Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 1
O ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NA ESCOLA BÁSICA
Lilian Nasser Projeto Fundão (UFRJ) e CETIQT/SENAI lnasser@im.ufrj.br
Resumo: A inclusão da Matemática Financeira na grade do Ensino Médio deve ser um
meio para garantir o exercício pleno da cidadania, no que se refere a situações financeiras. É preciso que este tópico seja abordado de modo eficaz, capacitando os alunos a escolher a melhor maneira de efetuar seus pagamentos e a evitar armadilhas da mídia, que anunciam ofertas enganosas do tipo “preço à vista igual a preço a prazo sem juros”. Este trabalho chama a atenção para a necessidade de preparar alunos e professores para enfrentar essa tarefa.
Palavras-chave: Matemática Financeira; Valor do dinheiro; Eixo das setas.
A Matemática Financeira é um conteúdo fundamental no currículo da escola Básica. No mundo atual, com as ofertas divulgadas pela mídia e as diversas opções para pagamentos de impostos e taxas, devemos preparar nossos alunos para exercer plenamente a cidadania, sabendo escolher a melhor maneira de efetuar os pagamentos. O que é mais vantajoso: pagar à vista ou a prazo?
A resposta a esta pergunta depende de diversas variáveis: a taxa de juros praticada para a venda a prazo, o número de prestações, se há desconto para pagamento à vista ou se é exigida uma entrada para o pagamento a prazo.
Apesar de o tópico de Matemática Financeira fazer parte do currículo da Escola Básica, este assunto não tem sido abordado de forma eficaz. Basta observar como a maioria dos livros textos trata superficialmente o tema. No ensino Fundamental os alunos aprendem porcentagem e juros simples. No Ensino Médio são abordados os juros compostos, cuja fórmula recai numa exponencial. Os problemas em geral são desligados da realidade, não refletindo o que de fato acontece no cotidiano das compras, pagamentos e empréstimos.
Também é importante observar que a Matemática Financeira permite relacionar diversos tópicos da Matemática. Juros simples podem ser associados às Progressões Aritméticas e à função afim, já que os valores a cada período, se colocados no plano cartesiano, estão alinhados. Já os juros compostos são calculados por meio de uma função
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 2 exponencial em que o expoente é o número de períodos considerados no financiamento. Portanto, seu ensino deve reportar ao estudo de Progressões Geométricas e função exponencial. Mas isso em geral não acontece, e se perde uma ótima oportunidade de mostrar aos alunos onde e como são aplicados alguns conteúdos estudados na escola. Alguns problemas de Matemática Financeira também precisam do conceito de logaritmo na sua resolução, quando o que se deseja descobrir é o tempo necessário da aplicação de um investimento para atingir um determinado montante. Em resumo, a Matemática Financeira é um tópico que relaciona diversos conteúdos do Ensino Fundamental e Médio, permitindo a sua integração e aplicação.
A escola básica deve preparar o futuro cidadão a entender as possibilidades de investimento e pagamento, para que ele não se deixe levar por ofertas enganosas do tipo “preço à vista igual a preço a prazo” ou “financiamento em 10 vezes sem juros”.
A Matemática Financeira considera que qualquer quantia muda de valor ao longo do tempo, pois uma quantia sempre pode ser aplicada e render juros. De modo geral, as aplicações são feitas em juros compostos, quando a cada período os juros incidem sobre o capital acumulado. Por isso, todo o cuidado deve ser tomado ao propor problemas muito comuns nos livros textos dos anos iniciais, como:
Um aparelho de TV foi vendido em 4 prestações iguais de R$150,00.
Qual o preço desse aparelho de TV?
O preço do aparelho de TV não é absoluto, depende da época em que se deseja saber o preço. Na data da compra? Ou na data da última prestação, quando é finalmente quitada a dívida? Pode parecer que isso é irrelevante, mas há uma diferença, e se o aluno aprende que a resposta do problema á R$600,00, ele vai seguir acreditando que o valor do dinheiro não varia com o tempo, diferentemente do que acontece no mundo financeiro.
Mas este não é o único tipo de erro cometido quando se trata de Matemática Financeira. Ao se aplicar aumentos ou descontos sucessivos, há uma tendência em somar os índices para encontrar o índice total, em vez de multiplicar. Lima et al. (2 000) alertam que
As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que juros de 10% ao mês dão, em dois meses, juros de 20%. Note que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 21% (p. 45).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 3 Ao conceder um aumento em duas etapas, isso deve ser considerado, como no exemplo a seguir.
