Métodos computacionais em teorias de Gauge

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ROGERIO LOPEZ GARCIA

ｓｂｊｾｆｕｓｐ＠

ｉｾｉＢｉ＠

ｾｭｔｏｄｏｓ＠ COMPUTACIONAIS EM TEORIAS DE GAUGE

.

,

.

..;

Tese de doutoramento apresen

tada ao Instituto de Física

da-Universidade de São Paulo

/

\,

í

, i , ,

,

i '

Ao Professor Henrique Fleming pela orientação

segu-ra deste tsegu-rabalho e pelas facil:idades que colocou a minl1a

disposição;

Ao Professor Josif Frenkc'l por tudo' que me ensinou

sobre divergências infravermelhas;

A ambos pela leitura atenta do manuscrito;

Ao Ad'ilson pela amizade e ｰｾｬ｡ｳ＠ corridas;

Aos colegas, funcionários e professores do Institu-,

to de FIsica da Universidade de São Paulo pelo estímulo e

compreensão;

"A Fundação, de Amparo à Pesquisa do Estado do São

11 ·SO'}.xd9.xd Of>1fJ V 0EU

? €tH31ôP aS-J]raiHJS W9démb onu anb sov eqtw üPVP"f11'J.:n.tt1- :tiS

sap VdznD D anb dp+ua<>-se..l;>v tJp sv1)gnDS8 8'.[. opu sDla :'01-.Ios02

JJ vp ｳ｡ｊｏｾＱｮｄ＠ ｳ｡ｾｯｾｬ｡ｷ＠ 90 ｡ｰｶｰｽｵｶｷｮｾ＠ vp 01984 o ｶｾｶ､＠ S}ô+

ＭｾｴＧＧｽ＠ .r;t),xVPJ-SUOO 0'0 opZv,x vpo+ uw+ ano EHl1. -'9Z,}G -,1

fachada, e uns homens que zá dentro se aaham desde ｭ･ｮｩｮｯＤｾ＠

.acorrentadoo pelas pernas e peto pescoço de tal. maneira que

tenham de permanecer imóveis e olhar tão só para a frente ｾ＠

pois as correntes não lhes permitem ｶｯｾｴ｡ｲ＠ a cabeça; atrás

detes e num plano superior, arde um fogo a aerta distância,

e entre o fogo e os acorrentados há um caminho elevado, ao

ｾｯｮｧｯ＠ do qual imayina que tenha sido ｡ｯｮｳｴｲｵｾ､ｯ＠ um pequeno

muro semelhante a esses tabiques que os titeriteiros colo

caro entre si e o púbZico para exibir por cima ､･ｾ･ｳ＠ as suas

maravilhas.

- Vejo a aena: - disse ti ｾ･＠

Ｍｾｅ＠ não vês ｾ｡ｭ｢￩ｭ＠ homens a passar ao longo desse

ｭｵｲｯｾ＠ aairegando toda espécie de ｯ｢ｪ･ｴｯＤｾ＠ cuja ｡ｬｾｵｲ｡＠ ｵｾｴｲ｡＠

passa a da ｰ｡ｲ･､･ｾ＠ e estátuas e figuras de animais feitas

de pedra, de madeira ti outros materiais variados?Alguns des

80S ｡｡ｾｲ･ｧ｡､ｯｲ･Ｄ＠ ｦ｡ｴ｡ｭｾ＠ outros marcham em si&êncio. ｾ＠

- Que estranha situação ､･ｳ｡ｲ･ｶ･ｳｾ＠ e que estranhos

prisio.neiros!

- SemeLhantes â nós - disse eu - Em primeiro ｴｵｧ｡ｲｾ＠

crês que 08 que estão assim tenham visto outra coisa de si mésmas ou de seus companheiros senão as sombpas projetadas

peZo fogo sobre a ｰ｡ｾ･､･＠ fronteipa da ｣｡ｶ･ｾｮ｡＿＠

- ｃｯｭｾ＠ seria possiveZ, ae durante toda a sua vida

foram ｯ｢ｾｾｧ｡､ｯｳ＠ a ｭ｡ｮｴ･ｾ＠ imóveis as ｣｡ｰ･ｾ｡ｳ＿＠

E dos objetos transportados> nao veriam ｩｧｵ｡ｾｭ･ｮﾭ

te apenas as sombras?

- ｂｩｭｾ＠

E se pudessem falar uns com ｾｳ＠ outpos, não ｪｵｾｧ｡ﾭ

ｾｩ｡ｭ＠ 6staP se referindo aO que se passava diante deles?

- Fopços-amen te. ,

- Supõe ainda que a prisão tivesse um eco vindo da

parte da frente., Cada Vez que faZasse um ｡ｯｳＧｰ｡ｳｳ｡ｮｴ･Ｘｾ＠ não

creriam eles que quem. falava'era a sombra que viam passar?

- ｓｩｭｾ＠ poP Zeus - disse ･ｾ･Ｎ＠

- Para ･ｬ･ｳｾ＠ pois - disse eu - a verdade nada mais

seria do que as sombpas dos objetos fabrioa4os?"

Platão, ｒ･ｰ｢ｾｩ｣｡＠ ｖｉｉｾ＠ 514 a ｾＱＵ＠ a

• •

tNDICE

ｒｅｓｕｾＱＰＧｾＴＧＮＢｾＮｾＮＧＧＧＴ＠ •• ' ' ' ••• ＧＮＧＧＧＧＧＧＧＧＮＧＮＧＮＧＮＧＧＧｾＧＮＧＧＮＧＧＮＧＰ＠ i

ABSTRACT. • • • .. • .. • • • • .. .. • .. • .. .. .. .. .. • • • • .. .. .. • • • • • • • • .. • • • • • • • • • •• 11

i _{INTR.ODUÇÃO ... ｾ＠ ... " • .. .. .. • 1}

1 O POTENCIAL EFETIVO... 3

Il -

MllTODOS DE

CJ\LCULO... 11

A - O mitodo d. Coleman-•• inb.rg ...•.•..•..•.•. l2 B - O m;todo da fase estacioniria ...•... 14

C Girinos de l\'e inberg ...,. . . . . .. . . . .. . . .. .. • . . .. . . .. .. 18

111- m'lA NOVA T:ECNICA ... ｾ＠ ... , ... 22

A - Apresentação do método. ｾ＠ . . . .. . . . . .. .. . • • • • . . .. 23

B - Eletrodinâmica de Bósons: Um loop ...•..•.• 26

C - Eletrodinâmica de Bõsol1s: Dois loops ...••••. 3"5 IV - TEORIAS NÃO ABEL IANAS. • . • • • • • • . • . . . • . • • • • . • • • • • • •• 37

V - COMENTÁRroS SUPJ.EMENTARES .. : ... 51

VI - DIVERGENCIAS INFRAVERMELf!AS: PRELIHlNARES ... 61

VII- EXPONENCIAÇ.JiO DE DIVERGENCIAS INFRAVERMELHAS NO GAUGE AXIAL. ｾ＠ •••••• ｾ＠ •• ,. •••••.•• ,. ••••.•••••••.•••••. 74 VIII- ELEMENTOS DE MATRIZ DOMINANTES ..•••.•.•••••••••.•• 96

IX - CANCEL.'vlENTO DE D]\'ERGBKCIAS ... 104

ａｐｾｎｄｉｃｅ＠ A ... ,.,. •• ,..,.,. ... ,. ••••••••••.• 6 114 APENDICE·B ... 122

APêNDICE C... ,. •••..••••••••.•.•...•••.•••••..• 127

ａｐｾｎｄｉｃｅ＠ D•.•••.••... ,. ... ,. ... 137

R E S U M O

Apresentamos um metodo muito simples e eficiente p'a

ra o cálculo do potencial efetivo para qualquer teoria con tendo bósons escalares. Os exemplos incluem a Eletiodinâmi

ca Escalar no gauge quadrático e Teorias de Yang-}.1ílls p.!:!.

ｲ｡ｳｾ＠ no gauge de Landau até um Ioop. E

tambem

-rediscutido o metodo da fase estacionária. pois este se mostra aplicá

>-vel ao caso dos ｦ￩ｔｭｩｯｮｳｾ＠

Em seguida é analisado o teorema de

Lee-Nauenherg

de cancelamento de

divergencias

infravermelhas. As divergên

eias infravermelhas dominantes do operador de evolução tem poraI são determinadas. no gauge axial para'uma teoria de

Yang-Mills pura, sem massa. Usando este resultado, vemos

que as divergências infravermelhas· principais da auto-cnCl"

gia se exponenciam de maneira simples. Para esta mesma teo

ria mostramos como parte das divergências ;in:fl'avermelhas se

.,

ii.

