Cap 03 - Variável Aleatória

Cap´ıtulo

3

Variáveis Aleatórias

Probabilitasenimestgradus ertitudinisetab&a dif-fertutparsatoto.

a

ArsConje tand,JamesBernoulli, parsquarta,Cap. IV,pp. 224-227.

a

Probabilidadeégraude ertezaedifereda erteza abso-lutaassim omoapartediferedotodo.

3.1 Introdução

Emumexperimento aleatórioointeressequesetem,usualmente,nãoéno resultadopropriamentedito,masemalgumamedidaouatributonuméri o. Por exemplo,em

n

jogadasdeuma moedapode-seestarinteressadononúmerode arasenãonaordemespe i aemqueo orrem arase oras.Emumprograma de omputadores olhidoaleatoriamente,pode-seestarinteressadoapenasnosei tempodeexe ução. Idempara uma irurgia.

Notequeem adaumdestesexemplos,umamedidaatribuiumvalor numé-ri oaoresultadodoexperimentoaleatório. Comoosresultadossãorandmi os, osresultadosdasmedidas tambémserãorandmi os. Dessa forma,fazsentido falardasprobabilidadesdosresultadosnuméri osresultantesestaremem ertas faixasdevalores.

3.2 Con eito variável aleatória

O on eito de variável aleatória está intimamente ligado ao de probabili-dade,atravésdo on eitodefunção. Nestesentidoofenmenoprobabilidadeé representadoporumespaçoamostral,umaálgebradeeventoseumamedidade probabilidade, omofoivisto noCapítulo2. Assim,opro essodemensuração davariáveldeinteresse(e.g.,tensão, orrente,potên ia,tráfegotelefni o,

trá-arterial,et .) é onsiderado omoumexperimentoaleatórioeosresultados ob-tidos(valoresregistrados)sãopontosdesteespaçoamostral. Pra adapontodo espaçoamostralasso ia-sepoisumvalornuméri o;umnúmeroreal[3℄. Assim, deni-se:

Denição 3.1 Umavariável aleatóriaéuma função queasso iaa ada resul-tadodo espaçoamostral

Ω

de um experimentoaleatórioum númeroreal.

AFigura3.1ilustraaDenição 3.1.

x

Ω

X

Ω

ω

Figura3.1: IlustraçãodeVariávelAleatória.

A variávelaleatória

X

édenidadaseguintemaneira:

X :Ω

_{→ R}

ω

_{7→ X(ω) = x}

isto é,para ada ponto doespaçoamostral,

ω

,estáasso iadoumvalorreal

x

, umnúmeroentremenosinnitoemaisinnito.

Exemplo 3.2Suponha o seguinte experimento: lançamento de uma moeda três vezes e anotarasequên iade aras(

K

)e oroas(

C

)obtida. Oespaçoamostraldesseexperimento é:

Ω =

{CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK}.

Seja

X

onúmerode arasobtidasnostrêslançamentosdamoeda.Xatribuia adaresultado

ω

∈ Ω

um número do onjunto

Ω

X

=

{0, 1, 2, 3}

. ATabela 3.1mostra os oito possíveis resultadosem

Ω

eosrespe tivosvaloresde

X

.

Tabela3.1: Variávelaleatóriarepresentandoonúmerode arasemtrêsjogadas deumaumamoedajusta.

ω

KKK KKC KCK KCC

X(ω)

3 2 2 1

ω

CKK CKC CCK CCC

X

éportanto umavariável aleatóriaquetem argumentos em

Ω

eque tomavaloresno onjunto

Ω

X

=

{0, 1, 2, 3}

.Considere,







Probabilidadededar ara

= p;

Probabilidadededar oroa

= 1

− p;

Lançamentosindependentes!

.

⋄

Exemplo 3.3Avariávelaleatóriamaisbási aqueexisteéa hamadavariávelaleatóriade Bernoulli,ouvariáveldeBernoulli,emhomenagemaJamesBernoulli(1654-1705)

1

.Oespaço amostralédadopor:

Ω =

{ω

1

, ω

2

}.

Avariávelédenidapor:



X(ω) = 1

se

ω = ω

1

;

X(ω) = 0

se

ω = ω

2

.

Amaneirausualdedes reverestavariávelaleatóriaédizendoqueumdeterminadoresultado deinteresseo orreuounão.Quandoo orreu,istoé,quando

ω = ω

1

,diz-sequehouvesu esso. Neste aso,

X(ω

1

) = 1

.Fala-seentãodaprobabilidadedesu esso,

P (X(ω) = 1) = p

.Deuma maneirageral,avariáveldeBernoullirepresenta asdi otomias, omo araou oroa,homem oumulher,ganhouounãoganhou,umsinalestáounãoestápresente,et .

⋄

3.3 Função de distribuição de probabilidade

Afunçãodistribuiçãode probabilidade(F.D.P.), também hamadade fun-ção distribuição umulativa, de uma variável aleatória

X

, é denida omo a probabilidadedoevento

{X ≤ z}

. Assim,

F

X

(x) = P [X

≤ x], x ≤ R.

Isto é,o valorda função dedistribuiçãoda variável aleatória

X

no ponto

x

é igualàprobabilidadedo onjuntodetodosos

ω

'sdoespaçoamostral(eportanto ara terizamumevento)taisqueos orrespondentesvaloresdavariávelaleatória sejam todos menores ou iguais a

x

, em outras palavras, é a probabilidade de queavariávelaleatória

X

assumavaloresno onjunto

(

−∞, x]

.

3.3.1 Propriedades da função de distribuição

1.

0

≤ F

X

(x)

≤ 1

.

Demonstração: Como

F

X

(x)

éuma probabilidade a umulativa, uma função não de res entes,ouseja,

f

X

(x)

énãonegativa,verFigura3.2,oresultadoéimediato.

•

1

Notea oin idên ia: Bernoullinas eunomesmoanoda élebre orrespondên iadePas al paraFermat-PiérreFermat, onsideradopormuitoso"Prin ipedosmatemáti os"nas euem Françaem1601,foimagistradoemToulouseematemáti onashorasvagas.Em1623,também emFrança,nas euBlaisePas al, matemáti o,físi oelósofo,responsávelpelainvençãoda primeiramáquinade al ular. Reunidosnumepisódio élebre,estesdoismatemáti osforam os grandes riadores daTeoriadas Probabilidades. Tratandodeumproblemamatemáti o, Pas alapresentaparaFermatdesen adeandoentãoumatro ade orrespondên iaentrePas al

2.

F

X

(x)

éumafunçãomonotni anãode res ente,istoé,se

x

1

≤ x

2

então

F

X

(x

1

)

≤ F

X

(x

2

)

. Demonstração:Tem-se:

x

1

≤ x

2

⇒ {ω ∈ Ω| − ∞ < X(ω) ≤ x

1

} ⊂

⊂ {ω ∈ Ω| − ∞ < X(ω) ≤ x

2

}

eportanto,

P (

{ω ∈ Ω| − ∞ < X(ω) ≤ x

1

}) ≤

≤ P ({ω ∈ Ω| − ∞ < X(ω) ≤ x

2

})

ouseja,

F

X

(x

1

)

≤ F

X

(x

2

).

•

3.

lim

x→∞

F

X

(x) = 1

.

Demonstração:Deni-seosímbolo

F

X

(+

∞)

por

F

X

(+

∞) = lim

x→+∞

F

X

(x).

Essapassagemaolimitequando

x

→ +∞

podeserfeita onsiderando-seumasequên ia denúmerosreais

{x

i

}

+∞

i=1

monotni anãode res ente,istoé,paratodo

i

(

x

i

≤ x

i+1

) talque

lim

i→∞

x

i

= +

∞

.Segue-seentãoque

F

X

(+

∞) = lim

i→∞

P (X

∈ (−∞, x

i

]).

Peladeniçãodasequên ia

{x

i

}

+∞

i=1

,segue-seque

(

−∞, x

i

]

⊂ (−∞, x

i+1

],

eportanto,peloteoremada ontinuidadeparafunções,tem-se,

lim

i→∞

P (X

∈ (−∞, x

i

]) = P ( lim

i→∞

(X

∈ (−∞, x

i

])).

