PROJETO DE CONTROLADORES MULTIVARIÁVEIS ROBUSTOS COM ESTRUTURA PID

PROJETO DE CONTROLADORES MULTIVARIÁVEIS

ROBUSTOS COM ESTRUTURA PID

Fabrizio Leonardi1 José Jaime da Cruz2 RESUMO: Este Trabalho discute sobre o projeto de controladores multivariáveis robustos implementados com blocos PID. Obtém-se o controlador pela teoria de controle ótimo com sua realização através da realimentação das saídas nessa estrutura particular. Isso pode ser obtido para sistemas cuja ordem é não superior ao dobro do número de saídas e torna desnecessário o uso de observadores explícitos de estado. Emprega-se a teoria de controle robusto, conferindo ao controlador a capacidade de satisfazer as especificações de estabilidade e desempenho robustos.

Palavras Chaves: Controle Robusto, Sistemas Multivariáveis, Controle PID

1. INTRODUÇÃO

Todas as técnicas usadas no projeto de controladores são invariavelmente fundamentadas em informações sobre o comportamento dinâmico do sistema. Esta informação é denominada modelo e normalmente aparece representada matematicamente por equações diferenciais ou funções de transferência. A exatidão do modelo nunca é perfeita. Portanto, é desejável que o sistema de controle obtido seja insensível à incertezas no modelo, ou seja, que o controlador seja robusto, assegurando o desempenho mínimo, além da estabilidade. Técnicas que permitem incluir a robustez como um dos objetivos de projeto vêm sendo pesquisadas desde o final dos anos 70, mas só recentemente ocorreram os principais avanços. A tabela a seguir situa a teoria de controle robusto na evolução da teoria de controle.

1 _{Prof. da Faculdade de Engenharia da Universidade ‘Bráz Cubas’, 08773-380, Campus de Mogi da Cruzes - SP}

CONTROLE CLÁSSICO CONTROLE MODERNO CONTROLE ROBUSTO

ANÁLISE

Diagramas de Bode Teste de Nyquist Critério de Routh

Lugar das Raízes Margens de Estab. Espaço de Estado Controlabilidade Observabilidade Proc. Estocásticos Valores Singulares Análise µ Realizações Balanceadas Fatoração Espectral PROJETO Controle PID Lead-Lag Filtro de Kalman LQR LQG Síntese H_∞ Síntese µ LQG/LTR Parametrização Q-Youla

A motivação da adoção de uma estrutura PID na realização do controlador multivariável fundamenta-se na familiaridade e credibilidade desta estrutura nos meios industriais (4). O presente trabalho resolve o problema de sintonia desses controladores PID, conferindo ao sistema, quando possível, estabilidade e desempenho robustos face às incertezas não estruturadas (1). Espera-se com isso, aproximar a realidade industrial às pesquisas acadêmicas.

Este trabalho avalia o projeto de controladores robustos com estrutura PID, dividindo o problema na obtenção de uma lei de controle ótimo robusta e na realização da estrutura. A lei de controle admitida é do tipo realimentação completa de estados, permitindo que qualquer propriedade conferida pela realimentação de estados, tal como a minimização da norma H2 ou H∞, possa ser também obtida na implementação com blocos PID. Por simplicidade, admitiu-se que o nível regulatório está ausente e o controlador multivariável comanda diretamente os elementos finais de controle. Caso isso não seja a realidade, o nível regulatório deve entrar na composição do modelo do processo e a sintonia deste nível é considerada fora do escopo deste trabalho. Para detalhes com relação a sintonia do nível regulatório consultar (3). Visando atingir principalmente a audiência industrial, preferiu-se apresentar os principais resultados de forma qualitativa. Primeiramente, discute-se como realizar uma lei de realimentação de estados numa estrutura PID, seguido dos principais resultados sobre robustez de sistemas multivariávies. Um exemplo numérico simples e intuitivo é usado para ilustrar o procedimento de projeto.

