21037 RelAF2 0809

(1)

Relatório da 2ª Actividade Formativa

UC 21037 EPE

I. a) Sabe-se que 1 ( ) é tal que n ( ) 1 X X i i f x ∑ f x = = , Logo f_X

_{( )}

x₁ + f_X

_{( )}

x₂ + f_X

_{( )}

x₃ + f_X

_{( )}

x₄ + f_X

_{( )}

x₅ =0, 05 0, 03 0, 5 2+ + + k+ =k 1 14 , 0 = ⇔ k b) Sabe-se que

( )

∑

( )

≤

=

x x i X X i

x

f

x

F

X _X_{< 0} _{0 ≤ X < 1 1 ≤ X < 2 2 ≤ X < 3 3 ≤ X < 4} _X_{≥ 4} ) (x X f ₀ _0,05 _0,08 _0,58 _0,86 ₁ c) fX

( )

3 =P

(

X =3

)

=0,28 II. a)

[ ]

_i _Y

( )

_i 0 0, 2 3 0, 2 1, 5 i E Y =

µ

=

∑

y f y = × +…+ × = b) 2 2

[ ]

( )

V Y =E Y_ _−E Y =3,3−1,52 =1,05 logo o desvio padrão é de 1,025.

( )

2 2 2 2 0 0, 2 3 0, 2 3, 3 y i Y i i E Y_  =_

∑

f y = × +…+ × =

c) Trata-se de uma distribuição bimodal, cujos valores da moda são 1 e 2. A mediana pertence ao intervalo [1;2[.

(2)

Relatório da 2ª Actividade Formativa

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III. a)

[ ]

= =

∑

( )

=0×0,2+…+4×0,2=2,1 i i X i f x x X E

µ

[ ]

2 2 ( ) V X =E X__ __−E X =6,5₋2,12 ₌2,09

( )

2 2 2 2 ₀ _{0, 2} ₄ _{0, 2} _{6, 5} i X i i E X_  =_ ∑x f x = × + + × =   … b) E(Y)=E(1−3X)=1−3E(X)=1−3×2,1=−5,3 81 , 18 09 , 2 9 ) ( 9 0 ) 3 1 ( ) (Y =V − X = + V X = × = V c) x 0 1 2 3 4 2 − = X Z ₂ ₁ ₀ ₁ ₂ ) (x X f _0,2 _0,2 _0,1 _0,3 _0,2 (2) 0,1 para z=0 ( ) (1) (3) 0, 5 para z=1 (0) (4) 0, 4 para z=2 f_X f z f f Z X X f f X X  ₌  = + =  + = 

[ ]

_i _Z

( )

_i 0 0,1 2 0, 4 1, 3 i E Z =µ=∑z f z = × +…+ × =

[ ]

2 2 ( ) V Z =E Z__ __−E Z =2,1 1,3− 2=0, 41

( )

2 2 2 2 ₀ _0,1 ₂ _{0, 4} _2,1 i Z i i E Z_  =_ ∑z f z = × + + × =   …

(3)

Relatório da 2ª Actividade Formativa

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IV. a) Sabe-se que ,

(

,

)

(

,

)

,

(

,

)

i j X Y X Y i j x x y y F x y P X x Y y f x y ≤ ≤ = ≤ ≤ =

∑ ∑

Y X 0 1 2 0 0,10 0,15 0,20 1 0,10 0,15 0,15 2 0,05 0,05 0,05 b) x 0 1 2 ) (x X f _0,45 _0,4 _0,15 c)

[ ]

i X

( )

i i E X =

µ

=

∑

x f x =0 0, 45× +…+ ×2 0,15=0, 7

[ ]

2 2 ( ) V X =E X_ _−E X   = 2 1 0, 7− =0,51

( )

2 2 i X i i E X_  =_

∑

x f x 2 2 0 0, 45 2 0,15 1 = × +…+ × = d) y 0 1 2 ( ) f y Y 0,25 0,35 0,4 e)

[ ]

_i _Y

( )

_i i E Y =

µ

=

∑

y f y =0 0, 25× +…+ ×2 0, 4 1,15=

[ ]

2 2 ( ) V Y =E Y_ _−E Y =1,95 1,15− 2 =0, 6275

( )

