Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura MECÂNICA I

Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Mestrado em Engenharia Civil

MECÂNICA I

Apontamentos sobre centros de gravidade

Luís Guerreiro

CENTROS DE GRAVIDADE

A atracção da Terra sobre um determinado corpo é constituída por um sistema de forças aplicadas em cada partícula do corpo. Considerando tratar-se de um corpo rígido, a acção gravítica pode ser substituída pela acção da sua resultante – o peso P do corpo, aplicada no

centro de gravidade do corpo.

2. CASO PLANO

Consideremos um corpo plano de peso P (placa), dividido num grande número de elementos de pequena dimensão com peso específico γi e espessura ti, constantes.

∆Pi = γi ti ∆Ai em que, γi – peso específico

ti – espessura do elemento

∆Ai – área do elemento

Figura 1

Os dois sistemas de forças representados na Figura 1 são equivalentes, logo:

Aumentando o número de elementos e diminuindo o tamanho de cada elemento, temos: A γ t dA = P A x γ t dA = xGP - A y γ t dA = - yGP xG = A x γ t dA P yG = A y γ t dA P 2.1 CENTRÓIDE

Se a placa for de um material homogéneo e espessura constante então as equações apresentadas anteriormente resultam nas seguintes:

P = γ t A dA = γ t A xG = A x dA A yG = A y dA A

Neste caso, o ponto de coordenadas [xG, yG] é designado por centróide da placa. No caso da placa não ser homogénea o centróide deixa de coincidir com o centro de gravidade.

2.2 MOMENTOS ESTÁTICOS

Define-se momento estático de uma superfície em relação a um eixo da seguinte forma:

x dA – momento estático da superfície A em relação ao eixo y (Sy)

y dA – momento estático da superfície A em relação ao eixo x (Sx) Sy = A x dA Sx = A y dA Sy = A x dA Sy = xG A Sx = A y dA Sx = yG A

Os momentos estáticos apresentam as seguintes propriedades:

• Se o centróide de uma superfície estiver localizado sobre um eixo de coordenadas, o momento estático em relação a esse eixo será nulo;

• Se o momento estático em relação a um eixo coordenado for nulo, o centróide da superfície está localizado sobre o eixo coordenado;

• Se uma superfície possui um eixo de simetria, o momento estático em relação a esse eixo é nulo e o centróide da superfície está localizado sobre o eixo (Figura 2);

• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, o seu centróide deverá localizar-se na intersecção dos dois eixos (Figura 3).

Figura 2

Figura 3

Definição:

Diz-se que uma superfície é simétrica em relação a um centro O se, para cada elemento da superfície dA de coordenadas x e y existir um elemento dA’ de coordenadas –x e –y. Resulta então que Sx = Sy = 0 e o centro O é o centróide da superfície.

Figura 4

eixo de simetria

eixo de simetria

EXEMPLO 1 – Determinação das coordenadas do centróide de uma placa triangular. A = HB₂ Sy = A x dA = 0 B 0 H/Bx x dy dx = 0 B H Bx2 dx = HB 3 3B = HB 2 3 => xG = SyA = 2B3 Sx = A y dA = 0 B 0 H/Bx y dy dx = 0 B H2 B2x 2 2dx = H 2_B3 6B2 = H 2_B 6 => yG = SxA = H3

EXEMPLO 2 – Determinação das coordenadas do centróide de uma placa em quarto de

circulo.

Por simetria em relação ao eixo x=y, conclui-se que xG e yG são iguais. A =

π

2 4

Em coordenadas polares temos:

Tabela 1 – Centróides de superfícies planas.

Figura xG yG Área

Triangulo h₃ bh₂

¼ de círculo ₃4r_{π 3}4r_π π₄ r2

½ círculo 0 ₃4r_π π₂ r2

Sector circular 2r sin _3α α 0 α r2

2.3 PLACAS COMPOSTAS

Em muitas situações, uma placa pode ser dividida em formas mais simples (rectângulos, triângulos, etc.). Pode-se determinar a abcissa do centro de gravidade partir das abcissas dos centros de gravidade das diversas formas mais simples em que a placa foi dividida.

xG (P1 + P2 + … + Pn) = xG1 P1 + xG2 P2 + …. + xGn Pn yG (P1 + P2 + … + Pn) = yG1 P1 + yG2 P2 + …. + yGn Pn

xG Pi = xGi Pi yG Pi = yGi Pi

Se a placa for homogénea

SY = xG Pi = xGi Pi SX = yG Pi = yGi Pi

É preciso ter cuidado para atribuir o sinal correcto ao momento estático de cada superfície.

3. CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO TRIDIMENSIONAL 3.1 CENTRÓIDE DE UM SÓLIDO V γ dV = P xG = V x γ dV P yG = V y γ dV P zG = V z γ dV P

No caso de o corpo ser feito de um material homogéneo:

xG = V x dV P yG = V y dV P zG = V z dV P xG, yG, zG – coordenadas do centróide do volume V

Syz = V x dV Szx = V y dV Sxy = V z dV

Syz, Szx, Sxy – momentos estáticos do sólido de volume V em relação aos planos yz, zx e xy, respectivamente.

Propriedades:

• Se o centróide de um sólido estiver localizado sobre um plano de coordenado, o momento estático em relação a esse plano será nulo;

• Se um sólido possui um plano de simetria, o momento estático em relação a esse plano é nulo e o centróide do sólido está localizado sobre esse plano;

• Se um sólido tiver dois planos de simetria, o seu centróide deverá localizar-se na lnha de intersecção dos dois planos.

3.2 CORPOS COMPOSTOS

xG Pi = xGi Pi yG Pi = yGi Pi zG Pi = zGi Pi Se o sólido for homogéneo

SYZ = xG Vi = xGi Vi SZX = yG Vi = yGi Vi SXY = zG Vi = zGi Vi

4. CARGAS DISTRIBUÍDAS

O conceito de centróide de uma superfície, ou de um volume, pode ser usado na resolução de outros problemas, como por exemplo o problema das cargas distribuídas em barras ou planos.

Problema CG1 – Determine as coordenadas do centróide da seguinte figura plana

homogénea.

Problema CG2 – Determine as coordenadas do centro de gravidade da seguinte figura

plana composta por dois materiais diferentes (ρB = 3ρA).

Problema CG3 – Determine as coordenadas do centróide da seguinte figura tridimensional.

Problema CG4 – Calcule a resultante da carga distribuída e o seu o ponto de aplicação