• Nenhum resultado encontrado

Aula 7 - Planos e Direções Cristalográficas

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Aula 7 - Planos e Direções Cristalográficas"

Copied!
57
0
0

Texto

(1)

Pon

Pon

tos

tos

Direções

Direções

e

e

Planos

Planos

para

para

Sistema Cúbico

(2)

T

Trata-se de um rata-se de um esquema reticulado necessário paraesquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com especificar pontos num determinado "espaço" com

dimensões. dimensões.

Cartesiano 

Cartesiano  é um adjetivo que se refere ao  é um adjetivo que se refere ao matemáticomatemático

francês e filósofo

francês e filósofo DescartesDescartes que, entre outras coisas, que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria

euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas científicas como a

científicas como a geometriageometria analíticaanalítica, o, o cálculocálculo e a e a cartografia

cartografia..

O sistema de

(3)

T

Trata-se de um rata-se de um esquema reticulado necessário paraesquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com especificar pontos num determinado "espaço" com

dimensões. dimensões.

Cartesiano 

Cartesiano  é um adjetivo que se refere ao  é um adjetivo que se refere ao matemáticomatemático

francês e filósofo

francês e filósofo DescartesDescartes que, entre outras coisas, que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria

euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas científicas como a

científicas como a geometriageometria analíticaanalítica, o, o cálculocálculo e a e a cartografia

cartografia..

O sistema de

(4)

B (6,5) B (6,5) C (4,5; -3,5) C (4,5; -3,5) A (-5,3) A (-5,3) D D A A B B C C D (0,0) D (0,0) Determine as direções Determine as direções A, B, A, B, C e D.C e D.

(5)
(6)
(7)
(8)

Determine as posições:

A s p o s ições s ão representadas po r

núm eros inteiros o u n ão , sep arad o s

(9)

0, 0, 1 0, 0, 0 0, 1, 0 1, 0, 0 1, 0, 1 0, 1, 1 1, 1, 1 1,1,0

x, y, z

6

½, ½, ½

2

(10)

½, ½, ½ 0, 0, 0 0, 1, 0 0, 1, 1 1, 1, 1

½, ½, 1

½, 1, ½

½, 0, ½

½, ½,0

½, ½, ½

I II III IV V

(11)

Exercício

Para a célula unitária mostrada na figura (a), localize os pontos que possuem coordenadas ¼ 1 ½.

q a  = ¼(0,48 nm) = 0,12 nm Eixo X – ponto N rb  = 1(0,46 nm) = 0,46 nm Paralelamente ao eixo Y – ponto O s c  = ½(0,40 nm) = 0,20 nm Paralelamente ao eixo Z – ponto P. N O P (¼ 1 ½) 0,46 nm 0,20 nm

(12)
(13)

Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois pontos, ou um vetor , com seu ponto inicial na origem de um sistema cartesiano

de referência e seu ponto final em uma posição qualquer, dependendo da direção considerada.

(14)

Direções nos Cristais

a, b e c definem os eixos de um sistema de coordenadas

em 3D. Qualquer linha (ou direção) do sistema de

coordenadas pode ser

especificada através de dois pontos: um deles sempre é

tomado como sendo a origem do sistema de coordenadas, geralmente

(15)

A posição de um ponto do espaço é descrita

fornecendo-se sua

localização relativa a três eixos coordenados

perpendiculares entre si, que se interceptam na

origem O.

(16)

Dizemos que um ponto P do espaço tem coordenadas retangulares (ou cartesianas) x, y, z.

(17)

Se P= (x,y,z) é um ponto qualquer do espaço, o vetor posição:

pode ser escrito na forma: e os números x, y e z chamam-se respectivamente, componentes i, j e k.

OP

R

zk

yj

xi

R

  

Direções Cristalográficas

(18)

1 2 2 1

P

R

R

P

 

x

i

y

 j

z

k

x

i

y

 j

z

k

P

P

1 2222111

x

x

 

i

y

y

 

 j

z

z

k

P

P

1 2212121

Se P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2) são dois pontos quaisquer do espaço, a distância entre eles é o

comprimento do vetor de P1 a P2.

2 1P

P

(19)
(20)

Para descrever a

estrutura cristalina é

necessário escolher

uma notação para

posições, direções e

planos.

Posições são

definidas dentro de um cubo com lado

unitário.

(21)
(22)
(23)

São representadas

entre colchetes;

Direções nos Cristais

Determine os pontos da Origem;

Determine os pontos da Extremidade; Subtraia a Extremidade da Origem; Reduza a números inteiros;

(24)

São representadas

entre colchetes;

Se a subtração der

negativa, coloca-se

uma barra sobre o

número.

(25)

São representadas

entre colchetes;

Quando passa pela

origem.

(26)

São representadas

entre colchetes;

Os números devem ser divididos ou

multiplicados por um fator comum para dar

números inteiros.

(27)

26

<110>

<100>

<111>

A simetria da estrutura cúbica permite que as

direções equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de direções:

Direções para o Sistema Cúbico

<100> para as faces;

<110> para as diagonais das faces; <111> para a diagonal do cubo.

