UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA

(1)

FACULDADE DE

CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE NOVA

DE LISBOA

ANÁLISE NUMÉRICA DO PUNÇOAMENTO EM

LAJES FUNGIFORMES

Roberto Alves Inácio

Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil – Ramo de Estruturas e Geotecnia

Orientador: Doutor António Manuel Pinho Ramos

Júri

Presidente: Doutor Válter José da Guia Lúcio Vogais: Doutor Mário Vicente da Silva

Doutor António Manuel Pinho Ramos

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ANÁLISE NUMÉRICA DO PUNÇOAMENTO EM

LAJES FUNGIFORMES

RESUMO

Neste trabalho é efectuada uma análise numérica para estudar o comportamento de lajes fungiformes sujeitas a esforços de punçoamento. A análise foi realizada com o programa ATENA 3D, que permite realizar análises não lineares com elementos finitos tridimensionais. O programa baseia-se essencialmente no comportamento não linear do betão e permite trabalhar com modelos de fissuração distribuída e leis de aderência.

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NUMERICAL ANALYSIS OF PUNCHING IN

REINFORCED CONCRETE FLAT SLABS

ABSTRACT

This work aimed to perform a numerical analysis, in order to study the behavior of punching in reinforced concrete flat slabs. The analysis was performed using ATENA 3D, which enables non-linear analysis with three-dimensional finite elements. The program is based on nonlinear behavior of concrete and allows the use of smeared crack models to simulate the cracking of concrete and bond-slip laws for the reinforcement steel.

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PALAVRAS CHAVE

Punçoamento

Lajes fungiformes

Análise numérica

Betão armado

KEY WORDS

Punching

Flat slabs

Numerical Analysis

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AGRADECIMENTOS

Ao Departamento de Engenharia Civil, da Faculdade de Ciências e Tecnologia, da Universidade Nova de Lisboa, agradeço todo o apoio concedido.

Ao meu orientador, Prof. Doutor António Manuel Pinho Ramos, gostaria de expressar os meus agradecimentos pela sua inteira dedicação e orientação que me foi prestada. Pela disponibilidade e valiosa contribuição que levou à realização deste trabalho.

Ao Doutor Dobromil Pryl, da empresa Cervenka Consulting, gostaria de agradecer assistência técnica que me foi prestada, permitindo-me assim, a possibilidade de ter uma melhor apreciação do programa ATENA.

À minha família e amigos, agradeço o apoio e incentivo incondicional. Em especial, a minha mãe, pelo amor e carinho que só uma mãe sabe dar.

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ÍNDICE DE MATÉRIAS

Capítulo 1 ... 1

1 - Introdução ... 1

1.1 – Aspectos Gerais ... 1

1.2 – Objectivos ... 3

1.3 – Organização da Tese ... 4

Capítulo 2 ... 5

2 – Mecanismos de Rotura ao Punçoamento... 5

2.1 – Introdução ... 5

2.2 – O Fenómeno de Rotura ao Punçoamento ... 7

2.3 – Métodos Empíricos e Analíticos... 10

2.3.1 – Modelo Kinnunen e Nylander (1960) ... 11

2.3.2 – Modelo Moe (1961) ... 13

2.3.3 – Modelo Shehata (1985, 1990) Modificado ... 14

2.3.4 - Modelo de Georgopoulos (1988-1989) ... 16

2.3.5 – Modelo Analítico de Menétrey (1996) ... 19

2.3.6 – Modelo Empírico de Staller (2000) ... 26

2.4 – Métodos Numéricos ... 28

2.4.1 –Ožbolt e Vocke (1999) ... 29

2.4.2 – Staller (2000) ... 30

2.4.3 – Trautwein et al. (2006) ... 31

Capítulo 3 ... 33

3 – Punçoamento de Lajes Fungiformes Maciças Ensaiadas em Laboratório ... 33

3.2 – Descrição dos Modelos ... 34

3.3 – Caracterização dos Materiais ... 37

3.4 – Instrumentação dos Ensaios... 39

Capítulo 4 ... 43

4 – Conceitos Teóricos do Programa SBETA ATENA 3D ... 43

4.2 – Modelos Constitutivos Do Betão ... 44

4.3 –Modelo Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” ... 47

4.4 –Armaduras de Aço e o Modelo de Aderência “Bond Slip” ... 49

4.5 – Elementos Sólidos Tri-Dimensionais – Shell vs Brick ... 51

4.6 – O Método Newton-Raphson ... 53

Capítulo 5 ... 55

(12)

5.2 – Descritização dos Modelos ... 56

5.3 – Análise dos Resultados ... 61

5.3.1 – Extensões na Armadura Longitudinal Superior... 61

5.3.1.1 – AR2 ... 62

5.3.1.1.1 – Perfect Bond / Bond-Slip ... 63

5.3.1.1.2 – Energia de Fractura ... 65

5.3.1.1.3 – Elementos Brick / Elementos Laje ... 67

5.3.1.1.4 – Modelos de Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” ... 69

5.3.1.2 – AR9 ... 71

5.3.1.2.4 – Modelos de Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” ... 85

5.3.1.3 – ID1 ... 89

5.3.1.3.4 –Modelos de Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” ... 96

5.3.2 – Deslocamentos Verticais ... 98

5.3.2.1 – AR2 ... 100

5.3.2.1.4 –Modelos de Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” .... 107

5.3.2.2 – AR9 ... 109

5.3.2.3 – ID1 ... 118

5.3.3 – Cargas de Rotura ... 123

Capítulo 6 ... 127

6 – Conclusões Finais e Desenvolvimentos Futuros ... 127

6.2 – Conclusões Finais ... 127

6.3 – Desenvolvimentos Futuros ... 132

(13)

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 – Esquema da rotura ao punçoamento numa laje de betão armado, Menétrey

(1996). ... 7

Figura 2.2 – Exemplos de roturas por punçoamento em estruturas de lajes fungiformes, Ramos e Lúcio (2006). ... 8

Figura 2.3 – Vista da face superior de uma laje após rotura por punçoamento, Ramos e Lúcio (2006). ... 8

Figura 2.4 – Mecanismo de resistência ao punçoamento, Ramos e Lúcio (2006). ... 9

Figura 2.5 – Modelo Mecânico de Kinnunen e Nylander (1960). ... 11

Figura 2.6 – Modelo Mecânico Simplificado de Shehata (1990). ... 14

Figura 2.7 – a) Modelo Mecânico, b) Distribuição da resistência à tracção na fenda de corte. ... 16

Figura 2.8 – Inclinação α da fenda de corte é uma função que depende da percentagem mecânica de armadura ω. ... 18

Figura 2.9 – Componentes da resistência ao punçoamento segundo Menétrey (1996). 19 Figura 2.10 – Mecanismo de rotura que considere a armadura específica de punçoamento a atravessar a fenda de corte, Menétrey (1996). ... 24

Figura 2.11 – Definição das notações ... 26

Figura 2.12 – Comparação entre os resultados experimentais com os resultados calculados. ... 27

Figura 2.13 – Comparação entre o modo de rotura da: a) Análise Numérica, b) Experimental……. ... 29

