ESTUDO CFD DE UM TROCADOR DE CALOR CASCO E TUBO. Yuri Ogata

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ESTUDO CFD DE UM TROCADOR DE CALOR CASCO E TUBO

Yuri Ogata

Projeto de Gradua¸cão apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Engenheiro.

Orientador: N´ısio de Carvalho Lobo Brum

Rio de Janeiro Agosto de 2020

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecˆanica

DEM/POLI/UFRJ

Yuri Ogata

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MEC ˆANICA DA ESCOLA POLIT´ECNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MEC ÂNICO.

Aprovada por:

Prof. N´ısio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc.

Prof. Gabriel Lisbˆoa Verissimo, D.Sc.

Prof. Gustavo Rabello dos Anjos, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL AGOSTO DE 2020

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Ogata, Yuri

Estudo CFD de um Trocador de Calor Casco e Tubo/ Yuri Ogata. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Polit´ecnica, 2020.

XVI, 52 p.: il.; 29, 7cm.

Projeto de Gradua¸cão – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Mecânica, 2020.

Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 50 – 52.

1. Trocador de calor. 2. Casco e tubo. 3. Transmissão de calor. 4. Dinâmica dos fluidos computacional. 5. CFD. I. de Carvalho Lobo Brum, N´ısio. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia Mecânica. III. Estudo CFD de um Trocador de Calor Casco e Tubo.

(4)

Aos meus amigos Rafael e Yuzo ( in memoriam).

(5)

Agradecimentos

`

A minha mãe, Minori, quem eu mais admiro. Pelo apoio incondicional em todos os momentos de minha educa¸cão. Reconhe¸co suas lutas e esfor¸cos diários para que eu pudesse alcan¸car esta etapa de minha vida. Todas as minhas conquistas são também suas. Obrigado.

Aos meus amigos que compartilharam a gradua¸cão comigo. Em especial, à Dani-ela, Leonardo e Pedro Henrique, que me acolheram e me incentivaram durante toda minha trajetória acadêmica. Eu não estaria aqui hoje sem sua amizade e apoio.

Não poderia me esquecer de agradecer a três pessoas incr´ıveis, que a gradua¸cão também me permitiu conhecer, Arthur, Breno e Caio. Vocês tiveram a paciência que é sentar ao meu lado em inúmeras aulas. Reconhe¸co que isto não é uma tarefa fácil.

Aos meus amigos Pedro Camara, Rebeca, Renata e Vin´ıcius. Vocês são minha fonte de entusiasmo e motiva¸cão. Acredito que o mundo escolheu um caminho, à princ´ıpio, inesperado apenas para conhecê-los. Se sou uma pessoa melhor hoje, é gra¸cas à vocês.

Devo agradecer igualmente ao Krishynan, Natália e Nicholas, pessoas fantásticas que tenho o privilégio de ter encontrado. Sou extremamente grato por todas as confraterniza¸cões mais que espetaculares que tivemos juntos.

Aos professores Anna Carla e Ricardo Naveiro, por todo o apoio e aten¸cão du-rante meu duplo diploma na École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers. Obrigado pela confian¸ca depositada e por terem acreditado em mim.

Aos amigos que fiz durante meu intercâmbio, e que guardo para a vida, Michèle, Nada e V´ıtor. Seu companheirismo e alegria foram e ainda são fundamentais para mim. Obrigado por tudo.

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Aos meus colegas da equipe Minerva Aerodesign, que me proporcionaram grande aprendizado e ótimas experiências. Guardarei comigo as várias lembran¸cas que tive com a equipe.

Ao meu orientador N´ısio Brum, pelos ensinamentos e disponibilidade que me permitiram avan¸car da melhor forma neste trabalho. Seus conselhos e paciˆencia foram essenciais para a conclus˜ao deste trabalho.

Aos professores Gabriel Verissimo e Gustavo Rabello, que comp˜oem a banca examinadora, por aceitarem o convite de avaliar este trabalho.

E a todos aqueles que, de alguma forma, contribu´ıram para que eu pudesse concluir este ciclo de minha vida. Muito obrigado a todos.

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Resumo do Projeto de Gradua¸cão apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Engenheiro Mecânico

Yuri Ogata

Agosto/2020

Programa: Engenharia Mecˆanica

Para avalia¸cão do desempenho um trocador de calor, é necessário realizar uma análise dos fenômenos f´ısicos presentes no equipamento. O presente trabalho apre-senta um estudo dos fenômenos termodinâmicos e flu´ıdicos de um trocador de calor do tipo casco e tubos de pequenas dimensões, através do uso da dinâmica dos fluidos computacional (CFD). Para este objetivo, um modelo para simula¸cão numérica do trocador de calor foi desenvolvido, com o aux´ılio da ferramenta comercial ANSYS Fluent. As etapas necessárias para o desenvolvimento do modelo CFD são apre-sentadas. Ao final do trabalho, o cálculo do coeficiente de transferência de calor global e os contornos de temperatura e velocidade são discutidos para avaliar o tro-cador. Para o cálculo dos resultados, foi utilizado o modelo de turbulência k-epsilon, comumente adotado na indústria.

Palavras-chave: Trocador de calor, Casco e tubo, Transmiss˜ao de calor, Dinˆamica dos fluidos computacional, CFD.

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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

CFD STUDY OF SHELL AND TUBE HEAT EXCHANGER

Yuri Ogata

August/2020

Advisor: N´ısio de Carvalho Lobo Brum

Department: Mechanical Engineering

To evaluate the performance of a heat exchanger, it is necessary to analyze and understand the equipment physic’s process. This work presents a study of a small dimension shell and tube heat exchanger’s thermodynamic behavior, by using the computational fluid dynamics (CFD) methodology. For this purpose, a numerical simulation model was developed using the commercial software ANSYS Fluent. The CFD model development steps are presented. The global heat transfer coefficient calculation and the temperature and velocity contours are discussed to evaluate the heat exchanger. To calculate the results, the k-epsilon turbulence model, which is commonly adopted in the industry, was used.

Key-wrods: Heat exchanger, Shell-and-tube, Heat transfer, Computacional fluid dynamics, CFD.

(9)

Sum´

ario

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiii

Lista de S´ımbolos e Abreviaturas xiv

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Objetivo . . . 2

1.3 Organiza¸c˜ao do trabalho . . . 2

2 Revis˜ao bibliogr´afica 4 2.1 Funcionamento de um trocador de calor . . . 4

2.2 Trocador de calor casco e tubo . . . 5

2.3 Trabalhos precedentes . . . 7

2.4 Considera¸c˜oes importantes . . . 8

3 Formula¸c˜ao anal´ıtica 10 3.1 Balan¸co de energia . . . 10

3.2 Coeficiente global de transferˆencia de calor . . . 11

3.3 M´etodo das diferen¸cas de temperaturas m´edias logar´ıtmicas . . . 13

4 Dinˆamica dos fluidos computacional 14 4.1 Descri¸c˜ao geral . . . 14

4.2 Equa¸c˜oes governantes . . . 16

4.2.1 Equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de massa . . . 16

(10)

4.2.3 Equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de energia . . . 18

4.3 Modelagem da turbulˆencia . . . 20

4.3.1 Equa¸c˜oes de Navier Stokes m´edias de Reynolds . . . 21

4.3.2 Modelo de turbulˆencia k-ε . . . 25

4.4 Malha computacional . . . 26

4.4.1 Classifica¸c˜ao da malha . . . 26

4.4.2 Qualidade da malha . . . 27

4.4.3 Independˆencia de malha . . . 27

5 Simula¸cão numérica 29 5.1 Implementa¸cão . . . 29

5.2 Defini¸c˜ao da geometria . . . 30

5.3 Defini¸c˜ao da malha . . . 32

5.4 Aplica¸c˜ao das condi¸c˜oes de contorno . . . 34

5.5 Crit´erios de convergˆencia . . . 35

5.6 Estudo de independˆencia de malha . . . 37

6 Resultados 39 6.1 An´alise dos resultados obtidos na simula¸c˜ao . . . 39

6.2 An´alise do coeficiente global de transferˆencia de calor . . . 45

7 Conclus˜oes e recomenda¸c˜oes 48

(11)

Lista de Figuras

2.1 Esquema de um trocador de calor casco e tubos . . . 6

2.2 Trocador de calor casco e tubos industrial . . . 6

2.3 Classifica¸c˜ao de um trocador de calor casco e tubo . . . 7

3.1 Trocador de calor coaxial . . . 10

3.2 Se¸c˜ao transversal do trocador coaxial . . . 12

4.1 Linhas de trajet´orias em torno de um carro de F´ormula 1 . . . 14

4.2 Volume de controle infinitesimal . . . 17

4.3 Fenˆomeno da turbulˆencia . . . 20

4.4 Medi¸cão da velocidade média e sua flutua¸cão no tempo . . . 22

4.5 Tipos de malha . . . 26

4.6 Tipos de elemento . . . 27

5.1 Implementa¸c˜ao da simula¸c˜ao . . . 30

5.2 Modelo geom´etrico no ambiente Design Modeler . . . 31

5.3 Entradas e sa´ıdas dos fluidos . . . 31

5.4 Se¸c˜ao vertical da malha N1 . . . 33

5.5 Dom´ınios adiab´aticos . . . 34

5.6 Res´ıduos de convergˆencia da simula¸c˜ao para a malha N1 . . . 36

5.7 Pontos selecionados para an´alise de independˆencia de malha . . . 37

6.1 Contornos de temperatura no plano yz . . . 39

6.2 Contornos de temperatura no plano xz . . . 40

6.3 Perfil de temperaturas do fluido no lado dos tubos . . . 41

6.4 Linhas de corrente do fluido no lado dos tubos . . . 42

(12)