(28)

No sistema CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do

cubo, que corresponde a família de direções <111>. Então, a direção <111> é a de maior empacotamento atômico para o sistema CCC.

(29)

No sistema CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da

face, que corresponde a família de direções <110> Então, a direção <110> é a de maior empacotamento atômico para o sistema CFC.

(30)

 A adoção de um sistema de eixos permite a localização de átomos na rede bem como a identificação de direções e planos cristalinos.

Coordenadas Cristalinas

Coordenadas de um átomo em uma Rede Cúbica Simples

 As coordenadas do átomo

vermelho são (a,a,0);

Podem ser escritas em termos

dos parâmetros de rede como (1,1,0);

(31)

Devido à regularidade da estrutura cristalina formam-se colunas de átomos. Estas colunas atômicas podem ser identificadas por sua direção.

Coluna de átomos na direção [010].

(32)

Certos processos físicos envolvem a interação entre os átomos dispostos segundo certas direções. Por exemplo, um feixe de luz sendo transmitido através de

uma estrutura cristalina. O feixe percorre a estrutura em uma dada direção e interage com os átomos. Uma

tração agindo em certa direção em uma estrutura cristalina tende a afastar os átomos naquela direção.

 A distância entre os átomos destas colunas depende do tipo de rede e

(33)

 As diferentes distâncias interatômicas das diferentes direções resultam em diferentes respostas do material ao estímulo externo. Certas propriedades dependem das direções cristalinas em que são medidas, como o

índice de refração e o módulo de elasticidade. A dependência que as propriedades exibem com a direção cristalina em que são medidas dá-se o nome

de anisotropia.

Uma direção cristalina é identificada por três índices entre colchetes [u,v,w]. Estes índices representam um

vetor.

(34)

 As coordenadas são

determinadas [a,a,a/2];

 Os parâmetros de rede são

descartados [1,1,1/2];

 Os índices são multiplicados

por um fator que os transforme no conjunto de menores

inteiros possíveis;

 As vírgulas são retiradas [221];  Caso algum índice for negativo

uma barra é colocada sobre o respectivo índice [201];

(35)

Existem direções cristalinas consideradas equivalentes porque as colunas de átomos formadas naquelas

direções são semelhantes, ou seja, os tipos de

átomos, a densidade de átomos e a distância entre os átomos daquelas direções são iguais.

 As direções cristalinas formam uma família de

direções, que são representadas pelos índices de uma das direções equivalentes entre os sinais < > .

Por exemplo, as direções [100], [010] e [001] são equivalentes para o sistema cúbico.

Tem-se a família <100>.

(36)

 A regularidade da estrutura cristalina também forma planos de átomos. Estes planos são representados por índices, denominados

índices de Miller 

.

Planos Cristalinos

 A distância entre planos

cristalinos é conforme o tipo de rede e a direção perpendicular

ao plano cristalino.

(37)

 A clivagem de certos minerais ocorre em determinados planos atômicos. A supercondutividade elétrica de

certas fases cristalina existe em certos planos cristalinos.

São os planos cristalinos que emitem os sinais na técnica de difração de Raios X, largamente empregada

na investigação de materiais.

 A plasticidade dos metais está relacionada ao

movimento de defeitos cristalinos, as discordâncias, em planos cristalinos preferenciais. Isto justifica o

estudo dos planos cristalinos.

(38)

Índices de Miller  são uma notação utilizada em cristalografia para definir famílias de planos em uma

Rede de Bravais.

Isto é feito indicando-se as coordenadas de um vetor no espaço recíproco, que é normal à família de planos.

Em três dimensões, os índices de Miller são

representados pela tripla entre parênteses (hkl), onde h,k e l são inteiros com maior divisor comum igual a 1.

Se algum dos inteiros é negativo, a convenção é escrever o número com uma barra em cima.

(39)

  As coordenadas dos pontos

em que o plano intercepta cada eixo de coordenadas são determinadas: (a/2, 0,0), (0,a/2,0), (0,0,a/2).

 Os índices são multiplicados

por um fator que os

transforme no conjunto de menores inteiros possíveis: (1,1,1,).

  As vírgulas são

retiradas(111);

 Caso algum índice for

negativo o sinal é colocado sobre o respectivo índice;

(40)

Quando o plano é paralelo a um eixo de coordenadas, seu ponto de interseção com o

eixo correspondente é o infinito. Logo, o índice de

Miller correspondente é zero.

(41)

  As coordenadas dos pontos

em que o plano corta cada eixo de coordenadas são determinadas: (a, 0,0), (0,a,0) e é paralelo a Z.

 Os parâmetros de rede são descartados (11∞);

 Os índices são multiplicados

por um fator que os

transforme no conjunto de menores inteiros possíveis: (1,1,0).

  As vírgulas são retiradas

(110);

(42)

Planos paralelos possuem os mesmos índices de Miller. Estes planos são equivalentes.

