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São São Jerônimo Escritor Caravaggio

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(1)
(2)

RADIAÇÃO DE

CORPO NEGRO FÍSICA MODERNA I

“Consideramos,

porém – este é o ponto mais importante de todo o cálculo que a energia dos osciladores é a soma de um número inteiro de partes iguais” – Max Planck

José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville

(3)

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

(4)

1. INTRODUÇÃO

Física é uma palavra originária do grego φύσις (lê-se

“physiké”), e que significa natureza.

Antes do Século XIX a Física era conhecida como Filosofia Natural, e estudava indistintamente o mundo animado e o inanimado.

A partir do Século XIX começou a haver divisões de interesse da Física, tais como a Mecânica, a Termodinâmica, a Eletricidade e o Magnetismo.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O que é a Física?

(5)

A partir do Século XX, podemos dizer que Física é a Ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais.

Como Ciência, a Física utiliza o Método Científico.

A Física busca, primordialmente, identificar e conhecer as leis básicas que regem o Universo.

Para a formulação dos conceitos que regem os fenômenos naturais a Física utiliza a Matemática como linguagem.

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Do que trata a Física?

(6)

NATUREZA

MATÉRIA

RADIAÇÃO (LUZ) 1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Universo? Natureza? Mas, o que é a natureza? Como ela pode ser entendida?

Vamos analisar o quadro abaixo e verificar quais são os elementos básicos que constituem a natureza.

Quadro com elementos da

natureza

= +

(7)

MATÉRIA

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Formas de se encontrar a matéria na natureza

Até agora o ser humano encontra a matéria em cinco formas distintas na natureza.

SÓLIDO LÍQUIDO GÁS PLASMA

CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN - BEC

(8)

RADIAÇÃO (LUZ)

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Formas de encontrar a radiação na natureza

Já os vários tipos de radiação se distinguem entre si entre outras coisas, pelas diferentes formas como elas são produzidas.

LUZ DO SOL

LÂMPADA ELÉTRICA LUZ DE VELA

LED – LIGHT EMITTING DIODE

(9)

A matéria apresenta algumas características, às quais vamos descrever sucintamente abaixo.

1) A matéria é localizável, isto é, observamo-la concentrada em uma dada região do espaço.

2) A matéria é ponderável, isto é, a ela está associada uma certa quantidade de massa.

3) A matéria tem comportamento corpuscular, isto é, ela pode ser compreendida como sendo constituída por um conjunto de partículas.

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Características da matéria

(10)

Por sua vez, a radiação apresenta características distintas daquelas da matéria, as quais apresentamos abaixo.

1) A radiação é não-localizável (distribuída), isto é, ela não pode ser localizada pois está distribuída por todo o espaço.

2) A radiação é imponderável, isto é, não é possível associar uma quantidade de massa a ela.

3) A radiação tem comportamento ondulatório, isto é, ela pode ser compreendida como sendo transportada por uma onda.

1. INTRODUÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Características da radiação

(11)

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

(12)

2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX

A dinâmica da matéria era tratada pelas Leis de Newton.

Isaac Newton (1643-1727)

Isaac Newton (1643-1727) apresentou as suas leis em seu livro mais famoso, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado em 1687.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Como a Física descrevia a matéria no final do Século XIX

Philosophae Naturalis Principia

Mathematica – Frontispício

Trecho do livro Philosophae Naturalis Principia Mathematica

(13)

As Leis de Newton, particularmente a 2a Lei de Newton, resultaram numa melhor compreensão da Mecânica Celeste, da Mecânica dos Fluidos e da Termodinâmica.

2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Fenômenos que as Leis de Newton conseguiram explicar

dt p F d

r r

=

Figura ilustrativa do Sistema Solar

Turbulência na decolagem

de um avião Funcionamento de um motor de combustão interna

(14)

A dinâmica da radiação era tratada pelas Equações de Maxwell.

James Clerk Maxwell (1831-1879)

James Clerk Maxwell (1831-1879) apresentou suas equações no livro A Treatise on Electricity and Magnetism, publicado em 1873.

