Pon
Pon
tos
tos
Direções
Direções
e
e
Planos
Planos
para
para
Sistema Cúbico
T
Trata-se de um rata-se de um esquema reticulado necessário paraesquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com especificar pontos num determinado "espaço" com
dimensões. dimensões.
Cartesiano
Cartesiano é um adjetivo que se refere ao é um adjetivo que se refere ao matemáticomatemático
francês e filósofo
francês e filósofo DescartesDescartes que, entre outras coisas, que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria
euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas científicas como a
científicas como a geometriageometria analíticaanalítica, o, o cálculocálculo e a e a cartografia
cartografia..
O sistema de
T
Trata-se de um rata-se de um esquema reticulado necessário paraesquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com especificar pontos num determinado "espaço" com
dimensões. dimensões.
Cartesiano
Cartesiano é um adjetivo que se refere ao é um adjetivo que se refere ao matemáticomatemático
francês e filósofo
francês e filósofo DescartesDescartes que, entre outras coisas, que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria
euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de áreas científicas como a
científicas como a geometriageometria analíticaanalítica, o, o cálculocálculo e a e a cartografia
cartografia..
O sistema de
B (6,5) B (6,5) C (4,5; -3,5) C (4,5; -3,5) A (-5,3) A (-5,3) D D A A B B C C D (0,0) D (0,0) Determine as direções Determine as direções A, B, A, B, C e D.C e D.
Determine as posições:
A s p o s ições s ão representadas po r
núm eros inteiros o u n ão , sep arad o s
0, 0, 1 0, 0, 0 0, 1, 0 1, 0, 0 1, 0, 1 0, 1, 1 1, 1, 1 1,1,0
x, y, z
6½, ½, ½
2½, ½, ½ 0, 0, 0 0, 1, 0 0, 1, 1 1, 1, 1
½, ½, 1
½, 1, ½
½, 0, ½
½, ½,0
½, ½, ½
I II III IV VExercício
Para a célula unitária mostrada na figura (a), localize os pontos que possuem coordenadas ¼ 1 ½.
q a = ¼(0,48 nm) = 0,12 nm Eixo X – ponto N rb = 1(0,46 nm) = 0,46 nm Paralelamente ao eixo Y – ponto O s c = ½(0,40 nm) = 0,20 nm Paralelamente ao eixo Z – ponto P. N O P (¼ 1 ½) 0,46 nm 0,20 nm
Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois pontos, ou um vetor , com seu ponto inicial na origem de um sistema cartesiano
de referência e seu ponto final em uma posição qualquer, dependendo da direção considerada.
Direções nos Cristais
a, b e c definem os eixos de um sistema de coordenadas
em 3D. Qualquer linha (ou direção) do sistema de
coordenadas pode ser
especificada através de dois pontos: um deles sempre é
tomado como sendo a origem do sistema de coordenadas, geralmente
A posição de um ponto do espaço é descrita
fornecendo-se sua
localização relativa a três eixos coordenados
perpendiculares entre si, que se interceptam na
origem O.
Dizemos que um ponto P do espaço tem coordenadas retangulares (ou cartesianas) x, y, z.
Se P= (x,y,z) é um ponto qualquer do espaço, o vetor posição:
pode ser escrito na forma: e os números x, y e z chamam-se respectivamente, componentes i, j e k.
OP
R
zk
yj
xi
R
Direções Cristalográficas
1 2 2 1
P
R
R
P
x
i
y
j
z
k
x
i
y
j
z
k
P
P
1 2 2 2 2 1 1 1
x
x
i
y
y
j
z
z
k
P
P
1 2 2 1 2 1 2 1Se P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2) são dois pontos quaisquer do espaço, a distância entre eles é o
comprimento do vetor de P1 a P2.
2 1P
P
Para descrever a
estrutura cristalina é
necessário escolher
uma notação para
posições, direções e
planos.
Posições são
definidas dentro de um cubo com lado
unitário.
São representadas
entre colchetes;
Direções nos Cristais
Determine os pontos da Origem;
Determine os pontos da Extremidade; Subtraia a Extremidade da Origem; Reduza a números inteiros;
São representadas
entre colchetes;
Se a subtração der
negativa, coloca-se
uma barra sobre o
número.