A B S TR. A C T

l'le present an elementary and efficient method for

c4?mputing the effective potential for any theory contaíning scalal' bosons. Examples include massless scalar

electrodynamics in the quadratic gauge and pure Yang-Mills theories in the Landau gauge, up to one loop. lt is a150 rediscussed the method cf the steepest descent,since it i5 also aplicable to the case cf fermions.

The Lee-Nauenberg theorem of infrared divergences

cancella-tion is ･ｸ｡ｭｩｮ･､ｾ＠ 1he lea-ding infrared divergences, - ",'

of the temporal evolution operator are determined for purO'

níassless Yang-Mil1s theories in the axial gauge. Using this'

result it is then shown that the leading infrared

',singularities of tho self-energy function exponentiate in -:a_ very simple manner. For these theories pártial ｣｡ｮ｣｣ｬＱ｡ｴｩｯｮｾ＠

i

INTRODUÇÃO

Na teoria de campos clássicos pode-se definir o "vá cuoH _{como sendo a solução de mínima energia das equações de}

ｾ＠ ｾ＠

-

ｾ＠ . .

campo. Ja nesse ｮｾｶ･ｬ＠ e posslvel que a lagrangeana seJa

ln-variante  sob  um  grupo  de  simetria,  mas  que  o  "vácuo"  não  te 

nha  esta  propriedade.  Esta  situação 

é 

usualmente  chamada  de 

quebra  espontânea  de  simetria".  Por  exemploJ  a  teoria  habi  -tual  do  campo  escalar  com  um  potencial  da  forma 

v

(r

_J 

ＮＮＡＭｊｾ＠

t

l

_

..L 

+'1

,possui  a  simetria 

f

ｾ＠

-

+

.No  entanto 

i! ｾ I

os  seus  dois  mínimos  N -;::. '!.

fIi!'

não  têm  esta 

inva-riança  pois  N

*"  ­

/<T .

),

"Abandonando  o  caso  clássn::'o) vellJos"que  em  geral  nã'o'."

hâ  razão  para  que  uma  invariança  da  harniltoniana  de  um  ｳｩｳｾ＠

tema  quanto­mecânico  seja  também  uma  invariança  do  estado 

fundamental  da  teoria.  A  quebra  espontânea  de  simetria  em  teorias de  campos 

é 

passível  de  estudo pelo  potencial  efet,!' 

yo,  o  ｱｵｾｬ＠

é 

introduzido  na  secção  I  do  nosso  trabalho.  bm  ｳ･ｧｵｩ､ｾｮ｡＠ secção  ｉｉＩ｡ｰｲ･ｳ･ｮｴｾｭｯｳ＠ várias maneiras  de 

calcu-lã­lo:  a  soma  infinita­de  COleman­Weinherg.  o  método  da 

fa-se  estacionária e  os  girinos  de  Weinberg ..  A  secção  III 

é 

de 

votada 

ã 

introdução  de  uma  ｮｯｾ｡＠ técnica  mais  simples  e  dire· 

2. 

divergências  infr.avermelhas  (em  um  loop  no  nosso  método  mas  em  infinitos  no  metodo  de  COleman­Weinberg)  que  impediriam 

a  definição  do  potencial  efetivo.  Em  seguida.  na  secção  V 

t '

retornamos  a  um  dos  métodos  discutidos,na  secção  ｉｉｾ＠ o  da 

fase  estacionária,  com  uma  abordagem,  exemplificada  na 

EIe-- trodinâmica de Bôsons. que

ê

extensível ao caso de férmions.

Um

novo tópico

ê

estudado na secção seguinte de n?

vr:as

di vergências ｩｮｦｲ｡ｶ･ｲｭ･ｬｨ｡ｳｾ＠ Lá vemos que elas aparentemente

poderiam ser bem compreendidas Com o auxílio'de um teorema

simples, conhecido comO teorema de Lee-Nuuenberg. Este, en-tretanto} não tem suas hipóteses verificadas nos casos rea-listas. A sua extensão envolve o conhecimento do operadoT-oo evolução temporal

li ,

o qual mesmo em Eletrodinâmica

é

de

determinação difícil. Na secção VII, apresentamos uma

téc-nica que permite obter uma parte deste operador em uma

teO-ria de· ,Yang-Mills pura. A secção 'VIII apresenta os seus ｾ＠

lementos de matriz no caso da auto-energia. Finalmente, na

! 

I  O  POTENCIAL  EFETIVO 

Um  método  para  investigar  a  quebra  espontânea  de  si 

metria  

é 

o  de  calcular  uma  função  conhecida  como  potencial  (1

efetivo ).  Para  uma  dada  lagrangeana,  invariante  sob 

algu-ma  transformação  de  simetria,  o  comportamento  da  derivada  do 

potencial  efetivo  em  relação  ao  "campo  classic'oOl  mostra  se 

o  vácuo  da  teoria 

é 

ou  não  invariante.  Vamos  justificar  o 

ｮｯｭｾ＠ dado  a  esta  função  e  depreender  o  seu  sentido  flSico. 

estudando  inicialmente  o  mesmo  problema  em  :Mecânica 

Quânti-ca.  A ｶ･ｾｨ｡＠ abordagem  variacional..será  o  nosso  guia.  ｔｩｰｩ｣ｾ＠

mente.  dada  uma  hamiltoniana  H.  queremos  construir  um 

esta-do  I,,)  ,tal  que  a  forma  quadrática 

<o.I

H

I

Q)

seja  estacionária.  mas  com  a  restrição  de  que  a  sua  norma 

seja  unitária 

<a. 

la.>

=

1

A  solução 

é 

encontrada, usando­se  um  truque  muito 

bem 

conhecido, 

que 

é 

o  de  adicionar  um  multiplicador  de 

La-grange 

E

e  variar 

4;  

agora  sem  vínculo. 

Este  caminho  nos  leva  a  uma  ,equação  de  auto­valores 

Hlo.)  "  Ela.) 

Aumentemos  os  ｩｮｧｲ･､ｩ･ｾｴ･ｳ＠ desse  ｰｲｯ｣･､ｩｭ･ｮｴｾ＠ ｩｮｴｲｾ＠

âuzindo  um  segundo  vínculo 

(I­I)  _(0.14'10.;" 

'f< 

onde 

<f

ê 

algum  operador  interessante  e  If';::.  e 

­

um  'numerO. 

­

A  grandeza  a  sofrer  variações  desvinculadas.mas  com 

dois  multiplicadores  de  Lagrange 

E,

­

e 

J ,

passa  então  a 

ser 

(1­2)  <0.1  filo.>  ­

t

<0.1,,­

';> - :;

<o..I 

'f

1,,/ 

A  sOlução  e 

(1­3) 

(H -

t

­

"4')!0,.;>

" 

O

Então  1

0..>_

ê  um  auto  estado  da  hamiltoniana  por  -turbada  H ­ ] 

<f'

,  cuja  energia 

é 

ｾ＠ .  Desta  forma  ｰｯ､ｾ＠

mos  escrever: 

-Como  fi

é 

função  de 

.J 

vale  a  relação 

(1-5) (o.fHf,,> _{F ( J,} 

'f<  ) • 

Mas

<

o­ I HI "-

>

é 

estacionária  o  que  implica 

(1-6) ｾｴＺｾｊＫｦＬＬＧｊｾｏ

I

.J

< ,

･ｾｰｯｲｴ｡ｮｴｯ＠

(1-7) ;;e

­

- 'e, _•

<lJ

ｾｳｴ｡＠ equação  pode,  em  princípio,.  ser  utilizí3,da  para 

expressar  J  em  função  de  'f'c  e  então  a  equação  (I­4)pode  ser  escrita  inteiramente  em  função  de  ｾｾ＠

(1­8)  

<

0./ 

H

I

a)"

V

(

'f<  ) 

A 

nova  função 

definida 

é 

chamada  de  potencial  efeti 

"o. 

'Simílarmentct podemos  dizer ｱｵｾＬ･ｭ＠ Teoria  Quântíca d;

Campos) o  potencial. efetivo  ê  também  uma  densidade  de  en'er 

-gia;  ·ele 

ê 

o  valor  esperado  da  energia  por  unidade  de 

volu-me  em  um  certo  estado  para  O qual  o  valor  esperado  do  campo 

é 

'fc. 

eJ

o  chamado  campo  clássico.

