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Condensados de Bose-Einstein com interação spin-órbita

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Academic year: 2021

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(1)Universidade de S˜ao Paulo Instituto de F´ısica. Condensados de Bose-Einstein com interac¸a˜ o spin-´orbita. Alex Valerio Andriati Orientador: Prof. Dr. Arnaldo Gammal. Dissertac¸a˜ o de mestrado apresentada ao Instituto de F´ısica da Universidade de S˜ao Paulo, como requisito parcial para a obtenc¸a˜ o do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias. ´ Area de concentrac¸a˜ o: F´ısica Atˆomica.. Banca Examinadora: Prof. Dr. Arnaldo Gammal - Orientador (Instituto de F´ısica - USP) Prof. Dr. Francisco Ednilson Alves dos Santos - UFSCAR (via videoconferˆencia) Prof. Dr. Lauro Tomio - IFT UNESP. S˜ao Paulo 2018.

(2) FICHA CATALOGRÁFICA Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação do Instituto de Física da Universidade de São Paulo Andriati, Alex Valerio Condensados de Bose-Einstein com interação spin-órbita. São Paulo, 2018. Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo. Instituto de Física. Depto. de Física Experimental Orientador: Prof. Dr. Arnaldo Gammal Área de Concentração: Física Atômica e Molecular Unitermos: 1. Condensado de Bose-Einstein; 2. Interação spin-órbita; 3. Interação atômica atrativa. USP/IF/SBI-008/2018.

(3) Ao meu filho, com carinho, por toda felicidade e amadurecimento durante o per´ıodo deste trabalho..

(4) Agradecimentos Agradec¸o de forma geral a todos amigos e familiares que estiveram presentes e, que prestaram apoio, motivac¸a˜ o e incentivo n˜ao s´o em momentos felizes, mas tamb´em nos mais dif´ıceis. Especificamente ao Prof. Dr. Arnaldo Gammal, por toda paciˆencia e did´atica em sua orientac¸a˜ o, por tudo que veio a acrescentar em conhecimento t´ecnico-cient´ıfico e, pela dedicac¸a˜ o que atendeu a toda solicitac¸a˜ o. Aos professores Antˆonio Fernando Ribeiro de Toledo Piza e Emerson Jos´e Veloso de Passos pelas frut´ıferas discuss˜oes, nas reuni˜oes semanais do “Journal Club”, que veio a enriquecer este trabalho. Ao professor Marcos Godoy, pelo primeiro contato com a f´ısica e, que sem sua motivac¸a˜ o para prosseguir nos estudos em n´ıvel superior, este trabalho nunca sequer teria acontecido. Aos colaboradores do Instituto de F´ısica, especialmente da Comiss˜ao de P´os-Graduac¸a˜ o (CPG), ao Centro de Computac¸a˜ o do Instituto de F´ısica e as secretarias, pela atenc¸a˜ o e eficiˆencia nos servic¸os prestados. Por fim e mais essencial, ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico, CNPQ, que sem o aux´ılio financeiro, esta dissertac¸a˜ o n˜ao seria poss´ıvel..

(5) Resumo Nesta dissertac¸a˜ o s˜ao estudados Condensados de Bose-Einstein de a´ tomos com pseudo-spin 1/2 cuja dinˆamica orbital est´a acoplada a estes dois n´ıveis de energia internos. A gerac¸a˜ o de tal sistema e´ poss´ıvel induzindo transic¸o˜ es entre os subn´ıveis mf = −1 e mf = 0 do estado hiperfino atˆomico f = 1 usando um arranjo de lasers, os quais tamb´em introduzem junto uma dependˆencia espacial dada por suas fases, as quais est˜ao relacionadas a posic¸a˜ o do a´ tomo no campo, levando assim a` interac¸a˜ o acoplando spin e o´ rbita. E´ considerado ent˜ao um sistema unidimensional efetivo na mesma direc¸a˜ o do acoplamento dos lasers, onde s˜ao estudado diferentes observ´aveis do estado fundamental, para uma varredura dos parˆametros presentes na equac¸a˜ o, dando origem a trˆes fases diferenciadas pela distribuic¸a˜ o do momento. Foram determinadas estas fases do estado fundamental para interac¸a˜ o atrativa, sendo elas modulada(striped), onda plana e de momento nulo, mostrando a localizac¸a˜ o onde cada uma ocorre no dom´ınio de parˆametros da equac¸a˜ o, atrav´es de diagramas de fase. S˜ao tamb´em mostrados, separadamente, observ´aveis relevantes como momento e desbalanc¸o entre os estados internos nestas transic¸o˜ es, os quais apresentaram variac¸o˜ es bruscas, ditando valores cr´ıticos nos parˆametros, onde ocorrem. Posteriormente e´ estudado a dinˆamica atrav´es de soluc¸o˜ es do tipo s´oliton, as quais n˜ao se propagam linearmente e s˜ao ditadas por oscilac¸o˜ es do centro de massa e das populac¸o˜ es, explorando diferentes situac¸o˜ es iniciais.. Palavras-Chave: Condensado de Bose-Einstein, interac¸a˜ o spin-´orbita, interac¸a˜ o atˆomica atrativa..

(6) Abstract In the present dissertation it has been studied Bose-Einstein Condensation of atoms with 1/2 pseudospin whose the orbital dynamics is coupled to these two internal energy levels. The generation of such a system is done by inducing transitions between the sub-levels mf = −1 and mf = 0 from the hyperfine atomic state f = 1 using an arrangement of lasers, that also introduce a spacial dependence due to their phases, that changes accordingly the atom’s position in the light field, conducting in this way to a interaction that couples orbital motion with spin. It is then considered an effective one dimensional system in the same direction of the laser coupling, where it has been studied different ground state observables, making a sweeping in the equation parameters, showing three typical phases based on momentum distribution. So far, it was determined these phases for attractive interactions, named striped, plane wave and zero momentum, determining as well the location where each one occurs in the equation’s parameters through a phase diagram. It is also reported, separately, a few relevant observables as individual momentum of each population and the unbalance between the internal spin states, in the transition among these phases, whose the values present abrupt variations, dictating critical values for the parameters, where it occurs. Lately is presented a dynamical study with soliton like solutions, that do not linearly propagate and instead, shows a center of mass and unbalance oscillation, probing different initial conditions.. keywords: Bose-Einstein condensate, spin-orbit interaction, attractive atomic interactions..

(7) Sum´ario 1. 2. Introduc¸a˜ o. 7. 1.1. Por que estudar gases a baixas Temperaturas? . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.2. Rudimentos da Condensac¸a˜ o de Bose-Einstein e estrutura hiperfina atˆomica . .. 10. 1.3. Pretens˜ao deste trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. acoplamento spin-´orbita 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 3. Breve discuss˜ao de Segunda Quantizac¸a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.1.1. B´osons e F´ermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.1.2. Operadores de Campo e Densidade com Spin . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.1.3. Representac¸a˜ o de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.1.4. Dinˆamica de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. Interac¸a˜ o Efetiva a baixas temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.2.1. Aproximac¸a˜ o de Born e um crit´erio de validade . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.2.2. “Scattering Lenght” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. Descric¸a˜ o de Campo M´edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.3.1. Estados Estacion´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.3.2. Ac¸a˜ o do Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.3.3. Soluc¸o˜ es do tipo soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. Condensado na presenc¸a de Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 2.4.1. ´ Elementos de interac¸a˜ o Atomo-Luz sob aproximac¸a˜ o de Dipolo . . . .. 31. 2.4.2. Transic¸o˜ es Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.4.3. Escalas de energia e unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. M´etodos Num´ericos 3.1. 14. Algoritmos de Evoluc¸a˜ o Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42 42.

(8) ´ SUMARIO. 3.2. 4. 3.1.1. Diferenc¸as finitas, m´etodo Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.1.2. M´etodos Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.1.3. Procedimento de separac¸a˜ o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. Algoritmos para soluc¸o˜ es Estacion´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.2.1. Propagac¸a˜ o em Tempo imagin´ario - Relaxac¸a˜ o . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.2.2. Estados Estacion´arios gen´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. Resultados e Estudos Dirigidos. 56. 4.1. Autoestados sem interac¸a˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 4.2. Estados Estacion´arios com Interac¸a˜ o atrativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 4.3. Estudo de Fases baseado em C´alculo Variacional . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 4.3.1. Diagramas com kL fixado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 4.3.2. Efeito de δ sobre o Estado Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. Dinˆamica de S´olitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 4.4 5. 6. Conclus˜oes e Perspectivas. 78. A C´alculo Variacional para Dinˆamica de S´olitons. 81. B C´alculo Variacional para o Estado Fundamental. 85.

