Elementos Finitos. Professor: Evandro Parente Jr. Período: 2009/1

Elementos Finitos

Professor: Evandro Parente Jr.

Período: 2009/1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL: ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL

INFORMAÇÕES GERAIS

Aulas: Segundas 8:00-9:30h

Quintas 10:00-12:00h

Sala 05 – Bloco 710

Professor: Evandro Parente Jr.

Sala 12 – Bloco 710

Tel: 3366-9607 Ramal 23

evandro@ufc.br

Site:

Objetivos da disciplina

„

Geral

„

Fornecer os conhecimentos necessários à

análise de

tensões

em sólidos e estruturas através do Método

dos Elementos Finitos (MEF).

„

Específicos

„

Apresentar a formulação do MEF para análise de

tensões.

„

Mostrar os problemas e limitações do MEF.

Aplicar o MEF à análise de problemas reais.

Conteúdo

„

Introdução ao MEF.

„

Trabalho Virtual e Energia Potencial.

Método da Rigidez Direta.

„

Barras e treliças.

„

Formulação do MEF para problemas 1D.

„

Funções de forma.

Integração numérica.

„

Formulação do MEF para problemas 2D/3D.

„

Formulação isoparamétrica.

„

Condições de convergência e “patch-test”.

Bibliografia

„

Básica

„

Notas de aula.

„

Cook, Malkus, Plesha & Witt (2002) – Concepts and

Applications of Finite Element Analysis, 4

_ed.

„

Complementar

„

Bathe (1996) – Finite Element Procedures.

Reddy (1993) – An Introduction to the Finite

Element Method.

„

Hughes (1987) – The Finite Element Method: Linear

Avaliação

„

Lista de exercícios (1/3).

„ A discussão entre os alunos é encorajada.

„ Trabalho individual, não se aceitando soluções idênticas. „ Não será aceita entrega fora do prazo.

„

Trabalho final (1/3):

„ Resumo do trabalho: 30/Abr/2009.

„ Relatório de andamento: 28/Mai/2009. „ Apresentação: 22/Jun/2009.

„

Provas escritas (1/3):

Análise de sistemas de engenharia

Problema físico

Modelo matemático

Ex: equação diferencial

Modelo numérico

Ex: Modelo de elementos finitos

Simplificações e

aproximações

Análise de sistemas de engenharia

„

A seleção do modelo matemático depende da

resposta a ser obtida. Exemplos:

„ Distribuição de temperatura. „ Campo de tensões.

„

Um bom modelo deve:

„ Considerar os aspectos essenciais do problema. „ Desprezar os fatores secundários.

„ Fornecer resultados próximos das respostas reais.

„

Se as previsões do modelo não estão de acordo com

as respostas reais é necessário refinar o modelo:

Análise de sistemas de engenharia

„

Modelos numéricos são aproximações dos modelos

matemáticos.

„

Um método numérico é confiável se ele converge

para a solução exata do modelo matemático.

„ Garantia de convergência com o refinamento. „ Velocidade de convergência.

„ Custo computacional envolvido.

„ Facilidade de implementação e utilização.

„

A solução numérica de um problema não pode ser

melhor do que o modelo matemático utilizado.

α

Discretização

Problema: Determinação do perímetro de um círculo.

l = 2Rsen(α/2)

α = 2π/n

L = n l = 2πR sen(α/2)

α/2

Dividindo em n partes:

Discretização

L

/L

log(L

/L

- 1)

Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.

A velocidade de convergência é boa ?

Projeto estrutural

„

Conceito

„

Definição de uma configuração estrutural capaz de

resistir às ações externas “transferindo” o efeitos

destas ações até os apoios.

„

Envolve a definição da geometria e materiais

utilizados.

Requesitos

„

Segurança (resistência + estabilidade).

Conforto e estética.

„

Durabilidade.

„

Economia (construção e manutenção).

Ações externas

„

Peso próprio e cargas de utilização (sobrecarga).

Ações ambientais:

„

Variação de temperatura.

„

Forças de vento, neve, correntes marinhas, ondas, ...

„

Expansão/retração dos materiais.

Protensão.

„

Deslocamentos prescritos:

„

Recalques de apoio.

Análise estrutural

„

Conceito:

„

Determinação das respostas mecânicas de uma

estrutura devido a ações externas.

„

Obs: a geometria e os materiais são conhecidos.

„

Respostas mecânicas:

„

Deslocamentos e deformações

Tensões e esforços internos.

„

Cargas e modos de flambagem.

„

Freqüências naturais e modos de vibração.

Carga de ruptura.

Importância dos métodos numéricos

„

A análise de estruturas envolve a solução de equações

diferenciais parciais.

„

Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em

casos especiais:

„ Geometria e condições de contorno simples. „ Certos tipos de carregamento.

„ Material homogêneo.

„

A solução de problemas reais requer a utilização de

métodos numéricos (aproximados):

„ Método das Diferenças Finitas.

„ Método dos Elementos Finitos. „ Método dos Elementos de Contorno.