'f

Está  conceituação_é  aparentemente  não  operacional  _ 

6. 

I

de  formalismo,  nos  conduzirá  a  um  método  de  tratar  a  quebra  espontânea  de  simetria  em  Teoria  Quãntica' de  Campos­ junta ,­", 

mente  com  uma  outra  (equivalente)  definição  do  potencial  e­' 

fetivo. 

A  limitação  inicial ao  estudo  da  mais  simples  teo 

-ria renormalizavel a 4 dimensões, a de um campo escalar neu

ｴｲｯＮｭ｡ｳｳｩｶｯｾ＠ interagindo através de um acoplamento

Ãf\

; deve-se ao desejo de simplificar a notação. A generalização

< I

ｰ｡ｲｾ＠ casos mais complicados será feità em seguida.

Consideremos, então, a lagrangeana de ..\

f '(

ã qual

a-dicionamos um acoplamento linear do campo

f

com urna ｦｯｮｾ＠

te externa

J

(x ), um número c., função do espaço e do tem._

pc,

(I-9)

J;, '"

1-qdJ' -

.!-rf

-tLf -

Jf

e

t ｾｉ＠ ,

Um modo conveniente de estudar as proprie-d"ades ､￢ｓｾＧ｟ＭＢ＠

funções de Green em teoria de perturbação

é

a introdução de

um funcional gerador. Este, que" gera toda.s' as funções de Green, incluindo ｡ｾ＠ desconexas}

é

definido em termos da am

-plitude de tran_s"ição de um vácuo no passado remoto a um vá ';"

cuo

no futuro

remoto,

em presença da ronte"externa

(!-lO)

.5••,,[

J]

<; O' 10-7._;r

''''l( 

.)

de todas as funções de Green conexas C; 

.x,  . .  . 

:t_  , 

(I-H) ei..Wt::JJ _

<:

0'(

o·;,

_{J  •}

o

desenvolvimento de W

r.

J J  _{em série de Taylor} 

"funcional nos dá

cI­12)  . Wc JJ 

=

ｾ

2-""I;:::Q

(2M) !

j

ｲｾｯ＠

<M

(  <1'",­, 

J (

x)]

G"  ( 

x,

.. 

.x ,) 

onde. devido à simetria

f

ｾ＠

­

,1'

da equação (1-·9). apenas

os termos pares aparecem",

Introduzindo o chamado ｣｡ｾｰｯ＠ clássico ｾ｣＠ dado por

pW

(1-13)

tr'­ (",­) 

,

&:l (x)

podemos definir a ação ･ｦ･ｴｾｶ｡＠ por uma tTansforn:ação funcio

na+ de Legendl'e

(I­14)  PI,!,o)  ::;:  W[JJ

-jJ'xJ[x) tf«x) ,

dá qual obtemos a relação

(1­15) 

J 

(I) _

..hlJ't'd 

Ó'f.'-x.)

manei-8.  

. " <.,

ras  interessantes.  Uma,  similar 

à 

da  equação  (r­12): 

2-

f

j

Ｒｾ

(1­16) 

ｴｾＨｊ＠

[cf'",

'f,

(xJ] 

ｆＢｾＩ＠

(:lO,  ... 

;x.J.

r "

_ｾ＠

_(z.<tlH

Os  coeficientes 

r

t.M)  que  aparecem  nesta  expansão 

"".  _ .   ....  t.,..,l 

sao  os  ｶ･ｲｴｾ｣･ｳ＠ proprÁos; 

r

_ê 

a  soma  de  todos  os  dia 

gramas 1 Pl  (que  são  conexos  e que  não  podem  se  tornar 

desconexos  pelo  corte  de  uma  única  linha)  com  /ti linhas 

ex-ternas.  Por  convenção  os  diagramas  (P 1 são  avaliados  sem 

propagadores  nas  linhas  externas. 

O.  outro  modo  de  desenvolvimento  de 

r (

7, ) 

•  muito,.­­., ｾＮ｟Ｎ＠ importante  no  que  segue ｾ＠ é  em  torno  de  valor 

tf.

_,

= 

constante. 

.

isto 

é, 

um  desenvolvimento  em  potênci'as  de  derivadas  de 

fc:  ... 

Levando  em  conta  a  ínvariança ｴｲ｡ｮｳｬ｡｣ｩｯｮ｡ｾ＠ teremos 

(1­17)  ­ f(<f<) "

1'1'-"

(Vilf.,(:<'» T ; 

＿ＨＬＬ＼ｾｊＩ＠

{,)Cfc.<::d' 

+ .•

J

o]fde V,

i!..

. .

sao  funções  ordinárias  de ｾ＠ (.x). Vamos 

<

mostrar  que  (1-17) corresponde  a  uma  expansão  das  funções 

vértice  em  torno  do  momento  externo  J:!.ulo.  De  fato,  pela  inva 

riança  trans1acional} 

r

U .... I

é 

função  de  apenas 

2,.,· 

f variáveis  :x.

_,

. .<: ( ｾｰｯｲｴ｡ｮｴｯＬ＠ introduzindo  a 

transformada de  Fourier 

r

UI>\)_J podemos  escrever _. (1­16)  na 

forma. 

""

j

,. 

4

' " j Ｎｾ＠ _{ei.f,:.::i:." (ZTI)'t.}

(!­la) 

r

(Cf) -

L

-

_{Ir ｾ＠} d'.)<i)] 

rr

lM 

'$V(IP,jJ 

ｲＢｾＩ＠

(p, ...

ｦＧｾＩ＠

TI Ltf,

I.."'t

11

:  ::  1 

"

Desenvolvendo 

r

Ｈｺｾｬ＠ (  P •... PM) _{em  torno  de} 

_f'i 

J;: 

0,

ｯ｢ｴ･Ｚｴｾ＠

mostcomparando  as  equações  (1­17)  c  (1­18)(,) 

,

= 

(j-19) _Vl'l'c1 

= 

2

｛ＨＲｭＩＡｲＧＨ＼ｲＩＧｾｲＢｾＩＨＢ

.... 

oJ. 

""""0

Pode­se  mostrar(z, 3  ... 1 5).  que 

as 

duas  definições  de' 

potencial  efetivo,  ora  como  uma  densidade  de  energia10ra  co,  mo  primeiro  termo  de  um  desenvolvimento,  coincidem. 

Como  as  funções  de  Green)o'patencial  efetivo  está 

sujeito  ao  aparecimento  de  infinitos  e  um  processo  regula 

-,dor  deve 0­ser  introduzido.  Condições  de  normalização.  que  se-- .' .

deduzem  das  usuais.  definirão  completamente  a  grandeza  que 

á,cabamos  de  apresen tar: 

'. (1­20)  d' ｖ｜ｾ＠ _{､Ｇｖ｜ｾ＠} ,À

ｾ＠

=

f'

il

_'f,

•

_d

_{'1'<'  .} 

'fc.::::' O

'"

'c. -

-

'"

Temos  agora  os  meios, necessários  ao  estudo  da  que 

-bra  espontânea  de 

ｳ￭ｭ･ｴｲｩｾ

(3' fi). Suponhamos  que  a  nossa 

ｬ｡ＮＷＬＺｾ＠

grangeana  possua  uma  simetria  interna.  Então) a  quebra ･ｳｰｯｾ＠

10. 

um valor esperado no vácuo} mesmo quando a fonte J (X.) se

anula.  As  equações  (I­13) 

e 

(I­lS) 

mostram 

que  isto 

ocorre 

se 

(1-21)

!ir

_:= 

_o 

₎

ｾ＠

'1'<--para algum valor não nulo de ｦｦｾ＠ . Além disso, como  nos

ca-50S de interesse o vácuo ê translacionalmente invariante,po

demos escrever

<IV

_o

" 'f'.

1

!

ｾｾ＠

 

, 11.  

