Estatística e Probabilidade para as Ciências Ambientais

(1)

Ciências Ambientais

Distribuições de probabilidade discretas

0 1 2 3 4

(2)

Eventos aleatórios que podem assumir dois valores são EXTREMAMENTE comuns nos diferentes ramos da ciência:

• Uma máquina PODE ou NÃO-PODE falhar;

• Um espécie SE EXTINGUE OU NÃO SE EXTINGUE;

• Um medicamento TEM ou NÃO-TEM efeito;

E assim por diante...

(3)

onde:

: o número de tentativas (por exemplo = 4 nascimentos); : o número de sucessos em tentativas; e

: a probabilidade de sucesso em cada tentativa a função da distribuição binomial

de probabilidade é dada por:

=

!

(4)

Voltando ao exemplo do número de filhos homens em 4 nascimentos.

= 4;

= ú ;

= !"! " " # ( = 0,5).

=

!

−

!

×

× (1 − )

Quais são os resultados possíveis?

= 0

1o

filho 2o

filho 3o

filho 4o

filho N. de homens

1 M M M M 0

2 M M M H 1

3 M M H M 1

4 M M H H 2

5 M H M M 1

6 M H M H 2

7 M H H M 2

8 M H H H 3

9 H M M M 1

10 H M M H 2 11 H M H M 2 12 H M H H 3 13 H H M M 2 14 H H M H 3 15 H H H M 3 16 H H H H 4 1o_filho ₂o_filho ₃o_filho ₄o_filho

1-p 1-p 1-p 1-p

1 − × 1 − × 1 − × 1 − = (1 − )'

(5)

Número de maneiras que podem ser obtidos 0 homens.

= 0 = 4!

0! 4 − 0 !× (1 − ) × (1 − ) × (1 − ) × (1 − )

= 0 = 4!

0! × 4!× (× (1 − )' = 0 = ) × (× (1 − )'

= * = + = , = ) =

-H -H -H -H

H H H M H H M H H M H H M H H H

H H M M H M H M M H H M M H M H H M M H

M M M H M M H M M H M M H M M M

M M M M = 4

= 0 ( ú )

= 0,5 ( !"! " " # )

. / = = !

(6)

Número de maneiras que podem ser obtidos 1 homem.

= 1 = 4!

1! 4 − 1 !× × (1 − ) × (1 − ) × (1 − )

= 1 = 4!

1! × 3!× 1× (1 − )2 = 1 = * × 1× (1 − )2

= * = + = , = ) =

-H -H -H -H

H H M M H M H M M H H M M H M H H M M H M M H H

M M M H

M M H M

MH M M

H M M M

M M M M

= 4

= 1 ( ú )

= 0,5 ( !"! " " # )

. / = = !

! − !× × () − )

4 maneiras

(7)

= 2 = 4!

2! 4 − 2 !× × × (1 − ) × (1 − )

= 2 = 4!

2! × 2!× 4× (1 − )4 = 2 = 5 × 4× (1 − )4

= * = + = , = ) =

-H -H -H -H

H H M M

H M H M

M H H M

M H M H

H M M H

M M M M

= 4

= 2 ( ú )

= 0,5 ( !"! " " # )

. / = = !

(8)

= 3 = 4!

3! 4 − 3 !× × × × (1 − )

= 3 = 4!

3! × 1!× 2× (1 − )1 = 3 = * × 2× (1 − )1

= * = + = , = ) =

-H -H -H -H

H H H M

H H M H H M H H

M H H H

H H M M H M H M M H H M M H M H H M M H M M H H

M M M M

= 4

= 3 ( ú )

= 0,5 ( !"! " " # )

. / = = !

! − !× × () − )

4 maneiras

(9)

= 4 = 4!

4! 4 − 4 !× × × ×

= 4 = 4! 4! × '

= 4 = 4!

4! × ' × (1 − ) = 4 = ) × '× (1 − )' '

= * = + = , = ) =

-H -H -H -H

H H M M H M H M M H H M M H M H H M M H

M M M M

= 4

= 4 ( ú )

= 0,5 ( !"! " " # )

. / = = !

(10)

Número de maneiras que podem ser obtidos n homens.

= * = + = , = ) =

-H -H -H -H

H H H M

H H M H H M H H

M H H H

H H M M

H M H M

M H H M

M H M H

H M M H

M M H H

M M M H

M M H M

MH M M

H M M M

M M M M

. / = = !

! − !× × () − )

4 6 4 1

1

(11)

0 1 2 3 4

Número de filhos homens

F u n ç ã o d e p ro b a b il id a d e b in o m ia l 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 0 .3 0 0 .3 5 = * = + = , = ) =

-H -H -H -H

H H H M

H H M H H M H H

M H H H

H H M M

H M H M

M H H M

M H M H

H M M H

M M H H

M M M H

M M H M

MH M M

H M M M

M M M M

. / = = !

