Correlação Regreção vs Correlação

Regressão e Correlação linear Regressão e Correlação linear 1. Introdução: regressão versus correlação

1. Introdução: regressão versus correlação

Em experimentos que procuram determinar a relação existente entre duas Em experimentos que procuram determinar a relação existente entre duas variáveis, por exemplo, a dose de uma droga e a reação, concentração e variáveis, por exemplo, a dose de uma droga e a reação, concentração e densidade ótica, peso e altura, idade da vaca e a produção de

densidade ótica, peso e altura, idade da vaca e a produção de leite, etc., doisleite, etc., dois tipos de situações podem ocorrer:

tipos de situações podem ocorrer:

(a) uma variável (X) pode ser medida acuradamente e seu valor escolido (a) uma variável (X) pode ser medida acuradamente e seu valor escolido  pelo

 pelo experimentadorexperimentador. . !or !or exemplo, exemplo, a a dose dose de de uma uma droga droga a a ser ser ministradaministrada no ani

no animal. mal. Esta Esta variável variável " " aa variável independentevariável independente. . # # outra variável outra variável ($),($),

dita

dita variável variável dependdependente ou ente ou resprespostaosta, está su%eita a erro experimental, e, está su%eita a erro experimental, e

seu valor depende do valor escolido para a variável independente. #ssim, seu valor depende do valor escolido para a variável independente. #ssim, a resposta (reação, $) " uma variável dependente da variável independente a resposta (reação, $) " uma variável dependente da variável independente dose (X). Este " o caso da

dose (X). Este " o caso da RegressãoRegressão..

(&) as duas variáveis quando medidas estão su%eitas a erros experimentais, (&) as duas variáveis quando medidas estão su%eitas a erros experimentais, isto ", er

isto ", erros de naturros de nature'a aleatória inere'a aleatória inerentes ao experimento. entes ao experimento. !or exemplo,!or exemplo,  produção

 produção de de leite leite e e produção produção de de gordura gordura medidas medidas em em vacas vacas em em lactação,lactação,  peso do

 peso do pai e pai e peso do peso do ilo, comprimento e ilo, comprimento e a largura do a largura do crnio de crnio de animais,animais, etc. Este tipo de associação entre duas variáveis constitui o pro&lema da etc. Este tipo de associação entre duas variáveis constitui o pro&lema da

Correlação Correlação..

#tualmente, se dá * t"cnica de correlação uma importncia menor do que a #tualmente, se dá * t"cnica de correlação uma importncia menor do que a da regressão. +e duas variáveis estão correlacionadas, " muito mais til da regressão. +e duas variáveis estão correlacionadas, " muito mais til estudar as posições de uma ou de am&as por meio de curvas de regressão, estudar as posições de uma ou de am&as por meio de curvas de regressão, as quais permitem, por exemplo, a predição de uma variável em unção de as quais permitem, por exemplo, a predição de uma variável em unção de outra, do que estudá-las por meio de um

outra, do que estudá-las por meio de um simples coeiciente de correlação.simples coeiciente de correlação.

2. Regressão linear simples 2. Regressão linear simples

 termo regressão " usado para designar a expressão de uma variável  termo regressão " usado para designar a expressão de uma variável dependente ($) em

dependente ($) em unção de outunção de outra (X), ra (X), considerada independente. considerada independente. /i'-se/i'-se regressão de $ em (so&re) X. +e a relação uncional entre elas " expressa regressão de $ em (so&re) X. +e a relação uncional entre elas " expressa  por

 por uma uma equação equação do do 01 01 grau, grau, cu%a cu%a representação representação geom"trica geom"trica " " uma uma linalina reta, a regressão "

!ara introdu'ir a id"ia de regressão linear simples, consideremos o seguinte exemplo:

2a&ela 0. 2empo, em minutos, e quantidade de procaina0  _{idroli'ada, em}

03-4 _{moles5litro, no plasma canino.}

2empo (X) 6uantidade idroli'ada ($) X .$ X7 $7 7 8,4 9,3 ,3 07,8 8 4,9 09,0 ;,3 87,4 4 ;,; ;,4 74,3 ;<,3 < 0=,8 083, =,3 7=4,9 03 0;,8 0;8,3 033,3 897,4 07 74,9 83<, 0,3 ==3,4 0 7<,7 8;,< 0;=,3 9;4,7 04 87,= <;,3 774,3 03=7,< 2otal =; 00,7 04<;,7 9=9,3 87;;,4 0_{anest"sico local}

# simples o&servação dos dados apresentados na 2a&ela 0, mostra que no intervalo estudado a quantidade de procaina idroli'ada varia em unção do tempo.

