15 billion. 10 billion. 5 billion. Terra

Modelos Cosmologicos e a Acelerac~ao do Universo

(CosmologicalModelsandtheAccelerationoftheUniverse)

Helio V.Fagundes

Instituto deFsicaTeorica,UniversidadeEstadual Paulista,

S~aoPaulo-SP-CEP01405-900

E-mail: helio@ift.unesp.br

Recebidoem2dezembro,2001. Aceitoem8demaio,2002.

Alguns modelos cosmologicos s~ao apresentados informalmente, especialmenteos de Friedmann e

Einstein-deSitter,utilizadosnocontextodochamado`BigBang',eosdeFriedmann-Lema ^

itreque

completamosprimeiros porincluir aacelerac~aodaexpans~aodouniverso,descobertaalgunsanos

atras.

I O universo observavel

A Fig. 1 e um esquema da parte do universo que

podemos observar da Terra. Os crculos

represen-tam camadas esfericas, com um numero indicando

sua dist^ancia em anos-luz. Ela ja pressup~oe

inter-pretac~oes teoricas,ou ao menos algum processamento

mental,poisnossossentidosn~aopercebemdiretamente

dist^anciasastron^omicas. Nossavis~aodiretadoceun~ao

indica profundidade na direc~ao da observac~ao: oSol,

a Lua,asestrelase  do Cruzeirodo Sul(distantes

respectivamente 260 e 490 anos-luz) aparentam estar

todosamesmadist^anciadenos.

Terra

5 billion

10 billion

15 billion

Figura1. Esquemadapartedouniversoquepodemos

ob-servar. Cada crculorepresenta umacamada esferica, com

adist^anciaindicadaemanos-luz.

Consideremosocrculomarcado5bilh~oes(1bilh~ao

= 1000milh~oes) nagura. Osobjetos,como galaxias

equasares,situadosnessa camada,s~aoobservados por

seja,cada crculorepresenta uma regi~aodo cosmo em

umacertaepoca. (Masnaescaladehoje,quelevaem

conta aexpans~aodo espaco.) N~ao podemos ver como

eraemqualquerepoca umadadaregi~ao. Ocrculo

ex-ternoeapartemaisdistante,acerca de15 bilh~oesde

anos-luz,e portanto mais antiga, que pode ser

obser-vadaatravesderadiac~aoeletromagnetica.

OsnumerosdaFig. 1s~aoaproximados,mastodos

sebaseiamna teoriada expans~aodo universo,

conhe-cida como `Big Bang' (BB), ou, tecnicamente, como

teoriapadr~ao do universo. Outrasobservac~oesques~ao

explicadas pela teoria do BB s~ao as densidades

rela-tivas dos elementos leves, hidrog^enio, helio e ltio, no

universo,eachamadaradiac~aocosmicadefundo, que

seoriginanaesferamaximadaFig. 1.

Acontece que oBB tem muitas variantes. A ideia

basicadocosmocomoalgosemelhanteaoresultadode

umagrandeexplos~aocontinuasendoamaisaceita

pe-los especialistas, mas quanto aos detalhes ha muitas

possibilidadeseincertezas.

Antes de abordar esses modelos, uma observac~ao:

n~ao confundir a cosmologia relativstica com a teoria

darelatividade geral criada porA. Einstein em 1915.

Esta ultima e uma teoria da forca gravitacional,

en-quanto acosmologiaeinsteinianabaseia-sena

relativi-dadegeralcombinadacomoutrashipoteses,comoa

ho-mogeneidade e a isotropia da distribuic~ao de materia

emgrandesescalaseaequac~aodeestadodessamateria.

