INSTITUTO DE FÍSICA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Relatividade Geral
Bernardo França de Aguiar
Rio de Janeiro - RJ Agosto, 2018
Bernardo França de Aguiar
Relatividade Geral
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Física da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Física.
Orientador:
Prof. Dr. Marco Moriconi
Rio de Janeiro - RJ Agosto, 2018
Ficha catalográfica automática - SDC/BIF Gerada com informações fornecidas pelo autor
Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155
D278r De aguiar, Bernardo França
Relatividade Geral / Bernardo França De aguiar ; Marco Moriconi, orientador. Niterói, 2018.
90 f. : il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2018.
1. Relatividade Geral. 2. Produção intelectual.I. Moriconi, Marco, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.
-“Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but that’s not why we do it.”
Richard Feynman
Não discuto com o destino, o que pintar eu assino Paulo Leminski
RESUMO
Nesta monografia é feito um estudo introdutório da teoria da Relatividade Geral,apresentando efeitos observáveis que a teoria prevê.
ABSTRACT
In this monograph is made an introductory study of the theory of General Relativity, pre-senting observable effects that the theory predicts.
LISTA DE FIGURAS
1 A linha sólida é o decaimento previsto pela relatividade e os pontos são os dados coletados. . . 56
2 Colapso gravitacional nas coordenadas de Eddington–Finkelstein [7], a superfície da estrela é representada pela linha sólida, note que um observador distante nunca vê a superfície da estrela cruzar o raio de Schwarzschild. . . 70
Sumário
Lista de Figuras viii
Introdução 1
I
Relatividade Geral
2
1 Os princípios físicos da Relatividade Geral 3
1.1 Princípio de Mach . . . 3
1.2 Princípio da Equivalência . . . 4
1.3 Princípio da Covariância Geral . . . 8
1.4 Sobre a geometria do espaço-tempo . . . 9
1.5 Desvio da geodésica . . . 12
1.6 Limite de campo fraco da equação da geodésica . . . 14
1.7 Consequências do Princípio da Equivalência . . . 15
2 Teoria de gravitação relativística 18 2.1 Equações de campo de Einstein . . . 19
2.2 Ação de Einstein-Hilbert . . . 25
3 Linearização da Equação de Einstein 29 3.1 As equações necessárias e o calibre de Lorentz . . . 29
3.3 A equação linearizada no vácuo e calibre transverso de traço nulo . . . 37
3.3.1 Interação com partículas teste . . . 40
3.3.2 No calibre transverso . . . 41
3.3.3 No referencial próprio do detector . . . 42
3.4 Emissão de ondas gravitacionais . . . 44
3.5 Aproximação de quadrupolo . . . 46
3.5.1 Ondas gravitacionais emitidas por massas oscilando . . . 49
3.5.2 Ondas gravitacionais emitidas por um sistema binário . . . 51
3.6 A energia da onda gravitacional . . . 53
3.7 Como detectar Ondas Gravitacionais . . . 55
4 Solução Schwarzschild 59 4.1 Medidas de tempo e distância, interpretações das coordenadas e da métrica. . . 62
4.1.1 Singularidades . . . 63
4.1.2 A métrica em coordenadas isotrópicas . . . 65
4.1.3 Buracos Negros . . . 66
4.2 Movimento de partículas com massa e fótons . . . 70
4.2.1 Avanço do Periélio em uma Teoria Escalar . . . 75
4.2.2 Avanço do Periélio De Mercúrio . . . 78
4.2.3 Deflexão da Luz . . . 79
Introdução
A teoria da relatividade geral é uma teoria geométrica da gravitação criada por Albert Einstein. Ela consiste em um conjunto de hipóteses que generaliza a relatividade especial e a lei da gravitação universal de Newton, fornecendo uma descrição da gravidade como uma propriedade geométrica do espaço-tempo. Em particular, a “curvatura do espaço-tempo” está diretamente relacionada à energia e ao momento de qualquer matéria e energia presente. Ela aponta para a existência de buracos negros,para a curvatura da luz em campos gravitacionais e para a existência de ondas gravitacionais.
Parte I
1
Os princípios físicos da Relatividade Geral
Poderíamos apenas especificar uma ação para a Relatividade Geral e investigar o resultados da teoria, porém, é mais vantajoso do ponto de vista físico entender os princípios nos quais a teoria foi construída.
Podemos resumir os princípios que guiaram a criação da Relatividade Geral em:
• Princípio de Mach
• Princípio da Equivalência • Princípio da Covariância Geral
1.1
Princípio de Mach
Uma questão fundamental da mecânica newtoniana é como detectar referenciais inerciais. Uma forma de responder tal questão é através do famoso experimento do balde de Newton. Postulando a existência de um espaço absoluto imóvel, um referencial inercial é um referencial que permanece imóvel ou com velocidade constante com respeito a este espaço absoluto, mas, se o referencial é acelerado com respeito a este espaço, forças inerciais surgem, então o experimento do balde é concebido com a ideia de detectar este tipo de efeito.
O experimento consiste em colocar um balde de água em movimento rotacional. Uma vez que o movimento é comunicado para a água, a superfície da água assume um formato côncavo. Podemos estender para o caso da aceleração linear, em um balde acelerado linearmente a superfície da água assume um formato inclinado com respeito a horizontal.
Logo se quisermos identificar se estamos em um referencial inercial basta observar a superfície da água em um balde, se ela não estiver plana então estamos em movimento acelerado com respeito ao espaço absoluto.
Mach considerava que não existe significado na palavra movimento se este não for relativo à alguma coisa. Por exemplo, em um universo completamente vazio, um corpo não poderia ser dito em movimento, uma vez que não existe nada para que o movimento seja relativo. Além
disso, para Mach, os efeitos inerciais deveriam ser completamente determinados por toda a matéria do universo, no nosso universo a matéria esta concentrada nas estrelas fixas, então, as estrelas fixas determinam as qualidades do referencial.
A diferença entre os dois pontos de vista fica explícito se retornarmos ao experimento do balde. Newton não nos dá alguma explicação mais profunda para a existência das forças inerciais responsáveis pelos efeitos observados, porém, Mach diz que os efeitos acontecem pois a água esta em movimento relativo às estrelas, e como a inercia é determinada pelas estrelas, caso a água esteja fixa a as estrelas em rotação, o efeito seria o mesmo e portanto a superfície da água continuaria deformada, no caso newtoniano, nesta mesma configuração, a superfície da água não estaria deformada. Então, traçando o paralelo com a teoria newtoniana, um referencial inercial é um referencial em que as estrelas fixas estão estáticas, já na teoria newtoniana um referencial inercial é um referencial que não está em movimento acelerado relativo ao espaço absoluto.
Como as propriedades inerciais são determinadas pela distribuição de matéria do universo, a inercia de um objeto pode variar dependendo da sua posição no universo, se houver uma pre-ponderância de matéria em uma direção particular então os efeitos inerciais seriam dependentes da direção. Experimentos realizados por Hughes e Drever mostram um resultado nulo para tal efeito, logo, ou o principio de Mach está incorreto ou o universo é isotrópico[1], alguns indícios apontam para a segunda hipótese [2]. Com essas considerações talvez soe como se o princípio de Mach apenas substitui o espaço absoluto de newton pelas as estrelas fixas.
Resumindo o princípio de Mach[3]:
• A distribuição de matéria do universo determina as propriedades inerciais. • Um corpo em um universo vazio não deve possuir propriedades inerciais.
1.2
Princípio da Equivalência
Considere um referencial K0 uniformemente acelerado em relação a um referencial inercial K com aceleração a. Assumindo que inicialmente os relógios estão sincronizados, que os eixos das coordenadas coincidem e que há aceleração apenas em um destes eixos coincidentes x. A
segunda lei de Newton no referencial inercial, considerando que uma partícula se move neste eixo x sob a ação de uma força F , é
F = m¨x, (1)
já no referencial acelerado, a segunda lei de Newton para a mesma partícula é
F = m¨x + ma = m¨x + Finercial. (2)
Retornando à equação newtoniana, temos, a priori, dois conceitos de massa:
• Massa inercial: a massa que leva em conta a resistência ao movimento de uma partícula, • Massa gravitacional: é a massa à qual o campo gravitacional se acopla.
Um fato empírico importante é que ambas as massas são iguais. Testes feitos por Galileu e Newton e mais tarde por vários outros comprovaram isso com boa precisão. A teoria newtoniana seria perfeitamente consistente caso as massas fossem diferentes, mas esse resultado estaria nos dizendo algo mais profundo, a igualdade entre as massas inerciais e gravitacionais sugerem uma relação próxima entre gravidade e inércia. Na equação (2) o termo extra representa a força inercial devido a escolha de um referencial não inercial para a descrição do movimento, note que a força inercial é proporcional a massa da partícula assim como a força da gravidade. Este fato empírico sugere que é impossível distinguir entre aceleração e um campo gravitacional, sugere que podemos tratar a força gravitacional como uma força inercial,
~a = ~g. (3)
Assim como a força inercial em (2) pode ser eliminada se escolhermos um referencial inercial, a gravidade também pode ser eliminada se descrevermos o movimento do ponto de vista de um observador em queda livre.
