MATEMÁTICA FINANCEIRA

(1)

MATEM´ ATICA FINANCEIRA

Pós-Gradua¸cão em Matemática para Empresas

Pedro Mota

[email protected]

Departamento de Matem´atica & CMA da FCT/UNL

(2)

Introdu¸ c˜ ao/Motiva¸ c˜ ao

MATEM ÁTICA FINANCEIRA Pós-Gradua¸cão em Matemática para Empresas Junho 2021 2 / 147

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Produtos derivados e ativos subjacentes

Produtos Derivados

Um produto derivadooudireito contingente é um produto financeiro (traduzido num contrato) que é definido em fun¸cão de algum activo mais básico usualmente designado por ativo subjacente.

Exemplo 1.1

De entre os produtos derivados mais usuais e que iremos definir mais `a frente temos por exemplo os contratos Forward ou de Futuros e as Op¸c˜oes.

Ativos subjacentes

Já os activos subjacentes mais usuais são as açcões de empresas cotadas em bolsa, mas também podem ser matérias primas como o petróleo, gás

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Pre¸cos de produtos Derivados

Observa¸c˜ao 1.1

O pre¸co do produto derivado depende do pre¸co do ativo subjacente e do respectivo modelo de evolu¸c˜ao de pre¸cos.

O objetivo ´e determinar os pre¸cos dos produtos derivados, de forma consistente com os pre¸cos do activo subjacente e de uma forma

´ unica.

Contexto inicial

Dois instantes de tempot= 0(atual) e t=T (maturidade).

O processoSt, t∈[0, T], representa a evolu¸c˜ao dos pre¸cos do ativo subjacente no intervalo[0, T].

Emt= 0 o pre¸co do ativo subjacente S₀ ´e observ´avel (conhecido), mas numa qualquer data futurat∈[0, T]o pre¸co do ativo

subjacenteSté aleatório, pelo que será desconhecido à data t= 0.

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Contratos Forward

Defini¸c˜ao 1.1 (Contrato Forward)

Um contrato Forward´e um contrato entre duas partes para comprar ou vender uma certa quantidade do ativo subjacente a um determinado pre¸co (pre¸co de exerc´ıcio) e com entrega numa determinada data futura T (data de maturidade).

Observa¸c˜ao 1.2

Do comprador diz-se que assume uma posi¸cão longa e do vendedor diz-se que assume uma posi¸cão curta. Já o pre¸co de exerc´ıcio é estabelecido na data de celebra¸cão do contrato e é usualmente definido de modo a que nessa data o custo associado ao contrato seja zero (designando-se nessa

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Contratos Forward

Exemplo 1.2

Considere-se um contrato Forward assinado hoje para a compra de1000 barris de petr´oleo a$60por barril (pre¸co de exerc´ıcio) daqui por 6meses (maturidade).

Suponha-se que daqui por 6meses o pre¸co do petr´oleo ´e de $55por barril. Como ficam as duas partes?

J´a se o pre¸co daqui por 6meses subir para $65por barril a situa¸c˜ao inverte-se e nesse caso como ficam as duas partes?

(7)

Contratos Forward

Observa¸c˜ao 1.3

Relativamente `a data de maturidade T.

O valor de uma posi¸c˜ao longa num contrato Forward com pre¸co de exerc´ıcioK, ´e dado por:

Φ(ST) =ST −K

O valor de uma uma posi¸c˜ao curta num contrato Forward com pre¸co de exerc´ıcio K, ´e dado por:

Φ(ST) =K−ST

(8)

Contratos Forward

O lucro (cash-flow) na data de maturidadeT, associado às posi¸cões longa/curta num contrato Forward com pre¸co de exerc´ıcio K está representado na figura.

K

ST K

Lucro Posição Longa

K

ST K

Lucro Posição Curta

Figura 1:Lucros associados a posi¸c˜oes longa/curta num contrato Forward

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Op¸c˜ oes

Op¸cão- s.f. Faculdade, a¸cão de optar, de escolher entre duas ou várias coisas. Dir. Direito de op¸cão, faculdade, concedida por lei, de preferir uma de duas ou mais coisas, um de dois ou mais direitos.

Op¸c˜ao de Compra (Call)- Uma op¸c˜ao que permite comprar um ativo por um certo pre¸co numa determinada data.

Op¸c˜ao de Venda (Put) - Uma op¸c˜ao que permite vender um ativo por um certo pre¸co numa determinada data.

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Op¸c˜ oes (continua¸c˜ ao)

Op¸cão Europeia - Op¸cão que só pode ser exercida na maturidade.

Op¸cão Americana- Op¸cão que pode ser exercida em qualquer momento até à sua maturidade.

Op¸cão Asiática- Op¸cão com um retorno que depende do pre¸co médio do activo subjacente num certo intervalo de tempo.

Op¸c˜ao Barreira - Op¸c˜ao cujo retorno depende do pre¸co do activo subjacente atingir uma certa barreira.

(11)

Op¸c˜ oes Europeias

Defini¸c˜ao 1.2 (Op¸c˜oes Europeias)

Uma Op¸cãode Compra (Venda) Europeia, com pre¸co de exerc´ıcioK e maturidade T, sobre um ativo subjacente de pre¸co S é um contrato com as seguintes cláusulas:

O detentor da op¸c˜ao tem, `a data T, o direito de comprar (vender) uma unidade do ativo subjacente ao pre¸coK.