Estas hipoteses adicionais podem ser mais ou menos

basea-II Osmodelosde Friedmanne de

Einstein-de Sitter

A. Friedmann,usando ashipotesesde homogeneidade

eisotropiadamateria,construiu doismodelosemque

a geometria do espaco cosmico (tecnicamente, a

ge-ometriadassec~oesespaciais 3-dimensionaisdoespa

co-tempo4-dimensional)temcurvaturapositiva(fechado,

1922) ou negativa (aberto, 1924). A curvatura e

umaquantidadegeometricaquevemdateoriadas

su-perfciescurvas. Destas,amaissimpleseaesfera,que

tem curvatura igual ao inverso do raio ao quadrado.

Veremos, a seguir, uma caracterizac~ao dessas

geome-triasemtermosdetri^angulosretilneos.

A

B

C

Geometria hiperbolica:

A + B + C < 180 graus

A

B

C

Geometria esferica:

A + B + C > 180 graus

A

B

C

Geometria euclidiana:

A + B + C = 180 graus

Figura2. Tri^angulo\retilneo" nastr^esgeometrias de

cur-vaturaconstante.

NoseculoXIXhaviamsidodescobertasaschamadas

geometria hiperbolica e geometria esferica, diferentes

da geometria euclidiana comum. Um teorema bem

conhecidoda geometriaeuclidiana, quetemcurvatura

nula, diz que a soma dos ^angulos internos de um

tri^angulo retilneoe igual a 180graus. Na geometria

esfericaessasoma emaiorque180graus,ena

geome-representaotri^angulo euclidianocorretamente,dentro

daslimitac~oes dodesenho. Paraostri^angulos esferico

e hiperbolico as ilustrac~oes s~ao distorcidas, por causa

da curvatura: os lados representados por curvas s~ao

geodesicas-que s~aoas\retas" nessas geometrias,por

exemplooequadoreosmeridianosnumgloboterrestre.

II.1. Modelo de Friedmann esferico ou

fechado

Nestavers~aoadensidademediademateriaemaior

que uma certadensidadecrtica dateoria,que

corres-ponde a cerca de cinco vezes a massa de um atomo

de hidrog^enio por metro cubico. Usa-se aletra grega

(^omega) para a densidade de materia em unidades

dadensidade crtica. Portanto, eumnumeromaior

do queumno modeloesferico. Asec~aoespacial ou

3-espacoerepresentadoporumahiperesfera:assimcomo

aesferaeumasuperfcienita,deduasdimens~oes

(lati-tudeelongitude),imersanoespacoeuclidianocomum,

a hiperesfera e uma hipersuperfcie nita, de tr^es

di-mens~oes (dist^ancia, latitude e longitude), imersa em

umespacoeuclidianoabstratodequatrodimens~oes,que

n~aoeintuitivo. Vamosnoslimitaraconsideraraesfera

comum,queseriaum\plano"nahiperesfera.

A

E

B

C

D

Figura3. Expans~aoe contrac~aonomodelo de Friedmann

AFig. 3representagrosseiramenteaevoluc~aodeste

modelo,pormeiodeumbal~aoesfericocujoraio

inicial-mente (A) tem um di^ametro mnimo (\quase nulo"),

expande-se ate B e chega a um valor maximo em C,

para depoissecontrairateD,eseextinguiremE,

no-vamente com raio mnimo. Em B, C, D as manchas

sobreobal~aorepresentamestruturascomogalaxiasou

seus aglomerados. As dist^ancias entre esses objetos e

proporcionalaoraiodo bal~ao, istoe,primeiro

aumen-tamedepoissecontraem. Naepoca atual,estaramos

noestagioB,portantoemestadodeexpans~ao.

II.2. Modelo de Friedmann hiperbolico

ou aberto

Neste caso, densidade mediaemenor que a

densi-dade crtica, portanto e uma frac~aoda unidade. O

analogodaFig. 3eaFig.4. Aexpans~aocontinua

sem-pre,emboracomvelocidadecadavezmenor,ouseja,a

expans~aoedesaceleradaou freada. A sec~ao espaciale

o espaco hiperbolicoinnito. Aquino IFTtemos

tra-balhadocomumavariantedestemodelo,ondeoespaco

etambemhiperbolico,poremnito.

