Matemática. Revisão de geometria analítica. Resumo. Pontos e retas. Distância entre dois pontos: (aplicação do Teorema de Pitágoras)

Revisão de geometria analítica Resumo

Pontos e retas

Ponto médio de um segmento de reta 𝑨𝑩̅̅̅̅, em que 𝑨 = (𝒙𝒂, 𝒚_𝒂) e 𝑩 = (𝒙𝒃, 𝒚_𝒃):

𝑃 ( 𝑥

_𝑎

+ 𝑥

_𝑏

2 , 𝑦

_𝑎

+ 𝑦

_𝑏

2 )

Distância entre dois pontos:

𝑑 = √(𝑥

_𝑏

− 𝑥

_𝑎

)² + (𝑦

_𝑏

− 𝑦

_𝑎

)²

(aplicação do Teorema de Pitágoras)

Coordenadas do baricentro (encontro das três medianas) de um triângulo com vértices 𝑨 = (𝒙𝒂, 𝒚_𝒂), 𝑩 = (𝒙𝒃, 𝒚_𝒃) e 𝑪 = (𝒙𝒄, 𝒚_𝒄):

𝐺 = ( 𝑥

_𝑎

+ 𝑥

_𝑏

+ 𝑥

_𝑐

3 , 𝑦

_𝑎

+ 𝑦

_𝑏

+ 𝑦

_𝑐

3 )

Equações da reta:

•

𝑟: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 →

equação reduzida

Coeficiente angular :

𝑎 = 𝑡𝑔𝜃

, onde 𝜃 é a inclinação da reta com a horizontal. Ou ainda, podemos pensar a fórmula anterior como

𝑎 =

^∆𝑦

∆𝑥.

Coeficiente linear

:

o valor numérico de 𝑏 corresponde ao valor da ordenada (coordenada 𝑦) no momento em que a reta intercepta o eixo 𝑦.

•

𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 →

equação geral

A partir da equação reduzida, obtemos a equação geral quando todos os termos estão no mesmo lado da equação, deixando o outro nulo.

A partir da equação geral, obtemos a equação reduzida quando isolamos 𝑦.

•

𝑟:

^𝑥

𝑝

+

^𝑦

𝑞

= 1 →

equação segmentária

De modo que 𝑝 e 𝑞 são os valores numéricos associados aos momentos em que a reta intercepta o eixo 𝑥 e 𝑦, respectivamente.

Exemplo:

𝑦 =𝑥

2+ 1 →reduzida 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 →geral

−𝑥

2+ 𝑦 = 1 →segmentária

Distância de um ponto 𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎) à reta 𝒓: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎:

𝑑(𝑃; 𝑟) = |𝑎𝑥

₀

+ 𝑏𝑦

₀

+ 𝑐|

√𝑎² + 𝑏²

Condição de paralelismo entre duas retas:

Sendo 𝑟1: 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 e 𝑟2: 𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 retas:

𝑟

₁

//𝑟

₂

⇔ 𝑎

₁

= 𝑎

₂

.

Retas perpendiculares:

Sendo 𝑟1: 𝑦 = 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁ e 𝑟2: 𝑦 = 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂ retas:

𝑟

₁

⊥ 𝑟

₂

⇔ 𝑎

₁

∙ 𝑎

₂

= −1.

Circunferência

Definição: considere um ponto chamado 𝑂 e um tamanho 𝑅. A circunferência é o conjunto de pontos (lugar geométrico) do plano que distam 𝑅 de 𝑂. Essa distância 𝑅 é chamada raio. Aqui, os pontos 𝑃 que pertecem à circunferência serão representados por 𝑃(𝑥, 𝑦).

• 𝐶: (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)²= 𝑅² → equação reduzida

• 𝐶: 𝑥² + 𝑦² − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏² − 𝑅² = 0 ou 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 , com 𝑐 = 𝑎² + 𝑏² − 𝑅² → equação geral

Obs.: Se a circunferência tem centro na origem do plano cartesiano, 𝑎 = 𝑏 = 0, a equação da circunferência será 𝑥²+ 𝑦²= 𝑅².

Elipse

Definição: é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥; 𝑦) cuja soma da distância deles a dois pontos fixos, chamados de focos, é constante.

Elementos de uma elipse:

• Focos: são os pontos 𝐹1 e 𝐹2.

• Distância focal: é a distância entre os focos, a qual vale 2𝑐.

• Centro: é o ponto médio 𝐶 do segmento 𝐹1𝐹2.