O detentor da op¸cão não é de nenhuma forma obrigado a comprar (vender) o ativo subjacente.

O direito de comprar (vender) o ativo subjacente ao pre¸co K s´o pode ser exercido na dataT.

(12)

Op¸c˜ oes Europeias

Exemplo 1.3

Considere-se uma situa¸cão análoga à do exemplo 1.2, isto é, considere-se uma op¸cão de compra adquirida hoje para a compra de 1000barris de petróleo a$60por barril daqui por6 meses.

Se daqui por6 meses o pre¸co do petr´oleo for de$55por barril, o que dever´a acontecer?

Se o pre¸co daqui por6 meses subir para$65por barril, o que dever´a acontecer?

(13)

Op¸c˜ oes Europeias

Exemplo 1.4

Considere-se uma situa¸cão análoga à do exemplo 1.2, isto é, considere-se uma op¸cão de compra adquirida hoje para a compra de 1000barris de petróleo a$60por barril daqui por6 meses.

Se daqui por6 meses o pre¸co do petróleo for de$55por barril, o comprador/detentor da op¸cão não exercerá o contrato. A perda para o detentor da op¸cão será o custo inicial que pagou pela mesma.

Se o pre¸co daqui por6 meses subir para$65por barril o detentor da op¸cão exercerá a op¸cão pois poderá através desse contrato comprar o petróleo a um pre¸co inferior ao pre¸co de mercado. A op¸cão resultará num lucro de $5000ao qual terá de subtrair o custo inicial

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Op¸c˜ oes Europeias

Observa¸c˜ao 1.5

Relativamente `a data de maturidade T.

O valor de uma op¸cão de compra Europeia à data T com pre¸co de exerc´ıcioK, é dado por:

Φ_C(S_T) = max(S_T −K,0) =

S_T −K, S_T > K 0, ST ≤K

O valor de uma op¸cão de venda Europeia à data T com pre¸co de exerc´ıcioK, é dado por:

ΦP(ST) = max(K−ST,0) =

K−ST, K > ST

0, K≤ST

(15)

Op¸c˜ oes Europeias

O lucro (cash-flow) na data de maturidadeT, associado à compra de op¸cões de compra/venda Europeias com pre¸co de exerc´ıcio K está representado na figura.

K

ST

-c0 Lucro

Call Option

K

ST

-p0 Lucro

Put Option

(16)

Op¸c˜ oes Europeias

Repare-se que comparando com o lucro associado ao contrato Forward, ou com uma estrat´egia simples de compra ou venda a descoberto do ativo subjacente, as op¸c˜oes limitam as perdas potenciais.

K

S_T -c₀

Lucro

Posição Longa+Opção de Compra

K

S_T -p0

Lucro

Posição Curta+Opção de Venda

Figura 3: Lucros associados a Op¸c˜oes e contratos Forward

(17)

Estrat´ egias de Investimento

(18)

Covered Call

¹

posi¸c˜ao longa no ativo subjacente;

posi¸c˜ao curta numa op¸c˜ao de compra sobre esse mesmo ativo.

K

S_T Lucro

Covered Call

Figura 4:Lucro associado a uma covered call

1https://www.investopedia.com/terms/c/coveredcall.asp

(19)

Covered Call

O lucro desta estrat´egia na maturidade, pode ser resumido por:

L=S_T −max(S_T −K,0)−s+c

onde ST representa o pre¸co do ativo na maturidade, K o pre¸co de exerc´ıcio,so pre¸co inicial de compra do ativo e co pre¸co da op¸c˜ao de compra.

Para diferentes valores do ativo subjacente (na maturidade), temos o lucro da covered call, resumido na tabela 1.

Estrat´egia ST ≤K ST > K long ativo S_T −s S_T −s

short call c K−ST +c

Total S −s+c K−s+c

(20)

Reverse Covered Call

posi¸c˜ao curta no ativo subjacente;

posi¸c˜ao longa numa op¸c˜ao de compra sobre esse mesmo ativo.

K

ST Lucro

Reverse of covered Call

Figura 5:Lucro associado a uma reverse covered call

(21)

Reverse Covered Call

Com esta estratégia o investidor limita as potenciais perdas associadas à posi¸cão curta no ativo subjacente.

L=−(S_T −max(S_T −K,0)−s+c) Q: Construa a tabela do lucro correspondente.

R:

Estrat´egia S_T ≤K S_T > K short S −S_T +s −S_T +s

long call −c −K+S_T −c

Total −S_T +s−c −K+s−c Tabela 2:Lucro reverse covered call

(22)

Reverse Covered Call

Com esta estratégia o investidor limita as potenciais perdas associadas à posi¸cão curta no ativo subjacente.

L=−(S_T −max(S_T −K,0)−s+c) Q: Construa a tabela do lucro correspondente.

R:

Estrat´egia S_T ≤K S_T > K short S −S_T +s −S_T +s

long call −c −K+S_T −c

Total −S_T +s−c −K+s−c Tabela 2:Lucro reverse covered call

(23)

Protective Put

²

posi¸c˜ao longa no ativo subjacente;

posi¸c˜ao longa numa op¸c˜ao de venda sobre esse mesmo ativo.

K

S_T Lucro

Protective Put

(24)

Protective Put

Com esta estrat´egia o investidor reduz o risco associado a uma quebra do pre¸co do ativo subjacente mantendo a possibilidade de um ganho

ilimitado se o pre¸co do ativo subjacente crescer indefinidamente.

