Exercícios de Cálculo Numérico Equações Diferenciais Ordinárias

(1)

Exerc´ıcios de C´alculo Num´erico

Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias

1. Determine a solu¸cão numérica aproximada da seguinte Equa¸cão Diferencial

Ordin´aria, com o passo h = 0.2:

(

y

0

_{(x) + 2y(x) = 0}

_{∀x ∈ [0, 1]}

y(0) = 1

(a) M´etodo de Euler ( M´etodo das Tangentes)

(b) M´etodo de Euler Aperfei¸coado

(c) M´etodo de Runge-Kutta de 4

◦

_ordem.

(d) Método de Predi¸cão-Corre¸cão de 4

◦

_ordem.

(e) Sabendo-se que a solu¸cão exata da equa¸cão é y(x) = e

−2x

_{, compare com}

as solu¸c˜oes aproximadas obtidas nos items anteriores.

2. Considere a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, dada por:

(

xy

0

_{(x) − x}

2

_{y(x) − 2 = 0}

_{∀x ∈ [1, 2]}

y(1) = 3

Fazendo h = 0.1, determine a solu¸c˜ao aproximada no ponto x = 1.5, usando o

m´etodo de Euler Aperfei¸coado.

3. Determine a solu¸cão numérica aproximada da seguinte Equa¸cão Diferencial

Ordin´aria, de segunda ordem, com o passo h = 0.2:

  

y

00

_{(x) + y(x) = 0}

_{∀x ∈ [0, 1]}

y(0) = 0 e y

0

_{(0) =}

1 π

(a) M´etodo de Euler ( M´etodo das Tangentes)

(b) M´etodo de Euler Aperfei¸coado

(c) Sabendo-se que a solu¸cão exata da equa¸cão é y(x) = (1/π

2

_{) sen(πx),}

compare com as solu¸c˜oes aproximadas obtidas nos items anteriores.

4. Um corpo com massa inicial de 200Kg est´a em movimento sob a a¸c˜ao de uma

for¸ca constante de 2000N. Sabendo-se que esse corpo est´a perdendo 1Kg de

sua massa por segundo e considerando que a resistˆencia do ar ´e o dobro de sua

velocidade e que o corpo est´a em repouso no instante t = 0, ent˜ao a EDO que

descreve a varia¸c˜ao de sua velocidade ´e dada por

    

v

0

_{(t) =}

2000 − 2v(t)

200 − t

∀t > 0

v(0) = 0

Determine a velocidade do corpo v(t) no instante t = 5 segundos com intervalos

de 0.5 segundos, usando:

(2)

(a) M´etodo de Euler Aperfei¸coado

(b) M´etodo de Runge-Kutta de 4

◦

_ordem.

(c) Método de Predi¸cão-Corre¸cão de 4

◦

_ordem.

(d) Sabendo-se que a solu¸cão exata da equa¸cão é v(t) = 10 t −

1

40 t

2

_{, compare}

com a solu¸c˜ao aproximada obtida nos items anteriores.

5. Na teoria da propaga¸c˜ao de doen¸cas contagiosas, podemos utilizar uma equa¸c˜ao

diferencial para predizer o n´umero de indiv´ıduos da popula¸c˜ao infectado em

um dado tempo, supondo algumas simplifica¸c˜oes adequadas. Em particular,

suponha que todos os indiv´ıduos de uma popula¸c˜ao fixa tenham a mesma

prob-abilidade de se infectar e que, uma vez infectado, permane¸cam neste estado.

Vamos denotar por x(t) o n´umero de indiv´ıduos vulner´aveis no tempo t e com

y(t) o n´umero de infectados. Podemos supor, que a taxa na qual o n´umero

de infectados muda seja proporcional ao produto de x(t) e y(t), j´a que a taxa

depende do n´umero de indiv´ıduos infectados e do n´umero de indiv´ıduos

vul-neráveis que existem nesse tempo. Se a popula¸cão é suficientemente numerosa

para supormos que x(t) e y(t) sejam vari´aveis cont´ınuas, podemos expressar o

problema como:

y

0

_{(t) = k x(t) y(t)}

onde k é uma constante e x(t) + y(t) = m é a popula¸cão total. Podemos

reescrever essa equa¸c˜ao, para que contenha apenas y(t), na forma,

y

0

(t) = k (m − y(t)) y(t)

”Equa¸c˜ao de Bernoulli”

Supondo que m = 100.000, y(0) = 1000, k = 2 × 10

−6

_{e que o tempo seja}

medido em dias, encontre uma aproxima¸c˜ao para o n´umero de infectados ao

final de 30 dias.