• Alguém em uma pequena caixa no espaço, longe de qualquer matéria, portanto livre da ação de qualquer força. Esta pessoa flutua, ao soltar duas massas, ambas irão permanecer flutuando junto com ela.
• Agora assuma que tal caixa é acelerada para cima constantemente. Então, é óbvio que a pessoa será pressionada pelo chão da caixa com uma força constante, e o mesmo verá as duas massas, que antes flutuavam, caírem no chão.
• Agora considere a mesma caixa, porém agora sendo colocada estacionária em um campo gravitacional, então novamente, a pessoa será pressionada pelo chão da caixa com uma força constante, e também verá as massas caindo no chão. Nenhum experimento pode ser feita dentro da caixa com o intuito de distinguir se os efeitos estão ocorrendo devido ao um campo gravitacional ou devido a uma aceleração para cima.
• Considere que tal caixa é posta em queda livre em um campo gravitacional homogêneo e constante. A pessoa iria flutuar junto com as duas massas, ela não sente nenhuma força.
Devemos dar ênfase no fato de que as acelerações aqui são constantes e que a caixa é pequena suficiente, caso contrário as duas massas soltas começarão a se aproximar (forças de maré).
Einstein formalizou o resultado desse experimento mental com o seguinte postulado:
• Princípio da equivalência de Einstein: as massas inerciais e gravitacionais são iguais1 e o resultado de qualquer experimento local não gravitacional em um referencial em queda livre é independente da velocidade do referencial (invariância de Lorentz) e sua localização no espaço tempo, localmente (a menos de forças de maré) podemos recuperar as mesmas leis da relatividade especial.
Este primeiro postulado mais tarde foi estendido para conter não só experimentos não gravi-tacionais e sim todos os outros (chamado de principio da equivalência forte, com isso, objetos que auto gravitam poderiam ser incluídos).
1.3
Princípio da Covariância Geral
As situações descritas a cima nos diz que não existe uma forma de distinguir localmente entre um referencial em queda livre em um campo gravitacional uniforme e um referencial inercial e distinguir também entre localmente estar acelerado e estar em repouso sob ação de um campo gravitacional.
1A trajetória de uma partícula teste em queda livre em um campo gravitacional independe de sua massa,
Se um referencial acelerado pode ser descrito como um referencial em repouso sob a ação de um campo gravitacional, se as leis da natureza não se alteram na presença de um campo gravita-cional, então não há motivo para que haja distinção entre referenciais acelerados e referenciais inerciais no que diz respeito à descrição da natureza, assim Einstein generalizou o princípio da relatividade especial[8]:
• Princípio da covariância geral: As leis da física são as mesmas para todos os obser-vadores
A consequência matemática deste segundo postulado é que as leis da física devem ser escritas em termos de quantidades invariantes por transformações de coordenadas gerais, esses objetos são os tensores. Resumidamente, equações válidas no espaço de Minkowski agora devem ser escritas apropriadamente da seguinte forma:
1. Use coordenadas arbitrárias.
2. Substitua a métrica de Minkowski por uma métrica geral:
nµν → gµν (4)
3. Substitua derivadas parciais por derivadas covariantes:
∂µ → ∇µ (5)
4. Em particular, derivadas ao longo de uma curva serão dadas pelo operador:
uµ∇µ, (6)
onde uµ é o vetor tangente à curva.
1.4
Sobre a geometria do espaço-tempo
É interessante perceber que o espaço-tempo nos apresenta indícios de que sua geometria pode assumir um formato mais complexo do que a geometria euclidiana (ou pseudo-euclidiana).
Considere dois observadores, A e B, onde o observador A está em movimento uniforme, enquanto o observador B está em um sistema de referência acelerado com respeito ao referencial A. Temos então, matematicamente, para o observador A:
ds2 = gµνdxµdxν = −dct2+ dx2+ dy2+ dz2 (7)
A transformação de coordenadas entre os dois referenciais, que pode ser obtida observando a linha mundo do referencial B no referencial A e percebendo que tal linha mundo tem carácter hiperbólico, é dada por:
ct = x0+ c 2 2 sinh(at 0 c ), x = x0+c 2 2 cosh(at 0 c ) − c2 a, z 0 = z, , y0 = y, (8)
de forma que (9) se transforma em
ds02 = gµ0ν0dx0µ 0 dx0ν0 = − 1 + ax 0 c2 2 dct02+ dx02+ dy02+ dz02, (9)
onde a é a aceleração, se ax0/c2 é pequeno, então
ds02= − 1 + 2ax 0 c2 dct02+ dx02+ dy02+ dz02. (10)
Pelo principio da equivalência, localmente, é impossível distinguir entre estar em movimento uniformemente acelerado e estar em repouso sob a ação de um campo gravitacional, o que nos leva a concluir que o observador B pode interpretar qualquer diferença em resultados de experimentos como sendo devido à presença de um campo gravitacional, em vez de ter origem em qualquer quantidade absoluta do seu estado de movimento. Logo, a métrica (10) também pode ser interpretada como a métrica de um referencial sob a ação um campo gravitacional uniforme. Dada uma fonte para o campo, podemos descrever a gravidade como consequência da geometria do espaço-tempo.
S = Z B A r −nαβ dxα dτ dxβ dτ dτ, (11)
onde nαβ é a métrica de Minkowski. A equação de movimento resultante ao minimizar a ação
com respeito a quadrivelocidade é
d2xµ
dτ2 = 0. (12)
Mas em um referencial acelerado, e pelo princípio da equivalência, em um referêncial sob a ação de um campo gravitacional, esta equação sofre uma pequena mudança, isso se deve ao fato de que as componentes do tensor gµν não são mais constantes, por exemplo,a componente g00 da
métrica em (11) agora depende da coordenada x’.
Então, promovendo a métrica da ação da partícula livre para uma métrica mais geral
S = Z B A r −gµν dxµ dσ dxν dσ dσ = Z B A Ldσ, (13)
e usando a equação de Euler-Lagrange apropriada
d dσ ∂L ∂ dxµ dσ − ∂L ∂xµ = 0, (14) com − d dσ ∂L ∂dxdσλ = d dσ 1 Lgλβ dxβ dσ = L d dτ gλβ dxβ dτ = L gλβ d2xβ dτ2 + 1 2 ∂gλα ∂xβ + ∂gλβ ∂xα dxα dτ dxβ dτ , e
∂L ∂xλ = − 1 2L ∂gαβ ∂xλ dxα dσ dxβ dσ = − L 2 ∂gαβ ∂xλ dxα dτ dxβ dτ , logo d dσ ∂L ∂ dxdσµ − ∂L ∂xµ = −L gλβ d2xβ dτ2 + 1 2 ∂gλα ∂xβ + ∂gλβ ∂xα dxα dτ dxβ dτ +L 2 ∂gαβ ∂xλ dxα dτ dxβ dτ = 0, (15)
simplificando a equação chegamos em
d2xµ dτ2 + Γ µ νλ dxν dτ dxλ dτ = 0, (16)
onde Γ é o simbolo de Christofell
Γik` = 1 2g im ∂gmk ∂x` + ∂gm` ∂xk − ∂gk` ∂xm = 1 2g im(g mk,`+ gm`,k− gk`,m). (17)
Podemos ver que o simbolo de Christoffel representa a pseudo força sentida por uma partí-cula livre no referencial B, e pelo princípio da equivalência, a “força gravitacional"sentida por uma partícula em um campo gravitacional. A métrica é o tensor candidato a generalizar o potencial gravitacional.
1.5
Desvio da geodésica
Aceleração e gravidade só são equivalentes localmente. Considere duas partículas caindo de uma distância grande da superfície da terra, sabemos que ambas irão cair em direção ao centro de massa da terra, a separação relativa entre as partículas diminuirá. Como já sabemos que partículas livre se movem por geodésicas, em um espaço plano geodésicas inicialmente paralelas permanecem paralelas, porém em um espaço curvo, geodésicas inicialmente paralelas podem se interceptar. Se aceleração e gravidade fossem globalmente equivalentes, não veríamos tal efeito pois em um referencial acelerado a separação relativa entre as partículas testes é zero.
No caso newtoniano, se uma partícula esta em xi e outra em xi+ δxi, a equação que governa a separação relativa das partículas, δxi, em queda livre no campo gravitacional é
d2
dt2δx i
= −∂i∂jφ(x)δxj, (18)
onde φ(x) é o potencial gravitacional. Se não existe força gravitacional, o desvio é zero, en-tão as trajetórias irão se manter paralelas. Conclui-se novamente que a presença do campo gravitacional deve nos levar à uma geometria não-euclidiana.