2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Como a Física descrevia a radiação no final do Século XIX

A Treatise on Electricity and Magnetism –

Frontispício

Trecho do livro A Tratise on Electricity

and Magnetism

(15)

As Equações de Maxwell permitiram uma melhor compreensão dos fenômenos da Eletricidade, do Magnetismo e da Óptica.

2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Fenômenos que as Equações de Maxwell conseguiram explicar

t J D

H

t E B

B D

+

=

×

=

×

=

=

r r r

r r r r

r r

r r

0 ρ

Raios em uma

tempestade Polos magnéticos da Terra

Dispersão da luz branca por um

prisma

(16)

1) Emissão de radiação por corpos aquecidos, a Radiação de Corpo Negro.

2) Retirada de cargas elétricas de um corpo sob iluminação, o Efeito Fotoelétrico.

2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Como explicar, por exemplo, dois fenômenos onde ocorre interação entre radiação e matéria

Emissão de radiação por um corpo aquecido

Retirada de cargas elétricas de um corpo

sob iluminação

(17)

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

(18)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

As propriedades do campo de radiação estão associadas ao comportamento do campo eletromagnético.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Equações de Maxwell: generalidades

Por sua vez, o campo eletromagnético obedece às chamadas Equações de Maxwell.

As Equações de Maxwell representam o formalismo matemático de uma série de observações experimentais realizadas durante o final do Século XVIII até o final do Século XIX.

Vamos apresentar rapidamente as quatro Equações de Maxwell, procurando relacionar a observação experimental com o formalismo matemático.

(19)

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

(20)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

1) A Lei de Gauss da Eletricidade baseia-se no fato de cargas elétricas atraírem-se ou repelirem-se entre si.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Gauss para a Eletricidade

Assinatura de Gauss

Gauss em seu leito de morte em 1855

Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta por Carl Friedrich Gauss (1777-1855), importante cientista alemão.

(21)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

A observação experimental correspondente à Lei de Gauss para a Eletricidade é devida a Charles Augustin de Coulomb (1736-1806).

Charles A. Coulomb (1736-1806)

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Coulomb

Esquema representativo de forças elétricas

Coulomb observou que corpos eletrizados atraem-se ou repelem-se na razão direta de suas quantidades de carga e na razão inversa do quadrado de suas distâncias.

d r Q K Q

F ˆ

2 2

1

⋅ ⋅

r =

(22)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo elétrico nas vizinhanças de cargas elétricas.

Linhas de campo elétrico para carga positiva e negativa

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Linhas de campo elétrico ao redor de cargas elétricas

Em cargas

positivas convenciona- se que as linhas de campo elétrico “saem”

a partir da carga.

Já em cargas negativas convenciona-se que as linhas de campo elétrico “entram” a partir da carga.

(23)

Teorema da Divergência

A Lei de Gauss da Eletricidade descreve o fenômeno da existência da carga elétrica.

∫∫ = = ∫∫∫

S V

dV Q

dS n

D r ˆ ρ

ρ

=

D r

ρρρρ: densidade de carga elétrica

r

Q: quantidade de carga dentro da gaussiana

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Formalismo matemático da Lei de Gauss da Eletricidade

⇓⇓

⇓⇓

Linhas de campo elétrico entrando

e saindo de superfícies gaussianas

(24)

2) Lei de Gauss para o Magnetismo: baseia-se no fato de dipolos magnéticos (ímãs) atraírem-se ou repelirem-se entre si.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Gauss para o Magnetismo

Cédula de $ 10 marcos alemães em

homenagem a Gauss

Selo alemão em homenagem a Gauss

Intensitas vis Magneticae Terrestris ad

mensuram absolutam revocata – Frontispício

(25)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

Um dos primeiros estudos sistemáticos com ímãs é o livro De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure, escrito por William Gilbert (1544-1603).

William Gilbert (1544-1603)

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

De Magnete – William Gilbert

De Magnete, Magneticisque

Corporibus, et de Magno Magnete Tellure

– Frontispício

Ilustração retirada do livro

De Magnete

(26)

Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo magnético nas vizinhanças dos polos de ímãs.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Linhas de campo magnético em torno de ímãs

Em ímãs convenciona-se que as linhas de campo magnético “saem” do polo norte e “entram” no polo sul.

