1
Capí tulo 6 – Movimento Oscilato rio
Harmo nico
1. O Movimento Harmónico Simples
Vamos estudar o movimento de um corpo sujeito a uma força elástica. Consideramos o sistema como constituído por um corpo de massa m, ligado a uma mola em hélice (com massa desprezável), que se pode deslocar num plano horizontal, sem atrito, Fig. 1.
Figura 1. Diagrama das forças exercidas num corpo assente num plano horizontal, sem atrito, ligado a uma mola em hélice.
As forças exercidas no corpo são a força elástica da mola, ⃗ , (que tem a direcção da horizontal), o peso, ⃗⃗ e a força exercida pelo plano e normal a este, ⃗⃗⃗ . Estas duas últimas forças têm ambas a direcção vertical e anulam-se mutuamente porque a aceleração do copo não possui componente vertical.
Consequentemente, a única força de interacção entre os componentes do sistema é a força elástica. Atendendo a que apenas o corpo tem massa, só este último pode ter energia cinética. A força elástica é conservativa, como sabemos, tendo associada a ela a energia potencial elástica. A energia mecânica do corpo é constante e é a soma da energia cinética mais a energia potencial elástica.
2
(1)
em que é a coordenada de posição do corpo e k é a constante da mola1
. Desta expressão concluímos que a força é nula para x = 0, que é a posição de equilíbrio do sistema, sendo positiva (isto é, com o sentido que tomámos como positivo do eixo dos ) quando e negativa quando (isto é, com o sentido que tomámos como negativo do eixo dos ) quando .
O movimento de um corpo sujeito a uma força elástica com estas características denomina-se movimento oscilatório harmónico simples (MOHS). A expressão matemática da energia potencial elástica2 é
(2)
em que escolhemos como ponto de referência3 o ponto de coordenada (isto é o ponto em que
A figura 2 apresenta o gráfico (A) da energia potencial elástica, Eq. (2), do sistema constituído pelo corpo de massa m e pela constante da mola k. Para qualquer valor da coordenada de posição, x, a soma da energia cinética mais a energia potencial do sistema é constante e igual à energia mecânica do sistema (representada no gráfico por uma linha horizontal). Na mesma figura encontra-se
1 O valor da constante da mola, k, é tanto maior quanto maior for a “rigidez” da mola.
2 Como vimos no capítulo 6, nos sistemas unidimensionais, a relação entre a força conservativa, ( , e
a energia potencial associada, , é .
3 Recordemos que a energia potencial é definida a menos de uma constante, ou seja, a expressão
matemática mais geral para a energia potencial elástica seria , em que K é uma constante arbitrária. Na expressão (2) escolhemos (e podemos fazê-lo porque a constante é “arbitrária”)
3
o gráfico (B) da força elástica, Eq. (1), em função da coordenada de posição x. Na parte inferior encontra-se um diagrama (C) com uma representação do vector força elástica para seis posições ao longo do eixo do movimento.
Figura 2. (A) Gráfico da energia potencial elástica do sistema constituído pelo corpo de massa m e pela constante da mola k, em função da coordenada de posição x; (B) o gráfico da força elástica em função da mesma coordenada de posição; (C) representação do vector força elástica para seis posições ao longo do eixo do movimento.
A conservação da energia mecânica do sistema permite-nos fazer a seguinte análise:
No instante , o corpo está em repouso4 na posição
. Nesse ponto ele está sujeito à força elástica, que tem sentido positivo e consequentemente tem aceleração positiva. A energia potencial elástica neste ponto é igual à energia mecânica, isto é,
( (3)
porque a energia cinética nesse ponto é nula.
4
Podemos supor, por exemplo, que deslocámos o corpo, utilizando uma força exterior, até à posição , comprimindo a mola e, no instante largamos o corpo a partir do repouso.
