de uma variável em função da outra, por exemplo: Quantas TV Philips são vendidas na região Norte? Quantos homens são fumantes?

(1)

3. Estatística descritiva

bidimensional

(Tabelas , Gráficos) (Tabelas , Gráficos)

• Quantas TV Philips são vendidas na região Norte?

• Quantos homens são fumantes?

Análise bivariada

(ou

bidimensional

): avalia o comportamento

de uma variável em função da outra, por exemplo:

(2)

Estatística bidimensional

Até agora vimos como organizar informações pertinentes a

uma única variável

(ou a um conjunto de dados) –

Estatística univariada.

Mas frequentemente estamos interessados em analisar o comportamento

conjunto

de duas (2) ou mais variáveis

aleatórias.

A tabulação

Os dados aparecem na forma de matriz usualmente:

Indivíduo (elemento) Variáveis individuo X Y A 45 343 B 52 368 C 61 355 D 70 334 E 74 337 F 76 381 ... ... ...

Aqui nos deteremos no caso de apenas 2 variáveis

avaliadas em n unidades amostrais.

(3)

Com o

objetivo

de encontrar as possíveis relações (ou associações) entre as

DUAS variáveis, podemos ter as seguintes situações:

a)

Uma

variável é

qualitativa

e a

uma quantitativa

.

b) As

duas

variáveis são

quantitativas.

c) As

duas

variáveis são

qualitativas.

As técnicas de

análise de dados

são diferentes

.

(4)

a)

Uma

variável

qualitativa

e

uma

variável

quantitativa

4

variável

quantitativa

Nesta situação

analisa-se

o que acontece com a variável

quantitativa

dentro de cada nível

da variável qualitativa.

(5)

Tabela 1: Medidas-resumo para a variável salário (Y), segundo o grau de instrução (X), na companhia MB.

Exemplo

Y X n x s s2 _x (1) Q1 Q2 Q3 x(n) Fundamental 12 7,84 2,79 7,77 4,00 6,01 7,13 9,16 13,65 Médio 18 11,54 3,62 13,10 5,73 8,84 10,91 14,48 19,40 Superior 6 16,48 4,11 16,89 10,53 13,65 16,54 18,38 23,30 Todos 36 11,12 4,52 20,46 4,00 7,55 10,17 14,06 23,30 O Salário aumenta conforme aumenta o nível de educação do indivíduo. Todos 36 11,12 4,52 20,46 4,00 7,55 10,17 14,06 23,30

(6)

b)

Duas

variáveis

qualitativas

b)

(7)

Tabelas

Os dados podem ser resumidos em

tabelas de dupla entrada

b)

Duas

variáveis

qualitativas

Os dados podem ser resumidos em

tabelas de dupla entrada

(

contingência, dupla classificação

, ou

tabulação cruzada

), onde

aparecerão as frequências absolutas ou contagens de indivíduos que

pertencem simultaneamente a categorias de uma e outra variável.

Em outras palavras: Consiste em fazer o cruzamento entre duas variáveis qualitativas, registrando as ocorrências que

(8)

X Y

Y₁ Y₂ ... Y_q Total

X₁

n

₁₁

n

₁₂

...

n

_1q

n

_1.

X₂

n

₂₁

n

₂₂

...

n

_2q

n

_2.

X

_n

_...

_n

Cada elemento n_kqdo corpo da tabela informa a frequência observada das realizações simultâneas da i-ésima categoria da variável

X e da j-ésima categoria de Y

Tabela de contingência

(Representação geral)

A distribuição conjunta das frequências será um instrumento poderoso para a compreensão do comportamento dos dados. X₃

_n

₃₁

_n

₃₂

_...

_n

_3q

_n

_3. ...

_...

X_k

_n

_k1

_n

_k2

_...

_n

_kq

_n

_k. Total

_n

.1

n

.2

...

n

.q

n

Distribuição conjunta de X e Y

A linha dos totais fornece a

distribuição marginal da

variável Y

A coluna dos totais fornece

a distribuição marginal da

(9)

Região (X)\Marca (Y) Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total Centro 25 146 52 82 60 365 Sul 42 79 65 218 52 456 Leste 48 183 91 142 72 536 Norte 24 148 34 43 53 302 Sudeste 76 218 159 269 119 841 Total 215 774 401 745 356 2500

Exemplo:

Como os totais marginais são diferentes, torna-se difícil fazer alguma interpretação sobre a

associação. Para facilitar, podemos utilizar as frequências relativas, em porcentagem.

O conhecimento de uma variável ajuda a entender uma outra variável?

Teoricamente:

Explorar relações (similaridade) entre as colunas e as linhas.