 >a resolução de pro&lemas de regressão, o primeiro passo " traçar o

diagrama de dispersão correspondente, marcando, em um sistema

cartesiano &idimensional, os diversos pares de valores o&servados (xi , ?i).

s dados da 2a&ela 0 estão apresentados na @igura 0.

@igura 0. /iagrama de dispersão dos dados da 2a&ela 0.

0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 X  Y

A ácil ver o&servando essa igura, que os pontos relativos aos dados de tempo e quantidade de procaina idroli'ada estão praticamente so&re uma reta. !arece então ra'oável esta&elecer que a variação da quantidade de  procaina idroli'ada ($) pode ser considerada como uma unção linear do

tempo (X).

!ostulada a existBncia de uma relação linear entre duas variáveis, pode-se representar o con%unto de pontos (x_i,?_i) pela equação da reta:

      x ?

que expressa o valor de $ como unção do valor de X, onde C, conecido como erro ou  resíduo, " a distncia que um resultado ? em particular se

encontra da lina de regressão da população, representada pela equação:

x ) x 5 ? ( E  ,

em que indica o intercepto da lina com o eixo do $ e o coeiciente angular ou inclinação da reta.

+e C D?  E(?5x)F " positivo, ? " maior do que E(?5x)G se " negativo, ? " menor do que E(?5x)G e a soma dos H_is " igual a 'ero (  3

i ). Iogo, a

m"dia dos erros " nula, isto ", E(_i) 3.

Jomo veremos a seguir, os parmetros K e L da lina de regressão da  população são estimados a partir da amostra aleatória de o&servações

) ? , x

( _{i i} .

Regressão linear: estimação de parâmetros

Jonsiderando, então, que o&servações x0,x7,...,xM se%am o&tidas so&re a

variável independente x, tal que ?0,?7,...,?M  se%am as o&servações eitas

so&re a variável dependente ?, todas su%eitas a erros experimentais, pode-se querer sa&er como " que ? varia, em m"dia, para um dado x. u se%a, como os H

s

? variam aleatoriamente, dese%a-se conecer a distri&uição do ?

quando x " conecido. Nsto " eito por meio da esperança condicionada de y dado x, sim&oli'ada por Ey!x", que depende em geral de x. E(?5x) "

tam&"m camada de #unção de regressão de y em x.

# @igura 7 mostra as distri&uições de ? dados certos valores de x, supondo a unção de regressão de ? em x linear.

$odelo. # reta da @igura 7 " sim&oli'ada por E(?5x) x, onde K e L

são os parmetros a serem estimados.

@igura 7. >ormalidade dos resultados ? para determinado valor de x.

# partir de agora, se o modelo acima or desenvolvido num contexto  param"trico, uma ipótese simpliicadora e muito simples deve ser eita, a sa&er: a distri&uição da variável aleatória ?, para um dado x, " normal. Oais especiicamente, ixado um xi(X não " uma variável aleatória), os

H s

?

constituem variáveis independentes normais >( x , 7)

i 

 

 G o que eqPivale di'er que as m"dias das distri&uições de ?5x estão so&re a verdadeira reta

x

 

  ou se%a, E(?_i) Q E(_) R E(_x_i) R E(_i) Q _ R _x_i, onde E(_i) Q 3, e que

 para um dado valor de x, a varincia do erro " sempre 7, denominada

varincia residual, isto ", ED?i   E(?i5xi)F7 Q E(i)7 Q 7  (propriedade

omocedástica). Estes conceitos estão ilustrados na @igura 7. S parte do ato que 7 " desconecido, a reta na qual as m"dias estão locali'adas "

tam&"m desconecida. #ssim, um o&%etivo importante da análise estatTstica " estimar os parmetros K e L para que se coneça totalmente a unção de regressão Ey!x". # teoria mostra que a melor maneira de estimá-los " por 

meio do m%todo dos &uadrados m'nimos, que consiste em minimi'ar a

soma dos quadrados das distncias yi y(i, onde y(i a )xi representa a

equação de regressão estimada, tal que a (  e ) (  são os estimadores de

K e L, respectivamente.