4
O corpo vai, então, deslocar-se no sentido positivo do eixo dos x, aumentando o módulo da velocidade5, ainda que não uniformemente, até o corpo atingir a posição x = 0. Neste ponto, a força é nula, como se conclui da Eq. (1) e, consequentemente, a aceleração do corpo também é nula. No entanto, o corpo continua a mover-se no mesmo sentido, devido à velocidade que tinha adquirido. A conservação da energia mecânica implica que, na posição de coordenada , a energia cinética do sistema atinge o seu valor máximo e é igual à energia mecânica, porque ali a energia potencial é nula:
( (4)
Após passar o ponto de coordenada , ou seja, na região em que , a força elástica passa a ser negativa, isto é, aponta no sentido negativo do eixo dos
x. Consequentemente, a aceleração do corpo é negativa o que implica que o
módulo da velocidade do corpo está a diminuir6. Eventualmente, a velocidade anula-se, isto é, o corpo atinge o repouso. A coordenada de posição deste ponto é, necessariamente, , porque aí a energia cinética é de novo nula, pelo que, de novo, a energia potencial elástica é igual à energia mecânica.
No ponto o corpo encontra-se instantaneamente em repouso, actuado pela força elástica, que tem sentido negativo e, consequentemente, tendo aceleração também com sentido negativo. Vai então deslocar-se no sentido negativo do eixo dos x, aumentando o módulo da velocidade, e consequentemente a energia cinética7, até à posição de coordenada . Neste ponto a força elástica é nula e a energia cinética é máxima (igual à energia mecânica), continuando o corpo a deslocar-se no sentido negativo do eixos dos x, agora actuado pela força elástica com sentido positivo, diminuindo progressivamente o módulo da velocidade (e a energia cinética), até o corpo
5
Consequentemente a energia cinética do sistema está a aumentar, enquanto que a energia potencial elástica está a diminuir.
6 Nesta região, a energia cinética do sistema está a diminuir, enquanto que a energia potencial elástica
está a aumentar.
7
Mais uma vez, a energia cinética do sistema está a aumentar, enquanto que a energia potencial elástica está a diminuir
5
atingir de novo o ponto de coordenada , em que estará instantaneamente em repouso, sujeito a uma força de sentido positivo e, portanto, com aceleração no sentido positivo. Recomeça então o movimento, como ocorreu no instante .
2. A Lei da Força no Movimento Harmónico Simples
A análise qualitativa do movimento do corpo sujeito a uma força como a que é dada pela lei de Hooke deve agora ser complementada por um tratamento quantitativo simples.
Vamos associar a expressão da 2.ª Lei de Newton para o movimento de um corpo actuado por uma força, no caso unidimensional (ao longo do eixo dos x),
(5)
com a lei de Hooke para a força elástica,
(6)
para obter
(7)
ou
(8)
Verificamos que a aceleração no movimento oscilatório harmónico não é constante8, mas depende da posição. Não podemos, portanto, utilizar aqui as equações do movimento uniformemente acelerado que estudámos no Cap. 3. Utilizando a expressão da aceleração em termos de derivadas,
(
(
(9)
que pode ser escrita na forma
6
(
(
(10)
Esta expressão representa uma equação diferencial9, isto é, uma relação entre a derivada (neste caso a 2.ª derivada) de uma função, ( , e a própria função. A solução da equação é a função ( que, substituída na equação, a satisfaz. Neste caso concreto, e reescrevendo a Eq. (10) na forma
(
(
(11)
procuramos uma (ou mais) funções cuja 2.ª derivada seja igual à própria função multiplicada por -1 e por uma constante positiva. Já conhecemos duas funções com esta propriedade, e . Com efeito,
(
(
(
Concluímos que as funções e são soluções da equação diferencial (10), desde que
(12)
Sabemos10 que não existe mais nenhuma função que seja solução da Eq. (10). Por outro lado, uma propriedade deste tipo de equações é que a solução mais geral é uma combinação linear das soluções possíveis, o que nos leva a concluir que a solução geral da Eq. (10) é
9
Os matemáticos chamam-lhe “equação diferencial linear de 2.ª ordem com coeficientes constantes”. É diferencial porque envolve derivadas, linear Dizem-se lineares porque todos os coeficientes são funções de t (neste caso são constantes, de onde a expressão “com coeficientes constantes” e a função x(t) e as suas derivadas têm todas expoente 1 (ou 0), e é de 2.ª ordem porque a derivada de ordem mais elevada é a 2.ª.
7
( ( ( (13)
com √ ⁄ e e constantes11. Assim, a constante é determinada pelas
características do sistema, neste caso, a massa do corpo e a constante da mola, enquanto que as outras duas constantes serão determinadas pelas condições iniciais do movimento.
