DIOGO LIRA CECÍLIO
Modelagem Elastoplástica Aplicada à
Simulação Numérica da Estabilidade de
Poços de Petróleo
CAMPINAS
2014
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Cecílio, Diogo Lira,
C324m CecModelagem elastoplástica aplicada à simulação numérica da estabilidade de poços de petróleo / Diogo Lira Cecílio. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.
CecOrientador: Philippe Remy Bernard Devloo.
CecTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências.
Cec1. Elastoplasticidade. 2. Métodos dos elementos finitos . 3. Poços de petroleo. 4. Plasticidade. I. Devloo, Philippe Remy Bernard,1958-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Elastoplastic modeling applied to the numerical simulation of wellbore
stability analysis
Palavras-chave em inglês:
Elastoplasticity
Finite element method Oil wells
Plasticity
Área de concentração: Explotação
Titulação: Doutor em Ciências e Engenharia de Petróleo Banca examinadora:
Philippe Remy Bernard Devloo [Orientador] Luiz Carlos Marcos Vieira Junior
Renato Pavanello
José Luis Drummond Alves
Sérgio Augusto Barreto da Fontoura
Data de defesa: 10-12-2014
Programa de Pós-Graduação: Ciências e Engenharia de Petróleo
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer todas as pessoas especiais que participaram desta etapa da minha vida. À minha esposa Débora por ter me apoiado, me dado força carinho e companheirismo nos momentos mais difíceis. Ao meu filho João Henrique por trazer muita alegria em minha vida. Aos meus pais Paulo e Ozanilda, por todo o amor e apoio nas horas mais difíceis. Aos meus irmãos Pablo e Nina, pela amizade, carinho e paciência. Aos meus primos Pedro, Paulo e Luiz pela amizade forte que já dura a tanto tempo. Ao meu orientador Philippe pela amizade, por todo o conhecimento que me transmitiu e os pelos obstáculos que me ajudou a transpor. Aos meus amigos do LabMeC pela nossa rica troca de conhecimento e pelos momentos que passamos juntos. Ao meu amigo Claudemir por ter me ajudado a enfrentar e entender as dificuldades.
"O homem vangloria-se de ter imitado o vôo das aves com uma complicação técnica que elas dispensam." (Carlos Drummond de An-drade)
RESUMO
No presente trabalho é construído um código eficiente para a simulação do comportamento mecânico de um poço de petróleo na fase de perfuração, com base na discretização de um modelo matemático geral para pequenas deformações elastoplásticas pelo método de Elemen-tos FiniElemen-tos. A metodologia de cálculo elastoplástico conhecida por projeção sobre o ponto mais próximo da superfície plástica é aplicada ao modelo de Sandler-DiMaggio, o que permite abordar o problema elastoplástico de modelos complexos de forma mais simples e eficiente. Os resultados da resposta material são comparados aos apresentados no artigo original sobre esse modelo. Uma análise de estabilidade de poço utilizando o método dos elementos finitos, juntamente com o modelo elastoplástico proposto, é realizada posteriormente. O comporta-mento plástico na região em torno do poço é obtido por uma transferência gradual do estado de tensão na parede do mesmo. Para aprimorar a precisão da simulação elastoplástica de Elementos Finitos, aplica-se refinamento h e aumento da ordem polinomial p aos elementos localizados na região de plastificação. Utiliza-se o segundo invariante do tensor de deformação plástico deviatórico como critério para indicar o colapso do material. Simulações adaptativas requerem a comunicação de informação de uma malha para outra. Sendo assim, um proce-dimento específico de transferência do histórico de deformação elastoplástica foi criado. A matriz tangente referente ao cálculo da variação da tensão em função da variação da deforma-ção é calculada consistentemente. O modelo numérico elastoplástico é implementado em um contexto de programação orientada a objetos. Ele é aplicado em uma configuração típica de um reservatório carbonático. Observa-se que a mudança de geometria do poço devido ao bre-akout gera um aumento na magnitude da defomação plástica em uma área progressivamente menor.
Palavras-chave: Elastoplasticidade, Elementos Finitos, Sandler-DiMaggio, Estabilidade de Poços.
ABSTRACT
In this work an e⇥cient code for the simulation of the mechanical behavior of an oil well during the drilling phase is constructed. It is based on the discretization of a general mathe-matical elastoplastic model for small deformations using the Finite Element method. The methodology of the elastoplastic calculation, known as the closest point projection, is ap-plied to the Sandler-DiMaggio modal, which enables addressing the elastoplastic problem of complex models more easily and e⇥ciently. The results of the response is compared to the material presented in the original article about this model. A stability analysis of a well using the Finite Element method with the proposed elastoplastic constitutive modal is then performed. The plastic behaviour in the area around the wellbore is obtained by a gradual transfer of stress state to it. To improve the accuracy of the elastoplastic Finite Element simulation, adaptive refinement and increasing the polynomial order are applied to elements located in the plastification area. The second invariant of the plastic deviatoric strain tensor is used as a damage criterion to indicate the failure of the material. Adaptive simulations require the comunication of information from a mesh to another one. Therefore, a specific transfer procedure for elastoplastic deformation history is created. The tangent matrix re-lated to the stress variation with respect to the strain variation is calcure-lated consistently. The elastoplastic numerical model is implemented in the context of object-oriented program-ming. It is applied to a typical configuration of a carbonate reservoir. It is observed that the change in geometry due to the well breakout generates an increase in the magnitude of plastic defomação in a progressively smaller area.
Conteúdo
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 Motivação . . . 1
1.2 Conceitos Gerais Sobre Cálculo Elastoplástico . . . 2
1.3 Objetivos . . . 3
1.4 Principais Contribuições da Tese . . . 4
1.5 Organização do Trabalho . . . 6
2 REVISÃO DA LITERATURA 9 2.1 Metodologias de Cálculo Elastoplástico . . . 9
2.2 Modelos Constitutivos Elastoplásticos Para Rochas de Reservatórios . . . 10
2.3 Cálculo Elastoplástico no Estudo de Estabilidade de Poços . . . 11
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 15 3.1 Formulação do Modelo Constitutivo Elastoplástico . . . 16
3.1.1 Exemplos . . . 21
3.2 Modelo Numérico do Problema de Valor Inicial Elastoplástico . . . 27
3.3 Equação de Equilíbrio Mecânico Para o Deslocamento . . . 29
3.4 Modelo Numérico Elastoplástico . . . 31
4 OTIMIZAÇÃO DO CORRETOR PLÁSTICO 33 4.1 Espaço de Haigh-Westergaard . . . 33
4.2 Espaço de Haigh-Westergard-Rotacionado . . . 36
4.3 Representação de Modelos Associativos no Espaço HWR . . . 37
4.4 Corretor Plástico no Espaço HWR . . . 38
5 CORRETOR PLÁSTICO NO MODELO SANDLER-DIMAGGIO 41 5.1 Modelo Sandler-DiMaggio no Espaço HWR . . . 41
5.2 Corretor Plástico . . . 43
5.4 Matriz Tangente . . . 49
5.5 Cálculo de ⌥ ⌥ trial para o modelo de Sandler-DiMaggio . . . 55
6 ESTUDO DE ESTABILIDADE DE POÇOS 57 6.1 Implementação do Código Elastoplástico . . . 60
6.2 Ferramentas Especiais de Elementos Finitos para a Equação de Equilíbrio . . 61
6.3 Simulador de Estabilidade de Poços . . . 69
7 RESULTADOS E DISCUSSÕES 75 7.1 Preliminares . . . 75
7.1.1 Geometria . . . 75
7.1.2 Configuração do Estado de Tensões In-Situ . . . 77
7.1.3 Parâmetros materiais e tensões in-situ . . . 79
7.1.4 Solução Analítica de Airy . . . 81
7.2 Simulação do Caso 1 . . . 82
7.2.1 Simulação do Caso 2 . . . 84
7.2.2 Simulação do Caso 3 . . . 87
7.2.3 Caso 3 com Ajuste Progressivo da Geometria . . . 89
8 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS 95 Bibliografia 96 A APÊNDICE 101 A.1 Direções principais . . . 101
A.2 Derivadas dos invariantes . . . 102
Lista de Figuras
1.1 Esquema matemático do problema elastoplástico em Elementos Finitos. . . . 3
3.1 Encruamento isotrópico (figura adaptada de Neto et al. [28]). . . 19
3.2 Encruamento cinemático (figura adaptada de Neto et al. [28]). . . 19
3.3 Perfeitamente plástico (figura adaptada de Neto et al. [28]). . . 20
3.4 Superfície de plastificação de Mohr-Coulomb. . . 21
3.5 Superfície de plastificação de Mohr-Coulomb. . . 22
3.6 Modelo clássico de Sandler-DiMaggio (I1, ⌦ J2). . . 24
3.7 Modelo elastoplástico de SandlerDiMaggio representado no espaço de Haigh-Westergaard com ⇣ = 7/9. . . 25