II  ­ METODOS  DE  CÁLCULO 

Tendo  definido  o  potencial  efetivo  e  visto  o  seu 

significado· físico.  especialmente  o  seu  papel  na 

determina-ção "da  existência ou  não  de  quebra  espontânea  de  simetria..; v,! 

mos  expor  vários  métodos  perturbativos  para  calculá­lo.  Es 

sencialmente  eles  são  todos  expansões  _em  "loops",  pois  es 

tas  correspondem  a  desenvolvimentos  em  um  parâmetro  que 

mUltiplica  a  lagrangeana  total  que  não  é)portanto)  afetada 

pelo  deslocamento  (shift)  de  campos  ou  pela  redefinição  da 

ｾｩｶｩｳ￣ｯ＠ da  lagrangeana  em  partes  livres  e  de  interação  asso 

ｾｭＺﾷＺﾷＺ

ciada  com  tais  deslocamentos.  A  aproximação  consistirá  .".

somar  todos  os  diagramas  com  zerO  loops,  depois  todos  com 

um  ｬｯｯｰｾ＠ etc. 

Por  razões  meramente  pedagógicas  continuaremos 

fa-lando  de 

À

f

Considerernos.então,um  diagrama  conexo.Se 

L

é 

o 

número 

de 

loops. 

I

ê  o  número  de  linhas  in 

ternas,  E  de  linhas  externas. 

V

de  vértices,obtemos 

(H­l) 

21.,.E=

ｾｖ＠

L=1-

V, 1

_"

_{V .. / -}

2

E

Introduzamos  um  parâmetro  novo 

f)' 

que  multiplica  toda 

a 

lagrangeana. 

Em 

um  diagrama  conexo,  cada  vértice  ca.rres,,! 

rã 

um  fator  L •• n  cada  propagador  um  fator 

h 

e  cada 

linha  externa  um  fator 

h­' 

ｾ＠ Então,cada  diagrama  conexo 

12. 

gora  considerarmos  diagramas  lPI,os  quais  não  possuem  l i

h

l ' f

nhas  externas, então, a  potência  de 

h

será 

Conseguimos,assim,o  artifício  desejado,onde  o  desen 

volvimento  em  um  parâmetro  ｣ｯｲｲ･ｳｰｯｮ､ｾ＠ ao  desenvolvimento 

em  1oops. 

A  O  método  de  COleman­weinberg(·l 

Coleman  e  Weinberg  calcularam  o  potencial  efetivo 

､ｩｾ･ｴ｡ｭ･ｮｴ･＠ a  partir  da  definição  da  aproximação  em  100ps 

que  acabamos  de  dar ,­ para  a  teoria  de  um  campo  mesônico .­sem 

massa  em  uma  interação  quártica  descrita  pela  lagrangeana 

(Il­Z) 

1;

;;  .!...( 

o/r)'

-

.1.

IP' ­t  _I

A

(11f)' _  ­' 

Bf'-f/

r

I! _ｾＮｉ＠ 1  2 · Z

onde 

A

,

E

e 

C

_{sao  os  contra­termos  usuais.} 

Na  aproximação  árvore  apenas  um  gráfico  contribui: 

FIGURA  ,1  :..  Ap1'ox.imação árvore do potencial

efetivo-dando 

(II ­3) 

v'"

..:L

Na  aproximação  de  um  loop  temos  uma  soma  ínfinita  de  diagramas  mostrados  na  figura  abaixo 

+

+

+ t ..

FIGURA  2  ­ Aproximação de um loop do potencial

efe-tivo

Obtemos  assim 

(II­4)11_  ),..  cpf  _  .!.. 811" _ _C 

rt.'

e

( 

'" 

I _{ILz ),} 

'f'" -):

'tI  jc.  2  ｬｾ＠ _'! 4 

r.;)

ｻｾＺｲｾ＠ ＺｾＱ＠

_{2,.,  (}

ｾｬＮ＠ + t.e. /

A  série.que  aí aparece,pode  ser  somada.  para  dar  á'

pôs  uma  'rotação  para  o  espaço  eucl idiano 

(Il­S)  V:;:

,i.'f'. -

_{.!.. 5}

t' -

_2. 

_G

r.,'

_{t  .!..}

ＨｾＮ

Y-"'(f

_T

ＭｾＩ

ltl:--;' ,  't! Z) (lflj"l t, If:'

Esta  expressão  sofre do  conhecido  mal  de  divergên ｾ＠

cia  ultravioleta.  Para  remediá­lo. vamos  cortar  a  integral 

k

t

em ;::  /jt  t  resultando 

V ­ _  + ,  C (jJ' _{Ｇ｜ｾＧｉｯＧ}

(II­6) 

­

À

'f.'

,

1.B« 

_{...  IG} 

... 

­­" 

_ｾ＠

U

UM

d..!fl _ 

J..).. 

z

t./. ';; 1ft  _ｬＵｾ＠

nz.l 

Z A1  Z

•  

14.  

As  divergências  infravermelhas  só  permitem  usar  a 

primeira das  equações  (1­20).  Estas  devem 

ser 

ｳｵ｢ｳｴｩｴｬｬｩ､ｾＬ＠

por 

ｾＧｶ

(II­7)A:t  _A

,

'"

d W' _à

'f:

\It.. IM

• 

onde  M

é 

um  número  arbitrário  com  dimensão  de  massa. 

Os  coeficientes  arbitrários  B  e  C  são  então  determina 

-dos  e  a  expressão  final  de 

V

na  aproximação  de  um  loop. 

passa  a  ser 

(U-H)

V;

J...(f 

+ '\'

ｾＮ＠

(fi." 

lf'L _

ｾ＠

.. )

_•

'-t!::' Ｒｓｾｲｲｾ＠ M t t:

A  abordagem  de  Coleman  e  Weinberg,  embora  de  dif't 

cil  extensão  para  teorias  mais  ｣ｯｭｰｬｩ｣｡､｡ｳｾ＠ como  as  não  ｡｢ｾ＠

lianas.  mostra  um  interessante  cancelamento  de  divergências 

infravermelhas.  Com  ･ｦ･ｩｴｯｾｮ｡＠ série  mostrada  na  equaçao 

.(IV­4) •.. cada  termo,  _{um  gráfico  da  figura  2,} 

_é 

crescen-temente  divergente  no  infravermelho.  A ｳｯｾ｡＠ da  série.no  en 

tanto.está  livre  deste  problema. 

B  O método  da  fase  estacionária 

Este  método  é  um  modo  bem  conhecido  de  tratar  o  fun 

integralsrl _(417) ..  Na  teoria  de  mésons  escalares ,que  temos  usa 

do  como  exemplo, podemos  eSCrever 

(II­9) 

e'

..

ｾｾＩ＠

_fl)(fJ

_e'F 

-j,[J'-<Lz

_(àf,fJ'.

;'p'f· 

ter-

Jf]  .. 

f

JJ

(r)

"F 

.i. ₁₁ 

fd''''{ 

ｾ＠

_t

(,l" 

_/ 

t)' .

_{ｬﾷＮｾＡ＠}

ｾ＠

1"1"­

ｾ＠

bj

_{r .}

Aqui  o  símbolo 

JJ (

indica  integração  funcia 

nal  na  v:ariavel  entre  parênteses.  A  constante 

h

é  o  pa 

râmetro  introduzido  ­no  início  e  que. conforme  j

á 

vimos.  ­con 

duz 

ã 

expansão  em  loops.  Devemos , en"tão , desenvolver  o  lado 

direito  da  equação  (II­9)  em  torno  do  ponto 

If"

(J) no  qual 

ele  ê  estacionário  (o  denominador 

é 

incluído  para  dar 

W(o) :: D ) _{•  A função} 

fl>"

_satisfaz 

_à 

-equação

de  movimento 

(lI­lO) 

_( O 

+J'  )

'1'. 

;- . .:.. ,\ <P _  J  _•

3! Ib

'0  procedimento  a'  seguir  tem  ｾｧｯｔ｡＠ ,duas  ｾｴ｡ｰ｡ｳＮ＠ Numa 

escrevemos 

.-(Il­ll) 

r

='f.+f

16.  

Na  outra  desenvolve­s.  W (J ) em  potências  de 

h

(U-l2)

W.lJl 

'I-

h 

\AI, 

(r.l 

+ •..

. ｉｧｵｾＮｾ｡ｮ､ｯ＠ os  coeficientes  das  potências  sucessivas  de 

h

,ob   teremos  

t \ \ ) ' , • IP'

ＨｉｉｾＱＳＩ＠ W.

­­­

01''1'.

+-f

_I'

₊

J...r:+Jr.

