Otimização de Carteiras de Renda Fixa: Uma Abordagem Baseada em Modelos Fatoriais Dinâmicos Heterocedásticos

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Otimiza¸c˜

ao de Carteiras de Renda Fixa: Uma Abordagem Baseada em

Modelos Fatoriais Dinˆ

amicos Heteroced´

asticos

Jo˜ao F. Caldeirab_{, Guilherme V. Moura}a_{, Andr´}_{e A. P. Santos}a,1 a_{Departmento de Economia}

Universidade Federal de Santa Catarina

b_{Departmento de Economia}

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Abstract

In this paper we use Markowitz’s approach to optimize bond portfolios. We derive closed form expressions for the vector of expected bond returns and for the conditional covariance matrix of bond returns based on a general class of dynamic heteroskedastic factor models. These estimators are then used as inputs to obtain mean-variance and minimum variance optimal bond portfolios. An empirical examination involving a data set of 14 contracts with different maturities indicates that the optimized bond portfolios deliver an improved risk-adjusted performance in comparison to the benchmarks.

Resumo

Este trabalho utiliza a abordagem de Markowitz para otimizar carteiras de renda fixa. Para isto, obtem-se expressões em forma fechada para o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariâncias condicional dos retornos dos t´ıtulos baseando-se numa classe geral de modelos fatoriais dinâmicos e heterocedásticos. Es-tes estimadores são utilizados para obter carteiras ótimas de média-variância e m´ınima variância para t´ıtulos de renda fixa. Um aplica¸cão emp´ırica envolvendo um conjunto de dados com 14 contratos de DI-futuro com diferentes maturidades indica que as carteiras otimizadas possuem um desempenho ajustado ao risco superior ao obtido por estratégias benchmark.

Keywords: otimiza¸cão de carteira, estrutura a termo da taxa de juros, dynamic conditional correlation (DCC), avalia¸cão de performance, previsão.

JEL C53, E43, G17

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1. Introdu¸c˜ao

A abordagem de otimiza¸cão de carteiras desenvolvida por Markowitz (1952), baseada na rela¸cão m´ edia-variância dos ativos, é um dos marcos da moderna teoria de finan¸cas. Neste contexto, indiv´ıduos decidem suas aloca¸cões em ativos de risco com base no trade-off fundamental entre retorno esperado e risco. Dessa forma, indiv´ıduos escolherão carteiras posicionadas na fronteira eficiente, a qual define o conjunto de port-fólios Pareto-eficientes que maximizam retorno esperado para um dado n´ıvel de risco. Esta abordagem é hoje amplamente usada para auxiliar gestores na constru¸cão de carteiras e no desenvolvimento de aloca¸cões quantitativas (Cornuejols & Tütüncü, 2007). No entanto, estas aplica¸cões se restringem, na grande maioria das vezes, à constru¸cão de carteiras contendo apenas ativos de renda variável; ver, por exemplo, Brandt (2009), DeMiguel & Nogales (2009) e DeMiguel et al. (2009a) para aplica¸cões recentes. Com isso, muito se sabe a respeito dos pontos fortes, dos pontos fracos e da performance de carteiras de a¸cões otimizadas usando a abordagem de média-variância, mas não sobre otimiza¸cão de carteiras contendo t´ıtulos de renda fixa.

A literatura aponta poucas referências propondo a utiliza¸cão da abordagem de média-variância para a sele¸cão de carteiras de renda fixa. Na prática, carteiras de renda fixa costumam ser selecionadas de forma a aproximar a duration de algum ´ındice de referência ou então replicar o desempenho deste ´ındice em termos de retorno e volatilidade (Fabozzi & Fong, 1994). Nesse sentido, a opinião subjetiva dos gestores a respeito da evolu¸cão da estrutura a termo da taxa de juros irá determinar em grande medida a composi¸cão da carteira em rela¸cão ao ´ındice de referência. Modelos sofisticados para a estrutura a termo das taxas de juros, como, por exemplo, Vasicek (1977), Cox et al. (1985), Nelson & Siegel (1987), Svensson (1994), Hull & White (1990), Heath et al. (1992), quando utilizados, tendem a ser aplicados para a gerência de riscos e para o apre¸camento de derivativos de renda fixa, mas não diretamente para a sele¸cão de ativos.

Pelo menos duas razões podem ser apontadas para justificar o lento desenvolvimento da otimiza¸cão de portfólios de renda fixa com base na abordagem média-variância. A primeira razão é a relativa estabilidade e baixa volatilidade histórica deste tipo de ativo, o que desincentivou a utiliza¸cão de uma metodologia mais sofisticada para gestão ativa do risco das carteiras de renda fixa. Entretanto, esta situa¸cão vem se alterando rapidamente nos últimos anos, mesmo nos mercados de t´ıtulos governamentais com baixa probabilidade de default (Korn & Koziol, 2006). A ocorrência de per´ıodos de turbulência nos mercados globais tem trazido grande volatilidade aos mercados de renda fixa, o que torna atrativo o uso de abordagens de sele¸cão de carteiras que levem em conta a rela¸cão risco-retorno e a possibilidade de diversifica¸cão de riscos ao longo das diferentes maturidades.

Segundo Wilhelm (1992), Korn & Koziol (2006) e Puhle (2008), a escassa utiliza¸cão da abordagem de Markowitz para sele¸cão de carteiras de renda fixa se deve também às dificuldades existentes para a modelagem dos retornos e da matriz de covariância de t´ıtulos. Fabozzi & Fong (1994) argumentam que, caso fosse poss´ıvel computar uma matriz de covariância relacionando vários t´ıtulos, o processo de otimiza¸cão de carteiras de renda fixa poderia ser similar ao utilizado para a otimiza¸cão de carteiras de a¸cões. Porém, t´ıtulos de renda fixa têm maturidades finitas e prometem o pagamento de seu valor de face no vencimento. Com isso, ao final deste ano, o pre¸co de um t´ıtulo com maturidade de dois anos é uma variável aleatória. Porém, o pre¸co desse mesmo t´ıtulo em dois anos é uma quantidade determin´ıstica (desconsiderando o risco de default ) dada pelo seu valor de face. Isso implica que as propriedades estat´ısticas do pre¸co e do retorno de um t´ıtulo de renda fixa dependem de sua maturidade. Portanto, tanto pre¸co quanto retorno de t´ıtulos são processos não-ergódicos. Logo, técnicas estat´ısticas tradicionais não podem ser usadas para modelar diretamente o retorno esperado e

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a volatilidade destes ativos (Meucci, 2009, pg. 110), que são os ingredientes fundamentais para a solu¸cão do problema de otimiza¸cão de média-variância.

Neste artigo, uma nova abordagem para obter estimadores para o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariâncias dos retornos dos t´ıtulos de renda fixa será apresentada. Estes estimadores serão utilizados como ingredientes do problema de otimiza¸cão de média-variância para carteiras de renda fixa. A abordagem proposta toma como base modelos fatoriais dinâmicos e heterocedásticos, em linha com a abordagem proposta por Santos & Moura (2011), para a estrutura a termo da taxa de juros. Segundo Korn & Koziol (2006), a grande vantagem do uso de modelos fatoriais para a estrutura a termo das taxas de juros é a modelagem através de maturidades fixas. Isto permite a estima¸cão da distribui¸cão condicional dos yields de t´ıtulos de renda fixa e, como são usadas maturidades fixas, as propriedades estat´ısticas destes não dependem das maturidades. Portanto, a abordagem proposta contempla o uso de modelos fatoriais dinâmicos para a estrutura a termo utilizados com sucesso quando aplicados à previsão e ajuste da curva de juros, como, por exemplo, a versão dinâmica do modelo de Nelson & Siegel (1987) proposta por Diebold & Li (2006) e o modelo fatorial proposto por Svensson (1994)2. Além disso, diferentemente das abordagens de Korn & Koziol (2006) e Puhle (2008), no presente artigo a presen¸ca de heterocedasticidade condicional nas taxas de juros e nos fatores que as descrevem são levadas em conta. Para isso, utiliza-se uma especifica¸cão GARCH multivariada parcimoniosa que permite a estima¸cão e previsão de matrizes de covariâncias condicionais para problemas de alta dimensão.

