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C U R S O D E E X T K N S A O

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Academic year: 2022

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(1)

A S T R O N O M I A

A p o s t i l a i)9

i C U R S O D E E X T K N S A O

P r o f Ç J e r ô n i m o F r e i r e

(2)

A S L E I S D E K E P . L E R

INTRODUÇÃO

As leis de KEPLER são leis que regem os movimentos dos astros . Elas foram formuladas para o movimento dos' planetas em torno do sol e maistarde estendidas aos provimentos orbitais dos demais componentes do Sistema Solare para os sistemas de estrelas.

Johannes KEPLER ( |571 -1630.) pôde formular as leis , graças aos estudos realizados por ele com as observações feitas por TiOhó Brahe ( 1546 - 1601 ) , seu mestre. No entanto , eram leis empíricas, isto è , poderiam ser contatadas mas não demonstra d a s .

Para podermos examinar e compreender as três leis , d e ­ veremos fazer um rápido estudo da geometria da elipse.

GEOMETRIA DA ELIPSE

FIXADO DOIS PONTOS F E F ? NO PLANO, CHAílA-SE ELIPSE A CURVA FECHADA E PLANA

SEGUINTE PROPRIEDADE :

TAL OUE UM PONTO DESTA CURVA SATISFAZ A

ISTO É T A M T E .

P F 1 + P F 2 = K,

A SOMA DAS DISTÂNCIAS DO PONTO P 2 F 1E DE P A F 2 £ CONS ( Fig. 1 )

A elinse, na prática, é uma fi­

gura muito facil de ser construi ida . Para isso , basta fixarmos dois pequenos pregos esparados en tre si. Com um pedaço de barbante pelo menos duas vezes maior que a distancia-entre os pregos , amarramos suas extremidades ,.uma em cada prego . Com um lápis , procuramos esticar o barbante e

fazendo o lápis deslizar pela su perflcie onde estão os pregos , estaremos traçando uma ELIPSE.

A este instrumento que construí­

mos damos o nome de Elipsógrafò.

í Fig. 2 )

(3)

Na figura 3 es£ão assinalados alguns elementos geométricos da eli pse que serão importantes neste estudo. "

C AB~

CD O

® —

y 2

F 1 F 2

~ eixo maior da elipse - eixo menor da elipse - centro da elipse - focos da elipse - distancia focal

30 ), por

distancia focal (

F i

Iremos representar o semi-eixo maior da elipse { AO ou a" , o semi-eixo menor ( CO ou DO } , por "b" e a semi-

F 10 ou F^O ), por "c" . Com base nisto , pode remos verificar o valor de K na expressão

PF„ + PF, = K

1 ' 2

Para facilitar o raciocínio e como a proprèedade é valida pa ra todos os pontos da elipse , consideremos a propriedade apli.

cada ao ponto A { Fig. 3 ).

Assim temos:

mas AF„

A F 1= / isto e

fio'

a - c e ' AF„ =

A F ? = K F^ O, isto1 A F 2

a + c

= AO - F 20

F/f

Portanto ( a - c ou a -c

) + a

+ c )

= K e 2a K

= K Concluimos assim que o valor de "K" é igual à medida do ei.

xo maior da elipse { A3) . EXCENTRICIDADE DA ELIPSE.

_ " * T ' - ' '

Excentricidade e um numero pelo c[ual poderemos indicar o grau de " achatamento " de um a elipse. Como podemos notar na fi gura 4 , as duas elipses possuem formas diferentes pois possuem ex centricidade diferentes . A excentricidade é defenida como sendo a razão entre a distancia focal e o eixo maior:

F F e = 1 2

AB

= 2c 2a

ou ainda e ;= c

A excentricidade de uma elipse pode variar entre 0 e 1 . E m parti­

cular , quando e = 0 , a distancia focal é nula e os dois pontos coincidem com o centro da elipse. Nesse caso temos uma circunferen rencia» No caso de e = 1 , a elipse se degenera em um seguemento de reta.