(9) Cap´ıtulo 1 Introduc¸a˜ o 1.1. Por que estudar gases a baixas Temperaturas?. Uma parcela expressiva de pesquisa tem sido feita, mais intensamente no u´ ltimo s´eculo, em temas que se correlacionam a temperaturas pr´oximas a zero. O interesse nesse tema tem uma de suas ra´ızes em entender e testar alguns dos postulados mais b´asicos da F´ısica contemporˆanea, o principio de simetrizac¸a˜ o para F´ermions e B´osons atrav´es da dinˆamica de um conjunto de a´ tomos. As primeiras pesquisas relevantes datam mesmo antes da Teoria Quˆantica alcanc¸ar a total maturidade em meados de 1927-1930, na observac¸a˜ o de fenˆomenos sem prescric¸a˜ o te´orica na transic¸a˜ o do H´elio para fase l´ıquida, nos primeiros anos do mesmo s´eculo, mais tarde relacionado com a superfluidez [1]. Embora princ´ıpios termodinˆamicos, que at´e ent˜ao se mostram v´alidos, asseguram a existˆencia de um limite m´ınimo para temperatura, denominado “zero absoluto”, tal limite vem sendo progressivamente alcanc¸ado. Esse constante esforc¸o experimental resultou na observac¸a˜ o da Condensac¸a˜ o de Bose-Einstein [2] em 1995, datando sua primeira previs˜ao de 1924-1925 por Satyendra Nath Bose e Albert Einstein em [3] e [4], respectivamente. De volta ao princ´ıpio de simetrizac¸a˜ o, um c´alculo introdut´orio que aqui ser´a feito, resulta numa f´acil percepc¸a˜ o do que difere com os postulados de simetria e, fornece significa quantitativo a “baixas temperaturas”. Seja P(ik ) com k, ik ∈ N; i, k < n, o operador de permuta, que troca a i-´esima part´ıcula . com a k-´esima, por exemplo, se temos um estado |kk 0 i = |ki1 |k 0 i2 onde a part´ıcula enumerada 1 tem momento }k e a 2 possui }k 0 , a ac¸a˜ o de P(21 ) leva ao estado em que a 1 ter´a momento 7.

(10) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC¸AO. 8. }k 0 e 2 possuir´a }k, i.e, P(12 )|kk 0 i = |k 0 ki. Segue que 1. P(ik )2 = P(ii ) = 1; 2. P(ik )† = P(ik ); 3. Se [O, P] = 0, ent˜ao O n˜ao depende de ordenamento. Tal operador pode ainda ser generalizado para permutas quaisquer sobre um conjunto {i1 , ..., in } com P(i1 , ..., in ) indicando a troca da part´ıcula 1 com a de n´umero i1 , e analogamente para o restante. O n´umero de permutas e´ ent˜ao definido pela quantidade de il tais que l 6= i que ser´a denotado por Np . Os postulados de simetrizac¸a˜ o exigem que para qualquer estado gen´erico de n part´ıculas tenhamos este como autoestado de qualquer permuta, com    (+) Bosons  . P(i1 , ..., in )|Ψ(n) i = (±1)Np |Ψ(n) i =  (−) Fermions . (1.1). A Hamiltoniana de n part´ıculas n˜ao interagentes, mostra o caso de um operador separ´avel, i.e, onde seus autoestados podem ser constru´ıdos como o produto dos estados individuais na forma. n X p2 H= ; 2m l=1. H|k1 ...kn i =. n X }2 k 2 l. l=1. 2m. ! |k1 ...kn i.. (1.2). Passa-se ent˜ao a exigir que tais auto estados estejam (anti)simetrizados com relac¸a˜ o a (Fermions)B´osons, fazendo a mudanc¸a 1 1 X √ |k1 ...kn i 7→ |{k1 , ...kn }i = p (±1)Np P({ik })|k1 ...kn i, nk1 !...nkn ! n! P. (1.3). onde a diferente notac¸a˜ o incluindo {} atenta para o fato de que s˜ao autoestados simultˆaneos de P e H e podem ser escritos como uma combinac¸a˜ o dos apresentados em (1.2). Para ilustrar ent˜ao a consequˆencia desse postulado de simetria, podemos calcular a densidade de probabilidade de encontrar part´ıculas nas posic¸o˜ es r1 , ..., rn . Isso pode ser feito por interm´edio da matriz densidade no Ensemble Canˆonico, com as propriedades das permutac¸o˜ es, iniciando com . Φ(r1 , ..., rn ) = h{r1 ...rn }|ρ|{r1 ...rn }i ,. . ρ = e−βH ,. (1.4).

(11) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC¸AO. 9. temos, 1 X Φ(r1 , ..., rn ) = h{r1 ...rn }|ρ √ (±1)Np P({ik })|r1 ...rn i n! P 1 X = √ h{r1 ...rn }|P({ik })(±1)Np ρ|r1 ...rn i n! P 1 X = √ h{r1 ...rn }|ρ|r1 ...rn i n! P √ = n! h{r1 ...rn }|ρ|r1 ...rn i √ X e−βE(k1 ,...,kn ) n! h{r1 ...rn }|k1 ...kn i hk1 ...kn |r1 ...rn i = Z k1 ...kn   n X Y X }2 kl2 ∗ 1 Np = (±1) exp −β φkl (rP(l) )φkl (rl ). Z P 2m k ...k l=1 1. n. onde foi expresso a matriz densidade na base referente a (1.2). As func¸o˜ es de part´ıcula, φkj , livre s˜ao tomadas como peri´odicas em um volume V . Invertendo soma e produto e passando a integrac¸a˜ o, temos. n X Y k1 ...kn l=1. ≡. n X Y l=1 kl. Z n Y V 7−→ d3 kl , 3 (2π) l=1. (1.5). resultando numa transformada de Fourier de uma Gaussiana, pelo fator exponencial das func¸o˜ es φ de part´ıcula livre, finalmente conduzindo a   N X Y π 1 Np 2 (±1) exp − 2 (rl − rP(l) ) , Φ(r1 , ..., rN ) = Z(T, V, N )(λT )3N P λT l=1 p . λT = h/ 2mπkB T ,. (1.6) (1.7). com λT dito comprimento de onda t´ermico. Para N = 2 encontra-se 1 Φ(r1 , r2 ) = Z(T, V, 2)(λT )6.    2π 2 1 ± exp − 2 (r1 − r2 ) , λT. (1.8). resultado particular mostrado em [5, exemplo 11.2], onde a func¸a˜ o de partic¸a˜ o tamb´em e´ detalhada e, vem a ser V2 Z(T, V, 2) = 6 2λT.   λ3T 1± √ . 8V. (1.9). Portanto dependendo do sinal, ou seja, F´ermions ou B´osons, a densidade de Probabilidade das part´ıculas serem encontradas mais pr´oximas e´ menor ou maior, respectivamente. Contudo este efeito se pronuncia espacialmente a medida que λT e´ maior poss´ıvel, que se relaciona com.

(12) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC¸AO. 10. desvio padr˜ao na Gaussiana (1.6) e, isso equivale a T → 0. Portanto estudar sistemas a baixas temperaturas mostra n˜ao somente o uso da descric¸a˜ o Quˆantica, mas tamb´em uma plataforma onde efeitos se simetrizac¸a˜ o se pronunciam, cuja a presente dissertac¸a˜ o ir´a abordar como se comportam B´osons, no fenˆomeno da Condensac¸a˜ o de Bose-Einstein. Este efeito e´ automaticamente contabilizado no formalismo que se nomeia “segunda quantizac¸a˜ o”, o qual ser´a adotado e explicitado a frente.. 1.2. Rudimentos da Condensac¸a˜ o de Bose-Einstein e estrutura hiperfina atˆomica. Segue diretamente do Ensemble Macro-Canˆonico, o c´alculo do valor m´edio do n´umero de ocupac¸a˜ o para um g´as de Bosons como sendo  hnk i =. −1 eβk 1 = β( −µ) −1 , z e k −1. (1.10). . onde z = eβµ e´ conhecida como fugacidade e, este resultado pode ser amplamente encontrado, por exemplo em [5, 6]. Para que os valores acima sejam positivos definidos, e´ necess´ario que µ < k , ∀k, sempre que T > 0. Por´em a medida que T → 0 ⇒ β → ∞, naturalmente hnk i → 0. Portanto para que eventualmente permanec¸am part´ıculas no sistema a inequac¸a˜ o µ < o deve se aproximar de uma igualdade. Por assim dizer, T → 0 ⇒ µ → o ;. hno (T = 0)i ≡ N.. (1.11). Caracterizando a ocupac¸a˜ o majorit´aria do estado fundamental de part´ıcula individual. Estimativas s˜ao poss´ıveis para a frac¸a˜ o de ocupac¸a˜ o do estado fundamental para uma temperatura bem pr´oxima de zero, mais especificamente abaixo de um ponto cr´ıtico, dependendo da Hamiltoniana do sistema. No g´as livre, por exemplo, temos a frac¸a˜ o ocupando o estado fundamenta No dada por No =1− N. . T Tc. 3/2 ,. 2π}2 kB Tc = m. onde ζ indica a func¸a˜ o Zeta de Riemann [5, cap. 13].. . N ζ(3/2)V. 2/3 ,. (1.12).