A Eq. (13) pode ser escrita na forma mais simples12
( ( (14)
que contém também duas constantes, e , para além de . A constante A denomina-se amplitude do movimento – dá-nos o valor máximo da distância do corpo que oscila à posição de equilíbrio, ou seja, é igual a da Eq. (3). A constante de denomina-se constante de fase13
. A amplitude e a constante de fase são obtidas a partir das condições iniciais, ou seja, da posição e da velocidade do corpo no instante .
A Fig. 3. apresenta o gráfico da função ( ( ).
Figura 3. Gráfico da função ( ( , com .
11 A solução geral de uma equação diferencial de ordem n tem sempre n constantes, que são
determinadas pelas condições iniciais, como veremos.
12
Podemos facilmente demonstrar a identidade entre as Eq. (13) e (14), utilizando a relação trigonométrica ( Obtemos ( ( ( ( com e .
8
Verificamos facilmente14 que, efectivamente este é o gráfico dessa função:
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )
A função ( ) está representada na Fig. 4.
Figura 4. Gráfico da função ( ), para valores de entre 0 e .
Os valores da função seno repetem-se quando o argumento varia de múltiplos inteiros de (ou ), como mostra a figura 5.
A um intervalo do produto igual a (ou ) dá-se o nome de ciclo do movimento oscilatório15. Num ciclo, o corpo oscilante, partindo de uma posição qualquer, atinge uma das extremidades da trajectória do movimento, desloca-se até á outra extremidade e regressa à posição de partida. Diz-se que efectua um
14
Recordamos que os valores da função coseno (e seno, e tangente, etc.) são os mesmos quando o argumento varia de múltiplos inteiros de , isto é
( ( ( (
9 oscilação completa. O intervalo de tempo necessário para o corpo efectuar uma
oscilação completa, ou seja, a duração de um ciclo, denomina-se período do movimento, que se representa por . Verifica-se assim que
(15)
ou
(16)
Figura 5. Gráfico da função ( ( ), para valores de entre 0 e . Os valores da função repetem-se quando o argumento do coseno varia de valores inteiros de (ou ). Por esta razão, os valores em graus foram colocados de novo a partir de zero quando . , valor máximo da função ( , é a a amplitude do movimento. A um intervalo de igual a (contado a partir de qualquer valor) dá-se o nome de ciclo.
A constante denomina-se frequência angular do movimento oscilatório, tem dimensões físicas de inverso de tempo e exprime-se em radianos por segundo. Verificamos assim que o período do movimento depende, tal como a frequência angular, apenas das características físicas do sistema, a massa do corpo que oscila e a constante da mola elástica:
√ (17)
Se o período é, por exemplo, 1 s, então ocorre um ciclo (ou uma oscilação completa) em cada segundo; se o período é 2 s, ocorre meia oscilação completa por segundo; se o período é 0,5 s, ocorrem duas oscilações completas por segundo; e assim sucessivamente. Ao número de oscilações completas por unidade de tempo (ou seja, por segundo) chamamos frequência do movimento oscilatório. A frequência, f, é, consequentemente, o inverso do período, tem
10
dimensões físicas de inverso de tempo e exprime-se em ciclos por segundo, ou hertz (Hz): 1 Hz = 1 c/s. A frequência depende também apenas das características físicas do movimento:
√
(18)
A figura 5 apresenta gráficos do movimento oscilatório, entre t = 0 e t = 1 s, para 4 valores de frequência.
Figura 6. Gráficos da função ( ( ), para valores de t entre 0 e 1 s, para diferentes valores da frequência: (a) f = 1 Hz; (b) f = 2 Hz; (c) f = 10 Hz; (d) f = 50 Hz.
As restantes constantes que surgem na Eq. (14) são determinadas pelas condições iniciais do movimento, isto é, pelos valores da posição e da velocidade do corpo no instante .
11
A posição do corpo no instante é
( (19)
A expressão da velocidade do corpo, em função do tempo, obtém-se diferenciando a Eq. (14) em ordem ao tempo
( (
(
(20)
Consequentemente, a velocidade do corpo no instante é
( (21)
Se conhecermos os valores de e , a que chamamos condições iniciais do movimento, podemos, combinando as Eq. (19) e (21), obter os valores da amplitude e da frequência angular do movimento:
(22)
(23)
Quadrando e somando as Eq. (22) e (23), membro a membro, obtemos
( ) ( ) (24) que conduz a √ (25)
Por outro lado, dividindo, membro a membro, a Eq. (23) pela Eq. (22), obtemos (26) e ( ) (27)
12
Figura 7. Gráficos de duas funções sinusoidais, com a mesma amplitude, a mesma frequência angular e uma diferença de fase (diferença entre as duas constantes de fase) igual a .