­ $.   2  'fI 

e 

(lI­H) 

W, 

₌

ÀM (j.t

_k"'a 

(q'ol

li

Aqui 

k

é 

fi matriz  que  multiplica fi parte  _ｱｵｾ＠

drâtica  do  campo.  Uma  definição  operacional  do  determinante 

-de..

k

serã  dada  mais  adiante.  Na  teoria  que  ･ｳｴ｡ｭｯｾＭ

･ｳｴｵ､｡ｮ､ｯＬ･ｳｾ｡＠ matriz  é  dada  por 

(Il­lS) 

k"j ('f.l

(

ｾ

.. dd

T 

jI'

r

ｾ＠

À

'f:)

Õ' 

Ｈ｣＼ＮｾＩ＠

. A ação  efetiva deve  agúr'u _também  ser  desenvol v.ida­ ,. 

em  potências  de

h

pois,  conforme  veremos,  o  termq 

:\1\(1

.• 

que  acabamos  de  c8,lcular t é  essencialmente  a  aproxima 

ção  ­de  um  loap  para  o  potential  efetivo.  Teremos  então 

I

Pode­se  ver  que.  tomando­se  apenas  os  termos  de 

pri-meira  ordem  em 

h ,

vale  a  relação  

(lI­17) 

r:

(l('o )

w,

(rpJ

Lembrando  que ,se  o  potencial  efetivo  também  for  de 

­senvo'lvido  em  potências  de 

h.

• 

(1I-18) V('f.)

v.

(rJ

+

h 

11,  ( 

ＡｦＧｾＩ＠ ｾ＠

... 

resultará  a  igualdade 

(lI­19) 

r;'

(lf)

=

j

_d' '" 

V.

llf)

ｕｳ｡ｮ､ｯＭｾ･＠ um  cut  off,  \{  ｾ＠

a  aproximação  de 

um 

'loop  pode  ser  determinada  e,uma  vez  livre  das  ambiguidades 

habituais  das  ｲ･ｧｵｬ｡ｲｩｺ｡￧￵ｾｳ＠ pela  aplicação  das  c.ondições­de­· 

renormalização  (11­7).  nos  dá  o  resultado  de  Coleman­ Weinberfua  equação  (II­8). 

·B­ste  metodo, embora  ･ｦｩ｣ｩｾｮｴ･＠ para cafcular até  a  ar 

'dem  que  acaqamos  de  ver. 

é. 

como  aparecerá  mais  .tarde, 

I

­.  

18.  

(lHO) 

V(Cf)

=

".('(0) 

r

V, 

('fel 

r

ti)

ｾｋｲＨＺ＠

SO'...

t.r1tf'e,,/,}). 

Os  dois  primeiros  termos  já  se  tornaram  nossos  velhos  co 

nhecidos.  O  terceiro  resume  as  seguintes  operaçôes:  cálculo  do  valor  esperado  no  vácuo  de 

T 

ex

p (

ｾ＠

f

d' 

ｾ＠ ｊ［ｊｾ＠

ij', '

if

V

onde 

[,J 

é 

a  parte  de  interação  da  lagrangeana  total_ 

após  o  deslocamento  (II­21).As  regras  de  Feynman  são  as  con 

vencionais,mas  o  propagador 

é 

t

.IC

1  _{e  apenas  os  grã} 

ficos 

IPI 

devem  ser  tomados.  Finalmente  um  fator  de  in  tegração  espaço  temporal 

j

d

't.z. . deve  ser  01 iminado 

ｾ＠

Não  nos  estendemos  sobre  este  metodo  pois  não  é  nossa  inten 

çao  usá­lo  em ｾｲ､･ｮｳ＠ superiores. 

C  Girinos  de  Weinberg 

s. 

weinberg(s)  tem  por  objetivo  descrever  em  deta  lhe  como  levar  a  termo  cálculos  em  um  "loop"  dos  efeitos  de  quebra  de  simetria  em  teorias  de  gauge  renormalizáveis.  Pa  ra  tanto 

ê 

considerada  uma  lagrangeana  da  forma 

(H-H)

[,

["  t­'p ( 

4') 

,

­

I

contêm  a  parte  livre  e  a  de  interação  que  envol-onde  ". 

ve  férmions.  campos  de  gauge  e  sua  interação  com  os  campos 

escalares 

ft 

; .f

(r)

é 

o  polinômio  que  só  contêm  campos  escalares.  A  simetria 

é 

quebrada  em  ordem  zero,permitindo 

-se  aos  campos  escalares 

ft 

desenvolverem  valores 

espera-dos  no  vácuo,  não 

ｮｵｬｯｳｾ､･ｴ･ｲｭｩｮ｡､ｯｳ＠

pela  condição  de 

que 

"O polinômio  j(r) seja  estacionário  em

t, 

z).,. O  gauge 

escolhido. 

é 

o  chamado  gauge 

J 

geral (,).  Os  girinos  a 

que  nos   referimos, são  os  grâficos  com  uma  única  linha­ esca 

lar  fk   ･ｸｴ･ｲｮ｡ｾ＠

Definamos  os  campos  deslocados  por 

(II­22)  

te 

r,

<

f,

>o

,

onde 

<

f,

>.. 

é 

o  verdadeiro  valor  esperado  no  vácuo  de 

rt

•  Na  tçoria  escrita .em  tel'mos  desse  novo  campo 

cf,.

ｾ＠ to  dos:  os  gráficos  de  girinos  se  cance"lariam  c,se 

representar-mos por

T

_t a  soma  de  girinos  com  um  ou  mais  loops,tere-mos 

Ｎｾ＠

)' (" "j'(ft)

T

Te

o,

(II­23)  ­

r

(zrr

Ｍｾ＠

ft 

j

1'" 

<f>"

como  se  vê  pela  fórmula  de  Gell­Mann ­ Lo", (lO) • 

20.  

um extremo

À

t de

P I

p)

(II­24) 

<: 

fr 

>. '"

À t • 

6",\: 

_• 

Podemos  usar  esta  expressão  para  desenvolver 

(II­23)  em  série  de  Taylor.  Tomando  apenas  o  primeiro  termo 

em  &À e  número  de  loops,  teremos 

(II­25)  _  ,( ZI!)'  .;l' i'

;;.>t

J 

T 

f:

• 

;:

O

Ｂ＼ｦ＾ｾ＠

ófJ

ｾＬＬＩ＠

ｾ＠

Na  expressão  acima  o  indice  superior  1  em 

T,'

,

indica 

que  apenas  um  loop  ê  considerado. 

Por  outro  lado,no  desenvolvimento  de Coleman­

Weinberg)  jã,mencionado.  o  desenvolvimento  em  loops  do  .po 

tencial  efetivo 

é 

dado  por 

(I1­26) 

V(rJ

-:::

PlrJ 

T

t(l+l. 

V,

(.pl 

+

e.se  o  campo 

1>

tiver  valor  esper.ado  no  vácuo 

<

f>o  •

então  I

(II­27)  _<lV

I

_o

• 

" <j>

<l'

=

<

<i'

>0 

21.  

sirie  de  Taylor  e  permanecendo  na  aproximação  linear  em  ｾ￀＠

e  com  um  loop)teremos 

(lI­la) 

..l.'  J? 

_6).J

_'" 

_o

_•

ｾｊｴｾＬ＠

r

ó

1'r

a

tJ

As  equações  (11­25) 

e 

(11­28) 

só  serão 

compatíveis 

se 

(Il­29) 

T' 

-

c• 

( 

z

nl' 

} V-f. ! 

ｾｫｲ＠

Teríamos, assim. um  bom  meio  de  calcular  o  potencial 

efetivo  em  um  loop  a  partir  dos  girinos.  No  entanto.  para·  que  valha  uma  relação  do  tipo  (II­29).ê  necessário  que 

;, Tt

(II­SO) 

­4  

a

Ao

ｾａＱ＠  

ｈ￣ｾ｣ｯｮｴｵ､ｯ＾｣ｯｮｪ･ｴｵｔ｡＠ de  que  esta  relação  nao  seja 

.veriíícada  no  gauge 

J

geral Ca).  A  razao  para  tal  seria'a 

dependência  de  À dos  termos  que  determinam  o  gauge e 

dos  que  contêm  os  fantasmas  (ghosts)  na  hamil toniana  efetiva. 

Mostramos  no  Apêndice  A  que  o  rotacional  dos  giri' 

noS 

ê 

nulo  (equação  lI­3D)  na  Eletrodinâmica  de  Bósons.  is 

to 

ê, 

que  neste  Caso  a  equação  (T1­29)  pode  ser, usada  para 

determinar o  potencial  efetivo  em  um  loop.  Nossa'  preocupa  ­, 

￧｡ｯｾｮｯ＠ próximo  capítulo,será  o  desenvolvimento  de  uma  têcni 

ca  que  permita obter  a  derivada  do  potencial  efetivo  em 

I

I

22. 