Vale observar que abordagem para otimiza¸cão de carteiras de renda fixa aqui proposta difere em vários aspectos em rela¸cão às abordagens existentes que tratam deste tema. Wilhelm (1992), Korn & Koziol (2006) e Puhle (2008), por exemplo, propõem a utiliza¸cão do paradigma média-variância para sele¸cão de carteiras de renda fixa utilizando o modelo de Vasicek (1977) para a estrutura a termo. Entretanto, apesar de permitir a deriva¸cão de expressões em forma fechada para retornos e covariâncias dos t´ıtulos de renda fixa, o modelo de Vasicek usa apenas um fator para explicar toda a variabilidade na curva de juros e com isso, não produz bom ajuste e nem boas previsões para os yields (ver, por exemplo, Duffee, 2002). A abordagem aqui proposta, por outro lado, está baseada em modelos fatoriais dinâmicos que, além de permitir a deriva¸cão dos momentos dos retornos dos t´ıtulos de renda fixa, são amplamente usados para ajuste e previsão da curva de juros (ver, por exemplo, ANBIMA, 2009; BIS, 2005).

Além disso, Wilhelm (1992), Korn & Koziol (2006) e Puhle (2008) utilizam modelos fatoriais homoce-dásticos, ignorando a persitência na volatilidade dos retornos de t´ıtulos de renda fixa. Neste artigo, ao contrário, a heterocedasticidade condicional é modelada explicitamente e busca-se a otimiza¸cão da rela¸cão média-variância com base em previsões não só para o vetor de retornos esperados, mas também para a matriz de covariâncias condicional dos retornos dos t´ıtulos de renda fixa.

Uma aplica¸cão emp´ırica envolvendo uma base de dados contendo taxas diárias de fechamento dos contratos de DI-futuro com maturidades fixas é utilizada para exemplificar a relevância e a aplicabilidade da abordagem proposta. Mais especificamente, as maturidades usadas são 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e 48 meses, referentes a contratos de DI-futuro negociados na BM&FBovespa. Com base nos estimadores para o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariância dos retornos dos t´ıtulos propostos no artigo,

2_{Ver, por exemplo, De Pooter (2007), Diebold & Rudebusch (2011),Almeida et al. (2008),Caldeira et al. (2010b), Rezende &}

Ferreira (2011), e Caldeira & Torrent (2011) para uma an´alise do desempenho preditivo dos modelos fatoriais para a estrutura a termo.

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carteiras ótimas de média-variância e m´ınima variância são constru´ıdas e seus desempenhos fora da amostra são comparados em rela¸cão a vários ´ındices de referência para o mercado de renda fixa brasileiro. Os resultados indicam que a abordagem proposta no artigo gera carteiras ótimas de média-variância e m´ınima variância com desempenho ajustado ao risco superior ao obtido pelo benchmark. Além disso, os resultados mostram-se robustos quanto a i) especifica¸cão econométrica utilizada para modelar a estrutura a termo, ii) especifica¸cão econométrica para a dinâmica dos fatores, iii) especifica¸cão econométrica para a matriz de covariâncias dos retornos e iv) frequência de rebalanceamento das carteiras otimizadas.

O artigo está organizado da seguinte forma. A se¸cão 2 descreve os modelos fatoriais utilizados para modela a estrutura a termo, bem como a especifica¸cão econométrica para a heterocedasticidade condicional dos fatores. A se¸cão 3 discute um procedimento de estima¸cão em multi-etapas para o modelo proposto. A se¸cão 4 discute a otimiza¸cão de média-variância para carteira de renda fixa, além de trazer uma aplica¸cão emp´ırica. Finalmente, a se¸cão 5 traz as considera¸cões finais.

2. Otimiza¸c˜ao de carteiras de renda fixa utilizando modelos para a estrutura a termo

Nesta se¸cão propõe-se o uso de modelos fatoriais para estrutura a termo amplamente usados tanto na comunidade acadêmica, quanto por participantes do mercado3 _{para otimiza¸}_c˜_{ao de carteiras de t´ıtulos de} renda fixa de acordo com a abordagem de média-variância proposta por Markowitz (1952). Modelos fatoriais para a estrutura a termo da taxa de juros permitem encontrar fórmulas fechadas para os yields esperados, bem como para a matriz de covariância destes. A partir destes momentos, mostra-se como é poss´ıvel calcular a distribui¸cão dos pre¸cos e dos retornos dos t´ıtulos de renda fixa, a qual será posteriormente utilizada como ingrediente indispensável para a otimiza¸cão de carteiras.

2.1. Modelos fatoriais dinˆamicos para a estrutura a termo da taxa de juros

Modelos de fatores dinâmicos tem um papel importante em econometria, possibilitando explicar um grande conjunto de séries de tempo através de um pequeno número de fatores comuns não observáveis (ver, por exemplo, Fama & French, 1993; Stock & Watson, 2002). Geralmente, assume-se que a rela¸cão existente entre as séries de tempo e os fatores comuns é linear e o coeficiente relativo a cada um destes fatores é conhecido como carga ou peso do fator. No caso de um conjunto de séries de tempo de taxas de juros ´

e poss´ıvel ordená-las de acordo com as maturidades dos t´ıtulos. Para este tipo de dados é comum ainda assumir que o peso de cada fator é uma fun¸cão suave da variável de maturidade, τ , que é usada para ordenar as séries de taxas de juros.

Suponha um conjunto de séries de tempo de taxas de juros para um conjunto de N diferentes maturidades τ1, . . . , τN. A taxa de juro no tempo t de um t´ıtulo zero-cupom com maturidade τi é denotada por yt(τi), para t = 1, . . . , T . O vetor N × 1 com todas as taxas de juros no tempo t é dado por:

yt=     yt(τ1) .. . yt(τN)     , t = 1, . . . , T.

3_{Ver BIS (2005) e ANBIMA (2009) para uma discuss˜}_{ao acerca da utiliza¸}_c˜_{ao de modelos fatoriais para a curva de juros por}

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A formula¸cão geral do modelo de fatores dinâmicos é dada por:

yt= Λ(λ)ft+ εt, εt∼ NID (0, Σt) , t = 1, . . . , T, (1) onde Λ(λ) é a matriz N × K de pesos dos fatores, ft é um processo estocástico com dimensão K e Σté a matriz N × N de covariâncias condicionais dos res´ıduos do modelo fatorial. Por hipótese, assumimos que Σté uma matriz diagonal. Isto significa que a covariância entre as taxas de juros de diferentes maturidades depende apenas do vetor de fatores latentes ft, cuja dinâmica é dada por:

ft= µ + Υft−1+ Rηt, ηt∼ NID (0, Ωt) , t = 1, . . . , T, (2) onde µ é um vetor K × 1 de constantes, Υ é a matriz K × K de transi¸cão, R é uma matriz de sele¸cão que possibilita inclusão de estados singulares e Ωté a matriz de covariâncias condicionais dos res´ıduos ηtda equa¸cão de transi¸cão, os quais são independentes dos res´ıduos εt∀t.

A especifica¸cão dinâmica para ft é geral. Portanto, é poss´ıvel modelar a dinâmica ft utilizando uma variedade de processos, como os de vetor autorregressivo e de média móvel (ver Jungbacker & Koopman, 2008). No caso espec´ıfico da modelagem de curvas de juros é comum a especifica¸cão dinâmica para os fatores ser modelada por um vetor autorregressivo de ordem 1, VAR(1) (ver, por exemplo, Diebold et al., 2006; Caldeira et al., 2010b).

