Universidade Federal de Uberlândia

2a_{Prova de Matemática 2 - Data: 03/06/2016}

Curso: Agronomia - Turma: M Professor: Germano Abud de Rezende

GABARITO

INSTRUÇÕES

• Escreva a resposta à caneta.

• NÃO é permitido o uso de CALCULADORA.

• Todos os celulares e smartphones devem permanecer DESLIGADOS durante a prova. O aluno flagrado com este tipo de aparelho LIGADO, mesmo que no modo silencioso, terá a prova recolhida e será atribuída a nota zero.

• Não é permitido sair para ir ao banheiro, beber água ou atender o telefone durante a prova.

• Leia todas as questões antes de começar a resolvê-las. Comece pelas mais fáceis. Não pergunte nada sobre como se deve proceder na resolução ou se o procedimento de resolução está correto.

NOTAS DAS QUESTÕES

1a_{Questão 2}a_{Questão 3}a_{Questão 4}a_{Questão NOTA}

. . . . Assinatura do aluno(a) na vista de prova:

Nota na vista de prova: Prova: P1 P2 P3

Informações Adicionais

• Valor da prova: 10 pontos.

• Pesos por questão: a questão 1 tem peso 3 e a questão 4 tem peso 2. Para as demais, a melhor questão (melhor percentual de acerto) tem peso 3,5_{e a pior questão tem peso 1,}5_.

• TODAS as soluções devem estar devidamente JUSTIFICADAS e bem argumentadas. • Duração da prova: 100 minutos.

Determine as derivadas parciais de 1a_{ordem da função dada.} (a) f(x, y) = x3_y5 − 2x2_y + x − 2 (b) f(x, y) = ln(x2_{+ y}2₎ (c) f(x, y) = x 2 y ✞ ✝ ☎ ✆

Resolução

a) fx = 3x2y5− 4xy + 1, fy = 5x3y4− 2x2 b) fx= _x22x_+y2, fy = _x22y_+y2 c) fx = 2x_y , fy = −x 2 y2

Considere a função f(x, y) = x3

− 3xy + y3_{. Encontre os seus pontos críticos e classifique-os (máximo local,}

mínimo local ou sela).

✞ ✝ ☎ ✆

Resolução

▽f(x, y) = (3x2− 3y, −3x + 3y2) Logo, ▽f = (0, 0) ⇔    3x2 − 3y = 0 −3x + 3y2_{= 0} Assim, obtemos y = x2 ⇒ −3x + 3x4 = 0 ⇒ x4 − x = 0 ⇒ x(x3 − 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1. Para x = 0 temos y = 0, e para x = 1 temos y = 1. Logo os pontos críticos são (0, 0) e (1, 1). Agora, aplicando o teste da segunda derivada:

H(x, y) =       6x −3 −3 6y      

Logo, no ponto (0, 0) obtemos H < 0 e portanto (0, 0) é ponto de sela.

Considere as funções de demanda de dois produtos A e B: qA = f (pA, pB) e qB = f (pA, pB), em que pA

e pB são os preços unitários de A e B. Os produtos A e B são chamados substitutos se, para cada um deles,

aumentando-se o seu preço, aumenta a demanda do outro (por exemplo, manteiga e margarina). Os produtos A e B são chamados complementares se, para cada um deles, aumentando-se o seu preço, diminui a demanda do outro (por exemplo, carro e gasolina).

(a) Qual o sinal das derivadas ∂qA ∂pB

e∂qB ∂pA

caso os produtos sejam substitutos? Justifique. (b) Qual o sinal das derivadas ∂qA

∂pB

e ∂qB ∂pA

caso os produtos sejam complementares? Justifique.

(c) Verifique se os bens A e B cujas demandas são qA = 500 − 2pA+ 3pBe qB = 200 + 5pA− 6pB são

complementares ou substitutos.