3.8 Visão do plano ⌦ para o modelo de Sandler-DiMaggio, para três valores dife-rentes de ⇣. . . 26
3.9 Visão esquemática do modelo preditor-corretor para um modelo com endure-cimento isotrópico. . . 28
3.10 Diagrama do esquema numérico elastoplástico . . . 32
4.1 Esquema ilustrativo do espaço HW. . . 35
5.1 Superfície de plastificação de Sandler-DiMaggio representada no espaço HWR. 42 5.2 Deformação uniaxial em compressão (A-B) , seguido por uma deformação axial na direção oposta (B-D). . . 46
5.3 Caminho A-B, o material perde volume devido ao fechamento de vazios e, en-tão, plastifica-se acionando a função F2. No caminho B-C, a resposta material é elástica. No caminho C-D plastifica acionando a função F1. . . 47
5.4 Taxa de convergência: ordem quadrática é observada em todos os passos de carregamento. . . 48
5.5 Teste de carregamento proporcional para o material McCormic Ranch Sand, cujos parâmetros estão ilustrados na Tabela 5.1. . . 49
6.1 Janela operacional: a) projeto de pré-perfuração, assumindo-se que a pressão de poros e o gradiente de fratura limitam o peso do fluido de perfuração; b) projeto de pré-perfuração, f assumindo-se que a pressão de colapso e o gradiente de fratura limitam o peso do fluido de perfuração. Figura adaptada
e retirada de Zoback [37]. . . 59
6.2 Esquema ilustrativo do breakout. Figura retirada de Zoback [37] . . . 60
6.3 Busca otimizada pelo elemento que contém um ponto dado . . . 63
6.4 Solução obtida utilizando um procedimento de remoção de elementos . . . . 64
6.5 Antes e depois da movimentação dos nós. . . 66
6.6 Após o deslocamento dos nós. . . 66
6.7 Imagens de breakout adaptadas do artigo Haimson and Lee [18]. Seções do poço simulado em laboratório da Tablerock sandstone, com tensão horizontal mínima e a tensão vertical s h = 15 M P a, v = 30 M P a, e tensão horizontal máxima (a) H = 50 M P a, (b) H = 60M P a e (c) H = 70M P a. . . 67
6.8 Refinamento h na zona plastificada . . . 68
6.9 Refinamento p na zona plastificada . . . 68
6.10 Sensibilidade com relação à precisão da modelagem geométrica . . . 69
6.11 Vista do software SEST2D. . . 71
6.12 Abas de configurações do programa SEST2D. . . 73
6.13 Ilustração das funcionalidades do SEST2D. . . 74
7.1 Esquema de geração da malha. . . 76
7.2 Condições de contorno. . . 77
7.3 Passos de carregamento aplicados. . . 79
7.4 Mapas de cores da simulação de Caso 1, considerando o modelo de Sandler-DiMaggio. . . 83
7.5 Mapas de cores da simulação de Caso 1, considerando o modelo de Mohr-Coulomb. . . 83
7.6 Caso 1: Valor comparativo entre a função de plastificação da solução numérica (pontos azuis) e da solução de Airy (curva vermelha tracejada), calculadas na parede do poço, em função do ângulo : modelo Sandler-DiMaggio (lado esquerdo) e Mohr-Coulomb (lado direito) . . . 84
7.7 Mapas de cores da simulação de Caso 2, considerando o modelo de Sandler-DiMaggio. . . 85
7.8 Mapas de cores da simulação de Caso 2, considerando o modelo de Mohr-Coulomb. . . 86
7.9 Caso 2: Valor comparativo entre a função de plastificação da solução numérica (pontos azuis) e da solução de Airy (curva vermelha tracejada), calculadas na parede do poço, em função do ângulo : modelo Sandler-DiMaggio (lado esquerdo) e Mohr-Coulomb (lado direito) . . . 86 7.10 Mapas de cores da simulação de Caso 3, considerando o modelo de
Sandler-DiMaggio. . . 87 7.11 Mapas de cores da simulação de Caso 3, considerando o modelo de
Mohr-Coulomb. . . 88 7.12 Caso 3: Valor comparativo entre a função de plastificação da solução numérica
(pontos azuis) e da solução de Airy (curva vermelha tracejada), calculadas na parede do poço, em função do ângulo : modelo Sandler-DiMaggio (lado esquerdo) e Mohr-Coulomb (lado direito). . . 88 7.13 Evolução progressiva do dano: caso RefHP = 1.e 7 e AdjBK = 0.0001. . 90 7.14 Ajuste progressivo da geometria: caso RefHP = 1.e 7 e AdjBK = 0.0005 . 93
Lista de Tabelas
3.1 Parâmetros empregaod no modelo de Mohr-Coulomb. . . 22
3.2 Parâmetros do modelo constitutivo de Sandler e DiMaggio. . . 24
5.1 Parâmetros para o material McCormic Ranch Sand [31]. . . 45
7.1 Parâmetros do modelo elastoplástico de Sandler-DiMaggio para o material simulado neste estudo . . . 80
7.2 Parâmetros do modelo elastoplástico de Mohr-Coulomb para o material simu-lado neste estudo. . . 80
7.3 Tensões efetivas de confinamento para os três casos simulados. . . 80
7.4 Evolução do dano. Áreas referentes a 1/4 de poço. . . 91
LISTA DE SÍMBOLOS
I1 - primeiro invariante do tensor de tensão
I2 - segundo invariante do tensor de tensão
I3 - terceiro invariante do tensor de tensão
J2 - segundo invariante do tensor de tensão deviatórico
J3 - segundo invariante do tensor de tensão deviatórico
N - lei de escoamento plástico H - módulo de endurecimento
PVI-EP - abreviação do problema de valor inicial elastoplástico EDO - abreviação de equação diferencial ordinária
HW - abreviação de Haigh-Westergaard
HWR - abreviação de Haigh-Westergaard-Rotacionado ✓v - deformação volumétrica
- porosidade da rocha '- potencial de energia livre
⇤ - multiplicador plástico infinitesimal ⇥⇤ - multiplicador plástico discreto E - módulo de elasticidade
- coeficiente de poisson
K - módulo de deformação volumétrica G- módulo de cisalhamento
C- tensor constitutivo elástico D - tensor constitutivo elastoplástico I - tensor identidade
⇤ - tensor de deformação
"- vetor composto pelas deformações principais ⇤e - parcela elástica do tensor de deformação
⇤p - parcela plástica do tensor de deformação
⇥⇧ - tensor de tensões efetivas
⇥trial - tensor de tensão elástica presumida em algoritmo preditor 1, 2, 3 - tensões principais
- vetor composto pelas tensões principais
trial - vetor de tensão composto pelos autovalores presumido proj - vetor de tensão composto pelos autovalores projetado
S⇧
h - menor componente horizontal do tensor de tensões principais efetivas
S⇧
H - maior componente horizontal do tensor de tensões principais efetivas
S⇧
v - componente vertical ou de sobrecarga do tensor de tensões principais efetivas
Sh - menor componente horizontal do tensor de tensões principais efetivas
SH - maior componente horizontal do tensor de tensões principais efetivas
Sv - componente vertical ou de sobrecarga do tensor de tensões totais
- Coordenada cilíndrica hidrostática de Haigth-Westeergard ↵- Coordenada cilíndrica cisalhante de Haigth-Westeergard ⇥ - Lode Angle
⌃ - ângulo da projeção sobre o cap
L- variável dissipativa interna referentes ao fenômeno de endurecimento ⇤- critério de plastificação
⌅- função potencial plástico ⇧- domínio no espaço euclidiano ◆⇧- fronteira do domínio ⇧ Ei - autoprojeções
R- Rotação que leva do espaço de HW para HWR R- Resíduo gerado pelo problema elastoplástico
r - resíduo da deformação plástica volumétrica no critério de Sandler-DiMaggio
CHW - Tensor constitutivo elástico que relaciona o vetor de tensões principais ao de
defor-mações principais no espaço HW
CHW R - Tensor constitutivo elástico que relaciona o vetor de tensões principais ao de
defor-mações principais no espaço HW R A- força termodinâmica de encruamento S - tensor deviatórico
c- coesão
- ângulo de atrito interno
⇣ - constante que modela seção da superfície de falha - função que modela seção da superfície de falha
v - vetor de funções teste u - vetor de deslocamentos
- Ângulo correspondente à posição na parede do poço ↵ - Massa específica na configuração de referência
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
1.1 Motivação
A técnica de perfuração de poços de petróleo tem se desenvolvido rapidamente com a neces-sidade, cada vez maior, de se extrair petróleo de regiões antes inacessíveis, principalmente a grandes lâminas de água. Neste contexto, o Brasil, através da Petrobras, desempenha papel de vanguarda, desenvolvendo tecnologia de ponta para abastecer o mercado interno. Com o aumento da perfuração de poços e da produção de óleo no pré-sal, vem crescendo a de-manda por estudos que indiquem melhor o comportamento mecânico de seus reservatórios, em grande parte, compostos por materiais carbonáticos localizados em grande profundidades. O estudo das tensões desenvolvidas pelos processos de perfuração e completação, bem como o fluxo de óleo pela formação, tem grande importância. Durante processo de perfuração do poço ocorre a retirada de material rochoso pela broca, e o mesmo é substituído pelo fluido de perfuração. O equilíbrio adquirido pela formação em milhões de anos, é alterado bruscamente. A tensão confinante da rocha passa a ser equilibrada pela pressão gerada pela coluna hidrostática do fluido de perfuração. Essa pressão é diferente das tensões de confinamento que atuavam anteriormente, e muitas vezes não consegue mater o poço inerte a falhas mecânicas.