Numa reunião de condomínio, foi aprovado um acréscimo de 10%, em duas parcelas, sendo 5% de imediato, e o restante, 6 meses depois.
Qual deve ser a taxa de aumento da 2ª parcela?
A resposta não pode ser 5%, pois isso daria um acréscimo total de 10,25%.
Será que então a resposta é 4,75%, descontando os 0,25% que excederam os 10%? Na realidade, a resposta correta é 4,7619%. E mais adiante vamos ver um método prático de resolver este tipo de problema.
Outro ponto importante a se considerar no ensino de Matemática Financeira é o uso de calculadoras. Em diversas oportunidades, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) recomendam o uso da calculadora, segundo os autores, de acordo com a maioria dos pesquisadores, salientando que:
Dentre as várias razões para seu uso (da calculadora), ressalta-se a possibilidade de explorar problemas com números freqüentes nas situações cotidianas e que demandam cálculos mais complexos, como: os fatores utilizados na conversão de moedas, os índices com quatro casas decimais (utilizados na correção da poupança), dos descontos como 0,25% etc. (p. 67)
É claro que as calculadoras financeiras, do tipo HP 12C, são ferramentas poderosas no mundo dos negócios. Mas na escola elas não ajudam, uma vez que o seu uso não deixa claro quais os procedimentos usados. É como uma “caixa preta”, em que basta inserir os dados, que a resposta vem pronta. Nosso objetivo é fazer com que os alunos entendam os raciocínios e procedimentos quando resolvem um problema. Por isso, recomendamos o uso das calculadoras científicas ou mesmo das mais simples, apenas para facilitar os cálculos e economizar tempo. As planilhas eletrônicas do EXCEL também trazem fórmulas que ajudam a resolver problemas financeiros. Este recurso pode ser usado, desde que o aluno examine e entenda as fórmulas utilizadas. Caso contrário, recaímos novamente no caso da “caixa preta”, em que o aluno não entende e o que está fazendo para resolver o problema.
No ensino de Matemática Financeira devem ser abordados problemas que refletem a realidade do cotidiano. A seguir, citamos dois exemplos desse tipo de problemas.
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Problema 1:
No estado do Rio de Janeiro, há duas possibilidades para o pagamento do IPVA: em 3 parcelas mensais iguais ou à vista, com 10% de desconto.
Qual a taxa de juros praticada no pagamento parcelado de um IPVA de R$900,00?
Este problema foi baseado numa coluna publicada às segundas feiras no jornal O GLOBO, no Caderno de Economia (ZENTGRAF, 2009).
Problema 2:
A diretora da escola juntou dinheiro para comprar um computador. Comparando os preços de mercado, encontrou a seguinte oferta numa loja:
A diretora pediu um desconto para o pagamento à vista, mas o vendedor respondeu que o preço a prazo sem juros era igual ao preço à vista e, portanto, não era possível dar desconto. Considerando que o dinheiro pode render 4% ao mês, qual seria o preço justo para o pagamento à vista?
Este último exemplo foi usado numa pesquisa para avaliar como professores e licenciandos de Matemática resolvem problemas práticos de Matemática Financeira, e quais os tipos de erros cometidos. Os resultados mostraram que os professores e futuros professores não estão preparados para abordar em sala de aula os problemas reais e desafiadores de Matemática Financeira. Pode parecer surpreendente, mas é possível resolver esses problemas com poucos conhecimentos matemáticos anteriores. Vamos usar uma representação visual na resolução dos problemas, que chamamos de “eixo das setas”. As taxas de juros, de aumento ou de desconto devem ser sempre representadas na notação decimal. É claro que isso requer o domínio de frações e suas representações como número decimal e como porcentagem.
