z Ω |u_n|2∗ dx 2/2∗ ≥ S0 kbk2/2∞ ∗ Z Ω b(x)(u+_n)2∗ dx2/2 ∗ . Por (1.18) e (1.19), temos cN ≥ S0 kbk2/2∞ ∗ (cN )2/2∗, i.e., c ≥ S N/2 0 N kbk(N −2)/2∞ , o que ´e absurdo por hip´otese.

Sabemos que a constante S0, definida anteriormente e apenas dependente de N , s´o

´

e atingida quando Ω = RN pela fun¸c˜ao Φ(x) := d

1 1 + |x|2

(N −2)/2

onde d > 0 ´e tal que −∆Φ = S0Φ(N +2)/(N −2). Observemos que este problema ´e invariante

por transla¸c˜ao e dilata¸c˜ao, logo faz sentido definir, para ε > 0

Φε(x) := d ε ε2_{+ |x − x} 1|2 (N −2)/2

onde x1∈ B1 é dado pela hipótese (H2∗) Além disso, temos

kΦεk2 = kΦεk2

∗

2∗ = S₀N/2.

De forma a encontrar uma fun¸c˜ao u1, com as propriedades anteriormente referidas,

consideremos, para cada ε > 0

ψε(x) = ϕ(x)Φε(x),

onde ϕ ∈ C₀∞(Ω) é uma fun¸cão não negativa tal que ϕ ≡ 1 perto de x1 com suporte

(48)

Lema 1.4.3. Se N ≥ 4, existe uma constante α > 0 tal que G(x, s) ≥ b(x) 1 2∗s +2∗₊1 2αw 2∗−2 0 s+2 , para todo s > 0, p.q.t. x ∈ Ω. Caso N = 3, ent˜ao

G(x, s) ≥ b(x) 1 6s +6_{+ w} 0s+5 , para todo s > 0, p.q.t. x ∈ Ω.

Demonstra¸cão. Como a fun¸cão aλ(x, s) é não decrescente com respeito a s, p.q.t. x ∈ Ω,

temos gλ(x, s) = aλ(x, w0+ s+) − aλ(x, w0) + b(x)(w0+ s+)2 ∗₋₁ − w2₀∗−1 ≥ b(x)h(w0+ s+)2 ∗₋₁ − w2₀∗−1i ≥ b(x)h(s+)2∗−1+ αw₀2∗−2s+i, onde a ´ultima desigualdade, com α > 0, vem de

(a + b)2∗−1≥ a2∗−1+ b2∗−1+ αa2∗−2b. Para tal, basta ver que (1 + t)2∗−1≥ 1 + t2∗₋₁

+ αt para todo t ∈ (0, 1), que segue pelo facto lim t→0+ (1 + t)2∗−1− 1 − t2∗₋₁ t = 2 ∗_{− 1 > 0.} Desta forma, G(x, s) ≥ b(x) 1 2∗(s +₎2∗₊1 2αw 2∗−2 0 (s+)2 .

Caso N = 3, observemos que 2∗− 1 = N + 2

N − 2 = 5, ent˜ao G(x, s) ≥ b(x) 1 6(s +₎6_{+ w} 0(s+)5 . Lema 1.4.4. Jλ(tψε) → −∞ quando t → ∞.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 1.4.3 temos G(x, tψε) ≥ b(x) 1 2∗(tψε) 2∗₊1 2αw 2∗−2 0 (tψε) 2 > 0,

(49)

para x ∈ B2. Portanto, como 2 < 2∗, lim t→∞Jλ(tψε) = limt→∞ 1 2kψεk 2_t2₋ Z Ω Gλ(x, tψε) dx ≤ lim t→∞ 1 2kψεk 2_t2₋t2 ∗ 2∗ Z Ω b(x)ψε2 ∗ dx − t 2 2 Z Ω αb(x)w₀2∗−2ψ_ε2dx = −∞.

Portanto, o Lema 1.4.4 garante a existˆencia de tε suficientemente grande tal que

J_λ(tεψε) < 0 e ktεψεk > R. Desta forma consideremos

H = {h ∈ C([0, 1], E) : h(0) = 0, h(1) = tεψε}

e

cλ = inf h∈Ht∈[0,1]max

J_λ(h(t)). Proposi¸c˜ao 1.4.5. Nas condi¸c˜oes anteriores temos

cλ< c∗=

S₀N/2 N kbk(N −2)/2∞

.

Consideremos as seguintes estimativas obtidas no artigo [8] de Br´ezis e Nirenberg. Lema 1.4.6. Quando ε → 0, temos

kψεk2 = S0N/2+ O(εN −2); (1.20) kψ_εk2∗ 2∗ = SN/2₀ + O(εN); (1.21) kψεk22 = C1ε2+ O(εN −2) se N ≥ 5; C2ε2| log ε2| + O(ε2) se N = 4; (1.22) kψεk55 = C3ε1/2+ O(ε5/2) se N = 3. (1.23) com C1, C2, C3 > 0.