Isto significa que as linhas de campo magnético formam uma superfície fechada.

Linhas de campo magnético nos polos de um ímã

(27)

Teorema da Divergência

A Lei de Gauss para o Magnetismo descreve o fenômeno da existência de dipolos magnéticos.

∫∫ =

S

dS n

B ˆ 0

r

= 0

B r r

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Gauss para o Magnetismo: formalismo matemático

⇓⇓

Linhas de campo magnético entrando e

saindo de superfícies gaussianas

(28)

3) A Lei de Indução de Faraday baseia-se no fato de que surge corrente elétrica induzida quando um ímã é aproximado ou se afasta de uma bobina.

Michael Faraday (1791-1867)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Indução de Faraday

Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta por Michael Faraday (1791-1867), importante cientista inglês.

Frase “holística”

de Faraday

(29)

Em 1831 Faraday demonstrou o experimento da indução usando a montagem mostrada abaixo.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Base experimental da Lei de Indução de Faraday

Nesta montagem a bateria (à direita na figura) produz corrente elétrica na bobina A.

Quando se move em relação à bobina B, o campo magnético produzido pela corrente elétrica induz uma voltagem momentânea na bobina, detectada pelo galvanômetro G.

Uma das montagens construídas por Faraday para demonstrar a Lei de Indução

(30)

A ilustração animada abaixo mostra como se dá a indução de corrente elétrica na espira quando variamos o fluxo do campo magnético através dela.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A variação do fluxo magnético em uma bobina.

O movimento do ímã em direção à

espira, com a

consequente variação do fluxo magnético, faz com que uma corrente elétrica seja induzida na espira.

Animação ilustrativa da Lei de Indução

(31)

Teorema de Stokes

A Lei da Indução de Faraday descreve como criar campos elétricos a partir de campos magnéticos variáveis.

dS t n

l B d E

C S

∂ •

− ∂

=

∫ • ∫∫ ˆ

r r r

t E B

− ∂

=

×

r r r

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Faraday: formalismo matemático

⇓⇓

⇓⇓

Circulação de corrente definindo uma superfície aberta onde flui um campo

magnético

(32)

4) A Lei de Ampère-Maxwell descreve como agulhas imantadas se defletem próximas de fios onde passam correntes elétricas (Ampère).

André-Marie Ampère (1775-1836)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Ampère

Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta por André-Marie Ampère (1775- 1836), importante cientista francês.

Frase de Ampère

(33)

4) A Lei de Ampère-Maxwell também descreve como correntes elétricas podem se transmitir de um fio condutor a outro pelo vácuo (Maxwell).

James Clerk Maxwell (1831-1879)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Maxwell

Frase de Maxwell

(34)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Base experimental da Lei de Ampère

A observação experimental correspondente à Lei de Ampère é devida a Hans Christian Oersted (1777-1851).

Em seu famoso experimento Oersted observou a deflexão da agulha de uma bússola quando esta se aproximava de um fio de corrente elétrica.

Hans Oersted (1777-1851)

Ilustrações do experimento de Oersted

(35)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Base experimental da Lei de Maxwell

A observação experimental correspondente à Lei de Maxwell é devida ao próprio James C. Maxwell (1777-1851).

Neste experimento, Maxwell observou que corrente elétrica fluía através de um capacitor de placas paralelas, apesar de não haver contato elétrico entre as placas.

Fotografia de Maxwell

Ilustrações do experimento de Maxwell feito com

capacitores

(36)

Linhas de campo magnético de um fio de corrente

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

As linhas de campo magnético em um fio de corrente

Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo magnético nas vizinhanças de um fio por onde circula uma corrente elétrica.

O sentido do campo magnético é convencionado a partir do uso da chamada “regra da mão direita”.

(37)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

As linhas de campo elétrico e magnético em um capacitor Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo elétrico e magnético nas vizinhanças de um capacitor de placas paralelas.