Asequên iadosintervalos

(

−∞, x

i+1

]

émonotni anãode res ente eportanto,

lim

limi→∞

P

(X∈(−∞,xi])

(

−∞, x

i+1

] =

∞

[

i=1

(

−∞, x

i+1

] = (

−∞, +∞),

ouseja,

F

X

(+

∞) = P (X ∈ (−∞, +∞)) = 1.

•

4.

lim

x→−∞

F

X

(x) = 0

.

Demonstração:Deni-seosímbolo

F

X

(

−∞)

por

F

X

(

−∞) = lim

x→−∞

F

X

(x).

Demaneirasimilaraoquefoifeitono asoanterior,estapassagemaolimitequanto

x

→

∞

podeserfeita onsiderando-seumasequên iadenúmerosreais

{x

i

}

+∞

i=1

monotni a não res ente,istoé,paratodo

j

(

x

ij

≥ x

j+1

),talque

lim

j→−∞

x

j

=

−∞

.Orestante dademonstraçãoéinteiramentesimilarao asoanterior.

•

5. Considere-se

a, b

∈ R

tais que

a

≤ b

. Então,

F

X

(b) = F

X

(a) + P (X

∈ (a, b]).

Demonstração:Parti ionandoointervalo

(−∞, b]

daseguintemaneira:

(

−∞, b] = (−∞, a] ∪ (a, b],

emque

(a, b] =

{x ∈ R|a < x ≤ b}

.PeloaxiomadaaditividadedeKolmogorov,ter-se-á

P (X

∈ (−∞, b]) = P (X ∈ (−∞, a]) + P (X ∈ (a, b]),

ouseja,

F

X

(b) = F

X

(a) + P (X

∈ (a, b]),

quepodeseres rita omo,

P (X

∈ (a, b]) = F

X

(b)

− F

X

(a),

verFigura3.3.

•

5. Considere-se

a, b

∈ R

tais que

a

≤ b

. Então,

P (X > x) = 1

− P (X ≤ x) = 1 − F

X

(x).

Demonstração:PeladeniçãodefunçãodedistribuiçãoedoCorolário2.1tem-sea

propriedade.

•

0.5

1.0

0

1

−1

−2

x

f

X

(x)

x x + dx

Figura 3.2: IlustraçãodaPropriedade 1 daFunção Distribuiçãode Probabili-dade.

Exemplo3.4Considereolançamentodeumamoedatrêsvezes. Seja

X

avariávelaleatória que asso ia o resultado om o número de aras obtido. En ontre a expressão da função distribuiçãodeprobabilidade(

F

X

).

0.5

1.0

0

1

−1

−2

x

f

X

(x)

a

_b

Figura 3.3: Ilustraçãoda Propriedade 5da Função Distribuição de Probabili-dade.

ω

KKK KKC KCK KCC

X(ω)

3 2 2 1

ω

CKK CKC CCK CCC

X(ω)

2 1 1 0 Logo,

P (X = 0) =

1

8

;

P (X = 1) =

3

8

;

P (X = 2) =

3

8

;

P (X = 3) =

1

8

.

Assim,

F

X

(x) =























0, x

≤ 0;

1

8

, 0

≤ x < 1;

4

8

, 1

≤ x < 2;

7

8

, 2

≤ x < 3;

1, x

≥ 3.

Logo,

F

X

(x) = 0 +

1

8

u(t) +

3

8

u(t

− 1) +

3

8

u(t

− 2) +

1

8

u(t

− 3),

emque,

u(t)

,



1,

t > 0

0,

t < 0

,

(3.1) verFigura3.4.

⋄

Exemplo3.5Seja

X

otempodetransmissãodeumamensagematravésdeumsistemade omuni ação. Considereque

X

obede eàseguinte leideprobabilidade:

P (X > x) = e

−λx

,

λ > 0

e

x

≥ 0

.

1.0

2.0

0

1

−1

−2

x

u(x)

Figura3.4: Grá odaFunçãodegrauunitário.

b. En ontre

P (

1

λ

< X <

2

λ

)

. Solução: a.

F

X

(x) = P (X

≤ x) = 1 − P (X > x) = 1 − e

−λx

,

x

≥ 0

. Se

x < 0

⇒ P (X ≤ x) = 0

. Logo,

F

X

(x) =



0, x < 0

1

− e

−λx

_{, x}

_{≥ 0}

.

b.

P (

1

λ

< X <

2

λ

) = F

X

 2

λ



− F

X

 1

λ



= (1

− e

−2

)

− (1 − e

−1

)

≃ 0, 233.

⋄

3.4 Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade da variável aleatória

X

é a taxa de res imento,noponto

x

,dasuafunçãodedistribuição. Emtermosmatemáti os, seja

X

uma variável aleatória ontínua om

F

X

(x)

, logo, deni-se a função densidade de probabilidade (f.d.p.) davariávelaleatória

X

omoaderivadada funçãodedistribuição

F

X

(x)

daforma:

f

X

(x) =

dF

X

(x)

dx

.

Afunçãodensidade de probabilidade representaadensidadedaprobabilidade noponto

x

noseguintesentido:aprobabilidadedeque

X

estejaemumpequeno intervalonavizinhança de

X

,isto é,

{x < X ≤ x + h}

,logo,

P (

{x < X ≤ x + h}) = F

X

(x + h)

− F

X

(x) =

F

X

(x + h)

− F

X

(x)

h

· h

=



lim

h→0

F

X

(x + h)

− F

X

(x)

h



· h

Para

h

→ 0

,tem-se

P (

{x < X ≤ x + h}) = F

′

X

(x)

· h

,assim, aprobabilidade de

X

estarpróximoe

x

é

f

X

(x)

· h

.

3.4.1 Propriedades da função de distribuição

1.

f

X

(x)

≥ 0

, ou seja, o valor da função densidade em qualquer ponto é semprenãonegativo.

Demonstração:

F

X

(x)

éuma função nãode res ente, oque impli a quea função

densidadeénãonegativa,pordenição.

•

2.

F

X

(x) =

R

x

−∞

f

X

(u)du

.

Demonstração:Seguedadeniçãodafunçãodensidade

f

X

(x)

e

F

X

(

−∞) = 0

.

•

3.

R

∞

−∞

f

X

(x)dx = 1

.

Demonstração:VemaPropriedade(2.) edeque

F

X

(

∞) = 1

.

•

4.

P (a < X

≤ b) =

R

b

a

f

X

(x)dx

. Demonstração:Tem-se,

P (a < X

≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a)

= F

X

(x = b)

− F

X

(x = a) =

Z

b

a

f

X

(x)dx

•

Exemplo3.6Afunçãodensidadedeprobabilidadedeumavariávelaleatóriaédadopor:

f

X

(x) =



1

b−a

, a

≤ x ≤ b;

0, x < a

e

x > b.

sendo

a, b

∈ R

.En ontre

F

X

(x)

. Solução:Tem-se:

•

Se

x < a

⇒ F

X

(x) = 0

.

•

Se

a

≤ x ≤ b ⇒ f

X

(x) =

R

b

a

1

b−a

dt =

x−a

b−a

.

•

Se

x < a

⇒ F

X

(x) = 0

. Assim,

F

X

(x) =







0, x < a

x−a

b−a

, a

≤ x ≤ b;

0, x > b.

⋄

3.5 Variáveis aleatórias dis retas

X

éditaumavariáveldis retase

Ω

X

foruma onjunto ontável

Ω

X

{x

1

, x

2

, . . .

}

. Considera-se

Ω

X

nitose

Ω

X

{x

1

, x

2

, . . . , x

n

}

.

Exemplo3.7Umafonteproduzdoistiposdemensagens:

M

1

, omprobabilidade

p

deo orrer e

M

2

, omprobabilidade

1

− p

.Seja

X

avariávelaleatóriadenidapor

X(k) =



0, k = M

1

1, k = M

2

.

En ontreaexpress.aode

F

X

(x)

. Solução:

F

X

(x) =







0, x < 0;

p, 0

≤ x < 1;

1, c

≥ 1.

Assim,

F

X

(x) = P (X = 0)u(x) + P (X = 1)u(x

− 1) = pu(x) + (1 − p)u(x − 1).

