A S T R O N O M I A
A p o s t i l a i)9
i C U R S O D E E X T K N S A O
P r o f Ç J e r ô n i m o F r e i r e
A S L E I S D E K E P . L E R
INTRODUÇÃO
As leis de KEPLER são leis que regem os movimentos dos astros . Elas foram formuladas para o movimento dos' planetas em torno do sol e maistarde estendidas aos provimentos orbitais dos demais componentes do Sistema Solare para os sistemas de estrelas.
Johannes KEPLER ( |571 -1630.) pôde formular as leis , graças aos estudos realizados por ele com as observações feitas por TiOhó Brahe ( 1546 - 1601 ) , seu mestre. No entanto , eram leis empíricas, isto è , poderiam ser contatadas mas não demonstra d a s .
Para podermos examinar e compreender as três leis , d e veremos fazer um rápido estudo da geometria da elipse.
GEOMETRIA DA ELIPSE
FIXADO DOIS PONTOS F E F ? NO PLANO, CHAílA-SE ELIPSE A CURVA FECHADA E PLANA
SEGUINTE PROPRIEDADE :
TAL OUE UM PONTO DESTA CURVA SATISFAZ A
ISTO É T A M T E .
P F 1 + P F 2 = K,
A SOMA DAS DISTÂNCIAS DO PONTO P 2 F 1E DE P A F 2 £ CONS ( Fig. 1 )
A elinse, na prática, é uma fi
gura muito facil de ser construi ida . Para isso , basta fixarmos dois pequenos pregos esparados en tre si. Com um pedaço de barbante pelo menos duas vezes maior que a distancia-entre os pregos , amarramos suas extremidades ,.uma em cada prego . Com um lápis , procuramos esticar o barbante e
fazendo o lápis deslizar pela su perflcie onde estão os pregos , estaremos traçando uma ELIPSE.
A este instrumento que construí
mos damos o nome de Elipsógrafò.
í Fig. 2 )
Na figura 3 es£ão assinalados alguns elementos geométricos da eli pse que serão importantes neste estudo. " —
C AB~
CD O
® —
y 2
F 1 F 2
~ eixo maior da elipse - eixo menor da elipse - centro da elipse - focos da elipse - distancia focal
30 ), por
distancia focal (
F i
Iremos representar o semi-eixo maior da elipse { AO ou a" , o semi-eixo menor ( CO ou DO } , por "b" e a semi-
F 10 ou F^O ), por "c" . Com base nisto , pode remos verificar o valor de K na expressão
PF„ + PF, = K
1 ' 2
Para facilitar o raciocínio e como a proprèedade é valida pa ra todos os pontos da elipse , consideremos a propriedade apli.
cada ao ponto A { Fig. 3 ).
Assim temos:
mas AF„
A F 1= / isto e
fio'
a - c e ' AF„ =
A F ? = K F^ O, isto1 A F 2
a + c
= AO - F 20
F/f
Portanto ( a - c ou a -c
) + a
+ c )
= K e 2a K
= K Concluimos assim que o valor de "K" é igual à medida do ei.
xo maior da elipse { A3) . EXCENTRICIDADE DA ELIPSE. •
_ " * T ' - ' — '
Excentricidade e um numero pelo c[ual poderemos indicar o grau de " achatamento " de um a elipse. Como podemos notar na fi gura 4 , as duas elipses possuem formas diferentes pois possuem ex centricidade diferentes . A excentricidade é defenida como sendo a razão entre a distancia focal e o eixo maior:
F F e = 1 2
AB
= 2c 2a
ou ainda e ;= c
A excentricidade de uma elipse pode variar entre 0 e 1 . E m parti
cular , quando e = 0 , a distancia focal é nula e os dois pontos coincidem com o centro da elipse. Nesse caso temos uma circunferen rencia» No caso de e = 1 , a elipse se degenera em um seguemento de reta.