2 2 y i Y i i E Y_  =_

∑

f y 2 2 0 0, 25 2 0, 4 1, 95 = × +…+ × =

(4)

Relatório da 2ª Actividade Formativa

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f) Cov

[

X Y,

]

=E X Y

[

]

−E X E Y

[ ] [ ]

=0, 75 0, 7 1,15− × = −0, 055

[

]

i j X Y,

(

i, j

)

i j E X Y =

∑∑

x y f x y = 0 0 0,10 0 1 0,15 0 2 0, 20 2 0 0, 05 2 1 0, 05 2 2 0, 05 0, 75 = × × + × × + × × +…+ × × + × × + × × = g) (V X−Y)=V X( )+V Y( ) 2 cov( , ) 1, 2475− X Y = h)

[

]

[ ] [ ]

, , Cov , 0, 09722 X Y X Y X Y X Y V X V Y

σ

ρ

σ

= = = − i) ,

(

,

)

(

,

)

,

(

,

)

i j X Y X Y i j x x y y F x y P X x Y y f x y ≤ ≤ = ≤ ≤ =

∑ ∑

Y X Y < 0 0 ≤ Y < 1 1 ≤ Y < 2 Y ≥ 2 X < 0 - - - - 0 ≤ X < 1 - 0,10 0,25 0,45 1 ≤ X < 2 - 0,20 0,5 0,85 X ≥ 2 - 0,25 0,60 1 V. a) Como X i Y

( )

⇒ F_{X Y}_,

(

x y,

)

=F_X

( )

x ×F_Y

( )

y Y X Y < 0 0 ≤ Y < 1 1 ≤ Y < 2 2≤Y<3 Y ≥3 X < 0 - - - - - 0 ≤ X < 1 - 0,04 0,1 0,16 0,2 1 ≤ X < 2 - 0,12 0,3 0,48 0,6 X ≥ 2 - 0,2 0,5 0,8 1

(5)

Relatório da 2ª Actividade Formativa

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b)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

( )

1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 _X 1 1 0, 6 0, 4 P X Y P X P Y P X Y P X P Y P Y P X F > = > = > = = = = > = = = = − ≤ = − = − = ∩

VI. Diga qual das seguintes afirmações é verdadeira:

Conhecendo a função densidade conjunta das variáveis aleatórias contínuas X e Y pode obter-se a função marginal de Y do seguinte modo:

dy y x f y f_Y

∫

_XY +∞ ∞ − = ( , ) ) ( . ( , ) ( ) ( ) XY Y X Y f x y f y f x = . ( , ) ( ) ( ) XY Y Y X f x y f y f y = .

∫ ∫

∞ − −∞ = x y XY Y y f u vdudv f ( ) ( , )

VII. X ≡Número de peças defeituosas a) X Bin(5;0,1) 5 0 1 0 5 . . p . n ) X ( E = = × = V(X )=n.p.q =5×0.1×0.9=0.45 5 1 0 9 0 1 0 5 ₅ , , , x . . x ) x ( f x x _i i i X i i = …       = − a1) P(X ) fX( )  . . =0.59049      = = = 0 5−0 9 0 1 0 0 5 0 0 a2) 0109 032805 1 5 1 1) f ( ) . 1 . 5 1 . X ( P X  =      = = = − b) X Hip(100,10,5) 05 100 10 5 . N m . n ) X ( E = = × = 4318 0 99 95 9 0 1 0 5 1 . . . N n N . N m N . N m . n ) X ( V = × × × = − − − =

(6)

UC 21037

5 1 0 5 100 5 90 10 , , , x x x ) x ( f i i i i X = …             −       = c) X Geo(0;1) f (x ) ( . ) . xi , , x i X i ₀₁ ₁… 1 0 1− 1 = = − 0 . ) . ( ) ( f ) X ( P = = _X = − − ≈ 1 0 1 0 1 101 101 1011

VIII. Sendo: X número de indivíduos com a característica

a) Calcule a probabilidade exacta.

n=1000 p=0,002 X Bin(0,002;1000)

[

]

[

]

(

[

]

[

]

[

]

)

(

)

