GRUPOS DE PERMUTAÇÕES E ALGUMAS DE PROPOSIÇÕES
Thiago Mariano Viana1, Marco Antônio Travasso2 & Antônio Carlos Tamarozzi3 1 Aluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; e‐mail: [email protected]; 2 Aluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; 3 Professor da UFMS, Departamentos de Ciências Exatas; RESUMO
As permutações de elementos de um determinado conjunto E, surgem em diversas situações dentro e fora da Matemática. Se visualizadas como aplicações entre elementos de E, formam um exemplo de estrutura de Grupo com repercussões de impacto para o desenvolvimento da Matemática, em particular da Álgebra Abstrata. Neste trabalho apresentamos um desenvolvimento introdutório da Teoria dos Grupos de Permutações de n elementos (Sn), visando demonstrar algumas proposições importantes, para o estudo dos mesmos. Foram exploradas as características do Sn quanto a sua construção e sua notação cíclica, o que facilita o estudo das propriedades das permutações e a obtenção do objetivo principal do trabalho que é o estudo da paridade das permutações e, em consequência, a criação do grupo alternado de permutações. Palavras‐chave: Grupo Simétrico, Teorema de Cayley, Grupos Alternados. INTRODUÇÃO
A Teoria dos Grupos começou a ser estudada, quando entre 1500 e 1515, o matemático italiano Scipione del Ferro (1456‐1526) descobriu que a equação cúbica era solúvel por radicais. E disso surgiu o desafio de determinar se todas as equações algébricas são solúveis por radicais. Os matemáticos desse período viram na Teoria dos grupos uma grande ferramenta para a solução desse problema. Então o matemático francês Evariste Galois (1811‐1832), usou grupos de permutações para esclarecer a questão de resolubilidade por radicais das equações de grau > 4.
Assim nesse trabalho, mostraremos como é estudado na Teoria dos Grupos, o conjunto de todas as bijeções de um conjunto nele mesmo, o chamado grupo das permutações. E que pode ser estabelecido entre um grupo qualquer finito e um conveniente subgrupo de permutações, um isomorfismo, tornando possível estudar até mesmo os grupos mais abstratos de difícil manipulação.
Também é visto a notação em r‐ciclos das permutações, o que facilita a demonstração de outras propriedades quanto à decomposição das permutações em ciclos e transposições, que nos leva a definição de permutações pares e o Grupo Alternado. A exploração dos Grupos de permutações e Alternados ocupa um interesse crucial para o desenvolvimento da Teoria dos Grupos e em consequência para toda a matemática.
METODOLOGIA
Ao longo do trabalho, foi considerada que a operação entre duas permutações é a operação de composição, no entanto, sem perda de generalidade, utilizaremos a notação multiplicativa. Assim sendo, dadas as permutações α e β, temos que: α β = α ○ β, enquanto α‐1 denota o simétrico de α. Para a notação de uma aplicação bijetora f sobre E {1,...,n} em que f(1) =i1, f(2) =i2, ... f(n) =in, utilizaremos a seguinte notação:
Ao longo do trabalho desenvolvemos a teoria inicial dos grupos de permutações e as ferramentas da Teoria dos Grupos necessária para a compreensão de algumas das proposições estudadas. Nossa linha de pesquisa segue os trabalhos desenvolvidos em [1] para a revisão da teoria elementar dos Grupos e Teorema de Cayley, [2], [3] para Grupos de permutações e a construção dos grupos alternados. RESULTADOS Na teoria dos grupos é chamada de permutação uma bijeção de um conjunto nele mesmo. Se E é um conjunto não vazio denotaremos por S(E) o conjunto de todas as permutações (bijeções) de E. A composição de aplicações é considerada uma operação sobre S(E). Pois a composição de duas bijeções também será uma bijeção, i.e. se f :E → E e g:E → E são bijeções, então g ○ f :E → E também é uma bijeção.
Temos nessa operação a propriedade associativa, pois f, g, e h,
h ○(g ○ f) = (h ○ g)○ f. Observemos também que iE: E → E , a aplicação identidade, que obviamente
é uma bijeção, é o elemento neutro, visto que (iE ○ f) (x) = iE (f(x)) =f(x), para todo x א E, que
Por fim, se f é uma permutação de E então f ‐1(aplicação inversa) também será, pois a inversa de uma bijeção também é uma bijeção, e esta será o elemento inverso de f para a composição de aplicações, visto que f ○ f ‐1= f ‐1 ○ f = iE.
