SÍNTESE DE CONTROLADORES PID H 2 /H ROBUSTOS PARA SISTEMAS INCERTOS

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S´INTESE DE CONTROLADORES PID H2/H∞ ROBUSTOS PARA SISTEMAS INCERTOS

Eduardo N. Goncalves∗_{, Reinaldo M. Palhares}†_{, Ricardo H. C. Takahashi}‡ ∗_{Departamento de Engenharia El´}_etrica

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais Av. Amazonas 7675, 31510-470, Belo Horizonte - MG - Brasil

†_{Departamento de Engenharia Eletrˆ}_onica Universidade Federal de Minas Gerais

Av. Antˆonio Carlos 6627 - 31270-010, Belo Horizonte - MG - Brasil ‡_{Departamento de Matem´}_atica

Universidade Federal de Minas Gerais

Av. Antˆonio Carlos 6627 - 31270-010, Belo Horizonte - MG - Brasil

Emails: eduardong@des.cefetmg.br, palhares@cpdee.ufmg.br, taka@mat.ufmg.br

Abstract— This paper presents a procedure for robust two-degree-of-freedom PID controller synthesis based on a non-convex optimization problem considering the H2and/or H∞guaranteed costs of the closed-loop transfer matrix as objective functions and constraints with robust regional pole placement. The uncertain system can be represented by multiple, polytopic or affine parameter-dependent models. The efficiency of the proposed PID tuning procedure is demonstrated by examples.

Keywords— PID control, H2/H∞control, polytopic models, affine parameter-dependent models.

Resumo— Este artigo apresenta um procedimento para s´ıntese de controladores PID robustos com dois-graus-de-liberdade baseado em um problema de otimiza¸cão não convexo considerando os custos garantidos H2 e/ou H∞como fun¸cões objetivo e restri¸cões com posicionamento regional de pólos robusto. O sistema incerto pode ser representado por modelos múltiplos, politópicos ou com dependência afim de parâmetros. A eficiência do procedimento de sintonia PID proposto é demonstrada através de exemplos.

Palavras-chave— Controle PID, controle H2/H∞, modelos politópicos, modelos com dependência afim de parâmetros.

1 Introdu¸c˜ao

O controlador proporcional-integral-derivativo (PID) continua sendo a configura¸cão de controla-dor mais aplicada na indústria. Cerca de 90% de todas as malhas de controle ainda utilizam contro-ladores PID em uma extensa lista de aplica¸cões: controle de processos, acionamentos elétricos, au-tomóveis, avia¸cão, instrumenta¸cão etc. (˚Aström and Hägglund, 2001). Esta larga aplica¸cão é pro-vavelmente devida a sua simplicidade (apenas três parâmetros de ajuste), boa eficiência na maioria das aplica¸cões industriais e a existência de mé-todos simples de sintonia ad-hoc. Desde 1942, com o trabalho de John G. Ziegler e Nathaniel B. Nichols, vários trabalhos publicados tem bus-cado desenvolver procedimentos de s´ıntese para atender as necessidades espec´ıficas de cada apli-ca¸cão (auto-sintonia, controle preditivo etc.) con-siderando objetivos e complexidade do algoritmo de sintonia completamente diferentes (ver as refe-rências em ˚Aström and Hägglund (2001)). Uma revisão a respeito de controle PID e métodos de sintonia é apresentada em Cominos and Munro (2002). O método da resposta ao degrau de Ziegler-Nichols é revisto e novas regras de sintonia são desenvolvidas em Hang et al. (1991) e ˚Aström and Hägglund (2004).

