Soluções singulares para operadores diferenciais parciais com coeficientes constantes.

(1)

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Solu¸

c˜

oes Singulares para

Operadores Diferenciais Parciais

com Coeficientes Constantes

Elisandra B¨ar

(2)

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Solu¸

c˜

oes Singulares para

Operadores Diferenciais Parciais com Coeficientes

Constantes

Elisandra B¨ar

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da UFSCar como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, área de concentra¸cão: Análise Matemática

(3)

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

B223ss

Bär, Elisandra.

Soluções singulares para operadores diferenciais parciais com coeficientes constantes / Elisandra Bär. -- São Carlos : UFSCar, 2004.

148 p.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2004.

1. Equações diferenciais parciais lineares. 2. Fourier, Análise de. 3. Singularidades (matemática). 4. Conjunto frente de ondas. I. Título.

(4)

Orientador

(5)

Banca Examinadora

Prof. Dr. Jos´e Ruidival Soares dos Santos Filho

Prof. Dr. Jorge Guillermo Hounie

(6)

(7)

“Por vezes sentimos que aquilo que fazemos não é senão uma gota de água no mar. Mas o mar seria menor se lhe faltasse uma gota.”

(8)

A Deus pela constante companhia e por estar sempre iluminando meu caminho.

Aos meus pais Helga e Egon e minha irmã Marcia por todo amor, cari-nho, apoio, incentivo e compreensão. Aos meus tios e avós que sempre estive-ram presentes.

Ao Diogo que nestes últimos meses é meu porto seguro. Obrigada pelo teu amor, carinho, respeito e compreensão.

Ao meu orientador Professor Dr. Jos´e Ruidival Soares dos Santos Filho pela orienta¸c˜ao dedicada e paciente.

Aos Professores do Departamento de Matem´atica da UFSCar pelos en-sinamentos matem´aticos e pela amizade.

Aos Professores do Departamento de Matem´atica da UEPG, de maneira especial ao Giuliano que foi muito mais que um professor, foi orientador e ´e um amigo muito querido.

Aos meus amigos que sempre estiveram ao meu lado, em especial a Lu´ıza, a Jˆo, a Vˆania, a Cris, a Kelly, o Marcos, a Clarice, a Luana. Aos colegas e amigos do PPG-M pelo companheirismo e excelente ambiente de trabalho.

(9)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 3

1.2 Nota¸c˜oes . . . 4

1.3 A Topologia deC∞ c (Ω) . . . 6

1.4 Defini¸cão e Propriedades Básicas de Distribui¸cões . . . 10

1.5 Convolu¸c˜ao . . . 28

1.6 Distribui¸c˜oes Homogˆeneas . . . 33

1.7 Distribui¸c˜oes em Espa¸cos Produto . . . 42

1.8 Composi¸c˜ao com Aplica¸c˜oes Suaves . . . 44

1.9 Convexidade . . . 47

1.10 Teoremas . . . 51

2 A Transformada de Fourier 54 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 54

2.2 A Transformada de Fourier em_S(Rn_{) . . . 55}

2.3 A Transformada de Fourier em_S′₍_Rn_{) . . . 62}

2.4 A Transformada de Fourier-Laplace em E′₍_Rn_{) . . . 82}

(10)

3 An´alise Espectral de Singularidades 106

3.1 Introdu¸c˜ao . . . 106

3.2 O Conjunto Frente de Onda . . . 107

3.3 Revisão de Opera¸cões com Distribui¸cões . . . 123

3.4 O Conjunto Frente de Onda de Solu¸c˜oes de EDP’s . . . 133

(11)

(12)

(13)

O objetivo deste trabalho ´e dissertar sobre solu¸c˜oes singulares de operadores diferenciais parciais lineares com coeficientes constantes.

No primeiro cap´ıtulo introduziremos algumas nota¸cões, defini¸cões e re-sultados que serão utilizados nesta disserta¸cão.

No segundo cap´ıtulo falaremos sobre a transformada de Fourier e algu-mas de suas propriedades. Como aplica¸cão discutiremos solu¸cões fundamentais de equa¸cões el´ıpticas. A transformada de Fourier-Laplace de distribui¸cões com suporte compacto é então abordada. A seguir demonstraremos o teorema de Paley-Wiener-Schwartz e a sua versão para suportes singulares. Tais resul-tados dão informa¸cões sobre o tamanho do suporte e do suporte singular de uma distribui¸cão de suporte compacto, respectivamente, bem como sobre a sua regularidade medida pelo comportamento da transformada de Fourier.

(14)

(15)

Preliminares

1.1 Introdu¸

c˜

ao

Este cap´ıtulo apresenta um apanhado geral dos conteúdos preliminares necessários para o desenrolar desta disserta¸cão. Ele está dividido nas seguintes se¸cões:

Na Se¸cão 1.2 apresentaremos as nota¸cões usadas nesta disserta¸cão. Na Se¸cão 1.3 introduziremos a topologia natural em C∞

c (Ω) que o torna um

espa¸co vetorial topol´ogico completo, sendo Ω ´e um aberto de Rn_,_;

Na Se¸cão 1.4 demonstraremos alguns resultados da teoria das distribui¸cões; A Se¸cão 1.5 trata de convolu¸cão ;

Na Se¸cão 1.6 definiremos distribui¸cões homogêneas e enunciaremos dois teore-mas de extensão de distribui¸cões homogêneas deRn_\{₀_} _para _Rn_;

Na Se¸cão 1.7 definiremos distribui¸cões em espa¸cos produto e produto tensorial; Na Se¸cão 1.8 falaremos da composi¸cão de distribui¸cões com fun¸cões C∞ _com diferencial sobrejetiva;

(16)

Na Se¸c˜ao 1.10 enunciaremos alguns teoremas os quais ser˜ao citados nos cap´ıtulos posteriores.

1.2 Nota¸

c˜

oes

O objetivo desta se¸cão é apresentar as nota¸cões usadas neste cap´ıtulo. Iniciamos recordando que estamos usando x= (x1, x2, . . . , xn) como as

vari´aveis no espa¸co euclidiano Rn _{de dimens˜ao} _n _≥ _{1 e} _Nn _{como o conjunto}

de todas as n-uplas α = (α1,· · · , αn) com αj ∈ N, para cada j = 1,· · · , n.

Tamb´em estamos usando |α|=α1+· · ·+αn e

∂α ₌_∂α1

x1∂

α2

x2 · · ·∂

αn

xn,

sendo ∂xj =

∂ ∂xj.

Usaremos o produto escalar usual

x_·ξ=x1ξ1+x2ξ2+· · ·+xnξn

e a norma usual

|x|=√x·x .

Seα= (α1, α2, . . . , αn)∈Nneβ = (β1, β2, . . . , βn)∈Nnent˜ao usaremos

a seguinte rela¸c˜ao de ordem

β _≤α_⇔βj ≤αj ,∀j = 1, . . . , n .

Al´em disso

α! =α1!· · ·αn!

e o coeficiente binomial ´e dado por µ

α β

¶

= α!

(17)

onde a diferen¸ca de multi-´ındices é calculada coordenada a coordenada. Os monômios emx de expoente α serão denotados por

xα =xα1

1 x

α2

2 · · ·xαnn .

Usaremos tamb´em a nota¸c˜ao

Dα =Dα1

x1D

α2

x2 · · ·D

αn

xn ,

sendo Dxj =−i

∂ ∂xj.

EmC∞₍_Rn_{) vale a f´ormula de Leibniz}

∂α(ϕ·ψ) =X

β≤α

µ α β

¶

∂α−βϕ·∂βψ.

Sef _∈C∞₍_Rn_{) e} _x

0 ∈Rn, podemos considerar a expans˜ao de Taylor

X

α∈Zn

+

∂α_f₍_x

0)

α! (x−x0)

α _.

Dado um operador linear diferencial parcial de ordem m P(x, D) = X

|α|≤m

cα(x)Dα

com coeficientes cα ∈C∞(Rn), chamamos de s´ımbolo de P a fun¸c˜ao

p(x, ξ) = X |α|≤m

cα(x)ξα

e de s´ımbolo principalde P a fun¸c˜ao

pm(x, ξ) =

X

|α|=m

cα(x)ξα .

Tanto o s´ımbolo como o s´ımbolo principal s˜ao fun¸c˜oes definidas emRn_×

Rn_,_{polinomiais na segunda variável, sendo esta ´}_{ultima uma fun¸cão homogênea}

de graum em ξ.

Consideraremos Ω um subconjunto aberto de Rn_, _se _K _{for um}

subcon-junto compacto de Ω denotaremos K _⊂⊂ Ω e o complementar de Ω em Rn

(18)

1.3 A Topologia de

C

_c∞

(Ω)

Nesta se¸c˜ao enunciaremos os resultados necess´arios para introduzirmos uma topologia em C∞

c a qual torne espa¸co completo, a demonstra¸c˜ao destes

resultados pode ser encontrada em [O] ou [H2].

Nesta se¸c˜ao seja K compacto em Rn_{. Nestas condi¸c˜oes temos que:}

PROPOSIÇ ÃO 1.3.1. O espa¸co vetorial normado C(K) = {f : K → C_;_f cont´ınua_}, com a norma do supremo, _kf _k∞= sup_{|f(x)_|}, é completo.

DEMONSTRAC¸ ˜AO Ver [O] pg.10.

T

EOREMA 1.3.2 (Teorema da Extens˜ao de Whitney) Sejamuα,|α| ≤k,

fun¸c˜oes cont´ınuas em K. Para cada α, considere

Uα(x, y) =

¯ ¯ ¯ ¯

¯uα(x)− X

|β|≤k−|α|

uα+β(y)(x−y)β

β!

¯ ¯ ¯ ¯ ¯|x−y|

|α|−k _se _x₆₌_{y, x, y} _∈_K

e

Uα(x, x) = 0, x∈K.