A figura 8 apresenta um exemplo de um sistema que efectua movimento oscilatório harmónico simples, constituído por um corpo suspenso de uma mola em hélice.
Figura 8. Um corpo suspenso de uma mola em hélice executa movimento oscilatório harmónico simples. (A) representa um conjunto de “fotografias” do sistema tiradas em instantes de tempo separados por intervalos de tempo iguais. (B) representa o gráfico da posição do corpo em função do tempo. A expressão matemática do movimento expresso neste gráfico é ( ( .
3. A Energia no Movimento Harmónico Simples
Estamos agora em condições de verificar que, no movimento oscilatório harmónico simples, cujas equações da posição e da velocidade são, respectivamente, a Eq. (14) e a Eq. (20), a energia total, ou seja, a soma da energia cinética (do corpo de massa m) e da energia potencial elástica
13
(acumulada na mola, cuja constante elástica é k), é constante, isto é tem o mesmo valor em todos os instantes de tempo:
( ( (28)
ou
( ( (29)
Utilizando agora a relação , obtemos
[ ( ( ] (30)
(31)
em que utilizámos a relação trigonométrica
( ( ,
para qualquer valor de .
A Eq. (31) exprime, matematicamente, a conservação da energia total (neste caso, a energia mecânica) do sistema. Verificamos também que, estando fixas a massa m do corpo oscilante e a constante k da mola, esta energia depende apenas do valor da constante da mola e da amplitude do movimento.
4. O Pêndulo Gravítico
O pêndulo gravítico é constituído por um corpo de pequenas dimensões, suspenso de um fio inextensível e de massa desprezável cuja extremidade superior está fixa (Fig. 9), sujeito apenas à força da gravidade. Facilmente se verifica que a trajectória do corpo é circular, de raio igual ao comprimento do fio.
14
4.1. Movimento circular
Um corpo efectua movimento circular quando a sua trajectória é circular. Em particular, a trajectória pode ser apenas um arco de circunferência.
Consideremos um disco que roda em torno do seu centro (Fig. 10). Suponhamos que no início do movimento, o ponto P, que está à distância r do centro do disco, O, se encontra sobre a linha horizontal de referência. Quando o disco roda, o ponto P descreve uma trajectória circular de raio r (isto é, está sempre à mesma disância do ponto O). Neste movimento, a trajectória de P é um arco de circunferência de raio r e comprimento s. O ângulo ao centro correspondente a este arco é o ângulo
, que é definido como
Um ângulo não tem dimensões físicas porque é definido como um comprimento a dividir por outro comprimento. Tem, no entanto, unidades:
Quando , o ângulo .
O ângulo ao centro correspondente a uma circunferência é . Em geral, mede-se o ângulo a partir do semi-eixo positivo (aponta para a direita)
Figura 9. Um pêndulo gravítico. Repare-se que na figura está marcado o vector peso, bem como as suas componentes radial e tangencial (ainda que com setas de tipo diferente)
Figura 10. Quando o disco roda em torno do centro, O, o ponto P do disco efectua movimento circular.
15 horizontal (eixo dos x, em geral), no sentido directo (sentido oposto ao dos ponteiros do relógio).
Os ângulos também podem ser medidos em graus (símbolo ). A relação entre graus e radianos (símbolo rad) é
Consequentemente, e .
4.2. Dinâmica do pêndulo gravítico
As forças exercidas no corpo de massa m (Fig. 9) são a tensão do fio ⃗⃗, que tem a direcção do fio e o sentido para cima, e a força gravítica que a Terra exerce no corpo (o peso deste, de módulo mg), que é vertical e dirigida para baixo. Podemos decompor a tensão do fio em duas componentes ortogonais16, tendo uma a direcção do fio (componente radial) e a outra a direcção da tangente à trajectória do corpo (componente tangencial). Se é o ângulo entre a direcção do fio e a vertical, considerando-se o ângulo positivo quando o corpo se encontra do lado direito da vertical e negativo quando se encontra no outro lado, então as expressões matemáticas das componentes da força gravítica são as seguintes:
componente radial: ;
componente tangencial:
É esta última componente que assegura o movimento do pêndulo. Neste caso, a 2.ª Lei de Newton assume a forma matemática
que, utilizando , em que L é o comprimento do fio (igual ao raio da trajectória do corpo), assume a forma
16
(
(
(32)
Quando o ângulo é pequeno, verifica-se , e a Eq. (32) transforma-se em
(
(
(33)
A Eq. (33) é idêntica à Eq. (10), de onde concluímos que o movimento do pêndulo é oscilatório harmónico simples, para pequenos valores da amplitude ( do movimento. A frequência angular do movimento do pêndulo é √ e, consequentemente o período é √ . O período e a frequência do movimento do pêndulo dependem apenas do comprimento do fio e da aceleração resultante da gravidade no local, sendo independente da massa do pêndulo.