Um plano é equivalente a outro quando a configuração espacial dos átomos nestes planos é igual, ou seja o

arranjo dos átomos e as distâncias entre eles são iguais.

Planos equivalentes formam uma família de planos equivalente, que é representada pelos índices de um

dos planos da família entre chaves, {120}.

No sistema cúbico, os planos (100), (010) e (001) pertencem à família {100}.

(43)

Quando o plano passa pela origem, o procedimento usado anteriormente deve ser modificado, pois a operação de inversão das coordenadas divergiria.  A solução para isso é trabalhar com um plano paralelo

que não passa pela origem.

Como dito, eles são equivalentes e possuem os mesmos índices.

(44)

 O plano A passa pela

origem do sistema de coordenadas. Para

determinar seus índices de Miller o plano paralelo B deve ser usado.

 Este plano corta o eixo Z

nas coordenadas

(0,0,a/2). É paralelo ao eixo Y. Corta o eixo X em (-a,0,0).

 Usando o procedimento já

descrito os índices são determinados (102).

(45)

Para a determinação da estrutura cristalina

Os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do reticulado de um cristal. Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal.

Planos Cristalinos - Por quê são

importantes?

(46)

 Para a deformação plástica

 A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de planos direções específicos do cristal.

Planos Cristalinos - Por quê são

importantes?

Regime de deformação em que ocorre mudança dimensional permanente decorrente do deslocamento de átomos ou moléculas para novas posições no reticulado. Os cristais deformados plasticamente possuem mais energia que

os não-deformados, pois tiveram suas discordâncias, lacunas e outras imperfeições  aumentadas.

(47)

 Para as propriedades de transporte

Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte de elétrons e/ou acelera a condução nestes planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes destes.

Planos Cristalinos - Por quê são

importantes?

(48)

Supercondutores a base de  YBa2Cu3O7

Alguns planos contêm

somente Cu e O. Estes planos conduzem pares de elétrons (chamados pares de cobre) que são os responsáveis pela

supercondutividade. Estes supercondutores são

eletricamente isolantes em direções perpendiculares as dos planos Cu-O.

Planos Cristalinos - Por quê são

importantes?

(49)

 São representados de maneira similar às

direções.

 São representados pelos índices de Miller =

(hkl).

 Planos paralelos são equivalentes tendos os

mesmos índices.

(50)

Planos (010)

 São paralelos aos eixos x e z (paralelo à face)

 Cortam um eixo (neste exemplo: y em 1 e os

eixos x e z em )

 1/ , 1/1, 1/ = (010)

(51)

Planos (110)

 São paralelos ao eixo (z)

 Cortam dois eixos (x e y)

 1/ 1, 1/1, 1/ = (110)

(52)

Planos (111)

 Cortam os 3 eixos cristalográficos

 1/ 1 , 1/1, 1/ 1 = (111)

(53)

Quando as intercessões não são óbvias desloca-se o plano até obter as intercessões corretas

Planos Cristalinos

Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC-Rio.

(54)

Família de Planos {110}

(paralelo à um eixo)

(55)

Família de Planos {111}

Intercepta os 3 eixos

(56)

 A simetria do sistema cúbico faz com que a

família de planos tenham o mesmo

arranjamento e densidade.

 A deformação

em metais envolve o

deslizamento

de

planos

atômicos.

O

deslizamento ocorre mais facilmente nos

planos e direções de maior densidade

atômica.

(57)

A família de planos

{110} no sistema

CCC é o de maior

densidade atômica.

Planos de maior densidade atômica no

sistema CCC

Referências

Documentos relacionados

Os interessados em adquirir quaisquer dos animais inscritos nos páreos de claiming deverão comparecer à sala da Diretoria Geral de Turfe, localizada no 4º andar da Arquibancada

5.2 Importante, então, salientar que a Egrégia Comissão Disciplinar, por maioria, considerou pela aplicação de penalidade disciplinar em desfavor do supramencionado Chefe

Nessa sequência, percebemos, pelo tom avaliativo, certa necessidade de fixação de lugares identitários, de territórios de si, entre três grupos: o gaúcho dito nato, o cuiabano

Produção, em toneladas, de frutas no Semi-Árido da Bahia – 2000 a 2008 Balança Comercial do Agronegócio da Bahia, em US$ Demanda Final, Consumo das Famílias, Valor da

Agricultura Pecuária Extrativa Alimentos Fumageiro Têxteis Vestuário Calçados Madeira Celulose Revistas Petróleo Químicos Borracha Cimento Aço Metal Eletrodomésticos

A Lei nº 2/2007 de 15 de janeiro, na alínea c) do Artigo 10º e Artigo 15º consagram que constitui receita do Município o produto da cobrança das taxas

O objetivo deste trabalho foi avaliar épocas de colheita na produção de biomassa e no rendimento de óleo essencial de Piper aduncum L.. em Manaus

Na presente tese explorou-se o Relatório da CPI do Narcotráfico como fonte de dados principal. Através do método indutivo da “Grounded Theory”, pôde-se