III  ­ ｕｒｾ＠ NOVA  rECNICA 

O  popular  modelo 

À

f

teve  O  seu  potencial 

efeti-vo computado até dois loops. por um método muito simples c

direto, introduzido em 1975 por Lee e SCifH:::calugJll)

ｾ＠

Como

O título do seu trabalho parece indicar, a preocupação que o

-norteou, foi o uso da regularização dimensional- ( 1 4-).pois nes

se esquema OS girinos têm uma forma mui to s imple"s e podem

ser ｦ｡｣ｩｬｮｈｾｮｴ･＠ integrados (em

Af

) em "relação ao va

lor esperado no vácuo para se obter o potencial efetivo. A

parentemente eles não se interessaram por urna extensão

-

as

! teorias de gauge onde novos problemas aparecem e o

interes-,

se

é

maior devido ao mecanismo de Higgs-Kible(ll) c ã sua

conexao com o comportamento dos hadrons.

Numa primeira etapa,o 'método de ｌ･･ｾｓ｣￭｡｣｣｡ｬｬＱｧ｡＠ se

rá generalizado

às

teorias de gauge abeliànas(lS) .. O nosso laboratório será a eletrodinâmica de bó50ns(f.;) ,onde as

op"e-rações serão realizadas até dois loops em uma classe de gau ges a um parâmetro envolvendo fantasmas. Ao mesmo tempo se rão resolvidos certos problemas ligados ao termo ｱｾ･＠ fixa o

gauge. Tel'em05_as,sim nos .apoderado de.uma técnica que: pe,!: míte cálculos em ｱｾ｡ｬｱｵ･ｲ＠ ordem na expansão em, loops

t

Q' que

já constitui um resultado bastante geral. Em seguida,as teo rias não abelinnas serão estudadas e uma extensão do método se mostrará possível e exemplificada por Um cálculo de um

IOOp('ol.

A  Apresentação  do  Método 

A comparação  com  as  técnicas  usadas  nas  secções  an  toriures  e  a  própria  exposição  serão  facilitadas)se  conside 

ｲ｡ｲｭｾｳ＠ inicialmente  uma  lagrangcana  puramente  escalar 

(IlI­I) 

f,(f'

dl'r)

= -

ｾ＠

dlf 

ólf

­

1'(

ti ,

onde 

f(

fi

é 

um  polinômfo  no  campa  escalar 

r

' 

_análo 

go  ao  que  aparece  na  equação  (11­31). 

Neste  ponto  é  cqnveniente  lembrar  a  definição  do 

potencial  efetivo  dada  na  secção 

rt 

não  explicitando  a  síme  tria 

lá 

utilizada: 

I

(D

. (1­19)' 

_{V((f) -}

({",li]' 

(cry

rM(o,  ... 

ｾｊ＠

,

"'>=-c

a  qual  permite  a  computação  ào  potencial  efetivo  em  termos 

se·  "uma  serie  infin.ita  cujos  coeficientes  são  as  funções  de 

Green 

IPI 

calculadas  com  momentos  nulos.  Embora  isto  di 

ficilmente  possa  ser  considerado. um  método  ｣ｯｮｶ･ｮｩｾｮｴ･＠ de  'dilculo,  vimos  na  secção  anterior  ｱｵｾ＠ Coleman  e  Weínberg  ob 

tiveram,  com  grande  engenhos idade ,  a  aproximação  de  um  Ioop 

·em  certos  casos. 

Claramente ,na  aprc:>ximação  árvore, 

V, 

tfc.)  coincide 

com 

P ('f.l 

na  equação  IH­l.  Para  uma  teoria,na  qual  o  va 

24. 

mas  tem  valor  N" ｾ＠ ternos  em  lugar  de  (I­19) I

(III­2) 

VI,/,)

ｾ＠

ｌｾ＠

r,mIL." ..

o)(re­",r

•

",I

Desta  equaçao  segue­se  que 

(III­3)  d V(r,

l

_o

d

'Pc 

'l'c ""

a  qual  permite  a  determinação  do  valor  esperado  no  vácuo 

ComO  solução  de  um  problema  de  mínimo.  Esta  é  uma  ｰｲｯｰｲｩ･､ｾ＠

de  muito  importante,  já "mencionada  na  secção  I ..  na  deterrni:-naçao da quebra espontânea de simetria em uma teoria.

Introduzindo o campo deslocado ,

(III-4) f(.xl

t("') .

(>T

,

onde N é um parâmetro arbitrário, • lagnlngeana

h

(

'i',

o/'

r)

se transforma CID uma nova lagrangeana

f:

(f',

6f'

f)

que

,contém alguns vértices novos dependentes de fIT

A cquaç.ão (11-6) pode então ser reescrita na forma

(IH-5) _{ｲＨｬｦｾ＠}

."')

₌

ｉＮＮｾ＠

J

_{d'x, ' ,} à'f .):.'"

r

,_1 ("'. ,.. .>:M)[ (,,-( "," ,v)]

'<

J..,!

, [",. ,.>; )

+ ",}

I

i

,25. 

Definindo 

(III­á)  ｲＧＨＧｦｾＩ＠

=

r

ＨＧｦｾ＠ rl>T) 

e ressomando a equação (III-5),teremos

(III­7) 

r'(,() _

ｲｾ＠

i..!d'J: .... d·". 

ｆＧｾｬＨＢＧＬ＠

...

ＧｴｾｬＧｦＧｬｸＬＩﾷﾷﾷｲＨｸｍｬＮ

m! 

Na  aproxímação  árvore. 

P' (

Ｇｦｾ＠

1

coincide com a 

';;; t",j

lagrangeana  (,' ( 

'f: '

àr

'1':) 

• II então  claro  que

r

(x, . ..

:J:J 

são os vértices próprios calculados com a lagrangeana

r;lf·dj<f)

". Seguindo os mesmos passos dados na 

obtenção  da  equação  (1­19) .obteremos 

(Il1­H)  (zr!l'  ｖＧｉＧｦｾＩ＠ ｾ＠ Vi '/:' • ",) = -

Z.

,

ｲＧｾＧＨｯ

... 

o)cÇ ,

<

_M' 

Segue-se que

fi ,.,

(o)

(III­9)  (lO)' d VI,?: ,.",)

d

ＧｦＧｾ＠

Cf!::::  o

<

Mas

(lU­lO) 

_çJ.JIl'f<

+,.,) <I V (lf) 

,

d ＧｦＧｾ＠

_J 

_'I' 

ＬＧｾ＠

26. 

então a equação (111-9) se torna

(I lI­H)  _.IV

I

_­­

­

Jv  ₌

­

-

r"'(O) 

oI" 

(zn) 'f

DCfc _Ifc.

₌

_o

Assim,chegamos a urna equação diferencial simples,en

volvendo girinos com qualquer número de loops, calculados

com as regras da lagrangeana

ｾ＠

. Colocando ('V:

.'fc. 

no

fim, obtemos o potencial efetivo V(

Cf)

da teoria

defini-da pela lagrangeana defini-da equação (111-1).

B Eletrodinãmica de B6sons: Um loop

o

metodo deve agora ser aplicado

à

lagrangeana de

Co leman - \".le inb erg

(llI­12) .  _[,

­

'r.'

_{( dI'}

T,

• 

_e 

_AI'

4'/  ­ .'.. (

_dI'

'J',  ­

_e 

_AI'

f)'

.\  '1"' 

_z

₂

>.

(f+f,')'

'1 ｾ＠ f

onde o rotacional

I/v

tem a expressão habitual

(lIl­13) 

F;<

v  =

dI' Av

­

dv

AI '

e  escalar t respectivamente,  é  e  ), sao  const2ntes  de 

acoplamento. 

Por  razões  de  conveniência,a  métrica  e  as  regras  de  Feynman  seguirão  as  convenções  do  Diagrammar (17)  : 

(III­14)  XI­' 

=

(i:, tc') I 

J­f'.:::k'>tk": 

_ｫｾ＠ "" f k"n ){  "'"  1.,.1.(.

Vamos  simplificar  o  problema  nos  restringindo  ao  po 

tecia!  efetiva  apenas  como  funçao  de 

tft 

e 

_<f.­:

isto Co 

é, 

tomando 

Yc

=

o

•  A simetria de  gauge  global  f) f vem 

em  nossa  ajuda  para mostrar  que 

v

ＨＱｦｾＬ＠

'fi)

é  função  ｡ｰｾ＠

,

,

nas  de 

_'f'c +

_'{{c

(<l.

