Funções de variável aleatória

Funções de variável aleatória

Funções de variável aleatória

Caso discreto

• Suponhamos que X é uma variável aleatória que toma valores {x1,x2,...,xn} e tem

função de probabilidade p_X(x_i).

• Então, Y = H(X) também é uma variável aleatória que toma valores

)} ( , ), ( ), ( {y₁ =H x₁ y₂ =H x_{2 K} y_n =H x_n com função de probabilidade p_Y(y_i)= p_X(x_i). Se houver 2 ou + xi em que K = = ( ) ) (x_i1 H x_i2 H , então K + + = ( ) ( ) ) ( 2 1 i i i Y y p x p x p Exemplo: Imagina: X -2 1 2 3 ) (X p_X 0.25 0.25 0.3 0.2 E Y = X2. Então: X -2 1 2 3 Y (-2)2 12 22 32 Y 1 4 9 ) (Y p_Y 0.25 0.25+0.3 0.2 Caso contínuo

• Suponhamos que X é uma variável aleatória que toma valores [a,b] e tem função de

probabilidade f_X(x).

• 1º método (apenas quando H(X) é monótona) Então Y = H(X) também é uma variável aleatória com função de distribuição de probabilidade

y x x f y f_{Y X} ∂ ∂ = ( ) ) ( .

Nota: este método é generalizável se se decompuser H(x) em secções monótonas. • 2º método (geral)

Então Y = H(X) também é uma variável aleatória com função de distribuição de

probabilidade: y y F y f Y Y _∂ ∂ = ( ) ) ( , em que )) ( ( ) ) ( ( ) ( ) (y P Y y P H X y P X G Y F_Y = ≤ = ≤ = ≤ , em que _G(_Y)_{= H}−1(_X)_.

• Se H for crescente, o domínio de fY(y) será

[H(a),H(b)], se for decrescente, será [H(b),H(a)].

Exercício:

Considere a variável aleatória X, uniformemente distribuída sobre [-1,1]. Obtenha a função densidade de probabilidade, g(y), de Y = 4 – X2.

Resolução: Área = 1 -1 1 1/2 f(x) 3 y = 4 - x2 4 1 -1 x x

• 1º método: 4 3 1 4 0 1 4 0 1 4 0 0 4 1 1 0 0 1 : . . 4 3 , 4 4 3 , 4 1 0 , 4 0 1 , 4 4 4 2 2 ≤ ≤ ⇒    ≤ − ≤ ≤ − ≤ ⇒     ≤ − ≤ ≤ − − ≤ − ⇔    ≤ ≤ ≤ ≤ −     ≤ ≤ − = ≤ ≤ − − = ⇒     ≤ ≤ − = ≤ ≤ − − − = ⇒ − = ⇔ − = y y y y y x x a c y y x y y x x y x x y x y x x y

Temos duas funções que partilham o mesmo domínio em Y (3 < y < 4), mas em X são domínios mutuamente exclusivos (-1 < x < 0 e 0 < x < 1), por isso:

4 , 0 ) ( 3 , 0 ) ( 4 3 , 4 2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( 4 2 1 4 2 1 ) 4 ( 4 1 2 1 ) 4 ( 4 1 2 1 ) 4 ( ) 4 ( 2 1 2 1 > = < = ≤ ≤ − = − + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ =        − − − =        ∂ − ∂ − ∂ − ∂ − − =        ∂ − ∂ ∂ − − ∂ = ∂ ∂ y y g y y g y y y y y x x f y x x f y g y x y x y y y y y y y y y y y y y x • 2º método:

Descobre-se a função de distribuição acumulada de Y

) 4 4 ( ) 4 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( 0 0 2 2 y X y X P y X y X P y X P y X P y Y P y G x para x para − − ≤ + − ≥ = − − ≤ − ≥ = − ≥ = ≤ − = ≤ = < ≥ 4 4 8 4 4 7 6 U 48 47 6 0 ) ( : 1 ) 4 1 ( 2 1 2 1 ) ( : 1 0 1 4 = > − − = ∂ = ≤ ≤