! − !× × () − )

0.0625

0. 25 0. 25

(12)

0 1 2 3 4 Número de filhos homens

F u n ç ã o d e p ro b a b il id a d e b in o m ia l 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 0 .3 0 0 .3 5

= 4 = 0,5

:é " < = × = 4 × 0,5 = 2

= > " ã @ = × × () − ) = × 0,5 × 0,5 = 1

(13)

0 1 2 3 4 F u n ç ã o d e p ro b a b il id a d e b in o m ia l 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 0 .3 0

= 0,4

(14)

0 1 2 3 4 Número de filhos homens

F

u

n

ç

ã

o

d

e

p

ro

b

a

b

il

id

a

d

e

b

in

o

m

ia

l

0

.0

0

.1

0

.2

0

.3

0

.4

= 4 = 0,2

:é " < = × = 4 × 0,2 =0,8

= > " ã @ = × × () − ) = × 0,2 × 0,8 = 8

(15)

0 1 2 3 4

F

u

n

ç

ã

o

d

e

p

ro

b

a

b

il

id

a

d

e

b

in

o

m

ia

l

0

.0

0

.1

0

.2

0

.3

0

.4

0

.5

0

.6

= 0,9

(16)

Use a fórmula da distribuição binomial para calcular a probabilidade de obtermos 15 ou mais machos em 20 nascimentos em uma estação de piscicultura assumindo que a probabilidade de nascerem machos e fêmeas é igual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0

Número de machos

F u n ç ã o d e p ro b a b il id a d e b in o m ia l 0.00 0.05 0.10 0.15 = 20

= 15 C " = 0,5

( ≥ 15)

(17)

= 20

= 15 C " = 0,8

F

u

n

ç

ã

o

d

e

p

ro

b

a

b

il

id

a

d

e

b

in

o

m

ia

l

0.00 0.05 0.10 0.15

(18)

= 20

= 15 C " = 0,95

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0

Número de machos

F u n ç ã o d e p ro b a b il id a d e b in o m ia l 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.35 ( ≥ 15)

(19)

Distribuição discreta

Se refere ao número de ocorrências de um evento ao longo de um intervalo

de tempo (n

o

_{de ocorrências por hora) ou espaço (n}

o

_{de ocorrências por}

km

2

_).

Exemplos

• Número de passageiros por dia;

• Número de ligações por hora;

• Número de habitantes por km

2

_;

• Número de filhotes por gestação;

(20)

A variável aleatória é portanto o número de ocorrências de um evento ao longo

de um intervalo.

A distribuição de Poisson é uma função de

que mede a probabilidade

_{( = )}

de ocorrência para diferentes valores de .

Onde

• é o valor da variável aleatória;

• E

é a taxa de ocorrência do evento por intervalo (no esperado de eventos);

• ≈ 2,71828

(constante)

=

E ×

G

!

(21)

=

E ×

G

!

E = 2

0

.0

0

.0

5

0

.1

0

.1

5

0

.2

0

.2

5

= 0 = 2

( _× 4

0! = 0,135

= 1 = 2

1 _× 4

1! = 0,27

= 2 = 2

4 _× 4

2! = 0,27

= 3 = 2

2 _× 4

3! = 0,18

= 8 = 2

H _× 4

(22)

=

E ×

G

!

0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44

0

.0

0

.0

5

0

.1

0

.1

5

E = 5

(23)

=

E ×

G

!

E = 8

0

.0

0

.0

2

0

.0

4

0

.0

6

0

.0

8

0

.1

0

.1

(24)

=

E ×

G

!

E = 15

0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44

0

.0

0

.0

2

0

.0

4

0

.0

6

0

.0

8

0

.1

0

(25)

=

E ×

G

!

E = 25

0

.0

0

.0

2

0

.0

4

0

.0

(26)

Média:

_{μ = E}

Desvio padrão:

_{J = E}

=

E ×

G

!

(27)

Poisson Binomial

Parâmetros _E _;

Valores de X 1, 2, 3, 4, … , ∞ 1, 2, 3, 4, … ,

Média _{M = E} _{M = ×}

Desvio padrão _{J = E} _{J =} _{(1 − )}

A distribuição de Poisson pode ser vista como o limite da distribuição exponencial quando MUITO GRANDE e MUITO PEQUENO.

Distribuição Binomial

0

.0

5

0

.1

0

.1

5

0

.2

0

.2

5

n = 200 p = 0.01

Distribuição de Poisson

0

.0

5

0

.1

0

.1

5

0

.2

0

.2

5

(28)