Basta  então  determinar  a  ､･ｬＧ･ｾ

dência  em  apenas  uma  das  variáveis.  por  exemplo ｾ＠

frc. 

A questão.  que  se  põe  agora,diz  respeito 

ã 

escolha 

de  gaugc4  Esta  pode  ser  feita  de  duas  ｦｾｲｭ｡ｳＮ＠ Uma,  que  nos, 

parece  a  natural,  consiste  em  primeiro  fixar  o  gauge  e  de-Eois deslocar o campo. Neste caso,para uma dada escolha de "gauge na lagrangeana não deslocada,existe apenas um poto,!!;

cial ･ｦ･ｴｩｶｯｾ＠ A outra forma se caracterizá por primeiro dos Ioeir o campo <P

-

<f,

rI" c depois escolher o gauge.Vo

"

ｲ￭｡ｭｯｳｾ｡ｳｳｩｭＬｱｵ･＠ a parte da lagrangeana "que fixa o gauge

[,G

é

uma função de N:

1,<;

( f\>')

.

_Ora. R teoria

nao deslocada corresponde a 1*1 ::::

o

_{e não} é _{difícil cons}

truir várias

J:.

_G ( f" ) distintas que tendam ao mCSf.10

va

lor

$;,,,

(o) quando /V tende a zero. Assim.para uma

28.  

ríamos  uma  infinidade  de  potenciais  efetivos,diferindo  nuo 

trivialmente  um  do  outro.  :e.então,claro  que  se  deve  primei 

TO fixar  o  gauge  e  depois  deslocar  a  teoria. 

A  lagrangeana  (l11­12)  após  o  deslocamento  ｡ｰｲ･ｳ｣ｾ＠

ta  um  vértice  especialmente  incômodo  'J 

e  '"  ( <l/,

'f,1

A;<

,

que  podemos  chamar  de  propagador  misto.  Ele  aparece  infini-tas  vezes  em  cada  ordem  da  expansão  em  loops. 

Há\no  enta.nto,  a  agradável  surpresa  de  que  existe 

um  termo  fixador  de  gauge  o  qual,apôs  o  deslocamento,  cance  la  justamente  o  propagadoT  misto! 

_

(nI­15)  k,,,, 

,

2 

f (

iJ/,A;< -

i

'f,

'fJ

o 

termo  correspondente  de  Faddeev­popov(12)  é  então 

(In­l6) 

.G

_{H '"}

ê  [ 

a'

ｾ＠

l

'f' -

'f,')]

c. 

,

T

'

1-onde 

c 

represe'nta  o  çampo  fantasma  (ghost).  (Os  deta 

lhes  da  obtenção  de  (1I1­15)  e  UH­l6)  estão  no  apêndice 

ll) .

Poderia  parecer  uma  tarefa  difícil  caicular o  ｰｾ＠

,,

29. 

mas.  O nosso  metodo,entretanto,não  tem  medo  de  assombração 

e  isto  não  põe  nenhuma  dificuldade  especial. 

AS  regras  de  Feynman  da  lagrangeana  efetiva  desloca 

da  são  pois: 

Propagadores 

A  _i

i -

3'.

｡Ｉｾ＠

(b)'"

... 

ｾｾｶｽ

J' K v _{(zcr)\.  ｾｬＭ} ...

e,.',.,.,

_{･ｴＢＮＮＬｾ＠} t _k-: !

,

b)  ｾＮ＠ 1 

(2 n)'

r

Wt -r

l:..!:!.

l

• 

c) _._.

..

<1>,_. Ｂｾ＠

.. 

1  1 

(In)' 

t

\{_t  + ｾ＠ + ･ＧｦＧｔｾ＠

3! 

r

i f

ＨｬＡｮＩｾ＠ r

､ＩｾＢ＠

ｾＧ＠ r

"'-•  ! 

"Vértices 

e)  _ｾ ÀN' 

,

• 

(li

'2jf'\

,

Ｈ

ｾＮ＠

_,> 

_r-)

•

(lj

ＬｾＭＭ

tf

/ ,

(zn)' ),

1) ｾＢＭＮ＠" ｾ _,

r

,_,

,

.

't (,ln)'t ･ｾ

.m)X'

I z

ｾＧｦＱ

ＮＬＮｾ＠

.

n) \" / ' " i

ＧｴＮＮＮｦｌｮｬＮｾ＠ c1 

&,f'>

t

T

,

..

/\.

"

o)  2 ((ti)'! g(

E

r

p)

ＧｾＮ＾＼＠

2.  ünl' e'

f

1 

­Os  girinos  com  um  loap  são  mO:,;trados  na  figura  3. 

,

_,

,

") 

,

_,

,

,

.'

G, 

_G"  G. 

.G" 

'I

_,

32, 

Suas  expressões.  divergentes  no  ultravioleta,  serao 

ｲｾｧｵｬ｡ｲｩｺ｡､｡ｳ＠ com  o  auxllio  do  prolongamento  analítico  para 

ＬｾＬｳｰ｡￧ｯｳ＠

de  dimensão  complexa  de  tI Hooft­Veltman(14).  No  mo 

ｭｾｮｴｯ＠ teremos  necessidade  apenas  das  integrais 

j _rr"'/r. 

r(,·-;)

(IIh17)  _{, ＭＺＢＧＭＭＭＢＧＭｾｾ＠}

,

("...t  _  ｫｴＩｾﾷｦＭ

fd"p 

_{ＨｰＧＫＧＢｆＫｾｩ＠}

ｐＨｾＩ＠

,

rr-ＨｉｉｉｾＱＸＩ＠

p_

_{p __,1'"  ....ｾ ＭＭＬＭＭＺＢＭｾｾ＠} 1'( oi' 

T)  ( .. 

li'/,,) 

(1'1 + ll{P 1 jV'nt.)<  ­ ｬｬＧｙｙｬｾ＠ｾ＠ I(')"".?  _{(' (  q  )} 

e 

(jIl­19j 

r

､ｾ＠

P  .. 

p' 

"  _ ,  

ｉｲｾＢ＠

M  '  .. 

{r(" ­

ｾＩ＠

1<\'

.;  _{ＨｰｾＫＮｴｫｰＢｉｖ￳ｊ［Ｂ＠}

(,,",'  ­ .')'" 

f«)

+ ｲＨｾ＠ ­!  _ 

!:;.) "­

(/Y»' ­11') 

a  Z

Notar  a  ausência  do  fator  •l  ,  pois  estamos  usando 

?  ｾ￩ｴｲｩ｣｡＠ euclidiana. 

o  primeiro  dos  girinos  da  figura  3 

é 

então  dado  por 

A /'I' rr M/Z

(lU­lO) 

"'-

,

r(:_ ;)

G, " •

t(

J.;')'

Desenvolvendo o ll1onômio em sórie de Laurent e usan-do propriodades da função

r

obtemos

(IIHl)

ＬＬＢ｟ｘＺＱｦＧ＿ＡＺｴＭＨｌｾＩｉｊＢＧｾＢＢＢＢｊ＠

ｲｬ［ｾ［Ｉ＠

.

ＨＱＭｾｊＨＧＭｦＩ＠

Tomando apenas a parte finita desta expressão, nao escrevendo uma constante arbitrária, teremos no limite J\o\ ｾ＠ 'f

(III-22) f,'₍ :: ＬＮ｜ＮｴＮｰｾ＠ fI': )fr,

-

). f'T '

. ｾ＠ lê

Se procedermos da mesma forma com os outros girinos da figura 3.obteremos sucessivamente:

(III-23)

G'

_,

ir' e'f,.:r' ( 1 r

｡Ｎ｝ｾＢ＠

; '"

e 2

ｪ＾Ｚｦｾ＠

_ l,. J"", 1 - J 1. T )

,

z ! '

\

"

G

r

(I Ir-H) ,'N ｴｲｾ＠ ｾ＠ ｾｭ＠ e'fOI·

3

i

,34. 