Caso a pressão exercida pela coluna hidrostática do fluido de perfuração seja excessiva-mente alta, pode ocorrer o fraturamento da rocha, provocando significativas perdas de fluido e dano à formação do reservatório (fraturamento hidráulico). Caso a pressão seja baixa de-mais, pode haver invasão do fluido a ser produzido. Esta invasão pode provocar separação de fluidos, com conseqüente expansão do gás contido no petróleo. Mesmo quando a pressão do fluido de perfuração está entre os dois limites mencionados, a alteração de estado de tensão pode levar à plastificação do material do reservatório e ao eventual colapso do poço. No entanto, esta alteração do estado de tensões pode ser parcialmente corrigida pelo controle da
pressão através do fluido de perfuração (lama de perfuração).
Tisser [34] relata em seu trabalho que a instabilidade do poço gera um aumento de custos na perfuração, e no pior dos casos, pode chegar ao seu abandono devido a prisão da coluna de perfuração. Dentre os custos de estabilidade estão a necessidade de limpeza do poço, de injeção de mais fluido de perfuração devido à perda do mesmo.
Villela [35] destaca que aproximadamente 10 a 15% do tempo de perfuração de um poço está associado a estabilidade. A autora menciona a grande incidência de instabilidades du-rante a perfuração e principalmente a ocorrência de breakouts.
Dentro deste contexto, entende-se que o aumento da confiabilidade da perfuração de poços, é de grande importância para a segurança e para a economia do processo. A compre-ensão do comportamento mecânico da formação é crucial para o aumento da confiabilidade da perfuração e da produção de um poço de petróleo. No mesmo sentido, a modelagem do material por modelos constitutivos elastoplásticos que melhor representam o comportamento do material, também são necessários para se avançar na confiabilidade da perfuração.
1.2 Conceitos Gerais Sobre Cálculo Elastoplástico
Um modelo matemático geral para pequenas deformações elastoplásticas é constituído de duas partes principais acopladas:
1. Equação de equilíbrio mecânico para o deslocamento, obtida com base em princípios que são válidos para qualquer corpo contínuo, independentemente do tipo de material de que é composto.
2. Modelo constitutivo composto de uma lei elastoplástica correspondente a um problema de valor inicial com restrição. O material específico do corpo analisado é especificado pelo modelo constitutivo, que modela as variáveis internas e o tensor deformação plás-tica com base em três axiomas fundamentais: critério de plastificação, lei de escoamento plástico e lei de endurecimento.
A Figura 1.1 esquematiza a associação da lei constitutiva elastoplástica com a equação de equilíbrio mecânico.
Figura 1.1: Esquema matemático do problema elastoplástico em Elementos Finitos.
Em termos de elastoplasticidade, a tensão num ponto depende de uma forma não linear da deformação do ponto. A implementação computacional de um modelo numérico elastoplástico requer um conjunto de ferramentas que podem ser classificadas em duas partes: para a resolução do problema de valor inicial constitutivo e para a resolução da equação residual de elementos finitos.
Na modelagem tradicional do problema de valor inicial constitutivo, um grande número de variáveis de estado devem ser calculadas (seis variáveis a serem encontradas para o tensor de tensão e mais as possíveis variáveis associadas ao dano material), através da solução de um sistema não linear para cada ponto de integração constituinte da malha de elementos finitos que atinge o regime plástico. Isso gera um complexo sistema de equações de difícil interpretação, tornando o cálculo de elementos finitos computacionalmente caro.
1.3 Objetivos
O trabalho proposto tem como objetivo avançar no entendimento do estado de tensão de poços através de uma modelagem elastoplástica, utilizando simulação numérica de elementos finitos, em que são consideradas a não linearidade do material e a modelagem da desagre-gação do material devido ao excesso de deformação e à atuação do gradiente de pressão. Precisamente, os objetivos principais são:
1. Entendimento do estado da arte de modelos constitutivos elastoplásticos aplicáveis a rochas de reservatórios.
2. Desenvolvimento de procedimentos simplificados e eficientes para o cálculo elastoplás-tico.
3. Desenvolvimento de novas ferramentas para incrementar a resolução da equação residual de elementos finitos para a equação de equilíbrio mecânico.
4. Aplicação da nova metodologia de cálculo elastoplástico e das novas ferramentas de elementos finitos no estudo de estabilidade de poços.
1.4 Principais Contribuições da Tese
Apresenta-se a continuação um sumário das principais contribuições originais da presente tese. As implementações foram feitas na biblioteca de Elementos Finitos, desenvolvida em linguagem de programação C++ , chamada NeoPZ [7, 8]
(www.code.google.com/p/neopz/).
Simplificação de Procedimentos Para o Cálculo Elastoplástico
A convergência de um método iterativo para a solução do problema elastoplástico dependente da escolha das variáveis que representam o vetor de incógnitas. Um grande número de incóg-nitas com complexas expressões que devem ser derivadas analítica ou numericamente através de diferenciação automática, tornam o cálculo pesado computacionamente e de difícil inter-pretação e depuração. No presente trabalho é proposta uma implementação simplificada do procedimento de solução do problema elastoplástico, válida para modelos associativos. Nesta implementação é adotada uma reinterpretação do problema elastoplástico a ser resolvido, com reduzido número de equações não-lineares e, consequentemente, melhorando a eficiência numérica. Neste sentido, os modelos são representados em um espaço alternativo, chamado de Haigh-Westergaard-Rotacionado (HWR). Demonstra-se que o ponto na superfície elasto-plástica cuja distância ao ponto trial é mínima é a solução do problema elastoplástico. Este procedimento aplicado ao modelo de Sandler-DiMaggio reduz a projeção elastoplástica a solução de um sistema não linear de três incógnitas apenas. Assim, a convergência do pro-cesso iterativo pode ser obtida de maneira mais rápida, estabilizando o cálculo, com uma consequente economia no custo computacional.
Novas Ferramentas de Resolução do Modelo de Elementos Finitos
Durante a simulação de Elementos Finitos da perfuração de poços são encontradas algumas dificuldades que prejudicam a convergência da resolução residual do problema de equilíbrio. Descrevem-se a seguir as principais ferramentas adotada que permitiram uma simulação mais eficiente.
1. Escolha da Matriz Tangente no Processo Iterativo de Newton
O uso da matriz tangente consistente, em alguns casos, conduz à divergência do pro-cesso iterativo de Newton. Sendo assim, algumas técnicas foram desenvolvidas visando a estabilização da busca pela solução aproximada. Inicialmente foi implementado o mé-todo line-search, o qual proporciona um melhor avanço nos cálculos. Posteriormente, quando situações mais desfavoráveis de pressão causam maior solicitação ao material que, consequentemente, plastifica, a dificuldade em equilibrar a solução aumenta e ocorrem casos em que a solução não converge. Nestas situações, o emprego da matriz elástica na solução do método de Newton do sistema global de equações resultou mais estabilidade numérica. Isso proporciona uma resolução do problema mais estável, com convergência da solução, porém em um ritmo mais lento. A solução final adotada é um método que alterna o uso da matriz tangente caso a solução encontre dificuldades de convergência. Ou seja, primeiramente o problema tenta a solução do método de Newton com a matriz elastoplástica consistente. Caso a solução utilizando a matriz tangente consistente seja divergente, então emprega-se a matriz tangente elástica. 2. Critério Para Modelagem do Breakout
Um dos desafios encontrados em estudos numéricos da estabilidade de poços foi a de-finição de um critério para a propagação do breakout. Neste trabalho, após inúmeras simulações e consultas na literatura de trabalhos da área, como o de Zoback [38], concluiu-se que a geometria que mais se aproxima do fenômeno de breakout é a elíp-tica. Sendo assim, uma sistemática foi elaborada para remover material supostamente colapsado do poço, a qual consiste no ajuste de elipses a isolinhas onde o valor da deformação plástica deviatórica é constante a um valor previamente estipulado, todo o material abrangido pela elipse sendo eliminado. Para a implementação desta ferra-menta, foi criado um método para encontrar os elementos da malha de elementos finitos correspondentes aos valores determinados de deformação plástica deviatórica, um mé-todo para o cálculo das constantes que ajusta a elipse a tal isolinha, e um mémé-todo para o deslocamento dos nós do contorno para a elipse calculada.