(a) M´etodo de Runge-Kutta de 4

◦

_ordem.

(b) Método de Predi¸cão-Corre¸cão de 4

◦

_ordem.

6. Problema Presa-Predador (Lotka & Volterra) Considere o problema de

predi¸cão da popula¸cão de duas espécies, sendo uma delas a presa e a outra

predadora, cuja popula¸c˜ao no tempo t ´e dado por x(t) e y(t). Suponha que a

presa sempre disponha de comida suficiente e que sua taxa da natalidade seja

proporcional `a quantidade de presas vivas nesse tempo, ou seja, a taxa de

na-talidade ´e c

1

x(t). A taxa de mortalidade da presa depende do n´umero de presas

e de predadores vivos nesse tempo, que podemos supor, na forma c

2

x(t)y(t).

Por outro lado, a taxa de natalidade do predador depende de sua

disponibil-idade de comida x(t) e, tamb´em, do n´umero de predadores dispon´ıveis para

processo de reprodu¸c˜ao. Por tal raz˜ao, suponha que a taxa de natalidade dos

predadores seja c

3

x(t)y(t). Suponha que sua taxa de mortalidade seja

pro-porcional `a quantidade de predadores vivos no tempo, ou seja, que a taxa de

mortalidade dos predadores seja c

4

y(t). Dado que x

0

(t) e y

0

(t) representam,

a altera¸c˜ao nas popula¸c˜oes de presas e predadores no tempo, o problema se

(3)

expressa por meio do sistema acoplado de equa¸c˜oes diferenciais n˜ao lineares:

    

x

0

_{(t) = c}

1

x(t) − c

2

x(t)y(t)

y

0

_{(t) = c}

3

x(t)y(t) − c

4

y(t)

x(0) = x

0

,

y(0) = y

0

(1)

Resolva esse sistema para 0 ≤ t ≤ 4, usando o m´etodo de Runge-Kutta

de 4

◦

_{ordem, supondo que x}

0

= 1000, y

0

= 500, c

1

= 3, c

2

= 0.002,

c

3

= 0.0006, c

4

= 0.5. Fa¸ca o gr´afico das solu¸c˜oes encontradas,

regis-trando ambas as popula¸cões em fun¸cão do tempo, e descreva os fenômenos

f´ısicos encontrados.Sugest˜

ao O sistema pode ser resolvido simultaneamente

ou determina-se primeiro o n´umero de presas x(t

1

) em (1)

1

, depois y(t

1

) em

(1)2, usando x(t1). Calculado y(t1) determine x(t2

) em (1)1

usando y(t1) e

assim sucessivamente.

(4)

Gabarito da Lista de Equações Diferenciais Ordinárias

Exercício 1:

(a) Método de Euler (Método das Tangentes)

     = = = − = ⇒ − = ′ ⇒ = + ′ 1 0 2 2 0 2 0 y y y x f y dx dy x y x y x y x y ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( Dados do Problema: y0 = 1, h = 0.2, x ∈ [0,1]

Este método consiste em aplicar a seguinte fórmula iterativa: 0 n , y x hf y y_n₊1= _n + ( _n, _n) ≥ Então: (1) 0.6 0.4 1 2) 0.2( 1 y ) y , hf(x y y 2 2(1) 2y ) y , f(x , 1 y , 0 x 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 = − = − + = ⇒ + = ⇒ − = − = − = = = (2) 0.36 0.24 -0.6 1.2) 0.2( 0.6 y ) y , hf(x y y 1.2 2(0.6) 2y ) y , f(x , 0.6 y , 0.2 x 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 = = − + = ⇒ + = ⇒ − = − = − = = = (3) 0.216 0.144 -0.36 0.2(-0.72) 0.36 y ) y , hf(x y y 0.72 2(0.36) 2y ) y , f(x 0.36, y , 0.4 x 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 = = + = ⇒ + = ⇒ − = − = − = = = (4) 0.1296 ) 0.2(-0.432 0.216 y ) y , hf(x y y 0.432 2(0.216) 2y ) y , f(x , 0.216 y , 0.6 x 4 3 3 3 4 3 3 3 3 3 = + = ⇒ + = ⇒ − = − = − = = = (5) 0.07776 2) 0.2(-0.259 0.1296 y ) y , hf(x y y 0.2592 2(0.1296) 2y ) y , f(x , 0.1296 y , 0.8 x 5 4 4 5 4 4 4 4 4 = + = ⇒ + = ⇒ − = − = − = = = 4 (6) x5 = 1.0 , y5 = 0.07776 (Método de Euler)