(10)

Região\Marca Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total Centro 25 146 52 82 60 365 Sul 42 79 65 218 52 456 Leste 48 183 91 142 72 536 Norte 24 148 34 43 53 302 Sudeste 76 218 159 269 119 841 Total 215 774 401 745 356 2500

Como calcular a frequência relativa?

Trabalhando com as proporções (ou frequências relativas), aqui temos 3 possibilidade de expressarmos a porcentagem de cada casela (ou célula):

 Em relação ao

total geral

;

 Em relação ao

total de cada linha

;

 Em relação ao

total de cada coluna

.

De acordo com o objetivo do problema

em estudo, uma delas será a mais

(11)

X \ Y Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total Centro 25 146 52 82 60 365 Sul 42 79 65 218 52 456 Leste 48 183 91 142 72 536 Norte 24 148 34 43 53 302 Sudeste 76 218 159 269 119 841 Total 215 774 401 745 356 2500

Perfil geral

Tabela 1: Distribuição conjunta das frequências das variáveis Região (X) e Marca (Y)

X \ Y Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total

Centro 1,00 5,84 2,08 3,28 2,40 14,60 Sul 1,68 3,16 2,60 8,72 2,08 18,24 Leste 1,92 7,32 3,64 5,68 2,88 21,44 Norte 0,96 5,92 1,36 1,72 2,12 12,08 Sudeste 3,04 8,72 6,36 10,76 4,76 33,64 Total 8,6 30,96 16,04 30,16 14,24 100

Tabela 2: Distribuição conjunta das proporções (em %) em relação ao total geral das variáveis X e Y.

Note que os totais marginais ainda estão diferentes, tornando-se difícil fazer alguma interpretação sobre a associação.

(12)

Iremos entender

a existência de associação

como uma

mudança de

opinião

sobre o comportamento de uma variável na presença ou não

de informação sobre a segunda variável.

Exemplo:

• Existe a relação entre altura de pessoas e o sexo em uma dada comunidade?

 Se as respostas forem iguais  não há associação entre as variáveis

(Valores esperados iguais aos valores observados) altura e sexo;

 Se as respostas forem diferentes  provável associação.

(13)

Perfil linha

X \ Y Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total X

Centro 25 146 52 82 60 365 Sul 42 79 65 218 52 456 Leste 48 183 91 142 72 536 Norte 24 148 34 43 53 302 Sudeste 76 218 159 269 119 841 Total 215 774 401 745 356 2500

Porcentagens (ou frequência)

observadas

Porcentagens (ou frequência)

Região\Marca Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total

Centro 6,85 40,00 14,25 22,46 16,44 100 Sul 9,21 17,33 14,25 47,81 11,40 100 Leste 8,96 34,14 16,98 26,49 13,43 100 Norte 7,95 49,01 11,26 14,24 17,54 100 Sudeste 9,04 25,92 18,91 31,98 14,15 100 Total 8,60 30,96 16,04 29,80 14,24 100 Total 215 774 401 745 356 2500

Tabela 3: Distribuição conjunta das proporções (em %) em relação aos totais de cada linha das variáveis X e Y.

Note que parece haver alguma associação, pois as frequências esperadasnão são iguais as observadas!!! (ou frequência) esperadas 13

(14)

Perfil coluna

Região\Marca Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total

Centro 25 146 52 82 60 365 Sul 42 79 65 218 52 456 Leste 48 183 91 142 72 536 Norte 24 148 34 43 53 302 Sudeste 76 218 159 269 119 841 Total Y 215 774 401 745 356 2500

Porcentagens (ou frequência) observadas Porcentagens (ou frequência) Total Y 215 774 401 745 356 2500 Região\Marca Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba Total

Centro 11,63 18,86 12,97 10,88 16,85 14,60

Sul 19,53 10,21 16,21 28,91 14,61 18,24

Leste 22,33 23,64 22,69 18,83 20,22 21,44

Norte 11,16 19,12 8,48 5,70 14,89 12,08

Sudeste 35,35 28,17 39,65 35,68 33,43 33,64

Tabela 4: Distribuição conjunta das proporções (em %) em relação aos totais de cada coluna das variáveis X e Y.