L=ST +max(K−ST,0)−s−p com p o custo da op¸c˜ao de venda.

Q: Construa a tabela do lucro correspondente.

R: Estrat´egia S_T < K S_T ≥K

long S S_T −s S_T −s

long put K−S_T −p −p Total K−s−p S_T −s−p

Tabela 3:Lucro protective put

Uma posi¸cão curta numaprotective put, ou seja, uma posi¸cão curta no ativo e na op¸cão de venda é designada por reverse protective put.

(25)

Protective Put

Com esta estrat´egia o investidor reduz o risco associado a uma quebra do pre¸co do ativo subjacente mantendo a possibilidade de um ganho

ilimitado se o pre¸co do ativo subjacente crescer indefinidamente.

L=ST +max(K−ST,0)−s−p com p o custo da op¸c˜ao de venda.

Q: Construa a tabela do lucro correspondente.

R: Estrat´egia S_T < K S_T ≥K

long S S_T −s S_T −s

long put K−S_T −p −p Total K−s−p S_T −s−p

Tabela 3:Lucro protective put

(26)

Spreads

Estratégias que envolvam a combina¸cão numa carteira de diversas op¸cões do mesmo tipo são usualmente designadas porSpreads.

Bull spreads Call Put Bear spreads

Call Put

(27)

Bull Spread Call

³

posi¸cão longa numa op¸cão de compra com pre¸co de exerc´ıcio K₁; posi¸cão curta numa op¸cão de compra com pre¸co de exerc´ıcio K₂ onde K1< K2.

K1 K2

ST

Lucro Bull Spread Call

(28)

Bull Spread Call

Com esta estrat´egia o investidor acredita na subida do pre¸co do ativo, da´ı a utiliza¸c˜ao do termobull.

A fun¸cão de lucro associada à estratégia Bull Spread Call é a seguinte:

L=max(ST −K1,0)−max(ST −K2,0)−c1+c2=

=







−c₁+c₂, S_T ≤K₁ S_T −K₁−c₁+c₂, K₁ < S_T ≤K₂ K2−K1−c1+c2, ST > K2

onde c₁ ec₂ s˜ao os custos das op¸c˜oes com pre¸cos de exerc´ıcioK₁ e K₂, respectivamente.

Repare-se que K₁< K₂ ⇒c₁ > c₂ (porquê?) e que o ganho máximo é dado porK2−K1−c1+c2 enquanto que a perda máxima é dada por

−c₁+c₂.

(29)

Bull Spread Put

⁴

posi¸cão longa numa op¸cão de venda com pre¸co de exerc´ıcioK₁; posi¸cão curta numa op¸cão de venda com pre¸co de exerc´ıcioK₂ onde K1< K2.

K1 K2

S_T

Lucro Bull Spread Put

(30)

Bull Spread Put

Q: Descreva o lucro desta estrat´egia e compare com o lucro associado `a bull spread call.

R:

L=max(K₁−S_T,0)−max(K₂−S_T,0)−p₁+p₂=

=







K1−K2−p1+p2, ST ≤K1

S_T −K₂−p₁+p₂, K₁ < S_T < K₂

−p₁+p₂, S_T ≥K₂

onde p1 ep2 s˜ao os custos das op¸c˜oes com pre¸cos de exerc´ıcioK1 e K2, respectivamente.

Repare-se que K₁< K₂ ⇒p₂ > p₁ (porquê?) e que esta estratégia é similar, em termos de lucro, àbull spread call.

(31)

Bull Spread Put

Q: Descreva o lucro desta estrat´egia e compare com o lucro associado `a bull spread call.

R:

L=max(K1−ST,0)−max(K2−ST,0)−p1+p2=

=







K1−K2−p1+p2, ST ≤K1

S_T −K₂−p₁+p₂, K₁ < S_T < K₂

−p₁+p₂, S_T ≥K₂

onde p1 ep2 s˜ao os custos das op¸c˜oes com pre¸cos de exerc´ıcioK1 e K2, respectivamente.

Repare-se que K1< K2 ⇒p2 > p1 (porquê?) e que esta estratégia é

(32)

Bear Spread Call

⁵

posi¸cão curta numa op¸cão de compra com pre¸co de exerc´ıcio K1; posi¸cão longa numa op¸cão de compra com pre¸co de exerc´ıcio K₂ onde K1< K2.

O lucro desta estrat´egia ser´a dado por:

L=−max(S_T −K₁,0) +max(S_T −K₂,0) +c₁−c₂ =

=







c₁−c₂, S_T ≤K₁

−S_T +K1+c1−c2, K1 < ST ≤K2

K1−K2+c1−c2, S_T > K2

5https://www.investopedia.com/terms/b/bearcallspread.asp

(33)

Bear Spread Call

Q: Apresente um esbo¸co do gr´afico de Lucro da Bear Spread Call.

R:

K1 K2

ST Lucro

Bear Spread Call

Figura 9:Lucro associado a uma bull spread call

(34)

Bear Spread Call

Q: Apresente um esbo¸co do gr´afico de Lucro da Bear Spread Call.

R:

K1 K2

ST Lucro

Bear Spread Call

Figura 9:Lucro associado a uma bull spread call

(35)

Bear Spread Put

⁶

posi¸cão curta numa op¸cão de venda com pre¸co de exerc´ıcio K₁; posi¸cão longa numa op¸cão de venda com pre¸co de exerc´ıcioK₂ onde K1< K2.