(b) Método de Euler Aperfeiçoado (ou Runge-Kutta de 2a_Ordem): Este método consiste em aplicar as seguintes fórmulas iterativas:

) ( ) , ( ) , ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 k k h y y u x f k (Preditor) hk y u y x f k n n n n n n n n + + = = + = = + + + +

(5)

Assim, temos: (1) (Corretor) 0.68 0.32 1 1.2) 2 0.1( 1 ) k (k 2 h y y 1.2 2u ) u , f(x k (Preditor) 0.6 2) 0.2( 1 hk y u 2 2y ) y , f(x k 1 y , 0 x 2 1 0 1 1 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 = − = − − + = + + = − = − = = = − + = + = − = − = = ⇒ = = (2) (Corretor) 0.4624 0.816) -0.1(-1.36 0.68 ) k (k 2 h y y 0.816 2u ) u , f(x k (Preditor) 0.408 1.36) 0.2( 0.68 hk y u 1.36 2y ) y , f(x k 0.68 y , 0.2 x 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = + = + + = − = − = = = − + = + = − = − = = ⇒ = = (3) (Corretor) 0.314432 0.55488) -0.9248 0.1( 0.4624 ) k (k 2 h y y 0.55488 2u ) u , f(x k (Preditor) 0.27744 0.9248) 0.2( 0.4624 hk y u 0.9248 2y ) y , f(x k 0.4624 y , 0.4 x 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 = − + = + + = − = − = = = − + = + = − = − = = ⇒ = = (4) (Corretor) 0.21381376 0.3773184) -0.628864 0.1( 0.314432 ) k (k 2 h y y -0.3773184 2) 2(0.188659 2u ) u , f(x k (Preditor) 0.1886592 864) 0.2(-0.628 0.314432 hk y u -0.628864 2y ) y , f(x k 0.314432 y , 0.6 x 2 1 3 4 4 4 4 2 1 3 4 3 3 3 1 3 3 = − + = + + = = − = − = = = + = + = = − = = ⇒ = = (5) (Corretor) 6 0.14539335 204032) 0.1(-0.684 0.21381376 ) k (k 2 h y y 2 0.25657651 2u ) u , f(x k (Preditor) 6 0.12828825 ) 0.42762752 0.2( 0.21381376 hk y u 0.42762752 2y ) y , f(x k 0.21381376 y , 0.8 x 2 1 4 5 5 5 5 2 1 4 5 4 4 4 1 4 4 = + = + + = − = − = = = − + = + = − = − = = ⇒ = = (6) do) Aperfeiçoa (Euler 6 0.14539335 y , 1.0 x₅ = ₅ =

(6)

(c) Método de Runge-Kutta (ou Runge-Kutta de 4a_Ordem):

Suponha que queremos calcular as aproximações y1, y2, ... , yn para os valores verdadeiros y(x1), y(x2), ... , y(xn) e agora queremos calcular yn+1 ≈ y(xn+1).

Então,

∫

+ + − = ′ = ′ + x h x x x n n n n n n dx x y dx x y x y x y( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

pelo teorema fundamental do cálculo. Assim, a Regra de Simpson para integração numérica fornece:       ′ +       + ′ +       + ′ + ′ =       ′ +       + ′ + ′ ≈ − ₊ ₊ + y(x ) 2 h x y 2 2 h x y 2 ) (x y 6 h ) (x y 2 h x y 4 ) (x y 6 h ) y(x ) y(x_n ₁ _n _n _n _n ₁ _n _n _n _n ₁ ) k k 2 k 2 (k 6 h y y : fórmula a é resultado o feitas, são ões substituiç estas Quando ) hk y , f(x k k 2 h y , 2 h x f k k 2 h y , 2 h x f k ) y , f(x k : de s inclinaçõe as chamaremos ), y , f(x y ) (x y usando forma, Dessa 4 3 2 1 n 1 n 3 n 1 n 4 2 n n 3 1 n n 2 n n 1 n n n n + + + + = + =       + + =       + + = = = ′ ≈ ′       + ′ + + método. o para diferentes s inclinaçõe serão porque 2 h x y 4 termo o termos de soma em separamos que Repare _n

