FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA

Média

As medidas de posição central buscam representar uma série de dados.

Por exemplo: Em média na Suiça cada pessoa come 9Kg de chocolate por ano. Sabe quanto no Brasil?

1,6Kg. Isso não quer dizer que todo suiço se jogue no chocolate. Com certeza tem pessoas que comem uns 20Kg e outros menos de 1Kg, mas na média o consumo, lá é de 9Kg.

Média: É calculada somando-se todos os valores de uma amostra e dividindo-se pelo número de elementos desta (amostra).

Mediana: É o valor que está ao centro da amostra.

Cafezinhos por dia

Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Fábio 5 𝑋 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 5 =₃ Média Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Bino 19 𝑋 ₌

5

= 5,8 Média 1 + 2 + 3 + 4 + 19 Moda = Inexistente

Mediana = 3 Moda = Inexistente Mediana = 3

Trazendo isso para o Mundo Financeiro...

Podemos calcular o retorno médio de um índice de ações (IBOVESPA) nos últimos 5 anos. Vamos usar a HP para isso:

Empresa

Retorno

Ano 1 7,4% Ano 2 -15,5% Ano 3 -2,9% Ano 4 -13,3% Ano 5 38,9%

Média = 2,9% aa

Mediana = -2,9% aa

Variância

A variância, também chamada de erro médio, mostra a dispersão dos valores da amostra ou população em relação a média.

Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Eduardo 5 Cafezinhos Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Pulga 19 Cafezinhos Média = 3 Mediana = 3 Média = 5,8 Mediana = 3

Variância

A variância, também chamada de erro médio, mostra a dispersão dos valores da amostra ou população em relação a média.

Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Eduardo 5 Cafezinhos Pessoa Quantos cafezinhos Wladimir 1 Laura 2 Lívia 3 Germano 4 Pulga 19 Cafezinhos Média = 5,8 Variância = 55,70 Desvio padrão = 7,46 Média = 3 Variância = 2,50 Desvio padrão = 1,58

Calculando a variância

Homem ou

mulher Cafezinhos Dif da média (Dif da média)^2

Wlad 1 -2,00 4,00 Laura 2 -1,00 1,00 Lívia 3 0,00 0,00 Germano 4 1,00 1,00 Eduardo 5 2,00 4,00 Total = 10,00

Desvio padrão

DP = 𝑉𝐴𝑅𝐼𝐴𝑁𝐶𝐼𝐴

DP POPULACIONAL

2

_{= 1,41}

DP AMOSTRAL

2,5

= 1,58

Calculando a variância

Homem ou

mulher Cafezinhos Dif da

média (Dif da média)^2

Wlad 1 -4,80 23,04 Laura 2 -3,80 14,44 Lívia 3 -2,80 7,84 Germano 4 -1,80 3,24 Pulga 19 13,20 174,24

Total = 222,80

228,80

5

= 44,56

VARIÂNCIA POPULACIONAL

4

222,80

= 55,70

VARIÂNCIA AMOSTRAL

Desvio padrão

DP = 𝑉𝐴𝑅𝐼𝐴𝑁𝐶𝐼𝐴

DP POPULACIONAL

44,56 = 6,68

DP AMOSTRAL

55,70

_{= 7,46}

De volta ao Mundo Financeiro

Vamos dar uma olhada no retorno mensal do Ibovespa nos últimos 6 meses. Vamos calcular a média e o desvio padrão desse retorno:

Mês

Retorno

IBOVESPA

1

7,38%

2

3,08%

3

-2,52%

4

0,64%

5

-4,12%

6

-1,65%

7,38

3,08

-2,52

0,64

-4,12

-1,65

aparece 1.00

aparece 2.00

aparece 3.00

aparece 4.00

aparece 5.00

aparece 6.00

Aparece 0,4683 A média é igual a 0,4683% Aparece 4,2212

O desvio padrão é igual a 4,2212%

Amostra x População

Nesse exercício buscamos a média e o desvio padrão da amostra, pois os últimos 6 meses são somente uma amostra da média histórica do Ibovespa. Então o que a HP está fazendo é calcular a variância amostral.

Como você calcularia a média se esses dados fossem de um fundo de investimento com 6 meses de existência?