3. Refinamento h p
(h) e polinomial (p) da malha de elementos finitos. Adotou-se o critério onde os elemen-tos cuja máxima deformação plástica deviatórica é maior que um valor pré-estabelecido sejam refinados em h e ou p. Para um valor estipulado desta deformação, identificam-se os elementos que se encontram acima deste valor, onde é realizado o refinamento. No caso do refinamento geométrico, o elemento é dividido e no caso polinomial, a ordem das funções que compõem o espaço de aproximação é incrementada para aqueles elementos especificados. Quando ocorre o refinamento, novos pontos de integração são criados, porém os mesmos não contemplam o histórico das deformações plásticas e das variáveis de dano internas sofridas pelo material. Por isso, é necessário criar um histórico de deformações para os novos pontos de integração baseados no histórico de soluções das malhas anteriores. Depois de aplicar o histórico de deformação é necessário re-equilibrar as tensões da malha.
Software SEST2D Para o Estudo de Estabilidade de Poços
Como fruto da parceria entre o LabMeC e a Petrobras, foi desenvolvido um software de esta-bilidade de poços chamado SEST2D. O software contempla as novas técnicas de aproximação numérica elastoplástica que foram desenvolvidas neste estudo bem como várias ferramentas de interface gráfica desenvolvidas no LabMeC pelo programador Raul Baldin.
1.5 Organização do Trabalho
Este trabalho está dividido em oito capítulos. O capítulo 2 contempla uma contextualiza-ção do problema elastoplástico e a sua aplicacontextualiza-ção na estabilidade de poços. No capítulo 3 uma revisão bibliográfica da teoria elastoplástica para pequenas deformações, composta por critério de plastificação, lei do escoamento plástico e lei de endurecimento, são descritos. É apresentado um o método de mapa de retorno para a solução do problema de valor inicial elastoplástico (PVI-EP). Os critérios de plastificação para materiais friccionais de Mohr-Coulomb e Sandler-DiMaggio são introduzidos, e a formulação fraca de elementos finitos é desenvolvida. No capítulo 4, alguns conceitos importantes relacionados à metodologia para a solução do PVI-EP através da projeção sobre a superfície plástica são elaborados. No capítulo 5, os conceitos descritos no capítulo anterior são aplicados ao modelo elastoplástico de Sandler-DiMaggio. A validação da sistemática de cálculo elastoplástico proposta é feita comparando os resultados numéricos obtidos com a literatura. No capítulo 6, são discutidos: o assunto de estabilidade de poços, as classes implementadas, as ferramentas desenvolvidas para a simulação numérica. Além disso no final do capítulo é feita a apresentação do software
SEST2D. No capítulo 7 um problema prático de perfuração de poços em grande profundidade, passando por uma camada de material carbonático, é resolvido com o método dos elementos finitos associado a uma lei constitutiva elastoplástica. No capítulo 8 são apresentadas as conclusões e trabalhos futuros.
Capítulo 2
REVISÃO DA LITERATURA
Neste Capítulo, é realizada uma revisão da literatura dos temas envolvidos neste trabalho. Na primeira seção, são apresentados os componentes básicos de um modelo elastoplástico, bem como os métodos mais comuns na solução deste tipo de problema. Na segunda seção, é feita uma revisão sobre modelos constitutivos elastoplásticos aplicados a rochas porosas. Na terceira seção, uma contextualização do problema de estabilidade de poços associado a plastificação do material é realizada. E por fim, na última seção, são apresentadas as ferramentas para a resolução da equação residual de elementos finitos empregada neste estudo.
2.1 Metodologias de Cálculo Elastoplástico
A modelagem constitutiva elastoplástica é formada, tradicionalmente ([20, 26, 30]), pelos seguintes componentes básicos :
• Divisão da deformação (plástica/elástica); • Lei de elasticidade;
• Critério de plastificação; • Lei de escoamento plástico; • Lei de endurecimento.
Em conjunto, esses componentes constituem um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDO), com restrição, que deve ser integrado a partir de um dado estado elastoplástico ini-cial. Tem-se, portanto, um problema de valor inicial elastoplástico (PVI-EP). A integração de modelos elastoplásticos necessita de esquemas numéricos para ser solicionado. Tradici-onalmente, o sistema de equações gerado considera o tensor de deformações em termos de
todas as variáveis de estado, o que significa um maior número equações, o que complica sua resolução numérica por simuladores de EDO usuais (Euler, Runge-Kutta).
Os integradores são classificados conforme a técnica de cálculo das derivadas no tempo e de suas restrições, e são classificados em explícitos e implícitos. A definição da maneira de cálculo das derivdas no tempo e da ordem de integração dão origem a vários tipos de integradores. Esquemas implícitos de alta ordem geram grande custo computacional limitando seu emprego. Por outro lado existe uma maneira alternativa aos métodos de integração tradicionais para a solução do PVI-EP. O mesmo pode ser abordado sob uma perspectiva geométrica, conforme exposto nos artigos de Armero et al[2, 29]. Esta abordagem é mais simples e envolve um número significativamente menor de variáveis. Dado um estado inicial do material, sua superfície de plastificação é definida no espaço da tensões principais rotacionado (detalhado na seção 4.2) e as variáveis que minimizam a distância entre o ponto inicial e o ponto projetado fornece a solução do problema elastoplástico.
Especificamente, para o modelo de Sandler-DiMaggio, uma adaptação da superfície para a caracterização do material em tração triaxial ou em compressão triaxial foi desenvolvida de maneira similar à adotata por Fossum et al [17]. Esta adaptação é de grande importância para que se consiga modelar de maneira mais realista o comportamento de materiais rochosos, pois possibilita incluir no modelo, uma diferença de sensibilidade entre tração e compressão triaxial.
Uma técnica que permite simplificar o cáculo plástico reduzindo seu número de varáveis, é o desenvolvimento da modelagem constitutiva em função das tensões principais, o que implica na simplificação das equações envolvidas e também o melhoramento da eficiência computacional, conforme apresenta Souza Neto [28] para o modelo de Mohr-Coulomb. No presente trabalho, a idéia de representação da tensão em valores princiapis, foi incorporada ao modelo de Sandler-DiMaggio.
2.2 Modelos Constitutivos Elastoplásticos Para Rochas
de Reservatórios
Os mecanismos de colapso sob estados multiaxiais em rochas são complexos. O colapso da mesma ocorre através de um processo microscópico e ocorre de duas maneiras, colapso de po-ros e falha por cisalhamento. Maiores detalhes sobre os mecanismos de falha são encontrados no trabalho de Santos [32], no artigo de DiGiovanni [11] e no artigo de Zahn et al [36].
Ensaios de laboratório fornecem uma noção básica do comportamento mecânico das ro-chas, sendo necessário o desenvolvimento de modelos mais elaborados para a sua
representa-ção na prática, como por exemplo, em problemas de estabilidade de poços.
Vários modelos elastoplásticos complexos foram desenvolvidos buscando melhor empregar os dados disponíveis de laboratório. O modelo mais comum é o modelo de Mohr-Coulomb, que é limitado por não considerar a compactação do material. No entanto melhoras a este modelo já foram propostas. Guevara [23] trabalhou no tratamento do problema de colapso de poros em rochas porosas de reservatórios de petróleo ajustando ao modelo de Mohr-Coulomb um cap suave e contínuo.
O modelo de Sandler-DiMaggio tem boa capacidade representativa do comportamento das rochas confinadas. Ele foi desenvolvido inicialmente em 1971 por Sandler e DiMaggio [12] e teve a sua primeira aplicação prática no estudo de choques no solo causado pelo efeito de explosivos, tais como, bombas atômicas e ou outros tipos de grandes explosões. O comportamento laboratorial das rochas carbonáticas sob confinamento é muito bem ajustado pelo mesmo Santos et al [33]. Este modelo é composto por duas superfícies representativas da zona elástica: uma envoltória de cisalhamento; e uma elipse de fechamento que limita a deformação elástica sob confinamento (cap).