Apesar das várias técnicas de sintonia PID dispon´ıveis para as diferentes aplica¸cões e configu-ra¸cões de controladores PID, ainda é interessante pesquisar novos métodos que possam levar a me-lhores desempenhos e que possam ser aplicados a uma classe mais abrangente de problemas, em especial, s´ıntese multiobjetivo robusta para tra-tar de sistemas incertos representados por mode-los politópicos ou com dependência afim de parˆ a-metros. O desenvolvimento de caracteriza¸cões de custo garantido H2/ H∞ em termos de desigual-dades matriciais lineares (LMIs) é uma das alter-nativas para o desenvolvimento de procedimentos de sintonia PID para serem aplicados a sistemas incertos. Infelizmente, o controlador PID é um controlador por realimenta¸cão dinâmica de sa´ıda de ordem reduzida com restri¸cão de estrutura e, dentro do conhecimento dos autores, não existe até o presente momento uma formula¸cão somente por LMI para tratar deste problema. No geral, o problema é re-escrito como s´ıntese de controlador por realimenta¸cão de sa´ıda estático resultando em restri¸cões na forma de desigualdade matriciais bili-neares (BMIs) e problemas de otimiza¸cão não con-vexos. Em Huang and Wang (2000), o teorema de Kharitonov para plantas intervalares é explorado com o propósito de caracterizar todos os controla-dores PID que estabilizam o sistema incerto. Em

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G(s) K T s T s R(s) E(s) _U(s) η(s) C(s) i p d 1 ρT s+1_d D(s) + + + + + + + + - -G (s)_d

Figura 1: Diagrama de blocos da configura¸c˜ao PID-ISA.

Ge et al. (2002), um método de projeto de contro-ladores PID robustos para sistemas com modelo múltiplos é desenvolvido via o método LQR-LMI para controle por realimenta¸cão de sa´ıda estática. Este artigo apresenta um procedimento itera-tivo de sintonia PID, com uma etapa de s´ıntese baseada em um problema de otimiza¸cão multi-objetivo não convexo e uma etapa de análise ba-seada em formula¸cões LMI. O procedimento pro-posto pode ser aplicado a sistemas lineares inva-riantes no tempo incertos representados por mo-delos múltiplos, politópicos ou com dependência afim de parâmetros. Na etapa de s´ıntese, o pro-blema de otimiza¸cão do pior caso de infinitos sis-temas é substitu´ıdo por um problema de otimi-za¸cão que considera um conjunto finito de pontos do dom´ınio de incerteza. Na etapa de análise, um algoritmo “branch-and-bound” considerando fun-¸cões limitante superiores baseadas em condifun-¸cões suficiente LMI é aplicado para verificar a fun¸cão objetivo e as restri¸cões para todo o dom´ınio de incerteza. A motiva¸cão para considerar este pro-cedimento está relacionada com os bons resultados já obtidos para s´ıntese de controladores robustos por realimenta¸cão de estado (Gon¸calves, Palhares and Takahashi, 2005a), por realimenta¸cão de sa´ıda estática ou dinâmica (Gon¸calves, Palhares and Ta-kahashi, 2005b) e filtros (Gon¸calves, Palhares and Takahashi, 2006). Será demonstrado através de exemplos que o procedimento proposto de sinto-nia robusta de controladores PID pode apresentar melhores resultados que outros métodos já publi-cados para lidar com mesmo tipo de problema.

2 Formula¸c˜ao do Problema

Este artigo é direcionado para a configura¸cão PID-ISA com dois-graus-de-liberdade apresentada na Fig. 1 onde R(s) é o sinal de referência (“set point”), D(s) é o distúrbio de carga, U (s) é o si-nal de controle, C(s) é a sa´ıda do sistema e η(s) é o ru´ıdo de medi¸cão. A lei de controle PID-ISA é dada por U(s) = −kp Tis+ 1 Tis + Tds ρTds+ 1 [C(s) + η(s)] +kpT is+ 1 Tis R(s) (1)

onde kp é o ganho proporcional, Ti é o tempo da a¸cão integral (“reset time”), Tdé o tempo da a¸cão derivativa (“rate time”) e N , 1/ρ é uma cons-tante do filtro de ru´ıdo que geralmente varia entre 3 e 10 (Hang et al., 1991) com N = 10 sendo o valor t´ıpico.