Exemplo 3.8Suponhaquetrês hamadas hamadassãoobservadasemum omutador te-lefni o,emque hamadasdevoz(

v

)e hamadasdedados(

d

)sãoequiprováveis.

• X =

númerode hamadasdevoz;

• Y =

númerode hamadasdedados;

• R = X · Y

. Resultados

ddd

ddv

dvd

dvv

vdd

vdv

vvd

vvv

P (·)

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

X

0

1

1

2

1

2

2

3

Y

3

2

2

1

2

1

1

0

R

0

2

2

2

2

2

2

0

⋄

Antesdeaprofundaroestudodevariáveisdis retasébomrevisaro on eito defunçãoimpulsooufunçãodelta deDira .

3.5.1 Função Impulso ou Delta de Dira

Afunçãopulso,

δ

∆

,édenidapor

δ

∆

:R

−→ R

x

7−→ δ

∆

(x).

Emque,

δ

∆

(x

− x

1

) =







0

para

x < x

1

1

∆

para

x

1

≤ x < x

1

+ ∆

0

para

x

≥ x

1

+ ∆

AFigura3.5mostraaformadestafunção. Notequeaáreasobopulsoéigual a

1

paraqualquervalorde

∆

ou

x

1

.

1

∆

∆

δ

∆

(x

− x

1

)

x

x

1

x

1

+ ∆

Figura3.5: FunçãoPulso.

Quando

∆

aproxima-sedezero,afunção limiteédadopor:

δ(x

_{− x}

1

)

, lim

∆→0

δ

∆

(x

− x

1

),

é hamadafunçãoimpulso, oufunção delta de Dira ,ou simplesmente função delta

2 . 2

Algumaspropriedadesimportantes da função

δ(x)

[2℄ a. Multipli açãodeumafunçãoporumimpulso



g(x)δ(x) = g(0)δ(x)

;



g(x)δ(x

− x

0

) = g(x

0

)δ(x

− x

0

)

.

b. Propriedade daamostragemdafunçãoimpulsounitário



R

∞

−∞

g(x)δ(x)dx = g(0)

; 

R

∞

−∞

g(x

− x

0

)δ(x)dx = g(x

0

)

.

. Funçãodegrauunitárioédenida daforma:

u(t) =



1, t

_{≥ 0}

0, t < 0

.

Como já denido e ilustradona Figura 3.4. Se desejar-se que um sinal ome e em

t = 0

, pode-se multipli á-lo por

u(t)

. Por exemplo, o sinal

e

−αt

representa umaexponen ialque omeçaem

t =

−∞

. Se desejar-se que ele seini ie em

t = 0

, pode-sedes revê-lo por

e

−αt

_u(t)

. Umgrá o deste sinalémostradonaFigura3.6

3 .

3.5.2 Função de massa de probabilidade

Seja

X

,umavariávelaleatóriadis reta. Afunçãodemassadeprobabilidade (f.m.p)de

X

édadopor:

P

X

(x) = P (X = x).

Exemplo 3.9 Para o exemploanterior, qual é função de massa de probabilidade de

R

? Solução:

• R = 0

,Resultado:

ddd

ou

vvv

;

• R = 0 ⇒ P (R = 0) = P (ddd) + P (vvv) =

1

4

;

• P (R = 2) =

6

8

. Logo,

P

R

(r) =







1/4, r = 0

3/4, r = 2

0,

. .

⋄

3

1.0

2.0

0

1

−1

−2

x

u(x)

1.0

2.0

0

1

−1

−2

x

u(x)

Figura3.6: Grá odaFunçãoDegrauUnitárioeFunçãoExponen ial.

3.5.3 Exemplos de variáveis aleatórias dis retas Variável aleatória de Bernouilli

Avariávelaleatóriamaisbási aqueexisteéa hamadavariávelaleatóriade Bernoulli,ouvariáveldeBernoulli. Comovisto,oespaçoamostralédadopor:

Ω =

_{ω

1

, ω

2

}.

Avariávelédenidapor:



X(ω) = 1

se

ω = ω

1

;

X(ω) = 0

se

ω = ω

2

.

A maneira usual de des reveresta variável aleatóriaé dizendo que um deter-minado resultadodeinteresseo orreuounão. Quandoo orreu,istoé,quando

ω = ω

1

, diz-se que houvesu esso. Neste aso,

X(ω

1

) = 1

. Fala-seentão da probabilidadedesu esso,

P (X(ω) = 1) = p

.

OutraformardedeniravariávelaleatóriadeBernouillié: seja

A

umevento rela ionadoaosresultadosdealgumexperimentoaleatório. Afunçãoindi atriz doevento

A

édenidapor:

I

A

(ξ) =



0,

se

ξ

∈ A

1,

se

ξ

∈ A

Assim,

I

A

(ξ) = 1

se o evento

A

o orre e zero aso ontrário. Deni-se uma variávelaleatória

X = I

A

e hama-seessavariávelaleatóriadevariávelaleatória deBernouilli. Observe, omojádes rito,que

Ω

X

=

{ω

1

= 0, ω

2

= 1

}

. Es olhe-se

P

X

(0) = p

e

P

X

(1) = q = 1

− p

. Assim,

P

X

(x) = 0

,

x

6= 0, 1

. Logo, pode-se es rever:



F

X

(x) = p

X

(0)u(x) + p

X

(1)u(x

− 1) = pu(x) + (1 − p)u(x − 1);

f

X

(x) = pδ(x) + (1

− p)δ(x − 1)

Exemplo3.10Testedeuma ir uitopossuiprobabilidade

p

deserrejeitado.Denaafunção demassadeprobabilidadede

X

,se

X

foronúmerode ir uitosrejeitadosemumteste. Solução:Tem-sedoispossíveisresultados,se

X = 1

o ir uitofoirejeitado omprobabilidade

p

,ou

X = 0

,o ir uitonãofoirejeitado omprobabilidade

1

− p

. Considerando

p = 0, 2

,tem-se:

P

X

(x) =



0, 8, x = 0

0, 2, x = 1

.

⋄

Variável aleatóriabinomial

Considere que um experimento aleatório seja repetido

n

vezes. Seja

X

o númerode vezesque um ertoevento

A

o orrenessas

n

tentativas.

X

éuma variávelaleatória om

Ω

X

=

{0, 1, . . . , n}

.

Considere

I

j

afunçãoindi atrizparaoevento

A

na

j

-ésimatentativa. Assim,

X = I + 1 + I

2

+

· · · + I

n

. Xé hamadadevariávelaleatóriabinomial,emque afunçãodemassadeprobabilidadeédaforma:

P

X

(k) = P (X = k) =

n

k



p

k

₍₁

− p)

n−k

, k = 0, 1, . . . , n;

emque

P (X = k)

éaprobabilidadedeseobter

k

su essosem

n

tentativas. Dessa forma,deni-se:

F

X

(x) =

n

X

k=0

n

k



p

k

₍₁

− p)

n−k

u(x

_{− k);}

e

f

X

(x) =

n

X

k=0

n

k



p

k

(1

− p)

n−k

_δ(x

− k).

Essa variável aleatória surge em apli ações onde há dois tiposde objetos: ara/ oroa, erto/errado,bom/defeituoso,et .

Exemplo3.11Umtestedeuma ir uito possuiprobabilidade

p

deserrejeitado. Denaa funçãodemassadeprobabilidadeno asodeserealizar

10

testes.

Solução:

10

testesde ir uitos omprobabilidade

p = 0, 2

,tem-se:

P

X

(x) =



10

k



(0, 2)

k

_{(0, 8)}

10−k

_.

⋄

Variável aleatória geométri a

Seja

X

a variável aleatória orrespondente ao número de tentativas até a o orrên ia de um su esso, ou seja, a o orrên ia do evento observado.

X

é hamadavariávelaleatóriageométri ae

Ω

X

=

{1, 2, . . .}

. Desssaforma,tem-se

P

X

(x) = P (X = k) = (1

− p)

k−1

p

,emque

k = 1, 2, . . .

,sendo

p

aprobabilidade desu essoem adatentativa( hamadadetentativadeBernouilli).

Logo,deni-se:

F

X

(x) =

+∞

X

k=0

(1

− p)

k−1

_pu(x

− k);

e

f

X

(x) =

+∞

X

k=0

(1

− p)

k−1

_pδ(x

− k).