Se Uα ´e cont´ınua em K×K quando |α| ≤k, ´e poss´ıvel encontrarv ∈Ck(Rn)

com ∂α_v₍_x_{) =}_u

α(x), x∈K e |α| ≤k. DEMONSTRAC¸ ˜AO. Ver [H2]-pg.48.

Agora considere o espa¸co Cj₍_K_{) o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas}

defini-das no compacto K que admite extensão j-vezes diferenciável com a j-ésima derivada cont´ınua, isto é,

Cj(K) = _{f _∈C(K);_∃U _⊃K aberto e f∗ _∈Cj(U) :f∗ _|K=f}.

(19)

PROPOSIÇ ÃO 1.3.3 Seja K _∈Rn _{compacto tal que} _intK ₌_K_{. Então}

kf kj,∞= sup K {|

Dαf∗(x)|;|α| ≤j} ´e uma norma em Cj₍_K_{). E} ₍_Cj₍_K₎_,_{k · k}

j,∞)é completo. DEMONSTRAÇ ÃO Ver [O] pg.12.

A proposi¸cão acima mostra que se intK =K, não há ambiguidade em considerar

pj(f) =kf kj,∞= sup x∈K|

Dαf(x)|, se f ∈Cj(K). PROPOSIÇ ÃO 1.3.4. Nestas condi¸cões temos que (C∞₍_K₎_,_{_p

j}) ´e normado

completo.

DEMONSTRAC¸ ˜AO. Ver [O] pg.14.

DefinaC∞(K) = ∞ \

j=0

Cj(K). Em C∞(K) considere a m´etrica

d(f, g) = ∞ X

j=0

2−j pj(f −g) 1 +pj(f−g)

,

PROPOSIÇ ÃO 1.3.5. Suponha queK seja infinito. Nesta condi¸cões(C∞(K), d)

não é normável, isto é, não existe norma _{k · k} tal que

(C∞(K), d) = (C∞(K),_{k · k}).

Podemos definir uma topologia deC∞₍_K_{) através de semi-normas. De} fato neste caso será uma fam´ılia infinita de semi-normas. Defina um aberto básico de Ci₍_K_{) como sendo,}

(20)

PROPOSIÇ ÃO 1.3.6. (C∞₍_K₎_{, d}₎ _{é igual a} ₍_C∞₍_K₎_,_{_p

n}). DEMONSTRAC¸ ˜AO Ver [O] pg.15.

Dado Ω um aberto de Rn_{, n˜ao vazio, definimos o espa¸co vetorial} _C∞

c

como sendo o espa¸co da fun¸cões C∞_{(Ω) cujo suporte é compacto.} Lem-bramos que o suporte de uma fun¸cão cont´ınua φ(x) é o fecho do conjunto {x∈Ω; φ(x)= 06 },e se denota porS(φ). Tal espa¸co é não vazio pois a fun¸cão

φ(x) = exp(1/(|x|2₋_{1)) se} _x_∈ _B

1(0) ⊂ Rn e φ(x) = 0 se x /∈ B1(0) est´a em

C∞

c (Rn), o seu suporte ´e B1(0) e φ≥0 em B1(0). Transladando e contraindo

o suporte de φ, encontramos φ_{∗ ∈} C∞

c (Ω). Escreva Ω =

∞ [

i=0

Ki, com os Ki′s

compactos de Rn _{tais que} _K

i ⊂ int(Ki+1) ∀i∈N. Um c´alculo relativamente

simples mostra que

d1(f, g) =

∞ X

i=0

2−i_q

i(g−f)

1 +qi(g−f)

,

em que qi(f) = supx∈Ki{|D

α_f₍_x₎_|_; _|_α_{| ≤}_i_}_{, f} _∈_C∞

c (Ω), define uma m´etrica

sobre o espa¸co C∞

c . A topologia de Cc∞ ´e dada pelos elementos b´asicos

V(f, n, ǫ) =_{g _∈C∞

c (Ω) :qn(g−f)< ǫ}.

PROPOSIC¸ ˜AO 1.3.7. (C∞

c , d1) n˜ao ´e completo.

Pode-se definir uma outra topologia em C∞

c que ´e mais fina do que foi

dada. Isto ´e feito da seguinte forma: Sejaρ ={ρα}α∈Nn uma fam´ılia de fun¸c˜oes

cont´ınuas definidas em Ω, tais que{S(ρα)}α∈Nn ´e uma fam´ılia localmente finita

de conjuntos, isto ´e, para todo compactoK _⊂Ω, #_{α;S(ρα)∩K 6=∅}´e finito.

Fixado uma tal fam´ıia considere a seguinte semi-norma em C∞

c :

pρ(φ) =

X

α

(21)

Assim definimos uma topologia emC∞

c , cujos abertos b´asicos s˜ao dados por:

V(f, ρ, ǫ) ={g ∈C_c∞(Ω);pρ(g−f)< ǫ}.

Nestas condi¸c˜oes a topologia dada pela fam´ılia de semi-normas {pρ}, ´e mais

fina que a dada pela fam´ılia de semi-normas _{pi}, constru´ıda anteriormente.

De fato, basta mostrar que fixado no existe C > 0 e ρo tal que

pno(f)≤Cpρo(f), ∀f ∈C

∞

c .

Assim tome C = 1 e ρo ={ρ0,α}α∈Nn em que

ρ0,α(x) =

    

1, se _|α_{| ≤}no

0, se |α|> no

Taisρo ={ρ0,α}α∈Nn pertencem aC(Ω) e ´e uma fam´ılia localmente finita pois

ρ0,α(x) = 0 exceto para |α|> no, independente do compacto. E como

sup

x∈Kno

{|Dαf(x)_|:_|α_{| ≤}no} ≤ sup x∈Ω{|

Dαf(x)_|:_|α_{| ≤}no}

= sup

x∈Ω{|

ρ0,α(x)Dαf(x)|} ≤pρo(f)

= X

α

sup

x∈Ω{|

ρ0,α(x)Dαf(x)|},

temos que a topologia dada pela fam´ılia de semi-normas {pρ} ´e mais fina que

a topologia dada pelas semi-normas _{pn}.

PROPOSIC¸ ˜AO 1.3.8. (C∞

c ,{pρ}) é completo. DEMONSTRAÇ ÃO Ver [O] pg.21.

Esta ser´a a topologia de C∞

(22)

1.4 Defini¸

c˜

ao e Propriedades B´

asicas de

Dis-tribui¸

c˜

oes

DEFINIÇ ÃO 1.4.1 Se f é uma fun¸cão complexa, Lebesgue mensurável,

defi-nida num aberto Ω_⊂Rn_, _{tal que para todo compacto} _K _⊂_Ω_,

Z

K|

f_|dx <_∞

dizemos que f ´e localmente integr´avel e escrevemos f _∈L1

loc(Ω).

Dada φ1 ∈ Cc∞, φ1 6≡ 0, φ1 ≥ 0 se multiplicarmos φ1(x) por uma

constante adequada obteremos uma nova fun¸c˜ao φ(x)_∈C∞

c (Rn) tal que

Z

φ(x)dx = 1, φ_≥0, S(φ)_{⊆ {}x; _|x_{| ≤}1_}. (1.4.1) De fato, seja λ= _R 1

φ1dx,assim tome φ(x) = λφ1(x).

Seja

φǫ(x) =ǫ−nφ(

x ǫ),

definimos

fǫ(x) =

Z

f(x−ǫy)φ(y)dy=ǫ−n Z

f(y)φ(x−y

ǫ )dy, f ∈L

1

loc(Rn).

T

EOREMA 1.4.2 Seja φ ∈ C∞

c (Rn) tal que (1.4.1) vale, se f ∈ L1loc(Ω)

e S(f) = Ω ent˜ao fǫ ∈ Cc∞(Ω) se ǫ < δ = d(S(f),Ωc). Se f ∈ Lp(Ω),

1_≤p <_∞ e S(f)_⊂⊂Ω ent˜ao fǫ → f em Lp(Ω) quando ǫ→0. Al´em disso,

se f _∈C0_{(Ω), ent˜ao} _f

ǫ →f uniformemente.

DEMONSTRAÇ ÃO. DEMONSTRAÇ ÃO. 1)fǫ ∈C0(Ω). De fato, como

|fǫ(x)−fǫ(x

′

)_|=ǫ−n_| Z

f(y)[φ(x−y

ǫ )−φ( x′ ₋y

ǫ )]dy|

≤ǫ−n

Z

|f(y)_||φ(x−y

ǫ )−φ( x′ ₋y

ǫ )|dy

≤kf k1 sup

ǫ|t−t′|≤|x−x′|

(23)

e o resultado segue da continuidade deφ.

2) Podemos diferenciar φ sob o sinal de integra¸c˜ao. De fato,

∂ ∂xj

fǫ(x) = lim h→0

fǫ(x+hej)−fǫ(x)

h

= lim

h→0

ǫ−n

h Z

f(y)[φ(x+hej−y

ǫ )−φ( x−y

ǫ )]dy.

Mas comof ∈L1_{(Ω), temos que para cada x fixo}

ǫ−n

h f(y)[φ(

x+hej−y

ǫ )−φ( x₋y

ǫ )→ǫ

−n_f₍_y₎ ∂

∂xj

φ(x−y

ǫ ),

quando h _→ 0. Ent˜ao pelo Teorema do Valor M´edio existem 0 < θh < 1 tal

que |1

hf(y)[φ(

x+hej−y

ǫ )−φ( x−y

ǫ )]|=|f(y) µ

∂ ∂xj

φ ¶

(x+θhej−y

ǫ )|

≤ |f(y)_| max

0<θh<1|

µ ∂ ∂xj

φ ¶

(x+θhej−y

ǫ )|,

de modo que o membro à direita da última desigualdade está emL1_{(Ω). Logo,}

pelo Teorema da Convergˆencia Dominada

∂ ∂xj

fǫ(x) = ǫ−n

Z f(y)

µ ∂ ∂xj

φ ¶

(x−y

ǫ )dy.

