(a) f(x) = x 3 x (b) f(x) = x (c) f(x) = 3 x (d) f (x) = 1 x x se x < 1 (1 x) 2 se 1 x. f f(a + h) f(a h) (a) = lim. = f(x 1 ) x 1 f (x 1 ).

(1)

Minist´erio da Educa¸c˜ao

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão

Wellington Jos´e Corrˆea

3a¯ Lista de C´alculo Diferencial e Integral I

Curso: Licenciatura em Qu´ımica DAMAT, 2015

Nome:

Defini¸c˜ao de Derivada.

1 Recorrendo a defini¸c˜ao de derivada dada por limite, encontre f0(x) nos itens a seguir: (a) f (x) = x3− x (b) f (x) =√x (c) f (x) = √3_x

(d) f0(x) = 1 x + 1 2 Fa¸ca o que se pede:

(a) Ache a inclina¸c˜ao da reta tangente `a curva y = x2− 4x − 5 dada no ponto (−2, 7). Fa¸ca um esbo¸co da curva com a reta tangente e a reta normal.

(b) Idem, para y = 2x − x3 no ponto (−2, 4).

(c) Encontre uma equa¸cão da reta tangente à curva y = 2x2+ 3 que é paralela à reta 8x − y + 3 = 0. (d) Encontre uma equa¸cão da reta tangente à curva y = 2 −1

3x

2 _{que ´}_{e perpendicular `}_{a reta x − y = 0.}

3 Seja f definida por

f (x) = ( √

1 − x se x < 1 (1 − x)2 se 1 ≤ x Do exposto,

(a) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f. (b) Determine se f ´e cont´ınua em x = 1.

(c) Determine se f−0 (1) e f+0 (1) existem e se f ´e deriv´avel em 1.

4 Prove as afirma¸c˜oes abaixo: (a) se f0(a) existe, prove que

f0(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a − h)

2h .

(b) Calcule com enlevo lim

x→1

x100− 1 x − 1 . (c) Se f0(x1) existir, prove que

lim

x→x1

x f (x1) − x1f (x)

x − x1

= f (x1) − x1f0(x1) .

(d) O Teorema do Resto em Álgebra Elementar afirma que, se P (x) é um polinômio em x e se r é um número real qualquer, então existe um polinômio Q(x), tal que P (x) = Q(x) (x − r) + P (r). Qual é o limite lim

x→rQ(x)?

Na situa¸c˜ao acima, se P (x) = x3+ 2x2− x + 4, calcule lim

x→3Q(x)?

(2)

Regras de Deriva¸c˜ao.

5 Calcule as derivadas abaixo: (a) y = 6x2− 10x − 5x−2 (b) w = 3z−3−1 z (c) f (x) = x2ex (d) f (x) = e x x2 (e) g(x) = (x + 2)(x − 1) (f ) h(x) = (x2+ 1)(x3+ 1) (g) f (x) = 2x + 5 3x − 2 (h) y = (3 − x2)(x3− x + 1) (i) y = x2− senx (j) f (x) = cossecx + 7 (k) g(x) = cos x 1 − senx (l) y = sec x tgx (m) y = ex cos x (n) f (x) = cos x ln x − 3 (o) y = 2x· x − 13 log₄₅x

6 Se Galileu tivesse deixado cair uma bala de canh˜ao da Torre de Pisa, 179 p´es acima do solo, sua altura t segundos depois de cair teria sido s(t) = 179 − 16 t2.

(a) Quais teriam sido a velocidade, o módulo da velocidade e a acelera¸cão da bala no instante t? (b) Quanto tempo a bala teria levado, aproximadamente, para atingir o chão?

(c) Qual teria sido a velocidade da bala no momento do impacto? 7 A varia¸c˜ao na entropia de um g´as ideal pode ser escrita na forma

∆ S = CV ln T + R ln V

Escreva uma express˜ao para d∆ S

dT (CV ´e a capacidade calor´ıfica a volume constante, logo o segundo termo ´e uma constante).