Variável aleatória de Poisson

X

é dita uma variável aleatória de Poisson (

α

) se sua função massa de probabilidadefordenidadaseguinteforma:

P

X

(x) = P (X = x) =

α

x

x!

e

−α

_{, x = 0, 1, . . .}

emque

α

éonúmeromédiodeo orrên iasdoeventoemumintervalodetempo espe i ado.

Exemplo3.12

•

Númerode lientesque hegamaum aixadesupermer ado;

•

Númerodea identes omautomóveisemumadeterminadaestrada;

•

Númeroderequisiçõesparaumservidoremumintervalodetempo.

⋄

Logo,deni-se:

F

X

(x) =

+∞

X

k=0

α

k

k!

e

−α

_u(x

− k);

e

f

X

(x) =

+∞

X

k=0

α

k

k!

e

−α

_δ(x

− k).

Observação: AfunçãomassadeprobabilidadedePoissonéaformalimitedafunçãomassa de probabilidade de binomialquando o númerode tentativas deBernoulli setorna muito grandeeaprobabilidadedesu esso(

p

)é onsideradamuitopequena,talque

α = np

.Assim pode-sedemonstrar:

P

X

(x) = P (X = x) = p

x

(1

− p)

x−k

∼

=

n→∞

α

x

x!

e

−α

_.

•

Exemplo3.13Aprobabilidadedeo orrererroemumbitemumalinhade omuni açãovale

10

−

3

3.6 Variáveis aleatórias ontínuas

Umavariávelaleatória

X

édita ontínuaseexistirumafunção

f

,denotada funçãodensidadedeprobabilidadede

X

,quesatisfaçaasseguintes ondições:

• f

X

(x)

≥ 0

,

∀x

;

•

R

+∞

−∞

f

X

(x)dx = 1

;

•

Para quaisquer valores

a

e

b

, om

−∞ < a < b < +∞

, tem-se que

P (a

≤ X ≤ b) =

R

b

a

f

X

(x)dx

Outra denição para uma variávelaleatória ontínua

X

éque

X

possua uma funçãodensidadedeprobabilidade(

F

X

(x)

) ontínua.

3.6.1 Exemplos de variáveis aleatórias ontínuo Variável aleatóriauniforme

A função distribuiçãode probabilidadede uma variável aleatóriauniforme

X

édadapor,

f

X

(x) =







1

(b

− a)

a

≤ x ≤ b, a < b

0,

. .

.

emque

a, b

∈ R

,efunçãodistribuiçãodeprobabilidade

F

X

(x) =











0,

x < a

x

− a

b

− a

, a

≤ x ≤ b

1,

x > b

.

VerFigura3.7. Essavariávelaleatóriaapare equanto todososvaloresnareta real,nointervalo

[a, b]

,sãoigualmente prováveis.

Exemplo3.14Seja

X

amedidadetensãoderuídoemumdeterminadopontodeum ir uito omasseguintes probabilidades:

P (

|X| ≤ V ) = 1

e

P (

|X| > V ) = 0

. En ontre aexpressão dafunçãodistribuiçãodeprobabilidade(

F

X

(x)

)davariávelaleatória

X

, onsiderandoqueas probabilidadesdasvariável

X

sãouniformementedistribuídasnointervalo

[

−V, V ]

.Solução: Sabe-se:

•

Se

x <

−V

,então

P (X

≤ x) = 0

;

•

Se

−V ≤ x ≤ V

,então

P (X

≤ x) =

R

x

−V

1

2V

dt =

x+V

2V

;

•

Se

x > V

,então

P (X

≤ x) =

R

V

−V

1

2V

dt = 1

. Assim,

F

X

(x) =











0, x <

−V ;

x + V

2V

,

−V ≤ x ≤ V ;

1, x > V.

⋄

1.0

2.0

0

1

2

−1

x

f

X

(x)

1

b−a

a

b

1.0

2.0

0

1

2

−1

x

F

X

(x)

a

b

Figura3.7: Funçãodistribuiçãodeprobabilidadedeumavariávelaleatória Uni-forme.

Variável aleatória exponen ial

A função distribuiçãode probabilidade da variávelaleatória exponen ial é denida por

f

X

(x) =



λe

−λx

_x

≥ 0, λ > 0

0,

. .

.

Sendo

λ

umnúmeroreal.

Pode-se itar algumas apli ações para a variávelaleatória exponen ial, sa bar:

•

Estudo dateoria de lar, e.g., tempo entre hegada dos lientes em um ban o);

•

Duraçãode onversaçõestelefni asenumarededetelefonia. Variável aleatória gaussiana

A urva normal (ou Gaussiana) é um dos mais importantes elementos da inferên ia estatísti a. O seu uso des revea distribuição de probabilidades de variáveisaleatórias ontínuasligadasamuitosfenmenosaleatórios. Nesta dis-tribuição,amédia oin ide omamedianaemodasendoportantoadistribuição simétri aemtornodesuatendên ia entral. Emgeralmedidasfísi as apresen-tamdistribuiçãonormaltais omo: peso,altura,pressaosistóli a,temperatura ediâmetrodepeças.

édenidapor

f

X

(x) =

1

√

2πσ

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



.

em que,

µ

e

σ

2

são reais, e são hamadas de média e variân ia da variável aleatóriagaussiana

X

,respe tivamente. VerFigura3.8.

0.25

0.50

0.75

1.00

0

1

2

3

4

−1

x

y

σ = 0, 5, µ = 2

σ = 1, µ = 2

f

X

(x) =

1

σ

√

2π

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



Figura 3.8: Função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória Gaussiana.

Para al ular a função distribuição de probabilidade da variável aleatória gaussiana

X

,tem-se:

F

X

(x) =

Z

x

−∞

1

√

2πσ

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



.

X

é dita uma variável aleatóriagaussianaNormal Padrão se

µ = 0

e

σ

2

_{= 1}

(

X

N (0, 1)

). Assim onsidereafunção

Φ

denida daforma:

Φ(t) =

√

1

2π

Z

x

−∞

e

−

t2

2

dt.

Notequeafunção

Φ(t)

éafunçãodistribuiçãodeprobabilidadedavariável ale-atóriagaussianaNormalPadrão,logo,pode-serees reverafunçãodistribuição deprobabilidadedavariávelaleatóriagaussiana

X

emfunçãode

Φ(t)

,daforma:

F

X

(x) = Φ

 x

_{− µ}

σ



.

Pode-seaindadeniroutrafunção hamada

erf

,daforma:

erf (t) =

√

1

2π

Z

x

0

Assim,

Φ(t) =

√

1

2π

Z

x

−∞

e

−

t2

2

dt;

=

√

1

2π

Z

0

−∞

e

−

t2

2

dt +

√

1

2π

Z

x

0

e

−

t2

2

dt;

=

1

2

+

1

√

2π

Z

x

0

e

−

t2

2

dt;

=

1

2

+ erf (t);

logo,

F

X

(x) = Φ

 x

_{− µ}

σ



=

1

2

+ erf

 x

_{− µ}

σ



.

Para al ularafunçãodistribuiçãoa umulativadavariávelaleatória gaus-siana

X

,sabe-se quefunçãodensidadedeprobabilidade

f

X

(x)

denidapor

f

X

(x) =

1

√

2πσ

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



, x

∈ R.

Logo,afunçãodistribuiçãodeprobabilidadeédenida por

F

X

(x) =

1

2

+ erf

 x

_{− µ}

σ



.

Observação: Função

Q

-Pode-sedeniroutrafunção, hamadafunção

Q

daforma:

erf (x) =

√

1

2π

Z

+∞

x

exp

−

t

2

2

dt.

Dessa forma,pode-se al ulara probabilidade da variável aleatória gaussiana

X

da forma

P (X > x)

daseguintemaneira: Seja

X

N (0, 1)

,assim,tem-se:

P (X > x) =

Z

+∞

x−µ

σ

1

√

2π

exp

−

t

2

2

dt = Q

 x

− µ

σ



.

Como

P (X > x) = Q



x−µ

σ



e

P (X

≤ x) = Φ



x−µ

σ



,logo

Q(ξ) = 1

− Φ(ξ)

. Propriedades de

Q(X)

: 1.