Analogamente mostra-se que

Dαfǫ(x) =ǫ−n

Z

f(y) (Dαφ) (x−y

ǫ )dy,

e seguindo os passos de 1) prova-se queDαfǫ ∈C0(Ω). Portanto,fǫ ∈C∞(Ω).

3) Suponhamos que fǫ(x) 6= 0. Logo, pela primeira express˜ao de fǫ,

existe y_∈S(φ) =_{y,_|y_{| ≤}1_}tal quex₋ǫy_∈K. Assim, se ǫ < δ =d(K,Ωc_),

segue queS(fǫ)⊆K +{x;kxk≤ǫ}, dondefǫ ∈Cc∞(Ω).

4) Vamos supor que f ∈C0

c(Ω). Desde que

R

φdy = 1, ent˜ao

|fǫ(x)−f(x)|=|

Z

[f(x₋ǫy)₋f(x)]φ(y)dy_{| ≤}sup

y |

(24)

o qual tende a zero comǫ, devido a continuidade uniforme def. Logo, fǫ →f

uniformemente.

5) Seja f ∈Lp_{(Ω). Temos que} _k_f

ǫ kp≤kf kp. De fato,

|fǫ(x)|=|

Z

f(x₋ǫy)φ(y)dy_{| ≤} Z

|f(x₋ǫy)_||φ(y)_|1p+

1

qdy

≤( Z

|f(x₋ǫy)_|p_|φ(y)_|dy)1p(

Z

|φ(y)_|dy)1q,

em que na ´ultima passagem usamos a desigualdade de H¨older. Assim, Z

|fǫ(x)|pdx ≤

Z Z

|f(x₋ǫy)_|p_|φ(y)_|dydx=_kf _kp_p,

sendo que a ´ultima igualdade segue do teorema de Fubini. Logokfǫ kp≤kf kp.

Por outro lado, dado η > 0, existem v, vǫ ∈ Cc0(Ω) tal que k f −v kp< η e

kfǫ−vǫkp < η.Portanto,

kfǫ−f kp= kfǫ−v+v−f kp≤kfǫ−v kp +kv−f kp

≤kfǫ−vǫkp +kvǫ−v kp +kf −v kp<2η+kvǫ−v kp .

Mas comovǫ →v uniformemente quandoǫ→0 eS(vǫ)⊂K+{x;kxk≤ǫ}, o

qual independe de ǫse 0< ǫ <1. Logo, _kvǫ−v kp< δ seǫ for suficientemente

pequeno e _kfǫ−f kp<3δ.

OBSERVAÇ ÕES 1.4.3 (i) Se f ∈ Lp, 1 ≤ p < ∞ é de suporte compacto então

f _∈L1 _{pela desigualdade de H¨older, assim}_f

ǫ ∈L1.

(ii) Usando o fato de que as fun¸c˜oes em Lp _{com suporte compacto s˜ao densas}

em Lp_{, o teorema mostra que}_C∞

c (Ω)⊂Lp(Ω) densamente.

(iii) C∞

c (Ω)⊂L∞(Ω) de modo n˜ao denso. De fato, seja ψ(x) = 1em Ω, ent˜ao

ψ ∈L∞_{(Ω). Assim, dado qualquer}_ϕ _∈_C∞

c (Ω), kϕ−ψk∞ = sup x∈Ω|

(ϕ−ψ)(x)| ≥ 1, pois existe x∈Ω tal que ϕ(x) = 0.

T

EOREMA 1.4.4 Seja K _⊂ Ω um conjunto compacto. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao ϕ∈C∞

(25)

DEMONSTRAÇ ÃO. Seja δ = d(K, Ωc), δ > 0, pois é a distância entre um

compacto e um fechado disjunto. Consideremos ǫ, ǫ1 > 0 tais que ǫ < ǫ1 <

ǫ+ǫ1 < δ e seja χ a fun¸c˜ao caracter´ıstica de K1 = K +{x ∈ Ω; |x| ≤ ǫ1}.

Tomemos

ϕ(x) = Z

χ(x−ǫy)φ(y)dy=ǫ−n Z

χ(y)φ(x−y

ǫ )dy,

em que φ ∈ C∞

c tal que (1.4.1) vale. ϕ ∈ Cc∞, pois S(ϕ) ⊆ K1 +{x; |x| ≤

ǫ} ⊆K+{x; |x| ≤ǫ+ǫ1} ⊆Ω.Sed(x, K)< ǫ1−ǫ,segue que para qualquer

y∈Rn_, _com _|_y_{| ≤}₁_{, x}₋_ǫy _∈_K

1.Conseq¨uentemente

ϕ(x) = Z

χ(x−ǫy)φ(y)dy = Z

|y|≤1

χ(x−ǫy)φ(y)dy= Z

|y|≤1

φ(y)dy= 1.

Portantoϕ ≡1 numa vizinhan¸ca deK.

OBSERVAÇ ÃO 1.4.5 Com a nota¸cão do Teorema acima temos

|∂αϕ(x)_|=ǫ−n_|Dα( Z

χ(y)φ(x−y

ǫ )dy)|=

=ǫ−n_| Z

χ(y)ǫ−|α|(Dα)(x−y

ǫ )dy|=

=ǫ−|α|_| Z

χ(x₋ǫy)(Dαφ)(y)dy_{| ≤}

≤ǫ−|α| Z

|Dαφ|dy.

Assim

|∂αϕ| ≤Cαǫ−|α| (1.4.2)

em que Cα depende apenas de α e da norma.

T

EOREMA 1.4.6 Sejam Ω1, ...,Ωk conjuntos abertos e K um compacto tal

queK _{⊂ ∪}k₁Ωj. Ent˜ao existem fun¸c˜oesϕj ∈Cc∞(Ωj)tal que ϕj ≥0e k

X

1

ϕj ≤

(26)

DEMONSTRAC¸ ˜AO. Ver [H2] pg.28.

DEFINIÇ ÃO 1.4.7 Uma sequência{φj}de fun¸cões em Cc∞(Ω) converge a zero

em C∞

c (Ω) se

(i) existe um compacto K ⊂Ω tal que S(φj)⊆K, j = 1,2, ...

(ii) para todo inteiro positivo m, as derivadas de ordem m das fun¸c˜oes φj

convergem uniformemente a zero quando j → ∞.

DEFINIÇ ÃO 1.4.8 Uma distribui¸cão u em Ω é uma aplica¸cão linear de C∞

c

tal que para cada compacto K _⊂Ω existem constantes C e k tais que:

|u(ϕ)_{| ≤}C X

|α|≤k

sup_|Dαϕ_|; ϕ_∈C_◦∞(K). (1.4.3)

O conjunto de todas distribui¸cões é denotado por _D′_{(Ω). Se o inteiro} _k na estimativa acima independe da escolha do compacto K, a distribui¸cão u é dita ser de ordem finita, e o menor de tais inteiros k é chamado de ordem da distribui¸cão u em Ω e denotamos o conjunto destas distribui¸cões por D′k

(Ω). O conjunto de todas distribui¸c˜oes de ordem finita em Ω ´e denotado por_D′

F(Ω),

isto ´e, _D′

F(Ω) =

[

k

D′k(Ω).

O próximo teorema dá uma outra defini¸cão para distribui¸cões.

T

EOREMA 1.4.9 Uma forma linear u definida em C∞

c (Ω) ´e uma

distri-bui¸cão se, e somente se, u(ϕj) → 0 quando j → ∞ para cada seqüência

ϕj ∈Cc∞(Ω) tal que ϕj →0 em Cc∞(Ω).

DEMONSTRAÇ ÃO Suponhamos que u é uma distribui¸cão. Seja φ_j → 0 em

C∞

c (Ω) e S(φj) ⊆ K0, j = 1,2, ... logo P_|_α_|≤_msupK0|D

α_φ

j| → 0 quando

j _→ 0, pois φ(_jm) _→ 0 quando j _→ 0 uniformemente em K = K0, portanto

(27)

j _→0 para toda seq¨uˆencia C∞

c (Ω) ∋φj →0 em Cc∞(Ω) e suponhamos que u

n˜ao satisfa¸ca (1.4.3), ou seja dadoC =k =n existe ϕn ∈Cc∞(Ω) tal que

rn=|hu, ϕni|> n

X

|α|≤n

sup|Dαϕn|, S(ϕn)⊆K,

assim para ψn = ϕ_r_nn ∈Cc∞, temos que

X

|α|≤n

sup_|Dα_ψ n|<

1

n, hu, ψni= 1, S(ψn)⊆K,

isto ´e, ψn→0 em Cc∞(Ω) e hu, ψni 6→0 o que contradiz a continuidade deu.

EXEMPLO 1.4.10 Consideremos Ω =Rn_, _{e defina}

hδ, φi=φ(0), φ∈C_c∞(Rn₎_.

O funcional δ é linear e cont´ınuo. Esta distribui¸cão é chamada ”delta de

Dirac”.

EXEMPLO 1.4.11 Seja f _∈L1

loc(Ω), Ω⊆Rn, e defina

hTf, φi=

Z

f φdx, φ∈C_c∞(Ω). Tf ´e uma distribui¸c˜ao. De fato,

hTf, φ1+λφ2i=

Z

f φ1dx +λ

Z

f φ2dx, φ1, φ2 ∈Cc∞(Ω), λ∈R

o que prova a linearidade. Seja _{φj}uma seq¨uencia emCc∞(Ω)tal que φj →0

em C∞

c (Ω) da defini¸c˜ao 1.4.7 temos que existe K ⊂⊂ Ω tal que S(φj) ⊆

K, j = 1, 2... e para todo m >0, φ_j(m)→0 uniformemente quando j → ∞.

Assim

|hTf, φji|=|

Z

S(φj)

f φjdx| ≤ sup S(φj)

|φj(x)|

Z

S(φj)

|f_|dx=M sup

x∈S(φj)

|φj(x)| →0,

(28)

T

EOREMA 1.4.12 Sejam Ω,Σ subconjuntos abertos de Rn _e _Rm

respectiva-mente,u_{∈ D}′_(Ω)_e_ϕ₍_{x, y}₎_∈_C∞_(Ω_×_Σ)_._{Se existe}_K _⊂⊂_Σ_{tal que}_ϕ₍_{x, y}_{) = 0} quando x /∈K, ent˜ao a aplica¸c˜ao y7→ hu, ϕ(·, y)i pertence a C∞_(Σ) _e

∂_yαhu, ϕ(·, y)i=hu, ∂_yαϕ(·, y)i,

para todo multi-´ındice α.