2. LEI DE CONTROLE

Considere um sistema linear multivariável descrito pela equação de estado

&x

=

Ax

+

Bu

e pela equação de saída

y

=

Cx

, onde x é o vetor de estado com n componentes, u é o vetor de entrada com m e y é o vetor de saída com t. A variável manipulada u é a saída do controlador PID multivariável (Fig 2.1) e kp, ki e kd são matrizes de ganho proporcional, integral e derivativo, respectivamente.

&x

=

Ax

+

Bu

y

=

Cx

kp

ki

s

kd s

+

+

.

Fig 2.1- Realimentação PID

2 _{Prof. do Depto de Engenharia Eletrônica da EPUSP, Cidade Universitária, CP 8174 , 01051, São Paulo - SP}

Acrescentam-se integradores à saída da planta para que a lei de controle ótimo tenha uma parcela referente à integral de y (Fig 2.2).













=

z

x

x

&x A x B u

=

+

sendo,

_











=

0

0

C

A

A

_











=

0

B

B

A nova representação de estado resulta aumentada pelo vetor z correspondente à saída dos integradores:

&x= Ax+Bu y=Cx

k i

k p I

s

Fig 2.2- Realimentação de Estados

O problema central da realização do controlador é tornar as duas leis de controle equivalentes:

∫

−

−

−

=

t

y

kd

ydt

ki

y

kp

u

0

.

.

.

&

e

=

−

−

∫

t

ydt

i

k

x

p

k

u

0

.

.

Obteremos a lei de controle ótimo e dai os ganhos kp, ki e kd:

[

]

1

.

.

.

.

−













−

=

p

k

B

C

A

C

C

p

k

kd

kp

e

ki

=

(

I

+

kd

.

C

.

B

)

.

k

i

Portanto, para obtermos kp e kd é necessário calcular-se a inversa de uma matriz que no caso geral é não quadrada, visto ter dimensões 2txn. Quando n=2t e a inversa existir, as leis de controle são equivalentes. O caso desfavorável ocorre quando n>2t, sendo necessário reduzir a ordem do modelo, quando possível, ou obter-se uma solução de compromisso com inversas generalizadas (5). No caso particular que n=t, a estrutura suficiente para garantir a equivalência é a PI, que será objeto do exemplo numérico.

3. ROBUSTEZ

O problema de controle robusto é encontrar um controlador capaz de satisfazer às especificações de desempenho e estabilidade quando o modelo apresenta incertezas.

3.1 Resposta em Freqüência

O projeto do controlador robusto é feito no domínio da freqüência, moldando a resposta em freqüência para satisfazer às especificações. O conceito de resposta em freqüência de sistemas multivariáveis é uma generalização do caso SISO e é fundamentado na medida do "tamanho" da matriz função-de-transferência.

y j

(

ω

)

=

G j

(

ω

). (

u j

ω

)

Para avaliarmos o "tamanho" da matriz

G j

(

ω

)

usaremos a norma espectral,

( )

G

G

(G

)

G

=

λ

_M H

=

σ

_M

Onde

G

H representa a matriz transposta conjugada de

G

e

λ

_M,

σ

_M e

σ

_m são o máximo autovalor, valor singular máximo e valor singular mínimo, respectivamente. Matrizes "grandes" serão consideradas matrizes cujo valor singular mínimo é muito grande comparado com a unidade

(

σ

_m

>

>

1

)

, e matrizes "pequenas", serão consideradas aquelas cujo valor singular máximo é muito pequeno

(

σ

M

<

<

1

)

. Os gráficos de

σ

m

[

G

( )

j

ω

]

e

σ

M

[

G

( )

j

ω

]

, numa escala em db, em função de

ω

, são denominados Diagramas de Bode.