O modelo de Sandler-DiMaggio representa bem rochas principalmente por ter um cap de fechamento que é móvel e considera a compactação da rocha, além da sua capacidade de limitar a dilatância excessiva conforme referência [12]. Conforme a tese de Santos [32], outro aspecto positivo deste modelo é a facilidade de obtenção de parâmetros constitutivos em ensaios simples de laboratório. Os modelos com cap de fechamento são amplamente utilizados na indústria petrolífera por possuirem a capacidade de reproduzir a compactação do material causada pelo colapso dos poros.
Além das aplicações citadas, os modelos com cap de fechamento tem as mais variadas aplicações. Na indústria farmacêutica a simulação da fabricação de comprimidos, utiliza o modelo de Drucker-Prager com cap para simular o comportamento da compactação do pó que compõe o comprimido como descrito por Han et al [19].
2.3 Cálculo Elastoplástico no Estudo de Estabilidade de
Poços
O problema considerado neste estudo consiste da análise da estabilidade de um poço vertical sendo perfurado em uma região de formação constituída por material carbonático a grande profundidade. O material nos arredores do poço em perfuração está sujeito à concentração de tensões, a qual varia de acordo com a posição no entorno do poço. A concentração de tensões no entorno do poço pode levar a falhas de compressão (breakout) ou falha por tração
(fraturamento).
Um modelo elastoplástico se faz necessário pois previsões lineares elásticas não conseguem reproduzir o comportamento da formação no entorno do poço que é observada na prática. A limitação da elasticidade advém de sua incapacidade em prever a energia que é absorvida pelo material quando o mesmo se deforma plasticamente, o que na prática acaba diminuindo o avanço do breakout. Como mencionado anteriormente, o modelo Sandler-DiMaggio é o escolhido como a lei constitutiva elastoplástica a ser utilizada na simulação do breakout do presente trabalho.
Em seu livro Zoback [37] faz um estudo de estabilidade de poços associando a integridade do mesmo à falha mecânica da formação em seu entorno. No livro são ilustrados casos para várias bacias sedimentares ao redor do mundo, chamando a atenção para a importância da limpeza do poço, hidráulica de perfuração e vibração mecânica do equipamento de perfuração Burgoine et al [22]. O estudo é focado na estabilidade em dois objetivos principais: evitar instabilidades significantes durante a perfuração e limitar a falha da formação ao redor do poço durante a produção. O último problema está, muitas vezes, relacionado à produção de areia. Ele cita também outros aspectos associados à falha do poço durante a produção, tais como, o colapso do revestimento devido à compactação causada pela depleção do reservatório. Uma vez que o breakout é formado, a concentração de tensões é tal que ele tende a se aprofundar. Porém, contanto que as condições de perfuração não resultem em breakouts largos, o poço pode continuar a ser perfurado. Haimson et al [18] discutem o formato e o mecanismo de falha associados a poços perfurados em experimento laboratorial, feito em blocos de material com alta porosidade e sujeitos a tensões principais de confinamentos diferentes. Eles comentam que valores críticos de tensões de confinamento podem induzir a breakouts com o formato v-shape ou dog-eared. Eles discutem a importância da porosidade e da composição do material no formato do breakout.
A modelagem analítica de estabilidade de poços baseia-se no cálculo das tensões elásticas ao redor do poço, sendo este modelado como uma cavidade cilíndrica com tensões elásticas calculadas pelas equações de Kirsch [24]. Este trabalho foi desenvolvido em 1898 e ainda é empregado atualmente nos simuladores analíticos de estabilidade de poços (denominados de 1D).
O primeiro trabalho a publicar o emprego das equações de Kirsch em engenharia de petróleo com ampla repercussão é o de Bradley [5] de 1979. Segundo Fajaer et. al. [13], o trabalho de Bradley aparenta trazer um erro de sinal em parte da expressão da tensão e este erro haveria sido propagado na literatura técnica, como na primeira edição do livro “Petroleum Related Rock Mechanics” de sua coautoria. Fjaer também menciona que o emprego das equações de Kirsch na engenharia de petróleo haveria sido primeiramente publicado em 1962
por Hiramatsu e Oka.
Neste trabalho, a modelagem analítica de estabilidade de poços utilizou as funções de Airy. A solução analítica para estes casos é útil na validação dos cálculos de Elementos Finitos, uma vez que é possível utilizar as tensões calculadas analiticamente para avaliar o valor das funções de plastificação em consideração e se ter uma noção da área inicialmente afetada pela falha do material.
Capítulo 3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Como mencionado na Introdução, um modelo matemático geral para pequenas deformações elastoplásticas é constituído de duas partes principais acopladas:
• Modelo constitutivo elastoplástico, composto de um problema de valor inicial com res-trição.
• Equação de equilíbrio mecânico para o deslocamento.
Obviamente, devido à complexidade matemática de tais equações, soluções analíticas para problemas de interesse prático de engenharia só podem ser obtidas sob condições muito sim-plificadas. A análise do comportamento elastoplástico de estruturas e solos em condições mais realistas requer a adoção de técnicas numéricas adequadas capazes de produzir soluções aproximadas com razoável precisão. No contexto do método dos elementos finitos, a formu-lação e a solução numérica de problemas não lineares em mecânica do contínuo se embasa crucialmente na forma fraca do princípio dos trabalhos virtuais. Se o material é elástico, este tem a resposta diretamente do tensor de tensões que pode ser introduzido na equação do princípio dos trabalhos virtuais para se obter uma equação variacional envolvendo apenas os deslocamentos e o gradiente dos deslocamentos.
Em contraste com o comportamento elástico, o comportamento plástico é um processo incremental que precisa necessariamente ser caracterizado pela evolução das equações cons-titutivas em um pseudo-tempo. Para a aplicação elastoplástica, o procedimento destacado para elasticidade requer um passo a mais, que é a integração numérica das equações consti-tutivas no pseudo-tempo. O resultado gerado pelo algoritmo de integração é uma resposta incremental não linear a qual define o tensor de tensão como função da história do tensor de deformações até o presente passo.
No presente capítulo, é feita um revisão dos principais aspectos de um modelo numérico para a resolução do modelo matemático elastoplástico, baseado no Método dos Elementos
Finitos, tendo como referências básicas o livro Souza Neto [28], e a tese de doutorado de Santos [32].
3.1 Formulação do Modelo Constitutivo Elastoplástico
O presente estudo da teoria matemática da plasticidade segue o Capítulo 6 do livro de Souza Neto [28]. Essa teoria fornece uma estrutura geral para a descrição constitutiva do com-portamento dos materiais elastoplásticos. A teoria da plasticidade é focada em sólidos que, após submetidos a um ciclo de carregamento, podem sustentar deformações permanentes (ou plásticas) quando completamente descarregados. A teoria é restrita à descrição de materiais que não dependem da taxa de aplicação de carga. Um grande número de materiais de en-genharia, tais como metais, concreto, rochas, argilas e solos em geral, podem ser modelados por meio do comportamento elastoplástico, sob uma ampla gama de circunstâncias de inte-resse prático. A teoria apresentada é restrita a deformações infinitesimais e fornece a base para a simulação numérica elastoplástica do comportamento de sólidos a ser discutido neste trabalho.
Como mencionado no capítulo anterior, o estudo elastoplástico é subdividido nos seguintes tópicos:
• Decomposição do tensor de deformação em parcelas elástica e plástica; • Lei de elasticidade;
• Critério de Plastificação; • Lei de escoamento plástico;
• Lei de endurecimento (hardening).
A seguir, os principais aspectos sobre esses tópicos são apresentados.
Decomposição do Tensor de Deformações
A deformação total ⇤ é dividida em duas partes, uma elástica, e outra, plástica.
⇤ = ⇤e+ ⇤p (3.1)
As tensões estão associadas à parcela elástica da deformação. A parte plástica se relaciona com o dano ao material, associado ao histórico de processos dissipativos e irreversíveis aos
cálculo elastoplástico são as deformações totais e, a partir delas, com a solução do problema, as partes elásticas e plásticas são encontradas.
Lei de Elasticidade
A lei de Hooke generalizada é representada pela relação
⇥ =C : ⇤e, (3.2)
em que C é o tensor constitutivo elástico de quarta ordem. A relação tensão deformação entre tensores é representada pelas relações
⇥ = Ktr(⇤e)I + 2Gdev(⇤e), (3.3) ⇤e= 1 9Ktr(⇥)I + 1 2Gdev(⇥), (3.4) em que dev(⇥) = ⇥ 1 3tr(⇥)I, (3.5)
o módulo de deformação volumétrica K e o módulo de cisalhamento G são dados por
K = E 3(1 2 ), G = E
2(1 + ).