De volta ao Mundo Financeiro

Vamos dar uma olhada no retorno mensal do Ibovespa nos últimos 6 meses. Vamos calcular a média e o desvio padrão desse retorno:

Mês Retorno Fundo 1 7,38% 2 3,08% 3 -2,52% 4 0,64% 5 -4,12% 6 -1,65%

7,38

3,08

-2,52

0,64

-4,12

-1,65

Aparece 0,4683 A média é igual a 0,4683%.

Agora vamos adicionar a média como o sétimo termo. Isso não altera a média. Clicando apenas na tecla:

Aparece 3,8534

O desvio padrão é igual a 3,8534%

Desvio padrão como medida de risco

Mês Retorno

Fundo 1 Retorno Fundo 2

1 1,00% 2,00% 2 -1,50% -3,00% 3 2,50% 5,00% 4 3,20% 6,40% 5 -2,00% -4,00% 6 1,00% 2,00% média 0,70% 1,40% desvio 2,09% 4,18% Rentabilidade observada: É a rentabilidade histórica e

normalmente se calcula a média e o desvio padrão dessa rentabilidade. Rentabilidade esperada:

É o que se espera para o futuro.

É comum se utilizar o que aconteceu no passado como base de previsão para o futuro.

Valores esperados

Uma forma de se estimar a média e o desvio padrão de um investimento, é projetar cenários com probabilidades.

Imagine a seguinte estimativa para o retorno de uma ação:

Evolução do PIB Probabilidade do cenário Retorno (R_i -R_e)2 P . (Ri - Re)2

Queda 50% 5% 0,20% 0,10%

Manutenção 40% 10% 0,00% 0,00%

Crescimento 10% 30% 4,20% 0,42%

Valores esperados

Evolução do PIB Probabilidade do cenário Retorno (Ri -Re)2 P . (Ri - Re)2

Queda 50% 5% 0,20% 0,10% Manutenção 40% 10% 0,00% 0,00% Crescimento 10% 30% 4,20% 0,42%

𝐸 𝑅

𝐸 𝑅

= 𝑅

1

. 𝑝

1

+ 𝑅

2

. 𝑝

2

+ 𝑅

3

. 𝑝

3

= 5% . 50% + 10% . 40% + 30% . 10% = 9,50%

Desvio padrão

Evolução do PIB Probabilidade_{do cenário} Retorno (Ri –E(R))2 P . (Ri - Re)2

Queda 50% 5% 0,20% 0,10%

Manutenção 40% 10% 0,00% 0,00% Crescimento 10% 30% 4,20% 0,42%

Medidas de associação entre 2 variáveis

Covariância mês Fundo A Fundo B 0 -1% -4% 1 0% 0% 2 1% 4% Média _{0% 0%} DP 1,0% 4,0% COVAR 0,040% CORREL +1

Covariância mês Fundo A Fundo B 0 -1% 2% 1 0% 0% 2 1% -2% Média _{0% 0%} DP 1,0% 2,0% COVAR -0,020% CORREL -1

Medidas de associação entre 2 variáveis

mês Fundo A FundoB 0 -1,00% 1,00% 1 1,50% 1,00% 2 2,00% 1,00% 3 -0,30% 1,02% 4 1,50% 0,99% 5 2,00% 0,97% 6 1,50% 1,00% 7 -1,40% 1,00% 8 1,00% 0,98% MÉDIA 0,8% 1,0% DP 1,3% 0,01% COV 0,000% CORREL 0

Medidas de associação entre 2 variáveis

Cálculo da Covariância

𝐶𝑜𝑣 (𝑋, 𝑌) =

σ

𝑘=0

𝑛

_{𝑋𝑖 − 𝑋 . (𝑌𝑖 − 𝑌)}

𝑛 − 1

mês Fundo A Fundo B Xi-X Yi-Y (Xi-X). (Yi-Y)

0 -1,00% 2,00% -1,00% 2,00% -0,02% 1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 2 1,00% -2,00% 1,00% -2,00% -0,02% MÉDIA 0,0% 0,0% DP 1,0% 2,0% COV -0,020% CORREL -1 -0,040% SOMA

A correlação depende da covariância entre dois ativos.

O legal da correlação é que a magnitude (o tamanho) do seu valor já nos permite interpretar o relacionamento entre duas variáveis.

