Física Geral - Laboratório (2015/2) Estimativas e erros em medidas diretas (I)

(1)

Estimativas e erros em medidas diretas (I)

1

Física Geral - Laboratório

(2015/2)

(2)

Física Geral - 2015/2 - Aula 1

Parâmetros de correlação

2

i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas

variáveis (δx

i

e δy

i

)

xy

=

1 N

N

X

i=1

x

_i

y

_i

=

1 N

N

X

i=1

(x

_i

¯x) (y

_i

¯y)

=

(x

1

¯x) (y

1

¯y) + . . . + (x

N

¯x) (y

N

¯y)

N

xy

= xy

¯x¯y

Note que a expressão para a

covariância pode ser simplificada por:

xy

=

yx

e que não importa a ordem das variáveis:

(3)

Parâmetros de correlação

3

ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância

entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão

r =

xy

x y

1 r

_{ 1}

Correlação linear, perfeita e positiva:

_{r = 1}

Correlação linear, perfeita e negativa:

r =

1

(4)

Parâmetros de correlação

Atividade de Aula

4 ALTURA (cm) 150 155 160 165 170 175 180 185 190 IDADE (anos) 16 18 20 22 24 26 h_idadeAltura Entries 26 Mean x 169.2 Mean y 19.62 Std Dev x 8.789 Std Dev y 1.756 h_idadeAltura Entries 26 Mean x 169.2 Mean y 19.62 Std Dev x 8.789 Std Dev y 1.756

Diagrama de Dispersao: Idade Vs. Altura

covariancia Idade Vs. Altura: 1.5503

(5)

Parâmetros de correlação

Atividade de Aula

5

covariancia Idade Vs. Massa: 8.56213

coeficiente de correlacao, Idade Vs. Massa: 0.268052

MASSA (Kg) 50 60 70 80 90 100 110 IDADE (anos) 16 18 20 22 24 26 h_idadeMassa Entries 26 Mean x 69.96 Mean y 19.62 Std Dev x 18.19 Std Dev y 1.756 h_idadeMassa Entries 26 Mean x 69.96 Mean y 19.62 Std Dev x 18.19 Std Dev y 1.756

(6)

Parâmetros de correlação

Atividade de Aula

6

covariancia Massa Vs. Altura: 122.778

coeficiente de correlacao, Massa Vs. Altura: 0.767841

ALTURA (cm) 150 155 160 165 170 175 180 185 190 MASSA (Kg) 50 60 70 80 90 100 110 h_massaAltura Entries 26 Mean x 169.2 Mean y 69.96 Std Dev x 8.789 Std Dev y 18.19 h_massaAltura Entries 26 Mean x 169.2 Mean y 69.96 Std Dev x 8.789 Std Dev y 18.19

(7)

Física Geral - 2015/2- Aula 3

Experimentos: medidas diretas

7

Experimento de medidas diretas de uma grandeza:

Aquisição de um conjunto de dados através de medições repetidas e independentes de uma mesma grandeza

Medições independentes realizadas nas mesmas condições experimentais, ambientais, etc.

Objetivo: Estimativa do valor esperado da grandeza sendo medida No processo de medição de uma grandeza, há inevitavelmente

incertezas

Imperfeições instrumentais, limitações observacionais, condições ambientais, etc.

Hipóteses, modelos teóricos

(8)

Valor esperado de uma grandeza

8

Valor esperado: valor hipotético, μ, de uma grandeza, equivalente ao valor médio de medições repetidas indefinidamente

É claro que não podemos repetir uma medição infinitamente.. Dessa forma, fazemos uma estimativa para o valor esperado, a partir de um conjunto finito de medidas da grandeza

Chamamos esse conjunto finito de uma amostra de todos os possíveis valores para as medidas, ou população

(9)

Resultado de uma medição

9

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

(10)

Estimativa do valor esperado

10

A partir de medições de uma grandeza, com instrumentos bem

calibrados e procedimentos apropriados, e para um grande número de medidas diretas, a média da distribuição de frequência dos dados tende ao valor esperado da grandeza

A distribuição de frequência dos dados é chamada de distribuição amostral

Ou seja, a melhor estimativa para o valor esperado de uma grandeza, x, a partir de uma amostra {xi} de dados, é a média

(Podemos pensar no limite para um número grande de medidas, ou seja, N → ∞)

(11)

Estimativa do valor esperado

(12)

Incertezas aleatórias e sistemáticas

12

Incertezas aleatórias: devido a flutuações inevitáveis no

processo de medição, que provocam a dispersão das medidas

em torno da média

Incertezas sistemáticas: desvios em geral regulares, devido a imperfeições instrumentais, observacionais, ou do modelo

teórico

As incertezas aleatórias estão associadas à precisão do

experimento, enquanto as incertezas sistemáticas, com a sua exatidão

(13)

Medições: precisão e exatidão

13

preciso

(14)

Erro da média

(15)

Erro da média

15

Distribuição das médias de 100 “experimentos”, cada um com 100 medidas

Note que o “erro da média” é menor que o “erro da medida”

(16)

Estimativa do erro da medida e da média

16

s

_x

=

v

u

t

X

N i=1

(x

_i

¯x)

2

N

1 =

r

N

1

x Vamos estimar primeiramente o erro de cada medida como:

Podemos também estimar o erro da média a partir de uma única bateria de N medidas diretas.

