Texto

(1)

GRUPO FISS BANCO DE DADOS

APOSTILA DE

MATEMÁTICA

REVISÃO

(2)

"

-GEOMETRIA Prof.: Alexandre Coutinho

1- Noções primitivas

l-As noções geométricas são

estabelecidas por meio de definições ..

Adotaremos sem definir as noções

de:

PONTO, RETA E PLANO

2- Notação de ponto reta e plano a) Com letras

Ponto -letras maiúsculas latinas: A, B,.. Reta -letras minúsculas latinas: a, b,...

Plano - Letras gregas minúsculas:

a,p

,

y

.

...

b) Notações gráficas

p

o

pontoP. Areta r.

o

planoa.

Obs: As proposiçoes geométricas são

aceitas mediante demonstrações 3- Postulados da existência.

a) Numa reta, bem com fora dela, há infinitos pontos.

b) Num plano há infinitos planos.

4- posições de dois pontos e de

ponto e reta

a) A e B coincidentes - é o

mesmo ponto, um só ponto,

com dois nomes: A e B

A'B (A=B)

b) Pontos distinto:

• A • B (Ai B)

c)Ponto pertence a reta:

r

A

(A E r)

d)Pontos colineares são pontos que

pertencem a uma mesma reta

A~

-

'

Ospontos A eBdistintos deter

-minam a reta que indicamos por AB.

-

-(A ;é B,AE r, B E r) =* r = AB

Aexpressão duas retas

colnciden-tes é equivalente a uma única reta. r=Ã8

5- Postulados da determinação

a) Da reta: Dois pontos distintos

determinam uma única que passa por

eles.

A

b)Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano.

(A ;é- B, r =

ÃB

,

A E a, B E a)

=-

r C a

c) Três pontos não colineares

determinam um único plano que passa por eles

Os pontos A, Be C não colinea-res determinam um plano aque indica-mos por (A, B, C).

O planoaéOúnico plano que

pas-sa por A. Be C.

(3)

d) Pontos coplanares são todos os

pontos que pertencem a um mesmo

plano.

e)Retas concorrentes

a)Definição

DuasretassãoCfJncorrentesse,e somente se,elas têmumúnico ponto

comum.

r

n

s

=

IP]

6-

Segmento de reta - Definição

Dadosdois pontos distintos, a reuniãodo conjuntodessesdois pon -toscom o conjunto dos pontosqueestào entre eleséumsegmento dema.

'Assim, dadosAeB, A tB,osegmento de retaAB(indicadopor

.

4B

)

éo

quesegue: x

.

,

B A A B AR=IA,B1UIXIXestáemnA eBl ÂNGULOS I-Definição

29.

Chama-se ângulo à reunião de duassemi-retas de mesma or

i-gem, não contidas numa mesma

reta (não colineares).

3-.Ângulos adjacentes:

Dois ângulos consecutivos são ad -jacentes se, e somente se, não têm pon -tos internos comuns.

AÔB e BÔC são ângulos adja-centes.

4-Ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulossão opostos pelovér

-tice se,esomente se, osladosde um

de-les são asrespectivas semi-retas opostas

aoslados do outro.

õÃ

e

õê

opostas

1

- - => OBe OD opostas O~~---~ --D A

AÔB eCÔD são opostos pelo vértice. Notemos que duas retasconcorrentes determinam dois paresdeângn opostos pelovértice.

5- Ângulo suplementar adjacentes: a

soma é igual a 1800•

a c o A

6- ângulos: b

AÔB

=

aÔb

=

~h a)reto

.

~ •...•..

AOB = OA U OB

Oponto O éovértice do ângulo.

~ 4.

As semí-retas OA e OB são os

lados do ângulo.

2- Ângulos consecutivos:

Doisângulos são consecutivos se,esomente se,umlado deum delesé zmbém lado do outro(um lado de um delescoincide com um lado dooutro).