Figura 2.14 – Superfície de Rotura obtida numericamente por Staller (2000). ... 30

Figura 2.15 – a) Modelo constitutivo do betão “tension stiffening”; b) Modelo axissimétrico……. ... 31

Figura 2.16 – a) Evolução do diagrama de deslocamento vertical com a carga; b) Propagação das fendas no modelo axissimétrico. ... 32

Figura 3.1 – Geometria dos modelos AR2 e AR9, Ramos (2003). ... 34

Figura 3.2 – Geometria do modelo ID1, Duarte (2008). ... 35

Figura 3.3 – Armadura Longitudinal dos modelos AR2 e AR9, Ramos (2003). ... 36

Figura 3.4 – Armadura Longitudinal do modelo ID1, Duarte (2008). ... 36

Figura 3.5 – Localização dos deflectómetros para os modelos AR2 e AR9, Ramos (2003). ... 39

Figura 3.6 – Localização dos extensómetros eléctricos colados à armadura longitudinal superior para o modelo AR9, Ramos (2003). ... 40

Figura 3.7 – Localização dos deflectómetros para o modelo ID1, Duarte (2008). ... 41

(14)

Figura 4.1 – Modelo de amolecimento do betão, Hordijk (1991). ... 44

Figura 4.2 – Comprimento da banda de fissuração para tracção e compressão, Vos (1983). ... 46

Figura 4.3 – a) Diagrama de tensão-deformação uniaxial equivalente; b) Rotura biaxial do betão………. ... 46

Figura 4.4 –Estado de tensão e extensão do “Fixed Crack Model”, Cervenka (2009). 47 Figura 4.5 – Estado de tensão e extensão do “Rotated Crack Model”, Cervenka (2009). ... 48

Figura 4.6 – Lei bilinear do diagrama tensão-extensões das armaduras, Cervenka (2009). ... 49

Figura 4.7 –Lei de “Bond-Slip” do CEB-FIP (1993) e do Bigaj (1999). ... 50

Figura 4.8 –Diferença entre um “brick” linear e uma quadrática, Cervenka (2009). .... 51

Figura 4.9 – a) Elemento laje com cinco graus de liberdade por nó, Ahmad (1970); b) Pressupostos da teoria de lajes finas. ... 52

Figura 4.10 – Método Newton-Raphson. ... 53

Figura 4.11 – Método Newton-Raphson Modificado. ... 54

Figura 5.1 –Modelação numérica da laje AR2 com elementos “brick”. ... 57

Figura 5.2 –Modelação numérica da laje AR2 com elementos “brick” e “shell”. ... 59

Figura 5.3 –“Softening model”, modelo de amolecimento do betão... 60

Figura 5.4 – Evolução das extensões no modelo AR2 na direcção E-W (varões com maior altura útil) ... 63

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(16)

(17)

(18)

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 3.1 – Carga de rotura experimental ... 36

Quadro 3.2 – Caracterização do betão ... 37

Quadro 3.3 – Caracterização da armadura longitudinal ... 38

Quadro 5.1 – Valor de Gf0 referente ao tamanho máximo do agregado ... 58

Quadro 5.2 – Valor de Gf0 referente ao tamanho máximo do agregado para cada modelo ... 58

Quadro 5.3 – Energia de Fractura ... 59

Quadro 5.4 – Comparação entre as extensões experimentais e numéricas para o modelo AR2 ... 62

Quadro 5.7 – Comparação entre as extensões experimentais e numéricas para o modelo ID1 ... 89

Quadro 5.8 – Deslocamentos verticais do modelo AR2 e AR9 ... 98

Quadro 5.9 – Deslocamentos verticais do modelo ID1 ... 98

Quadro 5.10 – Comparação entre os deslocamentos verticais experimentais e numéricos para o modelo AR2 ... 100

Quadro 5.11 – Comparação entre os deslocamentos verticais experimentais e numéricos para o modelo AR9 ... 109

Quadro 5.12 – Comparação entre os deslocamentos verticais experimentais e numéricos para o modelo ID1 ... 118

Quadro 5.13 – Comparação entre as Cargas de Rotura experimentais, numéricos e previstas ... 124

(19)

Análise Numérica do Punçoamento em Lajes Fungiformes

Capítulo 1

1 - Introdução

1.1 –

Aspectos Gerais

Nos tempos que correm, o ramo da engenharia civil encontra-se cada vez mais complexo. A elevada concorrência do mercado leva a que factores económicos, de qualidade e ambientais sejam decisivos para vingar. A concepção estrutural encontra-se cada vez mais ligada à concepção arquitectónica, tornando assim num projecto multidisciplinar. Um engenheiro hoje em dia não basta ser um técnico especializado. Tem de ser capaz de prever o futuro, conhecendo o passado. Terá que acompanhar as evoluções técnicas e tecnológicas, que evoluem cada vez mais rapidamente. Com esta ideia em mente, pretende-se abordar alguns temas relevantes ao estudo do fenómeno de punçoamento.

Os diversos métodos de pesquisas para estruturas de betão armado podem ser divididos em três categorias: métodos experimentais, métodos empíricos/analíticos e métodos numéricos. As normas e códigos usados pelo mundo fora para a resolução do problema do punçoamento, são baseadas essencialmente em métodos empíricos e analíticos. Estes métodos por sua vez não surgiram independentemente. Foram fruto de diversos trabalhos experimentais realizados desde do inicio do século XX (1917) e que recolheram os dados necessários para a sua elaboração. Em relação ao punçoamento, as diversas normas e códigos variam bastante uns dos outros, devido ao uso de diferentes parâmetros. Não existindo assim, uma concordância entre o mundo científico.

(20)

(21)

1.2 –

Objectivos

Esta dissertação teve como objectivo a modelação numérica de punçoamento de lajes fungiformes. A simulação numérica foi realizada através do programa SBETA ATENA 3D, que consiste num programa de Método de Elementos Finitos não lineares e baseado

num método de fissuração distribuída “smeared crack approach”. Todas as lajes que aqui se encontram modeladas tiveram como referência lajes ensaiadas em laboratório. Ensaios esses que foram realizados pelo Ramos (2003) e Duarte (2008).

Graças aos dados dos ensaios experimentais foi possível fazer uma comparação com os modelos simulados. Foram feitas comparações com os deslocamentos verticais da laje, extensões nas armaduras longitudinais superiores e o valor da carga de rotura.

Para cada uma das lajes foram utilizados modelos numéricos. Pretendeu-se com esses modelos entender a importância de alguns parâmetros que influenciam na aproximação da solução numérica com a solução experimental.

Os modelos simulados pretendiam demonstrar as seguintes influências:

 O efeito de aderência armadura varão - betão;  A variação da Energia de Fractura;

 Diferença entre simulação usando elementos hexaedros “Brick” e/ou elementos de laje “Shell”;

 Diferença entre os dois modelos de fissuração distribuída.

(22)

1.3 –

Organização da Tese

É apresentada a seguinte organização desta tese, que é constituído por 6 capítulos, incluindo a introdução e as conclusões finais.