Portanto (S(E), ○) é um grupo, o grupo das permutações sobre E. Esse grupo só é comutativo se a sua ordem for 1 ou 2. Se sua ordem for 1, então o grupo só terá a identidade que claramente comuta consigo mesma. Isto ocorre porque se o(S(E), ○)˃2 então E tem mais de 2 elementos, assim seja a, b e c elementos distintos e consideremos as permutações f e g de S(E) definidas por: f(a)=b, f(b) =a e f(x) =x qualquer que seja x ≠ a, b e g(a) =c, g(c) =a e g(x) =x qualquer que seja x ≠ a, b. Temos que f e g são permutações de E, pela forma como foram construídas. No entanto, (f ○ g) (a) = f(g(a)) = f(c) =c enquanto (g ○ f) (a) = g(f(a)) =g(b) =b O que mostra que f ○ g ≠ g ○ f, portanto S(E) não é comutativo.
Um caso particular importante de grupos de permutações, é aquele que
E= {1, 2, ..., n}, e n ≥ 1. E nesse caso a notação S(E) é simplificada por Sn, para indicar o conjunto das permutações sobre E. E o grupo (Sn, ○) tem o nome especial: grupo simétrico de grau n. Uma visualização simples com analise combinatória pode‐se mostrar que esse grupo tem ordem n!
Teorema de Cayley
O teorema de Cayley garante que todo grupo é isomorfo a um grupo de permutações conveniente, o que facilita a trabalhar com vários grupos por mais abstratos que eles sejam.
Definição: seja G um grupo. Para cada a א G, a aplicação:
δa:G → G
tal que δg(x) = ax para qualquer x א G, será chamada de translação à esquerda definida por
Proposição: Toda translação é uma bijeção, ou seja, é uma permutação dos elementos de
G.
Demonstração: Seja δa uma translação de G e suponhamos δa(x) = δa(y). Então ax=ay e, portanto, x=y, uma vez que todo elemento de um grupo é regular. Assim δa é injetora. Para
mostrar que é sobrejetora basta tomar um y א G, sempre será possível encontrar x א G, tal que
ax=y. E essa equação tem solução no grupo: o elemento a‐1y א G. Então δa é sobrejetora.
Assim notaremos por T(G) o conjunto das translações de G e como S(G) é o conjunto de
todas as permutações dos elementos de G, então temos que T(G) ؿS(G). ■
Proposição: (Teorema de Cayley) Se G é um grupo, a aplicação δ: G → T(G) que associa a cada elemento g a translação δg (isto é δ(g)= δg) é um isomorfismo de grupos.
Demonstração: Seja G um grupo e sejam as translações δg:G → G tal que
x հgx, para cada g א G. então a, b א G, δab= δa δb ֞ δa δb(x) = (δa ○ δb) (x), para qualquer
elemento x em G, mas δa δb(x) = (ab)x=a (bx) = a (δb(x)) = (δa ○ δb) (x). Portanto, a, b א G, δab= δa
δb.
δ: G → T(G) g հ δg: G → G x հ gx (i) É um Homomorfismo, pois a, b א G, δab= δa ○ δb (ii) É injetora, pois a, b א G, temos δ(a)= δ(b) ֜ δa=δb֜ δa (x) =δb(x), e então x א G, temos ax=bx ֜ a=b (iii) É sobrejetora, pois δgא S(G), g א G tal que δ(g) = δg. Logo δ é um isomorfismo. Portanto, G e S(G) são isomorfos. ■
Ciclos e notação cíclica
Definição: Sejam a1, a2, ..., ar א In= {1, 2, ..., n},n ≥ 2, inteiros distintos. Se σ א Sn é uma
permutação tal que σ(a1)= a2, σ(a2)= σ2(a1)= a3, σ(ar‐1)= σr‐1(a1)= ar, σ(ar) = σr(a1)= a1 e σ(x) =x, para
todo x א In ‐ {a1, a2, ..., ar}, assim chama‐se σ de ciclo de comprimento r e que {a1, a2, ..., ar} é o conjunto suporte de σ . Para permutações definidas dessa forma usaremos a notação (a1, a2, ..., ar). Se r= 2, então σ é chamado transposição. Exemplo: Consideremos em S5 a permutação: Como σ(1) = 4, σ(4) = 2, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(5) = 5, então σ é um ciclo de comprimento 3 cujo conjunto suporte é {1, 2, 4}. Portanto podemos escrever: σ = (1 4 2) Definição: seja α um r‐ciclo e β um s‐ciclo pertencentes a Sn. Os ciclos α e β disjuntos se nenhum elemento é movido ao mesmo tempo por ambos, ou seja,
x א {1, 2, ...,n}, α(x) =x e β(x) =x. Ou seja, ciclos cujos suportes são disjuntos.