,

<o

A

~

'k

A

AÔBe AÔC são AÔC e BÔC são AÔB e BÔC são

consecutivos consecutivos consecutivos

õÃ.é oladocomum). (OCé o ladocomum). (00 é o ladocomum).

b

"

_______ L·..J...:..L-....__ •••. a

ab

éreto O ângulo é igual a 90°

(4)

b)agudo c

cd

é agudo O ângulo é menor de 900 c) obtuso e

êré

obtuso O ângulo é maior de 90° d) Ângulo raso: O ângulo é igual a 1800

e) Ângulos complementares: São os

ângulos cuja soma é igual a 900 •

a+

fJ =900

f) Ângulos suplementares: São os

ângulos cuja soma é igual a 1800 •

a

+

fJ

=

1800

g) Ângulos replementares: São os

ângulos cuja soma é igual a 3600 •

a +

fJ

=

3600

7- Unidade de medida de ângulos 10Grau

=

60' min

l'min =60" segundos

Grau minuto segundo

EXERCíCIOS

1) Simplifique as seguintes medidas:

a) 30°70' d) 110°58'300" b) 45°150' e) 30°56'240" c) 65°39'123" 2) Determine a soma: a) 30°40' + 15°35' b) 10°30'45" + 15°29'20" 3) Determine as diferenças: a) 20°50'45" - 5°45'30" b) 31°40' - 20"45' c) 90°15'20" - 45°30'50" d) 90° - 50°30'45" 4) Determine os produtos: a) 2 x (10°35'45") b) 5 x (6°15'30")

5) Determine o valor de x nos casos:

~ ~ ~

Á

30· o. •• x x . b) d)

-

/

1"_"0

/'

~ ~

Obs: Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são iguais.

6) Determine o valor de x nos casos:

(5)

7) Determine o valor de anos casos:

a) b)

2x - 10·

I

\

a

= x + 40°

8)Calcule O complemento dos seguintes

ângulos:

a) 47° b) 25° c) 3r25'

9)Calcule o complemento dos seguintes ângulos:

a) 72° b) 141° c) 93°15'

10)Dado um ângulo de medida x,

indique:

a) seu complemento; b) seu suplemento;

c) o dobro do seu complemento; d) o triplo do seu suplemento; e) a sétima parte do complemento; f) a quinta parte do suplemento;

11) Dê a medida do ângulo que vale o

dobro do seu complemento.

12) Determine a medida do ângulo igual

ao triplo do seu complemento;

13) Calcule um ângulo, sabendo que um

quarto do seu suplemento vale 36°.

14) Qual é o ângulo que .excede o seu

suplemento em 66° .

15) Na figura, o ângulo x mede a sexta

parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule o ângulo y.

TRIÂNGULOS

1- Definição : Dados três pontos A,

B,

e

C não colineares, à reunião dos,

- -seguimentos

AB

,

BC

e

A

C chama-se triangulo ABC. Indicação: Triangulo

ABC

=

MBC

c B~L---a---~~ 2- Classificação:

a) Quanto aos lados, os triângulos

podem se classificar em:

- eqüiláteros se, e somente se, tem os

três lados congruentes;

- isósceles se, e somente se, dois os três lados congruentes;

- escalenos se, e somente se, dois os três lados congruentes;

MBC equílátero 6RST isósceles 6MNP escaleno

A R N

p

b) Quanto aos ângulos, os triângulos

podem se classificar em:

- retângulo se, e somente se, têm um

ângulo reto;

- acutângulo se, e somente se, têm os

três ângulos agudos;

- obtusângulo se, e somente se, têm os

um ângulo obtuso.

c o R

B F T

(6)

3- Congruência de triângulos

a) Definição: Um triângulo é

congruente (congruente

==)

a outro se,

somente se, é possível estabelecer uma

correspondência entre seus vértices de

modo que:

seus lados são ordenadamente

congruentes aos lados do outro e

seus ângulos são ordenadamente

congruentes aos ângulos do outro.

A A'

(AB ==A'B' ~ ==~')

A ABC=- 1\ "B'C' AC A'C -

-LVl ,_>ft Ç=> _ == _' e B== B'

BC== B'C ê==

t:

Acongruência entre triângulos é reflexiva,simétricaetransitiva.

b) Casos de congruência: 1°caso - LAL - postulado:

• Sedoistriân~ulostêm ordenadamente congruentesdois lados e o

angulo compreendIdo,então elessão congruentes.

2°caso-ALA

"Se doistriângulos têm ordenadament~.congrue~tes um lado e ~~ dois ângulosa ele adjacentes, então essestnangulos sao congruentes.