(13) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC¸AO. 11. O caso dos a´ tomos num potencial harmˆonico (sendo comum a referˆencia “Armadilha”), tamb´em pode ser tratado analiticamente, conduzindo no entanto a um resultado levemente diferente do anterior, com a frac¸a˜ o agora dada por No0 =1− N. . T Tc0. 3 ,. kB Tc0. 2. =}. . N ωx ωy ωz ζ(3). 1/3 ,. (1.13). mostrado em [7, cap. 10], de especial interesse experimental, devido a arranjos de campos magn´eticos e interac¸a˜ o de a´ tomos com luz que podem gerar tal potencial, onde neste caso, ωi vem a depender da intensidade dos campos em quest˜ao [8, 7]. Apesar dos resultados acima demonstratem boa acur´acia para um sistema dito diluto, onde as colis˜oes tem efeito minorit´ario, e´ poss´ıvel desenvolver um crit´erio mais gen´erico para a condensac¸a˜ o de Bose-Einstein incluindo interac¸o˜ es, como explicitado em [9]. Este crit´erio, baseia-se na matriz densidade reduzida(como encontrado neste u´ ltima referˆencia), obtida pelo trac¸o no subespac¸o gerado por N − 1 consituintes, cujo o autovalor, se representada no n´umero de ocupac¸a˜ o, deve caracterizar esta ocupac¸a˜ o macrosc´opica do estado fundamental, muito embora qualquer pretens˜ao anal´ıtica e´ mais engenhosa de se obter. Apesar das considerac¸o˜ es anteriores, os n´ıveis de energia n˜ao residem apenas na translac¸a˜ o, ou seja, o termo cin´etico, pois h´a tamb´em a estrutura interna dos constituintes. Isto adv´em da separac¸a˜ o na hamiltoniana nas coordenadas relativas ao centro de massa: Eat = E CM + E. Posto de outra forma, ao se tratar da condensac¸a˜ o de a´ tomos, podemos explorar a estrutura dos n´ıveis de energia internos, onde na presente tese ser´a abordado o momento angular atˆomico(f ), este constitu´ıdo da soma da parte orbital(j) com a nuclear(i). Momento angular intr´ınseco(“spin”) de part´ıculas carregadas induzem a interac¸o˜ es por carregarem momento magn´etico, muito embora sejam energeticamente menos expressivos que o potencial de Coulomb e seja suficiente uma abordagem perturbativa para estudar seus efeitos. Por menos expressiva, quantitativamente significa que a raz˜ao da correc¸a˜ o em primeira ordem pela energia n˜ao perturbada e´ proporcional a constante de estrutura fina α ≈ 1/137 multiplicada pela raz˜ao me /mp , detalhado em [8] cap. 3 e baseado em [10] sec¸o˜ es 113, 121. No contexto da condensac¸a˜ o de a´ tomos bosˆonicos (“spin” atˆomico inteiro), o menor n´ıvel de energia interno e´ fixado pelo estado fundamental segundo a disposic¸a˜ o dos el´etrons, decorrente da interac¸a˜ o coulombiana com o n´ucleo, que em primeira aproximac¸a˜ o1 , se distribuem segundo os n´ıveis de energia do a´ tomo de hidrogˆenio, respeitando o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli. 1. Genericamente desconsiderando a interac¸a˜ o entre el´etrons.

(14) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC¸AO. 12. Como mencionado acima, a distribuic¸a˜ o orbital dos el´etrons para a´ tomos alcalinos deve portanto ter j = s = 1/2 uma vez que a u´ nica contribuic¸a˜ o vem do spin do el´etron na camada mais energ´etica, pois o resto dos orbitais n˜ao contribuem2 , j´a que est˜ao em pares nos n´ıveis abaixo e devem estar em estado de singleto (f´ermions→antisimetria). Valores de i dependem dos diferentes is´otopos e caracterizar˜ao se as esp´ecies ser˜ao B´osons ou F´ermions. Os momentos angulares citados anteriormente se relacionam, em seus operadores, por Fˆ = ˆ J. ˆ A interac¸a˜ o proveniente dos spins nuclear e eletrˆonico devido a seus momentos magn´eticos I+ e´ nomeada interac¸a˜ o hiperfina. Claramente a interac¸a˜ o hiperfina depende do operador posic¸a˜ o, no entanto, usando teoria perturbativa podemos escrever uma Hamiltoniana efetiva Hhf = AI · J =. A [f (f + 1) − i(i + 1) − 3/4]. 2. (1.14). Com separac¸a˜ o(split) de energia entre os n´ıveis com f = i ± 1/2, ainda dependendo do a´ tomo que influencia i e A, com ∆Ehf = (i + 1/2)A. A tabela 1 de [11] tem alguns dos principais a´ tomos e is´otopos transcritos abaixo. ´ Atomo 1 H 7 Li 23 Na 39 K 41 K 85 Rb 87 Rb. j 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2. i 1/2 3/2 3/2 3/2 3/2 5/2 3/2. f 0, 1 1, 2 1, 2 1, 2 1, 2 2, 3 1, 2. ∆Ehf /h(MHz) 1420 804 1772 462 254 3036 6835. Tabela 1.1: Constituic¸a˜ o do momento angular intr´ınseco de alguns a´ tomos bosˆonicos de interesse, com Frequˆencia do Espectro de transic¸a˜ o entre os n´ıveis hiperfinos Ent˜ao, no caso de confinamento do n´ıvel mais baixo (e.g. para 87 Rb, f = 1), com o aux´ılio de um campo magn´etico, pode-se fazer a separac¸a˜ o energ´etica dos n´ıveis mf . Isso e´ poss´ıvel com as armadilhas o´ pticas [12], e n˜ao com as magn´eticas uma vez que estas confinam apenas um dos n´ıveis mf , como mostrado na sec¸a˜ o 4.2 de [8]. Antecipando o que ser´a mostrado em mais detalhes no que segue, teremos “campos” por vezes chamado de “order parameter” para cada subn´ıvel hiperfino(mf ), que est˜ao relacionados com a densidade de a´ tomos nestes n´ıveis. Por vezes este conjunto e´ organizado em componentes de um vetor, sendo estas func¸o˜ es, passa-se a chamar este objeto de “espinor”. 2. Embora a configurac¸a˜ o eletrˆonica mude para casos particulares como 52 Cr..

(15) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC¸AO. 13. Utilizando interac¸a˜ o com lasers podemos proporcionar acoplamento entre as componentes do espinor que descrevem o condensado. Embora recentes, j´a acumula uma lista crescente de temas estudados da qual fazem parte solitons [13, 14, 15], estudo de v´ortices[16], verificac¸a˜ o experimental para 2 [17] ou os 3 [18], entre outros [19, 20, 21].. 1.3. Pretens˜ao deste trabalho. O foco principal, o qual deve ser explorado com certo detalhe, s˜ao soluc¸o˜ es estacion´arias e s´olitons em um sistema atrativo de uma dimens˜ao(1D), nas diretrizes de [13]. Este mesmo estudo mostrou resultados partindo de formas anal´ıticas [14], unindo a uma an´alise variacional. Por consistˆencia e completeza, ser´a feito tamb´em uma discuss˜ao extensiva sobre o que realmente se entende como acoplamento spin-´orbita, onde ser´a evidenciado que e´ uma forma interpretativa de uma hamiltoniana efetiva para o sistema de b´osons confinados em f = 1, sujeitos a efeito Zeeman, sob um particular regime dos parˆametros. Adicionalmente, estudar regi˜ao onde ocorrem diferentes fases para o estado fundamental, caracterizadas pela distribuic¸a˜ o de a´ tomos no espec¸o de momentos, sendo motivado por [22, 23]..

(16) Cap´ıtulo 2 Condensac¸a˜ o de Bose-Einstein com ´ Acoplamento Spin-Orbita No contexto da condensac¸a˜ o de Bose-Einstein a aproximac¸a˜ o de Campo M´edio (Mean-Field Theory) se n˜ao for a ferramenta principal, e´ a mais comum no estudo de B´osons a temperaturas bem pr´oximas de zero (quantitativamente T  Tc referente a (1.12)), pois como ficou sugestivo da introduc¸a˜ o, estamos interessados num estado descrito pelo produto do estado fundamental de part´ıcula u´ nica, ou posto de outra forma, na m´edia dos operadores segundo este estado. Com esta pr´evia, e´ necess´ario o formalismo segundo esses n´umeros de ocupac¸a˜ o dos orbitais, descrito no que segue.. 2.1. Breve discuss˜ao de Segunda Quantizac¸a˜ o. Como prel´udio, voltando a analisar (1.2), tomando um kp espec´ıfico, podemos ter um certo P . n´umero de part´ıculas np neste estado. De tal forma que: E = p np p com p = }2 k2p /2m. De novo pela indistinguibilidade o que importa na caracterizac¸a˜ o da energia e´ a quantidade np e para cada |{k1 , ...kn }i associa-se apenas um |n1 ...np ...i. O procedimento acima estabelece um novo conjunto gerador para o mesmo espac¸o, considerado, assim como o anterior, ortonormalizado, cuja hamiltoniana fica representada segundo o mesmo como. ! H=. com. P0. X0 {ni }. |n1 ...nl ...i. X. np p. p. restrito a manter o n´umero total de part´ıculas.. 14. hn1 ...nl ...|,. (2.1).

(17) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 15. Contudo, isto pode ser feito para qualquer operador definido para um part´ıcula, cujo seu espectro forme um conjunto completo. Al´em disso, por dizer em n´umero de part´ıculas e´ de . fundamental interesse definir um operador que leva a um estado de n ± 1 part´ıculas com n = P p np . Assumindo ent˜ao que esta part´ıcula seja “inserida” ou “retirada” segundo o n´umero quˆantico l , encontra-se ent˜ao   a† |n ...n ...i = c(n , ..., n , ...)|n ...n + 1...i, 1 l 1 l 1 l l  a |n ...n ...i = d(n , ..., n , ...)|n ...n − 1...i, l 1 l 1 l 1 l. (2.2). de onde um ser adjunto do outro e´ diretamente verificado dos coeficientes c e d serem n˜ao nulos e da ortogonalidade dos |n1 ...nl ...i. E´ difundida a nomenclatura de operadores aniquilac¸a˜ o e. criac¸a˜ o para a e a† , respectivamente. Representando o estado cujo n = 0 por |0i, convenciona. se a|0i = 0, sendo este u´ ltimo o elemento nulo do espac¸o vetorial. A conex˜ao com o que sabemos de Mecˆanica Quˆantica de 1 part´ıcula e´ estabelecida ao detalharmos o que ocorre para o autoestado de alguma vari´avel dinˆamica(cujo autovalor e´ Ai ,. representando momento angular, posic¸a˜ o, energia, etc) ao representar numa segunda base, a†i |0i ≡ |Ai i =. X X hBq |Ai i|Bq i = hBq |Ai ib†q |0i. q. (2.3). q. Portanto, a convers˜ao entre a representac¸a˜ o de operadores fica  X †   a = hBq |Ai ib†q ,   i q X   hAi |Bq ibq , a =   i. (2.4). q. do qual um caso particular e´ para o operador posic¸a˜ o  X  †  Ψ (x) = ψq∗ (x)b†q ,   q X   Ψ(x) = ψq (x)bq .  . (2.5). q. Surge ent˜ao a express˜ao de “segunda” quantizac¸a˜ o, pois seria o equivalente a transformar a Func¸a˜ o de onda em um operador, atrav´es de seus coeficientes da expans˜ao em um conjunto completo retirado de algum operador dinˆamico..