5. O Movimento Harmónico Simples Amortecido
Se, para além da força elástica, outra força exterior estiver a actuar no sistema, a energia mecânica deste não se conserva. Se o trabalho dessa força exterior for negativo, a energia mecânica do sistema vai diminuir, ou seja, vai ser retirada energia ao sistema, como vimos no Capítulo 5.
Um exemplo é a força de atrito. Sobre o corpo oscilante representado na Fig. 8 exerce-se, para além da força elástica e da força gravítica17, uma força de resistência, devido à presença do meio (Fig. 11). O sentido desta força é, em cada instante, oposto ao do movimento e, consequentemente, o trabalho desta força é negativo.
A energia mecânica do sistema irá diminuir com o tempo até, eventualmente se
anular. Como a energia mecânica do sistema é dada por , em que A
17
A força gravítica é, neste caso, constante e tem como único efeito alterar a posição de equilíbrio do sistema corpo mais mola
17
é a amplitude do movimento, concluímos que a amplitude do movimento vai diminuir com o tempo18.
Para obtermos a forma matemática da variação da amplitude com o tempo, recorremos à 2.ª Lei de Newton. O módulo da força de resistência, no ar ou num líquido viscoso é, em geral, proporcional à velocidade do corpo. A 2.ª Lei de Newton exprime-se então, matematicamente, na forma
(34)
em que b é um constante, denominada coeficiente de amortecimento. Para valores pequenos deste coeficiente, a solução desta equação é
( (35)
em que é o valor da amplitude para m é a massa do corpo e
√ (
)
(36)
A frequência angular do movimento varia ligeiramente em relação à frequência normal do movimento √ ⁄ . A figura 12 apresenta o gráfico deste movimento, denominado oscilatório harmónico amortecido.
18
Esta conclusão pode ser tirada também a partir da observação do gráfico da energia em função da posição (Fig. 2). Se a energia total (energia mecânica diminui), a amplitude do movimento ( nesta
figura) irá também diminuir.
Figura 11. Se o corpo oscila no interior de um líquido, surge uma força de resistência ao movimento.
18
A amplitude do movimento vai variar com o tempo da seguinte forma
(37)
À quantidade chamamos constante de tempo do movimento19.
6. Oscilações Forçadas e Ressonância
A energia do sistema perdida devido à existência de forças de resistência pode ser resposta através da aplicação de uma força exterior que efectue trabalho positivo sobre o sistema. A amplitude do movimento manter-se-á constante se a energia fornecida por ciclo for exactamente igual à perda de energia mecânica resultante das forças resistivas.
Após a força exterior começar a actuar, a amplitude das oscilações (forçadas) aumentará. Após um intervalo de tempo suficientemente elevado,
Efornecida = Etransformada em energia interna
Eventualmente é atingido um estado estacionário e o movimento prosseguirá com amplitude constante
19 Este nome resulta do facto de ( ou ( .
Figura 12. Representação gráfica da posição em função do tempo do movimento oscilatório amortecido.
19
Se a força exterior variar com o tempo com frequência angular , a amplitude do movimento será
⁄
√( ( )
(38)
Facilmente se conclui que a amplitude aumenta quando a frequência angular da força exterior, , estiver muito próxima da frequência natural do oscilador, . Dizemos então que existe ressonância entre o sistema e a força exterior.
A ressonância (o máximo do pico) ocorre quando a frequência da força aplicada é igual à frequência natural do movimento. A amplitude aumenta quando o amortecimento diminui.
Figura 13. Representação gráfica da amplitude em função da frequência angular da força exterior aplicada.