A sintonia do controlador PID tem como ob-jetivo obter sistemas com as seguintes caracter´ıs-ticas: boa resposta de rastreamento, rejei¸cão ao distúrbio de carga, pequena influência do ru´ıdo de medi¸cão sobre os demais sinais do sistema, sinal de controle com amplitude e taxa de varia¸cão limita-das e robustez em rela¸cão às incertezas do modelo. Existem diferentes formas de tratar estes objetivos nas estratégias de sintonia PID. Por exemplo, a rejei¸cão ao distúrbio de carga pode ser obtida mi-nimizando a norma da matriz de transferência em malha-fechada. As especifica¸cões em termos de resposta transitória podem ser atendidas através de posicionamento regional de pólos. Para obter um controlador PID robusto, o método de sintonia PID deve ter capacidade para lidar com sistemas incertos representados por modelos politópicos ou com dependência afim de parâmetros.

A Fig. 2 apresenta um diagrama de blocos ge-ral de um sistema de controle em malha-fechada. O sistema linear invariante no tempo P (s) pode ser representado no espa¸co de estados como

˙x(t) = Ax(t) + Bww(t) + Buu(t)

z1(t) = Cz1x(t) + Dzw1w(t) + Dzu1u(t)

z2(t) = Cz2x(t) + Dzw2w(t) + Dzu2u(t)

y(t) = Cyx(t) + Dyww(t) + Dyuu(t)

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onde x ∈ Rn _{é o vetor de estados, w(t) =} [r(t), d(t), η(t)]T _{é o vetor de entradas ex´} oge-nas, u(t) ∈ R é o sinal de controle, z1(t) ∈ Rq1 e z2(t) ∈ Rq2 são os vetores de variáveis controladas

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associadas com o desempenho H∞e H2, respecti-vamente, e y(t) = [c(t) + η(t), r(t)]T _{´e o vetor de} sa´ıdas medidas. y z z u w

P(s)

K(s)

1 2

Figura 2: Diagrama de blocos geral de um sistema de controle em malha-fechada.

Este trabalho visa a sintonia de controladores PID aplicado a sistemas incertos cujas matrizes do modelo no espa¸co de estados n˜ao s˜ao precisamente conhecidas. Defina a matriz do sistema como

P ,     A Bw Bu Cz1 Dzw1 Dzu1 Cz2 Dzw2 Dzu2 Cy Dyw Dyu    

No caso de modelos politópicos, a matriz do sistema pertence a um dom´ınio poliédrico com-pacto, ou politopo, descrito como a combina¸cão convexa dos N vértices:

P (θ) = N X i=1 θiPi (3) sendo Pi,     Ai Bw,i Bu,i

Cz1,i Dzw1,i Dzu1,i

Cz2,i Dzw2,i Dzu2,i

Cy,i Dyw,i Dyu,i

  

 (4)

o conjunto de v´ertices conhecidos e θ = [θ1. . . θN]T ∈ ΩM o vetor de coordena-das do politopo, com ΩM definido como

ΩM , ( θ: θi>0, i = 1, . . . , N, N X i=1 θi= 1 ) (5)

No caso de modelos com dependência afim de um vetor de parâmetros incertos p = [p1. . . pd]T, com pi variando entre p_i e pi, a matriz do sistema é dada por

P (p) = P0+ d X i=1 piPi (6) sendo Pi, i = 0, . . . , d, como em (4).

Neste caso, p ∈ Ωp, sendo Ωp um politopo com a forma de um hiper-retângulo, cujos 2d vérti-ces são as combina¸cões dos valores limites de cada parâmetro, ou outro formato qualquer caso exista alguma restri¸cão adicional sobre os parâmetros.