Proposição: Dois ciclos disjuntos comutam.
Demonstração: Sejam α e β ciclos disjuntos de Sn, temos que:
α(a) ≠ a ֜ β(a) = a e β(a) ≠ a ֜ α(a) = a
1º caso Se β(x) =y, y ≠ x ֜ β(y) ≠ y e α(y) =y Então α (β(x)) = α (y) = y= β(x) = β(α (x)) = (β ○ α) (x) = β α(x) 2º caso Se α (x) =y, y ≠ x ֜ α (y) ≠ y, β (x) =x e β (y) =y Então α (β(x)) = α (x) = y= β(y) = β(α (x)) = (β ○ α) (x) = β α(x) 3º caso Se β(x) = x e α(x) = x Então α (β(x)) = α (x) = x= β(x) = β(α (x)) = (β ○ α) (x) = β α(x) Assim α β(x) = β α(x), x א {1, 2,..., n}. Portanto α β= β α. ■ Proposição: Seja σ א Sn uma permutação. Então σ pode ser escrita como um produto de ciclos disjuntos. E essa fatoração é única, a não ser pela ordem dos ciclos. Por se muito extensa a demonstração desta será omitida, mas pode ser vista em [1]. DISCUSSÃO
Obtemos assim o Sn, cuja continuidade dessa linha de trabalho no permite construir o grupo alternado An ferramenta usada por Galois na resolução de equações de grau > 4, e aqui apresentamos algumas das propriedades que foram estudadas.
Proposição: a) Todo Elemento de Sn é produto de transposições, isto é
Sn= < {transposições} >.
b) Sn= < (1 2), (1 3), ..., (1 n) >. c) Sn= < (1 2), (2 3), ..., (n‐1 n) >.
Demonstração: a) Temos que id= (1 2)(1 2) ∈ < {transposições} > como toda permutação é produto de ciclos disjuntos como vimos na proposição anterior, então basta mostrar que todo ciclo (a1, a2, ..., ar) é produto de transposições. E de fato, temos:
Seja α um r‐ciclo. Aplicaremos indução sobre r. Se r= 2 então α= (a1 a2) é uma transposição, enquanto que se r= n>2 , por hipótese de indução:
α= (a1 a2... an) = (a1 an)... (a1 a3) (a1 a2) Para r= n+1 temos:
α= (a1 a2... an an+1) = (a1 an+1) (a1 a2... an) = (a1 an+1) (a1 an)... (a1 a3) (a1 a2)
Assim, todo r‐ciclo (a1, a2, ..., ar) é produto de transposições, e portanto toda permutação é produto de transposições.
b) De a) temos apenas que mostrar que toda transposição (i j) ∈ < (1 2), (1 3), ..., (1 n) >, e de fato, temos que (i j) = (1 i) (1 j) (1 i), se 1, i e j são distintos.
c) Para todo inteiro i ≥ 2, temos (1 i+1)= (1 i) (i i+1) (1 i), logo o subgrupo < (1 2), (2 3), ..., (n‐1 n) > contem (1 i), para cada i= 2, ..., n. Assim pelo item b), este subgrupo é igual a Sn. ■ Exemplo: Seja σ ∈ S5, tal que: . Então pode ser escrito como: Produto de ciclos disjuntos: σ = (1 4 2) (3 5). Produtos de transposições: σ = (1 2) (1 4) (3 5). Produtos de transposições pertencentes a < (1 2), (1 3),..., (1 n) >. σ = (1 2) (1 4) (1 3) (1 5) (1 3). Produtos de transposições pertencentes a < (1 2), (2 3),..., (n‐1 n) >. σ = (2 3) (3 4) (2 3) (3 4) (2 3) (4 5) (2 3) (1 2) (3 4). Observações: 1) Um elemento α ∈ Sn pode se escrito como um produto de transposições disjuntas se e somente se sua ordem for igual a 2. Demonstração:(⇒) Seja α ∈ Sn um produto de transposições disjuntas então: α= α1 α1 ... αn⇒ o(α) =m.m.c.(o(α1), o(α1), ..., o(αn)) como o(αi) = 2, ∀ i= 1, 2, ..., n. Então o(α) = 2
(⇐) Seja α ∈ Sn, e o(α) = 2, como toda permutação é pode ser escrita como produto de ciclos disjuntos, então: α= α1 α2 ... αn. Sabendo que o(α) =m.m.c.(o(α1), o(α1), ..., o(αn)), temos
o(αi)|2, ∀ i= 1, 2, ..., n ⇒ o(αi) =1 ou o(αi) =2. Se o(αi) =1 ⇒ αi=id, enquanto que se o(αi) =2 ⇒ αi é transposição.