Q(0) = 1/2

; 2.

Q(

−x

0

) = 1

− Q(x

0

)

. FIGURA

•

Existemoutrasvariáveisaleatóriasigualmenteimportantes,dependendoda áreadeapli ação, omo,porexemplo,asvariáveisaleatóriasdeRayleigh,RICE, Nakagami, Gammaeoutras. E, ainda,variáveisaleatóriasprovenientesde va-riáveisaleatórias onhe idas, omoalognormalealogRayleigh. Serádis utido

3.7 Variável aleatória mista

Frequentemente, em muitos ontextos surgem as hamadas variáveis alea-tóriasmistas, quesão aquelas ujasfunções distribuiçãode probabilidade são des ontínuaem um onjunto nito de pontos e res e ontinuamente em pelo menosum intervalo, ouseja, ontínuaporpartes. Exemplosforam usadosem queasfunçõesdistribuiçãode probabilidadesão ontínuasemtodasaspartes. Viu-se tambémque as funções dedistribuiçãode variáveisaleatóriasdis retas sãofunçõesdegrau. Logo,surge umapergunta: Seriapossível de omporuma funçãoarbitráriadedistribuiçãodeprobabilidadeemapenasduaspartes,uma quefosse ontínuaemtodaparteeoutraquefosseumafunçãodegra?

Defatoépossível,assim,seja

X

umavariávelaleatória omumafunçõesde distribuiçãoprobabilidade

F

X

quetemnãomaisqueumaquantidade enumerá-veldepontosde des ontinuidade deprimeiraespé ie,

x

k

,

k = 1, 2, 3, . . .

, eque nãosejane essariamente onstantesentreossaltos.

Ossaltosdafunçãodedistribuiçãodeprobabilidade

F

X

têmvaloresdados por

P (X = x

k

)

. Afunçãodegrau

D

X

(x)

,

∞

X

k=1

P (X = x

k

)u(x

− x

k

);

temexatamenteasmesmasdes ontinuidadesdesalto(primeiraespé ie)quetem afunçãodedistribuiçãodeprobabilidade

F

X

. Subtraindo-ade

F

X

obtém-se:

C

X

(x)

, F

X

(x)

− D

X

(x);

emque

D

X

éumafunçãodes ontínuae

C

X

é ontínuaemtodaparte. Note-se quetanto

D

X

quanto

C

X

sãofunçõesmonotni asnão de res entes ontadas. Segue-seentãoque todafunçãodedistribuiçãodeprobabilidadeéou ontínua emtodaparte,ouumafunçãodegrau,oude ompostaemduaspartes,umaque é ontínuaemtodaparteeoutraqueéumafunçãosalto.

Exemplo3.15Seja

X

amedidadetensãoderuídoemumdeterminadopontodeum ir uito, omasseguintesprobabilidades:

• P (X = −V ) = P (X = V ) =

1

8

;

• P (|X| < V ) =

3

4

;

• P (|X| > V ) = 0

.

Es reva aexpressão da função distribuiçãodeprobabilidade (

F

X

) da variávelaleatória

X

, onsiderandoqueavariávelaleatória

X

édistribuídauniformementeem(

−V, V

).

Solução:

•

Se

x <

−V

,então

F

X

(x) = 0

;

•

Se

x =

−V

,então

F

X

(x) = P [X

≤ x] =

1

8

;

•

Se

−V < x < V

,então

F

X

(x) =

1

8

+

R

x

−V

8V

3

dt =

1

8

+

8V

3

(x + V )

;

•

Se

x = V

,então

F

X

(x) =

7

8

;

•

Se

x > V

,então

F

X

(x) = 1

.

Assim,

F

X

(x) =























x <

−V, F

X

(x) = 0

x =

−V, F

X

(x) =

1

₈

−V < x < V, F

X

(x) =

_8V

3

x +

1

₂

x = V, F

X

(x) =

7

₈

x > V, F

X

(x) = 1

⋄

3.8 Funções de Variáveis Aleatórias

3.8.1 Caso Geral

Seja

X

umavariávelaleatória omfunçãodistribuiçãodeprobabilidade

F

X

e função densidade de probabilidade

f

X

(x)

, e seja

g

uma função mensurável,

g : Ω

X

→ Ω

Y

. Tem-se então

Y = g(X)

, em que

Y

também é uma variável aleatória.

3.9 Operações em Variáveis Aleatórias

3.9.1 Valoresperado (ou médio)de umavariávelaleatória Valor esperado é o nome dado ao pro esso de tomar uma média quando uma variávelaleatóriaestáenvolvida. Para umavariávelaleatória

X

,usa-sea notação

E(X)

,quepodeserlida omoaesperançamatemáti ade

X

,ovalor esperadode

X

,ovalormédiodeX ouaindaamédiaestatísti ade

X

 [3℄.

Ini ialmente,seja

X

umavariávelaleatóriadis reta,dessaforma, onsidera-seque

X

assumeosvalores

{x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

. Tambémsuponhaqueaexperiên ia asso iadaaestavariávelaleatória

X

tenhasidorealizada

N

vezes eque

n(x

i

)

represente onúmerodevezesem queoevento

{X = x

i

}

o orreu. Utilizandoo on eitodefrequên iarelativa,obtém-se,

P (X = x

i

) =

n(x

i

)

N

, i = 1, 2, . . . , k.

Logo,amédiaaritméti ados

N

resultadosdaexperiên iaédadapor

E(X) = m

X

=

k

X

i=1

x

i

n(x

i

)

N

=

k

X

i=1

x

i

P (X = x

i

).

Parao asodevariávelaleatória ontínuas,tem-se:

E(X) = m

X

=

Z

∞

−∞

xf

X

(x)dx.

Exemplo3.16ConsidereavariáveldeBernoullidenidapor:



X(ω) = 1

se

ω = ω

1

;

Amaneirausualdedes reverestavariávelaleatóriaédizendoqueumdeterminadoresultado deinteresseo orreuounão. Quandoo orreu,istoé,quando

ω = ω

1

,diz-sequehouvesu esso. Neste aso,

X(ω

1

) = 1

. Fala-se então da probabilidade desu esso,

P

X

(X(ω) = 1) = p

e

P

X

(X(ω) = 0) = 1

− p

.Logo,

E(X) = m

X

=

k

X

i=1

x

i

P (X = x

i

)

= 0

· P

X

(X(ω) = 0) + 1

· P

X

(X(ω) = 1)

= 0

· (1 − p) + 1 · p = p.

⋄

Exemplo3.17Considereavariávelaleatóriauniformemente omdensidadedeprobabilidade denidapor:

f

X

(x) =







1

(b

− a)

a

≤ x ≤ b, a < b

0,

. .

,

emque

a, b

∈ R

,efunçãodistribuiçãodeprobabilidade

F

X

(x) =











0,

x < a

x

− a

b

− a

,

a

≤ x ≤ b

1,

x > b

.

Para al ularovaloresperado(oumédio)deumavariávelaleatóriauniforme

X

,tem-se:

E(X) = m

X

=

Z

∞

−∞

xf

X

(x)dx;

=

Z

∞

−∞

x

1

(b

− a)

dx;

=

Z

b

a

x

1

(b

− a)

dx;

=

1

2(b

− a)

x

2









b

a

;

=

1

2(b

− a)

(b

2

− a

2

);

=

(b

− a)(b + a)

2(b

− a)

=

(b + a)

2

.

Portanto,

m

X

amédiaaritméti adeseuslimites

a

e

b

.

⋄

Exemplo3.18Considereavariávelaleatóriagaussiana

X

(normal) omdensidadede pro-babilidadedenidapor:

f

X

(x) =

1

√

2πσ

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



.

Cal uleovaloresperado(oumédio)deumavariávelaleatóriagaussiana

X

.

⋄

Propriedadesdo ValorEsperado de

X



E(X) = m

X

1. Se

c

éuma onstantequalquer,tem-se

E(c) = c

. Demonstração:Sabe-se,

E(X) = m

X

=

Z

∞

−∞

logo,

E(c) =

Z

∞

−∞

cf

c

(x)dx;

= c

Z

∞

−∞

f

c

(x)dx = c.