São representadas
entre colchetes;
Quando passa pela
origem.
São representadas
entre colchetes;
Os números devem ser divididos ou
multiplicados por um fator comum para dar
números inteiros.
26
<110>
<100>
<111>
A simetria da estrutura cúbica permite que as
direções equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de direções:
Direções para o Sistema Cúbico
<100> para as faces;
<110> para as diagonais das faces; <111> para a diagonal do cubo.
No sistema CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do
cubo, que corresponde a família de direções <111>. Então, a direção <111> é a de maior empacotamento atômico para o sistema CCC.
No sistema CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da
face, que corresponde a família de direções <110> Então, a direção <110> é a de maior empacotamento atômico para o sistema CFC.
A adoção de um sistema de eixos permite a localização de átomos na rede bem como a identificação de direções e planos cristalinos.
Coordenadas Cristalinas
Coordenadas de um átomo em uma Rede Cúbica Simples
As coordenadas do átomo
vermelho são (a,a,0);
Podem ser escritas em termos
dos parâmetros de rede como (1,1,0);
Devido à regularidade da estrutura cristalina formam-se colunas de átomos. Estas colunas atômicas podem ser identificadas por sua direção.
Coluna de átomos na direção [010].
Certos processos físicos envolvem a interação entre os átomos dispostos segundo certas direções. Por exemplo, um feixe de luz sendo transmitido através de
uma estrutura cristalina. O feixe percorre a estrutura em uma dada direção e interage com os átomos. Uma
tração agindo em certa direção em uma estrutura cristalina tende a afastar os átomos naquela direção.
A distância entre os átomos destas colunas depende do tipo de rede e
As diferentes distâncias interatômicas das diferentes direções resultam em diferentes respostas do material ao estímulo externo. Certas propriedades dependem das direções cristalinas em que são medidas, como o
índice de refração e o módulo de elasticidade. A dependência que as propriedades exibem com a direção cristalina em que são medidas dá-se o nome
de anisotropia.
Uma direção cristalina é identificada por três índices entre colchetes [u,v,w]. Estes índices representam um
vetor.
As coordenadas são
determinadas [a,a,a/2];
Os parâmetros de rede são
descartados [1,1,1/2];
Os índices são multiplicados
por um fator que os transforme no conjunto de menores
inteiros possíveis;
As vírgulas são retiradas [221]; Caso algum índice for negativo
uma barra é colocada sobre o respectivo índice [201];
Existem direções cristalinas consideradas equivalentes porque as colunas de átomos formadas naquelas
direções são semelhantes, ou seja, os tipos de
átomos, a densidade de átomos e a distância entre os átomos daquelas direções são iguais.
As direções cristalinas formam uma família de
direções, que são representadas pelos índices de uma das direções equivalentes entre os sinais < > .
Por exemplo, as direções [100], [010] e [001] são equivalentes para o sistema cúbico.
Tem-se a família <100>.
A regularidade da estrutura cristalina também forma planos de átomos. Estes planos são representados por índices, denominados
índices de Miller
.Planos Cristalinos
A distância entre planos
cristalinos é conforme o tipo de rede e a direção perpendicular
ao plano cristalino.
A clivagem de certos minerais ocorre em determinados planos atômicos. A supercondutividade elétrica de
certas fases cristalina existe em certos planos cristalinos.
São os planos cristalinos que emitem os sinais na técnica de difração de Raios X, largamente empregada
na investigação de materiais.
A plasticidade dos metais está relacionada ao
movimento de defeitos cristalinos, as discordâncias, em planos cristalinos preferenciais. Isto justifica o
estudo dos planos cristalinos.
Índices de Miller são uma notação utilizada em cristalografia para definir famílias de planos em uma
Rede de Bravais.
Isto é feito indicando-se as coordenadas de um vetor no espaço recíproco, que é normal à família de planos.
Em três dimensões, os índices de Miller são
representados pela tripla entre parênteses (hkl), onde h,k e l são inteiros com maior divisor comum igual a 1.
Se algum dos inteiros é negativo, a convenção é escrever o número com uma barra em cima.