No Capítulo 2, começa-se por uma breve descrição sobre o mecanismo de rotura ao punçoamento. De seguida, faz-se uma referência a alguns métodos empíricos e analíticos realizados por diversos autores, com o objectivo de prever a carga de rotura ao punçoamento. Nesse capítulo, também são descritos alguns métodos numéricos com recurso a programas de elementos finitos que reproduziram a rotura de punçoamento em lajes fungiformes.

Quanto ao Capitulo 3, são apresentados os ensaios experimentais realizados para o estudo da resistência ao punçoamento de lajes fungiformes maciças. É realizada uma descrição dos diferentes modelos ensaiados, uma caracterização dos materiais e o diferente tipo de instrumentação dos ensaios. Os ensaios apresentados foram os que serviram de referência para esta dissertação, tendo sido usado para a comparação dos modelos numéricos: a evolução dos deslocamentos verticais, as extensões na armadura longitudinal superior e a carga de rotura.

O Capítulo 4 pretende-se elaborar uma breve síntese teórica relacionada com o programa ATENA 3D. Tem como objectivo indicar os tipos de modelos constitutivos usados para a modelação do betão e do aço; as diferenças entre os dois tipos de modelos de fissuração distribuída; o conceito de “bond-slip”; os diferentes tipos de elementos sólidos tridimensionais e por fim indicar o método iterativo usado no programa.

No Capítulo 5, é indicado como foram simulados os diversos modelos e apresentados os resultados das modelações em forma de tabela e evolução de gráficos. É feita uma análise global desses valores apresentados e uma síntese das principais conclusões a que se chegou no decorrer deste trabalho.

(23)

Capítulo 2

2 _–

Mecanismos de Rotura ao Punçoamento

2.1 –

Introdução

O modelo de escoras e tirantes foi dos primeiros modelos a ser proposto para analisar o efeito do punçoamento. São utilizados escoras inclinadas que encaminham a carga para os apoios. Tais modelos foram propostos por Al-Nahlawi e Wight (1992) e Reineck (1982, 1991) e que são válidos para elementos esbeltos. Em geral o modelo de escoras e tirantes descreve o estado de tensão e o encaminhamento das forças independentemente de qualquer fenda.

Nos primeiros modelos de punçoamento, foi tido em conta a capacidade à flexão. Isto é, como em muitos dos ensaios realizados, a carga última não difere substancialmente da capacidade à flexão logo os modelos de punçoamento para lajes foram derivados a partir da capacidade à flexão. Tais modelos foram criados por Yitzhaki (1966), Long e Rankine (1987), Long (1975), Moe (1961) e Gesund et al (1970).

(24)

Desde 1985 os modelos baseados em mecanismos de rotura têm vindo a ser cada vez mais utilizados e o mesmo pode ser dito sobre as análises numéricas. Destes modelos, pode-se referir o modelo de Kinnunen e Nylander (1960), que foi o primeiro modelo mecânico a conseguir bons resultados e também permite visualizar o encaminhamento das forças.

(25)

2.2 –

O Fenómeno de Rotura ao Punçoamento

O fenómeno de rotura ao punçoamento em lajes fungiformes é caracterizado como sendo uma transferência de forças e momentos entre a laje e o pilar. Esta transferência cria elevadas tensões de corte junto do pilar, provocando assim fendilhação e levando por fim, à rotura. Esta rotura é uma rotura repentina, caracterizada pelo decréscimo da capacidade de carga. Contudo, a fenda que causa a rotura não é formada imediatamente, mas sim, através da formação de micro fendas. A rotura ao punçoamento resulta através da união dessas micro fendas (uma fase progressiva), dando de seguida origem a uma fenda propagativa (uma fase repentina). Essa rotura ocorre entre a ligação da laje ao pilar, formando assim um elemento tronco-cónico conforme ilustrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Esquema da rotura ao punçoamento numa laje de betão armado, Menétrey (1996).

(26)

a) Centro Comercial Sampoong – Seul b) Centro Comercial Bullocks

Figura 2.2 – Exemplos de roturas por punçoamento em estruturas de lajes fungiformes, Ramos e Lúcio (2006).

O mecanismo de rotura ao punçoamento para lajes fungiformes é composto por quatro fases. Na primeira fase, o betão não tem fendas e o aço não entrou em cedência. Portanto considera-se que ambos têm um comportamento elástico-linear. A segunda fase, inicia-se quando surge a primeira fenda de flexão. A fenda é localizada na face superior da laje e é tangente ao pilar, contornando o seu perímetro. Com decorrer do aumento da carga vertical, começam a surgir fendas radiais junto do perímetro do pilar. A Figura 2.3 ilustra as respectivas fendas de flexão tangentes e radiais junto do perímetro do pilar. Numa terceira fase, deixam de surgir novas fendas de flexão e essas mesmas fendas, começam abrir cada vez mais formando assim, umas fendas de corte ao logo da espessura da laje, levando por fim, à rotura por punçoamento. Na quarta fase, a fenda de corte de punçoamento separa a laje em duas partes e que ficam ligadas entre si, somente devido à armadura que atravessa a fenda.

(27)

Os parâmetros que influenciam a resistência ao punçoamento de uma laje fungiforme são: a área carregada e a localização do pilar (pode-se tratar de um pilar de canto, um pilar interior ou um pilar de bordo); a espessura e geometria da laje (isto é, aberturas na laje); a resistência do betão; a quantidade de armadura de flexão e por fim, a existência de armadura específica de punçoamento ou pré-esforço.

Em regra, para aumentar a resistência ao punçoamento de uma laje fungiforme, recorre-se ao aumento da espessura da laje, na zona junto do pilar, através do uso de capitéis. Embora podendo a vir a ser mais caro, também é possível aumentar a resistência ao punçoamento utilizando betão de alta resistência ou armadura específica de punçoamento.

Na Figura 2.4 é ilustrado o mecanismo de resistência ao punçoamento, que pode ser resumido por três forças que equilibram a força de punçoamento. Estas três forças são: o componente vertical da compressão radial; o componente vertical da força de atrito entre os inertes na fenda e o componente vertical da força do efeito de ferrolho.

(28)

2.3 –

Métodos Empíricos e Analíticos

(29)

2.3.1 – Modelo Kinnunen e Nylander (1960)

Este modelo foi criado em 1960 e baseou-se em 61 ensaios, utilizando elementos de lajes circulares, apoiados no centro por um pilar circular e carregado no bordo livre. Observou-se nos ensaios a formação da fenda de corte, a deformação da laje e as extensões no betão e aço, que teve como contribuição fundamental à sua teoria. O modelo consiste em criar um equilíbrio de forças como ilustrado na Figura 2.5. A laje é constituída por um elemento central tronco-cónico que é confinado por sectores circulares da laje limitados por fissuras radiais e circulares. Os sectores circulares da laje são apoiados na parte inferior da laje, por cima do pilar, através de uma biela cónica comprimida.

Figura 2.5 – Modelo Mecânico de Kinnunen e Nylander (1960).