O controlador PID-ISA, K(s) na Fig. 2, pode ser descrito pela seguinte realiza¸c˜ao:

K(s) = Ac Bc Cc Dc =          0 0 −1 Ti 1 Ti 0 − 1 ρTd − 1 ρ2_T d 0 kp kp −kp 1 +1 ρ kp          (7)

Considere que α representa θ ou p e Ω repre-senta ΩM ou Ωp. O sistema em malha-fechada ´e dado por (i ∈ {1, 2}) Tziw(s, α, K) =   A(α)¯ B¯w(α) ¯ Ci(α) D¯i(α)   =    A+ BuDcCy BuCc BcCy Ac Czi+ DzuiDcCy DzuiCc Bw+ BuDcDyw BcDyw Dzwi+ DzuiDcDyw    (8)

Seja D ∈ C− a região de posicionamento de pólos desejada (semi-plano, disco, setor, ou a in-terseçcão das mesmas) sendo C− o semi-plano es-querdo do plano complexo. Seja γp.c. e δp.c. os “piores-casos” das normas H∞ e H2 no dom´ınio

de incerteza:

γp.c., max

α∈ΩkTz1w(s, α, K)k∞ (9) δp.c., max

α∈ΩkTz2w(s, α, K)k2 (10) O problema de sintonia PID robusto pode ser estabelecido como: encontre os valores de kp, Ti e Td que minimizam os valores m´aximos das nor-mas, γp.c.e δp.c., sujeitos a kp> 0, Ti> 0, Td≥ 0 e λi( ¯A(α)) ∈ D, ∀i, ∀α ∈ Ω, sendo λi(·) o i-´esimo autovalor do argumento.

3 Procedimento Proposto de sintonia PID

Seja eΩ ⊂ Ω um conjunto finito de pontos do po-litopo, inicializado como o conjunto dos v´ertices do politopo, eΩ = ν(Ω), sendo ν(·) o conjunto dos v´ertices de seu argumento. Considere os pontos de “pior-caso” no conjunto finito eΩ, dado um con-trolador PID, K(s): e γp.c.= max α∈eΩ kTz1w(s, α, K)k∞ (11) e δp.c.= max α∈eΩ kTz2w(s, α, K)k2 (12)

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Seja γc.g.e δc.g. os custos ε-garantidos tal que: γp.c.≤ γc.g.≤ (1 + ε)γp.c. (13)

δp.c.≤ δc.g.≤ (1 + ε)δp.c. (14) e α(∞)∈ Ω e α(2)∈ Ω as coordenadas tais que

kTz1w(s, α(∞), K)k∞≥ (1 − ε)γc.g. (15) kTz2w(s, α(2), K)k2≥ (1 − ε)δc.g. (16) Defina o conjunto de controladores PID com a realiza¸c˜ao apresentada em (7): e Γ , _{K(s) :} _k p>0, Ti>0, Td≥0, ρ = 0,1 λi( ¯A(α)) ⊂ D, ∀i, ∀ α ∈ eΩ (17)

O problema auxiliar a seguir ´e considerado no procedimento proposto de sintonia PID:

Problema Auxiliar: Dado os escalares λ1 > 0, λ2> 0, λ1+ λ2= 1, ǫ1> 0 e ǫ2> 0, encontre kp, Ti eTd que resulte no controladorK∗(s), tal que:

K∗_{(s) = arg min} K(s)maxα (λ1kTz1w(s, α, K)k∞ +λ2kTz2w(s, α, K)k2) sujeito a:        α ∈ eΩ K(s) ∈ eΓ kTz1w(s, α, K)k∞≤ ǫ1 kTz2w(s, α, K)k2≤ ǫ2

O procedimento iterativo para sintonia PID robusta, a ser apresentado em seqüência, trans-forma o problema de verificar infinitos sistemas em um que considera um número finito. Em cada itera¸cão, na etapa de s´ıntese, os parâmetros do controlador PID são as variáveis de otimiza¸cão de um problema de otimiza¸cão não convexo que con-sidera o conjunto finito de pontos do politopo eΩ. Na etapa de análise, considerando todo o politopo Ω, se o valor máximo da fun¸cão objetivo ocorre em um ponto que não perten¸ca ao conjunto finito e

Ω ou se alguma restri¸cão é violada para um ponto no politopo Ω, então estes pontos são inclu´ıdos no conjunto finito e outra itera¸cão é processada. O procedimento termina quando todas as restri¸cões forem atendidas para todo o politopo e não existe a possibilidade de uma redu¸cão adicional na fun-¸cão objetivo, o que é avaliado considerando um ´ındice de precisão relativa ǫδ.

