Parte II - Amostragem

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Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC

Departamento de Ciˆ

encias Exatas e Tecnol´

ogicas

Professora: Camila M. L. Nagamine

Curso: Licenciatura Biologia- EaD

Disciplina: Bioestat´ıstica

Parte II - Amostragem

1 Introdu¸

c˜

ao

Até o presente momento, nós aprendemos a descrever uma amostra através das medidas de tendência central e de dispersão, que são parte da chamada ”estat´ıstica descritiva”.

Com a utiliza¸cão da ”inferência estat´ıstica”, desejamos inferir indutivamente propriedades de uma popula¸cão (ou universo) com base nos resultados obtidos com a amostra (ou subcon-junto do inverso ) o que constitui uma ferramenta muito importante no desenvolvimento de uma disciplina cient´ıfica. Toda a inferência na Estat´ıstica está baseada na ”teoria das proba-bilidades”, que nós acabamos de ver.

Frequentemente, devemos tomar decisões sobre popula¸cões com base em informa¸cões obtidas em amostras das mesmas. Tais decisões chamam-se decisões estat´ısticas. Por exemplo, com base em resultados amostrais, podemos querer decidir se determinada droga é eficiente na cura de determinada doen¸ca, se um processo educacional é melhor do que outro, se um determinado número de caixas de um banco é suficiente para um atendimento rápido ao cliente, etc. Para a tomada de tais decisões utilizaremos a inferência estat´ıstica.

Nesta etapa do nosso curso, iniciaremos a discussão falando sobre aspectos fundamentais da amostragem, após a qual introduziremos as no¸cões sobre distribui¸cão amostral da média e da propor¸cão, intervalos de confian¸ca e testes de hipóteses para médias e propor¸cões, um método para avalia¸cão de rela¸cões entre variáveis qualitativas, que é o teste qui-quadrado de independência, finalizando com dois testes não-paramétricos.

2 Amostragem

Amostragem é o ato de obter uma amostra de uma popula¸cão, podendo-se definir popula¸cão como um conjunto de elementos, cada um deles apresentando uma ou mais caracter´ısticas em comum. Amostra é, simplesmente, uma parte da popula¸cão. O levantamento por amostragem, quando comparado com o levantamento total, apresenta certas vantagens:

• custo menor;

• resultado em menor tempo; • objetivos mais amplos; • dados mais fidedignos.

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Há situa¸cões em que a amostragem se impõe. Assim, pode-se ter o caso de a popula¸cão de estudo ser muito grande, sendo impraticável o levantamento total. Em casos em que o processo de investiga¸cão das caracter´ısticas de cada elemento for destrutivo (teste de resistência de materiais, por exemplo), só tem sentido trabalhar-se com amostras. Há também os problemas de ordem ética: novas drogas, vacinas, técnicas cirúrgicas devem ser testadas inicialmente em amostras, antes de seu uso amplo na popula¸cão.

2.1 Etapas de um levantamento por amostragem

Quer a amostragem seja feita dentro de um laboratório (por exemplo, para selecionar ratos que serão usados em um experimento sobre agentes cancer´ıgenos), quer a amostragem seja feita sobre a popula¸cão geral (por exemplo, para obter informa¸cões sobre aspectos de fertilidade de mulheres moradoras em uma grande cidade, como São Paulo), existem etapas que devem ser seguidas, intimamente ligadas aos princ´ıpios de metodologia de pesquisa cient´ıfica. Tais itens serão comentados com linguagem mais dirigida a levantamentos objetivando estimar parâmetros de popula¸cões reais de seres humanos. Tais comentários, todavia, são aplicáveis a qualquer situa¸cão em que se requeira amostragem, bastando para isso pequenos ajustes, basicamente de forma e não de conteúdo. As principais etapas de um levantamento por amostragem são:

1. Explicita¸cão dos objetivos com bastante clareza, a fim de evitar dúvidas posteriores ou mesmo esquecimentos, devendo ficar bem definida qual a unidade elementar (elemento) ou unidade de análise a ser trabalhada.