Análise por elementos finitos

apoios

carregamento

nó

Geometria

Material

elemento

Malha

Análise por elementos finitos

„

Dividir o domínio do problema em regiões (elementos

finitos) de geometria simples:

„ Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,...

„ Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.

„

Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos:

„ Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...

„

Obter e resolver as equações de equilíbrio em função

dos deslocamentos nodais (graus de liberdade).

„

Calcular respostas no interior dos elementos:

Vantagens do MEF

„ Aplicação a qualquer problema de campo:

„ Tensões, transferência de calor, percolação, etc.

„ Não há restrição quanto a geometria do problema.

„ Não há restrições sobre o carregamento e as condições de

contorno do problema.

„ O material pode variar de elemento para elemento.

„ O modelo de elementos finitos parece com o corpo ou região a ser

analisada.

„ Um modelo pode incluir componentes com diferentes

comportamentos:

„ Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.

Exemplo de aplicação: estrutura de edifício

Contato pneu-pavimento

Modo de vibração de um copo

Fuselagem

Fuselagem

Cargas e apoios

Pontes

San Francisco Bay Bridge

http://www.adina.com/

Simulação de colisão

Trabalhos de anos anteriores

„

Bruno Barros –

Análise Estrutural da Fôrma de

um Pilar em Concreto Armado

.

„ Verificação dos Estados Limites

Último e de Utilização (deslocamentos excessivos) da forma de um pilar em Concreto Armado utilizando o MEF utilizando o programa ABAQUS/CAE.

„ Analisar a influência dos componentes

estruturais da fôrma de um pilar.

„

Projeto de norma 02:124.24-001:

Trabalhos de anos anteriores

„

Detalhe da estrutura

„ Seção de 35x120cm e altura de

concretagem de 2,36m.

„ A estrutura básica da fôrma:

„ Molde de compensado plastificado

de 18 mm.

„ Longarinas de madeira bruta

serrada.

„ Tirante metálico (parafuso).

„

Tipo de Análise:

„ Estática.

„

Condições de Apoio:

„ Deslocamento na base do pilar

restringido nas três direções.

Trabalhos de anos anteriores

„

Modelo de Analise

„ Carregamento (Empuxo do Concreto).

„ Velocidade de Concretagem: 7m/h. „ Consistência do Concreto: 82,6 kN/m².

„

Estado Limite Último (Tensão

Admissível).

„ Molde.

„ 55 MPa (paralelo às camadas).

„ 45 MPa (perpendicular às camadas).

„ Longarinas.

„ 37,8MPa (Compressão). „ 50,3MPa (Tração).

„ Tirantes: 290 MPa.

„

Estado Limite de Utilização

(Deslocamentos excessivos).

Trabalhos de anos anteriores

„

Três análises (Estado Limite de Utilização):

„ Molde e Longarina (δ = 7,753 mm).

Trabalhos de anos anteriores

„

Bruno Feijo –

Análise Estrutural de uma Torre de

Enerfia Eólica para Operação no Estado do Ceará.

„ Análise de uma torre de energia eólica pelo

Método dos Elementos Finitos.

„ Foi utilizado o programa ABAQUS para

modelar torres com diferentes secções.

„ Análise preliminar utilizando o FTOOL e o ABAQUS

para que pudessem ser feitas algumas verificações para validar o modelo.

„ Perfil circular cônico, com 45 m de altura,

diâmetro de base 3,00 m e no topo diâmetro aproximado de 1,42 m.

„ Material aço, com módulo de elasticidade (E)

Trabalhos de anos anteriores

„

Modelo de Elementos Finitos

„ Malha para os valores de 0.6, 0.4, 0.3 e 0.2 m. „ Engastado na base.

„ Carga distribuída no topo da torre de

50 kN (Peso da hélice + gerador).

„ Carga de vento estática (NBR 6123).

„ Modelo seccionado em sete partes:

Carregamentos atuantes Z (m) q (N/ m2₎ ≤ 5,00 421 < 10,00 478 < 15,00 518 < 20,00 538 < 30,00 580 < 40,00 741 < 50,00 635 Z (m) q (N/ m2₎ ≤ 5,00 421 < 10,00 478 < 15,00 518 < 20,00 538 < 30,00 580 < 40,00 741 < 50,00 635

Trabalhos de anos anteriores

Trabalhos de anos anteriores

„

Fábio Anderson –

Estabilidade de Placas Laminadas

.

(Artigo - Cilamce 2008)

„ Estudar o comportamento de placas laminadas quando

submetidas a carregamentos no plano;

„ Calcular as cargas críticas utilizando o Método dos Elementos

Finitos (MEF).