(18) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA Um fato que decorre da relac¸a˜ o (2.4) e´ a invariˆancia P. i. 16 P. i. a†i ai =. † i bi bi ,. P. implicac¸a˜ o direta de. |Ai ihAi | = 1 e hAi |Aj i = δij . A arbitrariedade das constantes em (2.2) se contorna ent˜ao. ao estabelecer que: Ni |n1 ...i = a†i ai |n1 ...i = ni |n1 ...i. Portanto podemos fazer a contagem . P total por: N = i a†i ai ⇒ N |n1 ...i = n|n1 ...i e em resumo temos   a† |n ...n ...i = √n + 1|n ...n + 1...i, 1 l l 1 l l √  a |n ...n ...i = nl |n1 ...nl − 1...i. l 1 l. (2.6). Analisando a ac¸a˜ o dos al e a†l nos vetores que formam uma base |n1 ...nl ...i, conclui-se que, caso i 6= l, Ni al − al Ni = Ni a†l − a†l Ni = 0,. (2.7). al Nl − Nl al = al ,. (2.8). Nl a†l − a†l Nl = a†l .. (2.9). E ainda podemos construir recursivamente a partir de |0i qualquer estado em n´umero de ocupac¸a˜ o recursivamente como a† (a† )nl |n1 ...nl ...i = √ l |n1 ...nl − 1...i = ... = √l |n1 ...0...i, nl nl ! .. . ∞ Y (a†k )nk √ |0i. |n1 ...nl ...i = n ! k k=1. 2.1.1. (2.10). B´osons e F´ermions. A quest˜ao da algebra entre os operadores de criac¸a˜ o e aniquilac¸a˜ o ainda est´a em aberto. Um modo de fixar esta quest˜ao e´ assumir que a criac¸a˜ o e/ou aniquilac¸a˜ o reproduz o mesmo estado quˆantico independente da ordem. Isto e´ a†i a†j |Ψi difere de a†j a†i |Ψi por uma constante λ tal que |λ| = 1. Este argumento de cunho heur´ıstico, que tamb´em pode ser visto em [24] vem do estado final(ap´os atuac¸a˜ o dos operadores) gerado ser o mesmo, uma part´ıcula a mais em i/j. a†i a†j − λa†j a†i = 0,. (2.11).

(19) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 17. seja qual for a vari´avel dinˆamica associada a a. Considerando λ ∈ R leva-nos a duas opc¸o˜ es λ = ±1 que fixa uma relac¸a˜ o de anticomutac¸a˜ o ou comutac¸a˜ o nula, que ser´a atribu´ıda a descric¸a˜ o de f´ermions ou b´osons, respectivamente. O mesmo se aplica em partes para a ordem entre a e a† . Isto porque algumas componentes de um estado gen´erico |Ψi na base |n1 ...nl ...i exibem o contraste de a†l al |n1 ...(nl = 0)...i = 0 e, al a†l |n1 ...(nl = 0)...i = |n1 ...(nl = 0)...i = 6 0. Portanto ai a†i − µa†i ai 6= 0,. µ = ±1.. (2.12). Embora o argumento para (2.11) venha a se aplicar para ai a†j − µa†j ai = 0;. i 6= j,. (2.13). fazendo uso de (2.4) na igualdade acima, encontra-se X hAi |Bm ihBn |Aj i(bm b†n − µb†n bm ) = 0.. (2.14). nm. Para os termos na soma em que a parte de operadores n˜ao se anula, m = n, podemos associar (bm b†m − µb†m bm ) = Γ, independente de m para que seja v´alido para todos n´umeros de ocupac¸a˜ o j´a que a vari´avel de |Bm i n˜ao foi especificada, de forma que Γ. X hAi |Bm ihBm |Aj i = ΓhAi |Aj i = 0,. (2.15). m. suposto que i 6= j, satisfazendo assim a igualdade. A escolha que respeita (2.6) e´ Γ = 1 para µ = 1, e torna-se color´ario que se µ = −1 a validade permanece somente se nm = 0, 1. O que resta e´ estabelecer uma relac¸a˜ o entre µ e λ, o que e´ feito por meio de (2.7) com a segunda igualdade, a direita, gerando a†i ai a†k − a†k a†i ai = 0, (µλ − 1)a†k a†i ai = 0, µλ = 1.. (2.16).

(20) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 18. Em palavras, µ e λ devem ter o mesmo sinal. Terminamos com: Bose − Einstein    ak , al = a†k , a†l = 0   ak , a†l = δkl. Fermi − Dirac.  ak , al = a†k , a†l = 0.  ak , a†l = δkl. . 2.1.2. . (2.17). Operadores de Campo e Densidade com Spin. Como e´ parte essencial deste trabalho algumas palavras devem ser ditas sobre operadores compat´ıveis. No caso a posic¸a˜ o n˜ao nutri relac¸a˜ o com spin que seria um grau intr´ınseco interno da part´ıcula. Isso se traduz pelo espac¸o vetorial ser o espac¸o produto L2 (R3 , dx) ⊗ Cn onde n = 2s + 1, dimens˜ao para descrever spin, e os operadores comutam. Por isso podemos simultaneamente definir autoestados de posic¸a˜ o e spin. Isso se traduz nos operadores de criac¸a˜ o e aniquilac¸a˜ o pelo n´umero quˆantico se desdobrar em dois (ou mais dependendo do conjunto de operadores compat´ıveis) Ψ† (x), Ψ(x) → Ψ†σ (x), Ψσ (x). Generaliza-se Ent˜ao:.  X X  ∗ † †  Ψ (x) = hxσ|A i a = ψσ∗q (x)a†q q  q  σ q q X X   ψσq (x)aq hxσ|Aq iaq = Ψ (x) =   σ. (2.18). q. q. E a relac¸a˜ o de completeza dos ψσq (componentes de espinor) conduz a: Bose − Einstein  Ψσ (x), Ψσ0 (x0 ) = 0  †  Ψσ (x), Ψ†σ0 (x0 ) = 0   Ψσ (x), Ψ†σ0 (x0 ) = δ(x − x0 )δσσ0. Fermi − Dirac . Ψσ (x), Ψσ0 (x0 ) = 0  †. Ψσ (x), Ψ†σ0 (x0 ) = 0 . Ψσ (x), Ψ†σ0 (x0 ) = δ(x − x0 )δσσ0. . (2.19). E´ importante ressaltar que . Nσ (Ω) =. Z Ω. tem como auto estado. Qk. i=1. d3 xΨ†σ (x)Ψσ (x). Ψ†σi (xi )|0i cujo auto valor e´. P. (2.20) i δσσi χΩ (xi ),. onde χΩ denota a. func¸a˜ o simples que atribui 1 se x ∈ Ω e 0 caso contr´ario. A verificac¸a˜ o e´ imediata usando as relac¸o˜ es de comutac¸a˜ o e v´alida tanto a B´osons como F´ermions..

(21) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 19. Portanto podemos intuitivamente definir o operador densidade por . ρσ (x) = Ψ†σ (x)Ψσ (x).. 2.1.3. (2.21). Representac¸a˜ o de Operadores. Na dinˆamica de muitos corpos podemos expressar os operadores nesse novo formalismo, em termos do que foi discutido na sec¸a˜ o precedente. O princ´ıpio b´asico e´ represent´a-lo pela contagem de constituintes num autoestado enumerado i multiplicada pelo seu autovalor, ou seja, P A = q Aq a†q aq , tal que Aq s˜ao os autovalores do caso de uma part´ıcula. Usando novamente (2.4) encontra-se K =. X. =. X. Kq. X pp0. q. b†p bp0 hBp |Kq ihKq |Bp0 i !. pp0. =. X pp0. b†p bp0 hBp |. X q. |Kq iKq hKq | |Bp0 i. ˆ p0 i. b†p bp0 hBp |k|B. (2.22). ˆ p0 i, Do que se traduz que precisamos somente como se comportam os n´umeros hLp |k|L. ˆ Uma generalizac¸a˜ o pode ser feita elementos de matriz, segundo o operador de 1 part´ıcula k. para operadores de interac¸a˜ o chegando-se a V=. 1X † † b b bs bt hBq , Br |ˆ v |Bt , Bs i. 2 qrst q r. (2.23). Para uma conex˜ao com a representac¸a˜ o no espac¸o de posic¸a˜ o, fazemos a vari´avel dinˆamica P P R Bq → x, σ; q → σ d3 x, contabilizando assim corretamente o espectro do operador. Para . ˆ σi passamos a relac¸a˜ o de kˆ atuando no espac¸o de func¸o˜ es: hx, σ|k|Φi ˆ calcular hx0 , σ 0 |k|x, =  P ˆ ˆ KΦ (x) = ¸ a˜ o em espinor de |Φi. A relac¸a˜ o anterior σ 0 Kσσ 0 Φσ 0 (x) com Φ a representac σ relembra uma multiplicac¸a˜ o matricial, mas seus elementos podem conter derivadas, entre outras operac¸o˜ es sobre func¸o˜ es. Um conjunto de operadores um tanto geral e´ separ´avel, isto e´ pode ser representado como.