•

2. Se

c

éuma onstante qualquer,tem-se

E(cX) = cE(X)

. Demonstração:Sabe-se,

E(X) = m

X

=

Z

∞

−∞

xf

X

(x)dx;

logo,

E(cX) =

Z

∞

−∞

cxf

X

(x)dx;

= c

Z

∞

−∞

f

X

(x)dx = cE(X).

•

3. Considere

n

variáveisaleatórias

X

1

, X

2

, . . . , X

n

taisquevaloresesperados são

E(X

i

)

existe(

i = 1, 2, . . . , n

),então

E(X

1

+ X

2

+

· · ·+X

n

) = E(X

1

)+

E(X

2

) +

· · · + E(X

n

)

.

Observações: Casoparti ular,

E(X

_{± c) = E(X) ± c.}

3.9.2 Variân ia de uma variável aleatória

Considere

X

uma variável aleatória dis reta. Suponha que

X

assuma os valores

{x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

. Considereque aexperiên ia asso iadaa estavariável aleatóriadis retatenhasidorealizada

N

vezeseque

n(x

i

)

representeonúmero devezesemqueoevento

{X = x

i

}

o orreu. Assim,deni-se avariân iade

X

por Var

= σ

2

X

= E



(x

i

− E(X))

2



= E x

2

i

− 2x

i

E(X) + E(X)

2

= E x

2

_i

_{− E (2x}

i

E(X)) + E E(X)

2

= E X

2

_{− 2E (X) E(X) + E(X)}

2

= E X

2

− E(X)

2

_,

σ

X

é hamadodedesviopadrão,pode-sees reverdaforma,

Var

(X) = σ

2

X

=

k

X

i=1

(x

i

− E(X))

2

n(x

i

)

N

=

k

X

i=1

(x

i

− E(X))

2

P (X = x

i

).

Observequeavariân iadeumavariávelaleatórianadamaisédoqueamédia aritméti a dosquadrados dosdesvios padrões

(x

i

− E(X)) = (x

i

− m

X

)

, em relaçãoàmédia, dos

N

resultados daexperiên ia. Istomostraqueavariân ia deumavariávelaleatóriamedesuadispersãoem tornodamédia.

No asode

X

seruma variávelaleatória ontínua,tem-se,

Var

(X) = σ

2

X

=

Z

+∞

−∞

(x

_{− E(X))}

2

f

X

(x)dx.

Exemplo3.19ConsidereavariáveldeBernoullidenidapor,logo,fala-seentão da proba-bilidadedesu esso,

P

X

(X(ω) = 1) = p

e

P

X

(X(ω) = 0) = 1

− p

,assim,sabe-se

E(X) = m

X

=

k

X

i=1

x

i

P (X = x

i

)

= 0

· P

X

(X(ω) = 0) + 1

· P

X

(X(ω) = 1)

= 0

· (1 − p) + 1 · p = p;

e

E(X

2

) = m

X2

=

k

X

i=1

x

2

i

P (X = x

i

)

= 0

2

_{· P}

X

(X(ω) = 0) + 1

2

· P

X

(X(ω) = 1)

= 0

2

_{· (1 − p) + 1}

2

_{· p = p;}

logo,tem-se Var

= E X

2

_{− E(X)}

2

_;

= p

− p

2

_{= p(1}

_{− p).}

⋄

Exemplo3.20Considereavariávelaleatóriauniformemente omdensidadedeprobabilidade denidapor:

f

X

(x) =



1

(b−a)

a

≤ x ≤ b, a < b

0,

. .

,

emque

a, b

∈ R

.Para al ulardavariân iadeumavariávelaleatóriauniforme

X

,sabe-se:

E(X) = m

X

=

(b + a)

2

.

Portanto, Var

(X) = σ

2

X

=

Z

+∞

−∞

(x

− E(X))

2

_f

X

(x)dx;

=

Z

+∞

−∞



x

−

(b + a)

2



2

1

(b

− a)

dx;

=

(b + a)

2

12

.

⋄

Exemplo 3.21Considereavariável aleatóriagaussiana

X

(normal) omdensidadede pro-babilidadedenidapor:

f

X

(x) =

1

√

2πσ

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



.

Cal ulevariân iadavariávelaleatóriagaussiana

X

,ouseja, Var

(X) = σ

2

=

Z

+∞

−∞

(x

− E(X))

2

f

X

(x)dx;

=

Z

+∞

−∞

(x

− µ)

2

_√

1

2πσ

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



dx;

=

√

1

2πσ

Z

+∞

−∞

(x

− µ)

2

exp



−

(x

− µ)

2

2σ

2



dx.

⋄

3.9.3 Momentos

O

k

-ésimomomentodeumavariávelaleatória

X

,

k = 1, 2, 3, . . .

édadopor:

E(X

k

) =

Z

∞

−∞

x

k

f

X

(x)dx,

quando

X

é uma variável aleatória ontínua om densidade de probabilidade

f

X

(x)

. Quando

X

éuma variávelaleatóriadis reta, ompossíveisvalores

x

j

,

j = 1, 2, 3, . . .

,oseumomento deordem

k

édadopor:

E(X

k

_{) =}

X

j

x

k

j

P (X = x

j

).

Se existe o

k

-ésimo momento de uma variávelaleatória, então existe também todososmomentosdeordeminferior.

Entropia

Emboranão sejaummomento,aentropia,dadapor

H(X) =

X

i

p

i

log

 1

p

i



=

₋

X

i

p

i

log p

i

,

é umindi adorda dispersãodadistribuiçãode probabilidade deuma variável aleatória

X

tal que

P (X = x

i

) = p

i

.

3.10 Duas Variáveis Aleatórias

fen-deumavariávelaleatóriafala-seemvetoresaleatóriosde

n

dimensões,emque

n

éonúmerodevariáveisaleatóriasqueserãoas oordenasdessevetor). Dessa forma, onsidereduasvariáveisaleatórias

X

e

Y

. Quandosefalaemvariável ale-atória,fala-se automati amenteem funçãodedistribuiçãoefunção densidade. Portantoexistemasdistribuições

F

X

e

F

Y

,e,satisfeitasalgumas ondições,as densidades

f

X

e

f

Y

, respe tivamente. Logo, pode-se falarde uma orrelação entreasvariáveisaleatórias.

3.10.1 Função distribuição de probabilidade onjunta Para se al ular a probabilidade destes evento, é ne essário dispor-se da distribuição onjunta, isto é, da função de distribuição onjunta de

X

e

Y

. Estafunçãoédadapor:

F

XY

(x, y) =

Pr

{ω ∈ Ω : −∞ ≤ X(ω) ≤ x

,

− ∞ ≤ Y (ω) ≤ y},

= P (X

≤ x, Y ≤ y),

isto é, é a probabilidade do onjunto de

ω

's perten entes ao espaço amostral (e portanto ara terizam um evento) tais que os orrespondentes valores da variável aleatória

X

sejam todos menores ou iguaisa

x

, e os orrespondentes valores da variável aleatória

Y

sejam todos menores ou iguais a

y

4

. Deni-se, analogi amente ao aso unidimen ional (apenas uma variávelaleatória), a funçãodensidadedeprobabilidade onjuntode

X

e

Y

por/:

f

XY

(x, y) =

∂

2

∂x∂y

F

XY

(x, y).

No asode duas variáveisaleatórias, oseventos são denidos no plano

(x, y)

. Neste aso,a funçãodensidade de probabilidadenão seráuma urva massim umasuperfí ienoplano

(x, y)

.

Exemplo 3.22 Transmissão em uma anal genéri o. FIGURA Intensidade do sinalno re eptordeumaestaçãobase(

Y

)eadistân ia(

X

)daestaçãomóvelparaaestaçãobase.

⋄

Exemplo 3.23 Considere que

X

representando os bits enviados e

Y

os bitsre ebidos, e sejaomodelodeprobabilidadedeum analdetransmissãobinário,mostradonaFigura3.9. Considereque afontebinárioqueenviaosbitsequiprováveis,ouseja,

P (X = 1) = P (X =

0) = 1/2

. Logo,

P (Y = 0|X = 0) = p;

P (Y = 1|X = 0) = 1 − p;

P (Y = 0

|X = 1) = 1 − p;

P (Y = 1|X = 1) = p.