2. Defini¸c˜ao da popula¸c˜ao a ser amostrada.

(a) Em certas situa¸cões isto pode ser relativamente fácil, como no caso de se desejar tomar uma amostra de uma popula¸cão de crian¸cas que estejam matriculadas e freqüentando certo grupo escolar. Terse- ia uma situa¸cão mais complexa para se estudar gestantes que procuram centros de saúde para fazer pré-natal.

3. Escolha das vari´aveis a serem observadas em cada unidade de an´alise.

(a) Deve ser verificado se todos os dados que vão ser levantados são relevantes para a pesquisa e se nenhum dado relevante foi omitido. Existe uma tendência, particularmente ao se trabalhar com popula¸cões humanas, usando questionário, de se fazer muitas pergun-tas, um grande número das quais nunca são analisadas. Questionários longos, em geral, levam a diminuir a qualidade da resposta.

4. Especifica¸cão do grau de precisão desejado.Os resultados de levantamento por amostragem são sujeitos a incerteza, devido a erros de medida e ao fato de apenas parte da popula¸cão ser examinada. O grau de incerteza pode ser diminu´ıdo tomando-se amostras maiores e empregando-se melhores técnicas ou aparelhos de medida.

5. Escolha dos instrumentos de medida e da forma de abordagem.

(a) Em caso de inquéritos sobre nutri¸cão, por exemplo, poderá haver escolha entre ob-serva¸cão única ou observa¸cão durante sete dias; em estudos antropométricos será decidido o tipo de balan¸ca, calibrador e outros aparelhos a serem usados. Questionários podem ser preenchidos pelo próprio indiv´ıduo ou serem aplicados a cada indiv´ıduo por um en-trevistador treinado.

6. Escolha da unidade amostral, que é definida como a menor parte distinta e identificável da popula¸cão, para fins de enumera¸cão e sorteio da amostra.

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(a) Uma unidade amostral pode ser o próprio elemento de estudo (crian¸ca, cobaia, ci-dade, trecho da estrada) ou um conjunto de elementos (classe de escola, ninhada, Estado, conjunto de trechos continuados de estrada). As unidades amostrais devem cobrir toda a popula¸cão e não podem apresentar transvaria¸cão, ou seja, um elemento de estudo não pode pertencer ao mesmo tempo a mais de uma unidade amostral. À rela¸cão, lista ou mapa contendo todas as unidades amostrais dá-se o nome de sistema de referência ou fundamentos da pesquisa.

7. Execu¸c˜ao de prova experimental, prova-piloto ou pr´e-teste.

(a) Nesta etapa é feito um verdadeiro ensaio do trabalho a ser desenvolvido, sendo testados os instrumentos de medida, questionário, pessoal de campo, a sistemática proposta, a rea¸cão da popula¸cão. Orienta os reajustes necessários e pode dar informa¸cões valiosas sobre poss´ıvel dura¸cão e custo da pesquisa e indica¸cões sobre a variabilidade do fenômeno pesquisado, o que permite calcular melhor o tamanho da amostra.

8. Sele¸cão da amostra após decidido qual deve ser o respectivo tamanho. Esta sele¸cão deve ser feita, de preferência, por meio de sorteio do tipo lotérico.

2.2 Tipos de Amostragem Probabil´ıstica

A amostragem é probabil´ıstica quando cada unidade amostral na popula¸cão tem uma proba-bilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. De outra forma, a amostragem é dita não-probabil´ıstica. Admita-se, por exemplo, que seja definida uma popula¸cão de dez grupos escolares, cada qual com certo número de alunos, desejando-se uma amostra de tama-nho igual a cinco grupos escolares. Se o pesquisador decidiu simplesmente escolher os grupos escolares A, B, C, I, J, ter-se-ia uma amostragem não-probabil´ıstica.

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E poss´ıvel, no entanto (e mesmo desejável), que o investigador obtenha o número de alunos de cada grupo escolar e fa¸ca um sorteio para obten¸cão das cinco escolas, cada escola tendo uma probabilidade de ser sorteada proporcionalmente ao seu número de alunos; será uma amostragem probabil´ıstica.

