Cálculo Diferencial e Integral

Universidade de São Paulo

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Cálculo Diferencial e Integral

Professor

Fábio Prataviera

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Funções

2

3

4

5

6

7

8

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Um estudante quer construir um cercado retangular de tela para seu coelho de estimação. Ele irá usar a parede de 4m de comprimento como um dos lados do cercado.

Seja x a medida do lado paralelo a parede e y a medida do lado perpendicular a parede.

O cercado deve ter uma área de 3 m² e L o comprimento de tela a ser usado.

(a) Encontre uma fórmula para L em função de x e y.

(b) Encontre uma fórmula para L em função apenas de x.

(c) Encontre o domínio da função obtida no ítem b.

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Esquema: cercado visto de cima

parede 4 m

y x

y

Área=3m²

(a) 𝑳 = 𝒙 + 𝟐𝒚

(b)Temos 𝐴 = 𝑥. 𝑦 = 3 𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑦 = ³

𝑥 . Dai L=x+2 ³

𝑥 . 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑳 𝒙 = 𝒙 + 𝟔

𝒙 ( c ) 𝑥 ≠ 0 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑧𝑒𝑟𝑜

𝑥 ≥ 0 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑥 é 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑥 ≤ 4 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜)

Portanto: Dom(L(x))= {x ∈ 𝑹 / 0 < x ≤ 𝟒} = (𝟎, 𝟒]

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Vamos construir um gráfico de 𝐿 𝑥 = 𝑥 + ⁶

𝑥 , 0 < 𝑥 ≤ 4. Este pode ser obtido a partir de uma tabela de valores.

0 1 2 3 4 x

2 4 6 8 10 12 y

6 ≅ 2,4494

4.8989

Note que existe um valor de x que torna L mínimo.

x L(x)=x+(6/x) 0,1 60,100 0,2 30,200 0,3 20,300 0,4 15,400 0,5 12,500 0,6 10,600

0,7 9,271

0,8 8,300

0,9 7,567

1 7,000

1,1 6,555

1,2 6,200

1,3 5,915

1,4 5,686

1,5 5,500

1,6 5,350

1,7 5,229

1,8 5,133

1,9 5,058

2 5,000

2,1 4,957

2,2 4,927

2,3 4,909

2,4 4,900

2,5 4,900

2,6 4,908

2,7 4,922

2,8 4,943

2,9 4,969

3 5,000

3,1 5,035

3,2 5,075

3,3 5,118

3,4 5,165

3,5 5,214

3,6 5,267

3,7 5,322

3,8 5,379

3,9 5,438

4 5,50018

O gráfico conta uma história!

Quanto mais x se aproxima de zero maiores são os valores de L.

A função é decrescente até x= 6 e crescente a partir de x= 6 . L(x) tem um valor mínimo em

Com esse valor de comprimento é possível obter um cercado com a área de 3 m

com a menor quantidade de tela.

x= 6 ≅ 2,4494

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Conceitos úteis para descrever o comportamento de funções:

Uma função é crescente em um intervalo I de seu domínio se e somente se x₁ < x₂ implica f(x₁ ) < f (x₂ ) para todos x₁ e x₂ no intervalo I.

x

Uma função é decrescente em um intervalo I de seu domínio se e somente se x₁ < x₂ implica f(x₁ ) > f (x₂ ) para todo x₁ e x₂ no intervalo I.

Função crescente

Função decrescente x

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Uma função é não decrescente em um intervalo I de seu domínio se e somente se x₁ < x₂ implica f(x₁ ) ≤ f (x₂ ) para todos x₁ e x₂ no intervalo I.

x

Uma função é não crescente em um intervalo I de seu domínio se e somente se x₁ < x₂ implica f(x₁ ) ≥ f (x₂ ) para todo x₁ e x₂ no intervalo I.

Função não decrescente

Função não crescente

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Agora considere agora função 𝑦 = 𝑥 + ⁶

𝑥 . Abaixo temos o gráfico dessa

função. A única restrição é excluir x=0 do domínio para evitar divisão por zero.

Portanto:

Dom(y)= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ 0 = ℝ − {0}.

5 5 x

30 20 10 10 20 30 y

Embora as funções desse exemplo e do exemplo 1 tem a mesma

fórmula, elas não são a mesma função pois os domínios são diferentes.

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A função composta: Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, g o f, é definida por:

g o f x = g f x Composta de f em g

Domínio de g o f: valores de x no domínio de f que pertencem ao domínio de g:

Dom(g o f) = x ∈ Dom f / f x ∈ Dom (g)

𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑓(𝑥 ))

𝑓 𝑔

(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

23

Exemplo

24

Exemplo:

f(x )=x

+1 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1

Temos:

(g o f)(x)=𝒈 𝒇(𝒙)

= 𝑔 (𝑥

+1) = (𝑥

+1) − 1 =

(f o g)(x)= f(g(x)) = f(x-1) = (𝑥 − 1)²

+1= 𝑥

− 2. 𝑥. 1 + 1

+ 1 = 𝑥

− 2𝑥 + 2

Note que, em geral, (g o f)(x)≠ (f o g)(x)

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Exemplo: 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 ℎ 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )

1 ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1

2 ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥

3 ℎ 𝑥 = 1

𝑥 + 1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑓 𝑥 = 1

𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1

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Tarefa 1: Você deve resolver esta tarefa em uma folha, fotografar e inserir no stoa até a data agendada.

Nome:... N

USP:

A B C D E F G H O seu número usp será usado nos exercício. Quando necessário substitua a letra pelo número correspondente.

(1.1) Determine o domínio da função:

1) G

1)(x G

(x f(x) 1

+ +

−

= −

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(1.2) Um fio de arame de G + 5 de comprimento deves ser dobrado para formar um retângulo de lados x e y.

(a)Faça um desenho com os nomes das variáveis para visualizar a situação concreta.

(b)Encontre uma fórmula de y em função de x.

(c)Encontre uma fórmula para área A do retângulo obtido em função de x.

(d) Qual o domínio da função do ítem c.

(d) Faça um gráfico da função do ítem c.

(e) Descreva o comportamento da área em função de x.

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1.3 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 ℎ 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )

𝑎 ℎ 𝑥 = 3

𝑏 ℎ 𝑥 = |𝑥 − 𝑮 + 1|

(1.4) Podemos obter a função composta de mais de duas funções. Identifique f(x), g(x) e h(x) na composta u(x)=f(g(h(x))) da seguinte função

𝑢 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥

+ 𝑮 + 1)

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(1.5) Adaptado de Applied Calculus, Deborah Hughes-Hallett et. al., 4th edition, 2010.

Qual gráfico corresponde melhor a cada uma das histórias seguintes:

(a) Acabei de sair de casa quando percebi que tinha esquecido meus livros, e então voltei para buscá- los.

(b) As coisas correram bem até eu ter um pneu furado.

(c) Comecei com calma, mas

acelerei quando percebi que ia me atrasar.

(d) Escreva uma história para o gráfico restante.

Distância de casa

Distância de casa

Distância de casa

Distância de casa

tempo tempo

tempo tempo

30