Jairo Menezes e Souza 02/08/2013

(1)

Regra De Substitui¸c˜ao

Regra De Substitui¸c˜

ao

Jairo Menezes e Souza

UFG/CAC

(2)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas

Simetria Lembre que pela regra da cadeia temos que

d

dx [F(g(x ))] = F

0_{(g(x ))g}0_{(x )}

Da´ı temos que Z

F0(g(x ))g0(x )dx = [F(g(x ))] + C (1)

Vamos fazer a “mudan¸ca de vari´avel” ou “substitui¸c˜ao”

u = g(x ), ent˜ao na equa¸c˜ao 2 temos que

Z F0(g(x ))g0(x )dx = [F(g(x ))] + C = [F(u)] + C = Z F0(u)du fazendo F0 = f, temos Z f(g(x ))g0(x )dx = Z f(u)du

(3)

d

dx [F(g(x ))] = F

0_{(g(x ))g}0_{(x )}

Da´ı temos que Z

F0(g(x ))g0(x )dx = [F(g(x ))] + C (1)

(4)

d

dx [F(g(x ))] = F

0_{(g(x ))g}0_{(x )}

Da´ı temos que Z

F0(g(x ))g0(x )dx = [F(g(x ))] + C (1)

(5)

d

dx [F(g(x ))] = F

0_{(g(x ))g}0_{(x )}

Da´ı temos que Z

F0(g(x ))g0(x )dx = [F(g(x ))] + C (1)

Z

F0(g(x ))g0(x )dx = [F(g(x ))] + C = [F(u)] + C =

Z

F0(u)du

(6)

Simetria

Assim provamos o Teorema, Regra Da Substitui¸c˜ao

Se u = g(x ) for uma fun¸cão derivável cuja imagem é um intervalo

I e f for cont´ınua em I , ent˜ao Z

f(g(x ))g0(x )dx = Z

f(u)du

onde du = g0(x )dx

(7)

Simetria

Exemplo

EncontreR x3_{cos (x}4_{+ 2)dx}

Fa¸ca u = x4_{+ 2. Assim du = 4x}3_{dx , logo x}3_{dx =}du_/₄_.

Logo, Z x3cos (x4+ 2)dx = Z cos u ·1 4du = 1 4 Z cos udu = 1 4sen u + C = 1 4sen (x 4_{+ 2) + C}

(8)

Simetria

Exemplo

(9)

Simetria

Exemplo

(10)

Simetria

Exemplo

(11)

Simetria

Exemplo

(12)

Simetria

Exemplo

CalculeR √2x + 1dx

Fa¸ca u = 2x + 1. Assim du = 2dx , logo dx =du_/₂_.

Logo, Z √ 2x + 1dx = Z _√ udu 2 = 1 2 Z u1/2 du = 1 2 · u3/2 3_/₂ + C = 1 3u 3_/₂ + C 1 3(2x + 1) 3_/2 + C

(13)

Simetria

Exemplo

(14)

Simetria

Exemplo

(15)

Simetria

Exemplo

(16)

Simetria

Exemplo

(17)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria Exemplo EncontreR _x √ 1−4x2dx Exemplo CalculeR e5x_{dx .}

(18)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria Exemplo EncontreR _x √ 1−4x2dx Exemplo CalculeR e5x_{dx .}

(19)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria Exemplo CalculeR x2√x + 1dx Exemplo EncontreR tg xdx

(20)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria Exemplo CalculeR x2√x + 1dx Exemplo EncontreR tg xdx

(21)

Simetria

Regra Da Substitui¸c˜ao Para As Integrais Definidas

Se g0 for cont´ınua em [a, b] e f for cont´ınua na imagem de

u = g(x ), ent˜ao Z b a f(g(x ))g0(x )dx = Z g(b) g(a) f(u)du

(22)

Simetria

Demonstra¸c˜ao.

Seja F uma primitiva de f. Ent˜ao por 2 F(g(x )) ´e uma primitiva

de f(g(x ))g0(x ); logo pelo TFC-parte II, temos

Z b

a

f(g(x ))g0(x )dx = F(g(x ))]b_a = F(g(b)) − F(g(a))

Aplicando outra vez o TFC-parte II, temos tamb´em

Z g(b)

g(a)

f(u)du = F(u)]g(b)_g(a) = F(g(b)) − F(g(a))

(23)

Simetria

Demonstra¸c˜ao.

Seja F uma primitiva de f. Ent˜ao por 2 F(g(x )) ´e uma primitiva

de f(g(x ))g0(x ); logo pelo TFC-parte II, temos

Z b

a

f(g(x ))g0(x )dx = F(g(x ))]b_a = F(g(b)) − F(g(a))

Aplicando outra vez o TFC-parte II, temos tamb´em

Z g(b)

g(a)

(24)

Simetria

Exemplo

CalculeR₀4√2x + 1dx

Solu¸c˜ao. Fa¸ca u = 2x + 1. Assim du = 2dx e dx =du_/₂_.

Quando x = 0, u = 2 · 0 + 1 = 1 e quando x = 4, u = 2 · 4 + 1 = 9 Da´ı Z 4 0 √ 2x + 1dx = Z 9 1 1 2 √ udu = 1 2· 2 3u 3_/2 9 1 = 1 3(9 3_/₂ − 13/2_{) =} 26 3

(25)

Simetria

Exemplo

(26)

Simetria

Exemplo

(27)

Simetria

Exemplo

(28)

Simetria

Exemplo

(29)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria y =√2x + 1 x y 4 y = √ u 2 9 1 u y

(30)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria Exemplo CalculeR2 1 dx (3−5x )2. Exemplo CalculeRe 1 ln x x dx

(31)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria Exemplo CalculeR2 1 dx (3−5x )2. Exemplo CalculeRe 1 ln x x dx

(32)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria

Proposi¸c˜ao

Suponha que f ´e cont´ınua em [−a, a].

(a) Se f for par [f(−x ) = f(x )], ent˜ao Ra

−af(x )dx = 2

Ra

0 f(x )dx .

(b) Se f for ´ımpar [f(−x ) = −f(x )], ent˜aoR_−aa f(x )dx = 0.

(33)

Regra De Substitui¸c˜ao Integrais Definidas Simetria

Proposi¸c˜ao

Suponha que f ´e cont´ınua em [−a, a].

(a) Se f for par [f(−x ) = f(x )], ent˜ao Ra

−af(x )dx = 2

Ra

0 f(x )dx .