3 1 3 1 0 1 2 1 0,13506 0, 27067 0, 27094 1 0, 67667 0, 32333 P X ≥ = −P X < = − P X = +P X = +P X = = = − + + = − =

[

]

1000 ₀

(

)

1000 0 0, 002 0, 998 0,13506 0 P X = =_ _ =   b) X Poisson(2) n=1000 p=0,002 λ=np= 2

[

]

[

]

(

[

]

[

]

[

]

)

0 1 2 2 2 2 3 1 3 1 0 1 2 2 2 2 1 1 0, 67668 0, 32332 0! 1! 2! P X P X P X P X P X e− e− e− ≥ = − < = − = + = + = =   = −_ + + _= − =  

IX. Sendo: X número de peças defeituosas a) X Bin(5;10/100=0,1)

[ ]

( )

(

)

( )

(5 ) 5 0,1 0, 5 1 5 0,1 0, 9 0, 45 5 0,1 0, 9xi xi , 0,1,..., 5 X i i i E X np Var X np p f x x x − = = × = = − = × × =   =_{ } =  

(7)

UC 21037

b) X Hipergeométrica(100,10,5)

[ ]

( )

5 0,1 0,5 95 5 0,1 0, 9 0, 431818 1 99 10 90 5 100 5 i i X i M E X n N M N M N n Var X n N N N x x f x = = × = − − = × × = × × × = −         −     =      

X. Sendo: X número de cheias de cinco em cinco anos

X Ρ

(

λ

=1

)

Y número de cheias de oito em oito anos

Y 8 5 λ   Ρ_ = _   a)

[

]

0 8 5 8 5 8 5 0 0, 2019 0! e P Y e − −       = = = = b)

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

1 2 3 8 8 8 5 5 5 3 0 1 2 3 8 8 8 5 5 5 0, 2019 1! 2! 3! 0, 2019 0,323 0, 258 0,1378 0,9207 P Y P Y P Y P Y P Y e− e− e− ≤ = = + = + = + = =                   = + + + = = + + + =

XI. Sendo: X número de avarias por semana

X Ρ

(

λ

=1, 2

)

a)

[

]

1,2 0 1,2 1, 2 0 0,3012 0! e P X e − − = = = = b)

[

]

(

) (

)

[

]

(

)

[

]

1,2 1 0 1 1\ 0 0 1 0 1, 2 0,5172 1 0,3012 P X X P X P X X P X P X e− = >   ₌   = > = = = > − = = = − ∩

(8)

UC 21037

XII. Sendo ≡X nº de chamadas por minuto

X P(2) x , ,… ! x e ) x ( f i i x i X i 1 0 2 2 = = − a) P(X=3)= 0.18045 ! e ) ( f_X = ≈ − 3 2 3 2 3 b) ≡Y n.º de chamadas em 6 minutos Y P(12) λx =2 1 λy =? 6 y ,,… ! y e ) y ( f _i i y i Y i 1 0 12 12 = = − P(Y=0)= e ! e ) ( f_Y 12 12 0 0 12 0 − − ≈ = c) 12 1 0 1 1 1 2 1 1 = = + = + = − < = − = = − − ≥ ) P(Y ) P(Y ) P(Y ) P(Y ) e Y ( P …

XIII. Sendo X Exp(0,25) λλλλ=0,25

a) 4 25 0 1 1 = = λ = . ) X ( E 16 25 0 1 1 2 2 = = λ = . ) X ( V b) ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ ₃ indep. ( 1, 5) ( 1,5) ( 1, 5) ( 1, 5) ( 1, 5) ( 1, 5) i X P X_ > ∩ X > ∩ X > _ = P X > P X > P X > = = 1 2 3 1 F_X (1, 5) 1 F_X (1, 5) 1 F_X (1,5)  ₋   ₋  ₋      =

[

1−FX(1, 5)

]

3=

(

)

3 0,25 1,5 1 1 e− ×  ₋ ₋      =0,3246

XIV. Seja X N(µ,σ2 ) sabe-se que Z X ~N(µ,σ2)

σ µ − =

(9)

UC 21037

13 15 0, 4 0, 4 13 12 5 25 2, 0 25 2, 0 2, 4 µ _µ µ σ σ σ µ µ σ σ −  =  = −  _ ₌ ₊   ⇔ ⇔    = = − _− = −  ₌ _  XV. Sendo Xi

[

]

2 2 0, 4 ₁₆ ₄ 12 3 i i U

µ

σ

=   ⇒  = =  ≡ ∑ = = 117 1 i i X

Y número total de horas que o equipamento funciona.