6.6 Linhas de corrente do fluido no lado do casco no plano xy . . . 43

6.7 Linhas de corrente do fluido no lado do casco no plano yz . . . 43

6.8 Vetores de velocidade do fluido no lado do casco no plano yz . . . 44

(13)

Lista de Tabelas

2.1 Crit´erios de classifica¸c˜ao . . . 5

4.1 Classifica¸c˜ao dos modelos de turbulˆencia . . . 24

4.2 Coeficientes do modelo k-ε . . . 25

5.1 Parˆametros geom´etricos . . . 32

5.2 Malhas geradas no ANSYS Meshing . . . 33

5.3 Propriedades dos materiais definidas no ANSYS Fluent . . . 34

5.4 Condi¸c˜oes de contorno . . . 35

5.5 Resultados da an´alise de independˆencia de malha . . . 38

5.6 Qualidade dos elementos da malha N1 . . . 38

6.1 Diferentes condi¸c˜oes de velocidade na se¸c˜ao de entrada . . . 45

6.2 Resultados considerando varia¸cão na vazão mássica do fluido no lado dos tubos . . . 46

6.3 Resultados considerando varia¸cão na vazão mássica do fluido no lado do casco . . . 46

(14)

Lista de S´ımbolos e Abreviaturas

∆TLM Diferen¸ca m´edia logar´ıtmica de temperaturas

δij Delta de Kronecker

˙

mc Vaz˜ao m´assica do fluido mais frio

˙

mh Vaz˜ao m´assica do fluido mais quente

˙

Qtot Taxa de transferˆencia de calor

˙

Q Taxa de calor

˙

W Taxa de trabalho

µ Viscosidade dinˆamica ν Viscosidade cinem´atica

ϕ Termo médio da variável generalizada ui Termo médio da velocidade

−

→_g _{Vetor de for¸cas da gravidade} −

→

U Vetor de velocidades do fluido ρ Massa espec´ıfica do fluido τij Tensor de tens˜oes

ε Dissipa¸c˜ao turbulenta A Area de troca de calor´

(15)

CF D Dinˆamica dos Fluidos Computacional D Diˆametro do casco

d Diˆametro do tubo

Db Diˆametro do bocal

DN S Direct Numerical Simulation

E Energia total

Ec Espa¸camento entre chicanas

ec Espessura da chicana

h Coeficiente de transferˆencia de calor do fluido k Energia cin´etica turbulenta

kcond Condutividade t´ermica

L Comprimento do casco

l Comprimento dos tubos

Lc Comprimento caracter´ıstico

LES Large-Eddy Simulation

N N´umero de elementos da malha Nc N´umero de chicanas

Nt N´umero de tubos

P r N´umero de Prandtl qs Fontes de energia

R Resistˆencia t´ermica do material

RAN S Equa¸cões de Navier Stokes médias de Reynolds Re Número de Reynolds

(16)

t Escala de tempo

Tc Temperatura do fluido mais frio

Th Temperatura do fluido mais quente

T CCT Trocador de calor casco e tubo

U Coeficiente global de transferˆencia de calor

u, v, w Componentes do vetor de velocidades no sistema cartesiano ui Termo de velocidade

V Volume

x, y, z Coordenadas espaciais do sistema cartesiano ϕ0 Termo flutuante da vari´avel generalizada ui0 Termo flutuante da velocidade

(17)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Motiva¸

c˜

ao

Os trocadores de calor são equipamentos amplamente usados em processos indus-triais e também estão presentes em diversas atividades do nosso cotidiano. Estes dispositivos são usados para sistemas de climatiza¸cão em residências e escritórios, processamento qu´ımico e produ¸cão de energia em grandes plantas industriais, por exemplo [1].

Um trocador de calor é um dispositivo que propicia a troca de energia em forma de calor entre dois ou mais fluidos que estão, inicialmente, à temperaturas diferentes. Segundo [1], o tipo mais comum de trocador de calor em aplica¸cões industriais é o trocador de calor casco e tubo, sendo constru´ıdo em diferentes tamanhos e configura¸cões.

A troca de energia em um trocador geralmente envolve dois tipos de transmissão de calor: a conveçcão e a condu¸cão. A motiva¸cão deste trabalho nasce à partir do estudo destes dois fenômenos e seus efeitos no equipamento citado.

Existem alguns métodos anal´ıticos para analisar os parâmetros de concep¸cão e eficiência dos trocadores, dentre eles, o método da média logar´ıtmica da diferen¸ca de temperatura. Entretanto, a abordagem anal´ıtica apresenta maior dificuldade quando aplicada para geometrias mais complexas.

Desta maneira, verifica-se a importˆancia da Dinˆamica dos Fluidos Computacio-nal (CFD)1_{. Este m´}_{etodo ´}_{e industrialmente usado para o estudo termodinˆ}_{amico e}

(18)

hidrodinâmico dos trocadores, pois permite a análise de geometrias complexas de maneira eficiente e robusta. Assim, é levantada a segunda motiva¸cão do presente trabalho, que é a oportunidade de aplicar diversos conceitos da engenharia mecânica e de abordá-los paralelamente ao aprendizado do método proposto pela CFD.

1.2 Objetivo

O presente trabalho tem como objetivo elaborar um modelo de simula¸cão numérica para um trocador de calor casco e tubo à partir da CFD. Este modelo deverá for-necer resultados compat´ıveis com os fenômenos f´ısicos do trocador, que serão aqui estudados. Uma geometria representativa será dimensionada para este fim.

Este estudo será feito à partir da utiliza¸cão do programa ANSYS Fluent 19.0 e outros programas igualmente desenvolvidos pela empresa ANSYS, Inc.

1.3 Organiza¸

c˜

ao do trabalho

Este trabalho encontra-se dividido em sete cap´ıtulos. O primeiro cap´ıtulo constitui a introdu¸c˜ao do trabalho e apresenta a vis˜ao geral do mesmo.

O cap´ıtulo dois contém uma revisão bibliográfica e aborda, de maneira sucinta, o funcionamento de um trocador de calor incluindo o trocador do tipo casco e tubo. O cap´ıtulo três contém a fundamenta¸cão teórica e anal´ıtica dos cálculos envolvi-dos para um trocador de calor. Nesta parte, o trocador é simplificado a um sistema de tubos coaxiais para aplica¸cão dos conceitos de transmissão de calor.

No cap´ıtulo quatro, é feita uma revisão da dinâmica dos fluidos computacional e da formula¸cão matemática feita numa simula¸cão CFD. O conjunto de equa¸cões governantes assim como a modelagem da turbulência são analisados.

No cap´ıtulo cinco, a constru¸cão da simula¸cão numérica no ANSYS Fluent é detalhada. Nesta parte, todo o projeto realizado para a concep¸cão do modelo do trocador será abordado. A constru¸cão do sistema geométrico, a gera¸cão da malha e a aplica¸cão das condi¸cões de contorno serão explicados. Ao final do cap´ıtulo, os resultados obtidos para a convergência da simula¸cão são apresentados.

(19)

No cap´ıtulo seis, os resultados finais da simula¸cão numérica são apresentados e discutidos. Finalmente, as conclusões do trabalho são desenvolvidas no cap´ıtulo sete.

(20)

Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao bibliogr´

afica

2.1 Funcionamento de um trocador de calor

Um trocador de calor é um dispositivo que permite e facilita a transferência de ener-gia térmica entre dois ou mais fluidos. Esses equipamentos são usados em uma ampla gama de aplica¸cões: sistemas de aquecimento e resfriamento em casas, radiadores de automóveis e produ¸cão de energia em usinas [1].

De maneira geral, não há mistura de um fluido com o outro - existe um meio sólido que impede o contato direto dos fluidos. O meio sólido é fabricado de maneira `

a aumentar a superf´ıcie de troca de calor e ´e composto sempre que poss´ıvel por um material de alta condutividade, elevando, assim, a eficiˆencia do trocador.

Segundo [2], os trocadores podem ser classificados à partir de quatro critérios: processo de transferência de calor, grau de compacta¸cão, modo de constru¸cão, ar-ranjo de escoamento e mecanismo de transferência de calor. Esta classifica¸cão é apresentada na tabela 2.1.

(21)

Tabela 2.1: Crit´erios de classifica¸c˜ao

Classifica¸c˜ao Tipos

Processo de transferˆencia de Calor Contato direto Contato indireto

Grau de compacta¸c˜ao Compacto N˜ao compacto

Modo de constru¸c˜ao

Tubular

Trocador de placas

Trocador de placas aletadas Trocador de tubos aletados Regenerativos

Arranjo de escoamento

Fluxo paralelo Contrafluxo Fluxo cruzado

Mecanismo de transferˆencia de calor

Condensador Evaporador Radiador

2.2 Trocador de calor casco e tubo

Dentre os trocadores tubulares, destaca-se uma categoria chamada trocador de calor casco e tubo (TCCT). Especificamente, o equipamento tratado neste trabalho refere-se ao trocador do tipo casco e tubo devido à suas versatilidade e larga escala de uso. Este equipamento é o mais utilizado na indústria qu´ımica e nas indústrias de processamento. Ele também é comumente usado em usinas nucleares, termoelétricas, geotérmicas e de ondas para a gera¸cão de energia [3].