∫

− y G x Se y x y G x Se y 0 ) ( : 1 ) 4 1 ( 2 1 2 1 ) ( : 0 1 4 1 = − < − − = ∂ = < ≤ −

∫

−− − y G x Se y x y G x Se y Como anteriormente: 3 1 4 1 4 1 4 3 0 1 4 3 1 0 < ⇒ > − ⇒ > − ⇒ > ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ y y y x y x y x 3 4 1 -1 x y

=

3 4 1 -1 x y

+

3 4 1 -1 x y

Vem:      > ≤ ≤ − − < ⇔       − − + − − = 4 1 4 3 , 4 1 3 , 0 1 ) 4 1 ( 2 1 ) 4 1 ( 2 1 0 ) ( y y y y y y y G Logo,        > ≤ ≤ − < = ∂ ∂ = 4 1 4 3 , 4 2 1 3 , 0 ) ( ) ( y y y y y y G y g

Valor esperado e variância

Valor esperado e variância

Valor esperado é a média dos valores da v.a.

Caso discreto

∑

= = i i X ip x x X E( ) µ ( )

Valor esperado de uma função de v.a.:

∑

= i i X i x p x H X H E( ( )) ( ) ( ) Caso contínuo

∫

−+∞∞ ⋅ ∂ = = x f x x X E( ) µ _X( )

Valor esperado de uma função de v.a.: x x f x H X H E =

∫

+∞ _X ∂ ∞ − ( ) ( ) )) ( ( Propriedades:

• Se X = C (constante), então E(C) = C • E(CX) = CE(X)

• E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Variância é uma medida da diferença entre os valores da v.a. padrão desvio X E X E X V − − = = : ) ( ) ( ) ( 2 2 2 σ σ Propriedades: • V(X + C) = V(X) com C = constante • V(CX) = C2_{V(X) com C = constante} Independência de variáveis aleatórias:

• Se X e Y forem v.a. independentes então E(XY) = E(X)E(Y) • Se X e Y forem v.a. independentes então V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Por definição, a função de distribuição acumulada é contínua e tende para 1.

Exercício:

Seja X uma variável aleatória contínua, com função densidade de probabilidade (fdp) f(x)=6x(1−x), 0≤x≤1. Calcule o valor esperado e a variância de X.

Resolução: 20 1 2 1 10 3 ) ( ) ( ) ( 10 3 5 1 4 1 6 5 4 6 ) 6 6 ( ) ( ) ( 2 1 4 1 3 1 6 4 3 6 ) 6 6 ( ) 1 ( 6 ) ( ) ( 2 2 2 1 0 5 4 1 0 4 3 1 0 2 2 1 0 4 3 1 0 3 2 1 0 1 0 =       − = − = =       − =       − = ∂ − = ∂ ⋅ = =       − =       − = ∂ − = ∂ − ⋅ = ∂ ⋅ = =

∫

∫

∫

∫

∫

X E X E X V x x x x x x x f x X E x x x x x x x x x x x f x X E µ

Desigualdade de Chebyshev

Desigualdade de Chebyshev

A desigualdade de Chebyshev serve para majorar a probabilidade de uma certa v.a., sabendo apenas a sua média (µ) e variância (σ2).

(

)

1₂ C C X P −µ ≥ σ ≤ Exercício:

Num teste de cruzes são apresentadas 4 respostas possíveis para cada pergunta, das quais apenas uma está correcta. O examinado pode seleccionar (com cruzes) quaisquer dessas respostas ( desde 0 até 4 ), sujeitando-se à seguinte pontuação:

+ 3 pontos --- por cada cruz certa − 1 pontos --- por cada cruz errada

a) Seja Xn a pontuação obtida numa pergunta com n cruzes marcadas ao acaso(0≤ n≤4).

i) Mostre que E(Xn) = 0, ∀n. Isto é, respondendo “à sorte” a pontuação é sempre 0.

ii) Calcule V(Xn) (n = 0,...,4)

b) Seja Sn a pontuação obtida num teste de 34 perguntas (máximo de 34 × 3 = 102) quando

se marcam n cruzes marcadas ao acaso em cada pergunta ( 0 ≤ n ≤ 4 ).

i) Determine o valor esperado e o desvio padrão de S1, S2 e S3.

ii) Usando a desigualdade de Chebyshev, estime limites superiores para a probabilidade de S1 e S2 , S3 excederem 20 e 100 pontos.

