GRUPO FISS BANCO DE DADOS
APOSTILA DE
MATEMÁTICA
REVISÃO
"
-GEOMETRIA Prof.: Alexandre Coutinho
1- Noções primitivas
l-As noções geométricas são
estabelecidas por meio de definições ..
Adotaremos sem definir as noções
de:
PONTO, RETA E PLANO
2- Notação de ponto reta e plano a) Com letras
Ponto -letras maiúsculas latinas: A, B,.. Reta -letras minúsculas latinas: a, b,...
Plano - Letras gregas minúsculas:
a,p
,
y
.
...
b) Notações gráficas
p
•
o
pontoP. Areta r.o
planoa.Obs: As proposiçoes geométricas são
aceitas mediante demonstrações 3- Postulados da existência.
a) Numa reta, bem com fora dela, há infinitos pontos.
b) Num plano há infinitos planos.
4- posições de dois pontos e de
ponto e reta
a) A e B coincidentes - é o
mesmo ponto, um só ponto,
com dois nomes: A e B
A'B (A=B)
b) Pontos distinto:
• A • B (Ai B)
c)Ponto pertence a reta:
r
• A
(A E r)
d)Pontos colineares são pontos que
pertencem a uma mesma reta
A~
-
'
Ospontos A eBdistintos deter
-minam a reta que indicamos por AB.
-
-(A ;é B,AE r, B E r) =* r = AB
Aexpressão duas retas
colnciden-tes é equivalente a uma única reta. r=Ã8
5- Postulados da determinação
a) Da reta: Dois pontos distintos
determinam uma única que passa por
eles.
A
b)Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano.
(A ;é- B, r =
ÃB
,
A E a, B E a)=-
r C ac) Três pontos não colineares
determinam um único plano que passa por eles
Os pontos A, Be C não colinea-res determinam um plano aque indica-mos por (A, B, C).
O planoaéOúnico plano que
pas-sa por A. Be C.
d) Pontos coplanares são todos os
pontos que pertencem a um mesmo
plano.
e)Retas concorrentes
a)Definição
DuasretassãoCfJncorrentesse,e somente se,elas têmumúnico ponto
comum.
r
n
s=
IP]6-
Segmento de reta - DefiniçãoDadosdois pontos distintos, a reuniãodo conjuntodessesdois pon -toscom o conjunto dos pontosqueestào entre eleséumsegmento dema.
'Assim, dadosAeB, A tB,osegmento de retaAB(indicadopor
.
4B
)
éoquesegue: x
.
,
B A A B AR=IA,B1UIXIXestáemnA eBl ÂNGULOS I-Definição29.
Chama-se ângulo à reunião de duassemi-retas de mesma ori-gem, não contidas numa mesma
reta (não colineares).
3-.Ângulos adjacentes:
Dois ângulos consecutivos são ad -jacentes se, e somente se, não têm pon -tos internos comuns.
AÔB e BÔC são ângulos adja-centes.
4-Ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulossão opostos pelovér
-tice se,esomente se, osladosde um
de-les são asrespectivas semi-retas opostas
aoslados do outro.
õÃ
eõê
opostas1
- - => OBe OD opostas O~~---~ --D AAÔB eCÔD são opostos pelo vértice. Notemos que duas retasconcorrentes determinam dois paresdeângn opostos pelovértice.
5- Ângulo suplementar adjacentes: a
soma é igual a 1800•
•
a c o A
6- ângulos: b
AÔB
=
aÔb=
~h a)reto.
~ •...•..AOB = OA U OB
Oponto O éovértice do ângulo.
~ 4.
As semí-retas OA e OB são os
lados do ângulo.
2- Ângulos consecutivos:
Doisângulos são consecutivos se,esomente se,umlado deum delesé zmbém lado do outro(um lado de um delescoincide com um lado dooutro).