(

0,1

)

156 234 156 3 4 117 , 234 2 117 Z Y N N Y TLC → − = ⇒       _× ₌ _× ₌ → • •

(

235, 2

)

1

(

235, 2

)

1 235, 2 234 1

( )

0,1 1 0, 5398 0, 4601 156 P Y> = −P Y≤ = −P − == − Φ = − =  

XVI. Seja : X = “peso do conteúdo de cada caixa” _{→ N}

(

_µ_;σ2

)

X X = “Peso médio o conteúdo de 16 caixas”

[ ]

   = σ = = µ = ⇒ ₂ ₂ 1 507 gr X V gr X E X X X

(

)

     _µ σ → ⇒ σ µ → n N X N X 2 2 ; ; , assim: n=16, _X 507 ; 2 1 2 507 ; 2 16 2 X gr gr gr gr µ = σ = ⇒µ= σ = E consequentemente: X →N

₍

507 ;16

₎

a)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

500 507 510 507 500 510 1 500 510 1 4 4 1 1, 75 0, 75 1 0, 75 1, 75 1 0, 77337 0, 04006 1 0, 73331 0, 26669 P X X P X P Z P Z − −   < ∪ > = − ≤ ≤ = − _ ≤ ≤ _=     = − − ≤ ≤ = − Φ_ − Φ − _= = − − = − =

b) Seja : Xi = “Peso de cada caixa, em kg”

0,507 0, 0012 i i i kg X kg µ σ =  ⇒  = 

(10)

UC 21037

X = “Peso, em kg, das 24000 caixas”

(

)

(

)

24000 2 . . . 1 . . . 24000 0, 507; 24000 0, 0012 12168; 0, 03456 i T L C i T L C X X N X N • = • = ∑ → × × →

(

)

(

)

(

)

(

)

12000 12168 12000 1 12000 1 0, 03456 1 903, 69 1 903, 69 1 0 1 P X P X P Z P Z  ₋  > = − ≤ = − _ ≤ _=   = − ≤ − = − Φ − = − =

XVII. Sendo: p=0,4 1-p=0,6 X Bin(3;0,4)

( )

(

1

)

t n 0, 6 0, 4 t 3 X M t =_ −p + pe _ =_ + e _

( )

'

( )

0 X E X M

µ

= =

( )

2 2 2 2 ' ' ' 0 0 X X E X E X M M

σ

= − = _{− } _

( )

2 2 ' 3 0, 6 0, 4 t 0, 4 t 1, 2 t 0, 6 0, 4 t X M t = _ + e _ × e = e _ + e _

( )

2 ' ' 2 ₂ 1, 2 0, 6 0, 4 2, 4 0, 6 0, 4 0, 4 1, 2 0, 6 0, 4 0, 96 0, 6 0, 4 t t t t t X t t t t M t e e e e e e e e e     = _ + _ + _ + _ =     = _ + _ + _ + _

( )

2

[

]

2 ' 0 0 0 1, 2 0, 6 0, 4 1, 2 0, 6 0, 4 1, 2 X M = e _ + e _ = + =

( )

' ' 2 0 0 0 1, 2 0,96 0, 6 0, 4 2,16 X M = + e × _ + e _= 1, 2

µ

=

(

)

2 2 2,16 1, 2 0, 72 σ = − =

XVIII. Diga qual das seguintes afirmações é verdadeira:

Dadas duas variáveis aleatórias: X com distribuição de Bernoulli e Y com distribuição geométrica ambas de parâmetro p, pode afirmar-se que:

pq X E( )= e 2 1 ) ( p p Y V = − com q= 1−p. pq X V( )= e 2 ) ( q p Y V = com q= 1−p.

(11)

UC 21037

p X V( )= e p Y V( )= 1 . pq X V( )= e 2 ) ( p q Y V = com q= 1−p.

Bom Trabalho!

FIM