8 Uma molécula do produto C é produzida de uma molécula do reagente A e de uma molécula do reagente B, e as concentra¸cões iniciais de A e B têm o mesmo valor [A] = [B] = a mols/L, então a concentra¸cão de C é

[C] = a

2_{k t}

a k t + 1 onde k ´e uma constante.

(a) O que acontece com a concentra¸c˜ao quando t → +∞? (b) Encontre a taxa de rea¸c˜ao no instante t.

(c) O que acontece com a taxa da rea¸c˜ao quando t → +∞?

Regra da Cadeia.

9 Calcule as derivadas das fun¸c˜oes abaixo utilizando a Regra da Cadeia. (a) f (x) = (sen x + cos x)3

(b) g(k) = esen k3

(c) h(t) = cos 5t sen 2t

(d) f (t) = t3e−t3

(3)

(f ) y = cos3 x3 (g) f (z) = 32x+1+ log₂(x2+ 1) (h) f (x) = xsen 3x (i) y = 2x2 + 32 x (j) y = xπ+ πx (k) y = | x2− 4 | (l) y = | x |3

10 Prove que a derivada de uma fun¸cão par é uma fun¸cão ´ımpar e a derivada de uma fun¸cão ´ımpar é uma fun¸cão par, desde que tais derivadas existam.

11 Use a Regra da Cadeia para mostrar que, se θ for medido em graus, ent˜ao d

dθ(sen θ) = π

180 cos θ

(Isso dá uma razão par que a conven¸cão de que a medida em radianos é sempre usada quando tratamos o cálculo de fun¸cões trigonométricas: as fórmulas de deriva¸cão não seriam tão simples se usássemos a medida em graus).

12 A leitura da escala Richter, R, utilizada para medir a magnitude de um terremoto com intensidade I ´e

determinada por R = ln_II

0

ln 10 onde I0 é um limiar m´ınimo padrão de intensidade. Se I0 = 1, qual é a taxa de varia¸cão da leitura da escala Richter em rela¸cão à intensidade?

Deriva¸c˜ao Impl´ıcita.

13 Nos exerc´ıcios abaixo, encontre dy

dt por deriva¸c˜ao impl´ıcita. (a) y3+ x2y = x + 4 (b) x2+ y2+ 2 y = 0 (c) x ey+ cos y = x y (d) y = cos(x − y) (e) (x + y)2− (x − y)2 = x3+ y3 (f ) y + ln(x2+ y2) = 0 . 14 Encontre d y

d x usando diferencia¸c˜ao logar´ıtimica. (a) y = (x2+ 1)sen x (b) y = x√31 + x2 (c) y = r x − 15 x + 1 (d) y = sen x cos x tg 3_x √ x (e) y = (x 2_{− 8)}1/3√_x3_{+ 1} x6_{− 7 x + 5} Taxas Relacionadas.

15 Resolva os problemas abaixo:

(a) Uma pedra cai livremente em um lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada aumenta a uma taxa de 16cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região está aumentando quando o raio for de 4cm? (b) Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o outro para o oeste

a 25 mi/h. A que taxa est´a crescendo a distˆancia entre os carros duas horas depois?

(c) Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6m3/min. A altura do cone é de 24m e o raio da base é de 12m. Ache a velocidade com que o n´ıvel de água está abaixando, quando a água estiver a uma profundidade de 10m.

(4)

(d) Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0, 1 m3/s. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m. Com que velocidade o n´ıvel h da água está subindo no instante em que h = 5 m.

(e) Uma viatura de pol´ıcia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, persegue um carro em alta velocidade, que no cruzamento, toma a dire¸cão leste. Quando a viatura está a 0,6 milha ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 milha a leste, o radar da pol´ıcia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo aumenta a 20 milhas/h. Se a viatura se desloca a 60 milhas/h no instante da medi¸cão, qual é a velocidade do fugitivo?

(f ) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de eleva¸cão do telêmetro é π/4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?

Derivadas de Ordem Superior.

16 Calcule as derivadas de ordem superior.

(a) D_x3(x9) _(b) d2

dt2(t

2 _{· sen t)}

17 Obtenha uma fórmula para encontrar a n − ésima derivada das seguintes fun¸cões: (a) y = xn (b) y = 1 x (c) y = ln x (d) y = 1 1 − 2x (e) y = sen x (f ) y = cos x

Lineariza¸c˜ao (aproxima¸c˜ao linear).