,
<o
A~
'k
AAÔBe AÔC são AÔC e BÔC são AÔB e BÔC são
consecutivos consecutivos consecutivos
õÃ.é oladocomum). (OCé o ladocomum). (00 é o ladocomum).
b
"
_______ L·..J...:..L-....__ •••. aab
éreto O ângulo é igual a 90°b)agudo c
cd
é agudo O ângulo é menor de 900 c) obtuso eêré
obtuso O ângulo é maior de 90° d) Ângulo raso: O ângulo é igual a 1800e) Ângulos complementares: São os
ângulos cuja soma é igual a 900 •
a+
fJ =900f) Ângulos suplementares: São os
ângulos cuja soma é igual a 1800 •
a
+
fJ=
1800g) Ângulos replementares: São os
ângulos cuja soma é igual a 3600 •
a +
fJ=
36007- Unidade de medida de ângulos 10Grau
=
60' minl'min =60" segundos
Grau minuto segundo
EXERCíCIOS
1) Simplifique as seguintes medidas:
a) 30°70' d) 110°58'300" b) 45°150' e) 30°56'240" c) 65°39'123" 2) Determine a soma: a) 30°40' + 15°35' b) 10°30'45" + 15°29'20" 3) Determine as diferenças: a) 20°50'45" - 5°45'30" b) 31°40' - 20"45' c) 90°15'20" - 45°30'50" d) 90° - 50°30'45" 4) Determine os produtos: a) 2 x (10°35'45") b) 5 x (6°15'30")
5) Determine o valor de x nos casos:
~ ~ ~
Á
30· o. •• x x . b) d)-
/
1"_"0
/'
~ ~Obs: Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são iguais.
6) Determine o valor de x nos casos:
7) Determine o valor de anos casos:
a) b)
2x - 10·
I
\
a
= x + 40°8)Calcule O complemento dos seguintes
ângulos:
a) 47° b) 25° c) 3r25'
9)Calcule o complemento dos seguintes ângulos:
a) 72° b) 141° c) 93°15'
10)Dado um ângulo de medida x,
indique:
a) seu complemento; b) seu suplemento;
c) o dobro do seu complemento; d) o triplo do seu suplemento; e) a sétima parte do complemento; f) a quinta parte do suplemento;
11) Dê a medida do ângulo que vale o
dobro do seu complemento.
12) Determine a medida do ângulo igual
ao triplo do seu complemento;
13) Calcule um ângulo, sabendo que um
quarto do seu suplemento vale 36°.
14) Qual é o ângulo que .excede o seu
suplemento em 66° .
15) Na figura, o ângulo x mede a sexta
parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule o ângulo y.
TRIÂNGULOS
1- Definição : Dados três pontos A,
B,
eC não colineares, à reunião dos,
- -seguimentos
AB
,
BC
eA
C chama-se triangulo ABC. Indicação: TrianguloABC
=
MBC
c B~L---a---~~ 2- Classificação:a) Quanto aos lados, os triângulos
podem se classificar em:
- eqüiláteros se, e somente se, tem os
três lados congruentes;
- isósceles se, e somente se, dois os três lados congruentes;
- escalenos se, e somente se, dois os três lados congruentes;
MBC equílátero 6RST isósceles 6MNP escaleno
A R N
p
b) Quanto aos ângulos, os triângulos
podem se classificar em:
- retângulo se, e somente se, têm um
ângulo reto;
- acutângulo se, e somente se, têm os
três ângulos agudos;
- obtusângulo se, e somente se, têm os
um ângulo obtuso.
c o R
B F T
3- Congruência de triângulos
a) Definição: Um triângulo é
congruente (congruente
==)
a outro se,somente se, é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices de
modo que:
seus lados são ordenadamente
congruentes aos lados do outro e
seus ângulos são ordenadamente
congruentes aos ângulos do outro.
A A'
(AB ==A'B' ~ ==~')
A ABC=- 1\ "B'C' AC A'C -
-LVl ,_>ft Ç=> _ == _' e B== B'
BC== B'C ê==
t:
Acongruência entre triângulos é reflexiva,simétricaetransitiva.
b) Casos de congruência: 1°caso - LAL - postulado:
• Sedoistriân~ulostêm ordenadamente congruentesdois lados e o
angulo compreendIdo,então elessão congruentes.
2°caso-ALA
"Se doistriângulos têm ordenadament~.congrue~tes um lado e ~~ dois ângulosa ele adjacentes, então essestnangulos sao congruentes.