A

t

;

~~

A' A'= X

B' C' B' C'

3°caso-LLL

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados.er.

-tão esses triângulos são congruentes.

4°caso - LAAo

Se doistriângulos têm ordenadamente congruentes umlado, um ân

-gulo adjacente e o ân-gulo oposto a esse lado, então essestriângulos são congruentes. C' o 1\ /~ / \ A / \ ~ Hipótese BC ==B'C (I), fi ==fi'(2), == Ã' (3) Tese ===> .6ABC ==,t\,A'B'C

4- Mediana de um triângulo - definição

Mediana de um triângulo é um

segmento com extremidades numvérti- A ce e no ponto médio do lado oposto.

M( é o ponto médio do ladoBC.

AM( éa medianarelativa ao lado BC.

AMJ éa mediana relativa ao

vértice A, B M,

5- Bissetriz interna de um triângulo definição

Bíssetrizinterna de um triângulo é o segmento,com extremidades num vérticee no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos

congruentes.

S( E BC, SjÂB == S(ÂC

_ AS( é a bissetriz relativa ao lado BC.

AS( é a bissetriz relativa ao vér-ticeA.

(7)

6- Teorema do ângulo externo Dado um/',ABe e sendo

a

a =Heta opostaàsemi-retaéB,o ân -.g;;jo A ê =ACX

=

t:bgulo externo do/',ABeadjacente

-

t

e nãoadjacente aos ângulosÂeli. e~ ---..:...\ ....•... O ângulo êé o suplementar adjacente deê.,

Exercícios 1- Se o MBC é isósceles de base BC, determine x. A 2- o MBC é eqüilátero. Determine x e y. A 3- Se o MBC é isósceles de base BC, determine BC . A

:;A

s

B 2x + 4 C 4- Se o MBC é isóscelesde base BC, determine x. A ~ B C 5- Se o MBC é isósceles de base AC , determine x. A B c 6- Se o MBC é isósceles de base AC, determine x e y. A 2x - 40° B

7- Determine o valor de x e y, sabendo

que o MBC é eqüilátero. a) b) A A B y+4 c 8 y 8- Se o perímetro de um triângulo

equilátero é de 75 em, quanto mede

cada lado?

9- Se o perímetro de um triângulo

isósceles é de 100cm e a base mede 40

em, quanto mede cada um dos outros

lados? 10- Determine o perímetro do MBC nos casos: a) Triângulo AB

=

x+2y, BC=x+y+3 eqüilátero com AC=2x- y e

(8)

b)Triângulo isósceles de bas~ BC com AR

=

2x

+

3, A C

=

3x- 3 e ;0

=

x

+

3

11- Num triângulo isósceles, o

semiperímetro vale''7,5 cm. Calcule os

lados desse triângulo, sabendo que a

soma dos lados congruentes é o

quádruplo da base.

12- Na figura, o triângulo ABC é

congruente ao triângulo DCE.

Determine o valor de

a

e

fi .

E

A'"""jf-;;-t--;-hL--I-....::J.i~D

B

13- Na figura ao lado, o triângulo ABC

é congruente ao triângulo CBD. Calcule

x e y e os lados do triângulo ACD.

o

~

A "x B .ov C

14- Na figura, o triângulo CBA é

congruente ao triângulo CDE. Calcule x

e y e a razão entre os perímetros desses

triângulos.

B E

A D

PARALELISMO

1-'Retas paralelas - definição - Duas

retas são paralelas ( símbolo: Ii ) se, e

somente se, são coincidentes ( iguais )

ou' são coplanares e não têm nenhum

ponto em comum.

aca,bca,anb={}

b a

2- Reta transversal - sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma

reta concorrentes com a e b:

a) t é uma transversal de a e b: b a 4 3 a 5 6 b t 1 2 8 7 5 6 8 7

b) Com mais detalhes podemos ter:

- Alternos internos: 3 e 5,4 e 6 - Alternos externos: 1 e 7 , 2 e 8 - Colaterais internos: 3 e 6,4 e 5 - Colaterais externos: 1 e 8 ,2 e 7 c) Ângulos congruentes: (1=3=5=7) (2 = 4 = 6 = 8) ÂNGULOS