4

A

B

X = 0

Y = 0

X = 1

y = 1

1

_{− p}

1

_{− p}

p

p

Figura3.9: CanalBináriodeComuni ação.

Como

P (A

∩ B) = P (A|B)P (B)

,dessaforma,

P (Y = 0|X = 0) = P (Y = 0|X = 0)P (X = 0) =

p

2

;

P (Y = 1|X = 0) = P (Y = 1|X = 0)P (X = 0) =

1

− p

2

;

P (Y = 0

|X = 1) = P (Y = 0|X = 1)P (X = 1) =

1

− p

2

;

P (Y = 1|X = 1) = P (Y = 1|X = 1)P (X = 1) =

p

2

.

Afunçãodensidadedeprobabilidadeserádenidapor:

x > 1

e

y > 1 =

⇒ F

XY

(x, y) = 1;

x < 0

e

∀y =⇒ F

XY

(x, y) = 0;

y < 0

e

∀x =⇒ F

XY

(x, y) = 0;

x > 1

e

y > 1 =

⇒ F

XY

(x, y) =

1

− p

2

+

p

2

=

1

2

;

x > 1

e

y

≥ 1 =⇒ F

XY

(x, y) = 1;

x < 1

e

y > 1 =

⇒ F

XY

(x, y) =

1

2

;

x < 1

e

y < 1 =

⇒ F

XY

(x, y) =

p

2

.

⋄

Propriedades dafunção distribuição de probabilidade onjunta 1.

F

XY

(x, y)

énão-de res ente;istoé,

F

XY

(x

1

, y

1

)

≥ F

XY

(x

2

, y

2

)

se

x

1

≥ x

2

e

y

1

≥ y

2

(

0

≤ F

XY

(x, y)

≤ 1

); 2.

F

XY

(

−∞, y

1

) = F

XY

(x

1

,

−∞) = 0

; 3.

F

XY

(+

∞, +∞) = 1

; 4.

F

X

(x) = F

XY

(x

1

, +

∞) = P (X ≤ x, y < +∞) = P (X ≤ x)

; 5.

F

Y

(y) = F

XY

(+

∞, y

1

) = P (x < +

∞, Y ≤ y) = P (Y ≤ y)

.

probabi-3.10.2 Função massa de probabilidade onjunta

Afunçãodemassadeprobabilidadededuasvariáveisaleatóriasdis retas

X

e

Y

édadapor

P

X,Y

(x, y) = P (X = x, Y = y).

Existem várias formas de se representar a função de massa de probabilidade onjunta(Listas,MatrizeseGrá os).

Exemplo3.24Testa-se...

⋄

Teorema 3.1 Paraduas variáveis aleatóriasdis retas

X

e

Y

,e

3.10.3 Função densidade de probabilidade onjunta

A função densidade deprobabilidade onjunta de duas variáveisaleatórias ontínuas

X

e

Y

éataxade res imento,denindoumafunção

f

X,Y

(x, y)

om aseguintepropriedade

F

X,Y

(x, y) =

Z

x

−∞

Z

y

−∞

f

X,Y

(u, v)dudv.

Propriedadesda função densidadede probabilidade onjunta 1.

f

XY

(x, y)

≥ 0

,

∀(x, y)

; 2.

f

XY

(x, y) =

∂

2

_F

X,Y

(x,y)

∂x∂y

; 3.

R

∞

−∞

R

∞

−∞

f

X,Y

(x, y)dxdy = 1

; 4.

P (x

1

≤ X ≤ x

2

, y

1

≤ X ≤ y

2

) = F

XY

(x

2

, y

2

)

−F

XY

(x

2

, y

1

)

−F

XY

(x

1

, y

2

)+

F

XY

(x

1

, y

1

)

; 5.

P (A) =

R R

A

f

X,Y

(x, y)dxdy

.

Assim omo no aso das variáveis aleatórias dis retas, pode-se al ular a função densidade de probabilidade marginal apartir da função densidade de probabilidade onjunta.

Teorema 3.2 Se

X

e

Y

são variáveis aleatórias ontínuas om função densi-dadede probabilidade onjunta

f

X,Y

(x, y)

,então:

f

X

(x) =

Z

∞

−∞

f

X,Y

(x, y)dy;

e

f

Y

(y) =

Z

∞

−∞

f

X,Y

(x, y)dx.

Exemplo 3.25 Umtrem hega auma estaçãoeespera in ominutos antes deprosseguir paraapróximaestação.Oinstantede hegadadotrem, ontadoapartirdas9h,emminuto, podesermodeladopelavariávelaleatória

T

, omfunçãodensidadedeprobabilidade

f

T

(t) =

0, 15e

0,15t

_u(t)

.

a. Cal uleaprobabilidadedeotrem hegarnaestaçãoatéas9:20h.

b. Determineomaioratrasoqueumusuáriopodeterdemodoqueaprobabilidadedeele pegarotremsejamaiorque

0, 5

;

. Considerequeoinstantede hegadadeumestudanteàestação( ontado apartirdas 9h,emminuto)áumavariávelaleatória

X

equeafunçãodensidadedeprobabilidade de

X

e

T

é:

f

XT

(x, t) = 0, 006e

0,15t+0,4x

u(t)u(x)

.Cal uleaprobabilidadedeoestudantepegarotrem. Solução: a.

P [T < 20] =

Z

Z

Aa

f

T

(t)dt

=

Z

20

0

0, 15e

0,15t

dt

≃ 0, 95.

b.

P [T > a

− 5] =

Z

Z

A

b

f

T

(t)dt

=

Z

+∞

a−5

0, 15e

0,15t

dt > 0, 5

⇒ a < 9, 621.

.

P [T > X

− 5] = P [X < T + 5] = P [(X, T ) ∈ A]

=

Z

Z

A

c

f

XT

(x, t)dxdt

=

Z

+∞

0

Z

t+5

0

0, 006e

0,15t+0,4x

_{dxdy = 0, 946.}

⋄

3.10.4 Função densidade de probabilidade ondi ionais No aso de duas ou mais variáveis aleatórias, a situação é bem mais ri a doqueno asodeumasó. Apare eofenmenodainteraçãoentre asvariáveis aleatórias e a possibilidade de se fazer armações probabilísti as sobre uma variável. Tem-seentãoo on eitodefunçãodensidade ondi ional. Porexemplo, a densidade ondi ional de

Y

dado que se onhe e

X

é denida, de maneira análogaàprobabilidade ondi ional, omo

f

Y

|X

(y

|x) =

f

XY

(x, y)

f

X

(x)

,

e deve serlida omo adensidade de probabilidade ondi ional de

y

dado

x

. Analogamente,tem-se

f

X|Y

(x

|y) =

f

XY

(x, y)

f

Y

(y)

.

3.10.5 Valores Esperado

Correlaçãoentre duas variáveis aleatórias Fernando

3.10.6 Independên ia Estatísti a

Dois eventos

A

e

B

foram denidos omo independentes se, esomente se,

P (A

_{|B) = P (A)·P (B)}

. Damesmaforma,dene-sequeduasvariáveisaleatórias

X

e

Y

sãoindependentesse:

F

X,Y

(x, y) = F

X

(x)

· F

Y

(y)

ou,deformaanáloga,

f

X,Y

(x, y) = f

X

(x)

· f

Y

(y).

Usandoadensidadeeadistribuição ondi ionais,mostra-sequeseduasvariáveis aleatórias

X

e

Y

foremindependentes, vale:

f

X

(x

|y) =

f

X,Y

(x, y)

f

Y

(y)

=

f

X

(x)f

Y

(y)

f

Y

(y)

= f

X

(x)

e

f

Y

(y

|x) =

f

X,Y

(x, y)

f

X

(x)

=

f

X

(x)f

Y

(y)

f

X

(x)

= f

Y

(y)

Assim,asdensidadesdeixamdeser ondi ionaisetornam-seiguaisàsmarginais.

3.11 Exemplosde distribuições deprobabilidades

Lista de Exer í io - Variáveis Aleatórias

QuestõesreferentesaoCapítulo3.