18 Determine a aproxima¸c˜ao linear (lineariza¸c˜ao) de:

(a) f (x) =√1 + x em x = 3. (b) f (x) = cos x quando x = π/2.

(c) f (x) = sen x para x = 0. Use esta aproxima¸c˜ao linear para aproximar sen 2◦.

(d) f (x) = (1 + x)k, onde k ∈ R em x = 0. Use esta lineariza¸c˜ao para estimar (1, 0002)50 e √3_{1, 009.}

Teorema do Valor M´edio.

19 Use o teorema do valor m´edio para provar que (a) |sen a − sen b| ≤ |a − b|, ∀ a, b ∈ R

(b) tg−1x + cotg−1x = π 2

(c) sec−1 x + cossec−1x = π 2

20 Às duas horas da tarde o veloc´ımetro de um carro mostrava 30 mi/h, e às 2h 10 mostrava 50 mi/h. Mostre que em algum instante entre 2h e 2h 10 a acelera¸cão é exatamente 120 mi/h2.

Extremos Relativos.

21 Encontre os extremos relativos das fun¸cões usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as ass´ıntotas horizontal, vertical e obl´ıqüa, caso existam. Por fim, fa¸ca o esbo¸co do mesmo.

(5)

(a) f (x) = x3+ 5x2+ 3x − 4 (b) f (x) = 1 4x 4₋1 3x 3_{− x}2_{+ 1} (c) f (x) = 4 x1/2+ 4 x−1/2 (d) F (x) = cos(3 x), x ∈ −π₆,π₂ (e) f (x) = x e−x (f ) f (x) = x 2 x − 1 (g) f (x) = x 2_{+ 1} x2_{− 1} (h) f (x) = 3 x2/3− 2x Otimiza¸c˜ao.

22 Resolva os seguintes problemas de otimiza¸c˜ao:

(a) Encontre dois n´umeros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a menor poss´ıvel.

(b) Se 1200 cm2 de material estiverem dispon´ıveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume poss´ıvel da caixa.

(c) Encontre o ponto sobre a reta y = 4x + 7 que est´a mais pr´oximo da origem.

(d) Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semic´ırculo. (O diâmetro do se-mic´ırculo é igual à largura do retângulo). Se o per´ımetro da janela for 30 pés, encontre as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade poss´ıvel de luz.

x

(e) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papel˜ao medindo 16 por 30 cm, destacando - se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando - se os lados conforme figura abaixo:

x x x x x x x x 30 30 16 16

Qual ´e o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?

(f ) Um retângulo deve ser inscrito em um triângulo retângulo com lados de comprimento 6, 8 e 10 cm. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área, supondo que ele está posicionado conforme a figura a seguir.

6 cm

8 cm 10 cm

(6)

(g) Mostre que, dentre todos os retângulos com per´ımetro p, o quadrado é o que tem área máxima.

Regra de L’Hˆospital. 23 Calcule os limites abaixo:

(a) lim x→+∞ x ex (b) lim x→+∞ ln x x (c) lim x→+∞ ln x √ x (d) lim x→+∞x 1 x (e) lim x→+∞(1 + 2x) 1 x (f ) lim x→0+(senx) x2 . Sucesso!!!

(7)

Respostas

1 (a) f0(x) = 3x2− 1 _{(b) f}0_{(x) =} 1 2√x (c) f 0_{(x) =} 1 3√3x2 (d) f 0_{(x) = −} 1 (x + 1)2 2 (a) -8 (b) -10 (c) 8x − y − 5 = 0 (d) 4x + 4y − 11 = 0 3 (a) 0 y x 1 (b) Sim;

(c) Existem, mas f não é derivável em x = 1.

4 (a) Use o fato que f (a + h) − f (a − h) = f (a + h) − f (a) + f (a) − f (a − h) (b) Use a defini¸c˜ao de derivada.