K1 K2

ST

Lucro Bear Spread Put

(36)

Bear Spread Put

L=−max(K₁−S_T,0) +max(K₂−S_T,0) +p₁−p₂ =

=







−K₁+K2+p1−p2, ST < K1

K₂−S_T +p₁−p₂, K₁≤S_T < K₂ p₁−p₂, S_T ≥K₂

(37)

Butterfly Spread Call (long)

⁷

posi¸cão longa numa op¸cão de compra com pre¸co de exerc´ıcio K₁; posi¸cão curta de duas op¸cões de compra com pre¸co de exerc´ıcio K₂= (K₁+K₃)/2.

posi¸c˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K3

onde K₁< K₃.

K1 K2 K3

ST Lucro

Butterfly Spread Call

(38)

Butterfly Spread Call

Q: Escreva a fun¸c˜ao de lucro e a tabela correspondente para esta estrat´egia.

R:

L=max(ST−K₁,0)−2max(S_T−K₂,0)+max(ST−K₃,0)−c₁+2c2−c₃

L=











−c₁+ 2c2−c3, ST ≤K1

S_T −K₁−c₁+ 2c₂−c₃, K₁ < S_T ≤K₂

−S_T +K3−c1+ 2c2−c3, K2 < ST ≤K3

−c₁+ 2c2−c3, K3 < ST

(39)

Butterfly Spread Call

Q: Escreva a fun¸c˜ao de lucro e a tabela correspondente para esta estrat´egia.

R:

L=max(ST−K₁,0)−2max(S_T−K₂,0)+max(ST−K₃,0)−c₁+2c2−c₃

L=











−c₁+ 2c2−c3, S_T ≤K1

S_T −K₁−c₁+ 2c₂−c₃, K₁ < S_T ≤K₂

−S_T +K3−c1+ 2c2−c3, K2 < ST ≤K3

−c₁+ 2c2−c3, K3 < ST

(40)

Straddle

⁸

posi¸c˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K;

posi¸c˜ao longa numa op¸c˜ao de venda com pre¸co de exerc´ıcioK.

K

S_T Lucro

Straddle

Figura 12:Lucro associado a uma straddle

8https://www.investopedia.com/terms/s/straddle.asp

(41)

Straddle

L=max(ST −K,0) +max(K−ST,0)−c−p=

=

K−ST −c−p, ST ≤K S_T −K−c−p, K < S_T

(42)

Strangle

⁹

posi¸cão longa numa op¸cão de compra com pre¸co de exerc´ıcio K₂; posi¸cão longa numa op¸cão de venda com pre¸co de exerc´ıcioK₁ e K1< K2.

K1 K2

ST

Lucro Strangle

Figura 13:Lucro associado a uma strangle

9https://www.investopedia.com/terms/s/strangle.asp

(43)

Strangle

L=max(S_T −K₂,0) +max(K₁−S_T,0)−c−p=

=







K1−ST −c−p, ST < K1

−c−p, K₁ ≤S_T ≤K₂ S_T −K₂−c−p, K₂ < S_T

(44)

Op¸ c˜ oes, Carteiras e Arbitragem

(45)

Op¸c˜ oes Americanas

Uma op¸cão Americana difere da Europeia apenas pelo facto de puder ser exercida em qualquer momento anterior ou igual à sua maturidade T. Defini¸cão 3.1

Uma op¸cãode compra (venda) Americana, com pre¸co de exerc´ıcio K e maturidade T, sobre um ativo subjacente de pre¸coS é um contrato com as seguintes cláusulas:

O detentor da op¸cão tem, em qualquer instante até à data T, o direito de comprar (vender) uma unidade do ativo subjacente ao pre¸co K.

O detentor da op¸cão não é de nenhuma forma obrigado a comprar (vender) o ativo subjacente.

(46)

Vari´ aveis Influentes no pre¸co de Op¸c˜ oes

Pre¸cos de Op¸c˜oes

Designemos por C₀ê, P₀ê e C₀â, P₀â os pre¸cos das op¸cões de compra e venda Europeias e Americanas, respectivamente, no instantet= 0.

Há um conjunto de variáveis que influenciam o pre¸co das op¸cões:

S0 - o pre¸co corrente do ativo subjacente.

K - o pre¸co de exerc´ıcio.

T - a maturidade.

σ - a volatilidade do pre¸co do ativo subjacente.

r - a taxa de juro sem risco.

(47)

Vari´ aveis Influentes no pre¸co de Op¸c˜ oes

A influˆencia do incremento de cada uma destas vari´aveis, quando todas as outras permanecem inalteradas, pode ser resumido no seguinte quadro:

Tabela 4: Efeito do incremento das vari´aveis, no pre¸co das op¸c˜oes

Variável Cê Pê Câ Pâ

S0 + − + −

K − + − +

T ? ? + +

σ + + + +

r + − + −

(48)

Arbitragem

Defini¸c˜ao 3.2 (Arbitragem)

A existência de uma oportunidade arbitragem, traduz-se na existência de uma estratégia de investimento (h) cujo valor inicial é zero, mas o valor futuro é estritamente positivo com probabilidade 1.

Formalmente, se designarmos porV₀^h o valor da estrat´egia na data inicial e V_T^h o valor da estrat´egia na data futura T, uma oportunidade de arbitragem traduz-se em:

V₀^h= 0,

V_T^h>0; P−q.c.