+endo, então, ?i  ?Ui a dierença entre o valor o&servado e o estimado pela

equação de regressão para cada o&servação, a qual " rotulada por ei,

 procura-se estimar  e , de modo que e_i7 (?_i ?U_i)7   se%a o menor 

 possTvel. #s dierenças ei Q ?i  ?Ui são camadas Vdesvios da regressãoW ou

Verros de estimativasW. +e todos os desvios (ei) são iguais a 'ero, implica

que cada ponto (xi, ?i) se encontra diretamente so&re a lina a%ustadaG os

 pontos estão tão próximos quanto possTveis da lina.

Estimadores. /ado um con%unto de n pares de o&servações (x0, ?0), (x7,

?7), ... , (xn, ?n), pode-se mostrar, usando m"todos de cálculo ininitesimal

não utili'ado aqui, que os estimadores de quadrados mTnimos são:

" y (

) a ( y )x

/ividindo-se o numerador e o denominador de & por (n ₋ 0), vB-se que

 & " denominado coeiciente de regressão de $ em XG sim&oli'a-se por &_$.X

@órmulas de cálculo:        n ) ? )( x ( ? x ) ? ? )( x x ( _{i i i i} i i      n ) x ( x ) x x ( 7 i 7 i 7 i

 >ote-se que, al"m da suposição da normalidade do ?, outras ipóteses usadas pelo m"todo de mTnimos quadrados são:

(a) para qualquer valor especTico de x, ?5x, o desvio padrão dos

resultados ?, não se modiica. Esta ipótese de varia&ilidade constante em todos os valores de x " conecida como homoscedasticidade, e

(&) a relação (verdadeira) entre ? e x " suposta linearG mais claramente, E(?5x) Q K R Lx.

e%amos agora o cálculo da equação de regressão usando como exemplo os dados apresentados na 2a&ela 0:

0= , 7 << , 090 84 , 890 < ) =; ( 9=9 < 7 , 0:0 . =; 7 , 04<; n ) x ( x n ? x x?  & 7 7 7 X . $                   ) < =; 0= , 7 ( < 7 , 0:0 x  & ? a 09,=4  (7,0= . <,=8) Q - 3,;< 1 1 s " , -  Cov ) 2  2 i i i " x x  y " x x  n ! * " x x  + n ! "* y y " x x  + 2 i i i

!ortanto, a e&uação de regressão linear ":

i i -0 2-1/.x

y( (0)

ou, como a  ? &x e ?U ? &x &x,

" x x  ) y y(i   i  Q 13-/4 5 2-1/ xi 6 -/7" (7)

 >ote que as equações (0) e (7) são equivalentesG entretanto, em (7) ica mais evidente que a reta de regressão passa pelo ponto (x, ?). 

coeiciente angular da reta (&) " positivo, tal como sugerido pelo próprio diagrama de dispersão.

!ara traçar a reta de regressão, &asta dar valores quaisquer para X dentro do intervalo estudado e calcular os respectivos valores de $U  (@igura 8). s

valores calculados de $U não coincidem necessariamente com os valores

o&servados de $. # curva resultante " denominada de regressão de $ para X, visto que $ " avaliado a partir de X.

0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 X  Y

@igura 8. 6uantidade de procaina idroli'ada ($U ) em unção do tempo

(X).

 mais importante o&%etivo de um estudo de regressão " usar o modelo linear desenvolvido para estimar a resposta esperada correspondente a um nTvel especTico da variável controlada. /e acordo com o modelo linear, a resposta esperada para um valor x da variável controlada " dada por 

x ) x 5 ? (

E  e a estimada, por ?U a  &x, que " um estimador não

viciado para a m"dia E(?5 x). Nsto ", como pode ser mostrado,

x )  & ( E x ) a ( E ) x 5 ?U ( E    .

Interpretação do coe#iciente de regressão )"

;<4 , 3 x 0=3= , 7 ?U  

&tida uma reta de regressão, o primeiro passo na sua interpretação " veriicar o sinal de &. +e or positivo, indica que, quanto maior o valor de X, maior o valor de $G se negativo, indica que quanto maior o valor de X, menor o valor de $.

Yma interpretação mais inormativa para o coeiciente de regressão (&) " que ele representa em quanto varia a m"dia de $ para o aumento de uma unidade da variável X. Esta variação pode ser negativa, situação em que  para um acr"scimo de X corresponde um decr"scimo de $. Esse

coeiciente, %untamente com o intercepto (a), o qual determina o ponto em que a reta corta o eixo de $, estão representados na @igura .