(22) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 20. ˆ σi = hx0 |ˆ produto kˆ ≡ pˆ ⊗ sˆ; hx0 , σ 0 |k|x, p|xihσ 0 |ˆ s|σi, sendo XZ. ˆ k|Φi =. σ0. XZ. =. σ0. XZ. =. σ0. ˆ σ0 σ Φσ (x0 ) K. d3 x0 |x0 σ 0 i. X. d3 x0 |x0 σ 0 i. XZ. d3 x0 |x0 σ 0 i. XZ. σ. ˆ d3 xhx0 σ 0 |k|xσiΦ σ (x). σ. d3 xhx0 |ˆ p|xihσ 0 |ˆ s|σiΦσ (x). σ. Al´em disso, podemos representar o produto hx0 |ˆ p|f i, com |f i indicando um estado qualquer, como operac¸o˜ es sobre func¸o˜ es, com este mesmo estado dado no espac¸o de posic¸o˜ es ˆ o (x0 , ∇0 )f (x0 ) = hx0 |ˆ hx|f i = f (x) escrevendo Pˆ f (x0 ) ≡ H p|f i. E´ direto estabelecer a relac¸a˜ o R 3 ˆ o (x0 , ∇0 )f (x0 ) e concluir d xhx0 |ˆ p|xif (x) = H ˆ o |Φi = h. XZ. d3 x0 |x0 σ 0 i. σ0. X ˆ o (x0 , ∇0 )Φσ (x0 ), hσ 0 |ˆ s|σiH. (2.24). σ. ˆ o por uma conveniˆencia. Como conclus˜ao desses passos, podemos onde foi renomeado kˆ → h escrever no padr˜ao de segunda quantizac¸a˜ o um operador o qual sabe-se sua forma funcional no formalismo de Schr¨odinger, como Ho =. X. b†p bp0. pp0. Z =. XZ σ0. Ho =. X ˆ o (x0 , ∇0 )hx0 σ|Bp0 i hσ 0 |ˆ s|σiH σ. !. ! X X d3 x0 hBp |x0 σ 0 ib†p σ0 σ. Z. d3 x0 hBp |x0 σ 0 i. d3 x. X σ0 σ. p. ˆ o (x0 , ∇0 ) Sσ0 σ H. ˆ o (x, ∇)Ψσ (x), Ψ†σ0 (x)Sσ0 σ H. X p0. hx0 σ|Bp0 ibp (2.25). fazendo uso de (2.24) em (2.22). Nesta nomenclatura podemos interpretar o operador acima ˆ o = −}2 ∇2 /2mδσ0 σ + como a hamiltoniana sem interac¸a˜ o, onde por exemplo temos Sσ0 σ H Vσ0 σ (x), genericamente escrevendo o termo cin´etico e um potencial externo ao qual todos a´ tomos est˜ao sujeitos. Nas sec¸o˜ es seguintes, a intenc¸a˜ o e´ construir a hamiltoniana particular de interesse para esse trabalho. O mesmo procedimento pode ser feito para a interac¸a˜ o, com |Φi representando um estado.

(23) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 21. produto |Bi Bj i vˆ|Φi =. X Z σ1 σ2 σ3 σ4. d3 x1 d3 x2 d3 x3 d3 x4 |x1 σ1 ; x2 σ2 ihx1 σ1 ; x2 σ2 |ˆ v |x3 σ3 ; x4 σ4 i hx3 σ3 ; x4 σ4 |Φi. vˆ|Φi =. X Z σ1 σ2 σ3 σ4. d3 x1 d3 x2 d3 x3 d3 x4 |x1 σ1 ; x2 σ2 ihx1 ; x2 |ˆ vp |x3 ; x4 i hσ1 ; σ2 |ˆ vs |σ3 ; σ4 ihx3 σ3 ; x4 σ4 |Φi. vˆ|Φi =. X Z σ1 σ2 σ3 σ4. d3 x1 d3 x2 |x1 σ1 ; x2 σ2 ihσ1 ; σ2 |ˆ vs |σ3 ; σ4 iV (x1 , x2 )hx1 σ3 ; x2 σ4 |Φi, (2.26). onde foi considerado novamente a separac¸a˜ o vˆ = vˆp ⊗ vˆs ainda com hx1 ; x2 |ˆ vp |x3 ; x4 i = V (x1 , x2 )δ(x1 − x3 )δ(x2 − x4 ). Usando (2.23) encontramos Z 1 X V= d3 x1 d3 x2 Ψ†σ1 (x1 )Ψ†σ2 (x2 )Vσσ31σσ42 (x1 , x2 )Ψσ4 (x2 )Ψσ3 (x1 ), 2σ σ σ σ. (2.27). 1 2 3 4. onde a notac¸a˜ o foi abreviada com hσ1 ; σ2 |ˆ vs |σ3 ; σ4 iVˆ (x1 , x2 ) = Vσσ31σσ42 (x1 , x2 ). Genericamente por se tratarem de part´ıculas idˆenticas, h´a simetria frente a troca de estados de spin entre o corpo 1 e 2, satisfazendo ent˜ao Vσσ42σσ31 (x1 , x2 ) = Vσσ31σσ42 (x2 , x1 ), al´em de depender da posic¸a˜ o relativa, adicionalmente sendo ent˜ao sim´etrico a x1 ↔ x2 .. 2.1.4. Dinˆamica de operadores. A dinˆamica dos operadores de criac¸a˜ o e aniquilac¸a˜ o fica sujeito ao formalismo de Heisenberg, do qual ser´a detalhado o operador de campo aqui.1 Comec¸ando por (2.25), temos [Ψσ (y, t), Ho ] = =. Z. X σ 00 σ 0. X σ0. 1. d3 x. ˆ o (x, ∇)Ψσ0 (x, t) [Ψσ (y, t), Ψ†σ00 (x, t)]Sσ00 σ0 H. ˆ o (y, ∇y )Ψσ0 (y, t). Sσσ0 H. (2.28). A presenc¸a do tempo como parˆametro nos operadores indicar´a naturalmente que se trata da representac¸a˜ o de Heisenberg, para n˜ao adicionar mais ´ındices.

(24) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 22. E agora para (2.27) encontra-se  Z 1 X 3 3 σ1 σ2 d x1 d x2 Vσ3 σ4 (x1 , x2 ) [Ψσ (y, t), V] = 2σ σ σ σ 1 2 3 4. [Ψσ (y, t), Ψ†σ1 (x1 , t)]Ψ†σ2 (x2 , t)Ψσ4 (x2 , t)Ψσ3 (x1 , t) +  † † Ψσ1 (x1 , t)[Ψσ (y, t), Ψσ2 (x2 , t)]Ψσ4 (x2 , t)Ψσ3 (x1 , t) ,. [Ψσ (y, t), V] =. X Z. 1 (y, x)Ψ†σ1 (x, t)Ψσ3 (x, t)Ψσ2 (y, t), d3 xVσσσ 2 σ3. (2.29). σ1 σ2 σ3. onde foi assumido a simetria frente a troca de part´ıculas do potencial de interac¸a˜ o, que equivale a Vσσ31σσ42 (x1 , x2 ) = Vσσ42σσ31 (x2 , x1 ), Al´em de que Ψσ4 (x2 , t) e Ψσ3 (x1 , t) comutam. Portanto a equac¸a˜ o de “movimento” para o operador de campo fica. i}. X d ˆ o (y, ∇y )Ψσ0 (y, t) + Ψσ (y, t) = Sσσ0 H dt 0 σ X Z 1 d3 x Vσσσ (y, x)Ψ†σ1 (x, t)Ψσ3 (x, t)Ψσ2 (y, t). 2 σ3. (2.30). σ1 σ2 σ3. O termo que adv´em da interac¸a˜ o ser´a estudado mais a fundo na busca de uma interac¸a˜ o efetiva que simplifica a integrac¸a˜ o presente nesta equac¸a˜ o, mesmo assim, conduzindo ainda a uma n˜ao-linearidade.. 2.2. Interac¸a˜ o Efetiva a baixas temperaturas. O ponto central da interac¸a˜ o efetiva que aqui ser´a desenvolvida, se baseia na considerac¸a˜ o de que a energia envolvida no espalhamento e´ muito pequena, qualitativamente, em decorrˆencia de T → 0. Supondo o potencial func¸a˜ o de |x1 − x2 | partimos da equac¸a˜ o de Lippmann-Schwinger −1  ˆ2 p + i V |Ei, |Ei = |pi + E − 2µ. (2.31). onde µ = m1 m2 /(m1 + m2 ) e´ a massa reduzida e |pi e´ autoestado do operador de energia ˆ 2 /2µ, o qual ainda carrega o grau de spin total que deve ser tomado como cin´etica relativo p condic¸a˜ o antes da colis˜ao. Ap´os inserir algumas projec¸o˜ es, mostra-se que ψΣE (x). eik·x = AΣ + (2π})3/2. Z. 3 0. dx. XZ Σ0. d3 p. hx|pihp|x0 i. E−. p2 2µ. + i. hΣ|ˆ vs |Σ0 iVˆ (x0 )ψΣE0 (x0 ),. (2.32).