A

B

C

D

Figura 4. Expans~aonomodelo deFriedmannhiperbolico:

A!B!C!D!...

II.3. Modelo de Einstein-de Sitter

Este modelo (1932) sup~oe que a densidade de

materiaeexatamenteadensidadecrtica,portantoque

= 1. Sua evoluc~ao e representada na Fig. 5. O

espaco3-dimensional (sec~aoespacial)eagoraoespaco

euclidianoinnito.

Comrelac~aoasFigs. 3a5,costuma-sedizerqueas

galaxiaspermanecemxasnoespaco,enquantoestese

dilata ou contrai; por issoas primeiras afastam-se ou

aproximam-seumasdasoutras.

OmodelodeEinstein-deSittere,asvezes,chamado

modelodeFriedmanndecurvaturanula. Ouseja,a

ex-teoriasqueacabamosdedescrever. 

Eummisteriopara

mimpor que oproprio Friedmannn~aotratou docaso

euclidiano,queeomaissimplesdostr^es.

A

B

C

D

Figura5. Expans~aonomodelo deEinstein-deSitter: A!

B!C!D!...

NaFig.6,vemosumgracodaevoluc~aodofatorde

escalaoudeexpans~aonostr^esmodelosdeFriedmann.

Essefatormedeograudeexpans~aooucontrac~ao. Por

exemplo,seemcertaepocaofatoreoduplodeseuvalor

emoutra epoca, ent~aoa dist^anciaentre duas galaxias

na primeira e o duplo da dist^ancia entre elas na

se-gunda. Notemqueastr^eslinhassecurvamparabaixo,

o que matematicamente signica desacelerac~ao. Esta

e produzida pela atrac~ao gravitacional das partes do

universoentresi.

Tempo

Fator

Figura6. Fator de escala nosmodelos deEinstein-de

Sit-ter(acurvadomeio),deFriedmannesferico (embaixo) e

Friedmannhiperbolico(notopo).

II.4. A lei de Hubble

OafastamentodasgalaxiasprevistoporFriedmann

foi conrmado pelas observac~oes, realizadas por V.

Slipher,dodeslocamentoparaovermelho(ouredshift)

da luz proveniente das galaxias, e pelas dist^ancias de

galaxiasmedidasporE.Hubble,ambosresultados

for-velocidadede afastamentodas galaxiaseproporcional



asuadist^ancia. Essaleiexprimeachamadaexpans~ao

do universo, que ostr^esmodelos acima prev^eem,mas

comdiferencas nosvaloresnumericos. NotarnasFigs.

de3a5queesseafastamentodasgalaxiasn~aoesocom

relac~aoanosnaTerra, masdetodasasgalaxiasentre

si.

Em1948,foipropostaporH.BondieT.Golduma

teoriaestacionariadocosmo,quetambempreviaa

ex-pans~aomasn~aooBB.Elafoipraticamenteabandonada

comacomprovac~ao,em1965,daprevis~aodaradiac~ao

defundo,queeexplicadademodonaturalnosmodelos

BB.Tambemcontribuiuparaissoaconrmac~aoda

pre-vis~aodestesquantoaabund^anciadoelementoqumico

helionouniverso.

Os tr^es modelos acima, de Friedmann e

Einstein-deSitter,todosprev^emumaexpans~aodouniversoque

estadesacelerando. Ouseja,avelocidadedaexpans~ao

esta sempre diminuindo. Isso se deve a que a unica

forca atuante e a atrac~ao gravitacional, que freia a

grandegrande velocidadeinicial. Ate hapoucos anos,

os teoricos achavam que esta previs~ao estava correta,

e apenas sedividiam em duas prefer^encias principais:

uma corrente,ligadaaos astrofsicos,acreditavanuma

baixa densidade de materia, algocomo 30%da

densi-dade crtica, eque portanto o modelo apropriado era

odeFriedmannhiperbolico;outra,principalmente dos

fsicostrabalhandonateoriadoscampos,preferiaade

Einstein-deSitter.