Na covariância o sinal nos permitia entender a interação entre as variáveis, mas o número em si nos falava pouca coisa.

Correlação

Covariância e correlação

mês Fundo A Fundo B X_i-X Y_i-Y (X_i-X). (Y_i-Y)

0 -1,00% 2,00% -1,00% 2,00% -0,02% 1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 2 1,00% -2,00% 1,00% -2,00% -0,02% MÉDIA 0,0% 0,0% DP 1,0% 2,0% COV -0,020% CORREL -1 -0,040% SOMA

Calculando a correlação

𝑎 ,

𝑏

𝐶𝑂𝑉

_𝑎,𝑏

𝜌

=

𝜎

_𝑎

. 𝜎

_𝑏

0,02%

𝜌

_𝑎,𝑏

_{= 1%. 2% = −1}

Correlação: 1

Correlação: 0,88

Correlação: -1,00

Correlação: -0,88

Correlação: -0,12

Potencial de diversificação

Maior potencial de diversificação Menor potencial de diversificação

Correlação

-1

0

+1

Imagine dois ativos A e B.

Eles têm o seguinte desempenho nos últimos 4 meses:

Vamos ver que ao montar uma carteira com a combinação desses dois ativos, o retorno médio da carteira será uma

média do retorno dos ativos.

Mas...o desvio padrão da carteira, ou seja, dos ativos combinados vai ser menor que o desvio padrão de A e menor que o desvio padrão de B também! Mês Retorno A Retorno B 1 1,00% -0,50% 2 2,00% 3,00% 3 -1,00% 3,10% 4 3,00% -1,50% média 1,25% 1,03% desvio padrão 1,71% 2,37%

Fundamentos de Estatística Professor Felipe Gárran

Mês Retorno A Retorno B Wa = 50% Wb = 50% Retorno dacarteira 1 1,00% -0,50% 0,50% -0,25% 0,25% 2 2,00% 3,00% 1,00% 1,50% 2,50% 3 -1,00% 3,10% -0,50% 1,55% 1,05% 4 3,00% -1,50% 1,50% -0,75% 0,75% média 1,25% 1,03% desvio padrão 1,71% 2,37% covariância -0,02% correlação -0,59 média 1,14% desvio padrão 0,97%

Fundamentos de Estatística Professor Felipe Gárran

Potencial de diversificação

Retorno médio

Ativo A

1,03%

Carteira

1,14%

Ativo B

1,25%

Risco

Ativo A

1,71%

Carteira

0,97%

Ativo B

_2,37%

Como se faz essa mágica

𝑅

_𝑝

= 𝑊

_𝐴

. 𝑅

_𝐴

+ 𝑊

_𝐵.

𝑅

_𝐵

𝑅

_𝑝

= 0,5 . 1,25% + 0,5 . 1,03% = 1,14%

Como se faz essa mágica

𝜎

_𝑝

= 𝑊

2

𝜎

2

+ 𝑊

2

𝜎

2

+ 2 . 𝑊

𝐴

. 𝑊

𝐵

. 𝐶𝑂𝑉

𝐴𝐵

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵

𝜎

_𝑝

= 0,5

2

_{. 0,0171}

2

_+0,5

2

_{. 0,0237}

2

_{+2 . 0,5 . 0,5. 0,0002}

𝜎

_𝑝

= 0,97%

Como se faz essa mágica

𝜎

_𝑝

= 𝑊

2

𝜎

2

+ 𝑊

2

𝜎

2

+ 2 . 𝑊

𝐴

. 𝑊

𝐵

.𝐶𝑂𝑉

𝐴𝐵

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵

𝑎 ,

𝑏

𝐶𝑂𝑉

_𝑎,𝑏

𝜌

=

𝜎 . 𝜎

_𝑎

𝑏

𝑎 ,

𝑏

𝑎 ,

𝑏

𝐶𝑂𝑉

= 𝜌

. 𝜎

_𝑎

.𝜎

_𝑏

𝜎

_𝑝

= 𝑊

2

𝜎

2

+ 𝑊

2

𝜎

2

+ 2 . 𝑊

𝐴

. 𝑊

𝐵

. 𝜌

𝑎,𝑏

. 𝜎

𝑎

. 𝜎

𝑏

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵

Exemplo

O fundo A teve retorno médio de 1,8% ao mês nos últimos 6 meses com desvio padrão de 1,5% ao mês.