1- Ângulo externo - Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma

dos dois ângulos internos não

adjacentes a ele. A

G

8 C

(9)

2- Soma dos ângulos internos de um triângulo

A

I

Â

+ B

+

ê

= 1800

Exercícios

1- Sendo a reta a paralela a reta b, determine x nos casos:

a) b)

b

~ ~~\_w_·_ ~a ~~ _

b

2) Se as retas r e s são paralelas, determine x nos casos:

a) b)

3- Se as retas r e s são paralelas, determine x e y.

a) b)

s 2x

4- Na figura, sendo a // b, calcule

a+P-r·

a

b

5- Sendo a paralela a b, calcule x.

a

b

6- Sendo a paralela a b, calcule x.

a

c

b

7- Na figura abaixo, sendo r

Ii

s,

calcu1e x e y.

t

s

8- Sendo as retas r e s paralelas, determine x, y e z nos casos:

.a) b) s

(10)

9- Determine y nos casos:

a) b)

10- Determine x nos casos:

a) b) 11- Determine x e y: a) 100· 130· fi

12- Determine os ângulos do triângulo nos casos:

c

a) x + 20· B<--.J. ~:::::.. A b) BU'---'--""A

13- Calcule o valor de x, sendo r/I s.

40" r

s

14- Calcule o valor de x e y, sendo r I I s..

r 5 15- Se r Ii s, calcule

a.

16- Se r Ii s, calcule

a.

A B 5

c

(11)

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS Definição: Os quadriláteros notáveis são

os trapézios, os paralelogramos, os

retângulos, os losangos e os quadrados

que possuem duas diagonais e a soma

dos ângulos internos igual a 3600•

1- Trapézio: Um quadrilátero plano

convexo é um trapézio, se somente se, possuem dois lados paralelos.

ABCDé trapézio

<=>

(AB Ii CD)

a) Trapézio isósceles, se os lados não

paralelos são iguais.

AB e CD são bases dotrapézío isósceles == (ê== f>e Â==fi

A B

Q

D C

b) Trapézio escaleno, se os lados não

paralelos são diferentes.

Trapézio retângulo (oubi-retângulo) éumtrapézio quetemdois iin@;

losretos.

OLJDD

A BA B A B A a

trapézlc eescees trepéztõ escaleno trapézlo escaleno trapézloretâng

2- Paralelogramo- Possui lados

ângulos opostos iguais dois a dois.

D C

L

---

/

---

::

!

.

/

A B ABCD é paralelogramo

<=>

ABII CD --e coADII BC 1'\ A '" 1\ A==C e B==D e 3- Retângulo ângulos iguais dois. Possui os quatros

e lodos iguais dois a

D C

D

A B

ABCD é retângulo <=> Â

=

Ê ==

ê

==

f

>

- As diagonais são iguais e se cortam ao meio.

4- Losango - Possui quatro lados iguais e paralelos dois a dois e com isso os ângulos opostos também são iguais.

D c A B ABCD é losango <=> AB == BC

=

CD == DA 1\ 1\ 1\ 1\ A==C e B==D

5- Quadrado - Possui quatro lados e

quatro ângulos iguais

- As diagonais são iguais e se cortam ao meIO.

D

~c D . l-A B ABCDéquadrado <=> (Â==

B

==

ê

== DeAB ==BC == CD == DA) Exercícios

(12)

b)

2) Determine os ângulos do quadrilátero ABCD nos casos:

aJ o

B••••.•

---

.

-w

b) B

3) Determine O'valor de x nos casos:

a) PA = PB c D B b) AB = AD e CB = CD A B

4L Se

AP

e

BP

são bissetrizes, determine x nos casos:

a) ',.---" B D o

,-

-

,

--

-

...

,

.--,.

A--

-

_

=::

:

::~

fi

5) Se O' trapézio ABCD é isósceles de

A bases AB e CB determine A. A B 2x - 15° D~L-----------L~C 6) Se ABCD é um paralelogramo e A A A A

=

2x e C

=

x

+

70° , determine B .

7) Calcule os lados de um retângulo

cujo perímetro mede 40 em, sabendo

(13)

SEMELHANÇA DE TRIANGULOS

I-Definição: dois triângulos são

semelhantes se, somente se, possuem

três ângulos ordenadamente

congruentes e os lados homólogos

proporcionais. A

CA

b

c>

.