A amostragem não-probabil´ıstica pode prejudicar sensivelmente a validade externa de um estudo, pois muitos fatores podem influir na escolha de uma unidade amostral para pertencer à amostra, prejudicando sua representatividade em rela¸cão à popula¸cão. Mesmo assim, existem situa¸cões em que ela é usada, havendo então interesse em se conhecer algumas formas de amostragem não-probabil´ıstica:

• por volunt´arios, que ´e bastante usada em ensaios cl´ınicos para teste de novos medicamen-tos;

• intencional, quando as unidades que compõe a amostra são escolhidas pelo pesquisador; é usada na verifica¸cão de polui¸cão de praias;

• por acesso mais fácil, em que as unidades são escolhidas por estarem em melhores condi¸cões de acessibilidade.

Veja-se, por exemplo, o caso em que se defina para estudo todo o conjunto de habitantes de uma área rural, tendo o domic´ılio como unidade amostral; se o entrevistador escolheu os dez pri-meiros domic´ılios do seu caminho, teremos este tipo de amostragem, tendo sido desconsideradas as outras unidades amostrais que também pertencem à popula¸cão.

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2.2.1 Amostragem Casual Simples

Também conhecida por amostragem ocasional, acidental, casual, randômica, etc. A amos-tragem simples ao acaso destaca-se por ser um processo de sele¸cão bastante fácil e muito usado. Neste processo, todos os elementos da popula¸cão tem igual probabilidade de serem escolhidos, não só antes de ser iniciado, como também até completar-se o processo de coleta. Eis o proce-dimento para seu uso:

1. Devemos numerar todos os elementos da popula¸cão. Se, por exemplo, nossa popula¸cão tem 5.000elementos, devemos numerá-los de 0000 a 4999 ou, como acontece geralmente, usamos um número que já identifica o elemento.

2. Devemos efetuar sucessivos sorteios com reposi¸cão (ou não) até completar o tamanho da amostra (n). Para realizar este sorteio, podemos usar as ”tábuas de números aleatórios”ou ainda preferencialmente, o uso de programas computacionais próprios para estes fins.

Se, durante o sorteio, unidades amostrais já sorteadas poderem ser novamente sorteadas, sendo representadas uma, duas ou mais vezes na amostra, ter-se-á a chamada amostragem casual simples com reposi¸cão.

Em geral, dar-se preferência ao tipo de amostragem casual simples sem reposi¸cão, princi-palmente quando se trata de popula¸cões com reduzido número de unidades amostrais.

2.2.2 Amostragem Sistem´atica:

Trata-se de uma varia¸cão da amostragem aleatória simples, conveniente quando a popula¸cão esta ordenada segundo algum critério, como por exemplo, os prontuários médicos de um hos-pital, uma linha de produ¸cão, os nomes em uma lista telefônica, etc.

Consideremos uma popula¸cão, com elementos ordenados, de tamanho N e dela tiramos uma amostra de tamanho n. Então, calcula-se o intervalo de amostragem N/n ou o inteiro mais próximo que chamaremos de ”a”. Sorteia-se um número entre 1 e ”a”e seja x esse número.

Formamos, assim, a amostra dos elementos correspondentes aos n´umeros: x; (x + a); (x + 2a); ...; [x + (n − 1)a].

Exemplo 2.1. Seja N = 500 e n = 50. Ent˜ao, a = 500

50 = 10. Sorteia-se um n´umero de 1 a 10.

Seja 3 (x = 3) o n´umero sorteado. Logo, os elementos numerados por 3; 13; 23; 33; ..., 493.

ser˜ao os componentes da amostra.

Exemplo 2.2. Para uma popula¸c˜ao de tamanho N = 32, numerada sequencialmente de 1 a 32, e amostra de tamanho n = 8, tem-se a = 4.

O in´ıcio casual ”x”deve ser sorteado entre 1, 2, 3 e 4; admita-se que tenha sido x = 3. A amostra fica constitu´ıda das unidades amostrais de n´umero (ou ordem):

3; 7; 11; 15; 19; 23; 27; 31.

Pode ser visto que o resultado ´e obtido somando-se sucessivamente o intervalo de amostragem a = 4 a cada n´umero obtido imediatamente antes.

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2.2.3 Amostragem estratificada:

No caso de popula¸cão heterogênea, na qual podemos distinguir subpopula¸cões mais ou menos homogêneas denominadas estratos, podemos usar a amostragem estratificada.