Em contrapartida, uma equação equivalente a (19) pode ser obtida da equação (17). Con-sidere novamente, uma partícula em xµ e outra em xµ+ δxµ onde δxµ é a separação relativa
das partículas. A equação da geodésica para a segunda partícula é
d2(xµ+ δxµ) dτ2 + Γ µ νλ(x + δx) d (xµ+ δxµ) dτ d xλ+ δxλ dτ = 0, (19) que em termos de δxµ é d2 dτ2δx µ+ 2Γµ νλ(x) dδxλ dτ dδxν dτ + ∂ρΓ µ νλ(x)δx ρdδxλ dτ dδxν dτ = 0, (20) e escrito em termos da derivada covariante é
(Dτ)2δxµ = Rνλρµ ˙xν˙xλδxρ, (21)
onde R é o tensor de curvatura de Riemann
R`ijk = ∂ ∂xjΓ ` ik− ∂ ∂xkΓ ` ij + Γ`jsΓsik− Γ ` ksΓsij, (22)
que pode ser escrito em termos da métrica. Logo, a presença do campo gravitacional implica em uma geometria não euclidiana, já que o tensor de curvatura não é nulo, geodésicas inicialmente paralelas poderão se intersectar. Podemos então resumir a gravidade como a manifestação da curvatura do espaço tempo [4].
1.6
Limite de campo fraco da equação da geodésica
A métrica (12) pode ser obtida de outra forma. Considere uma partícula não relativística se movendo em um campo gravitacional fraco e estacionário, isso implica que podemos considerar uma pequena pertubação em torno da métrica de Minkowski [3]
gµν = nµν+ hµν, (23) onde hµν << 1, e que dxi dτ << dx0 dτ ≈ 1. (24)
Nestas condições, a equação da geodésica para é
d2xi
dτ2 + c 2Γi
00 = 0, (25)
onde, considerando apenas fatores de primeira ordem em h Γi00 ≈ −1
2n
iσ∂h00
∂xσ . (26)
A parte temporal da equação da geodésica é zero pois o campo é estático, resta apenas
d2x
dτ2 =
1 2∇h00c
2, (27)
e comparando com a equação newtoniana correspondente resulta em
h00 = −2φ c2 , (28) logo g00= −(1 + 2φ c2) (29)
desta forma é possível reduzir a equação da geodésica ao caso newtoniano quando tomamos um regime não relativístico e de campo fraco.
1.7
Consequências do Princípio da Equivalência
A partir desses postulados somados a conhecimentos obtidos da relatividade especial, an-tes mesmo de formular formalmente a teoria da relatividade geral, já é possível obter alguns resultados [4].
• Luz é defletida por um campo gravitacional;
Considere um observador em um referencial inercial e outro em um referencial acelerado, ao enviar um feixe de luz de um ponto a outro, o feixe de se manterá em linha reta para o observador no referencial inercial, mas para o observador acelerado, ele verá o feixe de luz defletindo. Pelo princípio da equivalência, este efeito então pode ser interpretado novamente, mas dessa vez entendendo que o observador acelerado na verdade está sob a ação de um campo gravitacional, logo, em um campo gravitacional, a luz também deve defletir.
Tomando a métrica obtida através do limite newtoniano da equação da geodésica como ponto de partida, sabendo que raios de luz se propagam por geodésicas do tipo luz, então vale[4] kν∂νkµ+ Γ µ νλk ν kλ = 0, (30)
onde k é o quadrivetor de onda que satisfaz
< k, k >= 0 ⇒ ω = c|~k|, (31) podemos introduzir o vetor unitário ~e que aponta na direção ~k, então ~k = |~k|~e = ω~e/c. As únicas componentes não nulas do simbolo de Christoffel são
Γ00i ≈ 1
c2∂iφ ≈ Γ i
00, (32)
para µ = 0 a equação (?) se torna 1 c∂t+ ~e · ~∇ ω = dω cdt = −ω ~ e · ~∇φ c2 , (33)
que mostra que a frequência do raio de luz varia com o tempo apenas porque o trajeto da luz é feito em um potencial que varia espacialmente, então se o potencial for constante no tempo e fraco podemos dizer que a frequência do raio de luz é constante. A parte especial da equação (?) é 1 c∂t+ ~e · ~∇ ~e = d~e dz = − 1 c2 h ~∇ − ~e(~e · ~∇ i φ = −1 c2∇~⊥φ, (34)
se o raio esta se movendo no eixo z, ignorando o eixo y, podemos ver que ~∇⊥φ = GM x
(x2+z2)3/2~ex, então, integrando a equação (?), como o desvio em ~e é pequeno, podemos
considerar o do raio de luz se deslocando por uma linha aproximadamente reta que se estende de −∞ e ∞, integrando δ~e = −~ex Z ∞ −∞ dz Gmx c2(x2+ z2)3/2 = − 2GM c2x ~ex (35)
para um raio de luz passando próximo à superfície do sol,
|δ~e| = 0.87”. (36)
• Desvio para o vermelho gravitacional .
Imagine um foguete com altura h, que do repouso acelera com aceleração constante g. Em t = 0 um raio de luz é emitida na parte inferior do foguete é recebida no topo em ∆t. O intervalo ∆t é determinado por
h +g 2∆t 2 = c∆t, (37) cuja solução é ∆t± = 1 g c ±pc2− 2gh= c g 1 − r 2gh c2 ! ≈ h c. (38)
Quando a luza chega ao teto, o teto se move com a seguinte velocidade ∆v = g∆t ≈ gh
c , (39)
logo, pela fórmula clássica do efeito Doppler νreceptor = νemissor 1 − gh c2 . (40)
Pelo principio da equivalência, esses efeitos também devem ser observados em um campo gravitacional, considerando o foguete estático sob a ação de campo gravitacional,
onde ∆φ é a diferença do campo gravitacional entre o teto e o chão do foguete, logo νreceptor = νemissor 1 −∆φ c2 , (42)
então, o comprimento de onda recebido no topo do foguete é menor. Invertendo essa rela-ção, podemos perceber que o tempo passa mais devagar perto de um campo gravitacional do que longe.
2
Teoria de gravitação relativística
Para buscas uma equação que governe o campo gravitacional e que satisfaça todo o conheci-mento adquirido anteriormente, devemos começar estudando a teoria de gravitação newtoniana, que pode ser resumida de forma sucinta em um conjunto de duas equações diferenciais, uma des-crevendo o movimento de uma partícula no campo gravitacional e outra desdes-crevendo o próprio campo: m−→x =¨ −→F = −mg − → ∇φ, (43) ∆φ = 4πGNµ, (44)
GN é a constante de gravitação de Newton e µ é a densidade de massa. A equação do campo
não é invariante de Lorentz. Por causa da ausência de derivadas em relação ao tempo em (1.2), tal equação descreve uma interação a distância e uma propagação instantânea do campo gravitacional em cada ponto do espaço (se a densidade de massa mudar em sua posição atual, os efeitos serão sentidos em quaisquer outros pontos instantaneamente). Esse tipo de efeito é algo que foi ’exorcizado’ pela relatividade especial, ademais, devemos levar em conta a relação massa energia, que indica que outras formas de energia, além da densidade de massa, deveriam ser incluídas como fontes de gravitação, logo a teoria de gravitação newtoniana deve ser revisada. Devemos procurar uma teoria que relativística invariante que se acople não só à massa, mas também à energia.
Somos levados a tentar generalizar a teoria newtoniana da seguinte forma:
∆φ = 4πGNµ → φ = 4πGNµ (45)
onde é o operador D’alembertiano que é invariante de Lorentz. Apesar de promissor, podemos perceber algo errado com essa equação. O lado direito de (45) , como já sabemos de relatividade especial, µ = cρ2 é a componente 00 do tensor energia momento, o tensor que contém toda
informação sobre a distribuição de massa-energia no espaço-tempo, devemos corrigir nossa equação com o intuito de adicionar este tensor à nossa teoria. O lado esquerdo da nossa
equação é composto por um escalar, então, uma possibilidade é substituir nosso µ pelo traço do tensor de energia-momento T , pois no caso não relativístico T se reduziria à densidade de massa:
φ = 4πGNT (46)
Teorias escalares como esta são bem conhecidas e estudadas, as equações de campo parecem ser bem consistentes, porém, apesar disso, estão incorretas. Uma forma simples de observar isso é perceber que a fonte da gravidade em (1.4) é apenas o traço do tensor de energia momento, notando que o tensor de energia momento do electromagnetismo tem traço igual a zero, podemos concluir que tal equação levaria um acoplamento anômalo com o campo eletromagnético, não apresentando deflexão da luz pelo sol.