@igura . Zepresentação do modelo ?U a  &x

 >o exemplo: ?Ui  3,;< 7,0=xi para x Q 0, ?U Q 7;,7= e para x Q 04,

?U  Q 80,7. # dierença entre os valores de ?U  " 7,0=, exatamente o valor 

de &G ou se%a, para cada acr"scimo de 0 em X, ?U   acresce de 7,0=. 

intercepto a Q -3,;< representa a quantidade de procaina idroli'ada para o tempo 'ero, o qual, neste caso, não possui signiicado &iológico.

8)servaç9es: ) & ) &  & a R &x R & a R &x  &x a ?U    x x R 0 0 a

(0) # regressão de ? em x, E(?5x) 3,;< 7,0=.xi, representa, no caso do

exemplo, a reta de regressão da quantidade de procaina idroli'ada so&re o tempo. u se%a, E(?5x) nada mais " do que a m"dia da distri&uição de todas as quantidades de procaina idroli'ada em um dado tempo (x).

(7)  estimador de mTnimos quadrados da varincia de ? dado x (7),

reerido como quadrado m"dio residual, " dado pela órmula

7 n ) x x ( )F ? ? ( )( x x ( D ) ? ? ( U s 7 i 7 i i 7 i 7 7              , cu%a estimativa,

no exemplo, " 3,<7.  que está se supondo " que esse valor " constante  para cada x ixado (propriedade omoscedástica)

(8) [á situações nas quais X tam&"m aparece como uma variável aleatória.  >esses casos, pode ser que este%amos tam&"m interessados na regressão de

X em $. 2Bm-se: ) ? ? (  & x xU_i   _{X.$ i}  , onde       ₇ $ . X ) ? ? ( ) ? ? )( x x (  &

Exemplo de regressão linear em planta

2a&ela 7. \rea oliar ($) e comprimento vs. largura (X) de 73 olas de  &rom"lia selecionadas ao acaso:

X 3,3< 3,04 3,3< 3,34 3,3< 3,00 3,3< 3,03 3,3= 3,34 $ 3,39 3,07 3,3= 3,3 3,3= 3,3; 3,3= 3,3< 3,34 3,3

X 3,3= 3,38 3,0= 3,3; 3,34 3,3< 3,00 3,0 3,3; $ 3,34 3,38 3,08 3,39 3,38 3,3= 3,3; 3,00 3,3<

;<:; , 3 r  3337 , 3 <34: , 3 ?U 7 _   0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 X $

@igura 4. \rea oliar ($) em unção do comprimento x largura (X) da ola de &rom"lia.

7. Correlação

imos que numa análise de regressão linear simples, se determina, por  meio de estimativas dos parmetros, como uma variável X exerce, ou  parece exercer eeito so&re uma outra variável $.

6uando X e $ são am&as variáveis aleatórias, pode ser til o conecimento de uma medida que relacione as duas variáveis quando elas mantBm entre si uma relação dada por uma lina reta. 2al medida " dada pelo coeiciente de correlação ( ). #ssim, correlação " deinida como a quantiicação do relação se%a linear.

 >a análise de correlação se procura, então, determinar o grau de relacionamento entre as duas variáveis, ou se%a, se procura medir a covaria&ilidade entre elas.

 >a análise de regressão " necessário distinguir a variável dependente e a variável independenteG na de correlação, tal distinção não " necessária.

 >o que segue, os dados são supostosnormalmente distri)u'dos.

e#inição: +e%am x0, x7, ..., xnG ?0, ?7, ..., ?n os valores o&servados de X e $,

respectivamente. Jama-se coe#iciente de correlação (amostral" entre X e

$, o nmero dado por:

2 " y " " ,  ;ar ".   ;ar " , -  Cov r

Yma órmula equivalente de cálculo de r, de ácil manuseio, ":

                  ) ? n ? )( x n x ( ? x n ? x F n 5 ) ? ( ? FD n 5 ) x ( x D n 5 ) ? x ( ? x r  7 7 i 7 7 i i i 7 i 7 i 7 i 7 i i i i i !ropriedades

(0)  nmero r varia entre -0 e R 0

@igura =. Zetas de regressão e o coeiciente de correlação linear.

 valor num"rico de r mede a intensidade da relação linear e o sinal de r  indica o sentido da relação. >as @iguras (a) e (e) á correlação pereita: o valor de $ " determinado exatamente por uma reta linear em X, ou se%a, os  pontos estão dispostos de orma tal, que as retas de regressão de $ so&re X

e de X so&re $ coincidem. Em (c), caso em que r Q 3, o qual " interpretado como ausBncia de relação linear, os dois coeicientes de regressão &$.X

($ em X) e &X.$ (X em $) são tam&"m 'ero e, portanto, as retas de

regressão são perpendiculares.