Processos Dissipativos
A parte plástica da deformação não está relacionada ao estado de tensões do material, mas sim com o histórico dos processos dissipativos e irreversíveis aos quais o material foi sub-metido. Conforme mecionam Souza Neto[28] e Armero et al [1], a formulação de modelos dissipativos, segundo os princípios da termodinâmica, partem do pressuposto de que existe um potencial de energia livre '(⇤, ⇤p, ), função das deformações total e plástica e de um
conjunto de variáveis internas relativas ao fenômeno de endurecimento (hardening). A energia livre é dividida em uma parte elástica, 'e(⇤ ⇤p)e em uma parte plástica, associada
ao endurecimento, 'p( ). Precisamente.
Em seu texto, Souza Neto [28] aplica a inequação de Clausius-Duhem, resultado da combi-nação do primeiro e segundo princípios da termodinâmica, que implica na definição da força termodinâmica de endurecimento A = ¯↵◆' p( ) ◆ , (3.6) e lei de elasticidade ⇥ = ¯↵◆' e(⇤ ⇤p) ◆⇤ , (3.7)
em que ¯↵ é a massa específica na configuração de referência.
Critério de Plastificação
O critério de plastificação descreve a transição entre os domínios elástico e plástico. A função potencial ⇤ = ⇤(⇥, A) ⌅ 0 definida no espaço de tensões define a transição do domínio elástico para o plástico. ⇤(⇥, A) assume valores não-positivos em regime elástico e nulos em regime plástico.
Lei de Escoamento Plástico
Em um ciclo de carregamento, o estado de tensão não deve ultrapassar o domínio elastoplás-tico. A lei de escoamento plástico assume a existência de uma função de potencial plástico ⌅(⇥, A) que especifica como evolui o tensor de deformação plástica ⇤p em um processo de
plastificação
.
⇤p =⇤N (⇥, A),. (3.8) em que o tensor N representa a direção do escoamento e definido por
N (⇥, A) = ◆⌅/◆⇥ (3.9)
e⇤. ⇧ 0 é um multiplicador plástico.
Lei do Endurecimento (Hardening)
A lei do endurecimento (ou encruamento) caracteriza uma expansão da superfície ou trans-lação (ganho de resistência do material) conforme o mesmo se plastifica. O endurecimento se comporta em função de um conjunto de variáveis de dano internas. No caso de
endure-cimento isotrópico, ilustrado na Figura (3.1), este conjunto de variáveis se reduz a somente um escalar que representa a evolução do trabalho plástico.
Figura 3.1: Encruamento isotrópico (figura adaptada de Neto et al. [28]).
No endurecimento cinemático, a forma da superfície permanece constante, no entanto há um translado da superfície de falha durante a plastificação, como visualizado na Figura (3.2). Neste caso, a variável interna terá de ser representada vetorialmente para definir a direção e a taxa de encruamento.
Figura 3.2: Encruamento cinemático (figura adaptada de Neto et al. [28]). Os modelos chamados de perfeitamente plásticos se caracterizam pela ausência de
Figura 3.3: Perfeitamente plástico (figura adaptada de Neto et al. [28]).
A evolução de um conjunto de variáveis de encruamento é descrita por
. =⇤H(⇥, A),. (3.10) em que H(⇥, A) = ◆⌅/◆A (3.11) é o módulo de encruamento.
Associatividade
O modelo é considerado associativo quando a lei de escoamento plástico e a função de plas-tificação coincidem, ⌅ = ⇤. Nos modelos associativos, a evolução das equações para a deformação plástica e as variáveis de dano são dadas por
. ⇤p =⇤.◆⇤ ◆⇥, (3.12) e . =⇤. ◆⇤ ◆A. (3.13)
A associatividade implica a ortogonalidade entre a direção de escoamento plástico e a super-fície de escoamento. A associatividade também implica tensores constitutivos simétricos.
3.1.1 Exemplos
Modelo Elastoplástico de Mohr-Coulomb
É um modelo que descreve a resposta de materiais friccionais, tais como concreto, e/ou solo. Ele é aplicado a materiais cuja a resistência à compressão é superior à tração e nos quais a falha do material ocorre por uma ruptura ao longo de um plano de escorregamento. Por ser um material friccional, há o incremento de cisalhamento admissível com o aumento da tensão confinante, expresso pela 3.14.
= c tan( ), (3.14)
Figura 3.4: Superfície de plastificação de Mohr-Coulomb.
No espaço das tensões principais, a superfície de Morh-Coulomb é formada por seis su-perfícies descritas pelas equações abaixo,
⇤1 = 1 3+ ( 1+ 3) sin( ) 2 c cos( ) ⇤2 = 2 3+ ( 2+ 3) sin( ) 2 c cos( ) ⇤3 = 2 1+ ( 2+ 1) sin( ) 2 c cos( ) ⇤4 = 3 1+ ( 3+ 1) sin( ) 2 c cos( ) ⇤5 = 3 2+ ( 3+ 2) sin( ) 2 c cos( ) ⇤6 = 1 2+ ( 1+ 2) sin( ) 2 c cos( ) .
Figura 3.5: Superfície de plastificação de Mohr-Coulomb.
Como as tensões principais calculadas pela Equação (4.4) dão como resultado as tensões organizadas em ordem decrescente, 1 > 2 > 3 apenas três das funções acima serão dadas
como críticas. O significado dos parâmetros empregados neste modelo são detalhados na tabela 7.2.
Parâmetro Unidade E(modulo de Elasticidade) M P a
(coeficiente de Poisson) (adimensional) c(Coesão) M P a (Ângulo de atrito interno) graus
Tabela 3.1: Parâmetros empregaod no modelo de Mohr-Coulomb.
Neste trabalho adotou-se modelagem associativa do modelo de Mohr-Coulomb.
Modelo Elastoplástico de Sandler-DiMaggio
O modelo de Sandler-DiMaggio é um modelo elastoplástico relativamente simples, associativo, com endurecimento hidrostático à compressão hidrostática e que representa bem o compor-tamento constitutivo típico de rochas Santos et al [33]. Ele foi desenvolvido inicialmente por
Sandler e DiMaggio [12] e teve a sua primeira aplicação prática no estudo de choques no solo causado pelo efeito de explosivos. Este modelo é composto por duas superfícies envoltórias de plastificação: uma envoltória de cisalhamento; e uma elipse de fechamento que limita a deformação elástica sob confinamento (cap). A eficiência do modelo na representação de rochas se deve principalmente ao cap de fechamento que é móvel e considera a compactação da rocha, além da sua capacidade de modelar a dilatância excessiva. Conforme Santos [32], outro aspecto positivo deste modelo é a facilidade de obtenção de parâmetros constitutivos em ensaios simples de laboratório. Os modelos com cap de fechamento são amplamente utili-zados na indústria e possuem a capacidade de reproduzir a compactação do material causada pela perda de volume em conseqüência do fechamento dos poros. Os modelos com cap tem atualmente utilização na indústria petrolífera devido ao seu uso no estudo da estabilidade de poços e compactação de reservatórios causada por depleção. O modelo é associativo e, para cada L, a função plástica ⇤ é definida por partes pela função de falha F1(I1,
⌦
J2), e uma
função elíptica de fechamento F2(I1,
⌦
J2; L). A transição entre as funções de plastificação é
dada pela variável L, que define a posiçao do cap elíptico em função do endurecimento do material.
O modelo aqui proposto foi inspirado nos artigos [3, 16, 15, 17, 21]. Na presente mode-lagem é possível controlar o formato da superfície plástica, para que a resposta material sob compressão triaxial seja diferente da sua resposta em tração triaxial, considera-se um modelo generalizado de Sandler-DiMaggio, introduzindo uma dependência adicional do Lode angle ⇥. Precisamente a função de escoamento plástico é definida pela expressão,
⇤ = 8 > < > : F1(I1,⌦J2, ⇥), I1 > L, F2(I1, ⌦ J2, ⇥; L), L ⇧ I1 ⇧ X. (3.15) em que F1(I1, p J2, ⇥) = p J2 Ff(I1) (⇥) , (3.16) F2(I1, p J2, ⇥; L) = ✓ I1 L RFf(L) ◆2 + ✓⌦ J2 (⇥) Ff(L) ◆2 1, (3.17) com Ff(s) = A C exp(Bs) (3.18)
onde as constantes A, B, C, D, R e W são constantes materiais, obtidas em testes laboratoriais. Algumas destas constates são associadas à propriedades físicas que são descritas em maiores detalhes na tabela 3.2.
