Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática
MAT 140 (Cálculo I) - 2017/II
Exercícios Resolvidos e Comentados - Taxas Relacionadas
10) Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque começa a encher-se de água, a uma vazão constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que sobe o nível da água dh
dt
em função da profundi-dade h. Com que velociprofundi-dade a água sobe no instante em que h = 0?
Resolução:
Figura 1: Tanque na forma de cone invertido
Devemos ser capazes de escrever a taxa de variação da profundidade h em termos da vazão k, do raio R e da altura H. Temos que o volume de água no tanque, em um dado instante, é o volume do cone destacado em azul na Figura 1 que é dado por:
V = π 3r
2h0
Por semelhança de triângulos, é verdade que: r h0 = R H ⇒ r = R Hh 0
Portanto, o volume pode ser escrito em termos h0:
V = π 3 R Hh 0 2 h0 = πR 2 3H2h 03 Assim: k = dV dt = πR2 H2 h 02dh0 dt Pela gura, vemos que h + h0
= H o que implica no seguinte: Derivando em relação ao tempo e lembrando que a altura H do cone não varia, dh
dt + dh0 dt = 0 e h 0 = H − h. Logo k = −πR 2 H2 (H − h) 2dh dt = −πR 2 1 − h H 2 dh dt
Portanto: dh dt = − k πR2 1 1 − h H 2 ⇒ dh dt h=0 = − k πR2
12) Duas vias se cortam num ponto A fazendo um ângulo de 60 graus. Dois automóveis estão localizados a 160m de A. Um deles se afasta de A a 100km/h e o outro se aproxima de A a 50km/h. Qual a razão de mudança da distância entre os dois veículos?
Resolução:
Figura 2: Duas vias que se cruzam em A
Temos que obter uma expressão que relacione a taxa de variação da distância entre os automóveis dl dt em termo de suas velocidades dl1
dt = 100km/h e dl2
dt = −50km/h (o sinal negativo expressa o fato que o automóvel 2 está se aproximando de A, ou seja, l2 diminui com o tempo) e da distância deles até o
ponto A, l1 = l2 = 160m.
Pela lei dos cossenos:
l2 = l21+ l22− 2l1l2cos 60 = l21+ l 2 2 − l1l2
Derivando em relação ao tempo: 2ldl dt = 2l1 dl1 dt + 2l2 dl2 dt − dl1 dtl2 + l1 dl2 dt Logo: dl dt = 1 pl2 1+ l22 − l1l2 l1 dl1 dt + l2 dl2 dt − 1 2 dl1 dtl2 + l1 dl2 dt
Simpli cando um pouco mais: dl dt = 1 pl2 1+ l22 − l1l2 l1− l2 2 dl1 dt + l2− l1 2 dl2 dt
Substituindo os valores fornecidos pelo problema obtemos: dl
dt = 25km/h
14) Um corpo M se move a razão de 5m/s ao longo de um pátio circular. Uma luz L localizada em um dos extremos do diâmetro e perpendicular a este, projeta a sombra de M sobre a parede circular que cerca o pátio. Quão rápido se move a sombra ao longo da parede quando M se encontra a R/2m do centro do pátio?
Resolução:
Figura 3: Pátio circular de raio R e centro C. Luz L iluminando o corpo M com sua sombra S projetada na parede
Pela gura, vemos a sombra S do corpo M sendo projetada na parede do pátio circular. Denotemos o arco OS descrito pela sombra por l e a distância do corpo até o centro CM por x. Devemos obter uma relação entre a taxa de variação do arco dl
dt e a velocidade dx
dt do corpo M.
O triângulo SCL é isóceles, portanto os ângulos [CLS e [CSL são iguais e valem π 4 −
θ
2, para que a soma dos ângulos internos do triângulo seja 180 graus, ou seja, π rad.