Assim se o(α) = 2, então α pode se escrito como transposições. ■
2) A decomposição de um elemento α ∈ Sn como produto de transposições não é única, mesmo se exigirmos um numero mínimo de transposições; por exemplo, (1 2 3) = (1 3) (1 2) = (2 3) (1 3). No entanto, a paridade do numero de transposições em uma decomposição é bem definida
3) Se α= τt ○ ...○ τ1= μu ○ ...○ μ1 são duas fatorações distintas de α como produto de transposições, então t ≡u mod 2.
Definição: um elemento α ∈ Sn é uma permutação par quando α se decompõe em um numero par de transposições, e é uma permutação impar quando α se decompõe em um numero impar de transposições.
Proposição: Seja An= {α ∈ Sn| α é uma permutação par}. Então An é um subgrupo de Sn de ordem n!/2 e índice 2 .
Demonstração: Seja ψ: Sn→{‐1,+1} a função definida por ψ(β) = 1 se β é par e ψ(β) = ‐1 se β é impar. É claro que a função ψ é um homomorfismo sobrejetor cujo núcleo é
exatamente o grupo alternado An. Assim An é um subgrupo de Sn.
Sejam r o numero de todas as permutações pares e s o numero de todas as permutações impares de Sn, que denotaremos respectivamente por σ1, σ2, ..., σr, e
φ1, φ2, ..., φs. multiplicando as permutações pares por uma transposição τ, obteremos as permutações:
τ ○ σ1, τ ○ σ2, ..., τ ○ σr
Como todo elemento de um grupo é regular, o numero desses também é r. Mas como é o produto de uma permutação impar (a transposição) por uma par, todos esses produtos são impares. Logo, r ≤ s.
Analogamente, se multiplicarmos as permutações impares por τ, obteremos as s permutações pares: τ ○ φ1, τ ○ φ2, ..., τ ○ φs Assim s ≤ r. De onde, r=s, e como r+s=n!, então o(An) = n!/2 e consequentemente (Sn:An) = 2. ■ CONCLUSÃO
Este trabalho de pesquisa possibilitou o contato com algumas aplicações dos grupos de permutações para estudo de outros grupos finitos, tomando por base o Teorema da Cayley, em que todo grupo finito pode ser isomorficamente imerso em um grupo de permutações. O grupo de permutações foi usado por Evariste Galois como ferramenta para determinar a possibilidade de resolver equações de grau ≥ 5, em termos de seus coeficientes, usando apenas adições, subtrações, multiplicações, divisões e radiciação.
Assim durante o desenvolvimento da pesquisa foi introduzido as proposições relacionadas aos grupos das permutações e aos seus subgrupos. Foi identificada sua classificação em n‐ciclo quanto a suas notações cíclicas e observado a decomposição em ciclos disjuntos e transposições. A decomposição em transposições nos auxilia na identificação das permutações pares e impares e, em consequência pode‐se obter o grupo alternado An, formado por todas as permutações pares de Sn. Desta forma, outra consequência importante do trabalho é apoderarmos de algumas das ferramentas usadas por Evariste Galois, no esclarecimento da questão de resolubilidade por radicais das equações de grau ≥ 5. REFERÊNCIAS [1]. DOMINGUES, HYGINO H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, São Paulo, Atual Editora LTDA, 1995. [2]. GARCIA, A.; LEAQUIM, I. Álgebra, um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, Impa, 1989. [3]. GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra, Rio de Janeiro, Impa, 1980.