Uma outra opção para fazer (46) assumir propriedades consistentes seria pensar em φ, φ e etc como componentes de um tensor:
[algum tensor que generaliza φ]αβ = 4πGNTµν. (47)
2.1
Equações de campo de Einstein
Do estudo feito anteriormente, temos como dica, que o tensor métrico irá representar o potencial gravitacional e que nosso espaço-tempo poderá apresentar uma geometria curvatura, então, esperamos que nossa equação que governa a relação entre matéria e espaço-tempo tenha a uma forma parecida com,
[algum tensor que envolva φ]µν = Eµν = 4πGNTµν, (48)
lembrando que,
a equação newtoniana então pode ser reescrita como,
4g00 = −8πGNT00, (50)
isso sugere que nossa equação então deve ter o seguinte formato,
[algum tensor que envolva4g00]µν = Eµν = 8πGNTµν. (51)
Algumas considerações devem ser feitas:
• Eµν é simétrico já que Tµν também é,
• ∇µTµν = 0 ⇒ ∇µEµν = 0,
• Em um campo gravitacional fraco e estático, ficamos com E00= −4g00,
• Eµν envolve apenas a métrica e suas primeira e segunda derivadas.
Fazendo uma analogia com o caso newtoniano, a equação newtoniana pode ser obtida da seguinte forma d2 dt2δx i = −∂i∂jφ(x)δxj, Gij = −∂i∂jφ(x), T r(G) = ∇2φ(x),
então a equação (21) sugere que devemos usar as contrações do tensor de Riemann para buscar a equação de campo geral, já que
(Dτ)2δxµ = Rµνλρ˙x
ν˙xλδxρ,
Gµν = Rµλνρ˙xλ˙xρ, T r(G) = Rµν˙xν˙xµ.
Quando a densidade de massa é zero o traço do tensor G é zero no caso newtoniano, isso sugere que a equação que para o vácuo na relatividade geral deve ser[3]
Rµν = 0 (52)
onde Rµν é o tensor de Ricci. Mas não podemos escolher o tensor de Ricci como o tensor a
generalizar (51) pois a derivada covariante do tensor de Ricci não é zero. Com essas condições, podemos caminhar na direção do tensor geral, buscando um tensor que envolva o tensor de Riemann R`ijk = ∂ ∂xjΓ ` ik− ∂ ∂xkΓ ` ij + Γ`jsΓsik− Γ`ksΓsij, (53)
e suas contrações com a métrica,
Rµν = Rλµλν = g λσR
σµλν, (54)
R = Rµµ= gµνRµν. (55)
Um caminho possível é partir da identidade de Bianchi,
∇λRµναβ+ ∇µRνλαβ+ ∇νRλµαβ = 0, (56)
gλαgνβ(∇λRµναβ+ ∇µRνλαβ+ ∇νRλµαβ) = ∇αgνβRµναβ+ ∇µgλαRβλαβ+ ∇βgλαRλµαβ = ∇αgνβRνµβα− ∇µgλαRβλβα+ ∇βRαµαβ = ∇αRβµβα− ∇µgλαRλα+ ∇βRµβ = ∇αRµα− ∇µRαα+ ∇βRµβ = 2∇αRµα− ∇µR = 2∇α Rµα− 1 2gµαR = 2∇αGµα= 0,
chega-se ao tensor de Einstein,
Eµν = Gµν = Rµν−
1
2gµνR (57)
é fácil demonstrar que o tensor de Einstein Gµν apresenta todas as características esperadas,
como por exemplo se reduzir ao limite newtoniano e de baixas velocidades correto. De forma análoga ao limite newtoniano e de baixas velocidades da equação da geodésica, considere uma perturbação em torno da métrica de Minkowski
gµν = nµν+ hµν, hµν << 1.
Como o potencial é estático então
∂0gµν = ∂0hµν = 0, (58)
e como consideramos matéria não relativística então
Então temos que determinar
G00 = R00−
1
2g00R. (59)
Como o escalar de Ricci é pelo menos linear em h então podemos substituir g00 por n00
G00 = R00+ 1 2R. (60) Como Tij = 0 ⇒ Gij = 0 ⇔ Rij = 1 2δijR,
onde, pelos mesmo argumentos usados antes, substituímos a parte espacial de g pela parte espacial da métrica de Minkowski.
Linear em h o escalar de curvatura é R = −R00+3R/2, logo R = 2R00, então G00 = R00+R/2 =
2R00. No limite de campo fraco, R00 é dado por
R00= δikRi0k0= −δik∂i∂k 1 2g00 = − 1 24g00 (61) logo G00= 2R00 = −4g00, (62)
portanto a equação de Einstein se reduz a equação (50) quando a fonte do campo é matéria não relativística, como o esperado.
Em Relatividade Geral as “equações de movimento"são dadas pela equação de Einstein,
Gµν = Rµν−
1
2gµνR = 8πG
c4 Tµν, (63)
Nessa equação, do lado esquerdo representa uma medida de curvatura espaço tempo e do lado direito uma medida da energia e momento contidos no espaço tempo:
“A matéria diz como o espaço-tempo deve se curvar e o espaço-tempo diz como a matéria deve se mover."
de certa forma é um resultado Machiano e não é ao mesmo tempo, a matéria determina como matéria se move, mas sabendo que propriedades inerciais existe na relatividade especial, note que a solução de Minkowski é uma solução da equação de Einstein se o tensor de energia é nulo, ou seja, mesmo sem matéria as propriedades inerciais estão definidas, contrariando o princípio de Mach.
Considerações:
• Em três e duas dimensões, se o tensor de Ricci for nulo implica que o tensor responsável por ter as informações relacionadas à curvatura do espaço-tempo, o tensor de Riemann, também será nulo. Então esses espaços tempos são necessariamente planos na ausência de matéria (Tµν = 0).
Já em quatro dimensões, a situação é diferente, o tensor de Ricci ser zero não implicar que o tensor de Riemann também é zero. Isso quer dizer que mesmo na ausência de matéria, o espaço-tempo ainda pode ser curvo.
• A priori, a equações de Einstein nos dão um conjunto de 10 equações não lineares aco-pladas de segunda ordem em gµν que aparece dos dois lados da equação. Essas equações
estão associadas a 4 identidades diferenciais devido às identidades de Bianchi.
• É complicado obter qualquer solução analítica dessas equações, até mesmo a solução geral para o vácuo talvez nunca seja ’descoberta’. Normalmente são algumas condições são impostas, envolvendo simetrias, com o intuito de reduzir o numero de equações.
Um termo pode ser adicionado à equação de Einstein e ainda assim satisfazer as condições dadas. Um termo na forma de Λgµν,
Gµν = Rµν−
1
2gµνR + Λgµν = 8πG
c4 Tµν. (64)
Λ dá uma contribuição para o tensor de energia-momento, no espaço de Minkowski, ela seria proporcional à métrica de Minkowski e invariante de Lorentz, portanto compatível com a
si-metria do vácuo, então por vezes, é dito que Λ representa a densidade de energia do vácuo ou que a densidade de energia do vácuo contribui para o valor de Λ. Comparando o tensor de energia-momento com a equação de Einstein com a constante cosmológica é possível obter que Λ corresponde à energia e pressão ρΛ = −pΛ = 8πGΛN e contribui para o tensor de energia
momento como TµνΛ = −ρΛgµν,e então, dependendo do sinal, temos que a pressão e a densidade
terão sinais positivos ou negativos.
Esse termo foi proposto originalmente por Einstein. Ele não estava satisfeito por não ter conseguido obter solução cosmológica estática estável apenas utilizando a equação de Einstein. Depois da descoberta da expansão do universo, o universo estático não era mais considerado, e a constante passou a ser ignorada, e considerada novamente após indícios de que o universo está em expansão acelerada. Porém não é tão simples assim, um dos maiores mistérios da física moderna é o valor da constante cosmológica. De acordo com teoria quântica de campos, o valor da constante deveria ser bem maior do que o observado. Einstein também esperava que a constante cosmológica tornasse a relatividade geral mais Machiana, mas isso não ocorreu pois ainda era possível obter soluções com o tensor de energia momento igual a zero [5].
2.2
Ação de Einstein-Hilbert
Adotando um ponto de visão mais moderno, podemos derivar a equação de Einstein de uma ação. Para construir tal ação demos levar em conta o as simetrias desejadas [3].
A parte relacionada à gravidade da ação, pelo principio da covariância deve ter a seguinte forma SEH =
Z √
−g d4xΦ(g
µν) (65)
onde Φ é um escalar construído usando a métrica. A escolha mais simples para tal escalar é o escalar de Ricci, e essa também é a única escolha se queremos construir tal ação apenas dependendo da métrica e suas primeiras e segundas derivadas.
SEH = c3 16πG Z R√−gd4x = c 3 16πG Z gµνRµν √ −gd4x
essa é a ação de Einstein-Hilbert.
Variando com relação à métrica e usando que:
δ(gαβgβγ) = 0 ⇒ δgαβ = −gαγgδγ(δgγδ), (66) e δRµν = ∇λδΓαµν− ∇νδΓλµλ (67) obtemos, δSEH = δ Z √ −gd4xgαβR αβ = Z (δ√−g)gαβR αβ + √ −g(δgαβ)R αβ+ √ −ggαβδR αβ (68) usando a identidade, δ√−g = 1 2 √ −ggαβδgαβ = − 1 2 √ −ggαβδgαβ, (69) para deduzir, δSEH = c3 16πG Z √ −gd4x Rαβ − 1 2gαβR δgαβ+ c 3 16πG Z √ −gd4xgαβδR αβ. (70)
O primeiro termo é a própria equação de Einstein e o segundo termo é um termo de superfície.