• Eixo maior: é o segmento 𝐴1𝐴₂ de comprimento 2𝑎.

• Eixo menor: é o segmento 𝐵1𝐵2 de comprimento 2𝑏 e perpendicular a 𝐴1𝐴2 no seu ponto médio.

Obs.: Excentricidade da elipse → é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidade perto de 0 são aproximadamente circulares, enquanto elipses com excentricidade próxima de 1 são “achatadas”. Seu cálculo é dado por

𝑒 =

^𝑐

𝑎

(0 < 𝑒 < 1)

. Relação dos elementos: 𝑎²= 𝑏²+ 𝑐².

Equações reduzidas:

a) Eixo maior é paralelo ao eixo 𝑥:

(𝑥 − ℎ)²

𝑎² +(𝑦 − 𝑘)² 𝑏² = 1

b) Eixo maior é paralelo ao eixo 𝑦:

(𝑥 − ℎ)²

𝑏² +(𝑦 − 𝑘)² 𝑎² = 1

Hipérbole

Definição: hipérbole é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) de um plano, tal que a diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos 𝐹1 e 𝐹2 é constante (2𝑎 < 2𝑐), com 𝐹1𝐹₂= 2𝑐.

|𝑑 − 𝑑′| = constante

Elementos de uma hipérbole:

• 𝐹1 e 𝐹2: focos. A distância entre os focos é igual a 2𝑐, denominada distância focal.

• 𝑂: centro da hipérbole. É o ponto médio do segmento 𝐹1𝐹₂.

• Eixo real ou transverso: é o segmento 𝐴1𝐴2, cujo comprimento é 2𝑎.

• Eixo imaginário ou virtual: é o segmento 𝐵1𝐵₂, cujo comprimento é 2𝑏.

Relação entre os elementos: 𝑐²= 𝑎²+ 𝑏²

Equações reduzidas:

a) Eixo real paralelo ao eixo 𝑥:

(𝑥 − ℎ)²

𝑎² −(𝑦 − 𝑘)² 𝑏² = 1

b) Eixo real paralelo ao eixo 𝑦:

(𝑦 − 𝑘)²

𝑎² −(𝑥 − ℎ)² 𝑏² = 1

Parábola

Definição: lugar geométrico dos pontos 𝑃 do plano que distam igualmente de uma reta fixa 𝑑, chamada diretriz, e de um ponto fixo 𝐹, não pertencente à diretriz, chamado foco.

Elementos de uma parábola:

• 𝐹: foco.

• 𝑑: diretriz.

• 𝑉: vértice.

• 𝑝: parâmetro, que representa a distância do foco à diretriz.

• reta 𝑉𝐹: eixo de simetria da parábola.

Equações:

a) Eixo de simetria coincide com o eixo 𝑥:

𝑦² = 2𝑝𝑥

Equação explícita: Se o vértice não está na origem, mas no ponto 𝑉(𝑘, ℎ): (

𝑦 − ℎ)² = 2𝑝(𝑥 − 𝑘)

b) Eixo de simetria coincide com o eixo 𝑦:

𝑥² = 2𝑝𝑦

Equação explícita: Se o vértice não está na origem, mas no ponto 𝑉(𝑘, ℎ): (

𝑥 − 𝑘)² = 2𝑝(𝑦 − ℎ)

Exercícios

1.

Considere as duas parábolas de equações 𝑦 = 𝑥²− 7𝑥 − 13 e 𝑦 = −𝑥²+ 9𝑥 − 43. Sejam 𝑃0 e 𝑃1 os dois pontos de interseção entre as parábolas. Qual é a equação da reta que passa por 𝑃0 e 𝑃1?

a) 𝑦 = 𝑥 + 2 b) 𝑦 = 8𝑥 + 15 c) 𝑦 = −13𝑥 − 17 d) 𝑦 = 2𝑥²− 15𝑥 − 28 e) 𝑦 = 𝑥 − 28

2.

O retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, com 𝐴 = (0, 0), 𝐵 sobre o semieixo 𝑥 positivo, 𝐷 sobre o semieixo 𝑦 positivo, conforme figura abaixo, tem área 36, e a medida do lado 𝐴𝐷 é igual a 4.

Qual é a equação da reta 𝐵𝐷?

a) 𝑥 + 𝑦 = 8 b) 4𝑥 + 9𝑦 = 36 c) 5𝑥 + 3𝑦 = 10 d) 9𝑥 + 4𝑦 = 36 e) −𝑥 + 𝑦 = 36

3.