A
t
;
~~A' A'= X
B' C' B' C'
3°caso-LLL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados.er.
-tão esses triângulos são congruentes.
4°caso - LAAo
Se doistriângulos têm ordenadamente congruentes umlado, um ân
-gulo adjacente e o ân-gulo oposto a esse lado, então essestriângulos são congruentes. C' o 1\ /~ / \ A / \ ~ Hipótese BC ==B'C (I), fi ==fi'(2), == Ã' (3) Tese ===> .6ABC ==,t\,A'B'C
4- Mediana de um triângulo - definição
Mediana de um triângulo é um
segmento com extremidades numvérti- A ce e no ponto médio do lado oposto.
M( é o ponto médio do ladoBC.
AM( éa medianarelativa ao lado BC.
AMJ éa mediana relativa ao
vértice A, B M,
5- Bissetriz interna de um triângulo definição
Bíssetrizinterna de um triângulo é o segmento,com extremidades num vérticee no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos
congruentes.
S( E BC, SjÂB == S(ÂC
_ AS( é a bissetriz relativa ao lado BC.
AS( é a bissetriz relativa ao vér-ticeA.
6- Teorema do ângulo externo Dado um/',ABe e sendo
a
a =Heta opostaàsemi-retaéB,o ân -.g;;jo A ê =ACX=
t:bgulo externo do/',ABeadjacente-
t
e nãoadjacente aos ângulosÂeli. e~ ---..:...\ ....•... O ângulo êé o suplementar adjacente deê.,Exercícios 1- Se o MBC é isósceles de base BC, determine x. A 2- o MBC é eqüilátero. Determine x e y. A 3- Se o MBC é isósceles de base BC, determine BC . A
:;A
s
B 2x + 4 C 4- Se o MBC é isóscelesde base BC, determine x. A ~ B C 5- Se o MBC é isósceles de base AC , determine x. A B c 6- Se o MBC é isósceles de base AC, determine x e y. A 2x - 40° B7- Determine o valor de x e y, sabendo
que o MBC é eqüilátero. a) b) A A B y+4 c 8 y 8- Se o perímetro de um triângulo
equilátero é de 75 em, quanto mede
cada lado?
9- Se o perímetro de um triângulo
isósceles é de 100cm e a base mede 40
em, quanto mede cada um dos outros
lados? 10- Determine o perímetro do MBC nos casos: a) Triângulo AB
=
x+2y, BC=x+y+3 eqüilátero com AC=2x- y eb)Triângulo isósceles de bas~ BC com AR
=
2x+
3, A C=
3x- 3 e ;0=
x+
311- Num triângulo isósceles, o
semiperímetro vale''7,5 cm. Calcule os
lados desse triângulo, sabendo que a
soma dos lados congruentes é o
quádruplo da base.
12- Na figura, o triângulo ABC é
congruente ao triângulo DCE.
Determine o valor de
a
efi .
E
A'"""jf-;;-t--;-hL--I-....::J.i~D
B
13- Na figura ao lado, o triângulo ABC
é congruente ao triângulo CBD. Calcule
x e y e os lados do triângulo ACD.
o
~
A "x B .ov C
14- Na figura, o triângulo CBA é
congruente ao triângulo CDE. Calcule x
e y e a razão entre os perímetros desses
triângulos.
B E
A D
PARALELISMO
1-'Retas paralelas - definição - Duas
retas são paralelas ( símbolo: Ii ) se, e
somente se, são coincidentes ( iguais )
ou' são coplanares e não têm nenhum
ponto em comum.
aca,bca,anb={}
b a
2- Reta transversal - sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma
reta concorrentes com a e b:
a) t é uma transversal de a e b: b a 4 3 a 5 6 b t 1 2 8 7 5 6 8 7
b) Com mais detalhes podemos ter:
- Alternos internos: 3 e 5,4 e 6 - Alternos externos: 1 e 7 , 2 e 8 - Colaterais internos: 3 e 6,4 e 5 - Colaterais externos: 1 e 8 ,2 e 7 c) Ângulos congruentes: (1=3=5=7) (2 = 4 = 6 = 8) ÂNGULOS
1- Ângulo externo - Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma
dos dois ângulos internos não
adjacentes a ele. A
G
8 C
2- Soma dos ângulos internos de um triângulo
A
I
Â+ B
+
ê
= 1800Exercícios
1- Sendo a reta a paralela a reta b, determine x nos casos:
a) b)
b
~ ~~\_w_·_ ~a ~~ _
b
2) Se as retas r e s são paralelas, determine x nos casos:
a) b)
3- Se as retas r e s são paralelas, determine x e y.