Se quisermos incluir a constante cosmológica, podemos incluir um termo igual a 2Λ e iremos obter a mesma equação com a constante cosmológica que já foi citada.
É possível obter uma ação mais geral, com termos que são previstos por teorias de gravitação quântica, como: S = Z √ −gd4x R + c 1R2+ c2RαβRαβ + c3RαβγδRαβγδ+ c4... (71)
porém eles são irrelevantes para nosso propósito e em alguns casos, nos leva a equações de movimento de ordens superiores.
A ação total da relatividade deve conter a parte responsável pela fonte SM[g] =
Z
L√−g d4x (72)
que quando variada em relação a métrica resulta em
δSM = Z d4x√−g δL δgµν − 1 2Lgµν δgµν, (73) definindo Tµν c = −2 δL δgµν − 1 2Lgµν = −√2 −g δ(√−gL) δgµν , (74) então δSM = − 1 2c Z d4x√−gTµνδgµν, (75) combinando com δSEH = c3 16πG Z √ −gd4x Rαβ − 1 2gαβR δgαβ, (76) resulta em δSEH = c3 16πG Z √ −g d4x Gµν− 8πG c4 Tµν δgαβ = 0, (77) logo Gµν = 8πG c4 Tµν. (78)
O teorema de Lovelock diz que a única equação de Euler-Lagrange que podemos obter de uma ação quadridimensional que envolve apenas a métrica, suas primeiras e segundas derivadas é a equação que contém as equações de Einstein. Isso limita as teorias que podemos construir utilizando apenas a métrica.
Esse teorema não implica que a ação de Einstein-Hilbert é a única ação que pode ser construída utilizando gµν em quatro dimensões:
L = α√−gR − 2λ√−g + βµνρλRαβµνRαβρλ+ γ √ −gR2− 4Rµ νR ν µ+ R µν ρλR ρλ µν (79)
os dois últimos termos não contribuem para a equação de Euler-Lagrange.
O teorema de Lovelock sugere que quisermos construir uma teoria métrica de gravidade que difere da relatividade em relação a equações de movimento, devemos então considerar
• Adicionar mais campos
• Aceitar termos de ordem superior nas derivadas da métrica • Ir para dimensões superiores
• Abrir mão da localidade
3
Linearização da Equação de Einstein
Obter soluções exatas das equações de Einstein não é um trabalho fácil, mas podemos certamente obter resultados aproximados se aplicarmos teoria de pertubação. Se já conhecermos uma solução da equação de Einstein, podemos supor uma pequena pertubação em torno dessa solução de fundo e observar os novos aspectos físicos que a pertubação pode apresentar [4] [3] [9].
3.1
As equações necessárias e o calibre de Lorentz
Abordando o caso mais simples, podemos imaginar que a métrica de Minkowski é perturbada fracamente de alguma forma, então é conveniente supor que existe um conjunto referenciais nos quais vale a
gµν = nµν+ hµν, (80)
onde
|hµν| << 1, (81)
essa condição é satisfeita perfeitamente no sistema solar, pois
|hµν| ≈
φ c2 ≈ 10
−6
. (82)
Usando que gµνgνη = δηµ podes inferir que a inversão de (80) em primeira ordem em h é
gµν = nµν− hµν, (83)
com
hµν = nµαnνβhαβ, (84)
A expressão para o símbolo de Christoffel Γσµν = 1 2g σρ ∂gρν ∂xµ + ∂gρµ ∂xν − ∂gµν ∂xρ , (85) utilizando (80) e (83), é Γσµν =1 2(n σρ− hσρ) ∂(nρν+ hρν) ∂xµ + ∂(nρµ+ hρµ) ∂xν − ∂((nµν+ hµν) ∂xρ =1 2(∂µh σ ν + ∂νhσµ− ∂ σh µν) − 1 2h σρ(∂ µhρν+ ∂νhµρ− ∂ρhµν), =1Γσµν+2Γσµν
onde o superescrito 1 e 2 indicam a ordem na pertubação, onde
1 Γσµν =1 2(∂µh σ ν + ∂νhσµ− ∂ σ hµν), 2 Γσµν = −1 2h σρ (∂µhρν+ ∂νhµρ− ∂ρhµν). Já o tensor de Ricci Rµν = ∂σΓσµν− ∂νΓσµσ+ Γ σ ασΓ α µν − Γ σ ανΓ α µσ
é de O(Γ2), substituindo o símbolo de Christoffel e ignorando termos maiores que O(h2) fica
Rµν = 1 2[∂σ∂µh σ ν + ∂σ∂νhσµ− hµν] − 1 2∂σ[h σλ (∂µhλν+ ∂νhµλ− ∂λhµν)] −1 2[∂ν∂µh + ∂ν∂σh σ µ− ∂ν∂σhµσ] + 1 2∂ν[h σλ(∂ µhλσ+ ∂σhµλ− ∂λhµσ)] +1 4(∂αh σ σ + ∂σhσα− ∂ σh ασ)(∂µhαν + ∂νhαµ− ∂ αh µν) −1 4(∂αh σ ν + ∂νhσα− ∂ σh αν)(∂µhασ+ ∂σhαµ− ∂ αh µσ),
agrupando e simplificando os termos lineares e quadráticos em h fica, Rµν =1Rµν +2Rµν (86) onde 1R µν = 1 2(∂σ∂µh σ ν − hµν− ∂µ∂νh + ∂ν∂σhσµ) (87) e 2R µν = 1 2 " 1 2∂µhαβ∂νh αβ + ∂ βhνα ∂βhαµ− ∂αhβµ + hαβ ∂µ∂νhαβ + ∂α∂βhµν − ∂β∂νhαµ− ∂β∂µhαν − ∂αhαβ − 1 2∂ βh (∂µhνβ + ∂νhµβ− ∂βhµν) # .
onde h é o traço do tensor de perturbação e é o operador de D’Alembert. Usando a mesma análise feira para o tensor de Ricci, o escalar de Ricci é
Rµν = (nµν − hµν)(1Rµν +2Rµν) = 1R +2R, (88) onde 1 R = ∂λ∂µhλµ− h, (89) e 2R = 2R µνnµν−1Rµνhµν. (90)
Por enquanto, considere apenas correções lineares do tensor de Einstein e lembre-se que estamos expandindo em torno da métrica de Minkoski, então em ordem zero o tensor de Einstein é zero, logo
1G µν =1Rµν− 1 2nµν 1R = 1 2(−h + ∂α∂µh α ν + ∂ α ∂νhµα− ∂ν∂νh − nµν∂β∂αhαβ + nµνh) = 16πG c4 Tµν
A ultima equação é um tanto quanto complicada, mas perceba que se definirmos
hµν = hµν−
1
2hnµν ↔ hµν = hµν− 1 2hnµν
com h = −h, e substituirmos na equação (??) resulta em
16πG c4 Tµν = −hµν+ 1 2nµνh + ∂α∂µh α ν − 1 2∂µ∂νh + ∂ α ∂νh... − 1 2∂µ∂νh + ∂µ∂νh − nµν∂β∂αh αβ − nµνh + 1 2nµνh = −hµν+ ∂α∂µh α ν + ∂ α ∂νhµν − nµν∂β∂αh αβ .
Ao supor que existem sistemas de coordenadas em que a métrica é decomposta em uma parte que corresponde a métrica de Minkowski e outra parte que corresponde a pertubação de tal forma que a pertubação seja sempre pequena, a invariância por transformações de coordenadas da Relatividade Geral é quebrada, pois ao fazer uma transformação de coordenadas arbitrária nada nos garantirá que a nossa suposição continue valendo, logo reduzimos as transformações de coordenadas ao pequeno grupo de transformações que não destroem o pressuposto.
A primeira transformação que devemos considerar são as transformações de Lorentz, desde que o boost não afete |hµν << 1|,
xµ → x0µ = Λuν0xv, Λρµ0Λνσ0nµν = nρ0σ0,
então a métrica se transforma da seguinte forma
gµ0ν0 = Λρ
µ0Λσν0gρσ = nµ0ν0 + Λρ
µ0Λσν0hρσ → hµ0ν0 = Λρ
portanto podemos ver que h se transforma como um tensor de Lorentz.
Considere dois sistemas de coordenadas xµ e x0µ, que se relacionam por uma transformação infinitesimal : x0µ= xµ+ ζµ, (92) então ∂x0α ∂xµ = δ α µ+ ∂ζα ∂xµ (93)
logo, em primeira ordem em ζµ a métrica se transforma da seguinte forma
gµν = gαβ0 ∂x0α ∂xµ ∂x0β ∂xν = (nαβ+ h0αβ) δαµ+ ∂ζ α ∂xµ δνβ+ ∂ζ β ∂xν = nµν+ h0µν ∂ζµ ∂xν + ∂ζν ∂xµ como gµν = nµν+ hµν, então h0µν = hµν − ∂ζµ ∂xν − ∂ζν ∂xµ.