(25) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA sendo k =. √. 23. 2Eµ/} fixado pela energia do movimento relativo E, Σ a projec¸a˜ o do spin sobre. um eixo de quantizac¸a˜ o e ψΣE (x) ≡ hxΣ|Ei a componente Σ do spinor deste auto estado. A integral no espac¸o de momento pode ser feita por m´etodo de res´ıduos e fornece ψΣE (x). ik·x. = NΣ e. 2µ X − 2 hΣ|ˆ vs |Σ0 i } Σ0. Z. d3 x0. 0. eik|x−x | ˆ 0 E 0 V (x )ψΣ0 (x ). 4π|x − x0 |. (2.33). Usualmente o potencial tem um certo alcance, quantitativamente, deve decrescer mais r´apido que o Coulombiano limr→0 rV (r) = 0 (detalhes em [25] cap. 3.6). Esta condic¸a˜ o e´ perfeitamente satisfeita para colis˜oes atˆomicas que temos interesse. E´ poss´ıvel justificar a grandeza alcance de potencial a medida que se torna desprez´ıvel frente ao termo centr´ıfugo da equac¸a˜ o de Schr¨odinger, a ser denotado por “ro ” Por potencial efetivo, buscamos um que reproduza a sec¸a˜ o de choque, e para esta devemos . analisar (2.33) em |x|  |x0 | ⇒ |x − x0 | ≈ |x| − ˆr · x0 , com k0 = kˆr, levando a ψΣE (x). 2.2.1.   eikr ik·x 0 = NΣ e + fΣ (k, k ) r Z E 0 2µ X 0 0 3 0 −ik0 ·x0 ˆ 0 ψΣ0 (x ) com fΣ (k, k ) = − . (2.34) hΣ|ˆ v |Σ i d x e V (x ) s 4π}2 Σ0 NΣ. Aproximac¸a˜ o de Born e um crit´erio de validade. A equac¸a˜ o integral acima admite soluc¸a˜ o perturbativa substituindo recursivamente ψΣE0 (x0 ). A aproximac¸a˜ o de Born e´ o primeiro termo dessa recorrˆencia. Para sua validade uma condic¸a˜ o necess´aria e´ que de fato ψΣE (x) ≈ NΣ eik·x , ao menos no dom´ınio onde o potencial n˜ao se anula.2 Tomando um volume onde o potencial e´ n˜ao nulo, uma forma de assegurar isso e´ exigir que

(26) E

(27)

(28) ΨΣ (αro ) − NΣ eiαk·ro

(29) .

(30)

(31)  1; 0 < α < 1, ro = roˆr

(32)

(33) iαk·r o NΣ e

(34) E

(35) Z 3 iαk·ro

(36)

(37) 3

(38) ΨΣ (αro ) − NΣ e

(39)  4πro . ⇒ d x

(40)

(41) NΣ eiαk·ro 3 Vˆ 6=0. (2.35). Fazendo uso de (2.34) neste u´ ltima, adquire-se a express˜ao 2µ 4π}2. Z Ω.

(42) Z

(43)

(44) X 0

(45) A d3 x

(46)

(47) 4πro3 0 0 Σ 3 0 −i(k −k)·x ˆ 0 0 V (x ) hΣ|ˆ vs |Σ i .

(48) d xe

(49)  r

(50)

(51) 3 Σ0. (2.36). Mesmo que seja bem diferente de NΣ eik·x fora do alcance do potencial, a contribuic¸a˜ o na integrac¸a˜ o e´ nula j´a que em boa aproximac¸a˜ o V = 0 nessa regi˜ao por definic¸a˜ o 2.

(52) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 24. O que antes foi enunciado qualitativamente, podemos enunciar quantitativamente. Espalhamento em baixas energias significa a condic¸a˜ o kro  1;. . p k = 2µE/},. (2.37). ou seja, o comprimento de onda da part´ıcula livre antes da colis˜ao bem maior que o raio de 0. 0. alcance do potencial. Portanto justifica-se, em primeira ordem, e−i(k −k)·x ≈ 1. Substituindo o. valor da integral em d3 x e utilizando o valor m´edio para integrais, na referente a d3 x0 , depara-se com µro2 }2.

(53)

(54)

(55) X

(56) 4πr3 4πro3

(57)

(58) o vs |Σ0 iVˆ (x0 )x0 ∈Ω

(59) 

(60) hΣ|ˆ

(61) 0

(62) 3 3 Σ

(63)

(64)

(65) µro2

(66)

(67) X

(68) 0 ˆ 0) V (x hΣ|ˆ v |Σ i

(69) 0 s x ∈Ω

(70)  1.

(71) }2

(72) 0. (2.38). Σ. A interac¸a˜ o entre a´ tomos embora dif´ıcil de se obter uma forma expl´ıcita, dificilmente n˜ao se enquadra na condic¸a˜ o acima, al´em de que ro e´ tipicamente da ordem do raio atˆomico. Deve-se ainda notar que para que fac¸a sentido a reproduc¸a˜ o da sec¸a˜ o de choque por um potencial efetivo, devemos ter um sistema n˜ao muito denso, caso contr´ario, a hip´otese feita par´agrafos acima de |x|  |x0 | n˜ao poderia ser satisfeita j´a que poderia ocorrer a colis˜ao sucessiva com outro a´ tomo.. 2.2.2. “Scattering Lenght”. Retrocedendo a (2.34) com a aproximac¸a˜ o de Born e fazendo uso de (2.37) Z 2µ X 0 3 0ˆ 0 NΣ0 hΣ|ˆ v |Σ i d x V (x ) fΣ (k, k ) = − , s 4π}2 Σ0 NΣ 0. (2.39). o qual passa a independer de k, k0 . Com interac¸a˜ o que conserva a polarizac¸a˜ o de spin total, ou seja, hΣ|ˆ vs |Σ0 i = vΣ δΣΣ0 reduz-se o n´umero de espalhamento poss´ıveis. Define-se portanto, com µ = m/2 pois as massas s˜ao iguais, a quantia Z m X 0 aΣ = hΣ|ˆ vs |Σ i d3 x0 Vˆ (x0 ). 4π}2 Σ0. (2.40). Esta definic¸a˜ o e´ fundamental, pois mesmo sem conhecer a forma expl´ıcita do potencial,.

(73) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 25. podemos trabalhar usando aΣ como um parˆametro na equac¸a˜ o. Um potencial efetivo e´ aquele que reproduz estas condic¸o˜ es de espalhamento e, pode ser feito hΣ|ˆ vs |Σ iVˆ (x1 , x2 ) = 0. .  4π}2 aΣ δΣΣ0 δ(x1 − x2 ). m. (2.41). Notemos que aΣ simplesmente enumera estados de spin, que pode ser tratado como total ou no espac¸o produto |Σi → |σ1 i|σ2 i, o que fornece a equac¸a˜ o acima levemente modificada para hσ1 ; σ2 |ˆ vs |σ3 ; σ4 iVˆ (x1 , x2 ) =. Vσσ31σσ42 (x1 , x2 ).  =.  4π}2 aσ1 σ2 δσ1 σ3 δσ2 σ4 δ(x1 − x2 ). (2.42) m. Voltando a analisar a func¸a˜ o de onda em termos da distˆancia relativa r encontra-se h i ik·r ikr aΣ ΨE (r) = N e − e , Σ Σ r. (2.43). a qual volta a se aproximar de part´ıcula livre quando r  aΣ . Portanto a ideia de comprimento de espalhamento fornece uma an´alise quantitativa onde a func¸a˜ o de onda e´ efetivamente diferente de uma part´ıcula livre, de outra forma a regi˜ao na qual o potencial a afeta. A n˜ao descric¸a˜ o de interac¸a˜ o de 3 corpos nos exige a condic¸a˜ o que o espac¸amento m´edio entre part´ıculas(d) deve portanto satisfazer d  aΣ ou de forma equivalente, a densidade 3. t´ıpica(m´edia) obedece ρ ≡ 1/d ⇒ ρa3Σ  1. Esta condic¸a˜ o e´ fundamental para a teoria de Campo M´edio pelas colis˜oes serem escassas e a ocupac¸a˜ o dos orbitais excitados desprez´ıvel. . Fica estabelecida a seguinte identidade de operac¸a˜ o, reescalonando gσ1 σ2 = 4π}2 aσ1 σ2 /m segundo (2.42), obtendo para (2.30) a forma. i}. X d ˆ o (y, ∇y )Ψσ0 (y, t) + Sσσ0 H Ψσ (y, t) = dt σ0 " # X gσσ0 Ψ†σ0 (y, t)Ψσ0 (y, t) Ψσ (y, t).. (2.44). σ0. 2.3. Descric¸a˜ o de Campo M´edio. Novamente um condensado de Bose-Einstein se caracteriza pela energia m´ınima que o sistema possa ter. A descric¸a˜ o de campo m´edio, estabelece que os operadores s˜ao aproximadamente descritos por seus valores m´edios segundo um certo estado e, o que caber´a aqui e´ argumentar sobre este estado..

