CENTRO DE IMPULSÃO, P6237

CENTRO DE IMPULSÃO, P6237

1. INTRODUÇÃO

O estudo de forças de pressão que actuam em superfícies submergidas é um tópico fundamental no assunto de hidrostática, onde se relaciona a força de impulsão resultante e o conceito de centro de pressão.

2. DESCRIÇÃO

O equipamento, Centro de Pressão – P6237, consiste essencialmente em um quadrante de um toroide que gira pela sua linha de centro através de um braço de equilíbrio sobre um tanque de água, como se mostra na figura 1. O quadrante tem as seguintes dimensões: 100mm raio interno, 200mm raio exterior e 75mm de largura. Está montado no braço de equilíbrio de forma que a sua face rectangular é vertical e as duas faces encurvadas são concêntricas com a linha de acção; assim, das forças hidrostáticas que actuam no quadrante quando submerso, só a força na face rectangular dá lugar a um momento sobre o eixo da extremidade. Além do quadrante que é fixo por um parafuso, o braço de equilíbrio incorpora um prato de balança e um contrapeso ajustável.

O nível de água é indicado pela escala graduada sobre a face lateral do quadrante. A escala está dividida no topo da face para indicar a mudança de imersão parcial para total.

Figure 1 Centro de Pressão

3. TEORIA Lista de Símbolos

a Área m2

A altura vertical de extremidade desde a superfície da água

m

B largura do elemento infinitesimal m

b largura do quadrante m

d altura do quadrante “end face” m

F força total na superfície N

g aceleração gravítica (9,807) m/s2

H Altura de actuação no elemento infinitesimal m

H profundidade do centro de gravidade m

HP profundidade do centro de pressão m

L Comprimento do braço de equilíbrio m

P pressão média que actua na superfície N/m2

X distância do elemento infinitesimal desde a origem O

m

X distância do centro de gravidade desde a origem O m

XP distância de centro de pressão desde a origem O m

y profundidade da menor extremidade do quadrante m

largura do elemento infinitesimal m

ângulo entre a superfície líquida e plano submerso graus

ρ densidade do líquido (água 998 às 20°) kg/m3

3.1 Relação entre Pressão e Profundidade.

Considere um cilindro vertical parcialmente enchido com um líquido para uma altura h como se mostra na figura 2. Se a área transversal do cilindro é A então o volume de líquido no cilindro será V = H.A. Se a densidade do líquido é ρ, então o peso do líquido será γ = ρ.g.H.A e a pressão na base do líquido será P . . .g H A . .g H

A

ρ _ρ

= =

A pressão em qualquer ponto no cilindro será devida ao peso de líquido sobre aquele ponto, de forma que a pressão aumenta com a profundidade de acordo com a relação

. .

P=ρ g H

3.2 Pressão que actua em uma Superfície Submersa.

Considere uma superfície plana de área A totalmente submergida em um líquido e segundo um ângulo θ à superfície da água. A força que actua em qualquer parte da superfície superior da área é devida ao peso do líquido sobre aquela parte e desde que a área não esteja na horizontal, as forças serão maiores nas partes mais fundas que nas partes superiores.

Figure 3 Superfície Submersa

Considere um elemento infinitesimal B, largura δX, área δA, distância X desde O e à profundidade H. A pressão que actua no elemento infinitesimal é

. . . . .sin

P g H g X

δ =ρ =ρ θ

X

A força total que actua no elemento infinitesimal será

. . . .sin . .

F P A g X B

δ =δ δ =ρ θ δ

Ou seja, a força total que actua numa superfície em geral pode ser determinada integrando a equação

. .sin .

F =ρg θ

∫

Mas

∫

A pressão média na área é então igual à pressão que actua na superfície no centro de gravidade.

3.3 Centro de Pressão de uma Superfície Submersa

A posição do centro de pressão é determinada pelos momentos em relação a O.

Considerando o momento produzido pela pressão que actua sobre o elemento infinitesimal e integrando 2 Momento = . . . . . . . .sin . . . . .sin . . . .sin . _o g H B X X g X B X X g X B X g I ρ δ ρ θ δ ρ θ δ ρ θ = = =

∫

∫

∫

∫

O momento total devido à pressão de água na superfície de vertical também será dado pela força total que actua no centro de pressão,

Momento = .F X_p =ρ. .sin . . .g θ X A X_p

Igualando estas duas expressões para o momento sobre a extremidade da superfície (em forma de faca): . .sin . . . . .sin . . . p o p o g X A X g X A X I I ρ θ =ρ = θ Então, . o p I X X A =