„ Compara a solução numérica obtida pelo MEF com solução de Esquema de laminação Placa laminada

Trabalhos de anos anteriores

„

Modelo de elementos finitos

Elemento (Q8) Carregamento biaxial h x y z h x y z Condição de Apoio: Simplesmente apoiada

Trabalhos de anos anteriores

Placa com laminação simétrica

cross-ply

(0/90)s

E₁/E₂ Analítica FEMOOP ABAQUS Erro FEMOOP Erro ABAQUS 25 7.124 7.070 7.074 -0.76% -0.70% 40 7.404 7.328 7.318 -1.03% -1.16% 25 3.562 3.542 3.537 -0.55% -0.69% 40 3.702 3.669 3.660 -0.89% -1.15% Compressão Uniaxial (k = 0) Compressão Biaxial (k = 1)

1º Modo de flambagem da placa para o carregamento uniaxial:

Trabalhos de anos anteriores

„

Paulo Filho –

Método dos Elementos Finitos em

Estruturas de Concreto: Revisão Bibliográfica e

Exemplo de Aplicação do Método

.

„ Verificação das tensões na região de furos que

atravessam vigas de concreto na direção de sua largura .

Trabalhos de anos anteriores

„

Modelagem da viga de concreto.

„ Verificação de um furo maior que o diâmetro mínimo

recomendado pela NBR 6118.

„ Dimensão do furo de no máximo 12 cm e

h

Apoios

Carregamento Malha

Trabalhos de anos anteriores

Distribuição das tensões σ_xx na viga .

Diagrama de tensões σ_xx na região do furo

Conclusão: As recomendações

da NBR 6118 foram confirmadas pelo modelo numérico.

Utilização do MEF

„

Análise preliminar:

„

Obter uma solução aproximada do problema.

Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise

experimental, análises anteriores, etc.

Análise por elementos finitos:

„

Pré-processamento:

„ Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ...

„ Geração de malha.

„

Análise numérica.

Pós-processamento:

„ Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,...

Utilização do MEF

„

Verificação dos resultados

„

Avaliação qualitativa:

„ A resposta “parece” certa ?

„ Deslocamentos (deformada). „ Tensões.

„ Existem erros grosseiros ?

„ O problema desejado foi resolvido ? Ou foi outro problema ?

„ O campo de deslocamentos satisfaz as condições de

contorno esperadas ?

Utilização do MEF

„

Verificação dos resultados (cont.)

„

Avaliação quantitativa

„ Comparar resultados de EF com as soluções preliminares.

„ Verificar se o nível de discretização é satisfatório:

„ Continuidade do campo de tensões. „ Estimadores de erros.

„

Revisão do modelo:

„

Eliminar os erros grosseiros

„ Dados de entrada (apoios, propriedades dos materiais,...)

„

Melhorar o modelo de elementos finitos.

Refinar a malha.

Utilização do MEF

Considerar o problema físico. Criar ou melhorar um modelo matemático.

Obter resultados aproximados para comparação com os resultados da análise pelo MEF.

Planejar a discretização do modelo matemático.

PRÉ-PROCESSAMENTO

ANÁLISE PELO MEF

PÓS-PROCESSAMENTO Os resultados estão livres de erros

grosseiros? Estão razoáveis do ponto de vista físico?

Qual é a falha? Compreensão física ou modelagem?

Os erros estão pequenos? Alterar a malha modificaria pouco os resultados? PARAR Discretizar mais a malha. Física INÍCIO EF SIM SIM NÃO

Utilização do MEF

„

Por que estudar a teoria do MEF ?

„

Existem programas comerciais utilizados a bastante

tempo.

„

Intensivamente testados: fabricantes e usuários.

Os programas atuais possuem interface amigável.

„ Sua utilização não requer grandes conhecimentos.

„

A obtenção de resultados confiáveis requer:

„

Conhecimento do comportamento estrutural:

„ Mecânica, resistência dos materiais, teoria das estruturas, ...

„

Conhecimento do MEF:

„ Comportamento dos elementos utilizados.

Modelos para análise de estruturas

Questões envolvidas:

Geometria.

Cinemática:

„

Comportamento dos materiais.

„ Relação tensão-deformação.

„

Carregamento.

„

Condições de contorno:

Modelos para análise de estruturas

„

Contínuos ou sólidos:

„

Barra (1D).

„

Estado Plano de Tensão.

„

Estado Plano de Deformação.

Sólido axissimétrico.

Sólido 3D.

Estruturais:

Vigas.

Pórticos.

Placas.

Cascas.

Tipos de análise

„

Estático x dinâmico

„ As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ? „ A estrutura é muito flexível ?

„ A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ? „ O comportamento do material é dependente do tempo ?

„

Linear x não-linear

„ Os deslocamentos/rotações são grandes ? „ Qual a magnitude das deformações ?

„ A região apoiada depende da deformação ?

„ A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ? „ O material sofre deformações permanentes ?

Tipos de análise

„

Acoplada (multi-física) x desacoplada

„

Termo-mecânico.

Solo-estrutura.

Fluido-estrutrura.

Piezoelétrico.

„

Estado da prática:

„

Depende do ramo de aplicação.

„

Engenharia civil:

estática, linear e desacoplada.

Análise dinâmica:

terremotos, edifícios altos,...

Análise não-linear:

problemas especiais.