(74) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 26. Um estado arbitr´ario de N part´ıculas evolui, segundo a equac¸a˜ o de Schr¨odinger (N ). i}. ∂|ψt i (N ) = (Ho + V)|ψt i. ∂t. (2.45) (N ). Nesta ocasi˜ao um observ´avel do sistema pode ser medido atrav´es de hψt. (N ). |A|ψt. i, embora. n˜ao h´a uma forma expl´ıcita para esta soluc¸a˜ o. Voltando as condic¸o˜ es, como j´a mencionado em um sistema dito “diluto”, com espac¸amento m´edio de part´ıculas maior em algumas ordens de grandeza que o comprimento de espalhamento, podemos inferir que as interac¸o˜ es n˜ao s˜ao frequentes na evoluc¸a˜ o temporal. Analisando (2.23), a parte de interac¸a˜ o, pode causar excitac¸o˜ es dos estados individuais dos a´ tomos, que por n˜ao serem frequentes, a contagem do estado fundamental deve ser muito maior do que qualquer outro, no decorrer da dinˆamica. Em palavras, a evoluc¸a˜ o temporal de um condensado de Bose-Einstein, permanece um condensado, significando assim que e´ desprez´ıvel a contagem de constituintes em estados excitados(deplec¸a˜ o do estado fundamental). Portanto prosseguimos com a seguinte idealizac¸a˜ o, de que possamos definir um estado para um certo instante t dado pelo produto dos estados individuais que minimizam a energia do sistema(por n˜ao haver a possibilidade de encontrar o estado fundamental das N part´ıculas) . (a†o (t))N |MF(N ), ti = √ |0i, N!. (2.46). . onde recordando da (2.3) agora generalizada para a†o (t)|0i = |o , ti descreve orbitais individuais dependente do tempo. As (2.4) se generalizam, com relac¸a˜ o aos operadores de campo, para:  XZ  †  dxhx, σ|o , tiΨ†σ (x)   ao (t) = σ XZ   dxho , t|x, σiΨσ (x)   ao (t) =. (2.47). σ. Reciprocamente, obt´em-se:  X  † †  Ψ (x) = φ(q)∗  σ σ (x, t)aq (t)  q X   Ψ (x) = φ(q)  σ (x, t)aq (t)  σ q. (2.48).

(75) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 27. √ (o) . (q) Sendo daqui em diante φσ (x, t) = hx, σ|q , ti, e ψ (N ) (x, t) ≡ N φσ (x, t), onde este u´ ltimo trac¸a relac¸a˜ o com a densidade de part´ıculas, pois retomando as relac¸o˜ es de comutac¸a˜ o [aj (t), a†i (t)] = δij temos Ψσ (x)|MF(N ), ti = ψ (N ) (x, t)|MF(N − 1), ti, hMF(N ), t|Ψ†σ (x)Ψσ (x)|MF(N ), ti = |ψ (N ) (x, t)|2 .. (2.49) (2.50). Daqui segue-se o mesmo princ´ıpio que estabelece a equac¸a˜ o de Schr¨odinger, onde exigirse-´a que a escolha de ψ (N ) (x, t) minimize a energia, incluindo a dependˆencia temporal, levando ao princ´ıpio variacional dependente do tempo. Isto e´ feito por interm´edio da derivada funcional se anular [26, cap. 33] para o funcional δ. Z. (o)∗. δφβ (x0 , t0 ).    d dt i}hMF(N ), t| |MF(N ), ti − dt  hMF(N ), t|(Ho + V)|MF(N ), ti = 0.. (2.51). Para o primeiro termo temos √ (a†o (t))N −1 da†o (t) d |MF(N ), ti = N p |0i, dt (N − 1)! dt Z (o) da†o (t) X 3 ∂φσ (x, t) † = dx Ψσ (x), dt ∂t σ. (2.52) (2.53). que juntos conduzem a  hMF(N ), t|.  d |MF(N ), ti = dt √ (o) XZ ∂ N φσ (x, t) dx hMF(N ), t|Ψ†σ (x)|MF(N − 1), ti, (2.54) ∂t σ. e adicionalmente atuando com Ψ†σ (x) a esquerda, consegue-se  hMF(N ), t|.  XZ (N ) d ∂ψσ (x, t) |MF(N ), ti = d3 xψσ(N )∗ (x, t) . dt ∂t σ. (2.55). E lanc¸ando (2.49) para ser usada em (2.25) e (2.27) respectivamente, permite expressar o.

(76) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 28. Funcional (2.51) em termos de ψ como δ (o)∗. δφβ (x0 , t0 ). Z.  XZ (N ) ∂ψσ (x, t) 3 (N )∗ − d x dt i} d xψσ (x, t) ∂t σσ 0 3. (N )∗ ˆ o (x, ∇)ψ (N ) (x, t) ψσ0 (x, t)Sσ0 σ H σ. 1 (N ) − gσ0 σ |ψσ0 (x, t)|2 |ψσ(N −1) (x, t)|2 2. Utilizando δ (o)∗ δφβ (x0 , t0 ). ψσ(N )∗ (x, t) =. √.  = 0. (2.56). N δ 3 (x − x0 )δ(t − t0 )δσβ ,. (2.57). obtemos (o). ∂φσ (x, t) X ˆ o (x, ∇)φ(o)0 (x, t) + (N − 1)gσσ0 |φ(o)0 (x, t)|2 φ(o) (x, t). = Sσσ0 H i} σ σ σ ∂t σ0. (2.58). Para um n´umero suficientemente alto de constituintes podemos fazer N − 1 ' N al´em de assumir que a densidade n˜ao muda para a diferenc¸a de uma part´ıcula(tipicamente N ∼ (N ). (N −1). 104 , 105 ). Portanto ψσ (x, t) ' ψσ. (x, t) ≡ ψσ (x, t), resultando em. "

(77)

(78) 2 # X

(79)

(80) ∂ψσ (x, t) X ˆ o (x, ∇)ψσ0 (x, t) + Sσσ0 H gσσ0

(81)

(82) ψσ0 (x, t)

(83)

(84) ψσ (x, t). = i} ∂t σ0 σ0. (2.59). A equac¸a˜ o acima e´ de suma importˆancia e e´ usual em toda literatura sobre o assunto, conhecida como equac¸a˜ o de Gross-Pitaevskii(EGP). Determina a evoluc¸a˜ o temporal do que alguns nomeiam “order parameter” ou “Func¸a˜ o de Onda do Condensado”, cujo m´odulo quadrado fornece a densidade do condensado para T  Tc . Alguns conceitos devem ser concretizados no que foi exclu´ıdo da descric¸a˜ o. Tudo se baseou na negligˆencia do n´umero de part´ıculas com energia acima da fundamental na ordem mais baixa de aproximac¸a˜ o. Isso significa excluir efeitos de deplec¸a˜ o do estado fundamental tanto por temperatura como por interac¸a˜ o. A energia tamb´em passa a depender desses novos parˆametros φσ (x, t), ∀σ = −f, ..., f nu-. merados pelos estados de spin, e omitido o ´ındice superior (o) . A saber, fica determinada pelo.

(85) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 29. valor m´edio segundo |MF(N ), ti que e´ o segundo termo de (2.56) E[φ∗−f , ..., φ∗f , φ−f , ..., φf , N ]. =. XZ σσ 0. ˆ o (x, ∇)φσ (x, t) − d3 x N φσ (x, t)Sσσ0 H N (N − 1) gσσ0 |φσ0 (x, t)|2 |φσ (x, t)|2 . 2. (2.60). Voltando a enfatizar que podemos nos livrar dos ´ındices N e N − 1 na justificativa que a diferenc¸a de uma part´ıcula n˜ao influi a densidade, e poder escrever em termos de ψ simplesmente, estando impl´ıcito o n´umero de constituintes na normalizac¸a˜ o.. 2.3.1. Estados Estacion´arios (N ). Por estado estacion´ario entende-se que a densidade n˜ao evolui temporalmente, |ψσ (x, t)| ≡ p (N ) |ψσ (x)|, da onde a forma mais geral, respeitando (2.58), e´ φσ (x, t) = ρσ (x)e−iµt/} com P R 3 d xρσ (x) = 1. Esta constante µ a aparecer e´ o Potencial Qu´ımico, pois ao manipular σ P R 3 ∗ com σ d xφσ (x)×(2.58), produz Z µ =. ( ) Xp p ˆ o (x, ∇) ρσ0 (x) + (N − 1)gσσ0 ρσ0 (x)ρσ (x) d3 x ρσ (x)Sσσ0 H σσ 0. (N ). =. E[φ~σ , φ~∗σ , N. + 1] −. E[φ~σ , φ~∗σ , N ]. ∗(N ). ∂E[ψ~σ , ψ~σ ≈ ∂N. ]. ,. (2.61). que e´ facilmente identificado a partir dos conceitos da Termodinˆamica. Por completeza, a EGP. para estados estacion´arios fica ent˜ao dada por " µψσ (x) =. X σ0. onde ψσ (x) ≡. 2.3.2. ˆ o (x, ∇)ψσ0 (x) + Sσσ0 H. # X σ0. 2. gσσ0 |ψσ0 (x)|. ψσ (x),. (2.62). p N ρσ (x).. Ac¸a˜ o do Campo. As equac¸o˜ es de movimentos obtidas em (2.59) podem ser igualmente encontradas utilizando princ´ıpios variacionais sobre um funcional de ac¸a˜ o, caso seja definido em func¸a˜ o dos campos.