Já o fundo B obteve 2,2% de retorno médio com desvio padrão de 1,8% ao mês. Sabendo que o coeficiente de correlação entre os dois fundos é de 0,2, calcule o

retorno e desvio padrão de uma carteira formada por 75% do fundo A e 25% do fundo B.

Calculando o retorno da carteira

𝑅

_𝑝

= 𝑊

_𝐴

. 𝑅

_𝐴

+ 𝑊

_𝐵.

𝑅

_𝐵

𝑅

_𝑝

= 0,75 . 1,8% + 0,25 . 2,2% = 1,90%

Retorno médio

Fundo A

1,8%

Carteira

1,9%

Fundo B

2,2%

Como o desvio padrão da carteira

𝜎

_𝑝

= 𝑊

2

𝜎

2

+ 𝑊

2

𝜎

2

+ 2 . 𝑊

_𝐴

. 𝑊

_𝐵

. 𝐶𝑂𝑉

_𝐴𝐵

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵

𝜎

_𝑝

= 𝑊

2

𝜎

2

+ 𝑊

2

𝜎

2

+ 2 . 𝑊

_𝐴

. 𝑊

_𝐵

. 𝜌

_𝑎,𝑏

. 𝜎

_𝑎

. 𝜎

_𝑏

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵

𝜎

_𝑝

= 0,75

2

_{. 0,015}

2

_+0,25

2

_{. 0,018}

2

_{+2 . 0,75 . 0,25. 0,2 . 0,015 . 0,018}

𝜎

_𝑝

= 1,29%

Risco

Fundo A

1,5%

Carteira

1,29%

Fundo B

_1,8%

𝜎

_𝑝

= 𝑊

2

𝜎

2

+ 𝑊

2

𝜎

2

+ 2 . 𝑊

_𝐴

. 𝑊

_𝐵

. 𝜌

_𝑎,𝑏

. 𝜎

_𝑎

. 𝜎

_𝑏

𝐴 𝐴

𝐵 𝐵

𝜎

_𝑝

= 0,75

2

_{. 0,015}

2

_+0,25

2

_{. 0,018}

2

_{+2 . 0,75 . 0,25. 0 . 0,015 . 0,018}

𝜎

_𝑝

= 1,21%

Risco

Fundo A

1,5%

Carteira

1,21%

Fundo B

1,8%

0

Fundamentos de Estatística Professor Felipe Gárran

Inferência estatística

• O passado só é relevante porque nos dá informações para o futuro.

• Como vc contrata um pedreiro?

mês retorno 1 2,46% 2 2,65% 3 -0,87% 4 2,47% 5 -2,94% 6 0,09% 7 -2,79% 8 2,40% 9 2,72% 10 -0,69% 11 -2,79% 12 1,74% 13 0,70% 14 -0,56% 15 -3,13% 16 1,49% 17 -0,43% 18 2,36% 19 -1,52% 20 1,65% 21 1,06% 22 1,21% 23 -2,22% 24 -3,06%

A curva normal

É comum, em finanças, assumirmos que os retornos dos ativos têm distribuição normal.

Fundamentos de Estatística Professor Felipe Gárran

A curva Normal

A curva Normal

A curva Normal

A curva Normal

A curva Normal

Impacto do desvio padrão na forma da curva Normal

Exercício

Um fundo de investimento teve retorno médio de 1,5% ao mês e desvio padrão de 1,0%. Admitindo-se que os retornos sigam uma distribuição normal e essesparâmetros sejam

mantidos, com 95% de confiança, quais serão os limites de retorno desse fundo?

Resolução

Limite mínimo:

𝜇 − 1,96 . 𝜎

=1,5% − 1,96 . 1%

= −0,46%

Limite máximo:

𝜇 + 1,96 . 𝜎

=1,5% + 1,96 . 1%

= 3,46%

Resolução

Limite mínimo:

𝜇 − 1,96 . 𝜎

=1,5% − 1,96 . 1%

= −0,46%

Limite máximo:

𝜇 + 1,96 . 𝜎

=1,5% + 1,96 . 1%

= 3,46%

Intervalo de confiança Desvios-padrão 68% 1 90% 1,65 95% 1,96 99% 2,58