As forças internas utilizadas são:

R1 = Resultante dos esforços de tracção nas armaduras que cruzam as fissuras radiais R2 = Resultante dos esforços de tracção nas armaduras que cruzam as fissuras circulares R4 = Resultante dos esforços de compressão no betão

(30)

As forças internas são função do ângulo de rotação  e das propriedades mecânicas do betão e do aço. A carga última é determinada através de um critério de rotura e das

equações de equilíbrio (∑V=0 e ∑M=0). O critério de rotura é verificado através a extensão tangencial do betão ct, à distância x da face do pilar e atinge os valores dados

pelas seguintes expressões:



1



0 2

 

2.1

22 , 0 1 0035 ,

0    

     _ _   d B para d B ct  



1



2

 

2.2

00196 ,

0   

 d B para ct  

(31)

2.3.2 – Modelo Moe (1961)

O modelo Moe ainda serve de base para o ACI- 318-08 (1995). Este modelo foi baseado em ensaios de lajes rectangulares no ano 1961. São utilizados dois estados de limite para descrever a rotura por punçoamento. O primeiro consiste na força máxima Vflex junto do pilar devido ao momento de flexão. O segundo consiste na capacidade de esforço transverso Vshear do pilar. Para obter a carga última de punçoamento é utilizada a seguinte equação (2.3) em que existe uma relação entre a flexão e a capacidade de corte.

) 3 . 2 ( 1   flex u shear u V V A V V

Em que A é obtida a partir dos resultados dos ensaios, tendo assim a equação (2.4) para a carga última de punçoamento:





_{ }

4 . 2 436 , 0 1 059 , 0 1 246 , 1 c col flex c col u f d u V f d u V    





 

d c e f f Onde f d C V c y c flex 2 2 : 5 . 2 59 , 0 1         

(32)

2.3.3 – Modelo Shehata (1985, 1990) Modificado

Através da observação das fendas e deformação dos ensaios realizadas, Shehata considere que a região de punçoamento da laje é dividida em secções radiais rígidas que giram à volta de um centro de rotação localizado no pilar. Considerando um segmento radial da laje, com um ângulo sectorial ΔΦ limitado por duas fendas planas radiais e

uma fenda inclinada plana, Shehata identifica as seguintes forças externas e internas que actuam segundo um plano radial conforme representado na seguinte Figura 2.6:

Figura 2.6 – Modelo Mecânico Simplificado de Shehata (1990).

 A carga externa P(ΔΦ/2π), aplicada num raio r = rp;

 A componente radial da resultante das forças de tensão Fst ΔΦ devido à deformação da laje;

 A componente radial da resultante das forças de compressão Fct ΔΦ devido à deformação da laje;

 A força inclinada do apoio dFcr junto do pilar;  A força radial dFsr;

(33)

Shehata define três estados críticos cuja parte frontal do segmento radial deixa de suportar a força junto da face do pilar:

1) Se o ângulo  das forças compressivas atinge 20º, existem tensões principais de tracção na parte frontal de compressão, o que faz com que ocorra rotura através da separação do betão;

2) Se em geral a deformação radial na face comprimida atinge um valor 3

10 5 ,

3 _ 



 , junto da face do pilar, ocorre esmagamento radial do betão; 3) Se a deformação tangencial das faces comprimidas atinge _ _₃_,₅_₁₀3_{a uma}

distância x da face do pilar, ocorre esmagamento tangencial do betão.

Para definir a carga última de punçoamento, é necessário encontrar a rotação ψu e verificar qual dos três estados críticos se atinge primeiro. Para um dado valor de ψ, a

carga última de punçoamento Pu pode ser obtida através das equações de equilíbrio num segmento radial:





z F z F m M dF dF H dF P V F F H ct st r cr sr radial cr ct st ring                     : º º 10 cos : º 10 sin 2 / : :

O resultado da carga última de punçoamento pode ser obtido através da seguinte equação (2.6) ) 6 . 2 ( º 10 tan

2 0 c c

u r xn f

P  

Onde:

ro = Diâmetro do pilar;

x = Altura da zona comprimida quando ocorre punçoamento;

nc = Factor de tensão concentrada para contabilizar a resistência do betão submetido num estado multiaxial de tenções;

(34)

2.3.4 - Modelo de Georgopoulos (1988-1989)

Georgopoulos (1988-1989) desenvolveu um procedimento para calcular a carga última de punçoamento e o ângulo de punçoamento de uma laje sem armadura específica para punçoamento. Na sua abordagem, a resistência à tracção do betão ₁ e a percentagem

mecânica de armadura ω são os parâmetros principais. A Figura 2.7-a) mostra o modelo mecânico resistente para uma rotura por punçoamento.

Figura 2.7 – a) Modelo Mecânico, b) Distribuição da resistência à tracção na fenda de corte.

Georgopoulos considera que a carga última de punçoamento é calculada através da resistência à tracção do betão, na zona da fenda de corte e devido às forças compressivas inclinadas encontradas na casca cónica comprimida junto do pilar. Assume-se que aproximadamente 75% da carga última de punçoamento é devido à resistência à tracção do betão ₁. Desse modo, essa carga pode ser calculada de acordo com a equação (2.7), recorrendo assim à componente vertical, da resultante de forças de tracção ZB na zona da fenda de punçoamento.

 

2.7 75

. 0

cos

B u

Z P 

Onde:

(35)

Georgopoulos considera que a distribuição da resistência à tracção na zona da fenda de corte é um polinómio do terceiro grau, conforme a equação representada na Figura 2.7-b). Ele estima que a altura da zona comprimida é x = 0.2 hm. A integração da resistência à tracção ao longo da superfície da fenda e o equilíbrio de forças de tracção, na direcção vertical de acordo com a equação (2.7), dão a equação (2.8) para o cálculo da carga última de punçoamento.

 

2.8 cot 35 . 0 20 . 0 2 cot 13 . 4 2 1       _ _

  _m   

u h

P

Onde:

1

 = Máxima resistência à tracção na zona da fenda de corte; = 0.17 (fck,cube)2/3

hm = Altura útil;

 = Inclinação da fenda de corte;

λ = dst/hm

dst = Diâmetro do pilar.

De acordo com a equação (2.9), Georgopoulos considera que a inclinação α da fenda de

corte é uma função que depende da percentagem mecânica de armadura ω.

 

2.9 3 . 0 056 . 0

tan  

 

Onde:

ω = Percentagem mecânica de armadura

(36)

A Figura 2.8 ilustra que a equação (2.9) está de acordo com os valores dos ângulos de

inclinação α dos ensaios de punçoamento realizados.

(37)

2.3.5 – Modelo Analítico de Menétrey (1996)

A expressão analítica proposta por Menétrey (1996) para obter a carga última de punçoamento foi desenvolvida a partir de resultados obtidos através de uma simulação numérica do mecanismo de rotura. É proposto a transferência da carga a partir do ponto de aplicação até aos apoios, utilizando uma analogia do modelo escoras e tirantes.