(c) Note que x f (x1) − x1f (x) = x f (x1) − x1f (x1) + x1f (x1) − x1f (x)

(d) Perceba com deleite que Q(x) = P (x) − P (r) x − r ; 38. 5 (a) y0 = 12x − 10 + 10x−3 (b) w0 = −9z−4+ 1 z2 (c) f0(x) = x2ex+ 2xex (d) f0(x) = x 2_ex_{− 2xe}x x4 (e) g0(x) = 2x + 1 (f) h0(x) = 5x4+ 3x2+ 2x (g) f0(x) = − 19 (3x − 2)2 (h) −5x4+ 12x2− 2x − 3 (i) y0 = 2x − cos x (j) f0(x) = −cossecx cotgx (k) g0(x) = 1 1 − senx (l) y0 = sec3x + sec x tg2x (m) y0 = excos x − exsenx (n) f0(x) = −senx ln x +cos x x (o) y0 = 2x· ln 2 · x + 2x− 13 x ln 45

6 (a) Velocidade: v(t) = −32 t pés/s; módulo da velocidade: v(t) = 32 t pés/s; acelera¸cão: a(t) = −32.

(b) t = r 179 16 ≈ 3, 3 segundos. (c) t = −8√109 ≈ −107 p´es/s. 7 d∆ S dT = CV T .

8 (a) A concentra¸c˜ao [C] tende ao valor a mols/L.

(b) [C] dt =

a2k (a k t + 1)2

(8)

9 (a) 3(sen x + cos x)2 · (cos x − sen x) (b) 3k2cos(k3) esen k3

(c) −5 sen 2t · sen 5t − 2 cos 2t · cos 5t (sen 2t)2 (d) −3t2e−t3 · (1 + t3₎ (e) 6[ln(x 2_{+ 1)]}2_x x2_{+ 1} (f) −9 cos2_(x3_{) sen(x}3_{) · x}2 (g) 2 · 32x+1+ 2x (x2_{+ 1) ln 2} (h) xsen(3x)· 3 cos(3x) ln x +sen(3x) x (i) 2 ln 2 · x · 2x2+ 2 · ln 3 · 32 x (j) π xπ−1+ ln π · πx (k) y0= 2 x(x 2_{− 4)} | x2_{− 4 |} (l) y0= 3 x | x | 10 Use as defini¸c˜oes de fun¸c˜ao par e ´ımpar e a Regra da Cadeia.

12 d R d I = 1 ln 10 I . 13 (a) dy dx = − 2xy − 1 3y2_{+ x}2 (b) dy dx = − y + 1 x (c) dy dx = − ey− y xey_{− sen y − x} (d) dy dx = − 4y − 3x2 4x − 3y2 (e) dy dx = − sen(x − y) 1 − sen(x − y) (f) dy dx = − 2x y2_{+ x}2_{+ 2y} 14 (a) d y d x = (x 2_{+ 1)}sen x 2x sen x x2_{+ 1} + (cos x) ln(x 2_{+ 1)} (b) d y d x = x 3 p 1 + x2 1 x + 2x 3(1 + x2₎ (c) d y d x = 1 5 5 r x − 1 x + 1 1 x − 1− 1 x + 1 (d) d y d x = sen x cos x tg3x √ x cotg x − tg x +3 sec 2 _x tg x − 1 2x (e) d y d x = (x2− 8)1/3√_x3_{+ 1} x6_{− 7 x + 5} 2x 3(x2_{− 8)}+ 3x2 2(x3_{+ 1)} − 6x5− 7 x6_{− 7 x + 5} 15 (a) 128 cm2/s (b) 65 mi/h (c) 6 25 π m/min (d) 9 1000 πm/s (e) 70 milhas/h (f) 140 p´es/min

16 (a) 504x6 (b) 2sent + 4t cos t − t2sent

17 (a) n! (b) (−1) n_n! xn+1 (c) (−1) n+1_{(n − 1)!} xn n ≥ 1. (d) 2 n_n! (1 − 2x)n+1 (e) Dn_x(sen x) =            cos x, para n = 1, 5, 9, . . . −senx, para n = 2, 6, 10, . . . − cos x, para n = 3, 7, 11, . . . senx, para n = 4, 8, 12, . . . (f) Dn_x(cos x) =            −senx, para n = 1, 5, 9, . . . − cos x, para n = 2, 6, 10, . . . senx, para n = 3, 7, 11, . . . cos x, para n = 4, 8, 12, . . .