Linhas de campo elétrico e magnético de um capacitor

A corrente elétrica variável cria um campo magnético também variável no tempo.

Por sua vez, a variação do campo magnético cria um campo elétrico entre as placas do capacitor.

Este campo elétrico transmite a corrente de uma placa a outra.

(38)

A Lei de Ampère-Maxwell descreve como criar campos magnéticos a partir de correntes elétricas ou campos elétricos variáveis.

Teorema de Stokes

I dS t n

J D l

d H

C S

=

+

=

∫∫

ˆ

r r r r

t J D

H

+ ∂

=

×

r r r

r

I : corrente elétrica

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lei de Ampère-Maxwell: formalismo matemático

⇓⇓

⇓⇓

⇓⇓

⇓⇓

Circulação que define uma superfície aberta

por onde flui a

densidade de corrente e o campo elétrico

(39)

E D

r r = ε ⋅

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Relação constitutiva entre o vetor campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico

A constante

εεεε

é chamada

permissividade elétrica do meio.

No caso geral (meios não lineares)

εεεε

pode depender tanto do tempo quanto das coordenadas espaciais.

(40)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Relação constitutiva entre o vetor campo magnético e o vetor intensidade magnética

A constante

µµµµ

é chamada

permissividade magnética do meio.

H B

r r = µ ⋅

No caso geral (meios não lineares)

µµµµ

pode depender tanto do tempo quanto das coordenadas espaciais.

(41)

Em meios lineares (

εεεε

e

µµµµ

constantes), as Equações de Maxwell são escritas como abaixo.

= 0

=

B E r r

r r

ε ρ

t J E

B

t E B

⋅ ∂

⋅ +

=

×

− ∂

=

×

r r r

r r r

ε µ

µ

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Equações de Maxwell para meios lineares

(42)

No vácuo não existem nem fontes de carga, nem fontes de corrente elétrica.

0 0

=

=

B E r r

r r

t B E

t E B

⋅ ∂

=

×

− ∂

=

×

∇ r r

r r r

0 0

ε µ

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Equações de Maxwell para o vácuo

Finalmente, temos que os valores das constantes

εεεε

e

µµµµ

como sendo

εεεε

=

εεεε

0 = 8,8542

××××

10-12 F/m e

µµµµ

=

µµµµ

0 = 4

π× π× π× π×

10-7 H/m.

(43)

As Equações de Maxwell conduzem à Equação de Onda para o campo eletromagnético.

2 0

2 0

0

2 =

⋅ ∂

t

E E r r

ε µ

2 0

2 0

0

2 =

⋅ ∂

t

B B r r

ε µ

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Equações de Maxwell e a Equação da Onda

( )

, 0

2 2 0

0

2 =

E B

t

r ε r

µ

(44)

A estrutura matemática da Equação de Onda Escalar é mostrada abaixo.

1 0

2 2 2

2

=

Ψ

⋅ ∂

− Ψ

v t

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Análise da Equação da Onda

Na equação ao lado v é a velocidade de propagação da onda.

Comparamos esta Equação de Onda Escalar com a Equação de Onda do campo eletromagnético e concluímos que a velocidade da onda eletromagnética vOEM está associada às constantes

εεεε

0 e

µµµµ

0.

0 0

1

ε µ ⋅

OEM

= v

vOEM: velocidade da onda eletromagnética

(45)

Com os valores de

εεεε

0 e

µµµµ

0 é possível calcular a velocidade da onda eletromagnética.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Onda eletromagnética na velocidade da luz

O valor acima é muito próximo daquele obtido experimentalmente para a velocidade da luz c.

s m v

OEM

1 2 , 9979 10

8

/

0 0

×

⋅ =

= µ ε

A conclusão deste fato é que a luz comporta-se como uma onda eletromagnética.

s m c = 2 , 9979 × 10

8

/

c: velocidade da luz

0 0

1

ε µ

=

c

(46)

Escrevemos abaixo a Equação de Onda em termos da velocidade da luz c, que é igual à velocidade do campo eletromagnético.