O esquema a seguir é uma representação simplificada de um raio 𝑋 usado em um aparelho de tomografia computadorizada axial para compor imagens de objetos. No plano cartesiano com origem no centro do objeto, indicado na figura, a reta do raio 𝑋 tem equação 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0. A distância 𝑑, entre o centro do objeto e a reta do raio 𝑋, na unidade do plano cartesiano, é igual a

a) ¹² 5 b) ²¹

10 c) ¹¹ 5 d) ⁹₄

e) ⁵ 2

4.

A figura abaixo ilustra um par de eixos cartesianos e duas retas.

A área delimitada pelas retas 𝑟, 𝑠 e pelo eixo das abscissas é:

a) ¹² 11 b) ¹⁸ 11 c) ²⁴ 11 d) ³⁰ 11 e) ³⁶ 11

5.

Considere os pontos 𝐴(3, 2) e 𝐵(6, – 1) do plano cartesiano. Seja 𝑃 um ponto do eixo das abscissas tal que a reta 𝐴𝑃̅̅̅̅ seja perpendicular à reta 𝐵𝑃̅̅̅̅. As abscissas possíveis de 𝑃 têm por soma o número:

a) 11 b) 9 c) 12 d) 8 e) 10

6.

(Enem PPL) Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:

1. um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.

2. cinco relações entre as coordenadas (𝑥;  𝑦) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.

𝑅1:  𝑦 = 𝑥 𝑅2:  𝑦 = −3𝑥 + 5 𝑅3:  𝑦 = −3𝑥 + 10 𝑅4:  𝑦 =1

3𝑥 +5 3 𝑅5:  𝑦 =1

3𝑥 + 1 10

O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera.

A relação escolhida pelo instalador foi a a) R1.

b) R2.

c) R3.

d) R4.

e) R5.

7.

(Enem PPL) Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1: 500. Use 2,8 como aproximação para √8.

De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é a) 110.

b) 120.

c) 124.

d) 130.

e) 144.

8.

(Enem) Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (𝐹) até o reservatório de um novo bairro (𝐵).

Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas 𝑥𝑂𝑦 da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 𝑚 de galeria via segmento de reta demora 1,0 ℎ, enquanto que 1 𝑚 de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 ℎ. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para 𝜋 e 1,4 como aproximação para √2.

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de

a) 1.260.

b) 2.520.

c) 2.800.

d) 3.600.

e) 4.000.

9.

(Enem PPL) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 − 4𝑦 − 31 ≤ 0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.

Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C.

b) B e C.

c) B e D.

d) A, B e C.

e) B, C e D.

10.

Vitória-régia é uma planta aquática típica da região amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato circular, com uma capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua face inferior. Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia, cuja borda obedece à equação 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0, apreciando a paisagem ao seu redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua frente era maior e mais bonita, resolveu pular para essa folha, cuja borda é descrita pela equação 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0. A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto para não cair na água é:

a) 2(√2 − 1) b) 2 c) 2√2 d) 2 − √2 e) √5

Gabarito

1. E

Calculando as interseções entre as parábolas:

𝑥²− 7𝑥 − 13 = −𝑥²+ 9𝑥 − 43 → 2𝑥²− 16𝑥 + 30 = 0 → 𝑥²− 8𝑥 + 15 = 0 → 𝑥^′= 3, 𝑥^′′= 5

Encontradas as coordenadas 𝑥 dos pontos de interseção, podemos encontrar suas respectivas coordenadas 𝑦 substituindo esses valores em qualquer uma das duas curvas. Assim, na primeira parábola:

• Se 𝑥^′= 3, então 𝑦^′= 3²− 7 ∙ 3 − 13 = 9 − 21 − 13 = −25. Temos o ponto (3, −25).

• Se 𝑥^′′ = 5, então 𝑦^′′= 5²− 7 ∙ 5 − 13 = 25 − 35 − 13 = −23. Temos o ponto (5, −23).

Logo, a reta que buscamos deve passar pelos pontos (3, −25) e (5, −23). Sendo a reta do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, podemos encontrar 𝑎 por ^∆𝑦

∆𝑥

=

−25 − (−23) 3 − 5

=

⁻²

−2

= 1

. Descoberta essa constante, 𝑦 = 𝑥 + 𝑏.

Como (3, −25) pertence à reta, −25 = 3 + 𝑏 → 𝑏 = −28.

Portanto, concluímos que a reta é dada por 𝑦 = 𝑥 − 28.