a) b)
s 2x
4- Na figura, sendo a // b, calcule
a+P-r·
a
b
5- Sendo a paralela a b, calcule x.
a
b
6- Sendo a paralela a b, calcule x.
a
c
b
7- Na figura abaixo, sendo r
Ii
s,calcu1e x e y.
t
s
8- Sendo as retas r e s paralelas, determine x, y e z nos casos:
.a) b) s
9- Determine y nos casos:
a) b)
10- Determine x nos casos:
a) b) 11- Determine x e y: a) 100· 130· fi
12- Determine os ângulos do triângulo nos casos:
c
a) x + 20· B<--.J. ~:::::.. A b) BU'---'--""A13- Calcule o valor de x, sendo r/I s.
40" r
s
14- Calcule o valor de x e y, sendo r I I s..
r 5 15- Se r Ii s, calcule
a.
16- Se r Ii s, calculea.
A B 5c
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS Definição: Os quadriláteros notáveis são
os trapézios, os paralelogramos, os
retângulos, os losangos e os quadrados
que possuem duas diagonais e a soma
dos ângulos internos igual a 3600•
1- Trapézio: Um quadrilátero plano
convexo é um trapézio, se somente se, possuem dois lados paralelos.
ABCDé trapézio
<=>
(AB Ii CD)a) Trapézio isósceles, se os lados não
paralelos são iguais.
AB e CD são bases dotrapézío isósceles == (ê== f>e Â==fi
A B
Q
D C
b) Trapézio escaleno, se os lados não
paralelos são diferentes.
Trapézio retângulo (oubi-retângulo) éumtrapézio quetemdois iin@;
losretos.
OLJDD
A BA B A B A a
trapézlc eescees trepéztõ escaleno trapézlo escaleno trapézloretâng
2- Paralelogramo- Possui lados
ângulos opostos iguais dois a dois.
D C
L
---
/
---
::
!
.
/
A B ABCD é paralelogramo<=>
ABII CD --e coADII BC 1'\ A '" 1\ A==C e B==D e 3- Retângulo ângulos iguais dois. Possui os quatrose lodos iguais dois a
D C
D
A B
ABCD é retângulo <=> Â
=
Ê ==ê
==f
>
- As diagonais são iguais e se cortam ao meio.
4- Losango - Possui quatro lados iguais e paralelos dois a dois e com isso os ângulos opostos também são iguais.
D c A B ABCD é losango <=> AB == BC
=
CD == DA 1\ 1\ 1\ 1\ A==C e B==D5- Quadrado - Possui quatro lados e
quatro ângulos iguais
- As diagonais são iguais e se cortam ao meIO.
D
~c D . l-A B ABCDéquadrado <=> (Â==B
==ê
== DeAB ==BC == CD == DA) Exercíciosb)
2) Determine os ângulos do quadrilátero ABCD nos casos:
aJ o
B••••.•
---
.-w
b) B
3) Determine O'valor de x nos casos:
a) PA = PB c D B b) AB = AD e CB = CD A B
4L Se
AP
eBP
são bissetrizes, determine x nos casos:a) ',.---" B D o
,-
-
,
--
-
...
,
.--,.
A--
-
_
=::
:
::~
fi5) Se O' trapézio ABCD é isósceles de
A bases AB e CB determine A. A B 2x - 15° D~L-----------L~C 6) Se ABCD é um paralelogramo e A A A A
=
2x e C=
x+
70° , determine B .7) Calcule os lados de um retângulo
cujo perímetro mede 40 em, sabendo
SEMELHANÇA DE TRIANGULOS
I-Definição: dois triângulos são
semelhantes se, somente se, possuem
três ângulos ordenadamente
congruentes e os lados homólogos
proporcionais. A
CA
b
c>
.