Procedimento de Sintonia PID: Passo 1. Inicialize i ← 0, eΩ0← ν(Ω). Passo 2. i ← i + 1, eΩi← eΩi−1.

Passo 3. Resolva o problema auxiliar para obter K∗_{(s) e eγ}

p.c. e/ou eδp.c.

Passo 4. Se λ1 > 0 ou ǫ1 < ∞ então calcule γc.g.e α(∞) para K∗(s). Se α(∞) 6∈ eΩi, então se {λ1 > 0 e (γc.g.− e γp.c.)/eγp.c. > εδ} ou γc.g. > ǫ1, então e Ωi ← eΩi∪ α(∞).

Passo 5. Se λ2 > 0 ou ǫ2 < ∞ então calcule δc.g. e α(2) para K∗(s). Se α(2) 6∈ eΩi, então se {λ2 > 0 e (δc.g.− e δp.c.)/eδp.c. > εδ } ou δc.g. > ǫ2, então e Ωi ← eΩi∪ α(2).

Passo 6. Verifique se ∃ i | λi( ¯A(α(u))) 6∈ D para qualquer α(u) ∈ Ω. Se existir, ent˜ao e

Ωi ← eΩi∪ α(u).

Passo 7. Se eΩi 6= eΩi−1, ent˜ao retorne ao passo 2, sen˜ao finalize.

3.1 Etapa de S´ıntese

O problema auxiliar de otimiza¸cão escalar restrito e não convexo pode ser resolvido pelo algoritmo cone-elipsoidal (Takahashi et al., 2003). Considere um elipsóide na k-ésima itera¸cão descrito como Ek = x ∈ Rd _{| (x − x} k)TQ−1k (x − xk) ≤ 1 , sendo xk o centro do elipsóide e Qk = QTk ≻ 0 a matriz que define as dire¸cões e dimensões dos eixos do elipsóide. Dado os valores iniciais x0 e Q0, o algoritmo elipsoidal é descrito pelas seguin-tes equa¸cões recursivas:

xk+1= xk− 1 d+ 1Qkm,e m ,e mk p mT kQkmk Qk+1= d2 d2₋₁ Qk− 2 d+ 1Qkmeme T Qk (18)

sendo x ∈ Rd _{o vetor de vari´}_{aveis de otimiza¸c˜}_ao (neste caso os parˆametros PID) e mk o gradiente (ou sub-gradiente) da restri¸c˜ao mais violada de g(x) : Rd _{→ R}s_{, quando x}

k não é uma solu¸cão fact´ıvel, ou o gradiente(ou sub-gradiente) da fun-¸cão objetivo, f (x) : Rd _{→ R, quando x}

k ´e uma solu¸c˜ao fact´ıvel.

3.2 Etapa de An´alise

O cálculos dos custos ε-garantidos, γc.g. ou δc.g., dos valores máximos das normas das matrizes de transferência em malha-fechada, γp.cou δp.c., para todo o dom´ınio de incerteza e as correspondentes coordenadas, α(∞) ou α(2), é realizado por meio de um procedimento de análise baseado no algo-ritmo “branch-and-bound”. A idéia básica deste algoritmo é dividir o dom´ınio de incerteza tal que fun¸cões limitantes inferior e superior convir-jam para o valor máximo da norma. Este algo-ritmo termina quando a diferen¸ca entre as fun-¸cões limitantes é inferior a uma precisão relativa ε. O algoritmo é implementado considerando o valor máximo das normas H∞ (or H2) calcula-das nos vértices dos sub-politopos como fun¸cão limitante inferior e o valor máximo dos custos garantidos H∞ (or H2) dos sub-politopos, cal-culados por formula¸cões LMI, como fun¸cão limi-tante superior (Gon¸calves, Bastos, Palhares, Ta-kahashi, Mesquita, Campos and Ekel, 2005). Uma