3.2 Erros de Modelagem

Neste trabalho estaremos nos concentrando nas incertezas não estruturadas, tal como aquelas causadas pela redução da ordem de um modelo e as dinâmicas não modeladas (sensores, atuadores, .. ). A metodologia que está sendo enfocada não é recomendada para tratar de incertezas estruturadas como a variação específica de um parâmetro, sendo neste casos mais indicada a Análise-m (1). Uma das alternativas para definir-se o erro de modelagem é a forma multiplicativa (e), sendo através desta, que os fatos da teoria de controle robusto serão apresentados,

( )

[

ω

ω

]

( )

ω

ω

ε

(

j

)

=

G

_N

(

j

)

−

G

_R

j

⋅

G

_N−1

j

onde

G

_N

( )

s

é modelo nominal da planta ou de projeto e

G

_R

( )

s

representa as possíveis plantas reais. Para englobar a contribuição de todas as possíveis

G

_R

( )

s

, supõe-se que toda a informação a respeito do erro de modelagem seja representada por uma função

e

_M

( )

ω

tal que

ε

( )

j

ω

≤

e

_M

( )

ω

, para todas as possíveis funções

ε j

( )

ω

.

Vale ressaltar que os valores singulares são dependentes de unidades. Quando os valores singulares do erro de modelagem forem muito distintos, será necessário proceder uma normalização. Uma das possibilidade de proceder esta normalização é utilizando os valores máximos esperados das variáveis

3.3 Condições de Robustez

O teorema dos pequenos ganhos (a seguir) fornece uma condição de estabilidade robusta (2), no sentido que se ela for verificada o sistema vai preservar a estabilidade mesmo na presença dos erros de modelagem,

( )

ω

_{( )}

_ω

M N

e

j

C

<

1

∀ ∈ℜ

ω

onde,

C

_N

= +

I

G K

_N −1

G K

_N

onde K é a matriz função de transferência do controlador procurado. Para servir como orientação ao teorema dos pequenos ganhos utiliza-se uma condição aproximada, válida na região de freqüência em que o erro de modelagem é grande.

( ) ( )

ω

ω

_{( )}

_ω

M N

e

j

K

j

G

<

1

para

e

_M

( )

ω

>

>

1

Nesta condição orientativa, K aparece apenas como um produto e a análise da contribuição de K sobre a robustez torna-se simplificada. Contudo, ela é apenas aproximada, e devemos sempre verificar a posteriori se o teorema dos pequenos ganhos foi respeitado.

O desempenho robusto é garantido alterando-se a condição de desempenho nominal de tal forma que ela seja mais rigorosa. Se o sistema de controle com a planta nominal for capaz de satisfazer a essa nova condição, poderemos garantir que todas as possíveis plantas reais terão o desempenho nominal garantido. A condição de desempenho robusto resulta,

( ) ( )

[

ω

ω

]

( )

ω

_{( )}

_ω

σ

M N m

e

p

j

K

j

G

−

≥

1

∀ ∈

ω

Ω

Onde

p

( )

ω

=

α

−1

( )

ω

e

α j

( )

ω

é a precisão desejada no acompanhamento do sinal de referência e/ou rejeição de distúrbios, sendo Ω a faixa de freqüência onde o desempenho é exigido (normalmente baixas freqüências). A rigor, deveríamos também considerar a rejeição do ruído de medida (altas freqüências), mas a condição resultante, em geral, não é o fator limitante, e portanto será suprimida das nossas análises.

3.4 Alocação de Valores Singulares

As condições de estabilidade e desempenho robustos determinam barreiras no Diagrama de Bode (Fig 3.1). O nosso objetivo de projeto se resume

então a encontrar um controlador que estabilize o modelo nominal e cujos valores singulares do sistema em malha aberta não violem as barreiras de robustez.

σm

b g

G KN

σM

bg

G KN

ω

Fig 3.1- Barreiras e Valores Singulares

4. CONTROLADOR ÓTIMO

A lei de controle ótimo será obtida através da formulação do problema de regulação linear quadrática (LQR), com o ganho ótimo K da lei de controle

u

= −

Kx

, determinado pela Equação Algébrica de Riccati:

0

= −

−

− +

−1

PA

A P

T

Q

PBR P

T

sendo

K

=

R B P

−1 T

Q

=

C C

_CT _C e

R

=

ρ.