B C A'6
B' a' (Ã=Ã' ) AABC - AA'B'Ç'-
=
Bestl' e ~ =~ = ~ ê"" t' a' b' c' Exercícios:l-Os triângulos ABC e A'B'C' das
.figuras são semelhantes. Se a razão de
3
semelhança do 10para ao 2o e
-2 determine:
a) a,b eC
b)a razão entre os seus perímetros:
c A a C A'
Ü
B' 14 C' 2- Os triângulos ABC e PQR semelhantes. Determine x e y. Q'
~'~
B 20 C são 3-0s triângulos KLM e FGH são semelhantes. Determine x. K M FG
G x 424-0s três lados de um triangulo ABC
medem 8 em, 18 em e 16 cm.
Determine os lados de um Triangulo
A' B' C' semelhante a ABC, sabendo
que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é 3.
5-Se DE//Be, determine x nos casos: a) A f---~E c b) x = AD E 6- O perímetro de um triângulo é 60 m e
um dos lados tem 25 m. Qual o
perímetro do triangulo semelhante cujo o lado homólogo ao lado dado mede 15 em?
7- Os lados de um triângulo medem 8,4
em, 15,6cm e 18 em. Esse triângulo é
semelhante a um triângulo cujo
perímetro mede 35cm. Calcule o maior lado do segundo triângulo.
8-0s lados de um triângulo ABC
medem 4 em, Sem e 6 em. Calcule os
lados de um triângulo semelhante a
ABC , cujo perímetro mede 20em.
9-Se os ângulos com marcas iguais são
congruentes, determine as incógnitas
nos casos: a) b) 9~X
2:1-~ y 610-Se
a
=p,
determine x e y noscasos: a)
b)
2 y
ll-Detennine x eynos casos:
a)
b)
~
A~~---~~
x
12-Sendo r e s retas paralelas, determine x.
a)
13- Nas figuras, determine x.
~
17
RELACÓESMÊTIDCASNO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Sendo o triângulo ABC, retângulo em
A, com altura AD.
A ~/ b --_---"'...a.. C J A A ! ! c jh
L
I L_R B n D6
DExplorando a semelhança de triângulos,
temos que:
a
c
2 MBC ~ I1DBA=> -
= -=>
c =a.n; c n a b 2 MBC ~ I1DAC=
> -
= -=>
b =a.m ; b mh
n 2I1DBA ~ I1DAC
=> -
= -
=>
c=
a.n .m h
Essas são as principais relações do
triângulo retângulo, mas outras relações são importantes, como:
- a.h
=
b.c - e o teorema de Pitágoras a2 =b2+
c2 Exercícios: 1- Determine o valor de x:a)
5x
b) 32- Determine o valor de x nos casos:
a) 5 x b) x+2 6 x
3-Num triângulo retângulo, os catetos
são de 3 em e 4cm. Determine a
hipotenusa, as projeções dos catetos
sobre a hipotenusa e a altura relativa
à
hipotenusa.
4-A altura relativa à hipotenusa de um
triangulo retângulo mede 4,8 e a
hipotenusa mede 10cm. Calcule a
medidas dos catetos.
5)Calcule x, y, z e t no triangulo
retângulo abaixo.
,
,~x
15
6-Num triangulo retângulo a altura
determina na hipotenusa dois segmentos
de medidas 9 em e 16cm. Calcule a
7- Determine o valor de x: a) b) x ~(5 6 . . . 3 4
8- Determine o valor de x e m cada
caso: a)
b)
9- Determine o valor de x nos casos :
a) retângulo 5 12 b) quadrado 6 10 - Operímetro de um retângulo é de 30 cm e a diagonal
5./5
m. Determineos lados desse retângulo.
11- Determine o valor de x e m cada
caso: a) 4~
x
b} ~ 10 c) Ac
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
* Retângulo
*Quadrado: Dada um quadrado de lado a.
a
a
Ao = a .a => , Ao::;: a2
I
*Parale1ogramo: Equivale a área do retângulo. r----
-1
,DJ
, , , hI
I- b__ o-j f---b_ *Triângulo: --------7 I r ,-
'---:::.,' --b----I A-
-
º
--
:
...