DEMONSTRAÇ ÃO. Provemos inicialmente que y 7→ ϕ(x, y) é cont´ınua. Fixe

y arbitrário e tome uma seqüência yj → y qualquer. Para facilitar a

com-preens˜ao, escrevamos ψj(x) = ϕ(x, yj) e ψ(x) = ϕ(x, y) (y est´a fixado, de

modo que ψj e ψ s˜ao fun¸c˜oes de x). A linearidade e a continuidade de u

im-plicam que ´e suficiente provarmos que ψj →ψ em C0∞(Ω). Como ϕ(x, y) = 0

quando x /_∈K, o suporte de cada ψj est´a contido em K.

O teorema do valor m´edio garante que, para cada j, existe um n´umero real 0< θj <1 para o qual vale

|ψj(x)−ψ(x)| = |ϕ(x, yj)−ϕ(x, y)|

= |∇yϕ(x, y+θj(y−yj))·(y−yj)|

≤ |∇yϕ(x, y+θj(y−yj))| |y−yj|.

Como yj → y, os pontos yj est˜ao contidos em uma bola BR(y), e, como

0 < θj < 1, obtemos que os pontos y+θj(y−yj) est˜ao contidos em BR(y).

Escrevendo B =BR(y) temos

|ψj(x)−ψ(x)| ≤ sup z∈B|∇y

ϕ(x, z)| |y−yj|

≤ sup

z∈B,x∈K|∇y

ϕ(x, z)_{| |}y₋yj|.

Isso implica que ψj → ψ uniformemente. Mas o argumento acima vale para

uma fun¸cão ϕ arbitrária, logo vale também para ∂α

(29)

multi-´ındice α.Portanto, ψj →ψ em C0∞(Ω) e, da´ı, hu, ϕ(·, yj)i converge para

hu, ϕ(_·, y)_i. Como a seqüência_{yj}é arbitrária, y7→ hu, ϕ(·, y)ié cont´ınua.

A prova de quey7→ hu, ϕ(·, y)ié de classe C∞_{(Σ) será feita por indu¸cão} sobre |α|. Tome um multi-´ındice α tal que |α| = 1, suponha α = ei. Tome

uma seqüência _{hj} arbitrária tal que hj →0 ehj 6= 0,∀j ∈N. A linearidade

deu implica que o quociente de Newton pode ser escrito como hu, ϕ(·, y+hjei)i − hu, ϕ(·, y)i

hj −

D u, ∂

∂yi

ϕ(·, y)E =Du,ϕ(·, y+hjei)−ϕ(·, y)

hj −

∂ ∂yi

ϕ(·, y)E,

e, sua continuidade implica que, para provarmos que y _{7→ h}u, ϕ(_·, y)_i pos-sui derivada de primeira ordem na dire¸c˜ao de ei, ´e suficiente provarmos que

1

hj{ϕ(·, y+hjei)−ϕ(·, y)}−

∂

∂yiϕ(·, y)→0 emC

∞

0 (Ω).Novamente para facilitar

a compreens˜ao, escreveremos

ψj(x) =

ϕ(x, y+hiej)−ϕ(x, y)

hi

e ψ(x) = ∂

∂yi

ϕ(x, y).

Em primeiro lugar note que S(ψj)⊂K,∀j ∈N.

Nas estimativas que seguem, os n´umeros reais θj, τj s˜ao tais que 0 <

θj, τj <1 e sua existência é garantida pelo teorema do valor médio.

|ψj(x)−ψ(x)| =

¯ ¯

¯ϕ(x, y+hj_hei)−ϕ(x, y)

j −

∂ ∂yj

ϕ(x, y)¯¯_¯ = ¯¯_¯ ∂

∂yi

ϕ(x, y+θjhjei)−

∂ ∂yi

ϕ(x, y)¯¯_¯ = ¯¯_¯ ∂

2

∂y2

i

ϕ(x, y+τjθjhjei)

¯ ¯

¯|θjhjei|

≤ ¯¯¯ ∂

2

∂y2

i

ϕ(x, y+τjθjhjei)

¯ ¯ ¯|hj|

≤ sup

z∈[y,hjei],x∈K

¯ ¯ ¯ ∂ 2 ∂y2 i

ϕ(x, z)¯¯_¯_|hj|

(30)

´ındicesi tais que _|hi|<1 temos

|ψi(x)−ψ(x)| ≤ sup z∈[y,ei],x∈K

¯ ¯ ¯ ∂

2

∂y2

i

ϕ(x, z)¯¯_¯_|hj|.

Isso prova que ψj → ψ uniformemente em K. Desde que a estimativa acima

vale para qualquer fun¸c˜aoϕ,vale para∂β

xϕ,para todo multi-´ındiceβ.Portanto,

ψj →ψ em C0∞(Ω) e, da´ı,

hu, ϕ(·, y+hjei)i − hu, ϕ(·, y)i

hj →

D u, ∂

∂yi

ϕ(·, y)E.

Desde que a seqüência {hj} é arbitrária, y 7→ hu, ϕ(·, y)i possui derivada de

primeira ordem na dire¸c˜ao de ei e vale _∂y∂_ihu, ϕ(·, y)i=hu,_∂y∂_iϕ(·, y)i.A prova

de que y _7→ ∂

∂yijhu, ϕ(·, y)i é cont´ınua é análoga à de que y 7→ hu, ϕ(·, y)i é

cont´ınua. O fato de que a dire¸cão ei é arbitrária, implica que y 7→ hu, ϕ(·, y)i

´e de classe C1_.

Suponha que y_{7→ h}u, ϕ(_·, y)_i´e de classe Ck _{e que}

∂_yγ_hu, ϕ(_·, y)_i=_hu, ∂_yγϕ(_·, y)_i,

para qualquer multi-´ındice γ de m´odulo k, e provemos que isso implica que

y7→ hu, ϕ(·, y)i´e de classe Ck+1_._{Tome um multi-´ındice} _α _{tal que} _|_α_|₌_k_{+ 1,}

podemos supor que α = γ +ej, |γ| = k. Aplicando a argumenta¸c˜ao do caso

k= 1 com ∂γ

xϕ no lugar de ϕ, obtemos o resultado desejado.

T

EOREMA 1.4.13 Uma aplica¸c˜ao linear u definida em C∞

c (Ω) ´e uma

dis-tribui¸c˜ao se, e somente se, existem fun¸c˜oes ρα ∈C(Ω), tal que

|u(φ)_{| ≤}X

α

sup_|ρα∂αφ|, φ∈C◦∞(Ω)

e em cada conjunto compacto de Ω exceto um n´umero finito das fun¸c˜oes ρα

n˜ao s˜ao identicamente nulas. Podemos tomar ρα = 0 quando |α| > k se e

(31)

DEMONSTRAC¸ ˜AO Ver [H2]-pg 35.

T

EOREMA 1.4.14 Seu_{∈ D}′k

(Ω), podemos estenderua um ´unico funcional linear em Ck

c(Ω) de forma que (1.4.3) continua v´alido para toda φ∈Cck(K) e

alguma constante C.

DEMONSTRAC¸ ˜AO. Ver [O] pg.34 ou [H2] pg.37.

O Teorema mostra que_D′_{(Ω) = (}_C∞

c (Ω))′.

T

EOREMA 1.4.15 Se uj é uma seqüência em D′(X) e

u(φ) = lim

j→∞uj(φ) (1.4.4)

existe para toda φ _∈ C∞

c (X), ent˜ao u ∈ D′(X). Assim uj →u como j → ∞.

Além disso, (1.4.3) é válida para todauj com constantes C e k independentes

de j, e uj(φj)→u(φ) se φj →φ em Cc∞(X).

DEMONSTRAC¸ ˜AO Ver [H2] pg.38.

Passemos, agora a estender para as distribui¸cões algumas opera¸cões básicas como a soma e o produto por escalares.

Seu1, u2 ∈ D′(Ω), λ ∈C, definimos para φ ∈Cc∞(Ω),

hu1+u2, φi = hu1, φi+hu2, φi,

hλu1, φi = λhu1, φi.

Se u é uma fun¸cão cont´ınua tal que ∂ku está definida e é cont´ınua,

obtemos por integra¸c˜ao por partes Z

(∂ku)φ=−

Z

(32)

Sef é uma fun¸cão cont´ınua, então Z

(f u)φ= Z

u(f φ), φ_∈C_c∞(Ω),

em que f φ´e uma fun¸c˜ao teste se f _∈C∞_.

As defini¸c˜oes a seguir estendem as igualdades acima para distribui¸c˜oes.

DEFINIÇ ÃO 1.4.16 (Produto por uma fun¸cãoC∞₎ Seja f

∈ C∞_{(Ω). Se} _u _∈ D′_{(Ω), definimos a multiplica¸c˜ao de} _u _por _f _como

hf u, φ_i=_hu, f φ_i, φ_∈C_c∞(Ω). (1.4.5) Claramente f u ´e um funcional linear cont´ınuo em C∞

c (Ω), portanto a

distri-bui¸c˜ao produto f u est´a bem definida qualquer que seja f _∈C∞_(Ω).

Sef _∈C∞₍_R_{) e} _φ_∈_C∞

c (R),

hf δ, φ_i=_hδ, f φ_i=f(0)φ(0) =f(0)_hδ, φ_i=_hf(0)δ, f φ_i,

o que significa que f δ =f(0)δ e s´o o valor de f em x= 0 ´e relevante. Analo-gamente,

hf δ′, φ_i=_hδ′, f φ_i=_−hδ,(f φ)′_i=_−hδ, f φ′+f′φ_i=_hf(0)δ′₋f′(0)δ, φ_i

ou seja, f δ′ ₌ _f₍₀₎_δ′ ₋_f′₍₀₎_δ_{. Resultados an´alogos podem ser obtidos para} derivadas de qualquer ordem de δ.