B C A'

6

B' a' (Ã=Ã' ) AABC - AA'B'Ç'

-

=

Bestl' e ~ =~ = ~ ê"" t' a' b' c' Exercícios:

l-Os triângulos ABC e A'B'C' das

.figuras são semelhantes. Se a razão de

3

semelhança do 10para ao 2o e

-2 determine:

a) a,b eC

b)a razão entre os seus perímetros:

c A a C A'

Ü

B' 14 C' 2- Os triângulos ABC e PQR semelhantes. Determine x e y. Q

'

~'~

B 20 C são 3-0s triângulos KLM e FGH são semelhantes. Determine x. K M F

G

G x 42

4-0s três lados de um triangulo ABC

medem 8 em, 18 em e 16 cm.

Determine os lados de um Triangulo

A' B' C' semelhante a ABC, sabendo

que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é 3.

5-Se DE//Be, determine x nos casos: a) A f---~E c b) x = AD E 6- O perímetro de um triângulo é 60 m e

um dos lados tem 25 m. Qual o

perímetro do triangulo semelhante cujo o lado homólogo ao lado dado mede 15 em?

7- Os lados de um triângulo medem 8,4

em, 15,6cm e 18 em. Esse triângulo é

semelhante a um triângulo cujo

perímetro mede 35cm. Calcule o maior lado do segundo triângulo.

(14)

8-0s lados de um triângulo ABC

medem 4 em, Sem e 6 em. Calcule os

lados de um triângulo semelhante a

ABC , cujo perímetro mede 20em.

9-Se os ângulos com marcas iguais são

congruentes, determine as incógnitas

nos casos: a) b) 9~X

2:1-~ y 6

10-Se

a

=

p,

determine x e y nos

casos: a)

b)

2 y

ll-Detennine x eynos casos:

a)

b)

~

A~~---~~

x

12-Sendo r e s retas paralelas, determine x.

a)

13- Nas figuras, determine x.

~

17

(15)

RELACÓESMÊTIDCASNO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Sendo o triângulo ABC, retângulo em

A, com altura AD.

A ~/ b --_---"'...a.. C J A A ! ! c jh

L

I L_R B n D

6

D

Explorando a semelhança de triângulos,

temos que:

a

c

2 MBC ~ I1DBA

=> -

= -

=>

c =a.n; c n a b 2 MBC ~ I1DAC

=

> -

= -

=>

b =a.m ; b m

h

n 2

I1DBA ~ I1DAC

=> -

= -

=>

c

=

a.n .

m h

Essas são as principais relações do

triângulo retângulo, mas outras relações são importantes, como:

- a.h

=

b.c - e o teorema de Pitágoras a2 =b2

+

c2 Exercícios: 1- Determine o valor de x:

a)

5

x

b) 3

2- Determine o valor de x nos casos:

a) 5 x b) x+2 6 x

3-Num triângulo retângulo, os catetos

são de 3 em e 4cm. Determine a

hipotenusa, as projeções dos catetos

sobre a hipotenusa e a altura relativa

à

hipotenusa.

4-A altura relativa à hipotenusa de um

triangulo retângulo mede 4,8 e a

hipotenusa mede 10cm. Calcule a

medidas dos catetos.

5)Calcule x, y, z e t no triangulo

retângulo abaixo.

,

,~x

15

6-Num triangulo retângulo a altura

determina na hipotenusa dois segmentos

de medidas 9 em e 16cm. Calcule a

(16)

7- Determine o valor de x: a) b) x ~(5 6 . . . 3 4

8- Determine o valor de x e m cada

caso: a)

b)

9- Determine o valor de x nos casos :

a) retângulo 5 12 b) quadrado 6 10 - Operímetro de um retângulo é de 30 cm e a diagonal

5./5

m. Determine

os lados desse retângulo.

11- Determine o valor de x e m cada

caso: a) 4~

x

b} ~ 10 c) A

c

(17)

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

* Retângulo

*Quadrado: Dada um quadrado de lado a.

a

a

Ao = a .a => , Ao::;: a2

I

*Parale1ogramo: Equivale a área do retângulo. r----

-1

,

DJ

, , , h

I

I- b__ o-j f---b_ *Triângulo: --------7 I r ,

-

'---:::.,' --b----I A

-

-

º

--

:

...