Resolução:

a) i)

Xi Pontos possíveis nº de casos nº de casos para pontos E(Xi)

X0 0: nao escolhe nenhum, não

acerta nenhum C04 =1 1 4 0 = C 0 1 1 0× = X1 3: acerta -1: falha 4 4 1 = C 1 1 1 = C 3 3 1 = C 0 4 3 1 4 1 3× − × = X2 2: acerta um e falha outro -2: falha os dois C24 =6 3 3 1 1 1C = C 3 3 2 = C 0 6 3 2 6 3 2× − × = X3 1: acerta um e falha os outros -3: falha os três 4 4 3 = C 3 3 2 1 1C = C 3 1 3 = C 0 4 1 3 4 3 1× − × =

X4 0: acerta um e falha os outros

três C44 =1 C44 =1 ₁ 0

1 0× =

ii)

Xn E(Xn) E(Xn2) V(Xn) = E(Xn2) - E2(Xn)

X0 0 0 1 1 02_{× = 0 - 0 = 0} X1 0 3 4 3 ) 1 ( 4 1 32_{× + −} 2_{× = 3 - 0 = 3} X2 0 4 6 3 ) 2 ( 6 3 22_{× + −} 2_{× =} 4 - 0 = 4 X3 0 3 4 1 ) 3 ( 4 3 12_{× + −} 2_{× = 3 - 0 = 3} X4 0 0 1 1 02_{× = 0 - 0 = 0} b) i)

Sn = 34Xn E(Sn) = E(34·Xn) = 34·E(Xn) V(Sn) = V(34·Xn) = 342·V(Xn) σ2 = V(Sn)

S1 = 34X1 34×E(X1)=0 342×V(X1)=3468 σ = V(S1) =58.9 S2 = 34X2 34×E(X2)=0 342×V(X2)=4624 σ = V(S2) =68 S3 = 34X3 34×E(X3)=0 34 ( 3) 3468 2_{×V X = ( ) 58.9} 3 = = V S σ ii) 2 2 2 2 2 2 1 : . . ) ( 1 ) ( k C k C C k a c k k X P C C X P σ σ σ σ µ σ µ = ⇔ = ⇔ = ≤ ≥ − ⇔ ≤ ≥ −

Queremos P(S1 > 20) e P(S1 > 100). 173 . 0 100 9 . 58 2 1 ) 100 ( 336 . 4 800 9 . 58 20 2 1 ) 0 20 0 ( 2 1 ) 20 ( 2 1 ) 20 ( 2 2 1 2 2 2 1 1 1 = ⋅ ≤ > = = ⋅ ≤ − > − = > = > − S P S P S P S P Chebyshev de de desigualda k X simetria a usando 6444447444448 8 7 6 8 7 6 4 4 4 4 4 8 4 4 4 4 4 7 6 σ µ Queremos P(S2 > 20) e P(S2 > 100). 2312 . 0 100 68 2 1 ) 100 ( 78 . 5 800 68 2 1 ) 20 ( 2 2 2 2 2 = ⋅ ≤ > = ⋅ ≤ > S P S P Queremos P(S3 > 20) e P(S3 > 100). 173 . 0 100 9 . 58 2 1 ) 100 ( 336 . 4 800 9 . 58 2 1 ) 20 ( 2 2 3 2 3 = ⋅ ≤ > = ⋅ ≤ > S P S P