Este modelo de escoras e tirantes que se encontra junto do pilar está ilustrada na Figura 2.9 e ilustra o tirante de betão atravessar a fenda de corte. Ideia deste modelo consiste em assumir que a rotura de punçoamento corresponde à rotura do tirante de betão. Assim sendo, a resistência do tirante é equivalente à resistência ao punçoamento. A carga de punçoamento é obtida através da integração dos componentes verticais das tensões de tracção do betão junto da fenda de corte.

(38)

O modelo é generalizado para ter em conta as diversas contribuições de cada reforço que atravessa a fenda de corte. Bastando assim, adicionar ao integral das tensões de tracção do betão os respectivos reforços contabilizados. A carga última de punçoamento é expressa pela equação (2.10):



2.10



p

sw dow ct

pun F F F F

F    

Onde:

Fpun = Carga última de punçoamento;

Fct = Componente vertical das tensões à tracção do betão; Fdow = Força do efeito ferrolho;

Fsw = Componente vertical da força devido às armaduras específicas de punçoamento; Fp = Componente vertical da força do pré-esforço.

 Força de Tracção do Betão

A força de tracção do betão é determinada através da integração das tenções verticais de

tracção σv, que se encontram junto da fenda de corte. É assumido que a fenda de corte tem a forma de um cone truncado, composto por dois raios r1 e r2 (ilustrado na Figura2.8). O raio r1 é assumido para corresponder a 1/10 da altura útil da laje, o raio r2 estende-se até às armaduras de flexão e a superfície entre r1 e r2 é:



r₁r₂



s



2.11



(39)

Sendo assim:











 

0.9





2.13



12 . 2 tan 11 . 2 tan 10 1 2 2 1 2 2 1 d r r s d r r d r r s s          Onde:

rs = Raio do pilar;

α = Inclinação da fenda de punçoamento; d = Altura útil da laje;

s = Comprimento da inclinação.

A expressão analítica para obter a força de tracção do betão é dada pela seguinte equação (2.14):









2/3



2.14



2 1 2

1    

 _v _ct

ct r r s r r s f

F    

A força de tracção é influenciada através da resistência de tracção do betão fct. Os três parâmetros: ξ, μ e η reproduzem respectivamente a influência da percentagem

geométrica de armadura de flexão, o efeito de escala e do raio de inicio da fenda inclinada de punçoamento. Estes parâmetros foram determinados com base nos resultados obtidos através da simulação numérica.

A influência da percentagem geométrica de armadura de flexão ρ, é calculada através da expressão (2.15):



2.15



(40)

A influência do efeito de escala é obtido numericamente e pode ser determinada por:



2.16



2 , 1 1 6 . 1 2 / 1           a d d  Onde:

d = Altura útil da laje

da = Dimensão máximo do agregado.

A influência do raio de inicio da fenda de punçoamento é essencial na previsão da carga de rotura para as situações em que exista armadura específica de punçoamento. A expressão analítica que é proposta para reproduzir a influência do raio de inicio da fenda de punçoamento é a seguinte:



2.17



5 . 2 625 . 0 5 . 2 0 25 . 1 5 . 0 1 . 0 2                   h r h r h r h r s s s s  Onde:

(41)

 Contribuição do Efeito de Ferrolho

O efeito de ferrolho é um mecanismo de corte e é causado devido às armaduras de flexão que atravessa a fenda de punçoamento. Este mecanismo aumenta significativamente a carga de punçoamento para lajes que são armadas em duas direcções. A força de corte que é transferida através das armaduras de flexão é obtida através da abordagem proposta pelo CEB-FIP Model Code 1990 (1993), recorrendo à equação (2.18):



1



sin



2.18



2

1 __2 __2 _

 bars _s _c _t

dow f f

F

Onde:

Øs = Diâmetro da armadura longitudinal; fc = Resistência do betão à compressão; ft = Tensão de cedência do aço;



₁__ 2



_{= Interacção parabólica entre a força axial e o efeito ferrolho,}

t s

f    ;

σs = Tensões axiais de tracção nas armaduras de flexão;



2.19



tan /

bars

s pun s

A F



 



(42)

 Contribuição da Armadura Específica de Punçoamento

Considerando um mecanismo de rotura conforme ilustrado na Figura 2.10, é possível contabilizar a armadura específica de punçoamento. A contribuição dessas armaduras para a carga de punçoamento é obtida considerando uma laje com reforçoaxissimétrico.

Figura 2.10 – Mecanismo de rotura que considere a armadura específica de punçoamento a atravessar a fenda de corte, Menétrey (1996).

No uso da armadura específica de punçoamento, a força de tracção é transmitida através das tensões do betão que, actuam sobre um comprimento segundo o qual ocorre deslizamento entre o betão e o aço, CEB-FIP Model Code 1990 (1993). Se este comprimento for conhecido, é possível obter a tensão de cedência dessas armaduras e por sua vez a força máxima, equação (2.20):

 



2.20



sin 2

1

sw sw

sw

sw A f

F   

Onde é feito um somatório de todos os estribos que atravessam a fenda e em que Asw é área transversal da armadura específica de punçoamento e sw a inclinação do estribo

(43)

 Contribuição dos Cabos de pré-esforço

Para lajes que têm cabos de pré-esforço inclinadas, a sua carga de punçoamento aumenta através da soma do componente vertical da força do pré-esforço. Esta força é expressa pela equação (2.21):

 



2.21



sin _p

p p cordões

p A

F    

Onde:

Ap = Área da secção transversal da armadura de pré-esforço;

σp = Tensão aplicada à armadura de pré-esforço;

βp = Inclinação da armadura de pré-esforço no ponto de intersecção da fenda com o plano da laje (ilustrado na Figura 2.10).

É feito um somatório de todos os cabos que atravessam a fenda, e se as armaduras de pré-esforço forem aderentes, a percentagem de armadura à flexão utilizada para o

parâmetro ξ na equação (2.15) é modificada:

) 22 . 2 (

p

s 

   

Onde:

ρs = Percentagem de armadura à flexão;

(44)

2.3.6 – Modelo Empírico de Staller (2000)

O modelo empírico de Staller é baseado na avaliação dos dados experimentais, com a ajuda de análises regressivas lineares ou não lineares, singulares ou múltiplas. Sendo assim, o parâmetro que tem mais influência sobre a capacidade de carga de punçoamento, será contabilizado nas fórmulas. O objectivo de utilizar uma análise regressiva é para determinar o parâmetro independente de uma função de modo que os dados experimentais se melhor aproximem à função. Dai, é importante a escolha do tipo de função pelo qual a análise regressiva é baseada. Através das observações feitas durante os ensaios experimentais, modelos mecânicos e análises numéricas, os seguintes parâmetros podem ser considerados significativos:

 Geometria - Espessura da laje; altura útil; vão; dimensões da laje; dimensões e

geometria dos apoios; esbelteza.

 Propriedades dos Materiais - Resistência do betão à compressão e tracção;

tensão de cedência do aço; módulo de elasticidade; energia de fractura.

 Armadura Longitudinal - Percentagem mecânica de armadura; diâmetro e

disposição das armaduras.

Através dos parâmetros mencionados, são criados funções parciais que depois possam ser compilados para a fórmula final.