Ent~ao, tr^es anos atras, apareceu um novo

resul-tado, espetacularjaqueninguemoesperava. Da

ob-servac~aode estrelassupernovas distantes, doisgrupos

independentes,lideradosporA.G.RiesseS.

Perlmut-ter, chegaram a conclus~ao de que a expans~ao do

uni-verson~aoestafreando,ela estaacelerando! (Na sec~ao

4, adiante,teremos uma noc~ao do princpio desta

de-scoberta.) Iniciou-se, ent~ao, a atual fase de frenetica

pesquisaparaadaptaroBBaessenovofato.

Porquetantoalvorocodiantedestenovofato? Para

ocientista n~ao setrata de uma observac~aoisolada, e,

antes, maisumapecanainvestigac~aodasleisnaturais.

Eparatodosnos,habitantesdoUniverso,eimportante

conhecerosdetalhesdestanossacasa!

III A constante cosmologica e os

modelos de Lema

^

itre e de

Sitter

Em 1917, quando ainda n~ao se conhecia a expans~ao

douniverso,Einsteinconstruiuummodelocosmologico

estatico. Para isso ele usou sua propria teoria da

gravitac~ao, \com uma pequena modicac~ao". Esta

modicac~aofoiacrescentar,naequac~aodocampo

gra-vitacional, a chamada constante cosmologica, o que

outra densidade de energia invisvel, que pode ser

chamadaenergiaescura,ouenergiadovacuo. Seuvalor

foi ajustadode modoa funcionar como uma forca

re-pulsivaeassim contrabalancaraatrac~aogravitacional

damateriacomum,permitindomodelarumcosmosem

expans~ao nem contrac~ao. Essa constante, designada

pelaletragrega(lambda),coufamosapelafrasede

Einstein \amaiorburradademinhavida": sema

mo-dicac~ao ele poderiater previsto aexpans~ao cosmica,

detectadaonzeanosdepois. Poroutroladotinha

fun-damentomatematicosolido;tantoassimque foiusada

emdoismodelos,descritosabaixo,quepormuitotempo

sotiveraminteresseteoricoformal,masqueatualmente

fazempartedapesquisa defronteira.

O modelo de W. de Sitter (1917) n~ao contem

materia, mas apenas uma constante cosmologica. Seu

fator de expans~ao cresce exponencialmente (isto e,

muitorapidamente),eoespacoeeuclidiano. Nadecada

de 1980, apareceuo chamado cenario in acionario do

universoprimordial,quesup~oeumaepocamuitocurta,

logoaposonascimentodouniverso,emqueestese

ex-pandiude formamuitssimorapida,segundoomodelo

de Sitter, antes de comecar a fase de expans~ao

`nor-mal',queedescritapelosmodelosdeFriedmanneseus

sucessores. NaFig. 7vemosaevoluc~ao domodelode

de Sitter,comexpans~aosempre acelerada: nograco,

curvaturaparacima.

Tempo

Fator

Figura7.Expans~aoexponencialnomodelodedeSitter.

Nomodelooriginal deG. Lema ^

itre (1927),a

cons-tantecosmologicatemumvalormaiorquenode

Eins-tein. Ele tem expans~ao, primeiramente desacelerada,

depois acelerada, com uma epoca de \hesitac~ao" no

meio, como diz Harrison em seu excelente livro

semi-popular. Generaliza-se o modelo original para

quais-quer valores de , e resultam as mesmas variantes

geometricasdosmodelosdeFriedmann,quepodemser

chamadas modelos de Friedmann-Lema ^

itre (FL). Na

Fig. 8,temos umgracodofatordeevoluc~aode

algu-masdasvariantesdeFriedmann-Lema ^

porEinstein; oque signica uma forca repulsiva

su-ciente para vencer a atrac~ao gravitacional, da a

ace-lerac~ao nal da expans~ao. Para  menor que ovalor

deEinstein nocasoesferico,e negativoemqualquer

caso-atrac~aoextra! -temos apenas desacelerac~aoeo

colapsonal,comonoFriedmannesferico.