A seguir alguns modelos para a estrutura a termo da taxa de juros são apresentados. Todos eles podem ser considerados casos especiais da formula¸cão geral em (1) e (2) impondo diferentes restri¸cões na matriz de pesos dos fatores Λ(λ). Para alguns modelos são necessárias também restri¸cões na dinâmica dos fatores e no vetor de médias µ. As especifica¸cões alternativas consideradas são o modelo dinâmico de Nelson & Siegel (1987) e o modelo de Svensson (1994). O primeiro modelo para estrutura a termo considerado é baseado no artigo seminal de Nelson & Siegel (1987) e na interpreta¸cão dinâmica deste modelo proposta por Diebold & Li (2006) para desenvolver um procedimento para previsão da curva de juros. A segunda especifica¸cão considerada para estima¸cão da estrutura a termo é o modelo de Svensson, método amplamente usado entre os Bancos Centrais, como apontado pelo relatório do BIS (2005).

2.1.1. Vers˜ao dinˆamica do modelo Nelson-Siegel

Nelson & Siegel (1987) demonstraram que a estrutura a termo pode ser bem ajustada por uma combina¸cão linear de três fun¸cões suaves. O modelo de Nelson-Siegel se tornou muito popular na indústria financeira, onde é usado para parametrizar a estrutura a termo da taxa de juros, consistente com a técnica multivariada de análise de componentes principais (ACP). A curva de juros de Nelson-Siegel, denotada por gN S(τ ), é dada por: gN S(τ ) = ξ1+ λS· ξ2+ λC· ξ3, (3) em que λS(τ ) = 1 − exp(−λτ ) λτ , λ C_{(τ ) =} 1 − exp(−λτ ) λτ − exp (−λτ ) (4)

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podem ser estimados por m´ınimos quadrados com base no modelo de regress˜ao n˜ao linear: yt(τi) = gN S(τi) + ui, i = 1, . . . , N, t = 1, . . . , n,

onde uit é um ru´ıdo com média zero e possivelmente diferentes variâncias para as diferentes maturidades τi. Um dos atrativos do modelo de Nelson-Siegel é que os parâmetros ξ tem uma clara interpreta¸cão: ξ1controla o n´ıvel de curva de juros; ξ2 pode ser associado com a inclina¸cão da curva de juros, pois a carga deste fator, λS(τ ), é elevada para maturidades mais curtas e assume valores pequenos para maturidades longas. Já as cargas λC_{, para diferentes maturidades, formam uma fun¸}_c˜_{ao em formato de U invertido, portanto, ξ}

3 pode ser interpretado como o parâmetro de curvatura da curva de juros. A decomposi¸cão da curva de juros em fatores de n´ıvel, inclina¸cão e curvatura também foi destacada por Litterman & Scheinkman (1991).

Seguindo a metodologia proposta por Diebold et al. (2006), a curva de juros de Nelson-Siegel pode também ser incorporada em um modelo fatorial dinâmico onde os parâmetros ξ são tratados como fatores latentes. Assim, obtêm-se:

yt= ΛN Sft+ εt, εt∼ NID (0, Σt) , (5) onde ft é um vetor 3 × 1 e Σté uma matriz diagonal de covariâncias condicionais. A matriz de pesos dos fatores, ΛN S, tem a i-ésima linha dada por 1, λS1(τi), λC1(τi).

2.1.2. Modelo de Svensson

O modelo de Svensson é uma extensão do modelo de Nelson-Siegel descrito pelas equa¸cões (3) e (4), com a inclusão de um quarto componente, ξ4, com parâmetro de decaimento independente, λ2, e uma fun¸cão para determinar seu peso, hλC2

2 =

1−exp(−λ2τ )

λ2τ − exp(−λ2τ )

i

. Assim como o modelo de Nelson-Siegel, a curva de juros de Svensson pode ser vista como um modelo fatorial dinˆamico:

yt= ΛSVft+ εt, εt∼ NID (0, Σt) , (6)

onde fté um vetor K × 1 com K = 4, modelado por um processo VAR(1) como em (2) e Σt é uma matriz diagonal de covariâncias condicionais. A i-ésima linha da matriz de pesos dos fatores, ΛSV, é dada por h

1, λS₁(τi), λ1C1(τi), λC22(τi) i

. Diferentemente do modelo de Nelson-Siegel, no modelo de Svensson a matriz de pesos dos fatores, Λ(λ), depende de dois parâmetros (λ1, λ2), sendo que o segundo parâmetro está associado a um segundo fator de curvatura, inclu´ıdo com o intuito de dar mais flexibilidade ao modelo. As diferentes especifica¸cões de modelos fatoriais para curva de juros consideradas são todas aninhadas e podem, portanto, ser capturadas pela estrutura geral representada pelas equa¸cões (1) e (2).

2.2. Variˆancia condicional de modelos fatoriais para estrutura a termo

Apesar de existir uma extensa literatura tratando da modelagem e previs˜ao da estrutura a termo4, apenas recentemente tem sido levado em conta a presen¸ca de heterocedasticidade condicional na estrutura a termo da curva de juros (ver, por exemplo, Bianchi et al. (2009), Haustsch & Ou (2010), Koopman et al. (2010) e Caldeira et al. (2010a), dentre outros). Na maioria dos casos, os modelos adotam o pressuposto de volatilidade

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constante nas taxas de juros, o que gera implica¸cões práticas importantes sobre pol´ıticas de gerenciamento de risco. Por exemplo, opera¸cões de hedge e arbitragem de taxas de juros podem ser influenciadas pela presen¸ca de volatilidade variante no tempo, já que nestas opera¸cões é necessário incorporar compensa¸cões para o risco das taxas de juros. Outra implica¸cão importante é que a presen¸ca de volatilidade condicional faz com que os intervalos de confian¸ca dos ajustes e previsões derivadas destes modelos sejam calculados de forma incorreta em amostras finitas.

Neste artigo, os efeitos da volatilidade variante no tempo s˜ao incorporados utilizando modelos GARCH multivariados do tipo proposto por Santos & Moura (2011)5_{. Para modelar Ω}

t, a matriz de covariância condicional dos fatores em (2), podem ser consideradas especifica¸cões alternativas, incluindo não apenas modelos GARCH multivariados como também modelos de volatilidade estocástica multivariada (Harvey et al., 1994; Aguilar & West, 2000; Chib et al., 2009). Neste trabalho, considera-se o modelo de correla¸cão condicional dinâmica (dynamic conditional correlation - DCC) proposto por Engle (2002), o qual é dado por:

Ωt= DtΨtDt (7)

onde Dt= diag phf1t, . . . ,phfkt, hfkt é a variância condicional do k-ésimo fator, e Ψté uma matriz de

correla¸cão simétrica e positiva definida com elementos ρij,t, onde ρii,t= 1, i, j = 1, . . . , K. No modelo DCC a correla¸cão condicional ρij,t é dada por:

ρij,t= qij,t √

qii,tqjj,t

(8) onde qij,t, i, j = 1, . . . , K, são colocados na matriz Qt de dimensão K × K, a qual segue uma dinâmica autoregressiva do tipo GARCH,

Qt= (1 − α − β) ¯Q + αzt−1zt−10 + βQt−1 (9) onde zft = (zf1t, . . . , zfkt) ´e o vetor de retorno normalizado dos fatores, cujos elementos s˜ao zfit= fit/phfit,

¯

Q é a matriz de covariância incondicional de zt, α e β são parâmetros escalares não negativos satisfazendo α + β < 1.