1 0

2 2 2

2

=

⋅ ∂

t

E E c

r r

1 0

2 2 2

2

=

⋅ ∂

t

B B c

r r

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Equação da Onda e a velocidade da luz

( ) , 0

1

2 2 2

2

 ⋅ =

 

⋅ ∂

E B

t c

r r

O operador matemático que atua sobre o campo elétrico e sobre o campo magnético é chamado de d’alambertiano.

(47)

t J D

H

t E B

B D

∂ + ∂

=

×

− ∂

=

×

=

=

r r r

r

r r r

r r

r r

0

ρ

...E “DEUS” DISSE

....E A LUZ FOI FEITA!!!!

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Equações de Maxwell: a LUZ

(48)

Vamos supor que exista uma expressão para o campo elétrico que seja solução da equação de onda.

Isto significa que a parte espacial do campo elétrico proposto depende apenas da coordenada x (arbitrária), à qual define a direção de propagação do campo eletromagnético.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

( ) x t E ( ) x t

E r

P

, = ε ˆ ⋅

p

,

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Tratamento simples da Equação de Onda: a Onda Plana

(49)

Aplicamos esta proposta de solução nas Equações de Maxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo.

k: número de onda

λλλλ: comprimento de onda ω

ωω

ω: frequência angular da onda νννν: frequência da onda

T: período da onda ϕϕϕϕ: fase da onda

( ) x t = ε E ( k x ω t + ϕ )

E

P

, ˆ

0

cos r

( ) x t = ( ) i × ε B ( k x ω t + ϕ )

B

P

, ˆ ˆ

0

cos r

λ π

= 2 ⋅

k ω = 2 π = 2 π ν

T

0 0

1 E B = c

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A solução matemática para a Onda Plana

(50)

Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico e magnético da onda plana como mostrado abaixo.

c = 2,9979××××108 m/s: velocidade da luz no vácuo P

( i E

P

)

B c

r r = 1 ⋅ ˆ ×

T c = ωk = λ ν = λ

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Onda plana: representação geométrica

( )

x t = ε E

(

k x ω t +ϕ

)

EP , ˆ 0 cos r

Propagação de Onda Eletromagnética Plana

(51)

Vamos supor que exista uma expressão para o campo elétrico que seja solução da equação de onda como dada ao lado.

Isto significa que a parte espacial do campo elétrico proposto depende apenas da coordenada r (radial), à qual define a direção de propagação do campo eletromagnético.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

( ) r t E ( ) r t

E r

E

, = ε ˆ ⋅

E

,

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Outro tratamento simples da Equação de Onda: a Onda Esférica

(52)

k: número de onda

λλλλ: comprimento de onda ω

ωω

ω: frequência angular da onda νννν: frequência da onda

T: período da onda ϕϕϕϕ: fase da onda

( )

= ε

(

k r ω t +ϕ

)

r t A

r

EE , ˆ E cos r

( ) (

= ×ε

)

(

k r ωt +ϕ

)

r r A

t r

BE , ˆ ˆ B cos r

λ π

= 2 ⋅

k ω = 2 π = 2 π ν

T

B

E A

A = 1 c

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A solução matemática para a Onda Esférica

Aplicamos esta proposta de solução nas Equações de Maxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo.

(53)

( )

= ε

(

k r ωt +ϕ

)

r t A

r

EE , ˆ E cos

r E

( ) (

r EE

)

t c r B

r r = 1 ˆ×

,

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Onda esférica: representação geométrica

c = 2,9979××××108 m/s: velocidade da luz no vácuo c = ωk = λ ν = Tλ

Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico e magnético da onda esférica como mostrado abaixo.

Propagação de Onda Eletromagnética Esférica

(54)

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O espectro eletromagnético

Abaixo mostramos imagens do espectro eletromagnético.

Imagens do espectro eletromagnético

(55)

Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894)

Busto de Hertz no campus da Universidade de Karlsruhe. Tradução: Neste local descobriu Heinrich Hertz as ondas eletromagnéticas nos anos 1885 — 1889

Heinrich Hertz (1857-1894) demonstrou de forma experimental a existência da radiação eletromagnética criando aparelhos emissores e detectores de ondas de rádio.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Produção de ondas eletromagnéticas

(56)

Oscilador de Hertz: esquema

(ao lado) e montagem

(abaixo)

Rádio receptor de ondas eletromagnéticas

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Produção e recepção de ondas eletromagnéticas

Ao lado mostramos o esquema e montagem do Oscilador de Hertz.