(A  notar  neste  caso  a  mudança  de  sinal  por  se  tratar  de  um  loop  de  fantasma) 

e 

(IIl­Z5) 

G' 

,  _  ",( ),N + -

ＮＬｾＩ＠

(À07' 

__ r __

e.,.,)

.ÁM

O (,,,,, 

___  + _ ""

"''''j

I , ! _{f ' j}

_{' s}

Para  calcular  o  potencial  efetivo,devemos  ｲ･ｩｮｴｲｯ､ｾ＠

zir  os  termos  aTbitrários  da  regularização  e  utilizar  a 

re-lação (III-l). ｔ･ｲ･ｭｯｳＮ｡ｳｳｩｭＮｾ＠ contribuição de um loop para o potencial efetivo:

"v,

ｾ＠ ｾ

(fi

e' T

fl'.

ｾａ＠

ej

rv'

J'

ｾ＠

'" •

Z A f'" +

(UI-Z6)

_,o.fI1

_{S"tt'l- <J aJ}

+ q \3 f'1'

onde

A

e B são constantes a determinar.

Integrando ,virá

+ 5,.\t

(UI-H)

V

t

=

( G e't T

ｺ￀･ＧＩＨＨｖＧｊｾｦＨｔ＠

_

ｾｉ＠

3l 11' 4

,

$

,.

/

3 ｾ＠ "

i' AN' 1- B,tI)1I

Fazendo N';;; {l/)l, +- {ot ) 11r.. e adicionando o termo sem

'11(. lH..

loop,obtemos o potencial efetivo ate a ordem de um 100p. Se

usarmos as condições de renormalização de Coleman e

-W'einberg:-(Il-7)

J'

v

_{ｾ＠ o}

J'

v

_,\

,

d

'f'

_{!f=Q 6}

_'f'

• 

• 

podemos  escrever 

+

(!Ir­28) 

v

ｾ＠

À

,

('f.:

+

ＧｦＮｾ＠

•

)2 

, (.ile·

t "  A'

'''ITr'?  'f! + : ; /

,

,

.

_{ＨＧｦＮｾ＠}

t

'f:: )

I

_J(", 

-f'<

₊

!f«

_2')

.111

Usando  a  técnica  descrita 'na  secção  (lI­A),  Coleman  e  \veinberg  calcularam  o  potencial  efetivo  para  este  modelo, 

n_o  gauge  de  Landau.  isto é> no  1imite 

j -:-"

(X;>  Nestas

condições  o  nosso  resultado  coincide  exatamente  com  este.  b 

interessante  notar  que  a  condição  que  fixa  o  gauge 

é 

compa-tível com

Ar

ｾ＠ o ,

o ponto no qual o potencial efetivo foi ｣｡ｬ｣ｵｬ｡､ｯｾ＠

C Eletrodinâmlca de Bósons! Dois ｬｯｯｰｾ＠

A contribuição de dois ou mais loops não oferece maiores dificuldades ｾ＠ exceto 'pela extensão dos cálculos)

pois o número de diagramas necessários

é

finito: os

diagra-mas que contribuem para o pQtencial efetivo em dois

• 

36. 

.

, ,"

...

cp

y 

₉

_',,(

,

, ＢＧｾＬ＠

, , "

.

'

..

, ,

Q 

_.

__

...ｾ＠ , ' 

, •

9 

'­( 

­r 

9 

,

.

o  ,

, , _,

Q 

­

"

? 

ｾ＠

'I'

,

ｾ＠

:'1': 

ｾＭＢＮ＠

"('

9

y 

_ｾ＠

o

'"

Q 

9 

<p

_?  

Q

_Q

₇ 

_<fi  

,

,

-

.

,

.

ｾ＠

ｾ＠

9

y

FIGURA  4  ­ Girinos com 2  loops

o 

cálculo  de  todos  esses  diagramas 

ê 

longo  e  exaus­·  tivo,  pois há. _divergências  que  se  interceptam.  A  sua ･ｸｰｲ｣ｾ＠

são  final,  que  ainda  depende  de  parâmetros  de  Feynman,  não 

é 

especialmente  esclarecedora.  O  resultado  completfr.  no  ｧ｡ｾ＠

ge  linear,  que  não  difere  essencialmente  do  nosso.  pode 

,

IV  ｾ＠ TEORIAS  DE  GAUGE  NÃO  ABELIANAS 

A  determinação  do  po:tencial  efetivo  de  teorias 

,fe 

gauge  não  abelíanas  se  processa  da  mesma  forma  que  no  caso 

ｾ｢･ｾｾ｡ｮｯ＠ e  aparentemente  não  é  muito  mais  difícil.  Vamos.en 

ｾ￣ｯ＠

ｾ｣ｯｮｳｩ､･ｲ｡ｲ＠

uma  teoria  de  Yang­Mills (1 S )  sem  férmions 

descrita  'pela  ｬ｡ｧｲ｡ｮｧ･｡ｮ｡ｾ＠

>( ｾ＠ 4 ' 

(IV­I)  [;,

-

i

r;::.

ｾｶ＠

­ 2­

(

D)'

+, 

DA) -

P(

fJ 

ｾ＠

.·onde 

,

A

(IV­2) 

(J)J.pla.

_{= ,.}

_ｾｾ＠

_-

₉

4  b 

t" 

!'."<  1 

(IV­3) 

P

(fi  ­

.;:: 

f 

+>11"

ｾ＠

e  . 

(IN) . 

ｾｾ＠

=.t 

A;  ­

àv

A; 

｣ｾｴＧｲ＠

A;

ａｾ＠

.0  ,tensor  ｣ｾｴＳ＼ｲ＠ representa  aS  constantes  de  estrutura 

'do  grupo  de  gauge  representado  pelas  matrizes 

9: 

_b  j 

fi

na.lmente 

r

e 

h 

são  constantes.  Aqui  são 

usadas 

as 

38. 

tas no apêndice A. Para uma explanação mais detalhada

reco-mendamos o excelente artigo de Costa e Tonin(2í1).

, , Fazendo o habitual deslocamento dos campos escala

-! 

_Tes 

ＨｉｖｾｓＩ＠

f..

ｾ＠

f.. 

1­ f:;'

obtemos uma nova lagrangeana escrita como

ＨｉｖｾＶＩ＠

f., 

ｾ＠

1, 

_{"I- [, ... t<:'''1'-10}

L.I''''''

na  qual 

(IV­7)  $.,,,"," 

= _

ｾＨｾ

A;

. 

J, A;)(

dI' 

A: -

.v

A;)

-•

•

-:.

ｌＯｶｦＬＧＩＧￍｾ＠

A;

AI

­ :. (

dI' 

f.

dI'

p) -

'..IW).. 

bf.

fb 

_f

z

. 

2 

z

t

(drr,

g4

l'JA;

e também

• A.)

A<l Afl _'C""f!i1'c. r _r..rA oI _Af; (IV­8)  lH"ut"",;., !.

￩ＧｉＧｾＨ＠

t

ａｾ＠

- y t'

r

v -

.

- _. 'I'

,

li'

e 

ＮａｾａｲＬ｜ｾｴＧￍＧＬ＠

.<flAr-

te';'. 

･Ｂ､ａｾａ［＠

ｾ＠ ＨｬＹＧｦＮｬＹｾｦｊａ［＠

AI

ç.

,

_fa 

_{f •}

_.pc 

ｾ

f .. \>0

6 

ｴｾ＠

••

or.r.+.fd 

.

. l l

39. 

(IV­S). 

(M:",,)

o  iJ' 1'(fl 

,

J ｦｾ＠

"f. 

f

=

,,-0

(IV­lO) 

(vU,yP

ｾ＠ (G"E', 

9 P

[.o)

(IV­ll) 

f

_{o "o}

_-,,-"

_{ＧｾｬＧｌＮｬＢｲＩＬＭＭ｟＠ ,}

Ｇｲｾ＠

d'Í'b

"fe 

14'"  ,,' 

ＨｉｖｾｬＲＩ＠ ｦｾＬＬ＼￢＠ _{.' i'} (í)

ＬｾＮ＠

cf­

-<l'o

"1'. 

ｴｯｾ＠

Como  de  .costume, há  o  indesejável  propagado r  misto 

na,  lagrangeana  livre!.:,  •  isto é,  um  termo  quadrático

- _ ｾＧｖｦＢ･＠

envolvendo  dois  campos  diferentes.  A  complicação  resultante 

'pode sel'  avi tada  usando­se  a  liberdade  de  ga.uge  para 

elimi-nar este térn:o. Tal foi realiza.dô por 1t Hooft(2,l)" com . ti introdução do termo que fixa o gauge :

'A <

-r-"'(

).

. (IV-l3) _{C'(:..) ｾ＠}

í'

_{ｾａＯＬＨＢＭＩ＠ - J}

_f(><',e</i.'