As coordenadas dos pontos
em que o plano intercepta cada eixo de coordenadas são determinadas: (a/2, 0,0), (0,a/2,0), (0,0,a/2).
Os índices são multiplicados
por um fator que os
transforme no conjunto de menores inteiros possíveis: (1,1,1,).
As vírgulas são
retiradas(111);
Caso algum índice for
negativo o sinal é colocado sobre o respectivo índice;
Quando o plano é paralelo a um eixo de coordenadas, seu ponto de interseção com o
eixo correspondente é o infinito. Logo, o índice de
Miller correspondente é zero.
As coordenadas dos pontos
em que o plano corta cada eixo de coordenadas são determinadas: (a, 0,0), (0,a,0) e é paralelo a Z.
Os parâmetros de rede são descartados (11∞);
Os índices são multiplicados
por um fator que os
transforme no conjunto de menores inteiros possíveis: (1,1,0).
As vírgulas são retiradas
(110);
Planos paralelos possuem os mesmos índices de Miller. Estes planos são equivalentes.
Um plano é equivalente a outro quando a configuração espacial dos átomos nestes planos é igual, ou seja o
arranjo dos átomos e as distâncias entre eles são iguais.
Planos equivalentes formam uma família de planos equivalente, que é representada pelos índices de um
dos planos da família entre chaves, {120}.
No sistema cúbico, os planos (100), (010) e (001) pertencem à família {100}.
Quando o plano passa pela origem, o procedimento usado anteriormente deve ser modificado, pois a operação de inversão das coordenadas divergiria. A solução para isso é trabalhar com um plano paralelo
que não passa pela origem.
Como dito, eles são equivalentes e possuem os mesmos índices.
O plano A passa pela
origem do sistema de coordenadas. Para
determinar seus índices de Miller o plano paralelo B deve ser usado.
Este plano corta o eixo Z
nas coordenadas
(0,0,a/2). É paralelo ao eixo Y. Corta o eixo X em (-a,0,0).
Usando o procedimento já
descrito os índices são determinados (102).
Para a determinação da estrutura cristalina
Os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do reticulado de um cristal. Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal.
Planos Cristalinos - Por quê são
importantes?
Para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de planos direções específicos do cristal.
Planos Cristalinos - Por quê são
importantes?
Regime de deformação em que ocorre mudança dimensional permanente decorrente do deslocamento de átomos ou moléculas para novas posições no reticulado. Os cristais deformados plasticamente possuem mais energia que
os não-deformados, pois tiveram suas discordâncias, lacunas e outras imperfeições aumentadas.
Para as propriedades de transporte
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte de elétrons e/ou acelera a condução nestes planos, e, relativamente, reduz a velocidade em planos distantes destes.
Planos Cristalinos - Por quê são
importantes?
Supercondutores a base de YBa2Cu3O7
Alguns planos contêm
somente Cu e O. Estes planos conduzem pares de elétrons (chamados pares de cobre) que são os responsáveis pela
supercondutividade. Estes supercondutores são
eletricamente isolantes em direções perpendiculares as dos planos Cu-O.
Planos Cristalinos - Por quê são
importantes?
São representados de maneira similar às
direções.
São representados pelos índices de Miller =
(hkl).
Planos paralelos são equivalentes tendos os
mesmos índices.
Planos (010)
São paralelos aos eixos x e z (paralelo à face)
Cortam um eixo (neste exemplo: y em 1 e os
eixos x e z em )
1/ , 1/1, 1/ = (010)
Planos (110)
São paralelos ao eixo (z)
Cortam dois eixos (x e y)
1/ 1, 1/1, 1/ = (110)
Planos (111)
Cortam os 3 eixos cristalográficos
1/ 1 , 1/1, 1/ 1 = (111)
Quando as intercessões não são óbvias desloca-se o plano até obter as intercessões corretas
Planos Cristalinos
Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC-Rio.
Família de Planos {110}
(paralelo à um eixo)
Família de Planos {111}
Intercepta os 3 eixos
•
A simetria do sistema cúbico faz com que a
família de planos tenham o mesmo
arranjamento e densidade.
•