Recorrendo ao teorema de eixo paralelo

2 . . . CG CG p A X I I X X A X A X + = = +

A distância entre o centro de pressão e o centro de gravidade é determinada por

. CG p I X X A X − = Ou 2 .sin .sin sin sin . . p p CG CG p H H I I H H A X θ A X θ θ − θ = ⇔ − =

Figure 4 Equipamento experimental

De acordo com a figura 4, considere as forças que resultam da actuação dos momentos sobre a viga e a parte submergida do modelo em relação ao parafuso. As pressões nas superfícies encurvadas do lado direito actuam segundo determinados ângulos, mas o design do modelo assegura que estas forças atravessam a linha de acção não exercendo nenhum momento. A pressão hidrostática na superfície vertical exerce uma força F no centro de pressão que está à profundidade Hp (em relação à superfície livre). O momento resultante é então determinado por

(

)

. _p

F a+ − +d y H

e é contrabalançado pelo peso da massa M no braço de equilíbrio à distância L da extremidade.

. .

M g L

Considerando separadamente agora os casos de imersão parcial e imersão completa:

3.4.1 Imersão parcial.

Quando a face vertical do quadrante só é submergida parcialmente as propriedades geométricas da porção molhada são:

Área, A=b y.

Profundidade do Centro de gravidade,

2 y H = Momento de Inércia, 3 . 12 o b y I =

Profundidade de Centro de Pressão, 3 . 2. 12 . 2 _{. .} 3 2 o p y b I y H H y A H _{b y} = + = + = y

A força que actua na parte submergida da superfície do modelo é

2 . . . . . 1 . . . .₂ 2. . F g H A g y g b y b y ρ ρ _ρ = = =

Momentos em relação à extremidade

(

)

. . . p

M g L=F a+ − +d y H

Substituindo por Hp e reorganizando a equação, podemos determinar a força que actua na superfície molhada com base nos resultados experimentais de M e y

. . . . 2 3 3 M g L M g L F y y a d y a d = = + − + + −

que pode ser comparado então com o resultado teórico

2

1 _{. . .} 2

F = ρ g by

3.4.2 Imersão completa

Quando a superfície completamente as propriedades da face submergida são:

Área, A=b d.

Profundidade do Centro de gravidade,

2 d H = −y Momento de Inércia, 3 . 12 o b d I =

Profundidade de Centro de Pressão,

3 2 . 12 . 2 . . 2 1 o p d b I d d H H y y 2 d A H b d H = + = − + = − + H A força que actua na superfície é:

. . . . 2

d F =ρg H A=ρ g ⎛_⎜y− ⎞_⎟b d

⎝ ⎠

Momentos em relação à extremidade

(

)

. . . _p

M g L=F a+ − +d y H

Substituindo por Hp e reorganizando a equação, podemos determinar a força que actua na superfície molhada com base nos resultados experimentais de M e y

. . . . 2 2 M g L M g L F d d a d y y a = = + − + − +

que pode ser comparado então com o resultado teórico

. . 2 d . F =ρg y⎛_⎜ − ⎞_⎟b d ⎝ ⎠

4. EXPERIÊNCIA – CENTRO DE IMPULSÃO

Objectivo Investigar a pressão que actua em uma superfície submergida e determinar a posição do centro de pressão.

Preparação de equipamento. Posicione o equipamento na superfície de trabalho da bancada de hidrostática e ajuste os pés para nivelar a base. Conecte um tubo de mangueira ao dreno e dirija a outra extremidade para o tubo de descarga do tanque.

Procedimento experimental.

1. Se necessário medir as dimensões a, b e d do quadrante, e a distância entre o pivot e o cabide de massas, L. Molhe ligeiramente a balança para reduzir os efeitos de tensão superficial.

2. Insira o quadrante no tanque posicionando o braço de equilíbrio nas extremidades. Ajuste o contrapeso até o braço de equilíbrio estar na horizontal, como indicado no indicador de nível de dados.

3. Adicione todas as massas ao prato de balança. Encha o tanque de água até a viga estar em equilíbrio. Drene uma quantidade pequena de água até o braço metálico ficar na

horizontal. Não nivele o braço de equilíbrio por ajuste do contrapeso. Registe o nível de água indicado na balança.

4. Remova uma ou mais massas do portador de peso e nivele o braço de equilíbrio drenando mais da água. Quando o braço estiver nivelado registe a profundidade de imersão indicada na balança no quadrante.

5. Repita este procedimento até ficar sem pesos.

Resultados e Análise

1. Registe os resultados em uma cópia da folha de resultados provida.

2. Para cada resultado calcule a força na superfície a partir das massas no prato de pesos, calcule a força teórica na superfície a partir da profundidade de imersão, e calcule a profundidade do centro de pressão.