Note que o tensor de Ricci é invariante por esse tipo de transformação de coordenada
R0µν(h0) = 1 2(∂λ∂µh 0 λ ν + ∂ λ∂ νh0µλ− h 0 µν − ∂µ∂νh0) = Rµν(h) − ∂λ∂µ∂νζλ− ∂λ∂µ∂λζν − ∂λ∂ν∂λζµ− ∂λ∂ν∂µζλ + ∂λ∂λ∂νζµ+ ∂λ∂λ∂µζν + −nαβ∂µ∂ν∂αζβ − nαβ∂µ∂ν∂βζα = Rµν(h),
portanto o escalar de Ricci também, logo a equação de Einstein linearizada também é invariante, isso implica que, dada uma solução h da equação de Einstein linearizada podemos gerar outra
solução h0. Essa ambiguidade surge pois não fixamos um sistema de coordenadas/referencial específico.
Note que tensor definido em (??) se transforma da seguinte forma
h0 µν = hµν− ∂ζµ ∂xν − ∂ζν ∂xµ + nµν ∂ζρ ∂xρ, (94) então ∂αh0 µα = ∂αh µα − ∂µ∂ αζα− ∂α∂αζµ+ nµα∂α∂βζβ = ∂αh µα − ζµ,
como ζ é arbitrário e é inversível, sempre podemos escolher ζ tal que se ∂αh µα
= fµ, então
fµ= ζµ. (95)
Se olharmos para a equação de Einstein linearizada, podemos perceber que ela será simplificada se conseguirmos fixar ∂αh
µα
= 0, este é chamado o calibre de Lorentz ( citar maggiore). Como h0 também é solução da equação de Einstein linearizada, a equação (??) nos mostra que podemos escolher ∂αh0
µα
= 0 se ∂αh µα
= ζµ, então, impondo essas condições a equação de Einstein linearizada é
−h0 µν =
16πG
c4 Tµν, (96)
Perceba que o calibre de Lorentz impõe 4 restrições em hµν, o que limita hµν a 6 componentes
independentes. A ultima equação e a equação que define o calibre Lorentz juntas implicam em
∂νTµν = 0, (97)
3.2
Aproximação Newtoniana e o desvio da luz
Podemos começar estudando a equação,
−hµν =
16πG
c4 Tµν, (98)
utilizando uma aproximação newtoniana. Devemos assumir que o tensor de energia momento é dominado pela densidade de matéria e portanto devemos ignorar todos os termos exceto h00,
também devemos considerar que a matéria se move lentamente para que possamos ignorar as derivadas temporais do d’Alambertiano. Então
∇2h
00 = −
16π
c2 ρ, (99)
Definindo ∇2φ = 4πρ, então a solução é
h00 = −
4
c2φ. (100)
então voltando para definição hµν = hµν− 12hnµν e notando que h = 4φc2 então
hµν = −2φc2 µ = ν = 0, −2φc2 µ = ν 6= 0,
0 para qualquer outro caso.
(101) Portando a métrica é ds2 = − 1 + 2φ c2 c2dt2+ 1 − 2φ c2 (dx2+ dy2+ dz2), (102) que para um objeto de massa M o potencial newtoniano é φ = −M/r, logo
ds2 = − 1 − 2M rc2 c2dt2+ 1 + 2M rc2 (dx2+ dy2+ dz2), (103) Então, em primeira ordem, podemos usar esse resultado para descrever o espaço tempo em torno do Sol. Vale notar a diferença entre esta métrica e a obtida no limite newtoniano da
geodésica, o limite newtoniano da geodésica ignora as componentes do tipo espaço, então os resultado obtido para o desvio da luz deve diferir nesta nova métrica.
Sabendo que a propagação da luz é caracterizada por
1 + 2φ c2 c2dt2 = 1 − 2φ c2 |d~x|2, (104) Então podemos definindo o indicie de refração devido ao campo gravitacional,
n = c c0 = s 1 −2φc2 1 + 2φc2 (105)
onde c0 = |d~x|/dt, expandindo para 2φ/c2 << 1 fica
n = c c0 = 1 − 2φ c2 , (106)
podemos calcular o desvio da luz utilizando o princípio de Fermat, que o tempo de deslocamento da luz entre dois pontos é um extremo
δ Z dt = δ Z dx c0 → δ Z n(~x)|d~x| = 0.
Introduzindo um parâmetro λ, podemos escrever ~x = ~x(λ) com |d~x| = | ˙~x|dλ e então
δ Z n(~x)| ˙~x|dλ = 0, (107) A equação de Euler ∂L ∂~x − d dλ ∂L ∂ ˙~x = 0 (108) com L = n(~x)| ˙~x|, resulta em | ˙~x| ~∇n − d dλ n ˙~x p ˙~x = 0 (109)
onde ~x é o vetor tangente ao deslocamento. Se escolhermos o parâmetro λ de tal forma que o vetor ~x seja um vetor unitário ˆx a equação resultante da equação de Euler-Lagrange se torna
~
∇n − ˆx · ~∇n − n ˙ˆx = 0. (110) Os primeiros dois termos são resulta na componente de ~∇n perpendicular a ˆx, então
˙ˆx = ~∇⊥ln n = −
2
c2φ, (111)
que é duas vezes o resultado de (34).
3.3
A equação linearizada no vácuo e calibre transverso de traço nulo
Ao investigar a equação de Einstein linearizada no vácuo podemos perceber que ela permite que ondas se propaguem pela a estrutura do espaço tempo, estas ondas serão chamadas de ondas gravitacionais.
No vácuo, a equação se torna
hµν = 0, (112)
que é um sistema de 10 equações do tipo onda, então podemos buscar soluções do tipo
hµν = Re Aµνeikαx α
, (113)
onde kµ é o vetor de onda e ω/c = k0 = −k0, Re indica que devemos tomar a parte real da
solução. O operador d’Alambertiano atuando em (113), sabendo que hµν = 0, resulta em
kαkα = 0, (114)
claramente esta solução representa uma onda com frequência ω = cpδijkikj ( i, j = 1, 2, 3) se
propagando na velocidade da luz. Como consequência do calibre de Lorentz ∂αh µα
= 0 temos
Aαµkµ= 0, (115)
o calibre de Lorentz não fixa o calibre completamente. Se fizermos uma nova transformação infinitesimal de coordenadas, teremos
∂αh00 µα
= −ζµ,
se escolhermos
ζµ = Re iBµeikαxα , (116)
teremosζµ = 0 , logo o calibre de Lorentz ainda é satisfeito, isso implica que ζµν = 0, onde
ζµν = ∂µζν + ∂νζµ− nµν∂σζσ. (117)
Sob essa condição, a amplitude se transforma de tal que
Aµν → Aµν + kµBν + kνBµ− kαBαnµν, (118)
então temos a liberdade de impor outras 4 condições para as 6 componentes independentes de hµν. Em particular podemos escolher a componente zero de ζ de tal foma que o traço de h
seja zero, note que se fizermos isso hµν = hµν. As componentes espaciais de ζ são escolhidas
apropriadamente para que as componentes mistas do tipo tempo e espaço de hµν sejam zero.
Para entender melhor no que tais condições implicam, podemos separar Aαµk
µ = 0 me uma
parte espacial e outra temporal para a componente zero
−ωA00+ kiA0i = 0 (119)
se ω 6= 0 então A00 = 0, logo Aii = Aαα+ A00, portanto o traço da parte espacial é zero. Além disso, podemos ver que Aαµkµ= 0 então
Aijki = 0 (120)
hµi = 0, h é puramente espacial. hii= 0, o traço espacial é zero.
Aijki = 0, a onda é transversa.
∂jhij = 0, as componentes espaciais possuem divergência nula,
indicarei por um superescrito “T T” quando este calibre for utilizado. Dada uma solução h µν se
propagando fora da fonte da onda gravitacional na direção ˆn, já no calibre de Lorentz mas não no calibre TT, podemos aplicar o calibre TT nesta solução de forma prática. Introduzindo o tensor
Pij(ˆn) = δij − ninj, (121)
que é transverso ( niP
ij = 0), é um projetor (P2 = P ) e tem traço Pii = 2, podemos construir
outro projetor Λij,kl(ˆn) =PikPjl− 1 2PijPkl =δikδjl− 1 2δijδkl− njnlδik− ninkδjl + 1 2nknlδij + 1 2ninjδkl+ 1 2ninjnknl
que é transverso em todos os indicies, simétrico em trocas de ij com kl e com traço nulo em ij e kl. Dado qualquer tensor simétrico Kij a parte transversa com traço nulo é definida como
KijT T = Λij,kl(ˆn)Kkl, (122)
então a solução no calibre de Lorentz pode ser transformada para o calibre TT desta mesma forma.