A geometria do TCCT consiste em numerosos tubos montados dentro de uma carca¸ca cil´ındrica com eixos paralelos ao da carca¸ca. A transferência de energia ocorre à medida que um fluido flui no interior dos tubos enquanto outro fluido flui na região externa aos tubos e interna ao casco. O esquema t´ıpico deste tipo de trocador está representado na figura 2.1.

(22)

Figura 2.1: Esquema de um trocador de calor casco e tubos

No esquema, as setas indicam o sentido de cada fluido: neste caso, observa-se um trocador de fluxo co-corrente. Caso os sentidos dos fluxos fossem contr´arios, o trocador seria denominado de fluxo contra-corrente.

Os principais componentes do TCCT são as caixas de distribui¸cão, o casco, as chicanas e os tubos. As caixas de distribui¸cão compõem a entrada e a sa´ıda do lado dos tubos. O casco consiste no envoltório externo do sistema. As chicanas são necessárias para dar suporte mecânico aos tubos, direcionar o escoamento e aumentar o n´ıvel de turbulência no fluido do lado do casco [2]. Um dos objetivos no dimensionamento é maximizar a quantidade de tubos, empregando uma distribui¸cão uniforme, de forma à aumentar a troca de calor [3].

Figura 2.2: Trocador de calor casco e tubos industrial Fonte: [4]

(23)

Uma classifica¸cão mais espec´ıfica do TCCT é feita à partir do número de passes no casco e nos tubos. A contagem das passagens de cada fluido é contada para denominar o dispositivo. Por exemplo, um trocador em que os fluidos fazem uma ´

unica passagem pelo casco e pelos tubos é chamado de um passe no casco e um passe nos tubos. Da mesma forma, um trocador em que um fluido faz duas passagens pelo casco enquanto o outro fluido faz quatro passagens pelos tubos é chamado de dois passes no casco e quatro passes nos tubos. Os esquemas destes tipos de dispositivo estão representados na figura 2.3.

(a) 1 passe no casco e 1 passe nos tubos (b) 2 passes no casco e 4 passes nos tubos Figura 2.3: Classifica¸c˜ao de um trocador de calor casco e tubo

2.3 Trabalhos precedentes

Vários trabalhos foram desenvolvidos por diferentes autores com o objetivo de rea-lizar uma simula¸cão CFD de um trocador de calor casco e tubo, de modo à prever os fenômenos f´ısicos que ocorrem dentro deste dispositivo.

OZDEN [5] estudou a influência de parâmetros geométricos do lado do casco no valor do coeficiente global de transferência de calor através de um modelo CFD. Foi utilizada a ferramenta ANSYS Fluent para a análise do escoamento somente do lado do casco. Neste estudo, os tubos foram considerados como regiões de menor complexidade e foram definidos como regiões de temperatura constante. A taxa de transferência de calor e as temperaturas de sa´ıda foram obtidas diretamente da simula¸cão. Os resultados foram comparados com o método de Kern e o método de Bell-Delaware. O autor também estudou a influência dos métodos de discretiza¸cão e dos modelos de turbulência, encontrando maior concordância para o modelo de turbulência k-ε e discretiza¸cão de primeira ordem.

(24)

No trabalho de IRSHAD, KAUSHAR e RAJMOHAN [6], foi feito um estudo sobre a influência da inclina¸cão das chicanas no comportamento termodinâmico do trocador de calor casco e tubos de dimensões reduzidas. Neste estudo, confi-gura¸cões geométricas com diferentes ângulos de inclina¸cão das chicanas foram simu-ladas para verificar o comportamento no dispositivo. Os contornos de temperatura foram tra¸cados. Além disso, algumas caracter´ısticas importantes, tais como o coe-ficiente global de transferência de calor, a taxa de transferência de calor e a queda de pressão, também foram calculadas.

No trabalho de SINGH e KUMAR [7], um trocador de calor do tipo casco e tubos foi modelado para simula¸cão numérica. O dispositivo estudado é de dimensões reduzidas e possui apenas um tubo coaxial ao casco. Para o modelo, foi utilizada a ferramenta GAMBIT para a gera¸cão da malha enquanto ANSYS Fluent foi usado para a simula¸cão. O trocador foi simulado para duas configura¸cões diferentes, sendo elas co-corrente e contra-corrente. Finalmente, os resultados obtidos foram validados `

a partir do uso de um prot´otipo experimental com mesma configura¸c˜ao.

2.4 Considera¸

c˜

oes importantes

No dimensionamento de um trocador, algumas hipóteses são necessárias. Essas considera¸cões f´ısicas são comumente feitas na literatura. Primeiramente, os efei-tos de radia¸cão são normalmente negligenciados devido à sua m´ınima influência em compara¸cão com a condu¸cão e conveçcão. Segundo [1], os trocadores de calor ge-ralmente operam por longos per´ıodos de tempo, sem altera¸cões nas suas condi¸cões de opera¸cão. Portanto, eles podem ser modelados como sistemas em regime perma-nente. A vazão mássica dos fluidos permanece constante e suas propriedades são consideradas constantes no mesmo ponto espacial. Além disso, o calor espec´ıfico dos fluidos também é considerado constante, considerando a faixa de temperatura trabalhada.

Ainda conforme [1], os fluxos do fluido sofrem pouca ou nenhuma altera¸cão em suas velocidades e eleva¸cões e, portanto, as mudan¸cas de energia cinética e potencial são desprez´ıveis. Finalmente, considera-se que este sistema não realiza

(25)

trabalho e é adiabático, não perdendo calor para o ambiente (não há conveçcão natural ocasionada pelo meio externo).

As considera¸c˜oes e hip´oteses anteriormente feitas, encontram-se resumidas abaixo:

• O regime ´e considerado permanente;

• A varia¸cão de energia potencial e cinética é desprez´ıvel; • O calor espec´ıfico dos fluidos é considerado constante; • O sistema é isolado e adiabático.

(26)

Cap´ıtulo 3

Formula¸

c˜

ao anal´ıtica

3.1 Balan¸

co de energia

A formula¸c˜ao anal´ıtica ´e utilizada para avaliar geometrias menos complexas de um trocador. Logo, para este objetivo, consideramos uma geometria simples, formada por dois tubos coaxiais.

Figura 3.1: Trocador de calor coaxial

Para calcular a taxa de calor correspondente, consideramos o balan¸co de energia sobre o sistema apresentado na imagem 3.1. O fluido mais quente, que será resfriado pelo fluido mais frio, entra no tubo interno à uma temperatura Th1 e sai à uma

temperatura Th2. De maneira equivalente, o fluido mais frio entra pelo tubo externo

(se¸c˜ao tubular) `a uma temperatura Tc1 e sai do sistema a uma temperatura Tc2.

Neste caso particular, os dois fluidos desta geometria escoam na mesma dire¸c˜ao (co-corrente), como mostra a figura 3.1.

`

A partir das premissas feitas na se¸cão 2.4, a primeira lei da termodinâmica exige que a taxa de calor transferida para o fluido mais frio seja equivalente à taxa extra´ıda

(27)

do fluido mais quente. Assim, o balan¸co de energia nos fluidos fornece as seguintes rela¸c˜oes [2]: ˙ Qtot = ˙mcCp,c(Tc2 − Tc1) (3.1) ˙ Qtot = ˙mhCp,h(Th2 − Th1) (3.2)

OndeQ˙toté a taxa de transferência de calor total, ˙mhé a vazão mássica do fluido

mais quente, ˙mc é a vazão mássica do fluido mais frio, Cp,h é o calor espec´ıfico do

fluido mais quente e Cp,c ´e o calor espec´ıfico do fluido mais frio.

Segundo [2], uma expressão análoga à lei de resfriamento de Newton também pode ser utilizada para calcular a taxa de transferência:

˙

Qtot = U A∆TLM (3.3)

Onde U é o coeficiente global médio de transferência de calor, A é a área de troca e ∆TLM é a diferen¸ca de temperatura adequada entre os dois fluidos. A área

de troca pode ser determinada `a partir das dimens˜oes do equipamento. Contudo, o coeficiente U e a diferen¸ca de temperaturas ∆TLM devem ser calculados.

3.2 Coeficiente global de transferˆ

encia de calor

Num trocador, a energia é transferida do fluido quente para a parede por conveçcão, através da parede por condu¸cão e da parede para o fluido frio novamente por con-veçcão. Os efeitos de radia¸cão normalmente são desprez´ıveis ou são inclu´ıdos no coeficiente de transferência por conveçcão. Portanto, o processo de transmissão de calor no trocador envolve duas resistências de conveçcão e uma de condu¸cão [1].

A parede do tubo interno (que separa os fluidos) tem uma resistência térmica Rcond. A condu¸cão, que ocorre nesta zona, depende das propriedades do material

do s´olido. Entre a superf´ıcie da parede e os fluidos, existem as resistˆencias Ri e Ro

devido à conveçcão. A figura 3.2 mostra uma se¸cão transversal dos tubos. A região cinza representa o material sólido.