Parâmetro Descrição
D deformação plástica volumétrica e nível de tensão hidrostáticaConstante na expressão 3.20 de correlação entre R Razão entre os comprimentos dos semi-eixos da envoltória
do critério de plastificação à compressão (eq. 3.16) W Constante na expressão 3.20 de correlação entre
deformação plástica volumétrica e nível de tensão hidrostática Tabela 3.2: Parâmetros do modelo constitutivo de Sandler e DiMaggio. Introduz-se (⇥) dado por
(⇥) = 1 2
(1 + sin(3⇥)) + 1
⇣(1 sin(3⇥)) , (3.19) em que ⇣ ⌥ [7/9, 9/7]. O modelo clássico de Sandler-DiMaggio emprega ⇣ = 1, de forma que (⇥) = 1. Uma seção bidimensional típica da correspondente a superfície de falha é ilustrada na Figura (3.6). Como reportado em Sandler e DiMaggio [12], a quantidade X(L) = L + RFf(L) é relacionada a deformação plástica volumétrica através da expressão
✓pv(L) = W [exp(DX(L)) 1]. (3.20)
Figura 3.6: Modelo clássico de Sandler-DiMaggio (I1,⌦J2).
super-ilustrados na figura (3.8) com a finalidade de mostrar o efeito de diferentes valores de (⇥) no formato da seção.
Figura 3.7: Modelo elastoplástico de SandlerDiMaggio representado no espaço de Haigh-Westergaard com ⇣ = 7/9.
Figura 3.8: Visão do plano ⌦ para o modelo de Sandler-DiMaggio, para três valores diferentes de ⇣.
O modelo de Sandler-DiMaggio original[12] é associativo, com ⌅ = ⇤. Além disso, para este modelo, o módulo de encruamento H e a direção de escoamento plástico N são relacionados por
H = tr(N ). (3.21)
Usando esta particularidade, a equação para a variável de dano no corretor plástico para este modelo elastoplástico pode ser reformulada como
.
=⇤tr(⇥) = tr(⇤. p) =✓.pv. (3.22) Quando é realizada uma discretização utilizando o algoritmo clássico de Euler, a defor-mação plástica volumétrica incremental leva a seguinte expressão
⇥✓p v =
⇥I1
3K, (3.23)
que através da relação (3.20), define a evolução de L(✓p
v). Estas considerações permite a
3.2 Modelo Numérico do Problema de Valor Inicial
Elas-toplástico
Como descrito na seção anterior, o comportamento elastoplástico de um material pode ser completamente caracterizado pela junção das leis escoamento e endurecimento,
.
⇤p =⇤N (⇥, A),.
.
=⇤H(⇥, A),.
e o critério de plastificação ⇤(⇥, A) ⌅ 0. Se a função de plastificação ⇤ é menor que zero, o regime é elástico e se for igual a zero, o regime é plástico. O multiplicador elastoplástico
.
⇤ ⇧ 0 assume valores positivos no regime plástico e nulo no regime elástico. A consistência de uma aproximação elastoplástica deve satisfazer ⇤⇤ = 0..
Esquema de integração temporal para esse modelo constitutivo (de valor inicial com res-trição) no passo do (pseudo) tempo [tn, tn+1] do ciclo de carregamento fornece uma relação.
Considerando o caso de integração pelo método de Euler implícito, dados o estado de defor-mação ✓n, as correspondentes deformação plástica ✓p,n e variável interna n em um nível de
tempo tn, então a deformação plástica ✓pn+1, a variável interna n+1 e ⇥⇤ são obtidas como
solução do sistema não linear de equações
⇥✓pn+1 = ⇥⇤N ( n+1, An+1),
⇥ n+1 = ⇥⇤H( n+1, An+1),
⇥⇤⇧ 0 ⇤( n+1, An+1)⌅ 0 ⇥⇤⇤( n+1, An+1) = 0.
Para facilitar esse procedimento de resolução, é comum a imposição das restrições serem efetuadas em duas etapas principais: um preditor elástico e um corretor plástico, como mostrado no Capítulo 6 do livro de Souza Neto [28] e descrito a continuação.
Modelo Preditor Elástico-Corretor Plástico
Dois possíveis conjuntos de equações são adotados sequencialmente e a solução final é seleci-onada como sendo a válida.
Preditor Elástico Assume-se inicialmente que ⇥⇤ = 0 e tem-se , portanto, uma deforma-ção elástica. A deformadeforma-ção elástica e a variável interna obtidas são
⇤trial= ⇤
n+ ⇥⇤, trial=
n.
Calcula-se a tensão ⇥trial através da Equação (3.3) e Atrial com a Equação (3.6). Depois
verifica-se se ⇤(⇥trial, Atrial) ⌅ 0. Caso seja verdade, aceitam-se as variáveis trial como
sendo verdadeiras e o algoritmo para. Caso contrário é necessária uma nova etapa, o corretor plástico.
Corretor Plástico Na etapa de corretor plástico, resolve-se o sistema ⇤e
n+1= ⇤trial ⇥⇤N (⇥n+1, An+1), n+1 = trial+ ⇥⇤H(⇥n+1, An+1),
⇤(⇥n+1, An+1) = 0.
(3.24)
A seguir, atualiza-se a deformação
✓pn+1 = ✓pn+ ⇥✓ ⇥✓e.
A Figura (3.9) ilustra este procedimento no caso de endurecimento isotrópico.
Figura 3.9: Visão esquemática do modelo preditor-corretor para um modelo com endureci-mento isotrópico.
3.3 Equação de Equilíbrio Mecânico Para o Deslocamento
O problema de equilíbrio mecânico consiste em encontrar o vetor de deslocamento u do material, que seja solução do problema:
8 > > > < > > > : div(⇥) + b = 0 , ⇧ u = 0 em D ⇥.n = t N (3.25) em que:
• ⇧: domínio computacional ocupado pelo material;
• D parte do contorno de ⇧ em que o deslocamento é nulo (condição de Dirichlet nula);
• N parte do contorno de ⇧ em que a força de superfície é conhecida (condição de
Neumann);
• b força de volume, conhecida em ⇧;
• t força de superfície, conhecida no contorno N.
Formulação Variacional
Nesta seção descreve-se a formulação variacional do problema de equilíbrio mecânico (3.25) para os problemas elásticos e elastoplásticos.
Em um problema bidimensional, espera-se encontrar a solução u do problema no espaço de funções
V ={v ⌥ [H1(⇧)]2 tal que v = 0 em D},
em que [H1(⇧)]2denota o espaço das funções vetorias v = (v
1, v2)T cujo gradiente (↵v1,↵v2)T
é quadrado integrável. A equação em questão é a equação governante do problema mecânico, chamada de equação de equilíbrio.
Elasticidade
Considerando-se a relação tensão-deformação elástica dada pela equação
⇥ = Ktr(⇤)I + 2Gdev(⇤), e as deformações são infinitesimais
⇤(u) = ↵u + ↵u
T
2 ,
a forma fraca da equação de equilíbrio é obtida multiplicando-se a equação (3.25) por uma função teste v ⌥ V. Procura-se o deslocamento u tal que:
R(u, v) = ˆ ⇤ div(⇥)v d⌘ ˆ ⇤ b.v d⌘ = 0 (3.26) para qualquer função teste v admissível.
Utilizando o teorema da divergência (integração por partes) na expressão (3.26) chega-se em R(u, v) = ˆ ⇤ ⇥ :↵v d⌘ ˆ ⇤ b.v d⌘ ˆ N t.v ds v ⌥ V, (3.27) em que deve-se encontrar u ⌥ V.
Plasticidade
No caso elastoplástico, na equação (3.27) a tensão depende de uma resposta não linear da deformação ⇥ = ⇥(⇤(⇧)). Portanto, deve ser linearizado com respeito ao campo vetorial desconhecido u no ponto u⇥. O problema linearizado consiste em encontrar o campo vetorial
⌅u tal que
L(⌅u, v) = R(u⇥, v) + D R(u⇥, v) [⌅u] = 0 v ⌥ V, em que L corresponde à linearização de R(u⇥, v).
D R(u⇥, v) [⌅u] = d
d⇧|⇤=0Ru(u
⇥+ ⇧⌅u, v)
é a derivada direcional de Ru no ponto u⇥ na direção de ⌅u.