2. B

Se a área do retângulo é 36 e 𝐴𝐷 é igual a 4, temos que 𝐴𝐵 é igual a 9, dado que 4 ∙ 9 = 36. Assim, ficam explícitas as interseções com os eixos coordenados:

Usando a equação segmentária da reta: ^𝑥 9

+

^𝑦

4

= 1

. Multiplicando ambos os lados por 36, 4𝑥 + 9𝑦 = 36.

3. A

É pedida a distância entre o ponto (0,0) e a reta 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0:

𝑑 =

| 3 ∙ 0 + 4 ∙ 0 − 12|

√3²+4²

=

^|−12|

√25

=

¹²

5. 4. B

Definindo a equação da reta 𝑟: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑎 =

^∆𝑦

∆𝑥

=

^{2 − 0}

0−4

=

²

−4

= −

¹

2

.

Assim,

𝑟: 𝑦 = −

^𝑥

2

+ 𝑏

. Como (0,2) ∈ 𝑟 → 2 = −⁰₂+ 𝑏 → 𝑏 = 2.

Logo, 𝑟: 𝑦 = −^𝑥

2+ 2.

Definindo a equação da reta 𝑠: 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑.

𝑐 =

^∆𝑦

∆𝑥

=

^{4 − 0}

4 − 1

=

⁴

3. Assim,

𝑠: 𝑦 =

⁴

3

𝑥 + 𝑑

. Como

(1,0) ∈ 𝑠 → 0 =

⁴₃

∙ 1 + 𝑏 → 𝑏 = −

⁴

3

.

Logo,

𝑠: 𝑦 =

⁴

3

𝑥 −

⁴

3.

Para avaliar a interseção entre as retas, igualamos as suas equações:

−

^𝑥

2

+ 2 =

⁴

3

𝑥 −

⁴

3

→

⁴

3

𝑥 +

^𝑥

2

= 2 +

⁴

3

→ 8𝑥 + 3𝑥 = 12 + 8 → 11𝑥 = 20 → 𝑥 =

²⁰

11. Substituindo

𝑥 =

²⁰

11 em 𝑟, encontramos a coordenada 𝑦 do ponto de interseção:

𝑦 = − 20 11

2 + 2 → 𝑦 = −20

22+ 2 = −20 22+44

22=24 22=12

11

A base do triângulo desejado mede 3, enquanto a altura mede o equivalente à coordenada 𝑦 do ponto de interseção. Assim, sua área é ^3∙

12 11 2

=

³⁶

22

=

¹⁸

11. 5. B

Se 𝑃 está no eixo das abscissas (eixo 𝑥), então ele tem coordenadas (𝑘, 0), 𝑘 ∈ ℝ. Lembrando que o coeficiente angular é dado pela razão ^∆𝑦

∆𝑥

,

podemos calcular:

Coeficiente angular da reta que passa por 𝑃(𝑘, 0) e por 𝐴(2,3): ^{𝑘 − 3} 0 −2

=

^3−𝑘

2 . Coeficiente angular da reta que passa por 𝑃(𝑘, 0) e por 𝐵(−1,6): ^{𝑘 − 6}

0 −(−1)

= 𝑘 − 6

.

Já que as retas que passam por 𝑃 e 𝐴 e por 𝑃 e 𝐵 são perpendiculares, o produto dos seus coeficientes angulares deve ser igual a menos um. Com isso,

(3 − 𝑘

2 ) (𝑘 − 6) = −1 →−𝑘²+ 3𝑘 + 6𝑘 − 18

2 = −1 → −𝑘²+ 9𝑘 − 18 = −2 → 𝑘²− 9𝑘 + 16 = 0 A soma dos valores possíveis de 𝑘 é dado por

−

^𝑏

𝑎

= −

⁻⁹

1

= 9

. 6. D

Sejam 𝐴 = (3,  1) o ponto em que está instalada a câmera 1 e 𝐵 = (2,  4) o ponto em que está instalada a câmera 2. O ponto médio, 𝑀, do segmento 𝐴𝐵 é dado por

𝑀 = (3 + 2 2 , 1 + 4

2 ) = (5 2, 5

2).

Ademais, o coeficiente angular da reta 𝐴𝐵⃡ é igual a ⁴⁻¹₂₋₃= −3.