Para modelar a volatilidade condicional dos res´ıduos εtdo modelo fatorial em (1), assume-se que a matriz Σt é diagonal, ou seja, Σt = diag(htε1...htεN), onde htεi é a variância condicional dos res´ıduos da i-ésima

maturidade. Além disso, um procedimento semelhante ao adotado em Cappiello et al. (2006) é utilizado e especifica¸cões alternativas do tipo GARCH univariados são usadas para modelar htεi. Em particular,

considera-se o modelo GARCH de Bollerslev (1986), o modelo GJR-GARCH assimétrico de Glosten et al. (1993), o modelo exponencial GARCH (EGARCH) de Nelson (1991), o modelo threshold GARCH (TGARCH) de Zakoian (1994), o modelo GARCH expoente assimétrico (APARCH) de Ding et al. (1993), modelo GARCH assimétrico (AGARCH) de Engle (1990), e modelo não-linear assimétrico GARCH (NAGARCH) de Engle & Ng (1993). Em todos os modelos, a forma mais simples é adotada, na qual a variância condicional depende apenas de uma defasagem dos retornos passados e variâncias condicionais defasadas. O Apêndice 2 apresenta as especifica¸cões de cada um destes modelos. O mesmo procedimento é aplicado para a escolha da especifica¸cão do tipo GARCH para a variância condicional dos fatores em (7). Em todos os casos, a escolha

5_{Veja Bauwens et al. (2006) e Silvennoinen & Ter¨}_{asvirta (2009) para uma revis˜}_{ao detalhada dos modelos GARCH}

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da especifica¸cão utilizada é feita com base no critério de informa¸cão de Akaike (AIC). 2.3. Mapeando os momentos dos yields para os momentos dos retornos

A abordagem de Markowitz para otimiza¸cão de carteiras requer estimativas para o retorno esperado de cada t´ıtulo, bem como para a matriz de covariância destes retornos. Entretanto, os modelos fatoriais para a estrutura a termo da taxa de juros apresentados anteriormente modelam somente os yields. Porém, é poss´ıvel obter expressões para o retorno esperado e para a matriz de covariância destes retornos baseado na distribui¸cão dos yields esperados. A seguinte proposi¸cão define esta distribui¸cão.6

Proposi¸cão 1. Dado o sistema formado pelas equa¸cões (1) e (2), a distribui¸cão dos yields esperados yt|yt−1 ´

e N (µyt, Σyt), com µt= Λ (λ) ft|t−1 e Σyt = ΛΩt|t−1Λ 0_{+ Σ}

t|t−1, onde ft|t−1 é a previsão um passo a frente dos fatores e Σt|t−1 e Ωt|t−1 são as previsões um passo a frente das matrizes de covariâncias em (1) e (2), respectivamente.

Com base nas fórmulas fechadas para a matriz de covariâncias e para a média dos yields esperados definidas na Proposi¸cão 1, pode-se então encontrar a distribui¸cão dos pre¸cos esperados. Usando juros compostos cont´ınuos e assumindo que os t´ıtulos tenham valor de face igual a 1 no vencimento, obtém-se o vetor de pre¸cos esperados Pt|t−1:

Pt|t−1= exp (−τ ⊗ yt) , (10)

onde ⊗ é a multiplica¸cão elemento por elemento e τ é o vetor de maturidades. Como yt|yt−1tem distribui¸cão normal, Pt|yt−1 tem distribui¸cão log-normal com média

µpt = exp −τ ⊗ µyt+ τ2 2 ⊗ diag (Σyt) , (11)

onde diag (Σyt) ´e um vetor contendo os elementos da diagonal principal de Σyt. Por sua vez, a matriz de

covariˆancia dos pre¸cos esperados, Σpt, tem elementos dados por:

σ2_pi,j t = exp nh −τiµi_y t− τ j_µj yt+ 0.5 τi2σ2_yi,i t + τ j2 σ_y2j,j t io ·hexpτiτjσ_y2i,j t − 1i (12)

Usando a fórmula para o log-retornos, é poss´ıvel encontrar uma expressão em forma fechada para o vetor de retornos esperados dos t´ıtulos bem como para a matriz de covariâncias condicionais dos retornos. A Propo-si¸cão 2 define estas expressões.

Proposi¸cão 2. Dado o sistema (1) - (2) e a Proposi¸cão 1, o vetor de retornos esperados, µr_t|t−1, e a matriz de covariâncias dos retornos (positiva-definida ∀t), Σrt|t−1 são dados por:

µrt|t−1 = −τ ⊗ µt+ τ ⊗ yt−1, (13)

(9)

Σrt|t−1 = τ 0_{τ ⊗}   ΛΩt|t−1Λ 0_{+ Σ} t|t−1 | {z } Σ_yt   . (14)

Os resultados da Proposi¸cão 2 mostram que, a partir de um modelo fatorial para os yields como, por exemplo, os modelos de curva de juros propostos por Nelson & Siegel (1987) e Svensson (1994), é poss´ıvel obter expressões em forma fechada para os retornos esperados e para a matriz de covariâncias condicionais destes. Estes dois estimadores são ingredientes fundamentais para o problema da sele¸cão de carteiras com base no paradigma de média-variância proposto por Markowitz, conforme discutido na se¸cão 4.

Como apontado por Litterman & Scheinkman (1991), o retorno de t´ıtulos zero cupom pode ser decom-postos em duas partes. A primeira parte é resultado da capitaliza¸cão recebida devido ao envelhecimento do t´ıtulo; e a segunda parte é atribu´ıda à mudan¸ca no pre¸co dos t´ıtulos zero cupom com maturidades fixas. Além disso, Litterman & Scheinkman (1991) lembram que a primeira parte é determin´ıstica, enquanto a segunda parte está sujeita a incerteza relativa à mudan¸ca nos pre¸cos. Claramente, só a segunda parte interessa para a otimiza¸cão de portfólios e é justamente esta parte que é considerada em Korn & Koziol (2006) e Puhle (2008).

Entretanto, para efeito de compara¸cão com outros benchmarks é necessário o cálculo também da parte determin´ıstica do retorno. O retorno total será dado pela renda gerada pela capitaliza¸cão à taxa de juros do t´ıtulo, mais a aprecia¸cão do capital dada pela varia¸cão de pre¸co dos t´ıtulos com maturidades fixas. Seguindo Jones et al. (1998) e de Goeij & Marquering (2006), o retorno total de um t´ıtulo com maturidade fixa τ entre o per´ıodo t e t + p é dado por:

Rt,t+p(τ ) = Pt Pt−p − 1 + p 252yt−p= exp(rt,t+p) − 1 + p 252yt−p, (15)

onde p é dado em dias úteis e rt,t+p é a parte do retorno gerada pela varia¸cão de pre¸co do t´ıtulo com maturidade fixa após p dias7 _.

3. Procedimento de estima¸c˜ao

Nesta se¸cão, um procedimento de estima¸cão dos parâmetros do modelo fatorial para os yields, bem como para os parâmetros dos modelos de volatilidade é apresentado. A estima¸cão é conduzida em um procedimento de multi-etapas, onde primeiramente são estimados os parâmetros do modelo fatorial e, em seguida, a partir dos res´ıduos do modelo fatorial, são estimados os parâmetros dos modelos de volatilidade.

3.1. Estima¸c˜ao dos modelos fatorais dinˆamicos para a estrutura a termo das taxas de juros

A abordagem mais direta e amplamente usada para estima¸cão dos fatores e parâmetros do sistema em (1) e (2) consiste em um procedimento de duas etapas (Diebold & Li, 2006). Na primeira etapa, a equa¸cão de medida é tratada como um modelo cross section e é empregado o método de m´ınimos quadrados para estimar os fatores para todos os per´ıodos de tempo individualmente. Na segunda etapa, a dinâmica dos fatores é especificada e ajustada por modelos de séries de tempo. Para simplificar o procedimento de estima¸cão,

7_{Ver a equa¸}_c˜_{ao (19) no apˆ}_{endice para mais detalhes a respeito do c´}_{alculo de r} t,t+p.

(10)

Diebold & Li (2006) sugerem reduzir o vetor de parâmetros para ft= (ξ1t, ξ2t, ξ3t) fixando o valor de λt em um valor especificado a priori, o qual é mantido fixo, ao invés de tratá-lo como um parâmetro desconhecido.