(28)

Figura 3.2: Se¸c˜ao transversal do trocador coaxial

Segundo [1], a resistˆencia t´ermica total pode ser escrita da seguinte maneira:

Rtot = Ri+ Rcond+ Ro (3.4) Rtot = 1 hiAi + ln(do/di) 2πkcondL + 1 hoAo (3.5) Onde os subscritos i e o são referentes à superf´ıcie interna e externa, respectiva-mente. Ai e Ao são as áreas, di e do são os diâmetros, hi e ho são os coeficientes de

transferência de calor, kcondé a condutividade térmica da parede e l é o comprimento

dos tubos.

Conforme [1], pode-se calcular o coeficiente global de transferência de calor U fazendo uma rela¸cão com as resistências do sistema:

Rtot = 1 U A ∴ U = 1 RtotA (3.6) Ainda, quando a espessura da parede do tubo é pequena e a condutividade térmica do material é alta, como geralmente é o caso, a resistência térmica Rcond

(29)

3.3 M´

etodo

das

diferen¸

cas

de

temperaturas

m´

edias logar´ıtmicas

A diferen¸ca de temperatura entre os escoamentos varia ao longo do trocador de calor. Por isso, é conveniente ter um diferen¸ca apropriada de temperatura para o uso da rela¸cão 3.3. Este parâmetro é chamado de diferen¸ca de temperaturas médias logar´ıtmicas (LMTD)1_{. Esta diferen¸ca ´}_{e calculada da seguinte forma [2]:}

∆TLM =

∆T1− ∆T2

ln(∆T1/∆T2)

(3.7) Os valores de ∆T1 e ∆T2 dependem da configura¸c˜ao do trocador de calor. Desta

maneira:

• Para trocadores de fluxo paralelo:

∆T1 = Th1− Tc1 ∆T2 = Th2− Tc2 (3.8)

• Para trocadores contra-fluxo:

∆T1 = Th1− Tc2 ∆T2 = Th2− Tc1 (3.9)

(30)

Cap´ıtulo 4

Dinˆ

amica dos fluidos

computacional

4.1 Descri¸

c˜

ao geral

A dinˆamica de fluidos computacional (CFD)1 _´_{e a an´}_{alise de sistemas envolvendo}

escoamento de fluidos, termodinâmica, transferência de calor e outros fenômenos associados através de simula¸cão numérica.

A CFD é amplamente adotada industrialmente, sendo empregada em diversas aplica¸cões. Alguns exemplos destas aplica¸cões são: aerodinâmica de aeronaves e ve´ıculos; hidrodinâmica de navios; motores de combustão interna e turbinas à gás; máquinas de fluxo; resfriamento de equipamentos em engenharia elétrica; processos qu´ımicos; previsão do tempo em meteorologia [8].

Figura 4.1: Linhas de trajet´orias em torno de um carro de F´ormula 1 Fonte: Imagem cortesia da empresa ANSYS, Inc [9]

Para sistemas f´ısicos com geometria e condi¸cões iniciais e de contorno simples, as equa¸cões governantes podem ser reduzidas à formas solucionáveis analiticamente.

(31)

Entretanto, é de conhecimento geral que a maioria dos problemas f´ısicos não possui geometria ou condi¸cões simples. Nestes casos, é necessário fazer uso dos métodos numéricos para o estudo do problema [9].

Assim, a dinâmica dos fluidos computacional surge como uma ”terceira abor-dagem”, em rela¸cão à teoria e experimenta¸cão. E importante ressaltar que este´ método não fornece uma resposta exata, no entanto, se for aplicado de maneira correta, fornece resultados muito próximos à realidade [10].

Como os problemas de escoamentos são de natureza não linear, a CFD adota uma estratégia de solu¸cão iterativa. Inicialmente, ocorre a substitui¸cão do dom´ınio cont´ınuo do problema f´ısico à ser estudado, por um dom´ınio discreto usando uma malha. No dom´ınio cont´ınuo, cada variável do escoamento é definida em cada ponto do dom´ınio. No dom´ınio discreto, cada variável do escoamento é definida apenas nos pontos fixos da malha [9].

Em seguida, os cálculos são feitos de maneira iterativa em cada ponto da malha para resolu¸cão das equa¸cões governantes. Esta itera¸cão é feita até a convergência dos resultados, que normalmente é definida pelo usuário. Finalmente, os resultados e sua valida¸cão são analisados pelo usuário.

Os códigos comerciais de CFD geralmente possuem uma estrutura similar, base-ada nessa estratégia. De acordo com [8], estes códigos contêm três fases principais para a resolu¸cão de um problema CFD: o pré-processamento, o processamento e o pós-processamento.

• O pré-processamento consiste na cria¸cão do modelo f´ısico e na entrada de parâmetros do problema. No pré-processamento, é feita a defini¸cão da geometria que representa o problema à ser estudado. Em seguida, o dom´ınio computacional é definido e sua subdivisão é feita, isto é, a malha é gerada. Finalmente, ocorre a inser¸cão dos parâmetros de entrada do problema. Nesta etapa, ocorrem a sele¸cão do fenômeno f´ısico à ser analisado; a defini¸cão das propriedades dos fluidos, a defini¸cão das condi¸cões iniciais e de contorno, o estabelecimento do critério de convergência e dos métodos de discretiza¸cão [8]. • Na fase de processamento, ocorre a solu¸cão do problema à partir de métodos iterativos. Nesta fase, as informa¸cões de entrada inseridas no pr´ e-processamento são traduzidas na linguagem computacional e as equa¸cões

(32)

governantes são resolvidas nos volumes de controle. Isto é feito à partir das seguintes tarefas: integra¸cão das equa¸cões governantes; discretiza¸cão das equa¸cões integrais resultantes em um sistema de equa¸cões algébricas; solu¸cão das equa¸cões algébricas [8].

• O pós-processamento é a fase de interpreta¸cão e análise dos resultados da simula¸cão, obtidas nos cálculos da fase de processamento. Nos códigos comer-ciais CFD, geralmente é fornecida uma ferramenta que apresenta uma interface na qual gráficos e curvas das diversas propriedades do sistema podem ser plo-tadas, por exemplo. A interpreta¸cão desses resultados é feita pelo usuário que deve avaliar se as informa¸cões são precisas e coesas com a realidade do problema [8].

4.2 Equa¸

c˜

oes governantes

A abordagem CFD é fundamentada nas equa¸cões governantes da mecânica dos flui-dos, que representam matematicamente os princ´ıpios de conserva¸cão da f´ısica. Essas equa¸cões diferenciais parciais, também conhecidas por equa¸cões de Navier-Stokes, são necessárias para descrever o escoamento de um fluido. Elas serão descritas a seguir, em suas formas diferenciais.

4.2.1 Equa¸

c˜

ao de conserva¸

c˜

ao de massa

A lei da conserva¸cão de massa, também conhecida como equa¸cão de continuidade, descreve que a massa de um sistema deve ser constante [9]. Para esta análise, consideramos um volume de controle infinitesimal de lados ∂x, ∂y e ∂z como mostra a figura 4.2.

(33)

Figura 4.2: Volume de controle infinitesimal

A conserva¸c˜ao de massa aplicada a um fluido escoando sobre este volume de controle fornece [9]: ∂ρ ∂t + ∂ρu ∂x + ∂ρv ∂y + ∂ρw ∂z = 0 (4.1)

Na qual ρ é a massa espec´ıfica do fluido, t é o tempo, e u, v e w representam as componentes do vetor−→U de velocidades nas dire¸cões x, y e z, respectivamente.

A equa¸c˜ao 4.1 tamb´em pode ser escrita de uma maneira mais compacta:

∂ρ

∂t + ∇ · (ρ − →

U ) = 0 (4.2)

Para um fluido incompress´ıvel, a massa espec´ıfica é constante, não dependendo nem do tempo nem das coordenadas espaciais. Neste caso, obtém-se [9]:

∇ · (−→U ) = 0 (4.3)

4.2.2 Equa¸

c˜

ao de conserva¸

c˜

ao da quantidade de movimento

A conserva¸cão da quantidade de movimento é consequência da segunda lei de New-ton, a qual afirma que a taxa de mudan¸ca de momento de um corpo é igual à soma das for¸cas neste corpo [8].