Estratificar uma popula¸cão é dividi-la em L subpopula¸cões denominadas estratos, tais que n1+ n2 + ... + nL= n, onde os estratos são mutuamente exclusivos.

Após a determina¸cão dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada subpopula¸cão. Muitas vezes uma popula¸cão é composta de subpopula¸cões (ou estratos) bem definidos, havendo maior homogeneidade entre as unidades amostrais dentro de cada estrato do que entre as unidades amostrais de estratos diferentes. Sexo, idade, condi¸cão sócio-econômica, são exemplos t´ıpicos. Nestas condi¸cões, tais estratos devem ser levados em considera¸cão e o sorteio da amostra deve ser feito em cada um deles independentemente; da´ı o nome de amostragem estratificada.

Um caso muito importante da amostragem estratificada é aquele em que o pesquisador deseja que as subpopula¸cões sejam representadas na amostra com a mesma proporcionalidade com que compõe a popula¸cão total. Trata-se da situa¸cão denominada amostragem casual simples estratificada com partilha proporcional ou simplesmente amostragem estratificada proporcional. A principal vantagem oferecida por este método é a alta precisão que se pode alcan¸car na estimativa das amostras. O método consiste em dividir a popula¸cão em grupos relativamente homogêneos e mutuamente exclusivos, chamados estratos, e em selecionar amostras aleatórias simples e independentes de cada estrato. Em seguida, escolher uma amostra aleatória simples separada em cada estrato e combinar essas amostras para formar a amostra estratificada.

Por exemplo, suponha-se que se queira fazer um estudo nas indústrias de uma cidade. Sabe-se que as indústrias foram classificadas em grandes, médias e pequenas. Assim, é conveniente estratificar as indústrias segundo o porte das mesmas, isto é:

1o _{grupo: estrato 1- Grandes Ind´}_ustrias

2o grupo: estrato 2- M´edias Ind´ustrias 3o _{grupo: estrato 3- Pequenas Ind´}_ustrias

A seguir, retira-se uma amostra aleat´oria simples de cada estrato e comp˜oe a amostra estrati-ficada.

A estratifica¸cão de uma popula¸cão faz sentido quando é poss´ıvel identificar sub-popula¸cões que variam muito entre si no que diz respeito à variável em estudo, mas que variam pouco dentro de cada estrato. Nestas condi¸cões, uma amostra estratificada pode fornecer resultados mais precisos do que uma amostra simples extra´ıda do conjunto da popula¸cão.

2.2.4 Amostragem por Conglomerados

Mais simples seria chamá-la de amostragem por grupos. O termo “conglomerados” (cluster) designa grupos já existentes na popula¸cão, e já cadastrados.

Se tivermos interessados por exemplo, no salário médio dos operários da indústria automo-bil´ıstica, podemos selecionar uma montadora e, dentro dela, estudar os salários.

H´a uma mudan¸ca fundamental na unidade de sorteio. Passamos de elemento para grupo. Consideramos conglomerados os grupos de elementos com as seguintes caracter´ısticas:

• dentro de cada conglomerado h´a uma grande heterogeneidade, ou ent˜ao uma grande variabilidade;

• entre os conglomerados h´a uma uma pequena variabilidade, ou ent˜ao uma grande homo-geneidade.

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2.3 Determina¸

c˜

ao do Tamanho da amostra

O tamanho da amostra e a maneira de selecionar uma amostra precisa de uma popula¸cão são duas das principais dificuldades encontradas nos trabalhos de levantamento amostral. A obten¸cão de uma boa amostra depende basicamente do número de observa¸cões amostradas e do método com que essas observa¸cões foram selecionadas.

A determina¸cão do tamanho de uma amostra é problema de grande importância, porque: • Amostras desnecessariamente grandes acarretam desperd´ıcio de tempo e de dinheiro; • Amostras excessivamente pequenas podem levar a resultados não confiáveis.

O tamanho da amostra é fornecido pela rela¸cão entre o n´ıvel de confian¸ca com que o pesqui-sador deseja trabalhar, a precisão que requer em sua estimativa e o desvio padrão da popula¸cão. O tamanho da amostra para estimar a média de uma popula¸cão pode ser obtida de duas maneiras: 1. Popula¸cão Infinita: n = Z σ E 2 Onde: n = tamanho da amostra.