I

A escolha pelo problema LQR não foi tanto pela propriedade de minimização da norma H2, mas sim pela facilidade de alocação dos valores singulares com a Identidade de Kalman (2), além da garantia que

K estabiliza o modelo nominal. Uma aproximação para essa identidade, e

certamente conveniente, onde os parâmetros livres são Cc e ρ, resulta:

( )

G

_{LQ i}

[

C

_C

(

j

I

A

)

B

]

i 1

1

−

−

⋅

≅

σ

ω

ρ

σ

Onde

G

_LQ

=

K

(

sI

−

A

)

−1

B

_{. Escolhendo-se Cc como segue, estaremos impondo} todos os Valores Singulares com o mesma declividade de -20db/dec.

(

sI

−

A

)

−

B

=

C

_C 1

[

]

(

₍

)

₎

s

B

s

I

A

sI

s

C

A

sI

C

C

_

=

Γ



























−

−

− −

0

0

1 1 2 1

Caso Γ seja escolhida igual à identidade, todas as curvas no Diagrama de Bode estariam sobrepostas. O valor de ρ é então usado como parâmetro único na alocação e varia a magnitude de todos os valores singulares.

5. EXEMPLO NUMÉRICO

O controle acoplado entre nível e temperatura de um tanque de aproximadamente 500 litros (Fig 5.1), utilizado para ilustrar o projeto tem apenas caráter didático,

Fig 5.1- Controle de Nível-Temperatura

possui um modelo que pode ser bem representado por modelagem fenomenologica e é intuitivo. Linearizando e colocando na forma de modelo de desvios, obtemos uma representação de estado que, para os dados do problema resulta:

x

y

_











=

1

0

0

1

e

x

x

_

u









−

+













−

−

−

=

1325

,

0

0

0

0056

,

0

0127

,

0

0571

,

0

0

0028

,

0

&

5.1 Especificação de Desempenho

Deseja-se que o compensador confira ao sistema a capacidade de acompanhar sinais constantes de referência, bem como de rejeitar distúrbios constantes de carga. Além disso, deseja-se saber qual a maior freqüência que um sinal harmônico de entrada pode ter, tal que a saída ainda consiga acompanhar a entrada com uma precisão de 10%. Essa informação de desempenho se relaciona com a capacidade de manobra das variáveis.

5.2 Caracterização de Incertezas

Como ilustração, considerou-se que a válvula de controle a ser utilizada, tem dinâmica incerta. Deseja-se que o sistema de controle em malha fechada seja estável e apresente, no mínimo, o desempenho especificado, admitindo que a dinâmica desse atuador é bem representada por um sistema de segunda ordem, cujos parâmetros podem estar dentro da seguinte faixa:

V s

s

s

n n n

( )

=

+

+

ω

ζω

ω

2 2 2

2

sendo,

0 1

1

0 1

1

,

,

≤ ≤

≤

≤

ζ

ω

n

5.3 Alocação de Valores Singulares

A Fig 5.2 ilustra a alocação de valores singulares de

G K

_N e a verificação que

C

_N não viola a barreira de estabilidade robusta. A curva com um vale em 0.1 rad/s é de

e

−_M1

( )

ω

. A situação plotada representa o caso limite, onde a barreira está prestes a ser violada e corresponde à

ρ

=

4 10

3

.

e

Γ =

I

. Para responder a questão quanto a máxima freqüência de entrada que é acompanhada pela saída com precisão de 10%, basta observar em que freqüência a curva de

α

=

10

(p=20db) toca a curva limite de

σ

_M

(

G

_N

K

)

. Neste exemplo é possível desprezar-se a distorção de

p

( )

ω

, uma vez que o erro de modelagem é muito pequeno nesta faixa. A freqüência obtida é de aproximadamente

10

−3

rad/s, ou seja, que senoides com cerca de 100 minutos de período conseguem ser reproduzidas pela saída com precisão melhor que 10%.