Considerando o vetor gravidade −→g = gxˆi + gyˆj + gzk sendo a ´ˆ unica for¸ca de

corpo atuante e o tensor τij de tens˜oes escrito para um fluido Newtoniano, e gerado

(34)

movimento é expressa pelas seguintes equa¸cões nas dire¸cões x, y e z, respectivamente [9]: ρ ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z = ρgx+ ∂τxx ∂x + ∂τxy ∂y + ∂τxz ∂z (4.4) ρ ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z = ρgy + ∂τ_xy ∂x + ∂τyy ∂y + ∂τyz ∂z (4.5) ρ ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z = ρgz+ ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂τzz ∂z (4.6) De acordo com [9], o princ´ıpio da conserva¸cão de quantidade de movimento é bas-tante simplificado quando aplicado à um escoamento incompress´ıvel com viscosidade constante. As equa¸cões podem ser escritas na seguinte forma:

ρ ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z = ρgx− ∂p ∂x + µ ∂2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 (4.7) ρ ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z = ρgy− ∂p ∂y + µ ∂2_v ∂x2 + ∂2_v ∂y2 + ∂2_v ∂z2 (4.8) ρ ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z = ρgz− ∂p ∂z + µ ∂2_w ∂x2 + ∂2w ∂y2 + ∂2w ∂z2 (4.9)

4.2.3 Equa¸

c˜

ao de conserva¸

c˜

ao de energia

O princ´ıpio de conserva¸cão de energia é afirmado pela primeira lei da termodinâmica, a qual aplicada ao volume de controle da figura 4.2 torna-se:

δ ˙W + δ ˙Q = ∂E

∂t (4.10)

No qual δ ˙Q representa a taxa de calor l´ıquida através do volume de controle, δ ˙W representa a taxa de trabalho realizado no corpo devido às for¸cas em sua superf´ıcie e E representa a energia total dentro do volume. Para escrever a equa¸cão de energia, é necessário analisar cada variável de 4.10.

(35)

for¸ca de corpo atuando no sistema, a taxa de trabalho pode ser traduzida na rela¸cão 4.11. O último termo do lado direto da rela¸cão representa o trabalho devido à for¸ca de campo enquanto os termos restantes são ocasionados pelas for¸cas de superf´ıcie.

δ ˙W = ∂uτxx ∂x + ∂uτxy ∂y + ∂uτxz ∂z + ∂vτxy ∂x + ∂vτyy ∂y + ∂vτyz ∂z + ∂wτxz ∂x + ∂wτyz ∂y + ∂wτzz ∂z + ρ−→g ·−→U dxdydz (4.11)

Ainda segundo [10], a taxa de calor l´ıquida ocorre devido a dois fatores. O primeiro fator são as fontes volumétricas de energia, tais como radia¸cão e rea¸cões qu´ımicas, que serão definidas por ˙qs. O segundo fator é a transferência de calor

atrav´es da superf´ıcie devido a gradientes de temperatura, o qual ´e regido pela lei de Fourier. Assim, a taxa de calor l´ıquida fica:

δ ˙Q = [ρ ˙qs+ ∇ · (kcond∇T )] dxdydz (4.12)

Utilizando as duas últimas rela¸cões, pode-se reescrever a primeira lei da termo-dinâmica para a energia total E:

∂E ∂t = ∂uτxx ∂x + ∂uτxy ∂y + ∂uτxz ∂z + ∂vτxy ∂x + ∂vτyy ∂y + ∂vτyz ∂z + ∂wτxz ∂x + ∂wτyz ∂y + ∂wτzz ∂z + ρ−→g ·−→U + ρ ˙qs+ ∇ · (kcond∇T ) (4.13)

A energia total E de um fluido em movimento por unidade de massa ´e a soma de sua energia interna e, e de sua energia cin´etica por unidade de massa k

− →

U k2

2 . Consequentemente, a energia total ´e e + k

− →

U k2

2 . Assim, a lei da conserva¸c˜ao de energia pode ser escrita da seguinte maneira [10]:

∂ ∂t " ρ e +k − → U k2 2 !# + ∇ · " ρ e + k − → U k2 2 − → U !# = ρ−→g ·−→U + ρ ˙qs+ ∇ · (kcond∇T ) + ∂uτxx ∂x + ∂uτxy ∂y + ∂uτxz ∂z + ∂vτxy ∂x + ∂vτyy ∂y + ∂vτyz ∂z + ∂wτxz ∂x + ∂wτyz ∂y + ∂wτzz ∂z (4.14)

(36)

4.3 Modelagem da turbulˆ

encia

A maior parte dos escoamentos encontrados na f´ısica e na natureza são turbulentos. A turbulência e seu campo de transi¸cão à partir de um regime laminar, são um dos assuntos cient´ıficos mais seriamente estudados no último século. Nesses estudos, foi estabelecida a existência de dois regimes fundamentais de escoamentos: laminar e turbulento. Também foi estabelecida a existência de um parâmetro de controle desta transi¸cão, conhecido como número de Reynolds [11].

O número de Reynolds é utilizado para caracterizar o regime do escoamento, representando a rela¸cão entre as for¸cas de inércia e as for¸cas viscosas. Quando as for¸cas inerciais são muito maiores que as viscosas, o fluxo torna-se turbulento. Segundo [9], este parâmetro é definido como:

Re = uLc

ν (4.15)

No qual u ´e a velocidade do escoamento, Lc ´e o comprimento caracter´ıstico do

fluido e ν ´e a viscosidade cinem´atica do fluido.

Observa-se que para valores abaixo do n´umero cr´ıtico Rec, o fluxo ´e suave e as

camadas adjacentes do fluido deslizam uma pela outra de maneira ordenada. Este regime ´e chamado de laminar. Em valores acima do Rec, nota-se uma s´erie de eventos

que levam a uma mudan¸ca radical do fluxo. A velocidade e outras propriedades do fluido variam de maneira caótica tornando o comportamento do fluido aleatório. O movimento se torna intrinsecamente instável e o regime passa a ser turbulento [8].

Figura 4.3: Fenˆomeno da turbulˆencia Fonte: [12]

(37)

Para representar matematicamente o regime turbulento, existe um conjunto de modelos, que são adicionados às equa¸cões apresentadas na se¸cão 4.2. Essas aborda-gens podem ser agrupadas nas seguintes categorias:

• DNS2 _´_{e uma abordagem na qual as equa¸c˜}_{oes s˜}_{ao numericamente resolvidas}

sem nenhum modelo de turbulˆencia. Isso requer que todas as escalas espaciais e temporais relevantes sejam resolvidas diretamente. Esta abordagem apresenta resultados precisos por´em demanda altos recursos computacionais [13]. • LES3 _{resolve a turbulˆ}_{encia em fun¸c˜}_{ao do tamanho de suas escalas. ´}_{E um}

método no qual as grandes escalas turbulentas são calculadas diretamente e os efeitos das escalas menores são modelados. O esfor¸co computacional requerido ainda é elevado, porém é menor em compara¸cão ao DNS [13].

• RANS4_{, ou equa¸c˜}_{oes de Navier Stokes m´}_{edias de Reynolds, ´}_{e uma abordagem}

onde todas as escalas da turbulência são modeladas. A modelagem é feita em fun¸cão da média das variáveis no tempo e possibilita a gera¸cão de malhas me-nos refinadas. Assim, esta estratégia reproduz resultados com um baixo custo computacional, sendo a abordagem mais empregada em aplica¸cões industriais, atualmente [13].

Atualmente, a grande maioria das simula¸cões de fluxos turbulentos são baseados nas equa¸cões RANS, que reproduzem resultados confiáveis à partir de malhas menos refinadas e com menor recurso computacional. Por isso, neste trabalho, a simula¸cão será feita seguindo a abordagem RANS, que será apresentada a seguir.

4.3.1 Equa¸

c˜

oes de Navier Stokes m´

edias de Reynolds

A abordagem RANS, como descrito anteriormente, decompõe as variáveis do escoa-mento em fun¸cão do tempo. Ela assume que as variáveis podem ser representadas à partir de uma quantidade média e uma quantidade flutuante no tempo. As equa¸cões de Reynolds são obtidas à partir da introdu¸cão dessa decomposi¸cão de variáveis em

2_{A sigla ´}_{e oriunda do termo em inglˆ}_{es, Direct Numerical Simulation.} 3_{A sigla ´}_{e oriunda do termo em inglˆ}_{es, Large-Eddy Simulation.}

(38)

média e flutua¸cão temporal nas equa¸cões originais de conserva¸cão de Navier-Stokes [13].

Figura 4.4: Medi¸cão da velocidade média e sua flutua¸cão no tempo Fonte: [8]

Neste caso, a vari´avel velocidade ui pode ser decomposta em um termo m´edio

ui, e em um termo flutuante ui0, ou seja:

ui = ui+ ui0(t) (4.16)

Generalizando para qualquer vari´avel ϕ:

ϕ = ϕ + ϕ0 (4.17)

No qual a barra sobre a incógnita indica o valor médio e a aspa no segundo termo indica a componente flutuante instantânea. Esta decomposi¸cão é obtida à partir de:

ϕ = 1 ∆t

Z t+∆t t

ϕdt (4.18)

Onde ∆t é uma escala do tempo grande em compara¸cão com o per´ıodo de flu-tua¸cões, porém pequena em rela¸cão à constante de tempo para quaisquer varia¸cões mais lentas. Por defini¸cão:

ϕ0 _{= 0} _{ϕ = ϕ + ϕ}0 _{= ϕ} _(4.19)

As equa¸cões de Reynolds são obtidas à partir da aplica¸cão destas defini¸cões nas equa¸cões de conserva¸cão de Navier-Stokes. Assim, para o regime permanente e

(39)

incompress´ıvel, as equa¸cões de continuidade, conserva¸cão de momento e de energia são obtidas [13]: ∂ uj ∂xj = 0 (4.20) ∂ (uiuj) ∂xj = −1 ρ ∂ p ∂xi + ∂ ∂xj ν∂ ui ∂xj − ui0uj0 + gi (4.21) ∂ ρCpT uj ∂xj = uj ∂ p ∂xj + ∂ ∂xj kcond ∂ T ∂xi − ρCpT0u0j (4.22) Onde o subscrito i é usado para variar equa¸cões enquanto o subscrito j é utilizado para varia¸cão das dire¸cões dentro de uma equa¸cão.