Z = valor cr´ıtico que corresponde ao n´ıvel de confian¸ca desejado da curva normal padrão. σ= desvio-padrão populacional da variável estudada.

E = margem de erro ou erro máximo de estimativa. Identifica a diferen¸ca máxima entre a média amostral( ¯X) e a verdadeira média populacional (µ), isto é, |µ − ¯x| < E.

2. Popula¸c˜ao Finita:

n = N σ

2_Z2

(N − 1)E2_{+ σ}2_(Z2₎

Onde:

N = tamanho da popula¸c˜ao. n = tamanho da amostra.

Z = valor cr´ıtico que corresponde ao n´ıvel de confian¸ca desejado da curva normal padrão. σ= desvio-padrão populacional da variável estudada.

E = margem de erro ou erro máximo de estimativa. Identifica a diferen¸ca máxima entre a média amostral( ¯X) e a verdadeira média populacional (µ), isto é, |µ − ¯x| < E.

Quando se trabalha com propor¸cões, o cálculo do tamanho da amostra é dado pelas seguintes expressões: 1. Popula¸cão Infinita: n = Z 2_pˆ_ˆ_q E2 Onde: n = tamanho da amostra ˆ

p= estimativa da verdadeira propor¸c˜ao populacional de indiv´ıduos que pertence a cate-goria que estamos interessados em estudar.

ˆ

q= estimativa da propor¸cão populacional de indiv´ıduos que N ÃO pertence à categoria que estamos interessados em estudar (ˆq = 1 − ˆp).

E = Margem de erro ou erro máximo de estimativa. Identifica a diferen¸ca máxima entre a propor¸cão amostral (ˆp)e a verdadeira propor¸cão populacional (p) isto é, |p − ˆp| < E.

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2. Popula¸c˜ao Finita:

n = N ˆpˆq Z

2

(N − 1)E2_{+ ˆ}_pˆ_q(Z2₎

Onde:

N = tamanho da popula¸c˜ao. n = tamanho da amostra ˆ

p= estimativa da verdadeira propor¸c˜ao populacional de indiv´ıduos que pertence a cate-goria que estamos interessados em estudar.

ˆ

q= estimativa da propor¸cão populacional de indiv´ıduos que N ÃO pertence à categoria que estamos interessados em estudar (ˆq = 1 − ˆp).

E = Margem de erro ou erro máximo de estimativa. Identifica a diferen¸ca máxima entre a propor¸cão amostral (ˆp)e a verdadeira propor¸cão populacional (p) isto é, |p − ˆp| < E. Se “ˆp00 e “ˆq00 não forem conhecidos determinamos que se substituam os valores ˆp e ˆq por 0, 5, obtendo a seguinte estimativa:

n = [Z

2_{]0, 25}

E2

Para se determinar o tamanho da amostra quando se trabalha com mais de uma variável, deve-se analisar o questionário, e escolher a variável mais importante para o estudo. Se poss´ıvel, escolha mais de uma variável, calcule o tamanho para cada variável e opte pelo maior n obtido.

Eis alguns exemplos:

Exemplo 2.3. Suponha que a variável escolhida num estudo seja o peso de certa pe¸ca e que a popula¸cão é infinita. Pelas especifica¸cões do produto, o desvio padrão é de 10kg. Logo, admitindo-se uma n´ıvel de confian¸ca de 95, 5% e um erro amostral de 1, 5kg, tem-se:

σ = 10; E = 1, 5; (1 − α)% = 95, 5% ⇒ Z = 2 n = Z σ E 2 = 2 × 10 1, 5 2 ∼ = 178

Assim, uma amostra aleatória simples de 178 pe¸cas, há um erro máximo de 1, 5kg para construir um IC para o peso médio, com n´ıvel de confian¸ca de 95, 5%

Exemplo 2.4. Admita os mesmos dados do exemplo anterior e que a popula¸c˜ao seja finita de 600 pe¸cas. Logo:

n = N σ

2_Z2

(N − 1)E2_{+ σ}2_(Z2₎ =

600 102₂2