DEFINIÇ ÃO 1.4.17 (Deriva¸cão) Se u ∈ D′_{(Ω), definimos a deriva¸cão de} _u com rela¸cão a xj como

h∂ju, φi=−hu, ∂jφi, φ ∈Cc∞(Ω). (1.4.6)

Iterando (1.4.6), podemos definir ∂α_u _{para qualquer multi-´ındice} _α _{e obter}

(33)

Um c´alculo simples nos mostra que ∂α_u _{´e um funcional linear cont´ınuo em}

C∞

c (Ω).

EXEMPLO 1.4.18 A fun¸cão H(x) = 1 para x > 0, H(x) = 0 para x _≤ 0, em Rn _{é chamada a fun¸cão de Heaviside e segue das defini¸cões que sua derivada}

´e

H′(φ) =H(φ′) =− Z ∞

0

φ′(x)dx=φ(0),

ou seja H′ ₌_δ.

DEFINIC¸ ˜AO 1.4.19 (Operadores diferenciais) Seja P um operador

diferenci-al linear com coeficientes C∞_{, isto é,} _P _{é uma combina¸cão de deriva¸cão e} multiplica¸cão por fun¸cões C∞_{. Assim, está bem definido} _{P u}_{, para qualquer} distribui¸cão u.

EXEMPLO 1.4.20 Se

P = ∆ =

n

X

i=1

(∂i)2,

duas aplica¸c˜oes de (1.4.6) d˜ao

h∆u, φ_i=_hu,∆φ_i, u_{∈ D}′(Ω), φ_∈C_c∞(Ω).

Seja Φ : Ω → Ω′ um difeomorfismo de classe C∞, qualquer, entre os abertos Ω e Ω′ _de _Rn_{. Definamos para} _φ _∈ _C∞

c (Ω′), L(φ) = φ ◦Φ. Como

S(φ_◦Φ) = Φ−1₍_S₍_φ_)),_L₍_φ₎_∈_C∞

c (Ω). Pelo teorema de mudan¸ca de vari´aveis,

seψ _∈C∞

c (Ω), obtemos

Z

Ω

φ(Φ(y))ψ(y)dy= Z

Ω′

φ(x)ψ(Φ−1(x))_|J(Φ−1)_|(x)dx, (1.4.7)

em que_|J(Φ−1₎_| _{denota o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana}

de Φ−1_{, que nunca é nula, pois Φ é difeomorfismo. Assim} _|_J_(Φ−1₎_{| ∈}_C∞_(Ω′_). Observe também que ψ(Φ−1₍_x₎₎_∈_C∞

(34)

DEFINIÇ ÃO 1.4.21 (Mudan¸ca de variáveis) Seu_{∈ D}′_(Ω′₎ _e _{Φ : Ω}_→_Ω′ _{é um} difeomorfismo, definimos

hu◦Φ, φi=hu,(φ◦Φ−1)|J(Φ−1)|i, φ∈Cc∞(Ω). (1.4.8)

Um c´alculo mostra que u_◦Φ_{∈ D}′_(Ω).

A no¸cão acima é útil porque, além de coincidir no caso de fun¸cões implica que o espa¸co das distribui¸cões é independente de coordenadas, permitindo definir distribui¸cões em variedades diferenciáveis por meio de cartas.

Vejamos agora algumas aplica¸c˜oes mais simples da defini¸c˜ao anterior.

EXEMPLO 1.4.22 (Transla¸cão) Seja a ∈ Rn. Se τ_a è a transla¸cão por a em Rn,

isto ´e, τa(x) =x−a, definimos a tranla¸c˜ao de φ∈Cc∞(Rn) por a como sendo

a fun¸cãoφa=φ◦τa. Definimos a transla¸cão deu∈ D′(Rn)através de (1.4.8),

ou seja,

hua, φi=hu◦τa, φi=hu, φ◦τ−ai, φ∈Cc∞(Rn). (1.4.9) EXEMPLO 1.4.23 (Reflexão) Seja Ω um aberto simétrico em rela¸cão a origem e

consideremos Φ(x) = ₋x. Definimos φˇ(x) = φ(₋x) para φ _∈ C∞

c (Ω), e por

(1.4.8)

hu, φˇ i=hu,φˇi, u ∈ D′_(Ω)_{, φ}_∈_C∞

c (Ω). (1.4.10)

DEFINIC¸ ˜AO 1.4.24 Se u _{∈ D}′_(Ω)_, _{definimos o suporte de} _u, _{denotado por}

S(u), o conjunto complementar dos pontos x de Ω para os quais existe vizi-nhan¸ca aberta Vx ⊂Ω tal que a restri¸c˜ao de u a Cc∞(Vx)´e nula.

(35)

DEFINIÇ ÃO 1.4.26 Denotamos por _E′_(Ω) _{o subespa¸co de} _D′_(Ω) _das distribui-¸cões com suporte compacto.

T

EOREMA 1.4.27 Seja u _{∈ E}′_(Ω)_. _{Existe um ´}_{unico funcional linear} _u_˜ _:

C∞_(Ω)_−→_C _{tal que}

(i) u˜(φ) =u(φ) para todo φ∈C∞

c (Ω);

(ii) u˜(φ) = 0 se φ ∈C∞ _e _S₍_φ₎_∩_S₍_u_{) =} _∅_.

DEMONSTRAC¸ ˜AO Unicidade: Suponhamos que existem dois funcionais ˜u₁ e

˜

u2 satisfazendo (i) e (ii) e sejaψ ∈Cc∞(Ω) igual q 1 numa vizinhan¸ca de S(u).

Se φ _∈ C∞_(Ω)_{, φ} ₌ _φψ_{+ (1}₋_ψ₎_φ ₌ _φ

1 +φ2, em que φ1 = φψ ∈ Cc∞(Ω) e

φ2 = (1−ψ)φ com S(φ2)∩S(u) = ∅, pois S(1−ψ)∩S(u) =∅. Assim

˜

u1(φ) = ˜u1(φ1) + ˜u1(φ2) =u(φ1) = ˜u2(φ1) = ˜u2(φ1) + ˜u2(φ2) = ˜u2(φ),

portanto ˜u1 = ˜u2.

Existˆencia: Seja φ_∈C∞_(Ω)_, _defina

hu, φ˜ i=hu, φ0i,

em que φ = φ0 +φ1 ´e qualquer decomposi¸c˜ao de φ com φ0 ∈ Cc∞(Ω) e

S(φ1)∩S(u) =∅. Seφ =φ′0+φ′1 ´e outra decomposi¸c˜ao, temos que φ0−φ′0 =

φ1 = φ′1 e segue que S(φ0 −φ′0)∩S(u) = ∅. Como φ0 −φ′0 est´a suportada

num aberto em que u se anula ent˜ao u(φ0 − φ′0) = 0, ou seja hu, φ0i =

hu, φ′

0i e a defini¸c˜ao de ˜uresulta independente da decomposi¸c˜ao. Logo existe

˜

u satisfazendo (i) e (ii).

T

EOREMA 1.4.28 Se u∈ E′ _{´e de ordem} _≤_k _{e se} _φ_∈_Ck_,

(36)

T

EOREMA 1.4.29 Se u é uma distribui¸cão de ordem k com suporte igual a {y}, então u tem a forma

u(φ) = X |α|≤k

aα∂αφ(y), φ∈Ck.

T

EOREMA 1.4.30 Seja x= (x′_{, x}′′₎_{uma separa¸c˜ao das vari´aveis de} _Rn _em

dois grupos, isto é, (x′_{, x}′′₎ _∈ _Rm _×_Rk_. _Se _u _{é uma distribui¸cão em} _Rn _de

ordem k com suporte contido no plano x′ _{= 0}_, _ent˜ao

u(φ) = X |α|≤k

uα(φα) (1.4.12)

em queuαé uma distribui¸cão de suporte compacto e ordemk−|α|nas variáveis

x′′, α= (α′, 0) e

φα(x′′) =∂φ(x′, x′′)|x′₌₀ .

LEMA 1.4.31 _E′(Ω)_{⊂ D}′_(Ω) _densamente.

DEMONSTRAC¸ ˜AO De fato, escreva Ω = ∪K_n, com os K_n’s compactos que

esgotam Ω. Para cada n, tome φn ∈Cc∞(Ω) igual a 1 numa vizinhan¸ca deKn.

Dada u _{∈ D}′_{(Ω) a seq¨}_uˆencia _u

n = φnu ∈ E′(Ω) e un → u em D′(Ω) pois, se

φ_∈C∞

c (Ω) e K =S(φ),

hun, φi=huφn, φi=hu, φnφi=hu, φi,

(37)

T

EOREMA 1.4.32 Se u ´e uma fun¸c˜ao no conjunto aberto X _⊂ Rn_, _com

u _∈ C1₍_X_\{_x

0}) para algum x0 ∈ X, e se a fun¸c˜ao v que ´e igual a u′ para

x6=x0 é integrável numa vizinhan¸ca de x0, então o limite

u(x0±0) = lim

x→x0±0

u(x)

existe e

u′ =v + (u(x0+ 0)−u(x0−0))δx0.

DEMONSTRAÇ ÃO Sex₀ < y 0 intervalo [x₀, y] pertence a X então

u(x) =u(y)₋ Z y

x

v(t)dt, x0 < x < y,

lim

x→x0+0

=u(y)−u(y) +u(xo+ 0) =u(x0+ 0).

Logo existeu(x0+ 0). Analogamente existe u(x0 −0). Al´em disso temos,

u′(φ) = −u(φ′) = lim

ǫ→+0[−|x−limx0|>ǫ

u(x)φ′(x)dx] =

= lim

ǫ→0[u(x0+ǫ)φ(x0+ǫ)−u(x0−ǫ)φ(x0−ǫ) +

Z

|x−x0|>ǫ

v(x)φ(x)dx] = =v(φ) + [u(x0+ 0)−u(x0−0)]δx0(φ).