Diz-se que um mercado ´e livre de arbitragem se n˜ao existirem oportunidades de arbitragem.

(49)

Arbitragem

Teorema 3.1 (Lei do pre¸co ´unico)

Suponha-se que temos um mercado sem oportunidades de arbitragem e dois ativosA e B nesse mercado. Se os pre¸cos dos ativos na data inicial s˜ao p0(A)e p0(B), respectivamente, e se na data futura T ≥0 os pre¸cos deA e B s˜ao iguais (quase-certamente):

pT(A) =pT(B) com probabilidade 1.

Ent˜ao,

p0(A) =p0(B).

(50)

Carteiras ou Portfolios

Considere-se a seguinte nota¸c˜ao:

N- n´umero de diferentes tipos de ativos,

h_i,t- n´umero de ativos do tipo idetidos no instantet, ht- a carteira(h1,t, ..., hN,t) detida no instante t, Si,t- o pre¸co do ativoino instante t,

V_t^h- o valor da carteira h no instantet.

(51)

Carteiras ou Portfolios

Defini¸c˜ao 3.3

Considere-se{S_t= (S_1,t, ..., S_N,t);t≥0} o processo (de dimens˜aoN) de pre¸cos dos ativos.

1 O processo valorV^h da carteirah ´e dado por, V_t^h=

N

X

i=1

hi,tSi,t, ∀t≥0.

2 Uma carteira h diz-se autofinanciada se o processo valor da carteira, V^h, satisfaz,

dV_t^h=

N

Xhi,tdSi,t, ∀t≥0.

(52)

Carteiras ou Portfolios

Defini¸c˜ao 3.4

Para uma dada carteiraha correspondente carteira relativau`a datat, ´e dada por

ui,t= hi,tSi,t

V_t^h , i= 1, ..., N, e onde temos

N

X

i=1

ui,t= 1.

Em termos da carteira relativa tamb´em podemos definir carteira autofinanciada.

Proposi¸c˜ao 3.2

Uma carteirahdiz-se autofinanciada se o processo valor,V^h, satisfaz,

dV_t^h=V_t^h

N

X

i=1

u_i,tdS_i,t Si,t

, ∀t≥0.

(53)

Direitos Contingentes

Defini¸c˜ao 3.5

Considere-se um mercado financeiro com um vector de pre¸cosS. Um direito contingente (ou derivado) com data de maturidade T, também chamado de direito-T, é uma qualquer v.a. χque seja F_T^S−mensurável.

Se for da formaχ= Φ(ST) diz-se um direito simples, à fun¸cão Φ chama-se de fun¸cão contrato.

Uma op¸cão Europeia é um direito contingente simples com fun¸cão de contrato Φ(x) = max[x−K,0] pelo queΦ(S_T) = max[S_T −K,0].

(54)

Carteira R´ eplica ou de Cobertura

Defini¸c˜ao 3.6

Diz-se que um direito contingenteΦ´e replic´avel (ou alcan¸cavel, ou coberto), se existe uma carteira autofinanciadahtal que:

V_T^h= Φ(ST), P−q.c.

Diz-se então quehé uma carteira de cobertura (ou carteira réplica) contraΦ.

Defini¸c˜ao 3.7

Se todos os direitos contingentes são replicáveis então o mercado diz-se completo.

Proposi¸c˜ao 3.3

Suponha-se que o direitoΦé replicável pela carteirah. Então o único processo de pre¸cos livre de arbitragem para o direito contingenteΦé,

Π(t; Φ) =V_t^h, t∈[0, T].

(55)

Vari´ aveis Aleat´ orias e

Processo Browniano

(56)

Vari´ avel Aleat´ oria

Podemos definir, de forma informal, uma variàvel aleatóriacomo sendo uma fun¸cão que depende de fatores aleatórios e toma valores reais.

Exemplo 4.1

O n´umero de pontos obtidos no lan¸camento de um dado.

O tempo de vida de uma lˆampada.

O pre¸co de uma a¸c˜ao de uma empresa num determinado instante.

As variáveis aleatórias são representadas por letras ma´ıusculas,X,Y,Z, ...

(57)

Distribui¸c˜ ao Normal

Diz-se que uma variável aleatóriaZ tem distribui¸cão normal standard, também designada por N(0,1), se tem a seguinte fun¸cão densidade,

f(x) = 1

√2πe⁻^x

2

2 , x∈R.

0.1 0.2 0.3 0.4

(58)

Distribui¸c˜ ao Normal

Uma variável aleatória, Z, que tenha distribui¸cão normal standard (ou reduzida), verifica as seguintes propriedades:

1 Valor esperado nulo,E[Z] = 0,

2 Variˆancia unit´aria,V[Z] = 1,

3 Dadas constantesae b, verifica-se que: E[aZ+b] =b e V[aZ+b] =a².

(59)

Fun¸c˜ ao Distribui¸c˜ ao

Para o cálculo de probabilidade é muitas vezes necessário a utiliza¸cão da fun¸cão distribui¸cão cumulativa.

Defini¸c˜ao 4.1

A fun¸cão distribui¸cão de probabilidade de uma variável aleatóriaX é definida por:

∀x∈R, F_X(x) =P(X≤x)

(60)

Processos Estoc´ asticos

Defini¸c˜ao 4.2

Um processo estocásticoé uma fam´ılia de variáveis aleatórias (v.a.) X={X_t:t∈T} definidas num espa¸co de probabilidade (Ω,F,P).

