Estatística Quântica Gás de Fermi

Monografia

Estatística Quântica

Gás de Fermi

André Hernandes Alves Malavazi

SFI5814 - Física Atômica e Molecular, 2017-2

Estatística Quântica e o Gás de Férmi

Resumo

Neste trabalho será discutido sobre estatística quântica e sua aplicação para o tratamento de um gás ideal de Fermi. Como referência serão utilizados os livros A Modern Course in Statistical Physics [1] de L. E. Reichl, Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Thermodynamics [2] de M. Le Bellac, F. Mortessagne e G. G. Batrouni, e Introdução à Física Estatística [3] de S. R. A. Salinas.

1

Introdução

-O Postulado de Simetrização é um dos pilares essen-ciais da Mecânica Quântica, ele separa as partículas fundamentais em duas classes: bósons, que possuem spins inteiros; e férmions, que possuem spins semi-inteiros. É verificado que o estado global de um sis-tema de bósons idênticos deve ser simétrico sob a troca de coordernadas de duas partículas, e antis-simétrico para férmions. Este fenômeno tem con-sequências diretas no tratamento estatístico e termo-dinâmico de um gás quântico. Em baixas tempera-turas os comprimentos de onda dos constituintes do gás se sobrepõem (λT ´ermico∝ T−1/2) e os efeitos da

indistinguibilidade se tornam evidentes, sendo, por-tanto, necessário um tratamento quântico. De fato, um gás de bósons indistinguíveis obedece a chamada estatística de Bose-Einstein, já um gás de férmions obedece a estatística de Fermi-Dirac. É importante ressaltar que estas diferenças ocorrem independente da existência ou não de interações entre as partículas do gás [1].

Neste trabalho será tratado um gás quântico ideal constituido por férmions. Na Sessão 2 será apresen-tado a estatística de Fermi-Dirac, já na Sessão 3 será discutido sobre o gás ideal de Fermi em dois diferen-tes regimes: T = 0 K e T  TF.

2

Estatística Quântica

-Para obter as estatísticas de Bose-Einstein (BE) e Fermi-Dirac (FD) será verificado o comportamento de um gás ideal quântico. Note que como não serão considerados interações entre partículas (gás ideal) o estado total do sistema é o produto dos estados

individuais de cada elemento, submetido ao devido processo de simetrização. Se o gás se encontra den-tro de um volume V (L3_{) com condições}

periódi-cas de contorno, reconhecemos os possíveis estados de uma única partícula como {|ix, iy, izi = |ii} com

energia i = π

2

~2

2mL2 i2x+ i2y+ i2z

_{. Sendo assim, seja} ni o número de partículas ocupando o estado i com

momento pi, o Hamiltoniano ( ˆH) e o número total de

partículas ( ˆN) no volume são dados pelos operadores ˆ

H =P

iinˆi e ˆN =Pinˆi. Note que como estamos

interessados na descrição estatística do sistema, sua configuração é completamente definida com o con-junto de números de ocupação {ni}[2,3].

Esta descrição é comumente realizada com o en-semble grande-canônico [1], onde o número total de partículas não é fixo. Este ensemble é utilizado para descrever um sistema aberto em equilíbrio. Neste caso, tanto a energia interna quanto o número de partículas dentro do sistema flutuam mediante inte-ração com um banho externo. Entretanto, a condi-ção de equilíbrio fixa seus valores médios em h ˆHi e h ˆN i. A função de partição grande-canônica é dada por Zµ(T, V ) = tr n e−β[H−µ ˆˆ N]o. Assim, Zµ(T, V ) = X {ni} e−βPi(i−µ)ni₌Y i X ni e−β(i−µ)ni

Note que neste momento fica claro a diferença entre a natureza das partículas consideradas, para bósons sabe-se que ni = 0, 1, .., ∞, já para férmions

ni= 0, 1.

2.1

Dado os valores possíveis de ni o somatório da

fun-ção de partifun-ção é simplesmente Pnie

1 + e−β(i−µ). Entretanto, se levarmos em conta

fér-mions de spin s, teremos g = (2s+1) estados de spin para cada estado i [1]. Assim, de forma geral

Z_µF D(T, V ) = Y i h 1 + e−β(i−µ)i g (2.1)

A partir da função de partição é possível calcular diferentes grandezas termodinâmicas, em particular estamos interessados no grande potencial, dado por Ω(T, V, µ) = −kBT ln(Zµ(T, V )). Assim, ΩF D(T, V, µ) = − g β X i ln1 + e−β(i−µ)

Além disso, o número total médio de partículas no gás é dado por h ˆN i = − ∂Ω ∂µ  T ,V =X i g eβ(i−µ)_{+ 1} = X i gz eβi+ z = X i hnii

onde hnii = _eβigz+z é o número de ocupação médio

do estado i, e z = eβµ_{≥ 0é denominado como a}

fu-gacidade. É importante ressaltar que neste caso não há restrição alguma para o potencial químico µ, em contraste com o caso bosônico.