(57)

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

(58)

Definimos o vetor de Poynting como abaixo.

( ) ( ) , 0

2 , 1

2

1

2

0 2

0

 =

 

 ⋅

+ ⋅

∂ ⋅ + ∂

E r t B r t

S r t r r

r

ε µ

Calculamos a divergência do vetor de Poynting e obtemos a equação abaixo.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

B E

S

r r r

×

=

0

1

µ

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O vetor de Poynting

(59)

( ) r t E ( ) r t B ( ) r t

u ,

2 , 1

2

, 1

2

0 2

0

r r

r ⋅

+ ⋅

= ε µ

A partir daí, definimos a densidade de energia u associada ao campo eletromagnético.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

[ ( ) , ] = 0

∂ + ∂

u r t

S r t r r

Obtemos então uma equação que tem a estrutura de Equação da Continuidade, à qual expressa a Lei da Conservação de Energia.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A Equação da Continuidade do campo eletromagnético

(60)

A partir da definição de densidade de energia do campo eletromagnético, podemos concluir que este campo armazena energia em seu interior.

( ) r t B ( ) r t dV

E U

V

 

 

 

 

 ⋅

+ ⋅

 

 

 ⋅ ⋅

= ∫∫∫ 2 1 , 2 1

2

,

0 2

0

r r

ε µ

dV

u = dU [ ] u = J / m

3

SI

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

A definição de densidade de energia u em termos da energia U é mostrada ao lado.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Energia e densidade de energia

(61)

Podemos calcular a densidade de energia média para uma onda eletromagnética plana e obtemos a equação mostrada ao lado.

2 0

2 0

1 E

u P = ⋅ ε ⋅

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

Analogamente, podemos calcular a densidade de energia média para uma onda eletromagnética esférica, e obtemos a equação mostrada ao lado.

0 2

2 1

r u E = ⋅ ε ⋅ A E

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Densidade de energia de onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica

(62)

Definimos intensidade de uma onda como a razão entre a sua potência e a área sobre a qual a onda incide.

dt dA

U I d

=

2

( ) ( ) r t u r t c

I r , = r , ⋅

c u

I = ⋅

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

O campo eletromagnético ao incidir sobre uma superfície provoca sobre ela uma dada intensidade, dada abaixo.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Intensidade e intensidade média

Intensidade de uma onda

dt

dU

I = A 1 ⋅

(63)

[ ] I = W / m

2

SI

E P E

P E

P E

P

S E B

I

, ,

0 ,

,

1 r r

r = ⋅ ×

= µ

Tanto para uma onda eletromagnética plana, quanto para uma onda eletromagnética esférica, associamos a intensidade do campo eletromagnético ao vetor de Poynting.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Intensidade e o vetor de Poynting

Podemos obter expressões para a intensidade de uma onda eletromagnética plana e para uma onda eletromagnética esférica.

2 0

2

0

1 c E

I

P

= ⋅ ⋅ ε ⋅

2 2

2

0

1

r c A

I

E

= ⋅ ⋅ ε ⋅

E

(64)

Embora não transporte massa, o campo eletromagnético troca momento linear com qualquer corpo.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Momento linear e densidade de momento linear

Para entendermos a origem do momento linear do campo eletromagnético, consideremos uma distribuição de cargas em movimento sobre a qual atua o campo elétrico e o magnético produzidos pela própria distribuição.

[

0

( ) ] = 0



 



 

 

 

 ⋅ × ⋅

+ ∫∫∫ E B dV

dt P d

V m

r r

r ε

Ao fazermos isso, obtemos a equação abaixo.

(65)

Analisemos com cuidado a equação ao lado.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A Conservação do Momento Linear

A partir daí, definimos o momento linear do campo eletromagnético como mostrado ao lado.