T

EOREMA 1.4.33 Se u ∈ D′₍_X₎ _{em que} _X _{é um intervalo aberto em} _R _e se u′ _{= 0}_, _então _u _{é uma constante.}

DEMONSTRAÇ ÃO Por defini¸cão temos que u′ = 0 ⇐⇒ −u(φ′) = 0, φ ∈

C∞

c (X).Dado ψ ∈Cc∞(X);

R

ψ(t)dt= 0 ent˜ao ψ =φ′ _{para alguma}_φ _∈_C∞

c .

Tome φ(t) = R_−∞t ψ(t)dt.Note que φ′₍_t_{) =}_ψ₍_t_{) e existe} _t

1; φ(t) = 0 se t≥T1,

de fato podemos considerar S(φ) _⊂ [t2, t1 com [t2, t1] ⊃ S(ψ). Agora tome

ϕ0 ∈Cc∞ tal que

R

ϕ0 = 0. Se ψ ∈Cc∞, considere

e

ψ(t) =ψ(t)₋ Z

(38)

Ent˜aoR eψ(t)dt = 0, logo u(ψe) = 0 que implica

u(ψ) =u(ϕ0)

Z

1ψ(t)dt = Z

u(ϕ0)ψ(t)dt,

portandou=u(ϕ0).

T

EOREMA 1.4.34 Seja I um intervalo aberto em R _{e seja}

Z =_{z _∈C_; _Rez_∈_I, ₀_{< Imz < λ}_}_.

Se f ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em Z tal que existe N ∈N _e _{c >} ₀ _com

|f(z)_{| ≤}c(Imz)−N; z _∈Z.

Ent˜ao f(.+iy) tem um limite f0 ∈ D′(N+1)(I) quando y→0+, isto ´e,

lim

y→0+

Z

f(x+iy)φ(x)dx=_hf0, φi, φ∈CcN+1(I). DEMONSTRAC¸ ˜AO Ver [H2]pg63-64.

T

EOREMA 1.4.35 Seja I um intervalo aberto em R _{e seja}

Z±={z ∈C_; _Rez_∈_I, ₀_< _±_{Imz < λ}_}_.

Se f ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em Z =Z+S_Z− _{tal que}

|f(z)| ≤c|Imz|−N_{, z}_∈_Z

ent˜ao a integral

F(φ) = Z

( Z

f(x+iy)φ(x, y)dx)dy, φ∈CcN(Z∪I), (1.4.13)

existe e define uma distribui¸c˜ao em _D′N

(Z_∪I) tal que

h∂F

∂z , φi= i

2hf(.+i0)−f(.−i0), φ(., 0)i, φ∈C

N+1

c (Z∪I). (1.4.14)

(39)

T

EOREMA 1.4.36 Se f é anal´ıtica num retângulo Z definido no Teorema 1.4.34 e limy→0f(.+iy) existe em D′k(I), então

|f(z)_{| ≤}c′(Imz)−k−1, z _∈J_×(0, λ

2), em que J ´e um intervalo tal que J ⊂⊂I.

T

EOREMA 1.4.37 Seja X um conjunto aberto de Rn_, _Γ _{um cone conexo}

aberto em Rn_, _{e seja para algum} _{λ >}₀

z ={z ∈Cn_; _Rez_∈_{X, Imz} _∈_Γ_, _|_Imz_|_{< λ}_}_.

Se f ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em Z tal que

|f(z)_{| ≤}c1|Imz|−N, z∈Z, (1.4.15)

ent˜ao f(.+iy) tem um limite f0 ∈ D′N+1(X) quando Γ ∋ y → 0. Se f0 = 0

ent˜ao f = 0.

Observa¸cão: Olhando a demonstra¸cão do teorema acima obtemos que o limite def(_·+iy) quando y_→0 é definido por

hf0, φi=

Z

Φ(x, Y)f(x+iY)dx+ +(N + 1)

Z

0<t<1

Z

f(x+itY) X |α|=N+1

∂αφ(x)(iY)

α

α! t

N_dxdt _(1.4.16)

em que, Y _∈Γ com _|Y_|< λfixo e

Φ(x, y) = X |α|≤N

∂αφ(x)(iy)

α

α! , φ∈C

N+1

(40)

1.5 Convolu¸

c˜

ao

A convolu¸c˜ao de f ∈ L1

loc(Rn) e g ∈ C0(Rn), uma delas com suporte

compacto, se define por

(f_∗g)(x) = Z

f(y)g(x₋y)dy,

que, identificandof como uma distribui¸c˜ao, pode ser escrito na forma

(f ∗g)(x) =hf, g(x− ·)i=hf,gˇxi

no qual ˇg(y) = g(−y) e gx(y) = g(y−x) é a transla¸cão à direita por x. Isso

motiva a seguinte defini¸c˜ao:

DEFINIC¸ ˜AO 1.5.1 Se u ∈ D′₍_Rn₎ _e _φ _∈ _C∞₍_Rn₎_, _{uma delas com suporte}

compacto, definimos a convolu¸c˜ao de u com φ como sendo a fun¸c˜ao

u_∗φ(x) =_hu, φ(x_{− ·})_i=_hu,φˇxi,

em que φˇ(x) = φ(₋x).

EXEMPLO 1.5.2 Se φ _∈ C∞

c (Rn) ent˜ao (δ∗φ)(a) = hδ, φ(x−a)i = φ(a), ou

seja δ_∗φ=φ.

T

EOREMA 1.5.3 Sejam u_{∈ D}′₍_Rn_), _φ _∈_C∞

c (Rn). Ent˜ao

(i) u_∗φ_∈C∞₍_Rn₎ _{e suas derivadas s˜ao dadas por}

∂α(u_∗φ) = (∂αu)_∗φ=u_∗(∂αφ). (1.5.1)

(41)

DEMONSTRAC¸ ˜AOSe definirmosϕ(x, y) =φ(x−y)∈C_c∞(Rn×Rn), vemos que

ϕ satisfaz as hip´oteses do teorema 1.4.12. Assim a fun¸c˜ao

x→ hu, ϕ(x,·)i=u∗φ(x)

est´a emC∞₍_Rn_{) e vale}

∂_xα(u_∗φ) = u_∗(∂_xαφ).

Mas, por defini¸c˜ao

u∗(∂_xαφ) = huy, ∂xαφ(x−y)i= (−1)|α|huy, ∂yαφ(x−y)i

= _h∂_yαuy, φ(x−y)i= (∂αu)∗φ,

segue a igualdade em (1.5.1). Finalmente, observamos que se x /∈S(u) +S(φ) ent˜ao S(u)∩S( ˇφx) = ∅, e da´ıhu,φˇxi= 0. Mostrando (ii).

OBSERVAC¸ ˜AO 1.5.4 Os mesmos resultados do teorema anterior valem se

u_{∈ E}′₍_Rn₎ _e _φ_∈_C∞₍_Rn₎_.

T

EOREMA 1.5.5 Se φ, ψ_∈C∞

c (Rn) e u∈ D′(Rn), ent˜ao

(u_∗φ)_∗ψ =u_∗(φ_∗ψ).

DEMONSTRAC¸ ˜AO Consideremos para cadaǫ >0,as somas de Riemann

sǫ(x) =ǫn

X

m

φ(x₋ǫm)ψ(ǫm)

em que m = (m1, . . . , mn) percorre os pontos de coordenadas inteiras. Como

S(sǫ) ⊂ S(φ) +S(ψ) = compacto fixo, para todo 0 < ǫ < 1 a soma acima ´e

finita. Para cada multi-´ındiceα,

∂α_s

ǫ(x) =ǫn

X

m

(42)

uniformemente quandoǫ_→0, visto que as fun¸c˜oes∂α_φ₍_x₋_y₎_ψ₍_y_{) s˜ao}

unifor-memente cont´ınuas. Isto significa quesǫ(x)→(φ∗ψ)(x) em Cc∞(Rn). ent˜ao

(u_∗(φ_∗ψ))(x) = lim

ǫ→0(u∗sǫ)(x) = limǫ→0ǫ

nX m

(u_∗φ)(x₋ǫm)ψ(ǫm) = ((u∗φ)∗ψ)(x).

T

EOREMA 1.5.6 Seja u _{∈ D}′₍_Rn₎ _{e tome} ₀ _≤ _φ _∈ _C∞

c (Rn),

R

φ = 1 e escrevamos φǫ(x) =ǫ−nφ(x/ǫ). Então u∗φǫ→u em D′(Rn) quando ǫ→0. DEMONSTRAÇ ÃO Com a nota¸cão ˇψ(x) = ψ(−x), podemos escrever hu, ψi=

(u_∗ψˇ)(0). Ent˜ao lim

ǫ→0hu∗φǫ, ψi= limǫ→0(u∗φǫ)∗

ˇ

ψ(0) = lim

ǫ→0u∗(φǫ∗

ˇ

ψ)(0) = = lim

ǫ→0hu, (φǫ∗

ˇ

ψ)ˇ_i=_hu, ψ_i.

A última igualdade decorre de φǫ∗ψˇ→ψˇem Cc∞, conseqüência do Teorema

1.4.2.

COROL ´ARIO 1.5.7 C∞

c (Ω) ´e denso emD′(Ω).

DEMONSTRAÇ ÃO Em virtude do Lema 1.4.31, é suficiente provarmos que

C∞

c (Ω) ´e denso em E′(Ω). Seja φǫ como no teorema 1.5.6 e u ∈ E′(Ω).

Pe-lo teorema 1.5.1, segue que

S(u∗φǫ)⊂S(u) +S(ψǫ)⊂S(u) +{|x| ≤Cǫ}.

Ent˜aou_∗φǫ ∈Cc∞(Ω) para todoǫ suficientemente pequeno. Al´em disso, para

tais ǫ’s, u∗φǫ →u em D′(Ω) pelo teorema 1.5.6.