(d) Verifique se os bens A e B cujas demandas são qA =

5pB 2 + p2 A e qB = 3pA 3 + √pB são complementares ou substitutos. ✞ ✝ ☎ ✆

Resolução

a) ∂qA ∂pB >0 e ∂qB ∂pA

>0, pois a demanda de um é crescente em relação ao preço do outro. b) ∂qA

∂pB

<0 e ∂qB ∂pA

<0, pois a demanda de um é decrescente em relação ao preço do outro. c) ∂qA

∂pB

= 3 > 0 e∂qB ∂pA

= 5 > 0, logo pelo item (a) eles são substitutos. d) ∂qA ∂pB = 5 2 + p2 A >0 e ∂qB ∂pA = 3 3 + √pB

Uma firma produz um produto que é vendido em dois países. Sejam x e y as quantidades vendidas nesses países. Sabe-se que as equações de demanda nos dois mercados são dadas por p1= 600 − 2x e p2 = 900 − 4y, onde

p1e p2são os preços unitários em cada mercado. A função custo da firma é C = 6000 + 100(x + y).

(a) Obtenha a função Receita para a venda de x e y unidades, aos preços p1e p2respectivamente.

(b) Obtenha os valores de x e y que maximizam o lucro.

(c) Nas condições do item anterior, quais os preços cobrados em cada país?

✞ ✝ ☎ ✆

Resolução

a) R(x, y) = (600 − 2x)x + (900 − 4y)y = −2x2_{− 4y}2_{+ 600x + 900y}

b) O Lucro é dado por:

L_{= R − C = −2x}2_{− 4y}2_{+ 600x + 900y − (6000 + 100(x + y))} ⇒ L(x, y) = −2x2− 4y2+ 500x + 800y − 6000

Vamos encontrar os pontos críticos:

Lx= 0 ⇔ −4x + 500 = 0 ⇔ x = 125

Ly = 0 ⇔ −8y + 800 = 0 ⇔ y = 100

Portanto, como só existe um ponto crítico e sabemos que o problema tem solução, este ponto crítico é o ponto de máximo (não é necessário fazer o teste da segunda derivada).

c) Temos que p1= 600 − 2x, logo, p1= 600 − 250 = 350.

y _dx c 0 x 1 xn _nxn−1 ex ex ln(x) 1 x cos x −senx senx cos x Vértice da parábola: xV = − b 2a, yV = − ∆ 4a, ∆ = b 2 − 4ac Fórmula de Báskara: x = −b ± √ b2_{− 4ac} 2a H(x, y) =      fxx(x, y) fxy(x, y) fyx(x, y) fyy(x, y)      Regras de derivação: Regra da Soma (f (x) ± g(x))′ _{= f}′_{(x) ± g}′_(x) Regra da Constante (cf (x))′ _{= cf}′_(x) Regra do Produto (f (x) · g(x))′ _{= f}′_{(x)g(x) + f (x)g}′_(x) Regra do Quociente _f(x) g(x) ′ = f ′_{(x)g(x) − f(x)g}′_(x) (g(x))2 Regra da Cadeia (f (g(x)))′ _{= f}′_(g(x))g′_(x)

Lucro = Receita - Custo

Receita = P preço unitário × quantidade

sólido volume área total

paralelepípedo (caixa) V = xyz A= 2xy + 2yz + 2xz

cilindro V = πR2_{h A= 2πR}2_{+ 2πRh}

cone V = πR2_h

3 A= 2πRh

esfera V = 4₃πR3 _{A= 4πR}2

Equações canônicas (superfícies): Plano: ax + by + cz = 0

Parabolóide elíptico (eixo z): ±z = ax2_{+ by}2_{, a > 0, b > 0}

Cilindro elíptico (eixo z): ax2_{+ by}2 _{= R}2_{, a > 0, b > 0}

Cone elíptico (eixo z): ±z = pax2_{+ by}2_{, a > 0, b > 0}