Uma diferen¸ca entre as equa¸cões de Navier-Stokes e as equa¸cãoes RANS é a presen¸ca dos termos T0_u0

j e ui0uj0, conhecidos como fluxo turbulento de calor e tensor

de Reynolds, respectivamente. Esses últimos representam a influência das flutua¸cões causadas pela turbulência no escoamento. Com o aparecimento de novos termos e como não existe nenhuma equa¸cão adicional ao sistema, é necessário introduzir modelos adicionais para a resolu¸cão das equa¸cões.

De acordo com [14], a forma mais simples de modelar o fluxo turbulento de calor é estabelecendo uma rela¸cão entre o gradiente de temperatura média e o fluxo turbulento de calor. Assim, pode-se escrever:

−T uj = νt P rt ∂ T ∂xj (4.23) Onde P rt representa uma propriedade chamada de n´umero de Prandtl

turbu-lento.

O modelo mais comum e utilizado para o modelo do tensor de Reynolds é co-nhecido como hipótese de Boussinesq. Esta propõe que os tensores de Reynolds são proporcionais às taxas médias de deforma¸cão. Dessa forma, para um escoamento incompress´ıvel [8]: −uiuj = νt ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi − 2 3k δij (4.24)

(40)

Aonde δij é o operador delta de Kronecker, k é a energia cinética turbulenta e νt

é a viscosidade turbulenta. Estes três últimos são definidos por:

δij      1, i = j 0, i 6= j k = 1 2(−uiui) νef etiva = ν + νt (4.25) Desse modo, a viscosidade turbulenta deve ser modelada para o fechamento do problema. Neste ponto, ´e importante introduzir o conceito de viscosidade dinˆamica:

µt= ρνt (4.26)

Para calcular os fluxos turbulentos com as equa¸cões RANS é necessário utilizar modelos que predizem o tensor de Reynolds e consequentemente o termo de viscosi-dade turbulenta. Os modelos de turbulência RANS mais comuns são apresentados na tabela 4.1. Estes estão classificados com base no número de equa¸cões adicionais.

Tabela 4.1: Classifica¸c˜ao dos modelos de turbulˆencia

N´umero de equa¸c˜oes extra Nome do modelo

Zero Modelos alg´ebricos

Uma Modelo Prandtl

Modelo Spart-Allmaras

Duas

Modelo k-ε Modelo k-ω Modelo SST

Sete Modelo de tens˜oes de Reynolds

Da tabela 4.1, todas as abordagens representam modelos de viscosidade turbu-lenta, exceto pela última abordagem, conhecida como modelo de tensões de Rey-nolds. Dentre os modelos listados, o mais usado para a simula¸cão de regimes tur-bulento é o modelo k-ε.

(41)

4.3.2 Modelo de turbulˆ

encia k-ε

Conforme [14], o modelo de comprimento k-ε é atualmente o mais usado, sendo ba-seado em uma analogia entre a viscosidade turbulenta, a energia cinética turbulenta k e a taxa de dissipa¸cão turbulenta ε. Desta maneira, propõe-se:

µ=ρCµ

k2

ε (4.27)

Além disso, as duas equa¸cões diferencias de transporte adicionais propostas são [8]: ∂ (ρk) ∂t + ∂ (ρujk) ∂xj = ∂ ∂xj µ + µt σk ∂k ∂xj + Pk− ρε + Pkb (4.28) ∂ (ρε) ∂t + ∂ (ρujε) ∂xj = ∂ ∂xj µ + µt σe ∂ε ∂k + ε k (Cε1Pk− Cε2ρε + Cε1Pεb) (4.29) O primeiro termo das equa¸cões 4.28 e 4.29 pode ser interpretado como as taxas de difusão. Pk e ρε podem ser entendidos como a produ¸cão e destrui¸cão de turbulência,

respectivamente. Pkb e Pεb representam a influˆencia das for¸cas de empuxo. Al´em

disso, Cε1, Cε2, σke σε s˜ao constantes adimensionais, cujos valores est˜ao definidos na

tabela 4.2.

Tabela 4.2: Coeficientes do modelo k-ε

Coeficiente σk σε Cε1 Cε2 Cµ

Valor 1,0 1,3 1,44 1,92 0,09

Como descrito precedentemente, Pké a produ¸cão de turbulência devido às for¸cas

viscosas. Para fechar o sistema de equa¸cões e para que o escoamento possa ser tratado, este termo deve ser modelado. Assim, Pk é modelado à partir da seguinte

expressão: Pk = µt ∂u_i ∂xj +∂uj ∂xi ∂u_i ∂xj (4.30) Por fim, apesar do modelo k-ε não ser empregado para geometrias excessiva-mente complexas, apresenta um baixo custo computacional sendo útil para diversas

(42)

aplica¸cões em engenharia. O presente trabalho tem como objetivo a cria¸cão de uma simula¸cão de um trocador de calor casco e tubo. Desse modo, o modelo k-ε torna-se o mais adequado devido ao seu amplo uso e baixo custo computacional, fornecendo um resultado confiável para os fins do trabalho.

4.4 Malha computacional

Uma malha computacional representa a discretiza¸c˜ao de um dom´ınio f´ısico cont´ınuo `

a ser simulado, sendo constitu´ıda por linhas e pontos. Os pontos, também conhecidos como nós, são as interse¸cões das linhas e são utilizados como referência espacial para a solu¸cão das equa¸cões diferenciais do modelo numérico.

4.4.1 Classifica¸

c˜

ao da malha

As malhas podem ser classificadas à partir do seu arranjo, sendo divididas em malhas estruturadas ou não-estruturadas. Malhas estruturadas possuem linhas e pontos regularmente distribu´ıdos através do dom´ınio. Esta regularidade torna o programa mais eficaz, contudo a sua aplica¸cão está restrita à geometrias pouco complexas. Por outro lado, malhas não-estruturadas possuem seus elementos conectados de maneira irregular. Este fato torna este tipo de malha versátil e adaptável à qualquer geometria [15].

(a) Estruturada (b) N˜ao-estruturada Figura 4.5: Tipos de malha

Além da classifica¸cão quanto a estrutura, as malhas podem ser divididas em fun¸cão de seu formato geométrico. Os tipos de malha mais comuns são as hexaédricas e tetraédricas, sendo a escolha do tipo de elemento dependendo do recurso computa-cional e complexidade da geometria. Os elementos hexaédricos tem maior eficiência,

(43)

reduzindo erros numéricos, contudo não é aplicável à geometrias mais complexas. Os elementos tetraédricos são mais versáteis, contudo requerem maior recurso com-putacional para gerar uma malha de mesma qualidade de uma malha hexaédrica. Finalmente, uma malha h´ıbrida comporta os dois tipos de elementos em regiões distintas.

(a) Tetra´edrico (b) Hexa´edrico Figura 4.6: Tipos de elemento

4.4.2 Qualidade da malha

Além da boa sele¸cão do tipo de malha, é importante avaliar a sua qualidade. Esta avalia¸cão de qualidade é feita à partir de alguns controles. Os principais controles são: assimetria; ortogonalidade e razão de aspecto.

A assimetria é definida como a diferen¸ca entre a forma da célula e a forma de uma célula equilateral de volume equivalente. De acordo com [15], uma regra geral é que a assimetria máxima deve ser mantida abaixo de 0,95, com um valor médio inferior a 0,33. A ortogonalidade avalia a qualidade ortogonal variando entre 0 e 1, no qual 0 indica o caso não aceitável e 1 o caso perfeito. A razão de aspecto é uma medida do alongamento da célula. A máxima razão aceita deve ser mantida abaixo de 35.

4.4.3 Independˆ

encia de malha

Para estimar e avaliar os erros associados `a discretiza¸c˜ao do dom´ınio computacional, foi utilizada a metologia proposta pela ASME5_{. Este m´}_{etodo visa a valida¸c˜}_{ao da}

convergˆencia de malha na simula¸c˜ao CFD, em casos onde os dados experimentais

(44)

podem ou não estar dispon´ıveis para compara¸cão. O método, feito em cinco etapas, é descrito à seguir, conforme [16]:

1. Define-se um tamanho de malha caracter´ıstico. Para o caso tridimensional:

h = " 1 N N X i=1 ∆Vi # 1 3 (4.31) No qual N é o número total de elementos da malha e Vi é o volume da i-ésima

c´elula.

2. Selecionam-se trˆes malhas com h1 < h2 < h3, sendo recomendado que a raz˜ao

entre h3 e h1 seja superior a 1, 3.

3. Calcula-se a ordem aparente p:

p = 1 ln (r21) ln φ3− φ2 φ2− φ1 + q(p) (4.32) q(p) = lnr p 21− s rp₃₂− s s = sgn φ3− φ2 φ2− φ1 (4.33) Onde r21= h2/h1, r32= h3/h2 e φ sendo uma vari´avel de interesse escolhida.