T

EOREMA 1.5.8 Seja U :C∞

c (Rn)→C∞(Rn)um operador linear cont´ınuo

que comuta com todas as transla¸c˜oesTh, h∈Rn,em que(Thu)(x) = u(x−h).

Ent˜ao existe um ´unica u∈ D′₍_Rn₎ _{tal que} _{U φ}₌_u_∗_{φ, φ} _∈_C∞

(43)

DEMONSTRAÇ ÃO Por hipótese, C_c∞(Rn)∋φ→(Uφˇ)(0) é um funcional linear

cont´ınuo, ou seja, uma distribui¸c˜ao. Defina _hu, φ_i = (Uφˇ)(0). Como U Th =

ThU eU φ(0) =u∗φ(0), obtemos

U φ(h) =T−hU φ(0) =U T−hφ(0) =u∗(T−hφ)(0) =T−h(u∗φ)(0) =u∗φ(h).

Sev _{∈ D}′₍_Rn_{) tamb´em satisfaz} _{U φ}₌_v _∗_φ, _teremos

hv, φi=v∗φˇ(0) =Uφˇ(0) =hu, φi, ∀φ ∈C_c∞(Rn₎_.

Provando a unicidade.

DEFINIC¸ ˜AO 1.5.9 Sejam u1, u2 ∈ D′(Rn), uma delas com suporte compacto.

Definimos u1∗u2 como a ´unica distribui¸c˜ao v tal que

u1∗(u2∗φ) =v∗φ, φ ∈Cc∞(Rn). (1.5.2)

A convolu¸cão para vários fatores, dos quais todos, exceto no máximo um, tem suporte compacto, define-se analogamente por contru¸cão associativa. O teorema 1.5.5 mostra que a defini¸cão 1.5.9 generaliza a defini¸cão 1.5.1 se

u2 tem suporte compacto. Analogamente se prova que esta defini¸c˜ao coincide

com a defini¸c˜ao 1.5.1 seu1 ∈ E′(Rn) e u2 ∈Cc∞(Rn).

EXEMPLO 1.5.10 Se u ∈ D′₍_Rn₎_, _h_u_∗_{δ, φ}_i _{= (}_u_∗_δ₎_∗_φˇ_{(0) =}_u_∗₍_δ_∗_φˇ_{)(0) =}

u_∗φˇ(0) =_hu, φ_i, isto ´e u_∗φ=u.

T

EOREMA 1.5.11 A convolu¸c˜ao ´e comutativa, ou seja

u1 ∗u2 =u2∗u1

se uma das distribui¸c˜oes u1, u2 tem suporte compacto. Al´em disso vale

(44)

DEMONSTRAC¸ ˜AO. Sejamφ, ψ ∈C_c∞(Rn). Usando a comutatividade da

convo-lu¸c˜ao de fun¸c˜oes temos

(u1∗u2)∗(φ∗ψ) = u1∗(u2∗(φ∗ψ)) =u1∗((u2∗φ)∗ψ)

= u1∗(ψ∗(u2∗φ)) = (u1∗ψ)∗(u2 ∗φ).

Da mesma maneira, temos

(u2∗u1)∗(φ∗ψ) = (u2∗u1)∗(ψ∗φ) = (u2∗φ)∗(u1∗ψ)

= (u1∗ψ)∗(u2∗φ).

Combinando os dois resultados, (u1∗u2)∗(φ∗ψ) = (u2∗u1)∗(φ∗ψ). Fazendo

φ∗ψ →φ em Cc∞(Rn), obtemos (u1∗u2)∗φ = (u2∗u1)∗φ que em x= 0 se

escreve como

hu1∗u2,φˇi=hu2∗u1,φˇi, φ ∈Cc∞(Rn).

Dondeu1∗u2 =u2∗u1. Para provar a afirma¸c˜ao relativa aos suportes, seja φǫ

como no teorema 1.5.6 e consideremos (u1∗u2)∗φǫ. Ent˜ao

S((u1∗u2)∗φǫ) =S(u1∗(u2∗φǫ))⊂S(u1)+S(u2∗φǫ)⊂S(u1)+S(u2)+S(φǫ).

Quando ǫ _→ 0, o diˆametro de S(φǫ) tende para zero e conclu´ımos que vale

1.5.3. Provando o teorema.

T

EOREMA 1.5.12 Se u1 e u2 s˜ao distribui¸c˜oes em Rn, umas delas com

su-porte compacto, ent˜ao

SS(u1∗u2)⊂SS(u1) +SS(u2). (1.5.4)

(45)

EXEMPLO 1.5.13 (Diferencia¸cão como convolu¸cão) Podemos interpretar a diferencia¸cão

como uma convolu¸c˜ao, pois

∂α_u_{= (}_∂α_δ₎_∗_u, _u_{∈ D}′₍_Rn₎_. _(1.5.5)

Com efeito, se φ_∈C∞

c (Rn), usando (1.5.1) obtemos

(∂α_u₎_∗_φ ₌_u_∗₍_∂α_φ_{) =}_u_∗₍_δ_∗₍_∂α_φ_{)) =}_u_∗₍_∂α_δ₎_∗_φ

provando (1.5.5). Da´ı, seu1 eu2 s˜ao duas distribui¸c˜oes, uma delas com suporte

compacto, obtemos facilmente que

∂α(u1 ∗u2) = (∂αu1)∗u2 =u1∗(∂αu2), (1.5.6)

usando a express˜ao de ∂α _{como convolu¸c˜ao com} _∂α_δ _{e as propriedades}

asso-ciativa e comutativa da convolu¸c˜ao. Mais geralmente, se

P =Xaα∂α,

com aα ∈C e a soma ´e finita, ´e um operador diferencial parcial com

coeficien-tes constancoeficien-tes, ent˜ao

P(u1∗u2) = (P u1)∗u2 =u1 ∗(P u2), u1 ∈ D′(Rn), u2 ∈ E′(Rn).

1.6 Distribui¸

c˜

oes Homogˆ

eneas

Sea é um número complexo com Re a >₋1 então a fun¸cão em Rn

xa₊ =xa =xReaeiImalnx se x >0, xa₊ = 0 se x≤0,

é localmente integrável, logo define uma distribui¸cão. É claro que

(46)

e pelo Teorema 1.4.32 temos

d dxx

a

+ =axa+−1 seRe a >0. (1.6.2)

Queremos estender esta defini¸c˜ao de xa

+ para todo a ∈ C, como uma

distribui¸cão, contanto que estas propriedades sejam preservadas, até onde for poss´ıvel. Que alguma exce¸cão deve ocorrer é claro, pois sea= 0 então o lado esquerdo de (1.6.2) éH′₍_x_{) =} _δ

0 e o lado direito deve ser zero.

Paraφ _∈C∞

c (R) a fun¸c˜ao

a_7→Ia(φ) =< xa+, φ >=

Z ∞

0

xaφ(x)dx

´e anal´ıtica quando Re a >−1 pois a diferencial ´e

da Z ∞

0

xalogxφ(x)dx,

(seja g(a) = Ia(φ) da´ı d(g) = da

R∞

0 x

a_log_xφ₍_x₎_dx_{) e da´ı existe} _∂

aIa(φ) e ´e

igual aR₀∞xa_log_xφ₍_x₎_dx.

Agora (1.6.2) significa que

Ia(φ′) = −aIa−1(φ) se Re a > 0, (1.6.3)

de fato,

< xa₊, φ′ >= Z ∞

0

xaφ′(x)dx=− Z ∞

0

axa−1φ(x)dx = =₋a

Z ∞

0

xa−1φ(x)dx=₋a < xa₊−1, φ > .

Assim paraRe a >−1 e qualquer inteiro k >0 temos

Ia(φ) = (−1)k

Ia+k(φ(k))

(a+ 1)...(a+k), (1.6.4) pois

(₋1)k Ia+k(φ

(k)₎

(a+ 1)...(a+k) =

(₋1)k₍₋₁₎_I

a+k−1(φ(k−1))(a+k)

(47)

=...= (−1)

0_I

a(φ)(a+k)...(a+ 1)

(a+ 1)...(a+k) =Ia(φ).

O lado direito é anal´ıtico paraRe a >−k−1 exceto para os pólos simples −1,−2, ...,−k.Seanão é um inteiro negativo podemos neste caso definirIa(φ)

pela extens˜ao cont´ınua anal´ıtica com respeito a a, ou equivalentemente por (1.6.4) para qualquer k > ₋1₋Re a. Por (1.6.4) Ia define uma distribui¸c˜ao

de ordem menor ou igual que k. Denotaremos esta distribui¸c˜ao por xa

+. Em

a=−k o res´ıduo da fun¸c˜ao a7→Ia(φ) ´e

lim

a→−k(a+k)Ia(φ) = (−1)

k I0(φ(k))

(1₋k)...(₋1) =

φ(k−1)₍₀₎

(k₋1)! . De fato,

lim

a→−k(a+k)Ia(φ) = lima→−k(a+k)(−1)6k

Ia+k(φ(k))

(a+ 1)...(a+k) = (−1)

k I0(φ(k))

(1−k)...(−1) =

= R∞

0 φ

(k)₍_x₎_dx

(k₋1)! =

φ(k−1)₍₀₎

(k₋1)! . Assim

(a+k)xa₊→(−1)k−1 δ

(k−1) 0

(k₋1)!, quando a→ −k, (1.6.5) pois

φ(k−1)₍₀₎

(k−1)! = (−1)

k−1 δ (k−1) 0

(k−1)!.