Então, para este exercício, faremos: (1) -1.328 -2(0.664) 0.664) f(0.2, ) hk y , f(x k -1.68 -2(0.84) 0.84) f(0.1, k 2 h y , 2 h x f k -1.6 -2(0.8) 0.8) f(0.1, k 2 h y , 2 h x f k 2 2y ) y , f(x k 1 y , 0 x 3 0 1 4 2 0 0 3 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 = = = + = = = =       + + = = = =       + + = − = − = = ⇒ = =

(7)

0.6704 1.328) 3.36 3.2 2 ( 6 0.2 1 ) k 2k 2k (k 6 h y y₁= ₀ + ₁+ ₂ + ₃ + ₄ = + − − − − = (2) 0.44943616 ) k 2k 2k (k 6 h y y -0.8902912 56) -2(0.44514 0.4451456) f(0.4, ) hk y , f(x k 1.126272 0.2k -2y k 2 h y , 2 h x f k 1.07264 0.2k 2y k 2 h y , 2 h x f k -1.3408 2(0.6704) 2y ) y , f(x k 0.6704 y , 0.2 x 4 3 2 1 1 2 3 1 2 4 2 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + = = = = + = − = − =       + + = − = − − =       + + = = − = − = = ⇒ = = (3) 1 0.30130200 ) k 2k 2k (k 6 h y y 2 -0.5968512 ) hk y , f(x k 8 0.75505274 k 2 h y , 2 h x f k 6 0.71909785 k 2 h y , 2 h x f k 2 -0.8988723 16) 2(0.449436 2y ) y , f(x k 0.44943616 y , 0.4 x 4 3 2 1 2 3 3 2 3 4 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 = + + + + = = + = − =       + + = − =       + + = = − = − = = ⇒ = = (4) 9 0.19170841 ) k 2k 2k (k 6 h y y 45 -0.3229957 ) hk y , f(x k 2 0.69902064 k 2 h y , 2 h x f k 1 0.48208320 k 2 h y , 2 h x f k 02 -0.6026040 001) 2(0.301302 2y ) y , f(x k 1 0.30130200 y , 0.6 x 4 3 2 1 3 4 3 3 4 4 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 1 3 3 = + + + + = = + = − =       + + = − =       + + = = − = − = = ⇒ = = (5) 1 0.30673347 k 2 h y , 2 h x f k 39 -0.3834168 419) 2(0.191708 2y ) y , f(x k 9 0.19170841 y , 0.8 x 1 4 4 2 4 4 4 1 4 4 − =       + + = = − = − = = ⇒ = =

(8)

4 0.12852132 ) k 2k 2k (k 6 h y y 81 -0.2545887 ) hk y , f(x k 4 0.32207014 k 2 h y , 2 h x f k 4 3 2 1 4 5 3 4 5 4 2 4 4 3 = + + + + = = + = − =       + + = (6) x₅ =1.0 , y₅ =0.128521324 (RK4)

(d) Método da Predição-Correção de 4a_{Ordem (Métodos de Adams):}

(1) Adams-Bashforth (Preditor): ) y , f(x f notação a usando , ) 9f 37f 59f (55f 24 h y u_n₊₁ = _n + _n − _n₋₁+ _n₋₂ − _n₋₃ _n = _n _n (2) Adams-Moulton (Corretor): ) , ( ) ( * 1 1 2 1 1 1 9 19 5 24 + − − + + + + = n + n + n − n + n n* 1 = n n n f f f f , onde f f x u h y y

Primeiro, devemos calcular y1 , y2 e y3 por Runge-Kutta de 4a Ordem(RK-4). Depois, para calcular de y4 em diante, usamos o Preditor e o Corretor de Adams acima.