Exer í io 3.1 Suponha que a temperatura de uma lo alidade seja modelada omo uma variável aleatória ontínua

T

que sabe-se en ontrar entre .5oC e 35oC. Alémdisso, onsidere quetodos osvalores

−5

◦

Ce

35

◦

Csão igualmente prováveis. Cal ule:

• P (T ≤ 10)

;

• P (5 ≤ T ≤ 10)

;

• P (T = 10)

.

Exer í io 3.2 Seja

X

umavariável aleatória om funçãodensidade de proba-bilidade

f

X

(x)

,dada por:

f

X

(x) =







A(x + 5),

_{− 5 ≤ x ≤ −4;}

A,

_{− 4 ≤ x ≤ −4;}

−A(x − 5), 4 ≤ x ≤ 5.

Sendo

A

uma onstante,pede-se:

a. Faça umesboço do grá ode

f

X

(x)

. b. Determineovalor da onstante

A

.

. Determineaexpressão daFunçãoDistribuiçãode Probabilidadeda variá-velaleatória

X

.

d. Faça umesboço do grá ode

F

X

(x)

. e. Determineaprobabilidade

P (X > 4)

.

Observação: Quando

F

X

(x)

não é ontínua, pode-se estender adenição de f.d.p. usandoadistribuição

δ

. Usa-seofatodeque,nosentidodasdistribuições,

d

dx

[u(t)] = δ(t)

,sendo

u(t)

a distribuição degrau unitário e

δ(t)

a distribuição delta deDira . Assim,se

X

éuma variável aleatóriadis reta,tem-se:

F

X

(x) =

X

k

p

x

(x

k

)u(x

− x

k

),

e

f

X

(x) =

X

k

p

x

(x

k

)δ(x

− x

k

).

Exer í io 3.3 A quantidade a essos normalizada a um servidor durante um dia édes ritaporumavariável aleatória

X

quetemdistribuição

F

X

(x) =



1

− e

−

x2

b



u(t).

Determine afunção densidade

f

X

(x)

.

Exer í io3.4 [3 ℄A entralde umsistema deinter omuni açãoprovê músi a para seisquartosde um hospital. A probabilidade de que ada quarto seja ati-vadoe onsuma potên iaa qualquer instanteé

0, 4

. Quando ativado, oquarto onsome

0, 5

W. Pede-se:

a. En ontre e faça um grá o das funções distribuição e densidade para a variável aleatória

potên iaforne ida pela entral.

b. Seoampli adordaestaçãoprin ipal asobre arregadoquandomaisdo que

2

Wéne essário,qual aprobabilidadede sobre arga?

Exer í io3.5 Arelação sinal-ruído no anal de um sistema de omuni ações dadaem

dB

podeseraproximadaporumavariávelaleatóriagaussiana

X

sendo

µ

X

= 3

e

σ

X

= 2

. En ontre a probabilidade do evento

{X ≤ 5, 5}

e ilustre a funçãodensidade de probabilidade davariável aleatóriagaussiana

X

.

Exer í io3.6 [3 ℄Um problemaemsistemasde omuni açõesé omodenira informaçãodeumafonte. Considereamodelagemdeumafonte apazdeemitir

L

símbolos distintos (mensagens) representados pelos valores de uma variável aleatória dis reta

x

i

,

i = 1, 2, . . .

(

L = 2

é o aso binário). Seja

P (x

i

)

a probabilidadedosímbolo

X = x

i

. Pergunta-se,qual ainformação ontidanesta fonte,em média. É ne essáriofazer três onsiderações.

1. Considera-se quea informação deve ser maior para saídas da fonte om baixaprobabilidade. Porexemplo, ontémpou ainformaçãoprevertempo quente ese o parao deserto do Saara já que estas ondições prevale em quase todootempo. Masprevertempofrioe huvasfortes arrega muita informação.

2. As informaçõesde duas fontesindependentes devemse somar.

3. Ainformaçãodeveserumaquantidadepositiva(umaes olhafeita)ezero paraum eventoqueo orre om erteza.

Uma função om estas propriedades é a logarítmi a. Como duas quantidades representamo menor númeropara uma es olha, ologaritmo na base2 é es o-lhido paramedir informação esuaunidadeé hamada de bit. Paraumafonte, deni-se ainformaçãode um símbolo

x

i

omo

log

2



1

P (x

i

)



=

_{− log}

2

(P (x

i

)) .

Determine então a informação média ou entropia, de uma fonte dis reta om

L

símbolos possíveis.

Exer í io3.7 Considere o experimento de lançamento de um dado honesto. Seja

X

,avariável aleatóriaque atribui

1

se onúmero obtidofor pare

0

,se o númeroobtido for ímpar. Pergunta-se:

b. Cal ule

P (X = 1)

e

P (X = 0)

.

Exer í io 3.8 Umafontede informaçãogerasímbolosaleatoriamenteapartir de um alfabeto de 4 letras

{a, b, c, d}

, om probabilidades

P (a) = 1/2

,

P (b) =

1/4

,

P (c) = P (d) = 1/8

. Umesquemade odi ação onverteestessímbolosem ódigosbinários dea ordo omatabela aseguir. Sendo

X

,avariável aleatória quedenota o omprimento do ódigo, respondaoquese pede:

a

0

b

10

c

110

d

111

a. Qualoespaçoamostral de

X

?

b. Considerando quea geração dos símbolosé independente, al uleas pro-babilidades

P (X = 1)

,

P (X = 2)

,

P (X = 3)

e

P (X > 3)

.

Exer í io 3.9 Seja

X

,a variávelaleatóriadenida noExer í io3.8.

a. Esbo e afunção de distribuição umulativa

F

X

(x)

e espe iqueo tipode

X

;

b. Cal uleasprobabilidades

P (X

≤ 1)

,

P (1 < X

≤ 2)

e

P (X > 1)

.

Exer í io 3.10 Suponhaqueumavariável aleatória

X

tenhaaseguintefunção de massade probabilidade:

p

X

(1) = 1/2; p

X

(2) = 1/4; p

X

(3) = 1/8; p

X

(4) = 1/8

.

a. Cal ule e esbo e a função de distribuição umulativa

F

X

(x)

da variável aleatória

X

;

b. Cal ule

P (X

≤ 1)

e

P (1 < X

≤ 3)

.

Exer í io 3.11 Suponha queumavariável aleatóriatenha umafunção de dis-tribuição umulativadada por

F

X

(x) = (1

− e

−x

)u(x).

Cal uleasseguintesprobabilidades: a.

P (X > 5)

;

b.

P (X < 5)

; .

P (3 < X < 7)

; d.

P (X > 5

|X < 7)

.

Exer í io3.12 Otempo de transmissão

X

de mensagens em um sistema de omuni ações obede e a lei de probabilidade exponen ial om parâmetro

λ

, ou seja,

P (X > x) = e

λx

,

x > 0

.

a. Cal uleafunção de distribuição umulativade

X

; b. Cal ule

P (T < X

≤ 2T )

,em que

T = 1/λ

.

Exer í io3.13 Onúmerodea essosaum websiteemumintervalodetempo qualqueréumavariávelaleatóriadePoisson. Um websiteemparti ularpossui, em média,

λ = 2

a essosporsegundo.

a. Qual aprobabilidade de quenãohaveráa essosem um intervalode

0, 25

segundos?

b. Qual a probabilidade de que não haverá mais do que

2

a essos em um intervalo de

1

segundo?

Exer í io3.14 Cal uleeesbo easfunçõesdedistribuição umulativade ada umadas funçõesdensidade de probabilidade aseguir:

a.

f

X

(x) =



1, 0

≤ x ≤ 1

0, c.c

.

b.

f

X

(x) =



2x, 0

≤ x ≤ 1

0,

c.c

.

Exer í io3.15 Afunçãodensidadedeprobabilidadedeumavariávelaleatória ontínuaX édada por

f

X

(x) =







1

3

, 0

≤ x ≤ 1

2

3

, 0

≤ x ≤ 2

0,

c.c

.

Cal ule a função de distribuição umulativa

F

X

(x)

orrespondente e esbo e

f

X

(x)

e

F

X

(x)

.

Exer í io3.16 Uma variável aleatória possui função densidade de probabili-dadedada por

f

X

(x) =

1

√

8π

exp



−

(x

− 3)

2

8



.