(9)

18 (a) L(x) = 2 +1 4(x − 3) (b) L(x) = −x + π 2 (c) L(x) = x; 0, 0349066. (d) L(x) = 1 + k x; 1, 01; 1, 003.

20 Sugest˜ao: Use o teorema do valor m´edio.

21 (a) f −1 3 = −121

27 m´ınimo relativo; f (−3) = 5 m´aximo relativo; ponto de inflex˜ao em −5 3, 7 27 ; decrescente em −3, −1 3 e cres-cente em (−∞, −3] e −1 3, +∞

; cˆoncavo para cima para x > −5 3 e x > 1; cˆoncavo para baixo em x < −5

3. -3 5 x y f (x) −1 3 −121 27 • −5 3, 7 27 (b) f (−1) = 7 12 e f (2) = − 5

3 m´ınimos relativos; f (0) = 1 m´aximo relativo; pontos de inflex˜ao em x = 1

3(1 ± √

7); decrescente em (−∞, −1] e [0, 2]; crescente em [−1, 0] e [2, +∞); cˆoncavo para cima para x < 1 3(1 − √ 7) e x > 1 3(1 + √

7); cˆoncavo para baixo em 1 3(1 − √ 7) < x < 1 3(1 + √ 7). -3 -1 -2 x y 7 12 2 −5 3

(10)

(c) f (1) = 8 m´ınimo relativo; ponto de inflexão em 3,16 3 √ 3 ; de-crescente em (−∞, 1]; de-crescente em [1, +∞); côncavo para cima para 0 < x < 3 ; côncavo para baixo em x > 3.

1 3 5 10 5 8 10 20 x 3,16 3 √ 3 • y (d) f π 3

= −1 m´ınimo relativo; f (0) = 1 m´aximo relativo; ponto de inflex˜ao em π

6, 0

; decrescente em (−∞, −1] e [0, 2]; crescente em [−1, 0] e [2, +∞); cˆoncavo para cima para π

6 < x < π 2; cˆoncavo para baixo em −π 6 < x < π 6. -1 x −π 6 π 2 π 3 1 y • π 6 (e) f (1) = 1

e m´aximo relativo; ponto de inflex˜ao em 2, 2 e

−2_;

decres-cente em [1, +∞); cresdecres-cente em (−∞, 1]; cˆoncavo para cima para x > 2 ; cˆoncavo para baixo em x < 2.

x y 1 2 1 e • 2, 2 e−2

(f) f (0) = 0 m´ınimo relativo; f (2) = 4 máximo relativo; não há ponto de inflexão ; decrescente em [0, 1) e (1, 2]; crescente em (−∞, 0] e [2, +∞); côncavo para cima para x > 1 ; côncavo para baixo em x < 1; ass´ıntota vertical: x = 1; ass´ıntota obl´ıqua: y = x + 1.

y x 0 y = x + 1 1 2 4

(11)

(g) f (0) = −1 m´ınimo relativo; não há ponto de inflexão ; decrescente em [0, 1) e (1, 2]; crescente em (−∞, −1) e (1, +∞); côncavo para cima para x < −1 e x > 1 ; côncavo para baixo em −1 < x < 1; ass´ıntotas verticais: x = −1 e x = 1; ass´ıntota horizontal: y = 1. -1 0 1 -1 1 x y

(h) f (0) = 0 m´ınimo relativo; f (1) = 1 máximo relativo; não há ponto de inflexão; decrescente em (−∞, 0] e [1, +∞); crescente em [0, 1]; côncavo para baixo em x < 0 e x > 0.

-1 _-1 1 1 x y 22 (a) 10 e 10 (b) 4000 cm3 (c) −28 17, 7 17 (d) x = 60 4 + π, y = 30 4 + π (e) 10 3 cm (f) x = 3 cm e y = 4 cm 23 (a) 0 (b) 0 (c) 0 (d) 1 (e) 1 (f) 1