O primeiro passo da estima¸c˜ao produz s´eries de tempo dos valores estimados para os K fatores,n{βk,t} T t=1

oK k=1. O próximo passo consiste em modelar a dinâmica dos fatores da equa¸cão dos estados. A dinâmica dos fatores ´

e modelada individualmente através de um processo autoregressivo de primeira ordem, AR(1), para cada fator, assumindo que a matriz Υ em (2) é diagonal. Alternativamente, modela-se a dinâmica dos fatores também através de um VAR(1), neste caso a matriz Υ em (2) é completa.

A escolha dos parâmetros de decaimento para os modelos de Nelson-Siegel e Svensson é restrita ao intervalo entre 0.04 e 0.5, pois estes valores correspondem ao peso máximo para a curvatura da estrutura a termo na maior (48 meses) e na menor (6 meses) maturidade da base de dados, respectivamente. Seguindo estas restri¸cões, constrói-se o conjunto Φ = {0.04 + 0.001j}491

j=1. Dado λj ∈ Φ e a correspondente matriz de pesos dos fatores Λ(λj) e, baseado neles, o vetor de fatores ft é estimado por OLS em cada per´ıodo t. O parâmetro de decaimento escolhido bλ ∈ Φ é o que minimiza a ra´ız da soma do erro quadrático médio. Mais especificamente, bλ é escolhido de forma a minimizar a diferen¸ca entre as taxas de juros obtidas pelo modelo, b

y, e as taxas observadas, y. O problema de otimiza¸c˜ao pode ser apresentado como:

b λ = arg min λ∈Φ v u u t 1 T N T X t=1 N X i=1 yt(τi) −ybt(τi, λ, ft|t−1) 2

onde T ´e o n´umero de curvas de juros na amostra.

No caso do modelo de Svensson o problema é similar, com a diferen¸ca de que neste caso é necessário encontrar dois parâmetros (bλ1, bλ2) do conjunto Θ = {(λι1, λι2)|λ1∈ Φ, λ2∈ Φ}. Assim, (λ1, λ2) resolvem o seguinte problema: b λ1, bλ2 = arg min (λ1,λ2)∈Θ v u u t 1 T N T X t=1 N X i=1 yt(τi) −_byt(τi, λ1, λ2, ft|t−1) 2 .

Um potencial problema de multicolinearidade no modelo de Svensson surge se os parˆametros de decaimento λ1 e λ2 assumem valores similares. Para contornar este problema, De Pooter (2007) prop˜oe substituir o ´ ultimo termo de λC2 2 , ou seja, − exp −τ λ2tτ por − exp−2τ_λ 2tτ

. Esta especifica¸c˜ao, chamada aqui de modelo de Svensson ajustado, ´e a adotada neste trabalho.

3.2. Estima¸c˜ao da matriz de covariˆancia dos yields

Para obter a matriz de covariância condicional dos fatores, Ωt|t−1, uma especifica¸cão DCC em (7) será usada. A estima¸cão do modelo DCC pode ser convenientemente dividida em uma parte da volatilidade e outra parte da correla¸cão. A parte da volatilidade refere-se à estima¸cão das volatilidades condicionais univa-riadas dos fatores através de uma especifica¸cão do tipo GARCH. Os parâmetros dos modelos de volatilidade univariados são estimados por quase máxima verossimilhan¸ca (QML) assumindo inova¸cões Gaussianas.8 _A

8_{Uma revis˜}_{ao das quest˜}_{oes relacionadas `}_{a estima¸}_c˜_{ao, tais como, escolha dos valores iniciais, algoritmos num´}_{ericos, acur´}_acia,

bem como propriedades assintóticas são dadas por Berkes et al. (2003), Robinson & Zaffaroni (2006), Francq & Zakoian (2009), e Zivot (2009). É importante observar que mesmo quando a suposi¸cão de normalidade é inapropriada, o estimador QML baseado na maximiza¸cão das verossimilhan¸cas Gaussianas é consistente e assintoticamente Normal, dado que a média condicional e

(11)

parte da correla¸cão refere-se a estima¸cão da matriz de correla¸cão condicional em (8) e (9). Para estimar os parâmetros da parte da correla¸cão, emprega-se o método CL proposto por Engle et al. (2008). Como destacaram Engle et al. (2008), o estimador CL oferece estimativas mais acuradas dos parâmetros estimados em compara¸cão com procedimento de dois passos proposto por Engle & Sheppard (2001) e Sheppard (2003), especialmente em problemas de grande dimensão.

4. Aplica¸c˜ao em otimiza¸c˜ao de carteiras de renda fixa

Para ilustrar a aplicabilidade dos estimadores de retornos esperados e covariâncias condicionais propostos neste artigo, considera-se o problema de otimiza¸cão de carteiras de renda fixa no contexto de média-variância (Markowitz, 1952; Korn & Koziol, 2006; Puhle, 2008). A formula¸cão do portfólio de média-variância é dada por min wt wtΣrt|t−1wt− 1 δw 0 tµrt|t−1 sujeito a w0_tι = 1 (16)

onde µrt|t−1 é a previsão um passo a frente do vetor de retornos esperados, Σrt|t−1 é a a previsão um passo a

frente da matriz de covariâncias condicionais dos retornos, wté o vetor de pesos a ser otimizado, ι é um vetor de uns com dimensão N × 1 e δ é o coeficiente de aversão ao risco.9 _{No caso onde vendas a descoberto s˜}_ao restritas, é adicionada à equa¸cão (16) uma restri¸cão para evitar pesos negativos, ou seja, wt≥ 0. Trabalhos anteriores mostram que adicionar tal restri¸cão pode melhorar substancialmente a performance, principalmente reduzindo o turnover do portfólio, ver Jagannathan & Ma (2003), entre outros.

Uma varia¸cão do problema de otimiza¸cão de média-variância consiste no portfólio ótimo de m´ınima variância. Nesta formula¸cão, considera-se que indiv´ıduos são altamente avessos ao risco, de tal modo que δ → ∞. A formula¸cão do portfólio ótimo de m´ınima variância é dada por

min wt wtΣrt|t−1wt sujeito a w_t0ι = 1. (17)

Como no caso anterior, é adicionada à equa¸cão (17) uma restri¸cão para evitar pesos negativos, ou seja, wt≥ 0. Em ambos os casos, os pesos ótimos do portfólio de média-variância e do portfólio de m´ınima variância com restri¸cão para vendas a descoberto são obtidos através de métodos de otimiza¸cão numérica.

4.1. Dados e detalhes da implementa¸c˜ao

A base de dados utilizada consiste nas séries históricas das taxas diárias de fechamento de contratos de DI-futuro com maturidades fixas de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e 48 meses negociados na BM&FBovespa. O per´ıodo amostral se inicia em 03/01/2006 e vai até 30/12/2010 (T = 986 obseva-¸

cões). As primeiras 500 observa¸cões são usadas para estimar os parâmetros de todos os modelos segundo os

fun¸cões de variância do modelo GARCH são corretamente especificadas; ver Bollerslev & Wooldridge (1992).

(12)

procedimentos discutidos na Se¸cão 3. As últimas 486 observa¸cões são usadas para análise do desempenho fora-da-amostra.

Os contratos de DI-futuro são negociados diariamente para horizontes de maturidade distintas. Para se obter as séries das taxas zero-cupom com maturidades fixas, os dados observados foram interpolados através do método cubic splines proposto originalmente por McCulloch (1971, 1975).10 A Tabela 1 resume algumas estat´ısticas descritivas da curva de juros para o per´ıodo. Alguns fatos estilizados comuns a dados de curvas de juros estão claramente presentes. Primeiro, a curva média da amostra é positivamente inclinada e côncava. Segundo, a volatilidade é decrescente com a maturidade e as autocorrela¸cões são altas. Outro ponto a destacar ´

e que mesmo se tratando de um per´ıodo amostral não muito longo percebe-se ampla varia¸cão entre as taxas m´ınimas e máximas para todas as maturidades, refletindo mais diretamente o comportamento da pol´ıtica monetária no per´ıodo. As três últimas colunas trazem as autocorrela¸cões com defasagens de 1, 5 e 21 dias ´

uteis, observa-se também que as taxas de juros para maturidades mais curtas exibem maior persistência para os três n´ıveis de defasagens analisados.