LEIS DE KEPLER
1? LEI - "LEI DAS ORBITAS"
"Cada planeta descreve ao redor do sol uma órbita elíptica, ocupan do o sol um dos focos da elipse". ’ ' ~
N a figura 5 ilustra a órbita de um planeta em torno do sol . Devido ao fate do sol ocupar um dos focos e não o centro, o planeta, em seu movimenta de translação , passa por dois nontos
patticulares de sua órbita % ~
- 0 Periélio ( ponto A fig. 5 ) ,que é o ponto da órbita dc planeta em que ele se encontra mais próximo do S 0 Í 7 -
„ -* O Afélio ( ponto B - fig. 5 )
,0
ponto corresponden te ao máximo afastamento do planeta ao sol. Normalmente ê indicado a distância média ( d ) de um planeta ao sol , que é definida ccmo sendo a média aritmética das distâncias Perielica ( d. ) eafélica ( d ) . P
3.
P o r t a n t o ,
' d + d
d = p a
m L
2 ou ainda d = a - c + a - i - c „
m = 2a_ = a ,
- - , 2 2
isto é f a distância média de um planeta ao sol é representada pe lo semi-eixo maior da elipse que este planeta descreve.
F l O . c
2? LEI - " LEI DAS AREAS .
" A reta que une o centro do planeta ao centro do s o l, varre áreas iguais em intervalos de tempos iguias " .
Considerando um planeta qualquer ( fig. 6 ) em um ponto de sua órbita , antes de atingir o periélio, em um deter
minado instante t. e depois de algum tempo , o mesmo planeta em po siçâo P~ <3e sua órbita em um instante t^ , depois de haver passado pelo periélio. Em resumo , o planetapara passar da posição para posição P- gastou um intervalo de tempo &T ( definido como sendo
&T = t - t j e a reta que une o planeta ao sol varreu a área &A.
Decorrido um certo intervalo de tempo , observamos o planeta em um ponto de sua órbita { P ) ,. em um instante t^ P antes de atingir o Afélio e na posição p ^ 3 no instante t^, depois de tê-lo atingido
P / Cj 6
Veremos que no. intervaèo de tempo &T' ( defenido como sendo
&T' = t. - t~ ) , a reta que une o planeta ao sol varreu a área &A'
** O
Pela segunda lei de KEPLER , se os intervalos de tempo
&T e & T ' forem iguais , as áreas &A e &A' , serão iguias.
& A
&A
ST
& T'
ou &A
&T 3 § lei " LEI HARMÔNICA "
&A r
&T
" A relação entre os quadrados dos períodos de transia ' ' " ’ ' 4 .— , ;
ção de dois planetasquaisquer é igual à relação entre os cubos de suas distâncias médias ao sol. " /
t 2
1 d 3
1
Esta lei foi concluida a partir das observações reali^
zadas por Ticho B r a h e , dos planetas Mercúrio e Marte , porém ela é válida para qualquer par de planetas.
Consideremos , por exemplo , um dos planetas como sen do a ferra . Assim , para a Terra , substituiremos t, pelo período de translação do nosso planeta que é de 1 ano sideral e a distância média
mica. Assim , temos s
t 2 = d 3
. 12 13
d^ pela distancia média Terra-Sol que é de 1 unidade astrono
portanto t : = d ;
Esta expressão fornece o seguinte enunciado ;
"v 0 quadrado do período de translação de um planeta qualquer , expresso em anos siderais é numericamente igual ao cubo de sua distancia média ao sol , expressa em unidades astro nomicas " „
Com esta última relação , podemos concluir ; a) t =
d 3 , ou seja , conhecendo-se a distância média de um planeta ao sol, expressa em unidades astronômicas , po demos conhecer seu período de translação em anos siderais.
b) a) d = t 2 , isto é , conhecendo-se o período de translação de um planeta, expresso em anos siderais , podemos obter sua distancia média ao sol f em unidades. ..astronômicas , Ma prática este é o procedimento realizado.
ProfÇ Jerônimo Freire - SEC/Rn.
f- i íú 2-
Julho/85
sua