- Efeito de escala:   F



d/lch



(2.23)

- Percentagem mecânica de armadura: (2.24)

1 1 c y f f  

- Esbelteza da laje: (2.25)

2 1 2

1 ₁ ₂ ₁ ₂

d a a e d c c      

Figura 2.11 – Definição das notações

(45)

Após a obtenção e verificação das diversas funções parciais procede-se à análise regressiva final. Em que essa mesma análise é determinada segundo uma condição pelo o qual a relação vexp/vcal é igual a um. A equação (2.26) permite a determinação da capacidade de carga de punçoamento:



2.26



1 5 1 3

d u f C

V_cal     _ct

Onde:

C = 0.5325 ≈ 0.53





2

1 /

1 

 d lch



ω = Percentagem mecânica das armaduras; λ = Esbelteza;

f1ct = Resistência à tracção do betão; u = Perímetro critico;

d = Altura útil;

Na Figura 2.12 os resultados experimentais são comparados com os resultados calculados. É visível que os resultados calculados pela fórmula empírica são bastantes realísticos em comparação com os resultados experimentais. Sendo assim esta fórmula empírica representa uma forma prática de prever a carga última de punçoamento.

(46)

2.4 –

Métodos Numéricos

As simulações numéricas com elementos finitos são actualmente uma importante ferramenta na análise e previsão do comportamento de estruturas de betão armado. Isto deve-se ao facto de os ensaios laboratoriais terem um elevado custo e os resultados obtidos das tensões e deformações, serem apenas monitorizados em pontos. Por outro lado, numa simulação numérica é possível reproduzir um ensaio de um modo mais económico e permitindo visualizar as tensões e deformações em toda a estrutura.

(47)

2.4.1 – Ožbolt e Vocke (1999)

Ožbolt juntamente com Vocke (1999) realizaram uma análise tridimensional utilizando

um programa de elementos finitos “MASA”. Esta análise serviu para demonstrar que os modelos numéricos do “MASA” podem reproduzir de forma realista, a rotura por

punçoamento em lajes fungiformes sem armadura específica de punçoamento. Para tal, foi feita uma comparação entre os resultados obtidos com o dos experimentais.

Por razões de simetria geométrica, Ožbolt modelou ¼ da laje e o discretizou o modelo com elementos sólidos de oito nós. Utilizou elementos barra para simular as armaduras ordinárias e o modelo adoptado para o aço foi o elasto-plástico. O carregamento foi aplicado através do incremento de deslocamentos nos nós localizados abaixo do pilar.

Em relação ao modelo adoptado para a resistência à tracção do betão, considerou-se o

“tension softening”. Esta consideração implicou que a energia de fractura dependia do

tamanho do elemento finito.

Baseando-se nas comparações entre os resultados numéricos e experimentais, concluiu-se que os modelos numéricos do MASA podem prever o comportamento da laje ao punçoamento. A Figura 2.13 demonstra a comparação entre o modo de rotura da laje obtida pela análise numérica e do ensaio experimental. São bastante visíveis as semelhanças da superfície de rotura entre os dois modelos.

a) b)

(48)

2.4.2 – Staller (2000)

A análise numérica usada por Staller (2000), serviu para determinar a resistência ao punçoamento de lajes fungiformes com betão de alta resistência. Usou como referência, a laje HSC4 de Hallgren (1996), com betão de alta resistência à compressão (91,6 MPa) e sem armadura específica de punçoamento. O programa de método de elementos finitos utilizado para realizar a análise numérica foi o “MARC”.

Na modelação da laje foram utilizados elementos tridimensionais isoparamétricos de oito nós e elementos de barras para simular a armadura longitudinal. Devido à simetria geométrica da laje, apenas ¼ da laje foi modelada e o carregamento foi aplicado através do incremento de deslocamento. Foi utilizado o Método de Newton-Raphson para o método iterativo.

A carga de rotura obtida a partir da simulação, foi superior a do experimental. Segundo Staller, o comportamento numérico foi bem mais rígido do que no ensaio, havendo assim 15% de diferença entre o valor de carga de rotura numérico e experimental. A superfície de rotura obtida por Staller foi bastante próximo da experimental, conforme ilustrado na Figura 2.14.

(49)

2.4.3 – Trautwein et al. (2006)

O trabalho realizado pelos investigadores L. Trautwein, T. Bittencourt, R. Faria, J.A. Figueirase R. Gomes teve como objectivo reproduzir alguns ensaios experimentais recorrendo à análise numérica. Foi realizado um modelo axissimétrico para prever a carga de rotura de três lajes fungiformes com e sem armadura específica de punçoamento. A simulação numérica foi executada com o programa “DIANA” e foi

adoptado o modelo de fissuração distribuída “smearred crack approach”.Para a

realização da análise numérica tiveram que recorrer aos modelos experimentais de Musse (2004). Neste, todos os ensaios tiveram uma rotura por punçoamento.

O modelo axissimétrico foi modelado com elementos finitos isoparamétricos de oito nós, conforme ilustrado na Figura 2.15-b). As armaduras longitudinais foram embebidas no modelo, considerando uma aderência perfeita para com o betão e seguindo a lei constitutiva elasto-plastico. Foi adoptado uma espessura equivalente para a armadura longitudinal, considerando assim, a área total de todos varões ordinárias em cada direcção. O carregamento foi através de uma aplicação de uma carga, por baixo do pilar, tendo este uma altura duas vezes superior a espessura da laje. Quanto ao comportamento do betão à tracção, este era linear antes de ocorrer fendilhação e bilinear após

fendilhação. Adoptando portanto um modelo constitutivo do betão “tension stiffening”

conforme ilustrado na Figura 2.15-a)e uma energia de fractura de acordo com o CEB-FIP Model Code 1990 (1993).

Figura 2.15 – a) Modelo constitutivo do betão “tension stiffening”;

(50)

Comparando os resultados dos ensaios com as simulações numéricas, verificou-se que ambos tiveram o mesmo modo de rotura. As cargas de rotura previstas pela análise numérica tiveram uma boa aproximação. Foi visível a formação do cone de punçoamento no modelo numérico e sua inclinação da superfície de rotura era idêntica ao do experimental. A Figura 2.16 demonstra respectivamente o diagrama carga-deslocamento e a propagação das fendas no modelo axissimétrico.

(51)

Capítulo 3

3 _–

Punçoamento de Lajes Fungiformes Maciças Ensaiadas

em Laboratório

3.1 –

Introdução

(52)

3.2 –

Descrição dos Modelos

Foram analisados neste trabalho três modelos experimentais, que consistem em lajes fungiformes maciças e que pretendiam simular exclusivamente a área de laje junto ao pilar, limitada pelas linhas de inflexão, onde os momentos flectores são nulos.

As lajes AR2, AR9 têm as dimensões em planta de 2300x2300 mm2 e 100 mm de espessura, a laje ID1 tem as dimensões 1800x1800 mm2 e com uma espessura de 120 mm. Em todas as lajes, o pilar central foi simulada recorrendo a uma placa de aço com as dimensões em planta de 200x200 mm e 50 mm de espessura.