Observa¸c˜ao 1.4.7. Pela constru¸c˜ao de ψε, temos

∇ψε(x) = ∇ϕ(x)Φε(x) − (N − 2)ϕ(x) dε(N −2)/2(x − x1) (ε2_{+ |x − x} 1|2)N/2 . Demonstra¸c˜ao de (1.20). kψ_εk2=(N − 2)d2εN −2 Z Ω |x − x₁|2 (ε2_{+ |x − x} 1|2)N dx + O(εN −2) =(N − 2)d2εN −2 Z RN |x − x₁|2 (ε2_{+ |x − x} 1|2)N dx + O(εN −2) = Z RN |∇Φε|2 dx + O(εN −2) =S₀N/2+ O(εN −2)

(50)

Demonstra¸c˜ao de (1.21). kψεk2 ∗ 2∗ =εNd2 ∗Z Ω ϕ2∗(x) (ε2_{+ |x − x} 1|2)N dx =εNd2∗ Z Ω 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)N dx + O(εN) =εNd2∗ Z RN 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)N dx + O(εN) = Z RN Φ2_ε∗ dx + O(εN) =S₀N/2+ O(εN). Demonstra¸c˜ao de (1.22). Se N ≥ 5, kψ_εk2 2 =εN −2d2 Z Ω ϕ2(x) (ε2_{+ |x − x} 1|2)N −2 dx =εN −2d2 Z Ω 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)N −2 dx + O(εN −2) =εN −2d2 Z RN 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)N −2 dx + O(εN −2) com x − x1 = εy =ε2d2 Z RN 1 (1 + |y|2₎N −2 dy + O(ε N −2₎ =C1ε2+ O(εN −2). Se N = 4, kψ_εk2 =ε2d2 Z Ω ϕ2(x) (ε2_{+ |x − x} 1|2)2 dx =ε2d2 Z Ω 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)2 dx + O(ε2) =ε2d2 Z kxk<R 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)2 dx + O(ε2) com x−x1= t =ε2d24 3π Z R 0 t3 (ε2_{+ |t|}2₎2 dt + O(ε 2₎ =ε2d22 3π log(ε2+ R2) − log ε2− R 2 ε2_{+ R}2 + O(ε2) =C2ε2| log ε2| + O(ε2).

(51)

Demonstra¸c˜ao de (1.23). Se N = 3, kψ_εk5 5 =ε5/2d5 Z Ω ϕ2(x) (ε2_{+ |x − x} 1|2)5/2 dx =ε5/2d5 Z Ω 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)5/2 dx + O(ε5/2) =ε5/2d5 Z R3 1 (ε2_{+ |x − x} 1|2)5/2 dx + O(ε5/2) com x − x1= εy =ε1/2d5 Z R3 1 (1 + |y|2₎5/2 dy + O(ε 5/2₎ =C3ε1/2+ O(ε5/2).

Lema 1.4.8. Quando ε → 0, temos Z

Ω

b(x)ψ_ε2∗ dx = kbk∞S₀N/2+ O(εγδ) + O(εN (1−δ)).

Demonstra¸c˜ao. Consideremos x1 ∈ B1 e a constante γ dados pela hip´otese (H2∗). Seja

a bola Bδ, centrada em x1 e raio εδ, com δ ∈ (0, 1). Temos

Z Ω b(x)ψ_ε2∗ dx = Z Ω (b(x) − kbk∞)ψ2 ∗ ε dx + kbk∞kψεk2 ∗ 2∗

Pela hip´otese (H2∗) e por (1.21)

Z Bδ (b(x) − kbk∞)ψ2 ∗ ε dx ≤ CεγδS₀N/2+ O(εN) = O(εγδ_),

com C > 0. Por outro lado, Z Ω\Bγ (b(x) − kbk∞)ψ2 ∗ ε dx ≤ C Z Ω\Bγ ψ_ε2∗ dx = O(εN (1−δ)), onde a ´ultima igualdade pode ser verificada utilizando a expan¸c˜ao de Taylor em

Z ∞ εδ ε (ε2_{+ t}2₎Nt N −1_dt. Ent˜ao _Z Ω b(x)ψ_ε2∗ dx = kbk∞S₀N/2+ O(εγδ) + O(εN (1−δ)).

(52)

Antes de demonstrarmos a Proposi¸cão 1.4.5 consideremos o seguinte lema. Lema 1.4.9. Sejam A, B > 0, então o máximo da fun¸cão t 7→ A

2t 2₋ B 2∗t 2∗ _´_e 1 N AN/2 B(N −2)/2.

Demonstra¸cão. Derivando a fun¸cão A 2t 2₋ B 2∗t 2∗ em ordem a t temos At − Bt2∗−1= 0 ⇐⇒ t = A B (N −2)/4 . Portanto o máximo da fun¸cão é

A 2 A B (N −2)/2 − B 2∗ A B N/2 = 1 N AN/2 B(N −2)/2.

Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.4.5, com N ≥ 4. Queremos ver que

cλ < c∗ =

S₀N/2 N kbk(N −2)/2∞

.

Observemos que cλ ≤ max{Jλ(tψε) : t ≥ 0}. Pelo Lema 1.4.3 existe uma constante

α > 0 tal que para todo s > 0, p.q.t. x ∈ Ω, G(x, s) ≥ b(x) 1 2∗s + 0 2∗ +1 2αw 2∗₋₂ 0 s + 0 2 , donde J_λ(tψε) = 1 2kψεk 2_t2₋Z Ω G(x, tψε) dx ≤ 1 2kψεk 2_t2₋t2 ∗ 2∗ Z Ω b(x)ψε2 ∗ dx − t 2 2α Z Ω b(x)w₀2∗−2ψε2dx ≤ 1 2kψεk 2_t2₋t2 ∗ 2∗ Z Ω b(x)ψε2 ∗ dx − t 2 2α 0_kψ εk22, ≤ t 2 2 kψεk 2_{− α}0_kψ εk22 + −t 2∗ 2∗ Z Ω b(x)ψε2 ∗ dx,

com α0 > 0. Pelo Lema 1.4.9 (observemos que b(x) > 0, para x ∈ B2) a ´ultima express˜ao

atinge o m´aximo em τ = _kψ εk2− α0kψεk22 + R Ωb(x)ψ2 ∗ ε dx (N −2)/4