Então, agora vamos resolver o exercício com esse método: (1)

Pela letra (c), temos y1 = 0.6704, y2 = 0.44943616 e y3 = 0.301302001

Com as identificações x0 = 0 , x1 = 0.2 , x2 = 0.4 , x3 = 0.6 e f(x,y) = -2y, obtemos:

2 0.60260400 ) y , f(x f ; 0.89887232 ) y , f(x f ; 1.3408 ) y , f(x f ; 2 ) y , f(x f 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 − = = − = = − = = − = =

Com os valores acima, o Preditor (1) nos fornece então:

4 0.20364072 323) (-11.71935 24 0.2 1 0.30130200 ) 9f 37f 59f (55f 24 h y u₄ = ₃ + ₃ − ₂ + ₁− ₀ = + =

Para utilizar o corretor, precisamos primeiro de:

8 0.40728144 2u ) u , f(x f₄* = ₄ ₄ =− ₄ =− Assim, temos: 2 0.20162327 7) 11.9614474 ( 24 0.2 1 0.30130200 ) f 5f 19f (9f 24 0.2 y y₄ = ₃ + ₄* + ₃ − ₂ + ₁ = + − =

(9)

(2)

Ainda temos que calcular y5. Vamos repetir o processo: Preditor: 0.13464061 362) (-8.037919 24 0.2 2 0.20162327 ) 9f 37f 59f (55f 24 h y u₅ = ₄ + ₄* − ₃ + ₂ − ₁ = + = Corretor: 1 0.26928122 2u ) u , f(x f onde , ) f 5f 19f (9f 24 0.2 y y₅ = ₄ + ₅* + ₄* − ₃ + ₂ ₅* = ₅ ₅ = − ₅ =−

Assim, temos finalmente:

8 0.13455884 1) 8.04773081 ( 24 0.2 2 0.20162327 y₅ = + − =

Portanto, x₅ =1.0 , y₅ =0.134558848 (Predição−CorreçãodeQuartaOrdem)

(e) y(1)=e−2 =0.135335283

Portanto, o Método de Predição-Correção de 4a_{Ordem se aproximou mais do} resultado, mostrando que os algoritmos de ordem superior são mais precisos.

Exercício 2:

{ f(x,y) x 2 xy dx dy x 2 xy(x) (x) y 0 x 2 xy(x) (x) y 0 2 y(x) x (x) y x x 2 = + = ⇒ + = ′ ⇒ = − − ′ ⇒ = − − ′ ÷

Usar Euler Aperfeiçoado para:

0.1 h 1, x 3, y x 2 xy y) f(x, dx dy 0 0 = = = + = = até x5 = 1.5.

Exercício 3:

Obs.: Toda vez que tivermos um exercício sobre Equação

Diferencial de Segunda Ordem, devemos transformá-la

em um sistema de Equações de Primeira Ordem, fazendo

a substituição y’ = z (aqui usei z, mas poderia ser

qualquer outra variável arbitrária).

(10)

    = = = ′ = = = ′ ′ = − = = ′′ ⇒ = + ⇒ = + ′′ π 1 z , -y z) y, g(x, z 0 y , z z) y, f(x, y : ões substituiç seguintes as fazer Vou ) y y, f(x, y dx y d y 0 y dx y d 0 y(x) (x) y 0 0 2 2 2 2

(a) Usando Método de Euler, temos que resolver o sistema:

   − = + = + = + = + + n n n n n n n n n n n n n n hy z z y x hg z z hz y z y x hf y y ) , , ( ) , , ( 1 1 Assim, temos: (1) 6 0.31830988 π 1 0.2y -z z 7 0.06366197 π 1 0.2 0 0.2z y y 0 x , π 1 z 0, y 0 0 1 0 0 1 0 0 0 = = = =       + = + = ⇒ = = = (2) 0.30557749 0.2y z z 4 0.12732395 0.2z y y 0.2 x 6, 0.31830988 z 7, 0.06366197 y 1 1 2 1 1 2 1 1 1 = − = = + = ⇒ = = = (3) 9 0.28011269 0.2y z z 2 0.18843945 0.2z y y 0.4 x , 0.30557749 z 4, 0.12732395 y 2 2 3 2 2 3 2 2 2 = − = = + = ⇒ = = = (4) 8 0.24242480 0.2y z z 1 0.24446199 0.2z y y 0.6 x 9, 0.28011269 z 2, 0.18843945 y 3 3 4 3 3 4 3 3 3 = − = = + = ⇒ = = = (5) 9 0.19353240 0.2y z z 2 0.29294695 0.2z y y 0.8 x 8, 0.24242480 z 1, 0.24446199 y 4 4 5 4 4 5 4 4 4 = − = = + = ⇒ = = =

(11)

Em outras palavras, 9 0.19353240 (1,0) y 2 0.29294695 y(1.0) ≈ ′ ≈ (Euler)