4. Calcula-se a vari´avel extrapolada φ21 ext:

φ21_ext= r

p

21φ1− φ2

rp₂₁− 1 (4.34)

5. Finalmente, calculam-se os erros relativos aproximado e21

a e extrapolado e21ext,

e o ´ındice de convergˆencia de malha refinada CGI21 f ine: e21_a = φ1− φ2 φ1 e21_ext = φ21 ext− φ1 φ21 ext (4.35)

CGI_{f ine}21 = 1, 25e

21 a

rp₂₁− 1 (4.36)

O ´ındice CGI21

f ine corresponde à estimativa de erro numérico na solu¸cão

refi-nada para a variável de interesse φ. A partir deste valor, pode-se identificar a independência das malhas utilizadas. Este método pode ser usado de maneira equi-valente para o cálculo das incertezas e32

(45)

Cap´ıtulo 5

Simula¸

c˜

ao num´

erica

5.1 Implementa¸

c˜

ao

A problemática proposta envolve o desenvolvimento de um modelo f´ısico para a si-mula¸cão. Para este objetivo, optou-se pelo programa comercial ANSYS Fluent 19.0, desenvolvido pela empresa ANSYS, Inc.. Este programa contém amplos recursos de modelagem necessários para estudar o escoamento de fluidos, a transferência de calor e outros fenômenos associados. Esta ferramenta foi escolhida em razão do seu amplo uso em aplica¸cões industriais, além da sua versatilidade para modelagem de sistemas f´ısicos [15].

O ANSYS Fluent é uma ferramenta de cálculo CFD para solucionar problemas de mecânica dos fluidos, aplicando a técnica dos volumes finitos (a zona de interesse é dividida em sub-zonas ou volumes de controle). As equa¸cões governantes são discretizadas e resolvidas em cada volume de controle tridimensionalmente.

A implementa¸cão de uma simula¸cão baseada no ANSYS Fluent segue a sequência de etapas apresentadas na se¸cão 4.1. Esta implementa¸cão é feita com o aux´ılio de outras ferramentas, também desenvolvidos pela mesma empresa.

Na fase de pré-processamento, a constru¸cão da geometria, a gera¸cão da malha e a defini¸cão das condi¸cões do modelo devem ser realizadas. Para a constru¸cão do modelo geométrico, utilizou-se o Design Modeler, que é uma ferramenta de dese-nho assistido por computador (CAD)1. Para a subdivisão do dom´ınio cont´ınuo em discreto e gera¸cão da malha, foi utilizado o ANSYS Meshing.

(46)

Para a fase de processamento, na qual ocorrem o cálculo dos resultados à partir de métodos iterativos e a análise da convergência da simula¸cão, assim como a análise da independência de malha, foi utilizado o ANSYS Fluent. Esta ferramenta também é utilizada para a aplica¸cão das condi¸cões de contorno.

Finalmente, para o pós-processamento, fase na qual os resultados são analisados, fez-se uso do CFD Post. Um esquema explicativo sobre as etapas e ferramentas necessárias para simula¸cão pode ser visualizado na figura 5.1.

Figura 5.1: Implementa¸c˜ao da simula¸c˜ao

´

E importante ressaltar que a versão acadêmica do ANSYS Fluent foi utilizada para a realiza¸cão deste trabalho. Os limites impostos por esta versão foram deter-minantes para a realiza¸cão da simula¸cão.

5.2 Defini¸

c˜

ao da geometria

A primeira parte do pré-processamento consiste na constru¸cão da geometria. O trocador de calor usado para o presente trabalho consiste em um dispositivo de sete tubos, envolto por um casco cil´ındrico. O casco dispõe de um bocal de entrada e

(47)

um bocal de sa´ıda. O trocador ainda cont´em quatro chicanas igualmente espa¸cadas entre si. H´a apenas um passe no casco e um passe no tubo.

Figura 5.2: Modelo geom´etrico no ambiente Design Modeler

Neste caso, o fluido mais quente escoa dentro dos tubos enquanto o fluido mais frio escoa pelo lado dos cascos, na regi˜ao externa aos tubos. A figura 5.3 apresenta as entradas e sa´ıdas de ambos os fluidos no trocador.

Figura 5.3: Entradas e sa´ıdas dos fluidos

Na tabela 5.1, os parâmetros mais importantes para a constru¸cão da geometria do trocador de calor foram listados. É importante citar que as dimensões utilizadas para este trabalho são reduzidas em compara¸cão com um trocador real presente nas indústrias e plantas de gera¸cão de energia, por exemplo.

(48)

Tabela 5.1: Parˆametros geom´etricos

Parˆametro geom´etrico Valor (mm)

Comprimento total do casco (L) 600

Diˆametro interno do casco (Di) 100

Diˆametro externo do casco (Do) 108

Diˆametro interno do tubo (di) 16

Diˆametro externo do tubo (do) 20

Diˆametro interno do bocal de entrada do casco (Db1) 22

Diˆametro interno do bocal de sa´ıda do casco (Db2) 22

N´umero de tubos (Nt) 7

N´umero de chicanas (Nc) 4

Espa¸camento entre chicanas (Ec) 116,8

Espessura das chicanas (ec) 4

5.3 Defini¸

c˜

ao da malha

A gera¸c˜ao da malha foi feita com o aux´ılio da ferramenta ANSYS Meshing. Para este fim, o trocador foi dividido em cinco dom´ınios diferentes: Fluido quente (lado dos tubos); Fluido frio (lado do casco); Tubos; Chicanas; Paredes externas.

Foi adotada uma malha h´ıbrida para a simula¸cão, ou seja, variando o tipo de elemento dependendo do dom´ınio. Alguns dom´ınios possuem caracter´ısticas geométricas semelhantes, logo, foram tratadas de maneira similar na gera¸cão da malha. As escolhas do tipo de elemento estão listadas abaixo:

• Fluido quente e tubos: optou-se pelo uso de elementos hexaédricos es-truturados. Esta escolha foi feita pois tratam-se de dom´ınios com formatos cil´ındricos. Dessa forma, a redu¸cão do número de elementos e do custo com-putacional pôde ser feita.

• Chicanas e paredes externas: aplicou-se uma malha hexaédrica não estru-turada. Nestas regiões, não existe grande interesse de estudo das propriedades f´ısicas, visando assim a gera¸cão de uma malha com número reduzido de ele-mentos.

(49)

• Fluido frio: elementos tetra´edricos n˜ao estruturados foram usados devido `

a complexidade imposta e a facilidade da aplica¸c˜ao destes elementos neste dom´ınio.

O controle de estrutura MultiZone Method foi utilizado para gerar elementos hexaédricos. O controle Inflation foi utilizado para regiões perto da parede no fluido frio devido a complexidade do movimento nessas áreas. O refinamento da malha foi feito utilizando o controle Sizing para variar o tamanho dos elementos. Este último controle é importante para analisar a independência da malha.

Conforme [8], o número e o volume de elementos têm uma influência nos re-sultados de uma simula¸cão. Portanto, os tamanhos foram especificados de formas distintas para obter malhas com número e volume de elementos diferentes. As ma-lhas geradas estão listadas na tabela 5.2.

Tabela 5.2: Malhas geradas no ANSYS Meshing Malha Número de nós Número de elementos

N1 350 856 153 345

N2 275 946 131 775

N3 184 824 99 222

´

E importante citar que a versão acadêmica do ANSYS Fluent 19.0 tem um limite de 512 000 para o número de elementos e nós somados. As malhas foram geradas respeitando este limite.

(50)

5.4 Aplica¸

c˜

ao das condi¸

c˜

oes de contorno

A defini¸cão das propriedades f´ısicas e a aplica¸cão das condi¸cões de contorno do problema são feitas com bases nas hipóteses feitas na se¸cão 2.4.

Segundo [1], o material do tubo é escolhido de maneira à aumentar a transferência de calor. Dessa maneira, o cobre foi selecionado para os tubos devido à sua alta condutividade térmica. Para as chicanas e paredes externas, foi escolhido o alum´ınio. As propriedades dos sólidos são consideradas constantes no dom´ınio de temperaturas estudado e foram computadas à partir das defini¸cões do ANSYS Fluent.

Para ambos os fluidos, a água no estado l´ıquido foi selecionada. Neste estado, a água é considerada incompress´ıvel e suas propriedades são consideradas constan-tes para o estudo [1]. Suas propriedades também foram computadas à partir das defini¸cões do ANSYS Fluent.

Tabela 5.3: Propriedades dos materiais definidas no ANSYS Fluent Material ρ (kg/m3) Cp (J/kgK) kcond (W/mK) µ (kg/ms)

´

Agua 998,2 4182 0,6 0,001003

Alum´ınio 2719 871 202,4

-Cobre 8978 381 381,0

-Em seguida, as condi¸cões iniciais e de contorno foram estabelecidas. Como a análise de um trocador de calor é considerada um problema de regime permanente, as condi¸cões iniciais não interferem no resultado final do cálculos. Portanto, somente as condi¸cões de contorno devem ser aplicadas.

(a) Paredes externas (b) Chicanas

(51)

Como o trocador é um sistema isolado do meio externo neste estudo, foi imposta a condi¸cão de parede sem deslizamento e com fluxo de calor nulo nas paredes externas. A mesma condi¸cão foi aplicada para as chicanas.