Tabela 1: Estat´ısticas descritivas da curva de juros

A Tabela reporta estat´ısticas descritivas das taxas de juros di´arias para diferentes maturidades. A trˆes ´

ultimas colunas contém autocorrela¸cões com defasagem de um dia, uma semana e um mês, respectivamente. O per´ıodo amostral vai de Jan. 2006 até Dez. 2010.

Maturidade τ Média Desvio padrão M´ınimo Máximo Assimetria Curtose ρ(1)_b ρ(5)_b ρ(21)_b

Meses 3 10.82 1.65 8.58 14.34 0.220 2.006 0.999 0.997 0.969 6 10.88 1.67 8.59 14.52 0.264 2.071 0.999 0.997 0.968 9 10.94 1.69 8.58 14.69 0.306 2.132 0.999 0.996 0.967 12 11.09 1.72 8.61 15.32 0.386 2.241 0.999 0.995 0.961 15 11.34 1.73 8.73 16.04 0.495 2.373 0.998 0.992 0.950 18 11.60 1.72 8.99 16.40 0.572 2.461 0.998 0.989 0.938 21 11.85 1.68 9.35 16.92 0.655 2.565 0.997 0.986 0.925 24 12.04 1.61 9.55 17.12 0.718 2.659 0.996 0.982 0.911 27 12.21 1.55 9.79 17.26 0.805 2.815 0.995 0.979 0.894 30 12.33 1.49 10.06 17.44 0.912 3.026 0.995 0.975 0.877 33 12.43 1.45 10.27 17.62 1.005 3.290 0.994 0.972 0.859 36 12.50 1.41 10.42 17.78 1.085 3.586 0.993 0.968 0.843 42 12.60 1.32 10.71 17.83 1.281 4.180 0.992 0.961 0.814 48 12.68 1.24 11.09 17.93 1.465 4.910 0.990 0.955 0.788

A figura 1 mostra o gráfico das séries temporais para o conjunto de maturidades empregadas e ilustra como o n´ıvel da curva de juros e o spread variam substancialmente ao longo do per´ıodo amostral. Por exemplo, o último ano da amostra é caracterizado por eleva¸cão das taxas de juros, principalmente para as maturidades mais curtas, que respondem mais diretamente à pol´ıtica de eleva¸cão de juros implementada pelo Banco Central no primeiro semestre de 2010. Nota-se também que não apenas o n´ıvel da curva de juros flutua ao longo do tempo, mas também a inclina¸cão e curvatura. A curvatura assume vários formatos, desde formas suaves a invertidas, tipo S.

(13)

Figura 1: Dinˆamica da Estrutura a Termo ao Longo do Tempo:

Nota: Este gráfico detalha a evolu¸cão da estutura a termo da taxa de juros (Base de Dados de Futuros de DI) para o horizonte de tempo de 2006:01-2010:12. A amostra é composta de dados diários para as maturidades de 1, 3, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 30, 36, 42 e 48 meses.

4.2. Metodologia para avalia¸c˜ao do desempenho

O desempenho dos portfólios ótimos de média-variância e m´ınima variância é avaliado em termos de re-torno médio (ˆµ), excesso de retorno médio em rela¸cão à taxa livre de risco11_(ˆ_µ

ex), desvio padr˜ao (volatilidade) dos retornos (_bσ), ´ındice de Sharpe (IS) e turnover. Estas estat´ısticas s˜ao calculadas como segue:

ˆ µ = 1 T − 1 T −1 X t=1 w0_tRt+1 ˆ µex= 1 T − 1 T −1 X t=τ (w0tRt+1− CDIt+1) ˆ σ = v u u t 1 T − 1 T −1 X t=1 (w0 tRt+1− ˆµ)2 IS = µˆex ˆ σ Turnover = 1 T − 1 T −1 X t=1 N X j=1 (|wj,t+1− wj,t|),

(14)

onde wj,té o peso do ativo j no portfólio no per´ıodo t, mas antes do rebanceamento e wj,t+1é o peso desejado do do ativo j no per´ıodo t + 1. Como destacado por DeMiguel et al. (2009b), o turnover, como definido acima, pode ser interpretado como a fra¸cão média da riqueza transacionada em cada per´ıodo.

Assim como DeMiguel et al. (2009a), o bootstrap estacionário de Politis & Romano (1994) com B=1,000 reamostragens e tamanho de bloco b = 512 foi usado para testar a significância estat´ıstica das diferen¸cas entre as volatilidades e ´ındices de Sharpe dos portfólios ótimos em rela¸cão a uma estratégia benchmark. Os p-valores do teste foram obtidos usando a metodologia sugerida em Ledoit & Wolf (2008, Observa¸cão 3.2). 4.3. Índices benchmark

Para o mercado de renda fixa brasileiro, a disponibilidade de ´ındices de mercado compostos por carteiras de t´ıtulos é recente. Entretanto, nos últimos anos tem havido um aprimoramento com a divulga¸cão de diversos ´ındices constru´ıdos pela Associa¸cão Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiro e de Capitais (ANBIMA). A utiliza¸cão destes ´ındices como referência para a indústria de fundos de renda fixa no Brasil vem crescendo significativamente, sendo a sua utiliza¸cão cada vez mais difundida entre os participantes do mercado. Com o objetivo de atender às necessidades dos diversos tipos de investidores, existe um conjunto de ´ındices que representam a evolu¸cão, a pre¸cos de mercado, dos t´ıtulos públicos de acordo com seus respectivos indexadores. Dentre os ´ındices desenvolvidos, pode-se destacar:

IRF-M: Composto por t´ıtulos prefixados (NTN-F e LTN) ;

IMA-B: Composto por t´ıtulos pós-fixados indexados ao IPCA (NTN-B); IMA-C: Composto por t´ıtulos pós-fixados indexados ao IGP-M (NTN-C) ; IMA-S: Composto por t´ıtulos pós-fixados indexados à taxa SELIC (LFT).

Levando-se em conta que a base de dados utilizada é composta por contratos de DI-futuro pré-fixados e de diversas maturidades (inferiores e superiores a 1 ano), optou-se por utilizar o ´ındice de renda fixa IRF-M amplo como benchmark, uma vez que este ´ındice também é composto por t´ıtulos pré-fixados e de diversas maturidades, tanto inferiores como superiores a 1 ano. Para mais informa¸cões sobre este e outros ´ındices de referência, ver ANBIMA (2011).

4.4. Resultados

Nesta se¸cão, os resultados dos portfólios ótimos de média-variância e m´ınima variância aplicados ao con-junto de taxas de juros zero-cupom com maturidades fixas são apresentados. Todos os resultados foram obtidos utilizando-se somente as observa¸cões pertencentes ao per´ıodo fora-da-amostra com base nos critérios de avalia¸cão de desempenho discutidos na se¸cão 4.2. Para avaliar a robustez dos resultados, foram considera-das várias especifica¸cões econométricas para modelar o vetor de retornos esperados e a matriz de covariâncias dos retornos dos ativos de renda fixa. Mais especificamente, consideramos duas especifica¸cões para o modelo fatorial (Nelson-Siegel e Svensson) e duas especifica¸cões para a dinâmica dos fatores: VAR(1) e AR(1). As

12_{Foram realizados extensivos testes de robustez para definir o tamanho do bloco, usando valores para b entre 5 e 250.}

Independente do tamanho do bloco, os resultados dos testes para a variˆancia e ´ındice de Sharpe s˜ao similares aos reportados aqui.

(15)

matrizes de covariâncias dos retornos foram obtidas utilizando a especifica¸cão DCC proposta na se¸cão 2.2. Alternativamente, matrizes de covariâncias incondicionais com base nos res´ıduos dos modelos fatoriais e nos res´ıduos do modelo de transi¸cão dos fatores também são calculadas. Estas matrizes são re-estimadas usando uma janela móvel de 500 observa¸cões, o que permite algum tipo de varia¸cão nas estimativas ao longo do tempo.