(86) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 30. enumerados por σ dados por ψσ a Lagrangiana L(t) =. XZ σ.   ∂ψσ ∂ψσ∗ i} ∗ ψσ (x, t) − ψσ (x, t) −E , dx 2 ∂t ∂t 3. (2.63). onde E=. XZ σσ 0. ˆ o (x, ∇)ψσ (x, t) − 1 gσσ0 |ψσ0 (x, t)|2 |ψσ (x, t)|2 , d3 x ψσ (x, t)Sσσ0 H 2. (2.64). e ent˜ao o funcional dito ac¸a˜ o definido por S(t) =. Z. ∞. dt L(t).. (2.65). −∞. Esta formulac¸a˜ o e´ tamb´em descrita em [8, cap. 7], e ser´a u´ til ao tratar o problema da presente dissertac¸a˜ o, uma vez que e´ a base de c´alculo variacional para explorar a dinˆamica do sistema [14].. 2.3.3. Soluc¸o˜ es do tipo soliton. Dentre as diversas soluc¸o˜ es que uma Equac¸a˜ o diferencial parcial pode ter, pode-se procurar por aquelas que a dependˆencia espac¸o-temporal se d´a ψ(x, t) = f (n·x−vt), conhecida da equac¸a˜ o de onda. Neste caso, para todo instante pode-se encontrar x0 tal que n · x0 = vt + n · x e fornec¸a. ψ(x0 , t) = ψ(x, 0), portanto a func¸a˜ o s´o desloca sua forma inicial.. Contudo, o perfil de soluc¸a˜ o mencionado acima e´ somente um caso particular de ondas solit´arias. Estas n˜ao necessariamente se propagam com velocidade constante, e no geral est˜ao restritas a uma localidade, ou seja, possuem um m´aximo ou m´ınimo local. Isto caracteriza dois tipos, com m´aximo(“soliton brilhante”) ou m´ınimo(“soliton escuro”) local e uma forma assint´otica uniforme, ψ(x, 0) → 0, |x| → ∞ ou ψ(x, 0) → c > ψ(0, 0), respectivamente, em cada caso, considerado centrado em zero tais pontos cr´ıticos. Para um condensado estamos por vezes interessados nesse tipo de soluc¸a˜ o para a densiP dade, parcial |ψσ (x, t)|2 ou total σ |ψσ (x, t)|2 . Isso significa para um soliton brilhante, que os a´ tomos permanecem numa regi˜ao confinada do espac¸o e s˜ao dito estarem auto-confinados, caso tal soluc¸a˜ o seja poss´ıvel na ausˆencia de armadilha. Portanto, adjetiva-se uma soluc¸a˜ o como soliton brilhante se:.

(87) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 31. 1. f (x, t) = f (x − g(t), 0); 2. Localidade, i.e f (x, 0) → 0, |x| → ∞; onde na listagem acima f pode representar a densidade total ou parcial. Um modo de abordar o problema e´ partir de formas anal´ıticas para uma escolha espec´ıfica dos parˆametros das equac¸o˜ es, tornar as constantes em vari´aveis e assim usar princ´ıpios variacionais a partir de uma ac¸a˜ o para o campo [14].. 2.4. Condensado na presenc¸a de Lasers. Recapitulando a tabela 1.1, o condensado que a princ´ıpio teria degenerescˆencia entre os n´ıveis mf = −1, 0, 1 sendo o n´ıvel f = 1 em confinamento, pode ter tal degenerescˆencia quebrada na presenc¸a de um campo magn´etico, como e´ feito nos experimentos recentes [17], cujo valores do campo permitem uma descric¸a˜ o perturbativa. Por completeza, passemos a descric¸a˜ o que aqui e nos trabalhos recentes e´ usada para descrever a parte hamiltoniana de part´ıcula individual, com o campo eletromagn´etico tratado classicamente.. 2.4.1. ´ Elementos de interac¸a˜ o Atomo-Luz sob aproximac¸a˜ o de Dipolo. Para uma descric¸a˜ o coerente com a Mecˆanica Quˆantica, e´ necess´ario a partir da Lagrangiana de part´ıculas carregadas obter a referente hamiltoniana, fornecendo segundo [27] ˙ L[x, x]. =. X h mn 2. n. ( H[x, p]. =. X n. i − qn φ(xn (t), t) + qn x˙ n (t)A(xn (t), t) ,. (2.66). ) 2 pn (t) − qn A(xn (t), t) + qn φ(xn (t), t) ,. (2.67). x˙ 2n (t). 1 2mn. . . ∂L com p(i) ⇒ n = (i) ∂ x˙ n. mn x˙ n (t) = pn (t) − qn A(xn (t), t),. (2.68). onde aqui foi omitido por enquanto a interac¸a˜ o entre as partes j´a que os campos atuam como potencial externo e objetiva-se no momento escrever a parte da hamiltoniana sem interac¸a˜ o. E´ poss´ıvel verificar que as equac¸o˜ es cl´assicas de movimento produzidas por esta formulac¸a˜ o est˜ao de acordo com a resultante da forc¸a de Lorentz para segunda lei de Newton..

(88) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 32. Sob uma transformac¸a˜ o de calibre/gauge nota-se, contudo, que a hamiltoniana n˜ao e´ invariante, muito embora possamos sempre associar a uma transformac¸a˜ o unit´aria, a saber ( gauge. 0. H −−−→ H =. X n.  2 1 pn − qn A(xn , t) − qn ∇α(xn , t) + 2mn dα(xn , t) qn φ(xn , t) − qn dt.  .. (2.69). Definindo convenientemente uma transformac¸a˜ o unit´aria e em decorrˆencia dela, utilizando (i). pn denotando a i-´esima componente espacial do momento da n-´esima part´ıcula, encontra-se ". # X i . U (x1 , ..., xn , t) = exp qn α(xn , t) , } n. (2.70).  (i) †  ∂α(xn , t) † pn , U = −qn U ⇒ U pn U † = pn − qn ∇n α(xn , t), (i) ∂xn X dU † ∂α(xn , t) i} U =− qn , dt ∂t n (i). (2.71) (2.72). (i). ap´os fazer uso intensivo da propriedade [pn , f (xm )] = i}δnm ∂f /∂xn . Com esse ferramental, e inserindo devidamente 1 = U U † , pode-se sem muito empecilho concluir que, (2.69) e´ obtida por H 0 = U HU † + i}. dU † dΨ0 U 7→ i} (~x, t) = H 0 Ψ0 (~x, t); Ψ0 (~x, t) = U Ψ(~x, t), dt dt. (2.73). com a abreviac¸a˜ o ~x ≡ x1 , ..., xn . Portanto a mudanc¸a de gauge e´ uma transformac¸a˜ o unit´aria, o que mant´em valores m´edios e amplitudes de transic¸o˜ es inalterados. Em particular no dito gauge de Coulomb onde escolhe-se α(x, t) de tal forma que ∇ · E(x, t) = ∇ · A(x, t) = 0, onde a primeira resulta da ausˆencia de fontes, que geram os campos. Esta u´ ltima asserc¸a˜ o, nos garante ∇φ(x, t) = 0 ao verificar as transformac¸o˜ es de Fourier que relaciona o campo aos potenciais E = −∇φ − ∂A/∂t e portanto excluir φ da descric¸a˜ o, por ser uma constante. A aproximac¸a˜ o de dipolo se d´a quando o comprimento de onda da luz incidente e´ bem maior que a dimens˜ao t´ıpica de raio atˆomico. Abrindo m˜ao da generalidade at´e aqui, o conjunto de part´ıculas pode ser considerado como os el´etrons “ligados” do a´ tomo. Neste caso nos interessa o campo na posic¸a˜ o espec´ıfica do a´ tomo, a ser denotada por R..

(89) ´ ´ CAPITULO 2. ACOPLAMENTO SPIN-ORBITA. 2 X 1  H= pn − qA(R, t) , 2m e n. 33. (2.74). onde como mencionado anterior, foi exclu´ıdo o potencial escalar φ no gauge de Coulomb. Introduz-se ent˜ao uma transformac¸a˜ o de gauge cujo efeito seja (2.71). T pn T † = pn + qn A(R, t) = pn − qn ∇n α(xn , t). (2.75). A soluc¸a˜ o analisando a segunda igualdade e´ trivial, dada por α(xn , t) = −xn · A(R, t). (2.76). Com este gauge, de volta a (2.69) com φ ≡ 0 temos:  X X p2 X p2 ∂A n n + qxn · − D · E(R, t) = H= 2me ∂t 2me n n n. (2.77). Conclui-se ent˜ao, que nessas condic¸o˜ es a interac¸a˜ o com laser e´ dado simplesmente adicio. P nando Hdip = −D · E(R, t) a hamiltoniana livre da onde: D = n qxn , e´ conhecido como operador de dipolo, que d´a o nome para a aproximac¸a˜ o. Por fixac¸a˜ o de que de fato isto e´ o que procuramos para este tema os feixes laser usados nos experimentos correntes s˜ao da ordem de 0.8µm ≈ (103 ∼ 104 )ao , confirmado em [17], sendo ao o “tamanho” t´ıpico dos a´ tomos, alguns Angstrons.. 2.4.2. Transic¸o˜ es Raman. E´ imediado de (2.77) que podemos apenas estabelecer sentido no que tange transic¸o˜ es j´a que o termo Hdip depende do tempo, se tratando de lasers. Entretanto vamos novamente em busca de um potencial efetivo em sua descric¸a˜ o, utilizando um arranjo que priorize ressonˆancia, entre n´ıveis espec´ıficos. Evidentemente o a´ tomo tem um espectro de estados excitados complexo para ser discutido aqui, ent˜ao ser˜ao simplesmente enumerados, incluindo toda estrutura, inclusive os eventuais n´ıveis hiperfinos..

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