1L
T -2Obs: Área do triangulo eqüilátero de lado a. um triângulo eqüilátero de lado
a
-
J3
a tem altura h=-- e sua área é então:
2
s
~
+
a
af
=
l_s
_=:
a_
2_f3
=-
3
_
*Trapézio: b2I
A ~ (b, + b,)· h Tra 2*
Losango:* hexágono: Temos em um hexágono
exatamente seis triângulos eqüiláteros.
Ahexásono
=
6 . S*
Área do círculo A 3lj 2 hexágono= ~
*
Área da coroa circular EXERCÍCIOS1)Detennine a área das figuras abaixo,
sendo o metro a unidades das medidas
r
--
-
---
----
---
-
-~
indicadas.
ã)\quadrado ~~ retângulo
ou Ar
=
'ir(
T
D
)
~
=
-1-4-rDzObs: O comprimento da circunferência
édado pela seguinte fórmula C
=
2w
*
Área do setor*
Área do segmento circularR Asegm =(f-h)- 2 6 8 c) paralelogramo -;» 6
d) losango e) quadrado g) trapézio h) paralelogramo
D
/~ 2 ,/ " ~*t" j)2) A área do polígono é dada entre
parênteses, em cada caso. Determine x.
a) quadrado (36m') b) quadrado (50 mZ)
<>
d) trapézio (10mZ) e) trapézio (18m2)
x + 2 x + 2
3)Na figura temos um quadrado ABCD
inscrito no triângulo PQR. Se QC é
igual ao lado do quadrado, RD= 3cm, a
altura, relativa a AB, do triângulo PAB
é igual a 4cm e a área do triângulo PQR
é de 75cm. Determine o lado do
quadrado.
p
R'---:!:-__ .,!:-__ ~ Q
4) Determine a área do retângulo nos
casos a seguir, sendo o metro a unidade
8 de medida.
a) b)
o
15C5J
12c)
5) Determine a área dos paralelogramos
nos casos a seguir, sendo o metro a
unidade de medida.
a) b)
1
36
4-f
c)
6) Determine a área dos triângulos nos
casos a seguir, sendo o metro a unidade
de medida.
a) b)
17 12
7)' Determine a área do triângulos nos casos a seguir, sendo o metro a unidade de medida. a) b) d) e) 6 ~ 10
8) A área de um retângulo mede 40cm2
e sua base excede em 6 em a sua altura.
Determine a altura do retângulo.
9) Um retângulo tem 24cm2 de área e
20 em de perímetro. Determine suas
dimensões.
lO)Uma das bases de um trapézio
excede a outra em 4cm. Determine as
medidas dessas bases, sendo 40cm2 a
área do trapézio e Scm sua altura.
11)Determine a área de um losango,
sendo 120cm o seu perímetro e 36cm a medida do diagonal menor.
12) Determina o lado de um quadrado,
sabendo-se que, se aumentarmos seu
lado em 2cm, sua área aumenta em
36cm2•
13) Determine a área do círculo e o
comprimento da circunferência nos
casos:
a) b)
e)
Q
.
:
~'\~/12m
14)
Determine a área da coroa circularnos casos:
b) a)
IS)Determine a área do setor circular
sombreado nos casos abaixo:
~ W
d}
6m
c)
16) Determine a área da região
sombreada nos casos:
a) quadrado de lado 8m
b) hexágono regular de lado 6m
o
c) triângulo equilátero de lado
12 m
d) quadrado de lado 8m
o
e) hexágono regular de lado 12m
f) triângulo equilátero de 6m de lado
17) Calcule a área da superficie
sombreada, sabendo-se que O
quadrilátero dado é um quadrado.
a) b)
18) Calcule a área da superficie
sombreada.
a) quadrado ' b) retângulo
c
19) Determine a área sombreada, nas
figuras abaixo, sendo AC o triplo de CB e AB igual a 32 cm.
a)
B
b)
AI---'*---+=:...--fB
20) Calcule a área da superficie