Para as lajes AR2 e AR9 a carga vertical foi aplicada, sobre oito pontos posicionados na parte cima da laje, perto dos bordos conforme ilustrado na Figura 3.1. Nesses pontos, foram colocados oito placas de aço com as dimensões transversais 100x100 mm e 20 mm de espessura e que serviam de ancoragem para os oito cordões de alta resistência que atravessavam a laje e suspendiam, dois a dois, quatro vigas metálicas. Em cada uma destas vigas, encontravam-se suspensas outras duas, que por sua vez, era aplicado uma carga a meio vão. Carga essa que era aplicada com recurso a um macaco hidráulico, que se encontrava por cima das duas vigas e que tracionava um cordão de alta resistência, que atravessava as duas vigas e ligava-se à laje do laboratório. Ao todo existiam dois macacos hidráulicos, ligados ao mesmo circuito hidráulico de forma a garantir a mesma pressão para ambos. A placa de aço, que simulava o pilar central, servia de apoio à laje impedindo assim o deslocamento vertical e os bordos da laje eram permitidos rodar, de modo a simular a linha dos momentos nulos.

(53)

Quanto à Laje ID1, a carga vertical foi aplicada recorrendo a um macaco hidráulico, que se encontrava por baixo da laje e que carregava a placa de aço que simulava o pilar central. Existiam oito pontos posicionados na parte cima da laje, perto dos bordos e que impediam os deslocamentos verticais. Nesses mesmos pontos, encontram-se oito placas de aço com as dimensões transversais 100x100 mm e 20 mm de espessura e que apoiavam, dois a dois, quatro vigas metálicas. As placas de aço e as vigas metálicas, serviam de ancoragem para os quatro cordões de alta resistência, que atravessavam o modelo a meio das quatro vigas, ligando por fim à laje do laboratório. O modelo descrito encontra-se ilustrado na Figura 3.2 e relativamente aos bordos da laje, estes, também eram permitidos rodar.

(54)

Todas as lajes tinham como armadura inferior, 12 varões de 6 mm de diâmetro colocadas em cada direcção, criando assim uma malha ortogonal de Ø6//0.20. Para a armadura superior, as lajes AR2, AR9 continham varões de 10 mm de diâmetro espaçados de 60mm em cada uma das direcções (Ø10//0.06); na laje ID1 a sua armadura superior tinha varões de 10mm de diâmetro espaçados 75 mm em cada uma das direcções (Ø10//0.075). A altura útil média foi de 80 mm para as lajes AR2, AR9 e 90 mm para a laje ID1.

Figura 3.3 – Armadura Longitudinal dos modelos AR2 e AR9, Ramos (2003).

Figura 3.4 – Armadura Longitudinal do modelo ID1, Duarte (2008).

Todos os modelos foram carregados até se atingir a rotura, tendo este sido sempre por punçoamento. Os valores das cargas de rotura experimentais referentes a cada modelo encontram-se no Quadro 3.1.

Quadro 3.1 – Carga de rotura experimental

Modelo VExp (kN)

AR2 258,00

AR9 251,00

(55)

3.3 –

Caracterização dos Materiais

Para os modelos experimentais, caracterizou-se a resistência do betão utilizando provetes cúbicos com 15 cm de lado e ensaiando-os à compressão. Todos os provetes foram ensaiados no dia da realização do ensaio do respectivo modelo. Todos estes dados se encontram descriminados no Quadro 3.2.

Quadro 3.2 – Caracterização do betão

Modelo fccm (MPa) fcm (MPa) fctm (MPa) Ec (GPa)

AR2 48.9 39.1 3 28.8

AR9 46.4 37.1 2.9 28.3

ID1 49.2 39.3 3 28.9

Após a obtenção dos resultados dos ensaios, isto é, o fccm, utilizaram-se as seguintes expressões de correlação do CEB-FIP MC90 (1993) para determinar o fcm, fctm e o Ec, nas quais devem ser consideradas em MPa:

 

3.1 )

60 (

8 ,

0 f com f MPa

f_cm   _ccm _ccm 

 

3.2 10 8 4 , 1 3 2          cm ctm f f

 

3.3 482

,

8 3

cm

c f

E  

Em que,

fccm é a tensão média de rotura à compressão do betão em provetes cúbicos; fcm é a tensão média de rotura à compressão do betão em provetes cilíndricos; fctm é a tensão média de rotura à tracção do betão;

(56)

Para determinar as características das armaduras longitudinais, recorreu-se a ensaios de tracção, utilizando provetes com os diâmetros de 6 mm e 10 mm. O aço utilizado para os modelos AR2 e AR9 foi o convencionalmente designado por ER (endurecido a frio e rugoso) e o NR (laminado a quente e rugoso), para o modelo ID1 foi utilizado aço NR. Na Quadro 3.3 encontram-se os valores da tensão de cedência do aço fsy e da tensão de rotura à tracção do aço fsu.

Quadro 3.3 – Caracterização da armadura longitudinal

Modelo

Ø 6 Ø 10

Tipo fsy (MPa)

fsu

(MPa) Tipo

fsy

(MPa)

fsu

(MPa)

AR2 ER 639 732 NR 523 613

AR9 ER 555 670 NR 481 633

(57)

3.4 –

Instrumentação dos Ensaios

As instrumentações utilizadas para as lajes AR2 e AR9 eram diferentes, das utilizadas para a laje ID1. Conforme ilustrado na Figura 3.5, foram medidos os deslocamentos verticais das lajes AR2 e AR9, utilizando nove deflectómetros eléctricos, montados em dois pórticos metálicos, por intermédio de bases magnéticas. Na quantificação da carga vertical aplicada no modelo, foi utilizada duas células de carga, uma em cada viga metálica que sofreu a aplicação das cargas.

(58)

Para poder avaliar as extensões das armaduras longitudinais superiores foram instaladas na laje AR2 dez extensómetros eléctricos, posicionados na direcção E-W e colados em cinco varões longitudinais superiores. Na laje AR9 foram posicionados vinte extensómetros, dez dos quais colados em cinco varões longitudinais superiores, com a direcção ortogonal (N-S e E-W). A Figura 3.6 ilustra a localização dos extensómetros para a laje AR9.

Figura 3.6 – Localização dos extensómetros eléctricos colados à armadura longitudinal superior para o modelo AR9, Ramos (2003).

(59)

Figura 3.7 – Localização dos deflectómetros para o modelo ID1, Duarte (2008).

(60)

(61)

Capítulo 4

4 _–

Conceitos Teóricos do Programa SBETA ATENA 3D

4.1 –

Introdução

O programa SBETA ATENA 3D é destinado a realizar análises não lineares, em três dimensões e foi desenvolvido pela empresa Cervenka Consulting Ltd. Neste capítulo serão mencionados alguns conceitos teóricos por trás do programa.

Quanto ao modelo SBETA Atena3D, este inclui comportamentos não lineares, incluindo endurecimento e amolecimento do betão por compressão. A fractura do betão é baseada num mecanismo de fractura não linear e o critério de rotura do betão é feita através da resistência biaxial do betão. É considerada uma redução da resistência à compressão após fissuração e também, o efeito de amolecimento à tracção “tension

-stiffening”, que consiste no comportamento do betão armado fissurado quando à tracção.