As composi¸cões das carteiras otimizadas são recalculadas (rebalanceadas) com frequência diária. Entre-tanto, os custos de transa¸cão envolvidos nesta frequência de rebalanceamento podem prejudicar o desempenho das carteiras e dificultar sua implementa¸cão na prática. Dessa forma, o desempenho das carteiras otimizadas ´

e avaliado também para o caso de rebalanceamento com frequência semanal, mensal e trimestral. Um ponto potencialmente negativo ao adotar uma frequência menor de rebalanceamento é que as composi¸cões ótimas podem ficar desatualizadas.

As tabelas 2 e 3 trazem os resultados da avalia¸cão de desempenho das carteiras ótimas de média-variância e m´ınima variância, respectivamente. Além disso, a tabela 4 apresenta a avalia¸cão de desempenho dos ´ındices benchmark. As estat´ısticas de retorno médio, excesso de retorno médio, desvio padrão e ´ındice de Sharpe estão anualizadas. Os resultados da tabela 2 mostram que todas as especifica¸cões consideradas para o portfólio de média-variância superam o ´ındice de referência IRF-M em termos de retorno médio e excesso de retorno médio em todas as frequências de rebalanceamento. Por exemplo, a especifica¸cão Nelson-Siegel/AR/DCC com frequencia de rebalanceamento trimestral gera um retorno médio e um excesso de retorno médio de 21.2% e 11.8%, respectivamente, enquanto que o ´ındice benchmark gera 11.2% e 1.8% para estes indicadores. Entretanto, observamos que o desvio-padrão (risco) das carteiras de média-variância é estatisticamente maior ao obtido pelo ´ındice de referência em todos as especifica¸cões, uma vez que o desvio-padrão das carteiras otimizadas varia de 3% a 6%, enquanto o desvio padrão do ´ındice de referência é 1.6%. Porém, ao examinar o ´ındice de Sharpe das carteiras otimizadas observa-se que o desempenho ajustado ao risco dos portfólios de média-variância é estatisticamente superior ao obtido pelo ´ındice de referência na grande maioria das especifica¸cões. Por exemplo, a especifica¸cão Nelson-Siegel/AR/DCC com frequência de rebalanceamento trimestral gera um ´ındice de Sharpe de 2.3, enquanto o ´ındice de referência gera um ´ındice de Sharpe de 1.1. Observa-se também que, como esperado, o rebalanceamento trimestral gera turnover substancialmente menor em rela¸cão ao rebalanceamento diário.

A tabela 3 apresenta os resultados das carteiras obtidas pelo critério de variância m´ınima. Observa-se que em termos de retorno médio e excesso de retorno médio os resultados obtidos são inferiores aos do ´ındice de referência IRF-M. Entretanto, o desvio padrão das carteiras de m´ınima variância é substancialmente e estatisticamente menor que o obtido pelo ´ındice de referência. Ao longo de todas as especifica¸cões econo-métricas e ao longo de todas as frequências de rebalanceamento, o desvio padrão das carteiras de m´ınima variância varia de 0.2% a 0.4%, enquanto o ´ındice de referência apresenta desvio padrão de 1.6%. Como consequência, o retorno ajustado ao risco das carteiras de m´ınima variância medido pelo ´ındice de Sharpe ´

e estatisticamente maior que o do ´ındice de referência em todos os casos, pois varia de 2.1 a 3.4 enquanto o ´ındice de Sharpe do IRF-M é 1.1. Semelhante ao obtido com as carteiras de média-variância, observamos que o turnover das carteiras de média variância e m´ınima variância cai substancialmente a medida que a frequência de rebalanceamento das carteiras diminui. Uma análise comparativa do desempenho das carteiras de média-variância e m´ınima variância sugere que estas últimas geram ´ındices de Sharpe superiores e um desvio padrão substancialmente menor. Dessa forma, os resultados sugerem que, de fato, as carteiras de

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m´ınima variância cumprem seu propósito de gerar composi¸cões ótimas com menos risco em rela¸cão a outras carteiras otimizadas e também em rela¸cão ao ´ındice de referência.

Outro ponto que merece destaque refere-se ao desempenho comparativo das especifica¸cões para a matriz de covariâncias dos retornos. E poss´ıvel observar em todos os casos que o risco das carteiras de m´´ edia-variância e m´ınima variância obtido com o modelo incondicional é sempre maior que o obtido com o modelo condicional dado pela especifica¸cão DCC. No caso das carteiras de média-variância, por exemplo, o desvio padrão das carteiras obtidas varia de 5% a 6.1% para o modelo incondicional e 2.5% a 4% para o modelo DCC. Este resultado sugere que a modelagem condicional da volatilidade traz ganhos substanciais em termos de redu¸cão do risco da carteira. Resultados da mesma natureza foram obtidos para as carteiras de m´ınima variância.

A figura 2 traz os retornos acumulados das carteiras otimizadas por média variância (gráfico superior) e

va-riância m´ınima (gráfico inferior) baseados nas especifica¸cões Nelson-Siegel/AR/DCC, Nelson-Siegel/AR/Incondicional, Svensson/AR/DCC e Svensson/AR/Incondicional considerando uma frequência de rebalanceamento

trimes-tral. Nota-se que, no caso das carteiras de média-variância, o diferencial de retorno em rela¸cão ao benchmark ´

e positivo em todo o per´ıodo analisado. Além disso, observa-se que o melhor desempenho em termos de retornos acumulados foi obtido utilizando-se a especifica¸cão incondicional para a matriz de covariâncias. Este resultado sugere que a abordagem incondicional gera carteiras otimizadas com um padrão risco-retorno di-ferente daquele obtido com a abordagem condicional, pois alcan¸ca um retorno maior e também um risco da carteira mais elevado, conforme observado anteriormente. Para as carteiras de m´ınima-variância, observa-se que as diferentes especifica¸cões obtiveram um desempenho semelhante (porém ligeiramente inferior) ao ´ın-dice de referência em termos de retorno acumulado. Entretanto, a inspe¸cão visual indica que, em todos os casos, as carteiras de m´ınima variância possuem uma variabilidade substancialmente inferior ao do ´ındice de referência.

Em resumo, os resultados reportados nas tabelas 2 e 3 indicam que a metodologia proposta para obter carteiras ótimas de média-variância e m´ınima variância com base nos estimadores propostos para o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariâncias dos retornos geram um desempenho fora da amostra superior ao do ´ındice de referência em vários aspectos. Primeiro, os retornos médio, em excesso e acumu-lado das carteiras de média-variância supera os obtidos pelo ´ındice benchmark em todas as especifica¸cões consideradas. Segundo, o desvio padrão das carteiras de m´ınima variância é substancialmente menor ao obtido pelo ´ındice de referência, de modo que o retorno ajustado ao risco das carteiras otimizadas torna-se estatisticamente superior. Além disso, os resultados mostraram-se robustos quanto a: i) o modelo fatorial utilizado para modelar a curva de juros, ii) a especifica¸cão econométrica para a transi¸cão dos fatores, iii) a especifica¸cão da matriz de covariâncias dos retornos e iv) a frequência de rebalanceamento das carteiras.