Para os tubos foi imposta apenas a condi¸cão de não deslizamento para permitir a troca de energia entre os dois fluidos. As condi¸cões na região de entrada dos fluidos foram definidas em termos de uma velocidade normal à se¸cão. Na região de sa´ıda, uma pressão manométrica nula foi aplicada. A vazão mássica ˙mc foi calculada à

partir do diâmetro Db1. A vazão ˙mh foi calculada à partir de di e multiplicada pelo

número de tubos Nt. Todas as condi¸cões de contorno estão resumidas na tabela 5.4.

Tabela 5.4: Condi¸c˜oes de contorno

Dom´ınio Condi¸c˜ao de contorno Valor

Fluido quente

Velocidade de entrada Temperatura de entrada Vazão mássica resultante Pressão de sa´ıda 0,1 m/s 80 ◦C 0,15 kg/s 0 Pa Fluido frio Velocidade de entrada Temperatura de entrada Vazão mássica resultante Pressão de sa´ıda

0,1 m/s 10 ◦C 0,04 kg/s 0 Pa

Tubos Parede sem deslizamento

-Paredes externas e chicanas Fluxo de calor nulo Parede sem deslizamento

-5.5

Crit´

erios de convergˆ

encia

Após a defini¸cão das entradas da simula¸cão, ocorre a etapa de processamento, isto é, os cálculos CFD no Fluent. Durante o processamento, o sistema de equa¸cões é resolvido por meio de um processo iterativo até a sua convergência. Para todas as simula¸cões realizadas, utilizou-se um computador com sistema operacional de

(52)

64 bits, processador Intel i5-8250U, frequência de 1,6 GHz até 1,8 GHz e 8 Gb de mémoria RAM.

O residual é uma medida fundamental para a convergência de uma solu¸cão itera-tiva. O residual mede a diferen¸ca local de uma variável em cada volume de controle entre duas itera¸cões consecutivas. Portanto, a convergência ocorre quando a varia¸cão dos resultados entre duas intera¸cões consecutivas atende um critério estabelecido. Em uma solu¸cão numérica, o residual nunca será igual à zero. No entanto, quanto menor for o seu valor, mais precisa será a solu¸cão.

Neste estudo, foi estabelecido o critério de convergência de erro médio quadrático, entre res´ıduos de itera¸cões consecutivas, com limite de 10−6 para a equa¸cão de energia e 10−4 para as equa¸cões restantes. A figura 5.6 apresenta o resultado do processamento para simula¸cão utilizando a malha N1.

Figura 5.6: Res´ıduos de convergˆencia da simula¸c˜ao para a malha N1

A simula¸cão foi finalizada após 230 itera¸cões e pode-se observar que os critérios residuais foram atingidos. Além disso, os residuais das equa¸cões de energia, movi-mento e de turbulência atingiram um limite inferior à 10−6. Portanto, observa-se que a solu¸cão convergiu e atingiu o regime permanente do sistema, com os critérios estabelecidos conforme [16].

(53)

5.6 Estudo de independˆ

encia de malha

O estudo de convergência ou independência de malhas é uma etapa importante para verificar se a malha utilizada fornece resultados precisos. O método para esta análise baseia-se na modifica¸cão da densidade da malha, variando o número de elementos e calculando o ´ındice de convergência de malha e seus erros associados [16].

Para este fim, três malhas com resolu¸cões diferentes foram geradas, como men-cionado na se¸cão 5.3: N1, N2 e N3. Ademais, foram selecionadas três variáveis de

controle: a temperaturas TP1 medida no ponto P1 (fluido quente), a temperatura

TP2 medida no ponto P2 (fluido frio) e a temperatura TP3 medida no ponto P3 (fluido

frio), como mostra a figura 5.7:

Figura 5.7: Pontos selecionados para an´alise de independˆencia de malha

Para cada variável de controle, aplicou-se o método descrito na se¸cão 4.4 para estimar as incertezas associadas ao refinamento de malha. A tabela 5.5 apresenta os resultados obtidos.

De acordo a tabela, o ´ındice de convergência associado às malhas N1 e N2é igual a

0,1%, 0,1% e 3,1% para o controle das temperaturas TP1, TP2 e TP3, respectivamente.

Simultaneamente, o ´ındice de convergência associado às malhas N2 e N3 é de 0,3%,

1,8% e 7,6%. Apenas o controle de TP3 apresentou um erro maior que 7 %, neste

´

ultimo caso. Os resultados obtidos para as malhas N2 e N3 s˜ao levemente maiores

do que os resultados das malhas N1 e N2, comprovando que o refinamento foi eficaz

para a redu¸cão das incertezas. O resultado também confirma que o refinamento não causa varia¸cão significativa na simula¸cão, pois os ´ındices tem pequenas diferen¸cas entre si [16].

(54)

Tabela 5.5: Resultados da análise de independência de malha Variável TP1 TP2 TP3 r21 1,094 1,094 1,094 r32 1,128 1,128 1,128 φ1 74,282◦C 26,781 ◦C 21,818 ◦C φ2 74,407◦C 26,473 ◦C 21,428 ◦C φ3 74,799◦C 24,477 ◦C 20,67 ◦C

Vari´avel extrapolada φ21

ext 74,231

◦_C _26,875 ◦_C _22,357 ◦_C

Erro relativo aproximado e21

a 0,1 % 0,1 % 0,2 %

Erro relativo extrapolado e21

ext 0,1 % 0,3 % 2,4 %

´_{Indice de convergˆ}_{encia CGI}21

f ine 0,1 % 0,1 % 3,1 %

Vari´avel extrapolada φ32_ext 74,549◦C 26,806 ◦C 22,136 ◦C Erro relativo aproximado e32_a 1,0 % 8,6 % 6,5 % Erro relativo extrapolado e32

ext 1,0 % 8,6 % 6,6 %

´_{Indice de convergˆ}_{encia CGI}32

f ine 0,3 % 1,8 % 7,6 %

A malha N1, a mais refinada dentre as trˆes geradas, foi selecionada para an´alise

de qualidade. A tabela 5.6 apresenta os dados obtidos para esta an´alise. Tabela 5.6: Qualidade dos elementos da malha N1

Malha 3 Qualidade Crit´erio

Assimetria 0,57 OK Ideal <0,33 <Aceit´avel <0,95

Ortogonalidade 0,88 OK 0 (Não aceitável) <Aceitável <1 (Ideal) Razão de aspecto 26,23 OK Ideal <10 <Aceitável <35

`

A partir dos resultados, constata-se que a malha N1 apresenta uma qualidade

admiss´ıvel. A ortogonalidade resultante apresenta uma qualidade elevada, com valor igual à 0,88. Por outro lado, a assimetria e razão de aspecto resultantes possuem os valores 0,57 e 26,23, respectivamente. Estas duas métricas podem ser melhoradas, entretanto, apresentam valores aceitáveis considerando os critérios estabelecidos em 4.4.1. Dessa maneira, a malha N1 foi selecionada para a simula¸cão.

(55)

Cap´ıtulo 6

Resultados

6.1 An´

alise dos resultados obtidos na simula¸

c˜

ao

Para as condi¸cões de contorno definidas anteriormente, os efeitos f´ısicos dentro do trocador foram simulados no ANSYS Fluent. Nesta fase, chamada de processamento, ocorre a solu¸cão do problema à partir de cálculos iterativos [8].

Após a valida¸cão dos critérios de convergência do processamento, pode-se analisar resultados. Isto é feito através da interface CFD-Post. Em um primeiro instante, os contornos de temperatura no trocador foram plotados.

(56)

Figura 6.2: Contornos de temperatura no plano xz

Observando as figuras 6.1 e 6.2, percebe-se que, de fato, ocorre uma transferência de energia entre os fluidos. O fluido no lado dos tubos é resfriado pelo fluido no lado do casco, enquanto este último é aquecido pelo primeiro.

No lado dos tubos, há varia¸cão em torno de 5◦C, e a temperatura de sa´ıda é Th2 = 75, 1◦C. O fluido do casco tem uma varia¸cão de 18◦C, saindo do sistema à

Tc2= 28, 2◦C. Existe maior varia¸c˜ao de temperatura por parte do fluido frio devido

a sua menor vaz˜ao m´assica.

O perfil de temperaturas do fluido quente ao longo dos tubos foi tra¸cado, como mostra a gr´afico `a seguir:

(57)

Figura 6.3: Perfil de temperaturas do fluido no lado dos tubos

Este perfil foi obtido à partir da medi¸cão da temperatura do ponto central da circunferência de cada tubo. À partir do gráfico 6.3, constata-se que a varia¸cão das temperaturas dos tubos entre si é m´ınima.

Em um segundo instante, as linhas de corrente desenvolvidas `a partir das se¸c˜oes de entrada foram tra¸cadas. As mesmas podem ser observadas nas imagens 6.4, 6.5, 6.7 e 6.6.

(58)

Figura 6.4: Linhas de corrente do fluido no lado dos tubos

Figura 6.5: Linhas de corrente do fluido no lado do casco

O fluido quente, limitado espacialmente pelos tubos, possui complexidade menor e m´ınima varia¸cão de velocidade ao longo do dom´ınio. Por outro lado, o fluido frio possui maior complexidade em seu movimento, devido a varia¸cão da se¸cão do escoamento ao longo do trocador e a presen¸ca de chicanas.