O erro da média pode ser

aproximado por: desvio padrão

“desvio padrão experimental” ou “amostral”

O desvio padrão experimental (sx) será

comumente representado igualmente por σx

¯

x

=

s

_x

p

(17)

Estimativa do erro da medida e da média

17

N

_{! 1 ) s}

_x

_⇡

_x

¯

x

⇡

p

x

N

Para um número grande de medidas:

Quanto maior o número de medidas em um

(18)

Resultado de uma medição:

Estimativa do valor esperado de um conjunto de medidas

18

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

¯x

Note que aqui estamos estimando o que definimos antes como

incertezas aleatórias. Incertezas aleatórias podem ser reduzidas por

repetição (maior número N de medidas).

Incertezas sistemáticas, no entanto, não podem em geral ser

reduzidas por mera repetição. Elas dependem do entendimento do

instrumento e das técnicas de medição. A partir de um número suficientemente grande de medidas, elas passam a ser dominantes.

¯

x

=

s

_x

p

(19)

19

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

¯x

_x_¯

₌

s

_x

p

N

Exemplo:

¯x = 10, 08 ± 0, 07(unid.)

¯x = 10, 0835

¯ x

= 0, 072

Número de algarismos significativos determinado pelo valor do erro

Resultado de uma medição:

(20)

Física Geral - 2015/ - Aula 3

20

estimativa do valor esperado ± erro (unidade)

¯x

_x_¯

₌

s

_x

p

N

Como determinar o número de algarismos significativos do

valor esperado

1. Determinar o erro:

2. Determinar o erro com um algarismo significativo:

3. Determinar a estimativa do valor esperado com o mesmo número

de casas decimais que o erro associado ao valor esperado: 10,08

¯ x

= 0, 07

¯ x

= 0, 072

¯x = 10, 0835

¯ x

= 0, 072

Exemplo:

(21)

Física Geral - 2015/ - Aula 3

21

Arredondamento

Exemplo de arredondamento para 2 casas decimais

•

caso 1: 4,8251 4,83

•

caso 2: 4,8249 4,82

•

caso 3: 4,8

1 5 4,81

₍_{número ímpar}_{, não há incrementação)} •

caso 4: 4,8

2 5 4,83

₍_{número par}_{, há incrementação)}

(22)

Primeira Prática: Medida com Resistores

(23)

Primeira Prática: Medida com Resistores

23

•

Trazer os resultados da primeira prática em

28/09/2015

impreterivelmente;

•

Enviar dados, até 21/09/2015 impreterivelmente,

para:

(24)

Física Geral - 2014/1 - Aula 2 24

d

1/2

d

3 d

2 d

1 Multímetro digital

Display digital de “3

1/2” dígitos:

Número de

“contagens”: 0 - 1999

Funções:

Medição de tensão contínua (DC - V) Medição de tensão alternada (AC - V) Medição de corrente contínua (DC - A) Medição de resistência (Ω)

Possivelmente: Teste de continuidade, testes de diodos e transistores,...

(25)

25

Conectores para pontas de prova Função de medida de

resistência (a posição pode variar de multímetro para multímetro)

Multímetro digital

Função de medida de tensão contínua

(26)

Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha

26

0 0 2

DC

600 V

200 V

20 V

2 V

200 mV

Resolução: 1 V (Variação do dígito menos significativo)

(27)

0 1 6

DC

600 V

200 V

20 V

2 V

200 mV

▪ Resolução: 0,1 V = 100 mV

(28)

1 5 7

DC

600 V

200 V

20 V

2 V

200 mV

(29)

1 5 7 1

DC

600 V

200 V

20 V

2 V

200 mV

(30)

1 DC

600 V

200 V

20 V

2 V

200 mV

▪ Resolução: 0,1 mV = 100 μV

Exemplo: Medida da f.e.m. de uma pilha

Mostrador com dígito “1” à esquerda: valor acima do máximo da escala

(31)

31

Como ler o código de cores de um resistor

Cor Código Preto 0 Castanho 1 Vermelho 2 Laranja 3 Amarelo 4 Verde 5 Azul 6 Violeta 7 Cinza 8 Branco 9 Castanho ± 1% Vermelho ± 2% Dourado ± 5% Prata ± 10%