A importante assinalar que r Q 3 não implica em ausBncia de relação entre duas variáveis. Nsto " mostrado na @igura 9, onde apesar de r Q 3, " evidente que existe uma relação para&ólica entre X e $. !ortanto, r Q 3 somente implica ausBncia de relação linear entre as duas variáveis.

$ so&re X X so&re $ X X $ i 2 i i i 2 i 2 i i i y  " x x  x x " y y  1 n " y y  . 1 n " x x  1 n ! " x x " y y  $ X  X so&re $ $ so&re X $ $ r Q 3 (c) X so&re $ $ so&re X X r Q0 (a) 3 ] r ] 0 (&) -0 ] r ] 3 X (d) r Q -0 (e) X $ $ X $ so&re X X so&re $ $

@igura 9. Zelação para&ólica entre X e $, onde: r Q 3.

(7) r2 " igual ao coe#iciente de determinação da regressão linear simples

(?Ui a  &xi). >ote que 3  r 7 0.

 coeiciente de determinação pode ser interpretado como a proporção da varia&ilidade total o&servada entre os valores de $, explicada pela regressão linear de $ so&re X ou se%a,

7 $ 7 X 5 $ 7 $ 7 s s s r    onde: 7 n ) ?U ? ( s n 0 i 7 i i 7 X 5 $ _  

  " a variação dos valores de $ que ainda

 permanece, depois de se levar em conta a relação linear entre $ e X (devido ao ato que nem todos os pontos estão so&re a reta de regressão), que "  parte não explicada pela regressãoG e (s7_$ s7_$5X)  " a variação em $

explicada pela regressão. >ote que 7 X 5 $

s   envolve a soma dos desvios

elevados ao quadrado das o&servações reais (?i) dos valores a%ustados (

i ?U ), isto ", _  n 0 i 7 i

e , a qual " a quantidade minimi'ada ao se a%ustar a lina de

mTnimos quadrados (ve%a @igura <).

 coeiciente de determinação ", portanto, uma medida descritiva da qualidade do a%ustamento o&tido pela equação de regressão estimada. A  particularmente importante quando " usado para a'er previsões e será tanto mais til quanto mais próximo de um (0,3) estiver o seu valor. +e r 7 _{Q 0, todos os dados na amostra situam-se na lina de mTnimos quadradosG}

se r 7 _{Q 3, não á uma relação linear entre X e $.}

!ara o exemplo apresentado na 2a&ela 0, pode-se mostrar que r 7 _{Q (3,;;9)}7 _{Q 3,;;. Esse valor implica em uma relação linear orte entre}

o tempo e a quantidade de procaina idroli'adaG em particular ;;, ^ da varia&ilidade entre os valores o&servados de procaina idroli'ada "

explicada pela relação linear entre essa variável e o tempo.  restante 0  3,;; Q 3,33= (3,= ^) da variação não " explicada por essa relação. (8) /as órmulas do coeiciente de regressão e de correlação tBm-se:

X $ X . $ s s r   &  $ X $ . X s s r   & 

onde: sX e s$ são os desvios padrão de X e $, respectivamente.

Retas de regressão e o coe#iciente de correlação linear

# equação da reta $U a₀  &₀X ou a reta de regressão de $ em X, como

visto, pode ser escrita so& a orma:

) X X (  & $ $U ou ) X X (  & $ $U   ₀    ₀  Jomo X $ X . $ 0 s s r   &  &   ) 0 ( x s s r  ? ou ) X X ( s s r  $ $U X $ X $ _{  }  

/e modo semelante, a reta de regressão de X em $, XU a₇  &₇$, pode ser 

escrita como: ) 7 ( ? s s r  x ou , s s r   &  & onde ), $ $ ( s s r  X XU $ X $ X $ . X 7 $ X _{    }  

#s declividades das retas (0) e (7) somente serão iguais quando r Q  0.

 >este caso, as duas retas serão idBnticas e á correlação linear pereita entre as variáveis X e $ D+e r Q  0, a equação (7) pode ser o&tida da de (0)

ou se%a, _s ?F s x ou s s ? x $ X X $   

. 6uando r Q 3, as retas de regressão

estão em ngulo reto e não á correlação linear entre X e $. 2ais atos estão ilustrados na @igura =. /essa orma, o coeiciente de correlação linear  mede o aastamento angular entre as duas retas de regressão.