Esta equação estabelece uma lei de conservação entre o momento linear mecânico e uma grandeza associada ao campo eletromagnético, a qual tem unidade de momento linear.

[

0

( ) ]

= 0











 

 ⋅ × ⋅

+

∫∫∫

E B dV

dt P d

V m

r r

r ε

[ ( ) E B ] dV

p

V

em

= ∫∫∫ ⋅ r × r ⋅ r

ε

0

(66)

∫∫∫

=

V

em

em

g dV

p r r

[ ] p

m

= kgm / s SI

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

A partir da integral de volume obtida acima, podemos definir também a grandeza densidade de momento linear do campo eletromagnético.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

[ ] p

em

= Js / m SI

O momento linear do campo eletromagnético

c S B

E g

em

r r

r r

=

×

=

0

1

2

ε

⇒⇒

(67)

Podemos obter uma expressão para o momento linear de uma onda eletromagnética plana.

( ) u ( ) x t i

t c x

g

emP

1

P

, ˆ

, = ⋅ ⋅

r i

c

p r

emP

= U ⋅ ˆ

c p

emP

= U

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

Podemos obter também uma expressão análoga para o momento linear de uma onda eletromagnética esférica.

( ) u ( ) r t r

t c r

g

emE

1

E

, ˆ

, = ⋅ ⋅

r r

c

p r

emE

= U ⋅ ˆ

c p

emE

= U

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Momento linear de onda eletromagnética plana e de onda eletromagnética esférica

(68)

[ ]

P = N / m2 SI

Definimos pressão a partir da equação mostrada abaixo.

dt p d S

S P F

r

=

= 1

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Pressão

Definição de pressão

(69)

( ) r , t = 2 u ( ) r , t cos 2 θ

P R r r

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

Ao incidir sobre uma superfície, o campo eletromagnético troca momento linear como mostrado na figura ao lado.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Pressão de radiação

Definição de pressão de radiação

Esta variação no momento linear da radiação implica que ela executa sobre a parede uma pressão de radiação dada pela equação mostrada abaixo.

[ ]

P = J / m3 SI

(70)

= Ω

d

B du n

π

= ⋅

= Ω

4 u B u

Definimos a grandeza brilhância como sendo a quantidade de energia irradiada em um ponto de uma cavidade por unidade de ângulo sólido, por unidade de volume, por um corpo aquecido a uma temperatura T.

No caso particular da radiação ser emitida de forma isotrópica, a brilhância é dada pela equação abaixo.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Brilhância

Ângulo sólido

(71)

u P RC = ⋅

3 1

Em uma cavidade em equilíbrio térmico com o meio, a radiação eletromagnética também provoca uma pressão de radiação sobre as suas paredes.

Neste caso, definimos a grandeza pressão de radiação de cavidade, e obtemos para ela o resultado mostrado abaixo.

3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Pressão de radiação de cavidade

Pressão de radiação de

cavidade

(72)

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro

b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

(73)

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Radiação de corpo negro e radiação de cavidade

Abaixo mostramos alguns exemplos de corpos que emitem radiação quando aquecidos em altas temperaturas.

Mostramos também cavidades que representam um bom modelo para a radiação de corpo negro.

4. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Corpo Negro representado por uma cavidade

Forno elétrico

Metal em forja

Estrela

(74)

Definimos radiância como sendo a quantidade de energia irradiada pelo elemento de área que contém P, por unidade de tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a uma temperatura T.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Definição dos termos para a radiação

Radiação emitida por um ponto de uma superfície aquecida

( ) dS dt U P d

R = 2

[ ]

R = J / m2 s =W / m2 SI

(75)

Seja agora a superfície S aquecida a uma temperatura T e portanto emitindo radiação como mostrado na figura abaixo.

( ) P = I cos θ = u c cos θ

R

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Definição dos termos para a radiação

Como podemos observar pela unidade desta grandeza, a radiância, nada mais é do que a intensidade da radiação emitida pela superfície S.

Radiação emitida por uma superfície aquecida

Neste caso, a radiância está relacionada com a intensidade da radiação como mostrado abaixo.

Referências

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