A abordagem proposta
Computador: R$ 1 800,00 à vista ou em 3 x iguais sem juros (entrada + 2)
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 5 Um grupo do Projeto Fundão (IM-UFRJ) está desenvolvendo uma pesquisa com o objetivo de fornecer ao professor do Ensino Médio um material adequado para o ensino de Matemática Financeira, que torne o aluno apto a resolver problemas do seu cotidiano, como os sugeridos anteriormente. Trata-se de uma abordagem prática e visual para o ensino de Matemática Financeira, que pode ser implementada a partir do Ensino Fundamental, com as seguintes características:
Uso da porcentagem como fator, na notação decimal; Representação da situação no eixo das setas;
Valorização do raciocínio, em vez do uso de fórmulas; Incentivo ao uso da calculadora;
Relação do conteúdo de Matemática Financeira com funções e progressões; Importância à variação do valor do dinheiro no tempo;
Uso da animação do Power-point para mostrar de forma dinâmica a variação do dinheiro no tempo.
Essa abordagem fornece um método prático e visual para resolver problemas reais, que ocorrem no dia a dia de um cidadão, e permite que cada aluno crie sua estratégia de resolução.
A porcentagem como fator
Para calcular o preço de uma mercadoria que sofreu um aumento de 15%, por exemplo, representamos a taxa por i = 0,15 e basta multiplicar o preço original P por 1,15, já que:
P + 15% de P = P + 0,15 P = (1 + 0,15) P = 1,15 P.
No caso de um desconto de 20%, por exemplo, o novo preço é obtido por meio de uma única operação, de multiplicação pelo fator 1 – i = 1 – 0,2 = 0,8.
De modo geral, para calcular o valor após um aumento de uma taxa i (na notação decimal), basta multiplicar o valor original por (1 + i), e no caso de um desconto, multiplica-se por (1 – i).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 6 O uso da porcentagem como fator é também mais adequado ao uso da calculadora na resolução dos problemas, o que é recomendado, inclusive pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Conjugando o eixo das setas com o uso da taxa como fator e o uso da calculadora, é possível estabelecer um método de raciocínio que pode ser aplicado a qualquer problema. Para visualizar a representação no dispositivo que chamamos de “eixo das setas”, voltemos ao problema:
Numa reunião de condomínio, foi aprovado um acréscimo de 10%, em duas parcelas, sendo 5% de imediato, e o restante, 6 meses depois.
Qual deve ser a taxa de aumento da 2ª parcela?
P x 1,05 x (1+i) = 1,1 P 1,05 + 1,05 i = 1,1 1,05 i = 0,05 0,047619 05 , 1 05 , 0 i
Portanto, a taxa de aumento da 2ª parcela é de 4,76%.
O valor do dinheiro
É importante chamar atenção que a variação do dinheiro ao longo do tempo exerce um papel fundamental na Matemática Financeira, já que
todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas no fato do valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de juros que incide sobre os valores aplicados (SÁ, 2005, p. 44).
0 1 2 x 1,1
P 1,05 P 1,1P
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 7 Esse fato também é ressaltado por Lima et al (2000), quando destacam que “no fundo, só há um problema em Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo”. (p. 45)
Para determinar a melhor forma de fazer um pagamento, à vista ou a prazo, a que é mais vantajosa, temos que equiparar os valores numa mesma época. Estas decisões dependem de quanto a pessoa consegue fazer render o dinheiro, que é a “taxa mínima de atratividade”.
Por exemplo, se a caderneta de poupança rende 2% ao mês, a quantia de R$100,00 hoje valerá R$102,00 daqui a um mês, R$104,04 daqui a 2 meses, R$ 106,12 daqui a 3 meses, e assim por diante. Assim, não se pode comparar quantias em datas diferentes, mas apenas aquelas que se referem à mesma época.
Se o valor atual é representado por A e o valor futuro por F, depois de n períodos de aplicação a uma taxa i, temos: F = A (1 + i) n . Assim:
Para obter valor futuro, basta multiplicar o valor atual por (1 + i)n
Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1 + i) n
Exemplo:
Um aparelho de DVD está anunciado em duas opções de pagamento: 3 prestações mensais de R$180,00 cada, ou em 6 prestações mensais de R$100,00, ambos com entrada.
Qual é a opção mais vantajosa, se posso fazer render meu dinheiro a uma taxa de 5% ao mês?
Representando as duas opções de pagamento no eixo das setas:
Para resolver o problema, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época, por exemplo, na época 2.