[db] Estab. Robusta CN Gn.K Freqüência [rad/s] 1/eM

Fig 5.2- Alocação de Valores Singulares

5.4 Simulação

A simulação temporal corresponde ao caso em que a temperatura ambiente é de 20°C, o nível está inicialmente em 0,5m, a temperatura da água em 24°C, a alocação de valores singulares ligeiramente mais conservadora (

ρ

=

10

4

), com os ganhos kp e ki associados. Note-se que o controlador robusto resultou praticamente multimalha, apenas com um ganho "cruzado". Isso significa que quando houver um desvio na temperatura, somente a tensão sobre a resistência será alterada para compensa-la, mas quando um desvio ocorrer no nível, ambas as variáveis manipuladas serão utilizadas.











−

=

0755

,

0

0

0

8

,

1

kp

e

_











−

−

=

001

,

0

0043

,

0

0

005

,

0

ki

A situação inicial é mantida com 50% de abertura da válvula e cerca de 75% da máxima tensão eficaz aplicável sobre a resistência de aquecimento. Os resultados da Fig 5.3 foram obtidos através de simulação numérica, sendo que o modelo do tanque é aquele não-linear obtido pelo balanço de massa e energia, incluindo uma dinâmica particular para a válvula (

ζ

=

0 5

,

e

ω

_n

=

0 5

,

). Considerou-se uma troca térmica entre água e meio externo, dependente da diferença de temperaturas e do nível do tanque com constante de proporcionalidade

U =4 0,     °C m Kcal .

Fig 5.3- Simulação Temporal

No instante 10 min alterou-se o setpoint de temperatura de 24°C para 21°C e aos 30 min ocorreu um duplo distúrbio em que a vazão de entrada diminuiu cerca de 15% e a temperatura ambiente elevou-se de 20°C para 20,2°C. Aos 70 min, alterou-se o setpoint de nível de 0,5m para 0,8m. Observe que, como previsto, a tensão é também alterada no instante (70

min) em que o nível é alterado.

6. CONCLUSÕES

Este trabalho dá continuidade ao trabalho anterior (4) que mostrou as motivações para o uso de estruturas PID no contexto do projeto de controladores multivariáveis para aplicações industriais. Aqui a estrutura foi admitida como restrita a essa particular e tratou-se primordialmente do projeto (sintonia) dos blocos PID fundamentado na teoria de controle robusto. O projeto robusto do controlador permitiu obtenção da sintonia dos blocos PID mesmo com a incerteza na dinâmica d a válvula. Caso houvesse uma especificação rigorosa de desempenho e não fosse possível respeitar simultaneamente as duas barreiras, seríamos obrigados a buscar mais informações sobre a válvula. Isso mostra a elegância e a utilidade da teoria de controle robusto.

Mostrou-se que sob certa condição (n=2t) é possível tratar o problema como um problema de controle ótimo, sendo a estrutura PID da realimentação apenas uma forma equivalente da lei de controle ótimo.

Nos casos desfavoráveis quando esta condição não é verificada, é possível considerar-se a redução da ordem do modelo para satisfazê-la, utilizando o modelo reduzido como sendo o nominal e o original como uma das possíveis plantas reais. Se a ordem não puder ser reduzida, pode-se lançar mão de inversas generalizadas para obtenção de valores de compromisso de kp e kd. Contudo, não há garantias de que os valores singulares permaneçam dentro das barreiras, sendo que neste caso faz-se o projeto por tentativa e erro.

7. REFERÊNCIAS

(1) DAILEY,R.L., The 30th IEEE Conference on Decision and Control - Lecture Notes for the Workshop on H_∞ and µ Methods for Robust Control, Brighton, Dec.1991

(2) DOYLE,J.C.; STEIN,G., Multivariable Feedback Design: Concepts for a Classical/Modern Synthesis., IEEE Trans. Auto. Control., Vol.AC-26, Feb.1981, pp.4-16

(3) LEONARDI,F., Otimização de Controladores PID em Sistemas Multivariáveis, Congresso de Equipamentos e Automação da Indústria Química e Petroquímica - ABIQUIM - Anais, São Paulo, Mar.1993, pp.98-108

(4) LEONARDI,F., Controle Avançado com Estrutura PID. 10° Seminário de Instrumentação do IBP - Anais, Porto Alegre, Aug.1993, pp.1-8

(5) NOBLE,B. and DANIEL,J.W., Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, 1977