Note que parece haver alguma associação, pois as frequências esperadasnão são iguais as observadas!!! (ou frequência) esperadas

(15)

Gráficos

b)

Duas

variáveis

qualitativas

Os dados podem ser resumidos em

gráficos

indicados para variáveis

qualitativas, contudo

separados por categorias de uma e de outra

(16)

a) Gráfico de pizza

Gráfico de pizza

a

a.1) Marcas por região

.1) Marcas por região

Gradiente 9% Panasonic 17% Philips 14% Samsung 48% Toshiba 12% Sul Gradiente 8% Panasonic 49% Philips 11% Samsung 14% Toshiba 18% Norte Gradiente 9% Panasonic 26% Philips 19% Samsung 32% Toshiba 14% Sudeste

...

a

a.2)

.2) Região por Marcas

Região por Marcas

a

a.2)

.2) Região por Marcas

Região por Marcas

Centro ; 18,86 Sul ; 10,21 Leste ; 23,64 Norte ; 19,12 Sudeste ; 28,17 Panasonic

...

Centro ; 16,85 Sul ; 14,61 Leste ; 20,22 Norte ; 14,89 Sudeste ; 33,43 Toshiba Centro ; 12,97 Sul ; 16,21 Leste ; 22,69 Norte ; Sudeste ; 39,65 Philips

(17)

b

b) Gráfico de barras múltiplo

Gráfico de barras múltiplo

150 200 250 300

Marcas por Região

Centro Sul Leste 0 50 100 150

Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba

Leste Norte Sudeste

Para efetuar uma análise comparativa de várias distribuições, podemos construir um gráfico de barras múltiplo.

(18)

60% 70% 80% 90% 100%

Marcas por Região

Sudeste Norte 0% 10% 20% 30% 40% 50%

Gradiente Panasonic Philips Samsung Toshiba

Norte Leste Sul Centro

(19)

Com as facilidades de uso de programas computacionais, esse mesmo gráfico, gráfico de barras múltiplo, pode ter representação tridimensional:

(20)

cc)

)

Duas

variáveis

quantitativas

(21)

Tabelas

cc)

)

Duas

variáveis

quantitativas

De modo análogo,

a distribuição conjunta

pode ser

resumida em

De modo análogo,

a distribuição conjunta

pode ser

resumida em

tabelas de dupla entrada

e, por meio das distribuições marginais, é

possível estudar a associação das variáveis.

Contudo, para evitar um grande número de entradas, agrupamos os dados marginais em intervalos de classes, de modo

(22)

c)

Duas

variáveis

quantitativas

Gráficos

Um dispositivo bastante útil para se

verificar a associação

entre duas variáveis quantitativas

, ou entre dois conjuntos de

(23)

Tabela 1: Número de anos de serviço (X) por número de clientes (Y) de agentes de uma companhia de seguros.

65 70 N úm ero de cl ient es

Exemplo

Exemplo 1

Deseja-se verificar se existe relação entre o número de clientes e o tempo de

serviço de agentes de uma companhia de seguros.

agente X Y A 8 58 B 4 56 C 2 48 D 10 72 2 4 6 8 10 45 50 55 60 Anos de serviço N úm ero de cl ient es

Parece haver uma associação entre as variáveis, porque no conjunto, à

medida que aumenta o tempo de serviço, aumenta o número de clientes

D 10 72 E 5 52 F 3 50 G 7 62 H 4 43 I 8 64 J 6 60

(24)

360

370

38

0

Tabela 2: Resultado de um teste (X) e tempo de operação de máquina (Y) para oito indivíduos.

Exemplo 2

Oito indivíduos foram submetidos a um teste sobre conhecimento de língua

estrangeira e, em seguida, mediu-se o tempo gasto para cada um aprender a

operar uma determinada máquina.

indivíduo X Y A 80 345 B 74 337 50 60 70 80 90 34 0 350 360 Resultado do teste Te m po

Parece não haver uma associação entre as duas variáveis, pois conhecer o resultado do

teste não ajuda a prever o tempo gasto para

B 74 337 C 61 355 D 90 375 E 45 343 F 76 381 G 52 368 H 70 334

(25)

Tabela 3: Renda bruta mensal (X) e % da renda gasta em saúde (Y) para um conjunto de famílias. 7 .0 % gas ta em saúde

Exemplo 3

Numa pesquisa feita com 10 famílias com renda bruta mensal entre 10 e 60

salários mínimos, mediram-se a renda bruta mensal (expressa em n. de salários

mínimos) e a % da renda bruta anual gasta com assistência médica.

família X Y A 48 5,6 B 12 7,2 20 30 40 50 5. 5 6. 0 6. 5

Renda mensal bruta

%

gas

ta

em

saúde

Parece haver uma associação “inversa”, isto é, aumentando a renda bruta, diminui a

% sobre ela gasta em assistência médica. 25

B 12 7,2 C 28 6,6 D 16 7,4 E 50 6 F 18 7 G 40 6 H 54 5,5 I 30 6,7 J 20 6,5

(26)