Na 1ª opção: V = 180 (1+0,05)2 + 180 (1 + 0,05) + 180 = 180 x 1,1025 + 180 x 1,05 + 180 = R$ 567,05. 0 1 2 0 1 2 180 180 180 0 1 2 3 4 5 100 100 100 100 100 100
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 8 Na 2ª opção: 2 2 3 100100100 1001,051001,05100 1,051,051,05 V R$ 587,57.
Portanto, o pagamento em 3 prestações é mais vantajoso.
Exemplo :
Bia pegou um empréstimo de R$ 300,00 a juros mensais de 5%.
Dois meses depois, Bia pagou R$ 150,00 e, um mês após esse pagamento liquidou seu débito.
Qual o valor desse último pagamento?
Este problema, originalmente proposto em Lima et al. (2000), foi adaptado e aplicado por Rosa C. N. de Novaes (2009) em suas turmas do Ensino Médio. Usando o eixo das setas, foram apresentadas diversas soluções distintas. Este é um dos pontos altos desta abordagem: permite uma diversidade de soluções, dependendo da criatividade dos alunos.
Aplicar juros de 5% ao mês significa multiplicar a quantia por 1,05 em cada período de um mês. Esta situação pode ser representada no eixo das setas como, na solução a seguir, apresentada por um aluno.
Esta proposta de abordagem para o ensino de Matemática Financeira tem sido experimentada pelos professores do grupo de pesquisa em suas turmas com ótimos resultados. Outros problemas que propomos são: como calcular o desconto do Imposto de Renda na fonte, a complementação de aposentadoria, o pagamento antecipado de um ano de aluguel, como pedir desconto para desconto à vista.
1 0 300,00 – 2 . (1,05) 2 . (1,05) 3 180,75 330,75 150,00 189,78 x (1,05) (((((1,10) 11,1,1,,,,,, ,1,1111I,1 0(1,10)
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A formação de professores
Esta proposta de abordagem tem sido apresentada em oficinas e mini-cursos a professores e licenciandos de várias instituições públicas e particulares do Estado do Rio de Janeiro. Nessas ocasiões, constatamos que os professores e futuros professores não estão preparados para abordar em suas turmas a Matemática Financeira de modo eficaz, capacitando os alunos a resolver os desafios com que se deparam no campo financeiro (Nasser, 2009). Mas a culpa não é dos professores, pois a quase totalidade dos cursos de licenciatura em Matemática não contém esse tema em sua grade curricular. Por isso, é importante que o ensino de Matemática Financeira seja tema de debates em reuniões e encontros de professores.
É preciso alertar os cidadãos para alguns erros comuns no trato com situações financeiras, como:
- acréscimos ou descontos acumulados devem ser multiplicados e não somados; - pagamentos da mesma quantia em datas distintas não têm o mesmo valor; - quantias que se referem a datas distintas não podem ser somadas;
- só é possível comparar formas diferentes de pagamento se as quantias forem calculadas com referência à mesma data.
- os juros nas compras a prazo devem ser calculados sobre o valor financiado e não sobre o preço total.
O ensino de Matemática Financeira deve esclarecer essas dúvidas, ajudando os alunos a evitar as armadilhas anunciadas na mídia. E isso pode e deve ser feito de modo dinâmico e visual, usando a notação decimal e o eixo das setas. A animação ajuda os alunos a compreender a variação do dinheiro no tempo e facilita o desenvolvimento de estratégias próprias na resolução de problemas.
Referências
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Palestra 10 LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. A Matemática
do Ensino Médio, vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro: SBM,
2000.
NASSER, Lílian: À vista ou a prazo sem juros: qual dessas modalidades de
pagamento é mais vantajosa? Educação Matemática em Revista-RS, SBEM-RS, nº 10 -
v.2, 92-99, 2009.
NOVAES, Rosa C. N.: Uma abordagem visual para o ensino de Matemática
Financeira no Ensino Médio. Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Matemática, UFRJ, 2009.
SÁ, Ilydio P. e SÁ, V. G. P. Duas vezes 100 é igual a 200? Revista do Professor de Matemática, nº 70, Rio de Janeiro: SBM, 2009, p.13-16.
SÁ, I. P. Matemática Comercial e Financeira (na educação básica). Rio de Janeiro, Ed. Sotese, 2005.
ZENTGRAF, R. Dinheiro em Caixa. Coluna publicada às segundas feiras no jornal O Globo, 2009.