Portanto, sabendo que o lugar geométrico dos pontos equidistantes de 𝐴 e de 𝐵 é a mediatriz do segmento 𝐴𝐵, podemos concluir que sua equação é

𝑦 −5 2= − 1

−3(𝑥 −5

2) ⇔ 𝑦 =1 3𝑥 +5

3. A resposta é, assim, a relação 𝑅4.

7. C

Considere a figura.

Dada a escala de 1: 500 e sendo as coordenadas em centímetros, podemos concluir que cada centímetro na figura corresponde a 5 metros. Assim, queremos calcular o valor de

5 ⋅ (𝑑(𝐴,  𝐵) + 𝑑(𝐵,  𝐶) + 𝑑(𝐶,  𝐷) + 𝑑(𝐷,  𝐸) + 𝑑(𝐸,  𝐴)).

É fácil ver que 𝑑(𝐴,  𝐵) = 6𝑐𝑚, 𝑑(𝐶,  𝐷) = 3𝑐𝑚, 𝑑(𝐷,  𝐸) = 8𝑐𝑚 e 𝑑(𝐸,  𝐴) = 5𝑐𝑚. Além disso, temos 𝑑(𝐵,  𝐶) = √(9 − 7)²+ (4 − 6)²= √8 ≅ 2,8𝑐𝑚.

Portanto, o resultado é

5 ⋅ (6 + 2,8 + 3 + 8 + 5) = 124 𝑚.

8. B

O raio da circunferência que passa pelos pontos 𝐵 e 𝐹, com centro em 𝑂, é dado por √1²+ (−1)²=

√2 𝑘𝑚 ≅ 1.400 𝑚.

Em consequência, o tempo via segmento de reta é igual a 2 ⋅ 1.400 ⋅ 1 = 2.800 h, e o tempo via semicircunferência é 𝜋 ⋅ 1.400 ⋅ 0,6 ≅ 2.520 h.

A resposta é, portanto, 2.520horas.

9. D

Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são:

𝐴(5,4) 𝐵(−3,1) 𝐶(4,2) 𝐷(−4, −3)

Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação:

𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 − 4𝑦 − 31 ≤ 0

𝐴 ⇒ 5²+ 4²− 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 4 − 31 ≤ 0 ∴ −16 ≤ 0 ⇒ 𝑂𝐾!

𝐵 ⇒ (−3)²+ 1²− 2 ⋅ (−3) − 4 ⋅ 1 − 31 ≤ 0 ∴ −19 ≤ 0 ⇒ 𝑂𝐾!

𝐶 ⇒ 4²+ 2²− 2 ⋅ 4 − 4 ⋅ 2 − 31 ≤ 0 ∴ −27 ≤ 0 ⇒ 𝑂𝐾!

𝐷 ⇒ (−4)²+ (−3)²− 2 ⋅ (−4) − 4 ⋅ (−3) − 31 ≤ 0 ∴ 14 ≤ 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐿𝑆𝑂!

10. A

Primeiramente, descobriremos os centros e raios das circunferências.

Sobre a circunferência 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0:

Centro: −2𝑎 = 2 → 𝑎 = −1,

−2𝑏 = 1 → 𝑏 = −

¹

2. Portanto, o centro é

𝐶

₁

(−1, −

¹

2

)

. Raio:

𝑎

²

+ 𝑏

²

− 𝑅

²

= 1 → (−1)

²

+ (−

¹

2

)

²

− 𝑅

²

= 1 → 𝑅

²

=

¹

4

→ 𝑅 =

¹

2. Sobre a circunferência 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0:

Centro: −2𝑎 = −2 → 𝑎 = 1,

−2𝑏 = −3 → 𝑏 =

³

2

.

Portanto, o centro é

𝐶

₂

(1,

³

2

)

. Raio:

𝑎

²

+ 𝑏

²

− 𝑅

²

= 1 → 1

²

+ (

³

2

)

²

− 𝑅

²

= 1 → 𝑅

²

=

⁹

4

→ 𝑅 =

³

2.

Com isso, podemos esboçar as duas circunferências no plano cartesiano para avaliar a distância pedida.

A distância pedida está assinalada de vermelho. Ela pode ser calculada pela distância entre os centros das circunferências, menos os seus raios.

Como

𝑑

_{(𝐶1, 𝐶2)}

= √∆𝑥

²

+ ∆𝑦² = √(1 − (−1))

²

+ ( 3

2 − (− 1 2 ))

2

𝑑

_{(𝐶1, 𝐶2)}

= √2

²

+ 2

²

= 2√2

A distância será

2√2 −

¹₂

−

³

2

= 2√2 − 2 = 2(√2 − 1)

.