2.2

Neste caso não há limitações para o número de ocu-pação, visto que 0 ≤ ni ≤ ∞. Esta diferença

apa-rentemente trivial trás consequências fundamentais, em particular a existência do Condensado de Bose-Einstein, previsto teoricamente na década de 20 e observado experimentalmente em 1995. Embora a descrição deste caso esteja fora do escopo deste tra-balho, é interessante contemplar a função de partição obtida para bósons e o número médio de ocupação: ZBE µ (T, V ) = Q i1 − e −β(i−µ)−1, hn ii = _eβiz−z.

Dado as expressões anteriores fica claro que µ ≤ 0 para um gás de bósons. Em particular, o limite em que µ → 0− _{está intimamente ligado a existência do}

condensado [3].

3

Gás Ideal de Férmions

-Estamos interessados na descrição termodinâmica de um gás ideal quântico composto por férmions indis-tinguíveis. A conexão do ensemble grande-canônico com a termodinâmica clássica é estabelecida através do limite termodinâmico (V → ∞) com o grande potencial Ω(T, V, µ). Neste caso podemos transfor-mar a soma sob os estados em uma integral, tal que P i ∼ ´ di = V (2π)3 ´ d3_{k. Assim, como h ˆHi = U =} P iihnii, h ˆN i =Pihniie i= ~²k 2 2mtemos [3] U = gV ˆ ∞ 0 D()f ()d h ˆN i = gV ˆ ∞ 0 D()f ()d (3.1) Ω(T, V, µ) = −gV β ˆ ∞ 0 D()lnh1 + e−β(−µ)id = −2 3U onde f() = eβ(−µ)_{+ 1}−1 é a distribuição de Fermi-Dirac e D() = _4π1_² 2m ~2
3/2 1/2 _{= C}1/2 é a

densidade de estados. Ademais, como Ω(T, V, µ) = −P V temos que U = 3

2P V, resultado que vale

mesmo para gases ideais monoatômicos clássicos [3]. A seguir será discutido o caso particular de um gás de Fermi com T = 0K, subsequentemente será anali-sado o cenário um pouco mais geral em que T  TF,

onde TF é a temperatura de Fermi.

 f ()

F= µ(T = 0)

1 _{T = 0 K}

T > 0

Fig. 3.1: Distribuição de Fermi-Dirac f() em função da energia  para T = 0 K e T > 0.

A Figura 3.1 ilustra o comportamento da distri-buição de Fermi-Dirac f() em função da energia  para ambos os casos. No primeiro todos os estados com  ≤ F são inteiramente ocupados, já no segundo

as partículas mais energéticas podem transitar para estados com  > F devido a presença de flutuações

térmicas.

É importante ressaltar que embora seja uma te-oria relativamente simples o gás ideal de fermi tem aplicações importantes e bem sucedidas na física, em particular na física do estado sólido no estudo das propriedades térmicas de metais, visto que - em pri-meira aproximação - os elétrons mais energéticos po-dem ser tratados como um gás de elétrons livres (fér-mions de spin 1_/2). Outras aplicações interessantes

podem ser encontradas em astrofísica [3], na explica-ção da estabilidade de algumas estrelas.

3.1

Para T = 0 K (β → ∞) o gás se encontra no estado fundamental e é denominado como completamente degenerado [3]. Neste caso cada partícula ocupa o estado menos energético  disponível, até a denomi-nada energia de fermi F (energia da partícula mais

energética) de forma que f() se comporta como uma função degrau Θ(µ − ) (Figura 3.1). É interessante notar que µ(T = 0) = F.

A partir das equações (3.1) podemos obter as quantidades de interesse. Logo,

h ˆN i = 2 3gV C 3/2 F =⇒      pF =  6π2 g n 1/3 ~ F =  6π2 g n 2/3 ~2 2m U =2 5V gD(F) 2 F onde pF = √ 2mF é o momento de Fermi e n = h ˆN i_/V

a densidade de partículas. É importante res-saltar que mesmo a T = 0 K a energia interna do gás não é zero. Por fim, é interessante notar que:

P = 2 3 U V = 2 5nF =  6π2 g n 5/2 2/3 ~2 5m (3.2)

Ou seja, diferentemente do esperado classica-mente e daquilo obtido com um gás de bósons, para T = 0 K a pressão exercida por um gás de férmi-ons não é nula, caracterizando uma cférmi-onsequência im-portante do Princípio de Exclusão de Pauli. Por

fim, visto que a energia de fermi F é comumente

utilizada como uma escala da energia característica de um sistema quântico, definimos a temperatura de Fermi como TF = F/kB. Desta forma temos uma

escala comparativa de temperatura [2], em que para T  TF não é esperado que efeitos quânticos afetem

a descrição do sistema, já que corresponde ao limite clássico onde a distância média das partículas é maior que o comprimento de onda térmico λT ´ermico[3]. Por

outro lado, para T  TF é esperado que haja uma

descrição quântica do sistema.