Subtraindo a parte singular, obtemos quandoa+k =ǫ→0

lim

ǫ→0{Ia(φ)−

φ(k−1)₍₀₎

(k−1)!ǫ}= limǫ→0{(−1)

k Iǫ(φ(k))

(a+ 1)...(a+k)−

pı(k−1)₍₀₎

(k−1)!ǫ}=

= lim

ǫ→0{(−1)

k

R∞

0 x

ǫ_φ(k)₍_x₎_dx

(ǫ+ 1−k)...(ǫ−1)ǫ+

φ(k−1)₍₀₎

ǫ [

1

(k−1−ǫ)...(1−ǫ)− 1 (k−1)!]− − φ

(k−1)₍₀₎

(k₋1₋ǫ)...(1₋ǫ)ǫ}=

= lim

ǫ→0{(−1)

k

R∞

0 (x

ǫ₋₁₎_φ(k)₍_x₎_dx

(ǫ+ 1₋k)...(ǫ₋1)ǫ+

φ(k−1)₍₀₎

ǫ [

(48)

= lim

ǫ→0{

R∞

0 xǫlog(x)φ(k)(x)dx

(₋ǫ) d

dx[(k−1−ǫ)...(1−ǫ)]−(k−1−ǫ)...(1−ǫ)

+

+φ(k−1)[ (k−1−ǫ)...(2−k) +...+ (k−2−ǫ)...(1−ǫ)

(k−1)![ǫ_dxd((k−1−ǫ)...(1−ǫ)) + (k−1−ǫ)...(1−ǫ)]]}= =

R∞

0 log(x)φ

(k)₍_x₎_dx

−(k₋1)...(1) +

φ(k−1)₍₀₎

(k₋1)!

(k−1)...2 + (k−1)...3.1 +...+ (k−2)!

(k₋1)! =

=₋ R∞

0 log(x)φ

(k)₍_x₎_dx

(k−1)!

φ(k−1)₍₀₎

(k−1)!

k−1

X

j=1

1

j.

Da´ı definimos

x−+k(φ) =−

R∞

0 log(x)φ

(k)₍_x₎_dx

(k−1)! +

φ(k−1)₍₀₎

(k−1)!

k−1

X

j=1

1

j. (1.6.6)

A rela¸c˜ao (1.6.1) ou equivalentemente

hxa₊, xφ _i=_hxa₊+1, φ _i, φ_∈C_c∞(R₎_, _(1.6.7) segue para todo a ∈ C _{pois ela é verdadeira para} _{Re a >} ₋₁_, _{portanto pela} extensão anal´ıtica cont´ınua quando a não é uma inteiro negativo, e o valor de ambos os lados quando a = ₋k é obtido fazendo a _{→ −}k após subtrair um termo c

a+k,o qual deve ser o mesmo em ambos os lados.

(1.6.2) também segue sea não é um inteiro negativo ou zero. Sek é um inteiro não-negativo então de (1.6.5) temos:

lim

a→−k{

d dxx

a

+ +kxa+−1} = lim

a→−k(a+k)x a−1 +

= lim

a→−k−1(a+k+ 1)x

a

+ = (−1)k

δ₀(k) a+k,

assim eliminando termos da forma cδ(0k)

a+k os quais devem cancelar-se, obtemos

d dxx

−k

+ =−kx−+k−1+ (−1)k

δ₀(k)

(49)

De fato,

h d

dxx

k−1

+ , φi = −hxk+, φ′i

= 1

(k₋1)! Z ∞

0

log(x)φ(k+1)(x)dx− φ

(k)₍₀₎

(k₋1)!

k−1

X j=1 1 j = k k! Z ∞ 0

log(x)φ(k−1)(x)dx₋ kφ

(k)₍₀₎

k! k X j=1 1 j +

φ(k)₍₀₎

k! = _h−kxk₊−1+ (₋1)kδ

(k) 0

k! , φ i. A fun¸c˜aoxa

+´e homogˆenea de grau apara Re a >−1. Isto significa para

t >0

hxa+, φi=

Z ∞

0

xaφ(x)dx=ta Z ∞

0

xaφ(tx)tdx =tahxa+, φti,

em queφt(x) =tφ(tx).A extens˜ao anal´ıtica cont´ınua em ambos os lados deve

dar

hxa₊, φ_i=ta_hxa₊, φti, se φ∈Cc∞(R), (1.6.9)

a n˜ao sendo um inteiro negativo. Se a=−k obtemos de (1.6.6)

t−k_hx−₊k, φti = t−k[−

1 (k₋1)!

Z ∞

0

log(x)tkφ(k)(tx)d(tx) +tkφ

(k−1)₍₀₎

(k₋1)!

k−1

X

j=1

1

j]

= ₋ 1

(k−1)! Z ∞

0

log(y

t)φ

(k)₍_y₎_dy₌ φ(k−1)(0)

(k−1)!

k−1

X

j=1

1

j

= _hx−₊k, φ_i+ logt (k₋1)!

Z ∞

0

φ(k)(y)dy.

Portanto

hx−₊k, φi=t−khx−₊k, φti+ logt

φ(k−1)₍₀₎

(50)

Al´em dexa

+ temos a fun¸c˜ao

xa₋= 0 se x >0 e x₋a =|x|a _{se x <}₀_,

com a >₋1. Esta ´e uma reflex˜ao de xa

+ com respeito a origem,

hxa−, φi=hxa+, φˇi,

em que ˇφ(x) = φ(₋x). Tudo que temos dito sobre a defini¸c˜ao de xa

+ para a

complexo arbitr´ario permanece v´alido para xa

−.

Pelo Teorema 1.4.34 a fun¸c˜aoza_, _{definida em} _C_\_R

− como ealogz, sendo logz real sez ∈R₊_,_{possui valores de fronteira (}_x_±_i₀₎a_{no eixo real dos planos}

superior e inferior, respectivamente. Quando Rea >0 temos que

(x±i0)a =x₊a +e±πiaxa₋, (1.6.11) pois

(x_±i0)a = lim

y→0±e

alogz_.

Nosso próximo objetivo é definir distribui¸cões homogêneas emRn_._Para

tal note que seu∈L1

loc(Rn\{0}) é homogênea de graua,isto é,u(tx) = tau(x)

quando x₆= 0 e t >0 ent˜ao

hu, φ_i=ta_hu, φti seφ∈Cc∞(Rn\{0}), φt(x) =tnφ(tx), t >0, (1.6.12)

e reciprocamente, isto implica que u é homogênea. Se Re a > ₋n então u

´e integr´avel em uma vizinhan¸ca de zero, pois em coordenadas polares x =

rω, _|ω_|= 1 temos

|u(rω)|=rRe a|u(ω)| e dx=rn−1drdω

aqui dω é a medida de superf´ıcie na esfera unitária. Neste caso u define uma distribui¸cão em Rn _{e (1.6.12) é vale quando} _φ _∈_C∞

(51)

DEFINIÇ ÃO 1.6.1 Uma distribui¸cão u em Rn_\{₀_} _{é dita homogênea de grau}

a se (1.6.12) é verdadeira. Analogamente, se u é uma distribui¸cão em Rn _e

(1.6.12) ´e v´alida para toda φ∈C∞

c (Rn) dizemos que u´e homogˆenea de grau a

em Rn_.

O problema que discutiremos agora é a extensão de distribui¸cões ho-mogêneas de Rn_\{₀_} _para _Rn _{que como já vimos, em (1.6.10), para o caso}

n= 1 n˜ao ´e sempre poss´ıvel.

LEMA 1.6.2 Dado u ∈ D′₍_Rn_\₀₎ _e _a _∈ _C_, _{s˜ao equivalentes as seguintes}

afir-ma¸c˜oes:

(i) _hu, φ_i=ta_h_{u, φ}

ti, se φ∈Cc∞(Rn\{0})

(ii) (a+n)hu, φi+hu, λφi= 0, em que λ=Pxi∂i e φ ∈Cc∞(Rn\{0})

(iii) _hu, ψ_i= 0, se ψ _∈C∞

c (Rn\{0}) e

R∞

0 r

a+n−1_ψ₍_rw₎_dr_≡₀_.

DEMONSTRAÇ ÃO Referência [H1] pg.74.

Se observarmos que hu, λφi=

n

X

j=1

hxju, ∂jφi=− n

X

j=1

h∂j(xju), φi=− n

X

j=1

hu, φi −

n

X

j=1

hxj∂ju, φi,

portanto

hu, λφ_i=_−hλu, φ_{i −}n_hu, φ_i.

Assim podemos escrever o item (ii) do Lema 1.6.2 na forma

λu=au (1.6.13)

(identidade de Euler para fun¸c˜oes homogˆeneas). Pois

0 = (a+n)_hu, φ_i+_hu, λφ_i

(52)

OBSERVAÇ ÕES 1.6.3 (i) Seψ é uma fun¸cão C∞ homogênea em Rn\{0} de grau

b entãoψu é homogênea de grau a+b. De fato

hψu, φi = hu, ψφi = ta_hu, (ψφ)ti

= ta+n_hu, (ψφ)(tx)_i = ta+nhu, tbψ(x)φ(tx)i = ta+b_hu, ψφti

= ta+b_hψu, φti.

(ii) Como

λ∂ju=∂j(λu)−∂ju= (a−1)∂ju,

aqui a ´ultima igualdade segue de (1.6.13). Ou seja, temos que a diferencia¸c˜ao

cai o grau de homogeneidade em uma unidade.

LEMA 1.6.4 Existe ψ ∈C∞

c (R\{0}) tal que

Z ∞

0

ψ(tx)

t dt= 1, x ∈R

n

\{0_}. (1.6.14)

DEMONSTRAC¸ ˜AO Para n = 1, tome para x > 0 ψ₁ ∈ C_c∞((0, ∞)), tal que

R

ψ1 6= 0,logo

Z ∞

0

ψ1(tx)

t dt= Z ∞

0

ψ1(s)

s x ds x = Z ∞ 0

ψ1(s)

s ds :=λ.

Agora considereψ2 = _λ1ψ1 ⇒

R∞

0

ψ2(tx)

t dt=

R∞

0 1

λ ψ1(tx)

t dt=

1

λ

R∞

0

ψ1(tx)

t dt = 1.

Para x < 0, ψ2(x) = ψ2(−x), fazendo a mudan¸ca de vari´aveis tx = −s

temos

Z ∞

0

ψ2(tx)

t dt = Z ∞

0

ψ2(s)

s x ds x = Z ∞ 0

ψ1(s)