Se por exemplo temos,T =NouT =Ztemos um processo estoc´astico a tempo discreto.

Se por exemplo temos,T = [0,+∞[ouT =Rtemos um processo estoc´astico a tempo cont´ınuo.

Repare-se que em rigor Xt≡Xt(ω)com t∈T eω ∈Ωou seja estamos perante uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis.

Se fixarmostentão a fun¸cãoX_t(.) : Ω→Ré uma variável aleatória;

Se fixarmosω então a fun¸cãoX_.(ω) :T →Ré uma trajectória (ou realiza¸cão) do processo estocástico X.

(61)

Processo Browniano

Defini¸c˜ao 4.3

Um processo estocástico W = (W_t)t≥0 é um processo Browniano se as seguintes condi¸cões se verificarem:

1 W₀ = 0

2 O processoW tem incrementos independentes, isto ´e, se

r < s≤t < uentão W_u−W_te W_s−W_r são variáveis aleatórias independentes

3 Paras < t a vari´avelW_t−W_s tem distribui¸c˜aoN(0, t−s)

4 W tem traject´orias cont´ınuas, q.c.

(62)

Modelo de Black-Scholes e Op¸ c˜ oes Europeias

(63)

Modelo de Black-Sholes

Defini¸c˜ao 5.1

O modelo de Black-Scholes traduz-se na existˆencia de um mercado formado por dois ativos com dinˆamicas de pre¸cos dadas por:

dBt=rBtdt, B0 = 1

dS_t=µS_tdt+σS_tdW_t, S₀=s

onde r,µe σ s˜ao constantes e Wt ´e um processo Browniano.

(64)

Modelo de Black-Sholes

No modelo de Black-Scholes, o primeiro ativo ´e um ativo sem risco B_t=B₀e^rt

t B0

Bt

Ativo sem risco

(65)

Modelo de Black-Sholes

O segundo ´e um ativo dito com risco, movimento Browniano geom´etrico.

S_t=S₀e(^µ−¹₂^σ²)^t+σWt

S St

Ativo com risco

(66)

Modelo de Black-Sholes

Objectivos

Determinar o pre¸co de direitos contingentes no modelo de Black-Scholes;

Determinar carteiras de cobertura.

(67)

Equa¸c˜ ao de Black-Sholes

Teorema 5.1

O modelo de Black-Scholes ´e completo.

Teorema 5.2

No modelo de Black-Scholes, o pre¸co livre de arbitragem do direito contingente Φ(ST)´e dado, `a data t < T, por Π(t) =F(t, St), com

F(t, s) =e^−r(T^−t)Et,s[Φ(ST)]

e onde a dinˆamica do processoS em[t, T]´e dada por:

dS =rS dt+σSdW , S =s.

(68)

Carteira de Cobertura

Teorema 5.3

No modelo de Black-Scholes, a carteira autofinanciada h_t(S_t), que replica o direito contingente Φ(ST) cujo processo de pre¸cos (livre de arbitragem) ´e F(t, S_t), t∈[0, T], ´e constituida por,







hB,t(St) = ^F(t,S^t^)−S^t

∂F

∂s(t,St) Bt

h_S,t(S_t) = ^∂F_∂s(t, S_t) ou em termos de carteira relativa,











u_B,t(S_t) = ^F^(t,S^t^)−S^t

∂F

∂s(t,St) F(t,St)

u_S,t(S_t) = ^S^t

∂F

∂s(t,St) F(t,St)

.

(69)

F´ ormula de Risco Neutro

Dois exemplos simples:

Considere-se um direito contingente que na maturidade paga ao seu detentor uma unidade monet´aria, ent˜aoΦ(S_T) = 1 e

F(t, s) =e^−r(T^−t)Et,s[1] =e^−r(T^−t)

Considere-se um direito contingente que na maturidade paga ao seu detentor o valor de mercado do ativo subjacente na maturidade, ou sejaΦ(ST) =ST e

F(t, s) =e^−r(T^−t)Et,s[S_T] =S_t.

Nota: Este ´ultimo resultado prova a usualmente designada de f´ormula de

(70)

Black-Sholes para Op¸c˜ oes de Compra Europeias

Proposi¸c˜ao 5.4 (F´ormula de Black-Scholes)

O pre¸co de uma op¸cão de compra Europeia, com pre¸co de exerc´ıcio K e maturidadeT é dado pela fórmula C_tê(S_t;T, K) =F(t, S_t;T,Φ_C), onde,

F(t, St;T,Φ_C) =sN(d1(t, St))−e^−r(T^−t)KN(d2(t, St)), onde N representa a fun¸cão distribui¸cão da distribui¸cãoN(0,1)e,

d₁(t, S_t) = 1 σ√

T−t

ln S_t

K

+

r+σ² 2

(T −t)

, d₂(t, S_t) =d₁(t, S_t)−σ√

T−t.

(71)

Black-Sholes para Op¸c˜ oes de Compra Europeias

Proposi¸c˜ao 5.5

A carteira réplica ou de cobertura de uma op¸cão de compra europeia no modelo de Black-Scholes é dada por:







h_B,t(S_t) = ^−e^−r(T−t)^KN[d_B ²^(t,S^t^)]

t

h_S,t(S_t) =N(d₁(t, S_t))

(72)

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.1

Deduza a f´ormula de Black-Scholes para uma op¸c˜ao de venda Europeia e determine a respectiva carteira de cobertura.