5. Considera¸c˜oes finais

A utiliza¸cão do paradigma média-variância introduzido por Markowitz (1952) para otimiza¸cão de carteiras de ativos de renda variável tem sido amplamente utilizada por participantes do mercado e documentada na literatura acadêmica especializada em sele¸cão de ativos. Entretanto, a utiliza¸cão desta metodologia para sele¸cão de ativos de renda fixa não recebe a devida aten¸cão na literatura acadêmica e nem entre os gestores. Com o intuito de suprir esta deficiência, o presente artigo adota a abordagem de média-variância para

(17)

Tabela 2: Desempenho fora-da-amostra dos portfólios ótimos de média-variância

A Tabela reporta estat´ısticas de desempenho para os portfólios ótimos de média-variância utilizando 14 contratos DI-futuro com maturidade constante de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e 48 me-ses negociados na BM&F. As carteiras ótimas são rebalanceadas com frequência diária, semanal, mensal e trimestral. As estat´ısticas de retornos, desvio-padrão e ´ındice de Sharpe estão anualizados. O excesso de retorno está calculado utilizando-se o CDI como ativo livre de risco. O aster´ısco indica que o coeficiente é estatisticamente diferente ao obtido pelo ´ındice benchmark IRF-M ao n´ıvel de significância de 10%.

Modelo Transi¸cão dos Matriz de Retorno Excesso de Desvio Índice de Turnover fatorial fatores Covariâncias médio (%) retorno médio (%) padrão (%) Sharpe

Rebalancemanto di´ario

Nelson-Siegel AR DCC 17.763 8.384 3.785∗ 2.214∗ 0.990 Nelson-Siegel VAR DCC 17.587 8.207 3.679∗ _2.230∗ _0.994

Nelson-Siegel AR Incondicional 23.079 13.707 5.663∗ 2.420∗ 0.970 Nelson-Siegel VAR Incondicional 23.076 13.703 5.663∗ 2.419∗ 0.970 Svensson AR DCC 15.340 5.960 3.128∗ _1.905∗ _1.277

Svensson VAR DCC 15.152 5.773 3.050∗ 1.892∗ 1.277 Svensson AR Incondicional 19.975 10.603 5.460∗ _1.941∗ _1.228

Svensson VAR Incondicional 19.965 10.593 5.460∗ 1.939∗ 1.228 Rebalancemanto semanal

Nelson-Siegel AR DCC 17.736 8.357 3.602∗ _2.319∗ _0.238

Nelson-Siegel VAR DCC 17.587 8.208 3.542∗ 2.316∗ 0.239 Nelson-Siegel AR Incondicional 22.044 12.672 5.439∗ _2.329∗ _0.221

Nelson-Siegel VAR Incondicional 22.044 12.672 5.439∗ 2.329∗ 0.221 Svensson AR DCC 15.186 5.807 2.698∗ 2.151∗ 0.298 Svensson VAR DCC 15.137 5.758 2.646∗ _2.175 _0.299

Svensson AR Incondicional 20.768 11.396 5.037∗ 2.262∗ 0.304 Svensson VAR Incondicional 20.752 11.380 5.035∗ 2.259∗ 0.304

Rebalancemanto mensal

Svensson VAR DCC 15.126 5.746 2.593∗ 2.215 0.073 Svensson AR Incondicional 20.784 11.412 5.067∗ _2.251∗ _0.072

Svensson VAR Incondicional 20.778 11.406 5.065∗ 2.251∗ 0.072 Rebalancemanto trimestral

Nelson-Siegel VAR Incondicional 23.842 14.470 5.980∗ 2.419∗ 0.025 Svensson AR DCC 16.304 6.924 2.928∗ 2.364∗ 0.028 Svensson VAR DCC 16.268 6.888 2.923∗ _2.356∗ _0.028

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Tabela 3: Desempenho fora-da-amostra dos portfólios ótimos de m´ınima variância

A Tabela reporta estat´ısticas de desempenho para os portfólios ótimos de m´ınima variância utilizando 14 contratos DI-futuro com maturidade constante de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42 e 48 me-ses negociados na BM&F. As carteiras ótimas são rebalanceadas com frequência diária, semanal, mensal e trimestral. As estat´ısticas de retornos, desvio-padrão e ´ındice de Sharpe estão anualizados. O excesso de retorno está calculado utilizando-se o CDI como ativo livre de risco. O asterisco indica que o coeficiente é estatisticamente diferente ao obtido pelo ´ındice benchmark IRF-M ao n´ıvel de significância de 10%.

Modelo Transi¸cão dos Matriz de Retorno Excesso de Desvio Índice de Turnover fatorial fatores Covariâncias médio (%) retorno médio (%) padrão (%) Sharpe

Rebalancemanto di´ario

Svensson VAR Incondicional 10.191 0.819 0.371∗ 2.202∗ 0.001 Rebalancemanto semanal

Rebalancemanto mensal

Svensson VAR Incondicional 10.191 0.819 0.371∗ 2.206∗ 0.001 Rebalancemanto trimestral

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Tabela 4: Desempenho das estrat´egias benchmark

A Tabela reporta estat´ısticas de desempenho para as carteiras utilizadas como benchmark. Os ´ındices IRF-M 1, IRF-1+ e IRF-M são formados por t´ıtulos de renda fixa pré-fixados, enquanto que os ´ındices IMA-B 5, IMA-B 5+ e IMA-B são formados por t´ıtulos pós-fixados. As estat´ısticas de retornos, desvio-padrão e ´ındice de Sharpe estão anualizados. O excesso de retorno está calculado utilizando-se o CDI como ativo livre de risco.

Retorno Excesso de Desvio ´Indice de

médio (%) retorno médio (%) padrão (%) Sharpe

IRF-M 1 10.288 0.909 0.391 2.324 IRF-M 1+ 11.971 2.592 2.835 0.914 IRF-M 11.205 1.826 1.655 1.103 IMA-B 5 12.705 3.326 1.603 2.075 IMA-B 5+ 18.925 9.546 5.386 1.772 IMA-B 15.658 6.278 3.269 1.920

otimiza¸cão de carteiras de t´ıtulos de renda fixa com base em modelos para estrutura a termo da curva de juros e em desenvolvimentos recentes para previsões da matriz de covariância dos yields.

Expressões em forma fechada para o vetor de retornos esperados e para a matriz de covariância dos retornos dos t´ıtulos baseando-se numa classe geral de modelos fatoriais dinâmicos e heterocedásticos são desenvolvidas e utilizadas para obter carteiras ótimas de média-variância e m´ınima variância contendo t´ıtulos de renda fixa. Em particular, considera-se a versão dinâmica do modelo fatorial de Nelson & Siegel (1987) proposta por Diebold & Li (2006) e o modelo de quatro fatores de Svensson (1994), aplicadas a uma base de dados diários de taxas de juros embutidas nos contratos de DI-futuro negociados na BM&F.

A abordagem proposta no artigo mostra que os modelos de fatores para a estrutura a termo da curva de juros permitem prever os retornos e covariâncias, simplificando o processo de otimiza¸cão de carteiras. Os resultados encontrados mostram que as carteiras de renda fixa otimizadas exibem perfis de risco-retorno bastante atrativos. Por exemplo, as carteiras obtidas pelo critério de média-variância apresentaram ´ındice de Sharpe anualizados entre 1.81 e 2.42, contra 1.10 do ´ındice de referência IRF-M. Na prática, um investidor arca com custos de transa¸cão quando altera a composi¸cão de seu portfólio ao longo do tempo e estes custos são determinados em grande medida em fun¸cão da frequência e magnitude das mudan¸cas no portfólio. Ape-sar dos custos de transa¸cão não serem levados em conta diretamente, calculamos o turnover das carteiras para cada parametriza¸cão considerada, o qual mostra haver estabilidade das composi¸cões ótimas estimadas, principalmente quando se considera o critério de rebalanceamento trimestral. Além disso, as diversas cartei-ras obtidas pelo critério de m´ınima variância apresentam desvio padrão entre 0.20 e 0.39, enquanto o ´ındice de referência (IRF-M) apresenta desvio padrão de 1.66, resultando em ´ındices de Sharpe significativamente superiores ao benchmark em todas as especifica¸cões consideradas. Por fim, todos os resultados mostraram-se extremamente robustos em rela¸cão ao modelo fatorial para a estrutura a termo utilizado; à especifica¸cão econométrica para a matriz de covariâncias e para a dinâmica dos fatores; e à frequência de rebalanceamento das carteiras otimizadas.

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