D R(u⇥, v) [⌅u] = d d⇧|⇤=0 ˆ ⇤ ⇥(⇤(⇧)) :↵v d⌘ ˆ ⇤ b.v d⌘ ˆ ⌥⇤ t.v ds
= d d⇧|⇤=0 ˆ ⇤ ⇥(⇤(⇧)) :↵v d⌘ (3.28) em que ⇤(⇧) = ↵(u
⇥+ ⇧⌅u) +↵(u⇥+ ⇧⌅u)T
2 =↵
su⇥+ ⇧↵s⌅u.
Aplicando a regra da cadeia na derivação de (3.28), tem-se
DG(u⇥, v) [⌅u] = ˆ ⇤ D :↵s⌅u :↵v d⌘ em que D = ◆⇥ ◆⇤.
é a derivada consistente da tensão com respeito a deformação que é descrita na seção (5.4). ˆ ⇤ D :↵s⌅u :↵v d⌘ | {z } K ⇥u = ˆ ⇤ ⇣ ⇥ :↵v b.v⌘d⌘ | {z } Fint + ˆ ⌥⇤ t.v ds | {z } Fext . (3.29)
Portanto para que o equilíbrio seja satisfeito em determinado corpo composto por uma material que tem comportamento regido pela lei constitutiva elastoplástica deve-se encontrar u ⌥ V que satisfaça a equação (3.29).
3.4 Modelo Numérico Elastoplástico
O diagrama da Figura 3.10 resume as principais etapas na construção do modelo numérico completo de elementos finitos para o problema elastoplástico .
Figura 3.10: Diagrama do esquema numérico elastoplástico . A saber:
1. Esquema de integração temporal para o modelo constitutivo (de valor inicial com res-trição) no passo do (pseudo) tempo [tn, tn+1] do ciclo de carregamento, como descrito
na Seção (3.2). Tal procedimento fornece uma relação para o tensor de tensões e para as variáveis internas do modelo .
2. Método de elementos finitos para a formulação variacional da equação de equilíbrio mecânico, como descrito na Seção (3.3).
Capítulo 4
OTIMIZAÇÃO DO CORRETOR
PLÁSTICO
Neste capítulo, são discutidos os principais métodos utilizados para a resolução de mode-los elastoplásticos. Utilizando a metodologia do corretor plástico documentada em Souza Neto [28], oito equações não lineares devem ser resolvidas em cada ponto de integração. Observou-se que dependendo do modelo elastoplástico o condicionamento destas equações pode deteriorar-se. Motivado pelo melhoramento da eficiência computacional e pela simplifi-cação das equações evolvidas no problema elastoplástico, uma nova abordagem ao problema elastoplástico é desenvolvida. Nesta abordagem, uma redução no número de variáveis de es-tado que compõem o sistema elastoplástico é alcançada ao se trabalhar no espaço das tensões principais (espaço de Haigh-Westergaard (HW)). Para obter-se uma descrição simplificada da superfície plasticação um operador de rotação é criado, objetivando transformar as tensões principais em coordenadas de Haigh-Westergaard-Rotacionado, ou simplesmente HWR.
A metodologia apresentada neste capítulo está publicada em Cecílio et al [6]
4.1 Espaço de Haigh-Westergaard
Os invariantes do tensor de tensões são definidos por:
I1 = tr(⇥), J2 = 1 2tr(S 2), J3 = 1 3tr(S 3),
em que o tensor deviatórico é dado por S = ⇥ 1
3tr(⇥)I, a matriz identidade sendo
repre-sentada por I.
As componentes hidrostática , cisalhante ↵ e o Lode Angle ⇥ são definidas como:
= ⌦I1 3, (4.1) ↵ =p2J2, (4.2) ⇥ = 1 3cos 1 3 ⌦ 3 2 J3 J23/2 ! , (4.3) em que ⇥ ⌥ [0, ⌦/3] .
É notório saber que o estado de tensão em um ponto material é caracterizado por suas tensões principais. Sendo os autovalores organizados em ordem decrescente 1 > 2 > 3 ,
os mesmos podem ser calculados pela expressão abaixo,
= 2 6 4 1 2 3 3 7 5 = 2 6 6 6 4 1 ⌥ 3 + q 2 3↵ cos(⇥) 1 ⌥ 3 + q 2 3↵ cos(⇥ 2⇧ 3 ) 1 ⌥ 3 + q 2 3↵ cos(⇥ + 2⇧ 3 ) 3 7 7 7 5. (4.4)
Figura 4.1: Esquema ilustrativo do espaço HW.
Neste espaço, o vetor de deformações principais é representado por " = [✓1, ✓2, ✓3]T. A
relação tensão deformação é dada por
"= CHW1 , (4.5) em que CHW = 2 6 4 K + 4G 3 K 2G 3 K 2G 3 K 2G 3 K + 4G 3 K 2G 3 K 2G 3 K 2G 3 K + 4G 3 3 7 5 , (4.6)
Neste espaço o primeiro invariante do tensor de tensões I1, o segundo invariante do tensor
deviatórico J2 e o Lode Angle ⇥, são representados pelas equações a seguir
I1 = 1+ 2 + 3, J2 = 1 3 ⇥ 2 1 + 22 2 3+ 32 1( 2+ 3) ⇤ ,
⇥ = 1 3arccos (2 1 2 3) ( 1 2 2+ 3) ( 1+ 2 2 3) 2 [ 2 1 + 22 2 3+ 32 1( 2+ 3)]3/2 ! .
4.2 Espaço de Haigh-Westergard-Rotacionado
A aplicação de uma rotação ao sistema de coordenas HW, conforme inicialmente realizado no livro de Borja [4] e no artigo Lainé et al [25], é possível uma representação dos alternativa dos invariantes, que contribui para uma simplificação no algoritmo do corretor plástico in-cremental. A seguir, descreve-se a obtenção do espaço HWR, o cálculo dos invariantes neste espaço e a relação entre tensão e deformação, que é realizada por um tensor constitutivo diagonal.
O vetor de tensões principais neste espaço é dado por ⇥ = [ ⇥
1, 2⇥, ⇥3]T e é calcula através da relação ⇥ = R , (4.7) em que R = 2 6 6 4 1 ⌥ 3 1 ⌥ 3 1 ⌥ 3 q 2 3 1 ⌥ 6 1 ⌥ 6 0 ⌥1 2 1 ⌥ 2 3 7 7 5 . (4.8)
é uma matriz de rotação, com determinante igual a 1.
No espaço HWR, o cálculo dos invariantes simplificam-se
I1 = ⌦ 3 1⇥, (4.9) J2 = ⇥2 2 + ⇥23 2 , (4.10) ⇥ = arctan( 3⇥/ ⇥2). (4.11) A relação tensão-deformação, com "⇥ = [✓⇥
1, ✓⇥2, ✓⇥3], também é mais simples
"⇥ = (CHW R) 1 ⇥, (4.12)
CHW R= 2 6 4 3K 0 0 0 2G 0 0 0 2G 3 7 5 . (4.13)
4.3 Representação de Modelos Associativos no Espaço
HWR
Para modelos associativos, com ⌅ = ⇤, a lei do escoamento plástico pode ser interpretada como uma minimização de distância entre a tensão inicial e a superfície admissível Armero et al [2, 29]. Para uma dada variável de dano , a superfície admissível é definida por
S⇥( ) ={⇥⇥ : ⇤⇥( ⇥, A( ) = 0)},
em que ⇤⇥( ⇥, A) representa a função de plastificação representada em termos das
coorde-nadas ⇥ do espaço HWR. Usando o sistema de coordenadas HWR, a equação incremental
para a lei de escoamento plástico (3.24) fica
"e⇥,trial "en+1⇥ = ⇥⇤N⇥n+1, (4.14) em que N⇥n+1 = ◆⇤⇥( ⇥ n+1, A( n+1)) ◆ ⇥ . (4.15)
Portanto, para todos as possíveis variações de ⌅ ⇥ no plano tangente à superfície admissível
no ponto ⇥
n+1⌥ S⇥( n+1), verifica-se
0 = ⌅"⇥, "e⇥,trial "e⇥n+1 = ⌅ ⇥, CHW R1 ⇥,trial ⇥n+1 =< ⌅ ⇥, trial,⇥ ⇥
n+1>HW R,
(4.16)
em que, para os vetores a⇥ e b⇥ no espaço HWR, define-se o produto interno
< a⇥, b⇥ >HW R= (a⇥, CHW R1 b⇥). (4.17)
A propriedade (4.16) significa que ⇥ é o ponto projetado sobre S⇥(
n+1) que minimiza
a distância no espaço HWR. Ou seja, se
d(a⇥, b⇥) := ( (a⇥ 1 b⇥1) 2 3K + (a⇥ 2 b⇥2) 2 2G + (a⇥ 3 b⇥3) 2 2G )1/2 (4.18)