Exerc´ıcio 5.2

Defina em a fórmula de Black-Scholes para apre¸camento de op¸cões Europeias (de compra e de venda), à datat= 0, com a indica¸cão da composi¸cão da carteira de cobertura (assuma queB₀ = 1).

Exerc´ıcio 5.3

Dado um ativo com pre¸co atual St= $55. Determine:

1 Qual o pre¸co de uma op¸c˜ao Europeia sobre este ativo se K= $55, T = 1 ano, r= 2% ao ano eσ= 20% ao ano?

2 Qual a composi¸cão da carteira réplica desta op¸cão?

(73)

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.4

Consulte os pre¸cos de op¸cões sobre a¸cões de empresas cotadas no Nasdaqâ, por exemplo através do site Yahoo.finance^b e compare esses pre¸cos com os obtidos pela fórmula de Black-Scholes (utilize na fórmula de Black-Scholes, as volatilidades indicadas no site e uma taxa de juro sem risco de 1%/ano).

Nota: Considere pelo menos uma op¸cão in-the-money (op¸cão cujo pre¸co de exerc´ıcio faz com que o seu valor, à data presente, seja positivo) e uma op¸cão out-of-the-money (op¸cão cujo pre¸co de exerc´ıcio faz com que tenha valor zero à data presente).

ahttps://en.wikipedia.org/wiki/Nasdaq b

(74)

Pre¸cos de Carteiras

Já vimos anteriormente que muitas estratégias de investimento/cobertura utilizam carteiras onde figuram mais do que um produto derivado. Para melhor se perceber qual o pre¸co justo dessas carteiras enquanto direitos contingentes, é importante a seguinte proposi¸cão:

Proposi¸c˜ao 5.6

SejamΦe Ψas fun¸c˜oes contrato dos direitos contingentes com

maturidadeT,X = Φ(S_T) eY = Ψ(S_T). Ent˜ao para quaisquera, b∈R temos a seguinte rela¸c˜ao de pre¸cos:

Π(t, aΦ +bΨ) =aΠ(t,Φ) +bΠ(t,Ψ).

Exemplo 5.1

Alguns contratos b´asicos que interessam para o nosso estudo s˜ao quando:

Φ_S(S_T) =S_T, Φ_B(S_T) = 1

ΦC(ST) = max(ST −K,0), ΦP(ST) = max(K−ST,0)

(75)

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.5 (Strangle)

Considere a fun¸c˜ao de contrato definida por:

Φ(S_T) =







K1−ST, ST ≤K1

0, K₁ < S_T ≤K₂ S_T −K₂, K₂ < S_T

Determine uma carteira que replique este contrato e o pre¸co livre de arbitragem do mesmo.

Exerc´ıcio 5.6

Considere a fun¸c˜ao de contrato definida por:

Φ(ST) =







K, S_T ≤A

K+A−ST, A < ST ≤K+A 0, K+A < ST

(76)

Paridade Put-Call

Proposi¸c˜ao 5.7 (Paridade Call-Put)

SejamC_tê(St) e P_tê(St) os pre¸cos de uma op¸cão de compra e uma op¸cão de venda Europeias, ambas sobre o mesmo ativo, com o mesmo pre¸co de exerc´ıcio K e a mesma maturidadeT. Então é válida a seguinte rela¸cão:

P_tê(St) =C_tê(St) +Ke^−r(T^−t)−St=e^−r(T^−t)KN(−d₂)−StN(−d₁) Demonstra¸cão.

Basta ter em aten¸cão que os contratos básicos apresentados anteriormente, têm os pre¸cos dados por:

Π(t; Φ_S) =S_t, Π(t; Φ_B) =e^−r(T^−t)

Π(t; Φ_C) =C_t^e(S_t;T, K), Π(t; Φ_P) =P_t^e(S_t;T, K) e que

Φ_P = Φ_C +KΦ_B−Φ_S

(77)

Volatilidade

Para apre¸car as op¸cões europeias, usando a fórmula de Black-Scholes, precisamos de conhecer St, r, T, K e σ. Os primeiros dois são

directamente observados no mercado enquanto a maturidade e pre¸co de exerc´ıcio s˜ao fixados no momento de celebra¸c˜ao do contrato.

O que falta, a volatilidade, ter´a de ser estimada e para isso h´a duas abordagens poss´ıveis.

Volatilidade Histórica: consiste em estimar a volatilidade usando o histórico de pre¸cos do ativo subjacente e a volatilidade observada num per´ıodo anterior à celebra¸cão do contrato;

Volatilidade Impl´ıcita: consiste em estimar a volatilidadedo do ativo subjacente pela volatilidade esperada pelo mercado para o

(78)

Volatilidade Hist´ orica

No modelo de Black-Scholes sabemos que a dinˆamica de pre¸cos do ativo com risco (num intervalo[s, t]) pode ser traduzida, por:

S_t=S_se

µ−^σ²

2

(t−s)+σ(Wt−Ws)

com W_t−W_s∼N(0;t−s).

Daqui facilmente se conclu´ı que:

ln St

S_s

=

µ− σ² 2

(t−s) +σ(Wt−Ws) pelo que:

ln S_t

Ss

∼N

µ−σ² 2

(t−s);σ²(t−s)

(79)

Volatilidade Hist´ orica

Se tivermos observa¸c˜oes S0, S1, ..., Sn do processo de pre¸cos do ativo com risco, nos instantes0,∆t,2∆t, ..., n∆t.