3.2

Neste caso o gás de Fermi é dito como degenerado e corresponde a diversas situações comumente en-contradas. Como exemplo usual, para os elétrons de condução do Cu (que em primeira aproxima-ção podem ser descritos como um gás ideal) têm-se TF ' 8.104K, que é muito superior a temperatura

ambiente [2, 3]. Sendo assim, é interessante estu-darmos o comportamento de um gás de férmion no regime T  TF. Pela análise da Figura 3.1 fica

claro que neste regime a distribuição f() deixa de ser exatamente uma função degrau, de fato as partí-culas mais energéticas podem ocupar estados acima da energia de Fermi. A partir da expansão de Som-merfeld podemos obter expressões assintóticas para as quantidades de interesse. Note que as integrais das equações (3.1) são do tipo S = ´∞

0 φ()f ()d

com φ() = An_{, onde A é uma constante e n ≥1/} 2.

Como a distribuição f() é aproximadamente uma função degrau, sua derivada tem um pico pronunci-ado em  = µ. Integrando S por partes obtemos S = ˆ ∞ 0 φ()f ()d = ψ()f ()|∞0 − ˆ ∞ 0 ψ()f0()d onde ψ() = ´ 0 φ(

0_)d0_{. Note que ψ(0) = 0 e que}

f () → 0 para  → ∞, ademais como f0()tem um pico em  = µ expandimos ψ() em torno deste ponto. Assim, S = − ˆ ∞ 0 ψ()f0()d = − ˆ ∞ 0 f0() "_∞ X i ( − µ)i i!  di_ψ di  =µ # d

Agora, temos de resolver integrais do tipo Si= − ˆ ∞ 0 f0()( − µ)id = 1 βi ˆ ∞ −βµ ex_xi (ex_{+ 1)}2dx

onde x = β( − µ). Ale ´m disso, podemos alterar o limite inferior de integração a custo de um pequeno erro Si= 1 βi ˆ ∞ −∞ ex_xi (ex_{+ 1)}2dx + O(e −βF₎

Observe que para i impar a integral se anula. As-sim, para os dois primeiros termos temos S0 = 1 e

S2= π 2 3β_². Portanto, S = − ∞ X i  di_ψ di  =µ 1 i!Si (3.3) = ˆ µ 0 φ()d + π 2 6β²  dφ d  =µ + ...

Desta forma, com a expressão (3.3) somos capa-zes de calcular a forma assintótica de (3.1). A energia interna U é dada por:

U = gV C ˆ ∞ 0 3/2_{f ()d} = gV C ˆ µ 0 3/2_{d +} π 2 6β²  3 2µ 1/2  + ...  = gV C 2 5µ 5/2₊ π 2 4β²µ 1/2_{+ ...} 

E o número médio de partículas é: h ˆN i = gV C ˆ ∞ 0 1/2_{f ()d} = gV C ˆ µ 0 1/2_{d +} π 2 6β²  1 2µ −1/2  + ...  = gV C 2 3µ 3/2₊ π 2 12β²µ −1/2_{+ ...} 

Reescrevendo a expressão de h ˆN iobtemos: 3 2 h ˆN i gV C = µ 3/2  1 + π 2 8β²µ −2_{+ ...}  = 3_F/2 Ademais, podemos inverter a equação anterior para escrevermos uma expressão assintótica do po-tencial químico µ, tal que

µ = F  1 − π 2 12β²2 F + ...  (3.4) Note que no limite de T → 0 (β → ∞) recupera-mos os resultados obtidos anteriormente em (3.1):

µ = F, h ˆN i = 2 3D(F)F, U = 2 5gV D(F) 2 F

É importante observar que para T > 0 teríamos µ < F. Utilizando (3.4), escrevemos U =3 5h ˆN iF " 1 + 5π 2_(k BT ) 2 122 F + ... # (3.5) A partir da energia interna podemos calcular um dos resultados mais importantes obtidos pelo modelo do gás ideal de Fermi: o calor específico a volume constante CV. Sabemos que CV = ∂U_∂T

V,h ˆN i, assim CV = h ˆN i π2kB 2 T TF + ... (3.6)

Note que o calor específico depende linearmente de T para temperaturas baixas e vai a zero em T = 0 K. Tal comportamento está de acordo com aquilo observado experimentalmente em metais a baixas temperaturas, mas é importante ressaltar que este cálculo leva em conta somente a contribuição dos elétrons de condução para o calor específico. De fato, há outros parâmetros que devem ser considera-dos, como a interação Coulombiana entre os elétrons e os fônons da rede (com contribuição ∝ T3_[2]).

As-sim, de modo aproximado, para baixas temperaturas o calor específico de um metal pode ser descrito como CV/h ˆN i = cV = γT + δT3, com γ e δ constantes [3].

Referências

[1] L. E. Reichl (2004). A Modern Couser in Statistical Phy-sics. 2nd Edition, Wiley-VCH.

[2] M. Le Bellac, F. Mortessagne, G. G. Batrouni (2006). Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Thermody-namics. Cambridge University Press.

[3] S. R. A. Salinas (2013). Introdução à Física Estatística. Segunda Edição, Editora da Universidade de São Paulo.