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técnica de parti¸cão baseada em malhas simpli-ciais (Gon¸calves, Palhares, Takahashi and Mes-quita, 2006) é aplicada para tratar de dom´ınios de incertezas não necessariamente na forma de hiper-retângulos. Esta técnica de parti¸cão permite que o algoritmo seja aplicado tanto para modelos com dependência afim de parâmetros como politópicos de forma bastante eficiente. A mesma estratégia de parti¸cão é também aplicada para a análise do posicionamento regional de pólos. Neste caso, se o sistema não é robustamente D-estável, o proce-dimento de análise encontra uma coordenada α(u) de um caso de sistema que não é D-estável.

4 Exemplos Ilustrativos

Os resultados apresentados nos exemplos a se-guir foram computados atrav´es do software MATLABr em um computador com processador de 2.8Ghz e 1Gbyte de mem´oria RAM.

Example 1 - Considere o sistema incerto apre-sentado em Huang and Wang (2000):

G(s) = 5,2(s + 2) s(s3_{+ b}

2s2+ b1s + b0)

cujos coefficients b0, b1 e b2 do denominador va-riando dentro dos seguintes limites: 9,5 ≤ b0 ≤ 11,5, 12 ≤ b1 ≤ 15, and 3,5 ≤ b2 ≤ 4,8. Em Huang and Wang (2000), um controlador PID ro-busto é projetado para garantir as margens de ga-nho e fase. A realiza¸cão a seguir é considerada, com distúrbio de entrada, Gd(s) = G(s), e o ru´ıdo de medi¸cão (veja Fig. 1):

    ˙x1 ˙x2 ˙x3 ˙x4     =     0 0 0 0 1 0 0 −b0 0 1 0 −b1 0 0 1 −b2         x1 x2 x3 x4     +     0 10,4 0 0 5,2 0 0 0 0 0 0 0       dr η   +     10,4 5,2 0 0    u

O procedimento proposto de sintonia PID é aplicado para obter o controlador PID-ISA que minimiza o custo garantido H∞, com z1, [x4u]T, e posiciona os pólos na interseçcão das regiões semi-plano Real(λ) < −0.5 e setor com ângulo interno igual a 16π/18, ∀p ∈ Ωp, sendo p , [b0 b1 b2]T e Ωp um hiper-retângulo. O procedi-mento proposto obtém kp = 1,5306, Ti = 2,8413 e Td = 0,3877. Os parâmetros PID, kp = 3,1950, Ti = 1,3975 e Td = 0,2236, calculados pelo mé-todo de resposta em freqüência de Ziegler-Nichols são considerados como condi¸cões iniciais no algo-ritmo de otimiza¸cão. O custo garantido H∞ é reduzido de 38,5 para 16,9. A Fig. 3 apresenta as respostas transitórias do controlador PID ob-tido em (Huang and Wang, 2000) e o obob-tido aqui

para um degrau unitário em r(t), um degrau uni-tário negativo em d(t) iniciando em t = 15seg e um ru´ıdo de medi¸cão aleatório variando na faixa |η(t)| ≤ 0,01. O controlador PID obtido pelo pro-cedimento proposto apresenta melhor rejei¸cão ao distúrbio e é menos influenciado pela varia¸cão dos parâmetros incertos. 0 5 10 15 20 25 30 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 Tempo (seg) Saida Proposto (solida) Huang e Wang 2000 (tracejada)

Figura 3: Resposta transit´oria de y(t) nos oito v´ertices do politopo (Example 1).