Podemos definir as variáveis aleatórias independendentes e idênticamente distribuidas:

Yi= ln Si

Si−1

∼N

µ−σ² 2

∆t;σ²∆t)

, i= 1, ..., n e estimar σ²∆t pela variˆancia amostral, donde obteremos:

σb= v u u t

1 (n−1)∆t

n

X

i=1

Yi−Y¯2

(80)

Volatilidade Hist´ orica

Observa¸c˜ao 5.1

Algumas regras usuais relativamente ao cálculo da volatilidade histórica são as seguintes:

Se os pre¸cos S_i, i= 0, ..., nforem diários e como a volatilidade é usualmente apresentada em termos de volatilidade anual, deve-se considerar ∆t= ₂₅₂¹ (por norma consideram-se dias úteis e não dias de calendário). Se os pre¸cos forem semanais ou mensais deve-se considerar ∆t= ₅₂¹ e∆t= ₁₂¹, respectivamente.

Apesar de quanto maior o valor denmelhor os estimadores

baseados numa amostra aleatória de dimensãon, a volatilidade não

é constante sob per´ıodos de tempo muito alargados, pelo que se deve considerar per´ıodos não muito longos. Uma regra usual é usar dados históricos correspondentes a um per´ıodo que coincida com a maturidade da op¸cão, isto é, se a maturidade T é de um ano, podemos usar o último ano de dados para estimar a volatilidade.

(81)

Volatilidade Impl´ıcita

A volatilidade impl´ıcita de um ativo subjacente ´e calculada a partir do pre¸co de mercado de um produto derivado (desde que exista).

Por exemplo, no caso de uma op¸cão Europeia que já esteja no mercado, se estiver a ser transacionada ao pre¸co C_tê, podemos estimar a

volatilidade do ativo subjacente pela volatilidade que levaria à obten¸cão do pre¸co C_tê por aplica¸cão da fórmula de Black-Scholes.

A volatilidade implicita σI ´e obtido como solu¸c˜ao de:

C_t^e =S_tN(d₁(t, S_t))−e^−r(T^−t)KN(d₂(t, S_t)),

onde do lado direito temos a f´ormula de Black-Scholes com d₁(.) e d₂(.)

(82)

Volatilidade Impl´ıcita

Observa¸c˜ao 5.2

Algumas regras usuais relativamente ao c´alculo da volatilidade impl´ıcita s˜ao as seguintes:

Como a fórmula de Black-Scholes não é invert´ıvel, a equa¸cão do slide anterior deve ser resolvida usando métodos numéricos.

Como diferentes op¸c˜oes (diferentes pre¸cos de exerc´ıcio ou diferentes maturidades) que estejam no mercado para o mesmo ativo

subjacente podem originar diferentes volatilidades implicitas, pode-se usar uma m´edia ponderada dessas volatilidades implicitas.

Por vezes considera-se apenas a volatilidade implicita na op¸c˜ao que

´e mais sens´ıvel a varia¸c˜oes na volatilidade.

Se não houver no mercado op¸cões sobre o mesmo ativo subjacente, podem ser consideradas op¸cões sobre ativos similares para cálculo da volatilidade implicita.

(83)

Volatilidade: Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.7

Em calcular a volatilidade histórica, associada aos pre¸cos diários das a¸cões de uma qualquer empresa, do ano de 2020.

Exerc´ıcio 5.8

Dado uma op¸c˜ao de compra Europeia com pre¸co de mercadoC= $5com maturidade um ano, pre¸co de exerc´ıcio$55sob um ativo com pre¸co atual S0= $55e admitindo uma taxa de juro sem risco de1%ao ano.

Determine a volatilidade do ativo subjacente, implicita no pre¸co da op¸c˜ao.

Sugestão: utilize o e a fun¸cão uniroot(.) para a resolu¸cão numérica do problema.

Exerc´ıcio 5.9

(84)

The Greeks

E importante ter-se uma ideia pr´´ atica de quão sensivel é a fun¸cão de pre¸co do produto derivado em rela¸cão às variáveis das quais depende.

Da fórmula de Taylor aplicada à fun¸cão de apre¸camento do modelo de Black-Scholes, podemos escrever:

F(t+h, St+h)−F(t, St)≈ ∂F(t, S_t)

∂S (St+h−St) +∂F(t, S_t)

∂t h +∂F(t, St)

∂r (rt+h−rt) +∂F(t, St)

∂σ (σt+h−σt) +1 2

∂²F(t, St)

∂S² (St+h−St)²

= ∆(St+h−St) + Θh+ρ(rt+h−rt) +ν(σt+h−σt) +1

2Γ(St+h−St)² onde

∆ = ∂F(t, St)

∂S , Θ = ∂F(t, St)

∂t , ρ=∂F(t, St)

∂r ν= ∂F(t, S_t)

∂σ , Γ = ∂²F(t, S_t)

∂S²

(85)

The Greeks

Temos que:

∆- é uma medida da sensibilidade do pre¸co do produto derivado em rela¸cão a altera¸cões de pre¸co do ativo subjacente;

Θ- é uma medida da dependência do pre¸co do produto derivado em rela¸cão ao tempo que falta para a maturidade;

ρ - a sensibilidade do pre¸co do derivado em rela¸cão à varia¸cão da taxa de juro sem risco;

ν - mede a sensibilidade do pre¸co do produto derivado relativamente

`

a volatilidade σ;