 >ote que: 7 $ X X $ 7 0 r  s s r  s s r   &

 &     _{, onde: r} 7 _{Q coeiciente de determinação.}

A importante salientar que o coeiciente de correlação deine apenas o sentido da variação con%unta das variáveis. # o&servação que duas variáveis tendem variar simultaneamente em uma direção ou em direções contrárias, onde os dados provavelmente indicariam uma correlação, positiva ou negativa, alta, não implicaria necessariamente na presença de uma relação de causa e eeito entre elas. #ssim, na @igura ;, nota-se que existe uma correlação negativa entre o consumo de proteTnas e o coeiciente de natalidade. Entretanto, isto não implica em airmar que um aumento no consumo de proteTnas determina redução da ertilidade. !ortanto, uma correlação o&servada pode ser alsa (correlação esp<ria), isto ", pode ser 

devido a uma terceira e desconecida variável causal.

@igura ;. /iagrama de dispersão para o consumo individual diário de  proteTnas de origem animal e a natalidade, em 7< paTses.

Exemplo de correlação

2a&ela 7. #mostra de pares de valores reerentes aos pesos (Mg) ao nascer  (X) e aos 07 meses ($) de 03 animais da raça >elore:

X 7; 87 7< 78 7< 8 79 7 79 73 $ 70; 7=7 737 08< 0;3 704 0<< 0= 0<4 043 ) 8 , 0;0 . 03 9:8 . 899 )( 7 , 79 . 03 9447 ( 03 0;08 . 797 48737 ) ? n ? )( x n x ( n ? x x? r  7 7 7 7 7 7 _{ }            r Q 3,<9

!ortanto, o grau de associação linear entre X e $ está quantiicado em <9^.

# ipótese [3:  Q 3, pode ser testada usando a estatTstica: )  & ( Xar   & )  & ( Xar   &    , que tem distri&uição t com n  7 graus de li&erdade,

onde:             7 i 7 i 7 i i 7 i ) x x ( 7 n ) x x ( )F ? ? )( x x ( D ) ? ? ( )  & ( var  .      n ) ? ( ? ) ? ? ( 7 i 7 i 7 i

Exemplo. 2estar [3 :   Q 3 contra [0 :    3 empregando os dados

apresentados na 2a&ela 0. +olução: n Q < & Q 7,0=        <39,7: < ) 73 , 0:0 ( :7 , 7;; . 8 n ) ? ( ? ) ? ? ( 7 7 7 7 33:< , 3 << , 090 <7 , 3 << , 090 = << , 090 ) 84 , 890 ( 7: , <39 )  & ( Xar  7     83 , 80 33:< , 3 3 0= , 7 )  & ( Xar   & t_o&s       Q 4^ gl Q n - 7 Q = tc (3,34G =)Q 7,9 ZJ Q _t ` 7,9 ou t ] -7,9

Jonclusão: como to&s  ZJ, re%eita-se [3, com nTvel de signiicncia de

4^. +endo & Q R7,0=, á evidBncia de que os valores de $ realmente crescem com os valores de X.

) r  ( Xar  r 

que, para amostras retiradas de uma população para a qual  Q 3, segue

uma distri&uição t com n  7 graus de li&erdade, onde:

7 n r  0 ) r  ( ar  7    . #ssim, ₇ r  0 7 n r  t   

Exemplo. /os dados da 2a&ela 7,

37 , 4 :; , 3 := , 7 ) <9 , 3 ( 0 7 03 <9 , 3 t 7 o&s      +e  Q 3,30, tc (3,30G <) Q 8,844.

Jomo to&s ` tc, a ipótese nula " re%eitada ao nTvel de signiicncia de 0^.

!ortanto, á evidBncia de que as variáveis X e $ são correlacionadas. &s.: pode-se mostrar que

7 r  0 7 n r  )  & var(  &   

#ssim, para se testar a ipótese L Q 3, pode-se usar a estatTstica

) 7 n ( t r  0 7 n r  7    

, que " de cálculo mais ácil. >o exemplo apresentado na 2a&ela 0, 83 , 80 ) ;;9 , 3 ( 0 7 < ;;9 , 3 r  0 7 n r  )  & var(  & 7 7 _      

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