Example 2 - Considere o sistema com modelos múltiplos apresentado em Ge et al. (2002) e tam-bém considerado em Toscano (2005). Para uma faixa de opera¸cão estável são obtidos três mo-delos para diferentes pontos de opera¸cão. Em Ge et al. (2002), o controlador PID clássico é projetado para minimizar o custo LQR e posi-cionar os pólos na interseçcão das regiões semi-plano Real(λ) < −1 e setor com ângulo interno igual a 3π/4. Em Ge et al. (2002), os parˆ ame-tros PID são calculados como sendo kp = 516,6, Td = 0,2784 e Ti = 0,6749. Em Toscano (2005), os parâmetros PID são calculados como sendo kp = 698,1, Td = 0,5259 e Ti = 0,6197. No proce-dimento proposto, considerando um distúrbio com Gd(s, θ) = 500G(s, θ) e ru´ıdo de medi¸cão, os três pontos de opera¸cão são tratados como os três vér-tices do politopo sendo representados por

A1= 0 −22.19 1 −9.251 , Bw,1= 0 23.06 0 0 0 0 , A2= 0 −10.97 1 −2.674 , Bw,2= 0 20.5350 0 0 0 0 , A3= 0 −5.862 1 −0.01248 , Bw,3= 0 18.5350 0 0 0 0 , Bu,1= 0.04612 0 , Bu,2= 0.04107 0 , Bu,3= 0.03707 0 .

O procedimento proposto de sintonia PID é aplicado para minimizar o custo garantido H∞, com z1, [x2 u]T, e posicionar os pólos na inter-seçcão do semi-plano Real(λ) < −2,5 e do cone

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com ângulo interno igual a π/2, ∀θ ∈ ΩM. O mé-todo da resposta ao degrau de Ziegler-Nichols re-sulta nos parâmetros kp= 2.5209 × 103, Ti= 0,25 e Td = 0,04. Partindo destes valores, o pro-cedimento proposto obtém kp = 2,5196 × 103, Ti = 0,4435 e Td = 0,1490. A otimiza¸cão re-duz o custo garantido H∞ de 1,0326 × 106 para 2,7862 × 104. As resposta transitórias dos con-troladores PID obtidos com a formula¸cão LMI em Ge et al. (2002), o método em Toscano (2005) e o procedimento proposto são apresentados na Fig. 4 para um degrau unitário em r(t), um degrau uni-tário negativo em d(t) iniciando em t = 5seg e um ru´ıdo de medi¸cão aleatório na faixa |η(t)| ≤ 0,01.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 Tempo (seg) Saida Proposto (solida)

Ge et. al., 2002 (tracejada) Toscano, 2005 (traco−ponto)

Figura 4: Resposta transitória de y(t) para os três vértices (Example 2).

Nota-se que o controlador PID obtido pelo procedimento proposto apresenta melhor caracte-r´ısticas do que os controladores apresentados em Ge et al. (2002) e Toscano (2005).

5 Conclus˜oes

Este artigo apresentou um procedimento em duas-etapas (s´ıntese/análise) para sintonia ro-busta de controladores PID-ISA com dois-graus-de-liberdade aplicado a sistemas lineares invarian-tes no tempo incertos representados por modelos múltiplos, politópicos ou com dependência afim de parâmetros. Os parâmetros do controlador PID são determinados a partir de uma otimiza¸cão mul-tiobjetivo não convexa com objetivo de minimi-zar os custos garantidos H∞e/ou H2de determi-nadas fun¸cões de transferência em malha-fechada relacionando as variáveis exógenas e as variáveis controladas e de posicionar robustamente os pólos do sistema em regiões desejadas do plano com-plexo. Exemplos demonstram que os controlado-res PID-ISA obtidos pelo procedimento proposto apresentam bom desempenho comparativamente com controladores PID clássicos obtidos por ou-tros métodos previamente publicados desenvolvi-dos para lidar com sistemas incertos.

6 Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio das agˆencias CA-PES, CNPq e FAPEMIG.

Referˆencias

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