(b) Usando o Método de Euler Aperfeiçoado: Usando o mesmo sistema encontrado no item (a):

    = = = ′ = = = ′ π 1 z , -y z) y, g(x, z 0 y , z z) y, f(x, y 0 0

Temos para o Método de Euler Aperfeiçoado as seguintes fórmulas iterativas: Preditores:    − = + = + = + = + + n n n n n n n n n n n n n 1 n hy z z y x hg z v hz y z y x hf y u ) , , ( ) , , ( 1 Corretores:

[

]

[

]

[

]

[

]

      + − = + + = + + = + + = + + + + + + + + + + 1 n n n 1 n 1 n 1 n n n n n 1 n 1 n n n 1 n 1 n 1 n n n n n 1 n u y 2 h z ) v , u , g(x ) z , y , g(x 2 h z z v z 2 h y ) v , u , f(x ) z , y , f(x 2 h y y (1)

[

]

[

y u

]

0.311943688 2 h z z 7 0.06366197 v z 2 h y y 6 0.31830988 hy z v 7 0.06366197 hz y u 0.2 h , π 1 z , 0 y 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = + − = = + + = = − = = + = = = =

Agora, vocês terão que repetir esse processo até

encontrar y

5

e z

5

.

(12)

Exercício 4:

Neste exercício, aplique os métodos para:

0.5 h , 0 t , 0 v t) f(v, t 200 2v 2000 dt dv 0 0 = = = = − − =

Exercício 5:

Após as devidas substituições, aplique os métodos para:

0 t 1000, y 0.000002y 0.2y dt dy 0 0 2 = = − =

OBS.: Aqui, não foi fornecido o valor de h. Usei h = 0.5.

Exercício 6:

Obs.: O enunciado não disse o valor de h. Aqui, fiz com h=0.5.

   = = − = ′ = = = ′ 500 y , y) x, g(t, 0.5y 0.0006xy y 1000 x , y) x, f(t, 0.002xy -3x x 0 0

As fórmulas iterativas de Runge-Kutta para o passo de (xn,yn) à aproximação seguinte (xn+1,yn+1) ≈ (x(tn+1), y(tn+1)) são: ) G 2G 2G (G 6 h y y ) F 2F 2F (F 6 h x x 4 3 2 1 n 1 n 4 3 2 1 n 1 n + + + + = + + + + = + + onde:

(

3 3

)

4 2 2 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 hG y hF x h t f F G h y F h x h t f F G h y F h x h t f F y x t f F n n n n n n n n n n n n + + + =       + + + =       + + + = = , , , , , , ) , , (

(13)

Analogamente fazemos isso para G1,G2,G3,G4. (1) 786.00018 665.56525) 470.43592 430 (150 6 1 500 ) G 2G 2G (G 6 h y y 4155.3865 4640.0221) 6517.297 5775 (2000 6 1 1000 ) F 2F 2F (F 6 h x x Então, 665.56525 308.8199 974.38515 98) 0.5(617.63 7.6398) 9.3242)(61 0.0006(262 6398) .3242,617. g(0.5,2629 G 4640.0221 3247.9505 7887.9726 .6398) .3242)(617 0.002(2629 2) 3(2629.324 6398) .3242,617. f(0.5,2629 F 235.21796 276.875 512.09296 ) 0.5(553.75 .75) 1.875)(553 0.0006(172 75) 1.875,553. g(0.25,172 G 3258.6485 1906.9765 5165.625 75) .875)(553. 0.002(1721 ) 3(1721.875 75) 1.875,553. f(0.25,172 F 215 268.75 483.75 0.5(537.5) 0)(537.5) 0.0006(150 0,537.5) g(0.25,150 G 2887.5 1612.5 4500 )(537.5) 0.002(1500 3(1500) 0,537.5) f(0.25,150 F 150 250 300 0.5(500) 0)(500) 0.0006(100 00) g(0,1000,5 G 2000 1000 3000 )(500) 0.002(1000 3(1000) 00) f(0,1000,5 F 500 y 1000, x , 0 t 4 3 2 1 0 1 4 3 2 1 0 1 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 = + + + + = + + + + = = + + + + = + + + + = = = − = − = = = = − = − = = = = − = − = = = = − = − = = = − = − = = = − = − = = = − = − = = = − = − = = = = =

Agora, é com vocês!

Façam até t

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