O modelo SBETA permite trabalhar com dois modelos de fissuração distribuída “smeared

crack approach”: o “fixed crack model” e o “rotated crack model”. É também possível

trabalhar com vários modelos de “bond-slip”, para a aderência entre armaduras e o betão. A modelação é feita com diversos elementos sólidos tri-dimensionais, tais como elementos

(62)

4.2 –

Modelos Constitutivos Do Betão

O betão é um material complexo devido ao seu comportamento não linear. Portanto foram criados modelos constitutivos para a análise de elementos finitos. Modelos esses que são utilizados no modelo SBETA e que serão resumidamente descritos.

O comportamento à tracção do betão é modelado combinando o mecanismo de fractura não linear com o modelo da banda de fissuração “crack band method”. Recorrendo a

esta combinação o conceito de fissuração distribuída “smeared crack”, pode ser utilizado e os seus principais parâmetros são, a resistência à tracção, o modelo de amolecimento “softening model” e a energia de fractura. Utilizando o conceito de fissuração distribuída, o tamanho da fenda está relacionada com o tamanho do elemento finito e consequentemente, o modelo de amolecimento em termos de extensões é calculada individualmente para cada elemento finito, respeitando sempre a propagação

da fenda “crack opening law”. O modelo de amolecimento “softening model” que foi

utilizado para a análise numérica encontra-se ilustrado na Figura 4.1.

(63)

A função de propagação de fendas foi calculada experimentalmente por Hordijk (1991).



1



exp





, (4.1) exp

1 3 ₂

1 2

3

1

´ c c

w w w w c w w c

f_tef _c _c_ _c  

                        ) 2 . 4 ( 14 .

5 _´_ef

t f c

f G

w  

Em que,

w_{é a propagação da fenda;}

c

w _{é a propagação da fenda quando a tensão efectiva à tracção é zero;}  é a tensão normal;

ef t

f´ é a tensão efectiva à tracção;

f

G é a energia de fractura necessária para criar uma fenda sem transmissão de tensões;

Os valores das constantes são c1 = 3 e c2 = 6.93

A energia de fractura de acordo com Vos (1983) pode ser calculada recorrendo à expressão (4.3): ) 3 . 4 ( 000025 .

0 ´ef

t

f f

G  

A tensão que se encontra no modelo de amolecimento é determinada a partir da propagação da fenda w_{, que é calculada através da expressão (4.4), onde}

cr

 é a extensão da abertura da fenda,  é um factor que depende na direcção da propagação da fenda e Lt é o comprimento da banda de fissuração que se encontra perpendicular à

fenda. ) 4 . 4 ( t cr L

(64)

É possível visualizar o comprimento da banda de fissuração para tracção e compressão na Figura 4.2.

Figura 4.2 – Comprimento da banda de fissuração para tracção e compressão, Vos (1983).

Antes de ocorrerem fissuras, o betão é um material isotrópico e a relação entre a tensão e deformação do betão é analisada recorrendo ao diagrama de tensão-deformação uniaxial equivalente. O comportamento à tracção do betão não fendilhado, é assumido como sendo elástico linear. Em que Ec é o módulo de elasticidade do betão e

ef t

f´ a

tensão efectiva à tracção.

) 5 . 4 ( 0

; ´ef

t c eq

c ef

c E    f



Após a fissuração, o betão passa a ser um material ortotrópico que é controlada através da função de rotura biaxial elaborada por Kupfer (1969). São calculados através dessa função, os valores máximos da tensão de compressão ef

c

f´ e de tracção f_t´ef . O

diagrama de tensão-deformação uniaxial equivalente e a rotura biaxial do betão e pode ser visualizado na Figura 4.3.

a) b)

(65)

4.3 –

Modelo

Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model”

De acordo com Cervenka (2009), o programa SBETA Atena3D permite a possibilidade de trabalhar com o modelo de fissuração distribuída “smeared crack model”. Este modelo permite modelar a propagação das fendas, através de uma actualização da relação constitutiva (tensão x deformação), dos elementos que se encontram na proximidade da fenda. A vantagem deste método é a sua simplificação computacional, contudo, devido ao amolecimento do betão este método depende significativamente no tamanho do elemento finito. O programa SBETA, de acordo com o conceito de fissuração distribuída permite utilizar duas opções para modelar a fenda. A abertura e

orientação das fissuras num dado ponto são dadas através de dois modelos: “Fixed Crack Model” e o “Rotated Crack Model”. Estes dois modelos dependem das propriedades mecânicas dos materiais e do comportamento do material à tracção e compressão.

No “Fixed Crack Model” a direcção da fenda é dada através da direcção das tensões principais, no momento em que se inicia a fenda. Durante o carregamento esta direcção é fixa. Antes da fissuração do betão a direcção das tensões e extensões principais coincidem-se devido ao material isotrópico do betão. Após a fissuração o material do betão passa a ser ortotrópico. O eixo m1 é perpendicular à direcção da fenda e o eixo m2 é paralelo à fenda. O eixo ₁ e ₂rodam e criam uma tensão de corte na face da fenda, conforme ilustrado na Figura 4.4.

(66)

O “Rotated Crack Model” permite que a fissura mude a sua inclinação à medida que o carregamento evolui. Neste modelo a direcção das tensões e extensões principais coincidem. Desse modo, não existe tensões de corte na face da fenda, conforme observado na Figura 4.5. À medida que os eixos das tensões e extensões principais rodam, a direcção da fenda também roda.

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4.4 –

Armaduras de Aço

e o Modelo de Aderência “Bond Slip”

As armaduras longitudinais foram modeladas utilizando elementos barra, utilizado pelo Editor de Armaduras do ATENA 3D e no qual é possível acrescentarem-se dados referentes à armadura. O comportamento de tensão - extensão adoptado é elastoplástico perfeito, conforme representado na Figura 4.6.

Figura 4.6 – Lei bilinear do diagrama tensão-extensões das armaduras, Cervenka (2009).

Existem vários modelos de aderência “bond slip” elaborados por diversos

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Uma aderência perfeita é usualmente assumida para a análise de estruturas de betão armado e implica que exista uma compatibilidade das deformações entre as armaduras e o betão. Isto só é válido na fase inicial do carregamento, em regiões onde a transferência de tensões entre as armaduras e betão é pequena. À medida que o carregamento aumenta, ocorre a fissuração no betão e que por sua vez provoca deslizamento na interface entre as armaduras e o betão (lei bond-slip). Devido a este deslizamento a distribuição das tensões é afectada e são observadas na zona das fendas, extensões superiores nas armaduras em comparação com as do betão. ATENA contém os

seguintes três modelos de “bond slip”: o CEB-FIP Model Code 1990 (1993), a lei de

deslizamento “slip law” de Bigaj (1999) e as definições do utilizador. O modelo do CEB-FIP e do Bigaj encontram-se ilustrados na Figura 4.7