Tempo

Fator

Figura 8. Expans~ao em modelos de Friedmann-Lema ^

itre

com constante cosmologica positiva, e, no caso esferico,

maior queno modelo estatico de Einstein. Debaixo para

cima,espacos esferico,euclidiano ehiperbolico.

Comadescobertadaacelerac~aodaexpans~ao -que

aindan~aofoisucientemente conrmada-aconstante

voltouapesquisadefronteira,comoumdospossveis

recursos para encaixaressa acelerac~ao noesquema do

BB.

IV Modelos incluindo a

acelera- c~ao

Nos tr^esmodelos deFriedmann, aexpans~aoe sempre

freada, isto e, n~ao prev^eemacelerac~ao. Node de

Sit-ter ela e acelerada demais, so serve para descrever a

chamadafasein acionariadouniversorecem-nascido.

Poroutrolado,oesquemain acionariomais

popu-lar e aquele em que a in ac~ao elimina qualquer

cur-vatura que o universo pudesse ter originalmente, de

modo que a epoca pos-in acionaria tem curvatura

nula.

O modelo mais simples para acomodar tanto o

BB com curvatura nula como a acelerac~ao e o de

Friedmann-Lema ^

itrecomespacoeuclidiano. 

Amedida

que o universo se expande, a densidade de materia

diminui, pois a quantidade de materia em uma certa

regi~ao se conserva enquanto o volume da regi~ao

au-menta. Temos,ent~ao,umgracodaevoluc~aodas

den-sidades, em unidades da densidade crtica atual, de

materia e de energia escura como na Fig. 9. Nesta

guranotamosquenoinciopredominavaamateria,e

assimouniversoseparececomodeEinstein-de Sitter

(EdS). Eventualmente aenergiado vacuo vai

predom-inar, e o modelo se comportara como o de de Sitter

1

Tempo

0,3

0,7

Densidade

Figura9. Densidadesde materia(curva) eenergia escura

(reta),emunidadesdadensidadecrticaatual. Onumero1

noeixodotempoindicaaepocaatual.

0,54

1

2

Tempo

1

2

Fator

Figura10. FatordeescalanosmodelosdeEdS(linhana)

eFLeuclidiano (linha grossa),este comdensidadesatuais

de30%demateriae70%deenergiaescura.

NaFig. 10mostramosumgracodoFLeuclidiano,

junto com oEdS para comparac~ao. O ponto 0,54 no

eixohorizontalindica amudancadadesacelerac~ao

ini-cialpara a fase de acelerac~ao em FL, quando o fator

de escalatinha 65% do valor atual. Nossa Fig. 10 e

aunica baseadaemcalculosexatos. Paraos

interessa-dosnestes, o Ap^endice traz as grandezas basicas eos

valoresadotadosnaFig. 10.

Podemosagoradarumaideiadecomoaacelerac~ao

atual foi descoberta. Para um dado redshift de uma

supernova, a dist^ancia desta calculada no FLemaior

doque noEdS. Portanto, seu brilho previstoemenor

noprimeirocaso-acelerado-eeoquecorrespondeao

brilhoobservadodasupernova.

Naepoca`atual'(emcosmologiaistopodesignicar

umperododemilharesouatemilh~oesdeanos),temos

aestimativa de uma densidade relativade materia de

30%,edeenergiaescuradosrestantes70%-demodoa

satisfazeraideiadominanteentreosteoricos,dequeo

perodoin acionario(v. sec~aoIIIacima)implica

total

=1, isto e,a densidadetotal demateria eenergia

se-riaa densidade crtica. Por que naepoca atual esses

valoress~aoda mesmaordem de grandeza? Esteeum

doschamadosproblemas decoincid^encia. Ochamado

princpio antropico explica essa coincid^encia dizendo

que so nessas condic~oes do universo a vida humana

vacuo t^em de ser da mesma ordem de grandeza. Eu

n~aoestouconvencidodequeestaeuma boasada...