1L

T -2

Obs: Área do triangulo eqüilátero de lado a. um triângulo eqüilátero de lado

a

-

J3

a tem altura h=-- e sua área é então:

2

s

~

+

a

af

=

l_s

_=:

a_

2

_f3

=-

3

_

*Trapézio: b2

I

A ~ (b, + b,)· h Tra 2

*

Losango:

* hexágono: Temos em um hexágono

exatamente seis triângulos eqüiláteros.

(18)

Ahexásono

=

6 . S

*

Área do círculo A 3lj 2 hexágono

= ~

*

Área da coroa circular EXERCÍCIOS

1)Detennine a área das figuras abaixo,

sendo o metro a unidades das medidas

r

--

-

---

----

---

-

-~

indicadas.

ã)\quadrado ~~ retângulo

ou Ar

=

'ir

(

T

D

)

~

=

-1-4-rDz

Obs: O comprimento da circunferência

édado pela seguinte fórmula C

=

2w

*

Área do setor

*

Área do segmento circular

R Asegm =(f-h)- 2 6 8 c) paralelogramo -;» 6

(19)

d) losango e) quadrado g) trapézio h) paralelogramo

D

/~ 2 ,/ " ~*t" j)

2) A área do polígono é dada entre

parênteses, em cada caso. Determine x.

a) quadrado (36m') b) quadrado (50 mZ)

<>

d) trapézio (10mZ) e) trapézio (18m2)

x + 2 x + 2

3)Na figura temos um quadrado ABCD

inscrito no triângulo PQR. Se QC é

igual ao lado do quadrado, RD= 3cm, a

altura, relativa a AB, do triângulo PAB

é igual a 4cm e a área do triângulo PQR

é de 75cm. Determine o lado do

quadrado.

p

R'---:!:-__ .,!:-__ ~ Q

4) Determine a área do retângulo nos

casos a seguir, sendo o metro a unidade

8 de medida.

a) b)

o

15

C5J

12

c)

5) Determine a área dos paralelogramos

nos casos a seguir, sendo o metro a

unidade de medida.

a) b)

1

3

6

4-

f

c)

6) Determine a área dos triângulos nos

casos a seguir, sendo o metro a unidade

de medida.

a) b)

17 12

(20)

7)' Determine a área do triângulos nos casos a seguir, sendo o metro a unidade de medida. a) b) d) e) 6 ~ 10

8) A área de um retângulo mede 40cm2

e sua base excede em 6 em a sua altura.

Determine a altura do retângulo.

9) Um retângulo tem 24cm2 de área e

20 em de perímetro. Determine suas

dimensões.

lO)Uma das bases de um trapézio

excede a outra em 4cm. Determine as

medidas dessas bases, sendo 40cm2 a

área do trapézio e Scm sua altura.

11)Determine a área de um losango,

sendo 120cm o seu perímetro e 36cm a medida do diagonal menor.

12) Determina o lado de um quadrado,

sabendo-se que, se aumentarmos seu

lado em 2cm, sua área aumenta em

36cm2•

13) Determine a área do círculo e o

comprimento da circunferência nos

casos:

a) b)

e)

Q

.

:

~'

\~/12m

14)

Determine a área da coroa circular

nos casos:

b) a)

IS)Determine a área do setor circular

sombreado nos casos abaixo:

~ W

d}

6m

c)

16) Determine a área da região

sombreada nos casos:

a) quadrado de lado 8m

(21)

b) hexágono regular de lado 6m

o

c) triângulo equilátero de lado

12 m

d) quadrado de lado 8m

o

e) hexágono regular de lado 12m

f) triângulo equilátero de 6m de lado

17) Calcule a área da superficie

sombreada, sabendo-se que O

quadrilátero dado é um quadrado.

a) b)

18) Calcule a área da superficie

sombreada.

a) quadrado ' b) retângulo

c

19) Determine a área sombreada, nas

figuras abaixo, sendo AC o triplo de CB e AB igual a 32 cm.

a)

B

b)

AI---'*---+=:...--fB

20) Calcule a área da superficie

Imagem

Referências

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