Olhando agora para o triângulo CLM vemos que: tan π 4 − θ 2 = CM CL = x R
Da relação do arco de circunferência temos que: OS ≡ l = θR Portanto, x = R tan π 4 − l 2R ⇒ dx dt = R sec 2 π 4 − l 2R × −1 2R × dl dt dx dt = − 1 2 1 + tan2 π 4 − l 2R × dl dt = − 1 2 1 +x R 2 dl dt
Onde usamos a identidade 1 + tan2
α = sec2α. Por m, obtemos a relação desejada:
dl dt = − 2 h 1 + Rx2i dx dt Assim, dl dt x=R 2 = 8m/s Onde usamos dx
dt = −5m/s supondo que o corpo esteja se movendo em direção ao centro da esfera, pois nessa situação x diminui com o tempo.
16) O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem num dado instante de tempo 10m e 20m, respectivamente. Se o diâmetro aumenta a uma razão de 1m/min, qual variação da altura manterá o volume do cilindro constante?
Resolução:
Sendo o diâmetro e a altura do cilindro D e H, respectivamente, o volume do cilindro é: V = π D 2 2 H = π 4D 2H
Devemos encontrar uma relação entre a taxa de variação do diâmetro dD
dt e a variação da altura dH
dt . Sendo o volume constante, temos que:
dV dt = π 4 2HDdD dt + D 2dH dt = 0 ⇒ dH dt = − 2H D dD dt = −4m/min Ou seja, a altura diminui a uma taxa de 4 metro por minuto
18) Determinar a taxa de variação do ângulo agudo θ formado pelas diagonais de um retângulo se o lado maior y cresce a razão de 4cm/s em uma direção e o outro lado x permanece constante e igual a 10cm, no instante em que o lado que cresce mede 17cm, (Sug.: tan θ
2
= x y ) Resolução:
Sabemos que tan θ 2
= x
y e que x é constante, logo: d dt tan θ 2 = d dt x y ⇒ sec2 θ 2 1 2 dθ dt = − x y2 dy dt ⇒ 1 + tan2 θ 2 1 2 dθ dt = − x y2 dy dt " 1 + x y 2# 1 2 dθ dt = − x y2 dy dt ⇒ dθ dt = −2x x2+ y2 dy dt ≈ −0.206rad/s
Figura 4: Ângulo formato pelas diagonais de um retângulo
Figura 5: Tanque semiesférico de raio R. Questão 20.
20) Se enche de água um tanque semiesférico de raio R a razão de 22, 5m3/min. Qual a rapidez que o nível
de água está subindo quando a água está a 5m do centro da esfera? Resolução:
Quando a altura da água, medida a partir do chão, é h o volume de água no interior do tanque é dado por: V = π 3h 2 (3R − h) = πRh2− π 3h 3
Logo a taxa com que o volume de água cresce é dada por: dV dt = 2πRh dh dt − πh 2dh dt = −π dh dt(h 2− 2Rh) = −πdh dt(h 2− 2Rh + R2− R2 ) dV dt = −π dh dt (R − h) 2− R2 = πdh dt R 2− (R − h)2 Portanto, dh dt = 1 π 1 [R2− (R − h)2] dV dt
Com os dados fornecidos pelo problema, temos: dh dt = 1 π 22, 5 [R2− 25]m/min
22) Uma piscina tem 50m de comprimento, 25m de largura e uma profundidade de 3m na parte mais pro-funda e 1m na parte menos propro-funda. O fundo da piscina tem um formato retangular. É bombeada água dentro da piscina a uma taxa de 120m3/min. Nos instantes em que o nível da água for de h = 1m
e h = 2m, qual a velocidade de elevação do nível da água?
Resolução:
Figura 6: Piscina inclinada. OBS.: Desenho fora de escala
Note que o volume de água na piscina é metade do volume do paralelepípedo de lados l, h e 25. Por semelhança de triângulos, temos também que h
l = 2
50 → l = 25h. O volume de água é, portanto: V = 1 2l × h × 25 = 1 2(25h) × h × 25 = 625 2 h 2 Assim, dV dt = 625h dh dt ⇒ dh dt = 1 625h dV dt = 1 625h120 = 24 125h Por m, calculamos para os valores de h desejados:
dh dt h=1 = 24 125m/min dh dt h=2 = 12 125m/min