(4)

LEIS DE KEPLER

1? LEI - "LEI DAS ORBITAS"

"Cada planeta descreve ao redor do sol uma órbita elíptica, ocupan do o sol um dos focos da elipse". ' ~

N a figura 5 ilustra a órbita de um planeta em torno do sol . Devido ao fate do sol ocupar um dos focos e não o centro, o planeta, em seu movimenta de translação , passa por dois nontos

patticulares de sua órbita % ~

- 0 Periélio ( ponto A fig. 5 ) ,que é o ponto da órbita dc planeta em que ele se encontra mais próximo do S 0 Í 7 -

-* O Afélio ( ponto B - fig. 5 )

,0

ponto corresponden te ao máximo afastamento do planeta ao sol. Normalmente ê indicado a distância média ( d ) de um planeta ao sol , que é definida ccmo sendo a média aritmética das distâncias Perielica ( d. ) e

afélica ( d ) . P

3.

P o r t a n t o ,

' d + d

d = p a

m L

2 ou ainda d = a - c + a - i - c

m = 2a_ = a ,

- - , 2 2

isto é f a distância média de um planeta ao sol é representada pe lo semi-eixo maior da elipse que este planeta descreve.

F l O . c

2? LEI - " LEI DAS AREAS .

" A reta que une o centro do planeta ao centro do s o l, varre áreas iguais em intervalos de tempos iguias " .

Considerando um planeta qualquer ( fig. 6 ) em um ponto de sua órbita , antes de atingir o periélio, em um deter­

minado instante t. e depois de algum tempo , o mesmo planeta em po siçâo P~ <3e sua órbita em um instante t^ , depois de haver passado pelo periélio. Em resumo , o planetapara passar da posição para posição P- gastou um intervalo de tempo &T ( definido como sendo

&T = t - t j e a reta que une o planeta ao sol varreu a área &A.

Decorrido um certo intervalo de tempo , observamos o planeta em um ponto de sua órbita { P ) ,. em um instante t^ P antes de atingir o Afélio e na posição p ^ 3 no instante t^, depois de tê-lo atingido

(5)

P / Cj 6

Veremos que no. intervaèo de tempo &T' ( defenido como sendo

&T' = t. - t~ ) , a reta que une o planeta ao sol varreu a área &A'

** O

Pela segunda lei de KEPLER , se os intervalos de tempo

&T e & T ' forem iguais , as áreas &A e &A' , serão iguias.

& A

&A

ST

& T'

ou &A

&T 3 § lei " LEI HARMÔNICA "

&A r

&T

" A relação entre os quadrados dos períodos de transia ' ' " ’ ' 4 .— , ;

ção de dois planetasquaisquer é igual à relação entre os cubos de suas distâncias médias ao sol. " /

t 2

1 d 3

1

Esta lei foi concluida a partir das observações reali^

zadas por Ticho B r a h e , dos planetas Mercúrio e Marte , porém ela é válida para qualquer par de planetas.

Consideremos , por exemplo , um dos planetas como sen do a ferra . Assim , para a Terra , substituiremos t, pelo período de translação do nosso planeta que é de 1 ano sideral e a distância média

mica. Assim , temos s

t 2 = d 3

. 12 13

d^ pela distancia média Terra-Sol que é de 1 unidade astrono

portanto t : = d ;

(6)

Esta expressão fornece o seguinte enunciado ;

"v 0 quadrado do período de translação de um planeta qualquer , expresso em anos siderais é numericamente igual ao cubo de sua distancia média ao sol , expressa em unidades astro nomicas " „

Com esta última relação , podemos concluir ; a) t =

d 3 , ou seja , conhecendo-se a distância média de um planeta ao sol, expressa em unidades astronômicas , po demos conhecer seu período de translação em anos siderais.

b) a) d = t 2 , isto é , conhecendo-se o período de translação de um planeta, expresso em anos siderais , podemos obter sua distancia média ao sol f em unidades. ..astronômicas , Ma prática este é o procedimento realizado.

ProfÇ Jerônimo Freire - SEC/Rn.

f- i íú 2-

Julho/85

sua

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