Uma vez que o calibre é fixado, podemos interpretar hµν como um tensor em um espaço plano
com uma escolha arbitrária de coordenadas, já que o tensor hµν é invariante por transformações
de Lorentz. Mas em todo momento utilizamos derivadas parciais, fica implícito que estamos considerando coordenadas que mantêm a métrica de Minkowski em sua forma “plana”. Se
quisermos utilizar coordenadas curvilíneas, devemos substituir a métrica de Minkowski pela métrica nas coordenadas que desejamos, substituir também todas as derivadas na equação de campo e de calibre por derivadas covariantes, já que o símbolo de Christoffel pode não ser nulo.
3.3.1 Interação com partículas teste
Inicialmente tínhamos 10 equações independentes, reduzimos para 6 utilizando o calibre de Lorentz e agora reduzimos para 2 ao utilizar este novo calibre. Podemos então investigar o efeito destes 2 graus de liberdade. Escolhendo a direção de propagação como sendo a direção z, aplicando todos os calibres já ditos,
A0α= Azα= 0 (123)
sobrando apenas
Axx, Axy = Ayx e Ayy, (124)
com Ayy = −Axx. Então hT Tµν pode ser representado como
hT Tµν = 0 0 0 0 0 h+ h× 0 0 h× −h+ 0 0 0 0 0 cos[ω(t − z/c)] (125)
onde h× e h+ são os graus de liberdade restantes que correspondem as duas polarizações das
ondas gravitacionais. A métrica para esta pertubação então é
ds2 = − c2dt2+ dz2+ (1 + h+cos[ω(t − z/c)])dx2
3.3.2 No calibre transverso
Considere uma partícula em repouso em τ = 0, utilizando a equação da geodésica, sabendo que dxi/dτ = 0 com i = 1, 2 e 3, então
d2xi dτ2 + Γiνλdx ν dτ dxλ dτ τ =0 = 0, d2xi dτ2 + Γi00dx 0 dτ dx0 dτ τ =0 = 0, como Γαµν = 1 2(∂νh α µ+ ∂µhαν − ∂ αh µν), logo Γi00= 1 2(2∂0h0i− ∂σh00). (126) Mas como estamos no calibre transverso, h0i e h00 são zero e portanto Γi00 = 0 . Então, se
uma partícula está inicialmente em repouso, a derivada da velocidade também é zero e então a velocidade se mantém igual a zero para todo τ , isso mostra que no calibre transverso, partículas que estão em repouso na chegada da onda gravitacional se mantém em repouso após a passagem dela. Se consideramos duas partículas inicialmente separadas por uma distância δx, a equação do desvio da geodésica (20) se reduz a
d2δxi dτ2 = − 2cΓi0jdδx j dτ τ =0 = 0. (127) já que Γi 00= 0.
Em outras palavras, as coordenadas, neste calibre, se adaptam aos efeitos da onda gravitacional de tal forma que a posição em coordenadas das partículas teste inicialmente em repouso não se modifica. É importante notar que isso só possível pois estamos considerando uma teoria linear, se considerarmos correções de ordem superior teríamos Γi006= 0.
Como até agora só olhamos para o efeito nas coordenadas, vale a pena olhar o que acontece com a distancia entre dois eventos no espaço tempo. Obviamente a distância definida pela diferença entre as coordenadas x2 − x1 = L também é constante, mas o que acontece com a
distância própria? Se um evento ocorre em (ct, x1, 0, 0) e outro em (ct, x2, 0, 0), a distância
própria entre eles é
s = Z ds =(x2− x1) p 1 + h+cos(wt) ≈L[1 + 1 2h+cos(wt)].
Logo, a distância própria entre os dois eventos varia periodicamente devido a onda gravitacional. De forma mais geral, se entre os dois eventos é dada por um vetos L, a distância própria é s2 = L2+ h
ij(t)LiLj, que linear em h é s ≈ L + hij(LiLj/2L). Se derivamos com respeito ao
tempo duas vezes e definirmos Li/L = ni e si = nisi, ficamos com equação da geodésica em
termos da distância própria em vez das coordenadas
¨ si ≈ 1 2 ¨ hijsj. (128)
Já que a distância própria determina o tempo que a luz demoraria para percorrer o caminho, o tempo irá variar, se permitimos que um raio de luz transite entre este dois eventos, poderemos detectar a presença de ondas gravitacionais medindo diferenças no tempo que a luz leva para percorrer o caminho entre os eventos.
3.3.3 No referencial próprio do detector
Se o tamanho do detector é muito menor que o tamanho do comprimento de onda da onda gravitacional, podemos aproximar o referencial deste detector como sendo um referencial local de Lorentz. Então, a influência da onda gravitacional em partículas testes pode ser estudada utilizando o desvio da geodésica. Utilizando a equação do desvio da geodésica e supondo um movimento em baixa velocidade, a separação relativa de duas partículas é dada por (20),
d2ζi dt2 = −ζ jRi 0j0 dx0 dt 2 = −c2ζjRi0j0, (129)
considerando apenas correções lineares em h, Ri
0j0 = ∂jΓi00− ∂0Γi0j = ∂jΓi00. Como o tensor
de Riemann linearizado é invariante por transformações infinitesimais, podemos calcula-lo em qualquer referencial que quisermos. Como em um referencial com o calibre transverso o cálculo é mais simples, então ele será escolhido
R0j0i = Ri0j0= − 1 2c2 ¨ hT T ij, (130) logo d2ζi dt2 = 1 2 ¨ hT Tij ζj. (131)
Então, no referencial próprio do detector, o efeito da onda gravitacional pode ser pensado como uma força newtoniana
Fi =
m 2
¨
hT Tij ζj, (132)
na prática, se a onda se propaga na direção z, podemos liberar massas no plano (x, y), e minimizando todo o ruído possível, podemos então medir o efeito das ondas gravitacionais mensurando a distancia entre as massas.
A diferença entre um referencial utilizando o calibre transverso e o referencial próprio do detector fica clara se notarmos que o desvio da geodésica aqui é definido pela separação dada pelas coordenadas, no caso do calibre transverso, a variação da separação entre as coordenadas é zero, mas a distância própria não.
Devemos ter cuidado ao utilizar a equação (131), pois ela só é valida em uma escala típica de variação do potencial, no caso hij, já que ao derivar a equação do desvio da geodésica na primeira
parte desta monografia, consideramos apenas os termos de primeira ordem na separação entre as geodésicas. No caso das ondas gravitacionais, a escala de variação é o comprimento de onda da onda gravitacional, então se o detector possui uma dimensão característica L a aproximação só e válida se L << λ.
Podemos usar a equação (20) para estudar o efeito das ondas gravitacionais em um anel de massas. Considere o anel de massas no plano (x, y) e uma onda gravitacional viajando na direção z, com as massas inicialmente em repouso e com o a origem do sistema de coordenadas equidistante das partículas, então ζi representa a distância entre uma partícula e o centro
de coordenadas ( distância em coordenada ou distância própria, já que podemos aproximar o referencial por um referencial local de Lorentz, ambas distâncias são as mesmas). Como a onda gravitacional é transversa, então a onda só terá efeito no plano (x, y). Considerando a posição das partículas (x + δxi, yi+ δyi), a evolução da posição é da dada pela equação (20), linear em
h para os dois graus de liberdade é de uma massa é
δx δy = h+ 2 x0 −y0 cos(ωt), δx δy = h× 2 y0 x0 cos(ωt).
Podemos então plotar o resultado para varias massas do anel e então entender o motivo de nomear os graus de liberdade com + e ×.
3.4
Emissão de ondas gravitacionais
Já vimos que a equação linearizada no vácuo nos mostra a existência de ondas gravitacionais, mas devemos entender como as ondas são produzidas. Voltando a equação
sabemos que ela é linear na pertubação, então podemos resolver esta equação utilizando funções de Green. Definindo
xG(x − x0) = δ4(x − x0), (134)
então a solução correspondente é
hµν(x) = −
16πG c4 π
Z
d4x0G(x − x0)Tµν(x0). (135)
A solução obviamente depende das condições de contorno que vamos impor. A equação é análoga ao caso da radiação no eletromagnetismo, podemos impor as mesmas condições e usar as funções de Green retardadas
G(x − x0) = − 1 4π|x − x0|δ(x 0 ret− x 0 ), (136) onde x0
ret= ctret e tret é o tempo retardado tret= t − |x − x0|/c, então a solução geral é
hµν(t, x) = 4G c4 Z d3x0 1 |x − x0|Tµν t − |x − x 0| c , x 0 . (137)
Fora da fonte, podemos colocar a solução no calibre transverso utilizando o tensor de projeção definido como
Λij,kl(ˆn) = PikPjl−
1
2PijPkl (138)
lembrando que neste calibre h00 = h0k = 0, logo apenas as componentes espaciais são utilizadas,
então a solução é hT Tij (t, x) = 4G c4 Λij,kl(ˆn) Z d3x0 1 |x − x0|Tkl t − |x − x 0| c , x 0 . (139)
3.5
Aproximação de quadrupolo
Considerando sistemas em baixa velocidade, que as ondas gravitacionais possuem compri-mento de onda muito maior do que o tamanho do sistema e avaliando a onda em distâncias grandes, implica que não precisamos saber com muitos detalhes os movimentos internos da fonte, então podemos fazer uma expansão de multipolos. Se a massa total for conservada o momento de monopolo não pode variar no tempo, se o momento for conservado o momento de dipolo também não poderá variar[11], mas o que podemos falar do próximo termo da expansão?