Uma outra ideia, alternativa a constante

cos-mologica, para explicar a acelerac~ao, e postular um

novotipodemateria,chamadoquintess^encia,numa

re-fer^encia poeticaaos quatro elementos da antiguidade.

Suadensidadepoderiasern~aoconstante,masdiminuir

vagarosamente, de modo a simular uma constante na



epocaatual, eseanularnofuturoremoto.

V Nomenclatura e outros

mode-los

Em todos os casos acima, o espaco foi suposto

isotropico: em cada ponto suas propriedades s~ao as

mesmas em qualquer direc~ao; e homog^eneo: tem

as mesmas propriedades em cada ponto. A classe

dessassoluc~oeschama-semodelosdeRobertson-Walker.

Destes, aqueles com a propriedade BB formam

a subclasse FLRW (Friedmann-Lema ^

itre-Robertson-Walker). Mas essa nomenclatura n~ao e uniforme na

literaturaespecializada.

N~aodiscutinossapesquisaaquinoIFT,queenvolve

modelosdecurvaturaconstante,mascomespacos

ni-tosedeformasmaiscomplexasqueosacima. Tambem

n~aomencioneioutroscasosques~aodegrandeinteresse

teorico,masquenomomentot^empoucarelev^anciana

cosmologiaobservacional.

VI Conclus~ao

O Big Bang, agora na vers~ao de Friedmann-Lema ^

itre

com constante cosmologica positiva e geometria

espa-cial euclidiana, acomoda bem seus antigos sucessos.

Estes incluem a expans~ao do universo, a formac~ao

e abund^ancia, com relac~ao ao proton, dos nucleos

at^omicos leves - d^euteron, helio 3, helio 4, ltio 7 - e

aradiac~aocosmicadefundo. E tambem explica a

atualpossibilidadedaacelerac~aodaexpans~ao.

Mas ha um sentimento de incompleteza da

teo-ria, que precisa apelar, porexemplo, para oprincpio

antropico e para a misteriosa constante cosmologica,

queninguemsabedeondevem. Hatambemoproblema

de conciliar a cosmologia com outras areas da fsica,

comoateoriaqu^anticadoscampos. Aparentemente,as

teoriasdocosmoencontram-seemumafasetransitoria,



aesperadaelaborac~aodeumanovasnteseteorica.

Ap^endice

ModeloFL euclidiano, comosvaloresadotados na

Fig. 10: c ConstantedeHubble H 0 =65kms 1 Mpc 1

Constantecosmologica =1;036810 56

cm 2

Densidadedemateria

M0 =8G M0 =3H 2 0 =0;3

Densidadedeenergiaescura

 =c 2 =3H 2 0 =1 M0 =0;7

Par^ametrodedesacelerac~ao q

0 = M0 =2  = 0;55 Metrica ds 2 =c 2 dt a 2 (t)dx 2 ;onde a(t)=( M0 =  ) 1=3 sinh 2=3 ( p 3ct=2) =0;754sinh 2=3 (1;210t=t 0 ) Idadedouniverso t 0 =(2=3H 0 p  )tanh 1 p  =14;510 9 anos

Dist^anciapropria d(Z)=

(c=H 0 ) R Z 0 [ M0 (1+z) 3 +  ] 1=2 dz

Transic~aodesacelerac~ao!acelerac~ao t

da =(2= p 3)tanh 1 (1= p 3) =0;544t 0 Z da =(2  = M0 ) 1=3 1=0;671 d

No modelo EdS, a(t) = (t=t

0 ) 2=3 , t 0 = 2=3H 0 = 10;010 9 anos,ed(Z)=(2c=H 0 )[1 (1+Z) 1=2 ]:Esta 

emenorquesuacorrespondente noFL,para qualquer

redshift; por exemplo, para Z = 1;0, a raz~ao dessas

dist^anciase0;76:

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