Fazendo então |x − x0| ≈ |x| = r e
x0− |x − x0| ≈ x0− r + ~x0· ~e
r, (140)
onde ~er é um unitário apontando na direção radial, então
hij(t, x) = 4G rc4 Z d3x0Tij t − r c + ~ x0· ~er c , x 0 (141)
para baixas velocidades podemos ignorar ~x0 · ~er em primeira ordem, para ver isso, basta fazer
uma transformada de Fourier na equação anterior e fazer uma expansão da exponencial que surge, então hµν(t, x) = 4G rc4 Z d3x0 Tij t − r c, x 0 . (142)
Esta equação pode ser escrita de outra forma se utilizarmos a conservação do tensor de energia momento
∂µTµν = 0. (143)
Derivando em relação ao x0 e separando a parte espacial da parte temporal fica
∂0∂0Tµ0= −∂0∂iTµi, (144)
∂0∂0T00= −∂0∂iT0i. (145)
Podemos usar isso para escrever Tij em termos da componente 00 do tensor de energia momento
∂µ∂νTµν = 0 ∂0∂νT0ν+ ∂i∂νTiν = 0 ∂0∂0T00+ ∂0∂iTi0+ ∂i∂0T0i+ ∂i∂jTij = 0 ∂0∂0T00− 2∂0∂0T00+ ∂i∂jTij = 0 ∂0∂0T00= ∂i∂jTij. Considerando a quantidade ∂k∂l(Tklxixj) = ∂k∂lTklxixj + ∂lTkl(δkix j+ δj lx i) + ∂ k(Tkixj + Tkjxi), (146) usando que ∂l[Tkl(δkix j + δkjxi)] = ∂lTkl(δkix j + δjlxi) + Tkl(δkiδjl + δkiδkl) (147) o segundo termo pode ser escrito como
∂l[Tilxj+ Tjlxi)] − 2Tij = ∂lTkl(δkix j+ δj lx i) (148) então ∂k∂l(Tklxixj) = ∂k∂lTklxixj + 2∂k(Tkixj+ Tkjxi) − 2Tij, (149) se
∂0∂0(T00xixj) =∂0∂0T00xixj
=∂k∂lTklxixj
=∂k∂l(Tklxixj) − 2∂k(Tkixj + Tkjxi) + 2Tij,
podemos definir o momento de massa
Iij = 1 c2
Z
T00xixjd3x, (150) de tal forma que
∂2Iij ∂t2 = Z ∂0∂0(T00xixj)d3x = Z [∂k∂l(Tklxixj) − 2∂k(Tkixj+ Tkjxi) + 2Tij]d3x.
Os dois primeiros são termos de superfície, podemos impor que Tij seja zero na superfície do
volume em que a fonte está confinada, então
1 2 ∂2Iij ∂t2 = 1 c2 Z Tijd3x, (151)
com as aproximações consideradas T00 = ρc2, onde ρ é a densidade de massa da fonte,
substi-tuindo na equação ( 142) já no calibre transverso fica
hT Tij (t, x) = 2G
rc4Λij,klI¨kl(t − r/c). (152)
onde os pontos indicam derivada em relação ao tempo.
Sabendo que o projetor Λ aplicado a uma delta é igual a zero, podemos escrever Iklpodemos escrever Ikl = Ikl− 1 3δ kl Iii +1 3δ kl Iii, (153)
Qjk =Ikl−1 3δ kl Iii = Z d3xρ(t, x)(xjxk−1 3r 2δjk), para escrever hT Tij (t, x) = 2G rc4Λij,klQ¨kl(t − r c) = 2G rc4Q¨ T T kl (t − r c). (154)
Então em primeira ordem, se o momento de quadrupolo do sistema variar com o tempo, haverá produção de ondas gravitacionais, um objeto pulsando com simetria esférica, por exemplo, não emitirá ondas gravitacionais, pois o momento de quadrupolo é zero.
3.5.1 Ondas gravitacionais emitidas por massas oscilando
Sabemos como ondas gravitacionais são produzidas e como elas se propagam, se quiser-mos montar um aparato para produzir ondas gravitacionais, podequiser-mos imaginar uma situação simples. Considere um oscilador harmônico composto de duas massas oscilando com uma frequência ν = w/2π e amplitude A, sendo l0 a distância inicial entre as partículas em repouso,
assumindo que o movimento se dá no eixo x, a posição das duas massas, com o sistema de coordenadas equidistante de ambas, será
x1 = − 1 2l0− A cos ωt x2 = 1 2l0+ A cos ωt,
a componente 00 do tensor de energia momento, considerando baixas velocidades é T00 = mc2
2
X
n=1
δ(x − xn)δ(y)δ(z), (155)
então, calculando as componentes do momento de massa
Ixx =m
Z
(x2δ(x − x1)δ(y)δ(z) + x2δ(x − x2)δ(y)δ(z))d3x,
Iyy =m Z (y2δ(x − x1)δ(y)δ(z) + y2δ(x − x2)δ(y)δ(z))d3x, =0, Izz =m Z (z2δ(x − x1)δ(y)δ(z) + z2δ(x − x2)δ(y)δ(z))d3x, =0, Izy= Iyz =m Z
(zyδ(x − x1)δ(y)δ(z) + zyδ(x − x2)δ(y)δ(z))d3x,
=0, Izx = Ixz =m Z (zxδ(x − x1)δ(y)δ(z) + zxδ(x − x2)δ(y)δ(z))d3x, =0, Iyx= Ixy =m Z
(yxδ(x − x1)δ(y)δ(z) + yxδ(x − x2)δ(y)δ(z))d3x,
=0,
onde k é uma constante e quando derivarmos em relação ao tempo ela não importará. Os momentos de quadrupolo são
Qxx =Ixx− 1 3Ixx = 2 3Ixx, Qyy =Qzz = − 1 3qxx, Qxy =Qzy = Qxz = 0.
Se a onda viaja na direção z, o tensor de projeção P é
Pjk = diag(1, 1, 0), (156)
QT Txx = 1
2(Qxx− Qyy) QT Tyy = −1
2(Qxx− Qyy)
QT Txy = QT Tzz = QT Tzy = QT Txz = 0.
A equação da onda gravitacional (154 ) então é
hT Txx(t, z) = −hT Tyy (t, z) = G c4z( ¨Qxx(t − z/c) − ¨Qyy(t − z/c)) hT Txx(t, z) = −2Gm zc4 [2A 2cos 2ω(t − z/c) + Al 0cos ω(t − z/c)].
Considerando as massas com m = 103kg, l0 = 1 m, A = 10−4m e ω = 104rad/s, negligenciando
o termo quadrático na amplitude A, a amplitude da onda gravitacional é da ordem de ≈ 10−35/z, ou seja, um efeito muito pequeno e difícil de ser medido, já que a distância própria é proporcional a este valor.
3.5.2 Ondas gravitacionais emitidas por um sistema binário
Se com massas na ordem de grandeza da seção anterior o efeito é pequeno, talvez se conside-rarmos massas maiores o efeito aumente. Vamos considerar dois planetas de m1 e m2 em órbita
circular, cuja separação entre eles é l0, a massa reduzida é µ = m1m2/M onde M = m1+ m2,
escolhendo o sistema de coordenadas no centro de massa do sistema, então
l0 = r1+ r2, r1 =
m2l0
M , r2 =
m1l0
M
e frequência orbital worb=pGM/l03.
x1 = m2l0 M cos ωorbt, y1 = m2l0 M sin ωorbt, x2 = − m1l0 M cos ωorbt, y2 = − m1l0 M sin ωorbt. O tensor de energia momento é
T00 = c2
2
X
n=1
mnδ(x − xn)δ(y)δ(z), (157)
então, de forma análoga ao item anterior, as componentes não nulas do momento de massa são
Ixx = µl02 2 cos 2ωorbt + k Iyy = − µl2 0 2 cos 2ωorbt + k Ixy = µl2 0 2 sin 2ωorbt.
Como o traço de I é zero, podemos escrever o momento de quadrupolo como
Qij = µl02 2
cos 2ωorbt sin 2ωorbt 0
sin 2ωorbt − cos 2ωorbt 0
0 0 0 ij . (158)
Então, a expressão da pertubação é
hT Tij (t, x) = −h0Λij,kl
cos 2ωorbt sin 2ωorbt 0
sin 2ωorbt − cos 2ωorbt 0
0 0 0 ij . (159) onde h0 = 2Gµl2 0(2ωorb)2
2rc4 é a amplitude. Como o movimento é no plano perpendicular ao eixo
z, se considerarmos a onda viajando no eixo z o momento de quadrupolo já está no calibre transverso então fica
